华东师大版八年级上册数学课件《因式分解完全平方公式法》课件
2.下面因式分解对吗？为什么？
1m 2 n 2 m n 2 2m 2 n 2 m n 2 3a 2 2ab b2 a b2 4 a 2 2ab b2 a b2
灿若寒星
选一选
1、把
1 4
x2
初中数学课件
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华师大版初中数学八年级上册
第十二单元
第5课
灿若寒星
灿若寒星
完全平方公式：
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2
现在我们把完全平方公式反过来，可得：
a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2 (a b)2
4 a2 _a_b___ 1 b2；
4
5 x4 2x2 y __y_2__．
灿若寒星
例题分析
例1 请运用完全平方公式把下列各式分解因式：
1 a2 6ab 9b2 原式=（a-3b）2
2 9m2 6mn n2 原式 3m n2
3 x2 1 x
4、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方 式，那么m的值为（ ） A、6 B、±6 C、3 D、±3
灿若寒星
5、把 a b2 4a b 4分解因式得（ ）
A、a b 12 B、a b 12 C、a b 22 D、a b 22
6、计算 1002 210099 992的结果（ ）
4 mn 3
n2
=(2 m)2-
3
2(2 m)(n)+(n
3
)2
=(
2m 3
-
n
)2
公式中的a、b可以表示数、字母、单项式甚至是多项式
灿若寒星
判一判
下列各式是不是完全平方式
1 2xy x2 y2
2 x2 4xy 4 y 2 3a2 6abb2
4a2 2ab 4b2
4
原式
x
1 2
2
灿若寒星
试一试
把下列各式因式分解：
（1）4x2 28 xy 49 y2
（2）a2 ab 1 b2 4
（3）-x2+4xy-4y2
灿若寒星
例2 分解因式:
1、(2x+y)2-6(2x+y)+9
解:原式=(2x+y)2-2.(2x+y).3+32
=[(2x+y)-3]2 =(2x+y-3)2 2、3ax2+6axy+3ay2
灿若寒星
课后作业
2、已知a=2005x+2006,b=2005x+2007,
c=2005x+2008,求多项式a2 +b2 +c2-ab-bc-ac
的值
3、若a-b=2,a-c= 1 ,求(b c)2 3(b c) 9的值
2
4
灿若寒星
灿若寒星
课后作业
例：分解下列因式： （1)(2x+y)2 6(2x y) 9 (2)(m-2n)2 6(2n m)(m n) 9(m n)2
(3)(x+y)2 4(x y)2 4(x2 y2 ) (4)(x+y)2 4(x y 1) (5)(x+y)2 6x2 6 y2 9(x y)2 (6)x2 y2 4x 4
9x2 6x 1 (3x)2 2 (3x) 112 (3x 1)2
灿若寒星
填一填
a2 + 2ab + b2 = （ a + b ）2 16x2+40x+25= (4x)2+2(4x)(5)+( 5)2 =( 4x + 5 )2
a2－2ab+b2 =（a－b）2
4 m2
9
(3) x2 2x 4；不是
(4) 4 x2 4 x 1； 不是
(5) 1 m2 m；是 a表示1，b表示 m .
4
2
(6) 4 y 2 12 xy 9 x2． 是
a表示2 y，b表示3x.
灿若寒星
填一填
填上一项，使下列多项式成为完全平方式．
1 x2 _2__x_y_ y2； 2 4a2 9b2 _12_a_b___； 3 x2 _4_x_y__ 4 y2；
两个数的平方和，加上（或减这去两）个数的积的
两倍，等于这两数和 （或的者平差方）．
灿若寒星
探究新知 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2 (a b)2
两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的 积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
a2 2ab b2 形如 a2 2ab b2 的多项式称为完全平方式.
