8-2多元函数的偏导数
多元函数与偏导数
多元函数与偏导数多元函数是指含有多个自变量的函数。
在数学分析中，我们经常研究多元函数的性质和变化规律。
其中，偏导数是一种重要的工具，用于描述多元函数在各个自变量方向上的变化率。
一、多元函数的定义多元函数是指具有多个自变量的函数，可以表示为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn为自变量，f表示根据这些自变量求得的函数值。
多元函数可以有不同的定义域和值域，可以是实数域或复数域上的。
二、偏导数的定义偏导数是用来描述多元函数在某个自变量方向上的变化率。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，偏导数可以分为两种类型：偏导数和高阶偏导数。
1. 一阶偏导数对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，它的第i个自变量的偏导数表示为∂f/∂xi，即在自变量xi方向上的变化率。
2. 高阶偏导数多元函数的高阶偏导数是指对一阶偏导数再次进行偏导数运算所得到的结果。
例如，多元函数的二阶偏导数表示为∂²f/∂x²，表示对自变量x的一阶偏导数再次取导数。
三、偏导数的计算偏导数的计算过程相对于一元函数而言稍微复杂一些，需要注意的是，计算偏导数时应将其他自变量视为常数。
1. 一阶偏导数的计算对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，计算一阶偏导数时，需要将其他自变量视为常数，只对当前自变量求导。
2. 高阶偏导数的计算高阶偏导数的计算过程与一阶偏导数类似，多次对不同自变量进行偏导数运算即可。
四、偏导数的应用偏导数在数学分析和实际问题求解中有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 求取函数的极值点通过计算多元函数的偏导数，可以求取函数的极值点。
极值点一般对应着函数的驻点，即一阶偏导数为零的点。
2. 判定函数的连续性通过研究偏导数的连续性，可以判断多元函数是否连续。
若偏导数在某点处连续，则函数在该点处连续。
3. 研究函数的曲线和表面偏导数可以描述多元函数曲线和表面的变化率和切线方向，通过研究偏导数，可以揭示函数图像的性质和特点。
偏导数与多元函数学习偏导数与多元函数的计算方法
偏导数与多元函数学习偏导数与多元函数的计算方法偏导数与多元函数的计算方法偏导数和多元函数是微积分学中重要的概念，它们在解决实际问题中扮演着重要角色。
本文将介绍偏导数的概念、计算方法以及在多元函数中的应用。
一、偏导数的概念在多元函数中，我们常常需要研究函数在某一变量上的变化率。
偏导数就是用来描述多元函数在某一变量上的变化率的工具。
简单来说，偏导数就是将多元函数对某一变量求导时，将其他变量视为常数而求得的导数。
二、偏导数的计算方法1. 一阶偏导数的计算方法对于多元函数f(x₁, x₂, ..., xn)，其中xi表示自变量，i=1,2,...,n，如果存在这n个偏导数∂f/∂xi，我们称之为一阶偏导数。
计算一阶偏导数的方法是分别将函数对每个变量求导，其他变量视为常数。
2. 二阶偏导数的计算方法在计算二阶偏导数时，我们可以先求得一阶偏导数，然后再对一阶偏导数进行求导。
例如，对于函数f(x, y)，我们首先求得∂f/∂x和∂f/∂y，然后再对这两个一阶偏导数分别求导，得到二阶偏导数。
3. 高阶偏导数的计算方法类似地，对于高阶偏导数，我们可以通过多次对一阶或二阶偏导数进行求导得到。
高阶偏导数的计算方法和一阶、二阶偏导数的方法类似，只是求导的次数更多。
三、多元函数中的应用偏导数在实际问题的求解中有广泛的应用。
下面我们介绍一些常见的应用场景。
1. 求曲线的斜率在平面直角坐标系中，对于函数f(x)来说，其导数f'(x)表示曲线在某一点的斜率。
类似地，在多元函数中，一阶偏导数表示在某一点上函数曲面的切平面的斜率。
2. 极值点的判定对于一个多元函数，我们常常需要确定其极值点。
通过对函数的一阶和二阶偏导数进行分析，我们可以判定极值点是极大值还是极小值。
3. 泰勒级数的展开泰勒级数是多项式对函数的一种逼近方法。
通过对多元函数进行泰勒级数展开，我们可以在某一点附近用多项式逼近原函数，从而简化问题求解。
四、总结本文对偏导数与多元函数的学习进行了介绍，包括偏导数的概念、计算方法以及在多元函数中的应用。
偏导数的定义与计算方法
偏导数的定义与计算方法偏导数是数学中的一个重要概念。
它可以在多变量函数中反映出每个变量对函数的影响程度。
偏导数的计算方法和一元函数的导数有所不同，下面将详细介绍偏导数的定义、性质以及计算方法。
一、偏导数的定义在多元函数中，每个自变量的取值都会影响函数值的大小。
因此，在计算偏导数时，需要将其他自变量看作常数，只考虑某一个自变量对函数的影响。
对于一个函数f(x1,x2,...xn)，对于自变量xi的偏导数定义为：∂f/∂xi=lim (Δxi→0) (f(x1,x2,...,xi+Δxi,...xn)-f(x1,x2,...,xi,...xn))/Δxi其中，Δxi表示自变量xi的增量，是一个很小的数。
当Δxi趋近于0时，称之为