A、 1
B、-1
C、 2
D、-2
灿若寒星
拓展提高
1、你能用口算求出20052-4010×
2003+204032的值吗？
2、我们知道4x2+1不是完全平方式，有没有
合适的项，你能给它补成完全平方式吗？
4x4， 3、已知x2+y2±+46xx-4y+13=0.求xy的-值6 ；
4、多项式:
(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能用完全平方公式分 解吗? [（x+y）-（x-y）]2=（2y）2=4y2
（ 5） 9x2 12 xy 4 y2
(6) x2 y 2 (7) x2 2 xy y 2 (8) x2 2 xy y 2
灿若寒星
练一练
1．判别下列各式是不是完全平方式，若是说出
相应的 a、b 各表示什么？
(1) x2 6x 9；是 a表示x，b表示3.
(2) 1 4a2； 不是
3xy
9 y分2 解因式得(
)
A、
1 4
x
3y
2 Leabharlann B、 1 2
x
3y
2
2、把
4 9
x2
y2
4 3
xy
分解因式得 （）
A、
2 3
x
y
2
B、
4 3
x
2
y
灿若寒星
3、如果100x2+kxy+y2可以分解为（10xy)2,那么k的值是（ ） A、20 B、-20 C、10 D、-10
原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2
灿若寒星
1．分解因式：
1 9a 2 6ab b2 2 a 2 10a 25 3 49b2 a 2 14ab 4 4x 3y 4x 2y 2 xy 3 5 x 4 18x 2 81
灿若寒星
课堂小结
一、完全平方式具有：a2 2ab b2 (a b)2
1、是一个二次三项式
2、有两个“项”平方,而且有这两“项”的积的两
倍或负两倍
3、我们可以利用完全平方公式来进行因式 分解 二、因式分解的基本思路
首先提取公因式；然后考虑用公式； 最后写成连乘式；不能再分才为止。
灿若寒星
1m 2 n 2 m n 2 2m 2 n 2 m n 2 3a 2 2ab b2 a b2 4 a 2 2ab b2 a b2
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选一选
1、把
1 4
x2
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华师大版初中数学八年级上册
第十二单元
第5课
灿若寒星
灿若寒星
完全平方公式：
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2
现在我们把完全平方公式反过来，可得：
a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2 (a b)2
4 a2 _a_b___ 1 b2；
4
5 x4 2x2 y __y_2__．
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例题分析
例1 请运用完全平方公式把下列各式分解因式：
1 a2 6ab 9b2 原式=（a-3b）2
2 9m2 6mn n2 原式 3m n2
3 x2 1 x
4、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方 式，那么m的值为（ ） A、6 B、±6 C、3 D、±3
灿若寒星
5、把 a b2 4a b 4分解因式得（ ）
A、a b 12 B、a b 12 C、a b 22 D、a b 22
6、计算 1002 210099 992的结果（ ）
4 mn 3
n2
=(2 m)2-
3
2(2 m)(n)+(n
3
)2
=(
2m 3
-
n
)2
公式中的a、b可以表示数、字母、单项式甚至是多项式
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判一判
下列各式是不是完全平方式
1 2xy x2 y2
2 x2 4xy 4 y 2 3a2 6abb2
4a2 2ab 4b2
4
原式
x
1 2
2
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试一试
把下列各式因式分解：
（1）4x2 28 xy 49 y2
（2）a2 ab 1 b2 4
（3）-x2+4xy-4y2
灿若寒星
例2 分解因式:
1、(2x+y)2-6(2x+y)+9
解:原式=(2x+y)2-2.(2x+y).3+32
=[(2x+y)-3]2 =(2x+y-3)2 2、3ax2+6axy+3ay2
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课后作业
2、已知a=2005x+2006,b=2005x+2007,
c=2005x+2008,求多项式a2 +b2 +c2-ab-bc-ac
的值
3、若a-b=2,a-c= 1 ,求(b c)2 3(b c) 9的值
2
4
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课后作业
例：分解下列因式： （1)(2x+y)2 6(2x y) 9 (2)(m-2n)2 6(2n m)(m n) 9(m n)2
(3)(x+y)2 4(x y)2 4(x2 y2 ) (4)(x+y)2 4(x y 1) (5)(x+y)2 6x2 6 y2 9(x y)2 (6)x2 y2 4x 4
9x2 6x 1 (3x)2 2 (3x) 112 (3x 1)2
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填一填
a2 + 2ab + b2 = （ a + b ）2 16x2+40x+25= (4x)2+2(4x)(5)+( 5)2 =( 4x + 5 )2
a2－2ab+b2 =（a－b）2
4 m2
9
(3) x2 2x 4；不是
(4) 4 x2 4 x 1； 不是
(5) 1 m2 m；是 a表示1，b表示 m .
4
2
(6) 4 y 2 12 xy 9 x2． 是
a表示2 y，b表示3x.
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填一填
填上一项，使下列多项式成为完全平方式．
1 x2 _2__x_y_ y2； 2 4a2 9b2 _12_a_b___； 3 x2 _4_x_y__ 4 y2；
两个数的平方和，加上（或减这去两）个数的积的
两倍，等于这两数和 （或的者平差方）．
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探究新知 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2 (a b)2
两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的 积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
a2 2ab b2 形如 a2 2ab b2 的多项式称为完全平方式.
A、 1
B、-1
C、 2
D、-2
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拓展提高
1、你能用口算求出20052-4010×
2003+204032的值吗？
2、我们知道4x2+1不是完全平方式，有没有
合适的项，你能给它补成完全平方式吗？
4x4， 3、已知x2+y2±+46xx-4y+13=0.求xy的-值6 ；
4、多项式:
(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能用完全平方公式分 解吗? [（x+y）-（x-y）]2=（2y）2=4y2
（ 5） 9x2 12 xy 4 y2
(6) x2 y 2 (7) x2 2 xy y 2 (8) x2 2 xy y 2
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练一练
1．判别下列各式是不是完全平方式，若是说出
相应的 a、b 各表示什么？
(1) x2 6x 9；是 a表示x，b表示3.
(2) 1 4a2； 不是
3xy
9 y分2 解因式得(
)
A、
1 4
x
3y
2 Leabharlann B、 1 2
x
3y
2
2、把
4 9
x2
y2
4 3
xy
分解因式得 （）
A、
2 3
x
y
2
B、
4 3
x
2
y
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3、如果100x2+kxy+y2可以分解为（10xy)2,那么k的值是（ ） A、20 B、-20 C、10 D、-10
原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2
灿若寒星
1．分解因式：
1 9a 2 6ab b2 2 a 2 10a 25 3 49b2 a 2 14ab 4 4x 3y 4x 2y 2 xy 3 5 x 4 18x 2 81
灿若寒星
课堂小结
一、完全平方式具有：a2 2ab b2 (a b)2
1、是一个二次三项式
2、有两个“项”平方,而且有这两“项”的积的两
倍或负两倍
3、我们可以利用完全平方公式来进行因式 分解 二、因式分解的基本思路
首先提取公因式；然后考虑用公式； 最后写成连乘式；不能再分才为止。
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华东师大版八年级上册 12.5.8 因式分解的应用 课件(共30张PPT)
因式分解的应用
因式分解的概念
一般地，把一个多项式化成几个整式的积 的形式，叫做因式分解.
因式分解的思路
首项系数变为正
一准备 各项分解因式
相反因式变相同
(三）由项数思考能否再分解
1.二项：只能分解a2-b2
(二）提公因式
2.三项：只能分解a2±2ab+b2 或能找到“十字”的二次三项式
3.四项及以上：只能分组分解后还能分解的多项式
a2 -2ab+b2-c2的正负
解:
a2 -2ab+b2-c2
=(a-b)2 -c2
=(a-b+c)(a-b-c)
∵ a、b、c为三角形的三边
∴ a+c ﹥b a﹤b+c
∴ a-b+c﹥0 a-b-c ﹤0 即：(a-b+c)(a-b-c) ﹤0 因此 a2 -2ab+b2-c2小于零，是负数。
解：2n+4-2n=2n(2４-1)=2n(16-1)=15×2n =15×2×2n-1=30×2n-1.
∵n为正整数时，2n-1为整数， ∴2n+4-2n能被30整除.
计算:
（ 2 ） 4 x 2 9 3 2 x
解: 原式 2 x 3 2 x 3 2 x 3
2x3
2x3
例2. 2 a 4 b 3 a 6 b a 2 4 b 2
(四）若无法分解，则采用非常1.每个因式是否最简 2.每个因式还能分解吗？
3.各因式的排列规范吗？ 4.用乘法检验是否恒等
1.将下列各式因式分解:
(1)n4 n3 n3(n 1)
提取公因式法
(2)ax2 bx x(axb)
(3) x 2 9 (x3)(x3)
因式分解的概念
一般地，把一个多项式化成几个整式的积 的形式，叫做因式分解.
因式分解的思路
首项系数变为正
一准备 各项分解因式
相反因式变相同
(三）由项数思考能否再分解
1.二项：只能分解a2-b2
(二）提公因式
2.三项：只能分解a2±2ab+b2 或能找到“十字”的二次三项式
3.四项及以上：只能分组分解后还能分解的多项式
a2 -2ab+b2-c2的正负
解:
a2 -2ab+b2-c2
=(a-b)2 -c2
=(a-b+c)(a-b-c)
∵ a、b、c为三角形的三边
∴ a+c ﹥b a﹤b+c
∴ a-b+c﹥0 a-b-c ﹤0 即：(a-b+c)(a-b-c) ﹤0 因此 a2 -2ab+b2-c2小于零，是负数。
解：2n+4-2n=2n(2４-1)=2n(16-1)=15×2n =15×2×2n-1=30×2n-1.
∵n为正整数时，2n-1为整数， ∴2n+4-2n能被30整除.
计算:
（ 2 ） 4 x 2 9 3 2 x
解: 原式 2 x 3 2 x 3 2 x 3
2x3
2x3
例2. 2 a 4 b 3 a 6 b a 2 4 b 2
(四）若无法分解，则采用非常1.每个因式是否最简 2.每个因式还能分解吗？
3.各因式的排列规范吗？ 4.用乘法检验是否恒等
1.将下列各式因式分解:
(1)n4 n3 n3(n 1)
提取公因式法
(2)ax2 bx x(axb)
(3) x 2 9 (x3)(x3)
1因式分解PPT课件(华师大版)
讲授新课
典例精析
例4 分解因式： （1）16x2+24x+9；
（2）-x2+4xy-4y2.
分析：在（1）中， 16x2=(4x)2, 24x=2·4x·3, 9=3², 所以16x2+24x+9是一个完全平方式， 即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2
(首)²+2·首·尾+(尾)²
③ ⑥，
① am+bm+c=m(a+b)+c
最后不是积的运算
② 24x2y=3x ·8xy 因式分解的对象是多项式，而不是单项式
③ x2-1=(x+1)(x-1) ④ (2x+1)2=4x2+4x+1
是整式乘法
⑤ x2+x=x2(1+ 1 ) 每个因式必须是整式
x
⑥ 2x+6z=2(x+2y+3z)
答：草坪的面积是32平方米.
当堂检测
4．要使多项式x2+M+2x能运用平方差公式进行分解因式，整式M可以是 （） A．1 B．-1 C．-2x+4 D．-2x-4
当a=0.5，x=1.5，y=-2时 原式=(2×1.5-2)×(0.5-2)=-1.5
当堂检测
3.在一块边长为a=6.6米的正方形空地的四角均留出一块边长为 b=1.7米的正方形空地修建花坛，其余的地方种植草坪.问草坪的面 积有多大？
解：由题意可知，草坪的面积是边 长为a米的正方形的面积减去四个 边长为b米的小正方形的面积，即 a2-4b2 =(a+2b)(a-2b) =(6.6+3.4)(6.6-3.4)=32(平方米).
华东师大版八年级数学上册因式分解公式法课件
1002－2×100×99+99² 解：原式=（100－99)²
=1.
本题利用完全平方 公式分解因式的方 法，大大减少计算 量，结果准确.
当堂练习
1.把下列各式分解因式：
(1) 16a2-9b2
(4a+3b)(4a-3b)
(2) (a+b)2-(a-b)2
4ab
(3) 9xy3-36x3y
9xy(y+2x)(y-2x)
a2 ± 2 . a . b + b2
下列各式是不是完全平方式？
首2 2 首 尾 尾2
（1）a2－4a+4;
是 （2）1+4a²; 不是
（3）4b2+4b-1; （5）x2+x+0.25.
不是 （4）a2+ab+b2; 不是 是
分析： （2）因为它只有两项；
（3）4b²与-1的符号不统一； （4）因为ab不是a与b的积的2倍.
2、m²-6m+9=( m)²- 2·(m ) ·(3 )+( 3 )²=(m - 3 )² 3、a²+4ab+4b²=(a )²+2·( a ) ·(2b )+(2b )²=( a + 2b )²
a2 ± 2 . a . b + b2 = （ a ± b )²
首2 2 首 尾 尾2 (首 尾)2
三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止） 分解因式的一般步骤
二 运用完全平方公式因式分解
完全平方公式: a2 2ab b2 =（a ± b）2 完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成 完全平方形式，便实现了因式分解.
华东师大版八年级数学上册12.5《因式分解》教学课件2
下列分解因式是否正确？为什么？如果不正确， 请给出正确的结果。
x4 16 y4 (x2 )2 (4 y2 )2
(x2 4 y2 )(x2 4 y2 )
不正确 分解到不能再分解为止
巩固练习
1、在多项式x²+y², x²-y²,-x²+y², -x²-y²中,能 利用平方差公式分解的有( B ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
12.5 因式分解
12.5.2平方差公式法
目 Contents 录
01 回顾思考 02 合作探究
03 学以致用
04 巩固练习
05 总结提升
预习检测： 下列分解因式是否正确？
x4 16 y4 (x2 )2 (4 y2 )2
(x2 4 y2 )(x2 4 y2 )
回顾思考
找出下列各题公因式：
(6) 169x2 －4y2 解:原式＝(13x)2－(2y)2
＝ (13x＋2y)(13x－2y)
(8) -16x4 ＋81y4 (解7):9原a2式p2＝＝－((b332aaqpp2＋)2－bq()b(q3)a2p－解b:q原) 式＝＝＝＝(((89991yyyy２ 224++－)442－xx1226))〔(x9(4y4(2x3-２4yx))222-)(2x)2〕
2．变式巩固练习
变式一：把下列各式分解因式.
（1）1-25b2
（2）x2y2-z2 （3） -0.01n2+m2
解：（1） 1-25b2 =12-(5b)2=(1+5b)(1-5b)
（2） x2y2-z2 =(xy)2- z2 =(xy+z)(xy-z)
（3） -0.01n2+ m2 = -0.01n2+m2 = (m)2-(0.1n)2 = (m+0.1n)(m-0.1n)
数学：13.5《因式分解》课件(华东师大版八年级上)
Байду номын сангаас
山本见到我，向我躹了一躬，然后又像弹簧般弹回了原样。他听了我问题后，微笑着对我说，这节课，是由他一手开发的校本课程，旨在磨练学生的毅力和意志。一节课，同学们就那样绷紧神经， 以时刻奔跑的姿势，站在各自的位置上一动不动，看似简单，其实要坚持近半个小时，也是很难的。规则是飞碟飞向哪里，那里的同学方能去抢，其他同学一律不得做任何动作。往往，一节课下来，很 多同学都没有跑抢飞碟的机会，只能是像木头似的硬撑一节课。贝博体育网站
我听了，稍一琢磨，就恍惚大悟。这是中国功夫的活学活用，有道是“站如松，坐如钟，行如风”呵！
我顺便问他：山本老师，这个班级学生的近视率怎么样？
山本说：不容乐观，全班三十六人，有十人近视，几乎是三分之一。
这是初一的学生，我曾了解过一个数据，国内同年段学生的近视率远比这要高得多。
与山本道别之际，我很友好地跟他握了一下手。他的手掌很重、很结实，他轻轻地握了我一下，我就有如被钢丝钳子钳了一下的感觉。对此，我为自己感到非常的悲哀。早知如此，我早就该去拜铁 掌峰上的裘千仞把铁沙掌练好了，或者赴少林寺先修炼一通大力金刚指。如是，我想我只须稍显功力，就可以把他的手掌捏成一团棉花了。但为时已晚也，我惟有懊恼不已。
山本见到我，向我躹了一躬，然后又像弹簧般弹回了原样。他听了我问题后，微笑着对我说，这节课，是由他一手开发的校本课程，旨在磨练学生的毅力和意志。一节课，同学们就那样绷紧神经， 以时刻奔跑的姿势，站在各自的位置上一动不动，看似简单，其实要坚持近半个小时，也是很难的。规则是飞碟飞向哪里，那里的同学方能去抢，其他同学一律不得做任何动作。往往，一节课下来，很 多同学都没有跑抢飞碟的机会，只能是像木头似的硬撑一节课。贝博体育网站
我听了，稍一琢磨，就恍惚大悟。这是中国功夫的活学活用，有道是“站如松，坐如钟，行如风”呵！
我顺便问他：山本老师，这个班级学生的近视率怎么样？
山本说：不容乐观，全班三十六人，有十人近视，几乎是三分之一。
这是初一的学生，我曾了解过一个数据，国内同年段学生的近视率远比这要高得多。
与山本道别之际，我很友好地跟他握了一下手。他的手掌很重、很结实，他轻轻地握了我一下，我就有如被钢丝钳子钳了一下的感觉。对此，我为自己感到非常的悲哀。早知如此，我早就该去拜铁 掌峰上的裘千仞把铁沙掌练好了，或者赴少林寺先修炼一通大力金刚指。如是，我想我只须稍显功力，就可以把他的手掌捏成一团棉花了。但为时已晚也，我惟有懊恼不已。
华东师大版八年级上册数学课件华东师大版八年级数学上册：12.5.3公式法因式分解完全平方公式课件
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
新课程标准实验教材华东师大版八年级数学
因式分解
运用完全平方公式
灿若寒星
课前小测： 1.选择题： 1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（）D A. 4X²+y²B.4x-(-y)²C.-4X²-y³D.-X²+y² 2) -4a²+1分解因式的结果应是（） D A. -(4a+1)(4a-1)B.-(2a–1)(2a–1) C. -(2a+1)(2a+1)D.-(2a+1)(2a-1) 2.把下列各式分解因式： 1）18-2b²2)x4–1
(2)有两个平方项,且两个平方项同号; (3)其余一项是两个平方项的底数之积的2倍;
灿若寒星
例题：把下列式子分解因式
=(首±尾)2
灿若寒星
题组练习
灿若寒星
重难互动探究
灿若寒星
12.5.3运用两数和(差)的平方公式因式分解
灿若寒星
12.5.3运用两数和(差)的平方公式因式分解
高 1、把下列各式因式分解:
灿若寒星
2、把下列各式因式分解:
灿若寒星
灿若寒星
在因式分 解中，通 常先观察 所给多项 式是否有 公因式， 然后在考 虑用公式
。
你当小法官 下列因式分解的过程哪些是正确的，哪 些是错误的？请分别说明理由。
灿若寒星
课堂小结
1、掌握完全平方公式的结构特点， 熟练应用其进行因式分解。
2、在因式分解中，通常先观察所给 多项式是否有公因式，然后在考虑用 公式。
1)原式=2（3+b)(3-b) 2)原式=(x²+1)(x+1)(x- 灿若寒星
前面我们学习过乘法公式,大家知道我们掌握 的乘法公式有哪几个吗?
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新课程标准实验教材华东师大版八年级数学
因式分解
运用完全平方公式
灿若寒星
课前小测： 1.选择题： 1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（）D A. 4X²+y²B.4x-(-y)²C.-4X²-y³D.-X²+y² 2) -4a²+1分解因式的结果应是（） D A. -(4a+1)(4a-1)B.-(2a–1)(2a–1) C. -(2a+1)(2a+1)D.-(2a+1)(2a-1) 2.把下列各式分解因式： 1）18-2b²2)x4–1
(2)有两个平方项,且两个平方项同号; (3)其余一项是两个平方项的底数之积的2倍;
灿若寒星
例题：把下列式子分解因式
=(首±尾)2
灿若寒星
题组练习
灿若寒星
重难互动探究
灿若寒星
12.5.3运用两数和(差)的平方公式因式分解
灿若寒星
12.5.3运用两数和(差)的平方公式因式分解
高 1、把下列各式因式分解:
灿若寒星
2、把下列各式因式分解:
灿若寒星
灿若寒星
在因式分 解中，通 常先观察 所给多项 式是否有 公因式， 然后在考 虑用公式
。
你当小法官 下列因式分解的过程哪些是正确的，哪 些是错误的？请分别说明理由。
灿若寒星
课堂小结
1、掌握完全平方公式的结构特点， 熟练应用其进行因式分解。
2、在因式分解中，通常先观察所给 多项式是否有公因式，然后在考虑用 公式。
1)原式=2（3+b)(3-b) 2)原式=(x²+1)(x+1)(x- 灿若寒星
前面我们学习过乘法公式,大家知道我们掌握 的乘法公式有哪几个吗?
初中数学华东师大八年级上册整式的乘除时运用完全平方公式因式分解PPT
值． 解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 当a－b＝3时，原式＝32＝9. (2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
当ab＝2，a＋b＝5时， 原式＝2×52＝50.
解决导入问题
你能用因式分解的方法快速口算出 （1）832 +2×83×17+172 （2）1042 -2×104×4+42
先找“首”和“尾”，再看“中间”
典例精析
例1 分解因式：
（1）16x2+24x+9；
（2）-x2+4xy-4y2.
分析：(1)中， 16x2=(4x)2, 9=3², 24x=2·4x·3, 所以 16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + 32
例2 把下列各式分解因式： (1)3ax2+6axy+3ay2 ； (2)(a+b)2-12(a+b)+36.
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进 一步分解因式；
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为 m2-12m+36=（ m-6 ）2.
解： (1)原式= (4x)2 + 2·4x·3 + 32
= (4x + 3)2；
(2)-x2+ 4xy-4y2
分析：首项有负号，一般先利用添括号法
则，将其变形为-(x2-4xy+4y2),然后再利用
公式分解因式. x2
当ab＝2，a＋b＝5时， 原式＝2×52＝50.
解决导入问题
你能用因式分解的方法快速口算出 （1）832 +2×83×17+172 （2）1042 -2×104×4+42
先找“首”和“尾”，再看“中间”
典例精析
例1 分解因式：
（1）16x2+24x+9；
（2）-x2+4xy-4y2.
分析：(1)中， 16x2=(4x)2, 9=3², 24x=2·4x·3, 所以 16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + 32
例2 把下列各式分解因式： (1)3ax2+6axy+3ay2 ； (2)(a+b)2-12(a+b)+36.
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进 一步分解因式；
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为 m2-12m+36=（ m-6 ）2.
解： (1)原式= (4x)2 + 2·4x·3 + 32
= (4x + 3)2；
(2)-x2+ 4xy-4y2
分析：首项有负号，一般先利用添括号法
则，将其变形为-(x2-4xy+4y2),然后再利用
公式分解因式. x2
华东八上数学《完全平方公式》教学课件
古代数学家在许多重要领域中处于遥 遥领先的地位。中国古代数学家曾经有 自己光辉灿烂的篇章，“杨辉三角”的 发现就是十分精彩的一页，它比欧洲帕 斯卡发现这一规律要早393年，它是中国 数学史上的一个伟大成就！
底数拓展：多项式项数增加 （a+b)2
指数拓展：指数增大(杨辉三角)
1、计算:(1) （2x+3y)2
杨辉在《详解九章算法》一书中还画了一张表示二项式展开后 的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨 辉三角”。
平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2
特征： 条件：1、是两个二项式的积。 2、两个二次项中有一项相同，另一项互为相反数。
结论：1、是二项式。 2、相同项的平方减去互为相反数的项的平方。
(2) (-2m-n)2
2、若x2+6xy+m 是一个完全平方式，则m 的值是
。
3、若4x2+kxy+9y2是一个完全平方式，则k的值是
。
4、判断下列各式是否正确，如有错误，请改正。
（1） （x+y)2 =x2+y2
(2) （-a-1)2 = -a2-2a-1
5、解不等式：（x+3)(x-3)<(x-1)2
( a-b)2=a2- 2ab+b2
利用公式巧拓展： (1) (x+2y+1)(x+2y-1)
=[(x+2y)+1][(x+2y)-1] =(x+2y)2-1 =x2+4xy+4y2-1
(3) (a+b+c)2
=[(a+b)+c]2 =a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
华师大版数学八上13.5《因式分解》(第2课时)ppt课件
分式方程
在解分式方程时，因式分解可以帮助 我们消去分母，将方程化简为更易于 求解的形式。
在几何图形中的应用
面积与周长的计算
在几何图形中，因式分解可以帮助我们计算图形的面积和周长，特别是对于一 些不规则的图形。
分割与拼接
通过因式分解，可以将一个复杂的几何图形分割或拼接成更简单的图形，从而 简化问题的解决过程。
简化代数式
通过因式分解，可以将复 杂的代数式化简为更易于 处理的形式，从而简化计 算过程。
约分与通分
因式分解可以帮助我们进 行分式的约分和通分，使 分数的计算更加简便。
求解代数方程
在求解代数方程时，因式 分解是一种常用的方法， 可以将方程化简为更易于 求解的形式。
在解方程中的应用
一元二次方程
对于一元二次方程，因式分解是一种 常用的解法，可以将方程化简为更易 于求解的形式。
十字相乘法是利用十字相乘法将二次多项式化为两个一次多项
式的乘积的一种因式分解方法。
步骤
02
首先观察多项式的各项系数，然后尝试将某些系数相乘得到其
他系数，使得乘积之和等于原多项式的常数项。
例子
03
$2x^2 - 5x - 3 = (2x + 1)(x - 3)$。
04 因式分解的应用
在代数式中的应用
05 练习与巩固
基础练习题
1. 把下列各式因式分解
$(x + 1)(x - 3) + 2$
3. 因式分解
$a^2 - 4ab + 4b^2$
2. 利用因式分解计算
$202^2 - 202 times 196 + 98^2$
4. 利用因式分解解方程
$x^2 - 4x = 0$
在解分式方程时，因式分解可以帮助 我们消去分母，将方程化简为更易于 求解的形式。
在几何图形中的应用
面积与周长的计算
在几何图形中，因式分解可以帮助我们计算图形的面积和周长，特别是对于一 些不规则的图形。
分割与拼接
通过因式分解，可以将一个复杂的几何图形分割或拼接成更简单的图形，从而 简化问题的解决过程。
简化代数式
通过因式分解，可以将复 杂的代数式化简为更易于 处理的形式，从而简化计 算过程。
约分与通分
因式分解可以帮助我们进 行分式的约分和通分，使 分数的计算更加简便。
求解代数方程
在求解代数方程时，因式 分解是一种常用的方法， 可以将方程化简为更易于 求解的形式。
在解方程中的应用
一元二次方程
对于一元二次方程，因式分解是一种 常用的解法，可以将方程化简为更易 于求解的形式。
十字相乘法是利用十字相乘法将二次多项式化为两个一次多项
式的乘积的一种因式分解方法。
步骤
02
首先观察多项式的各项系数，然后尝试将某些系数相乘得到其
他系数，使得乘积之和等于原多项式的常数项。
例子
03
$2x^2 - 5x - 3 = (2x + 1)(x - 3)$。
04 因式分解的应用
在代数式中的应用
05 练习与巩固
基础练习题
1. 把下列各式因式分解
$(x + 1)(x - 3) + 2$
3. 因式分解
$a^2 - 4ab + 4b^2$
2. 利用因式分解计算
$202^2 - 202 times 196 + 98^2$
4. 利用因式分解解方程
$x^2 - 4x = 0$
华师大版八年级上运用完全平方公式因式分解最新PPT22页
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
Байду номын сангаас
华师大版八年级上运用完全平方公式 因式分解最新
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
Байду номын сангаас
华师大版八年级上运用完全平方公式 因式分解最新
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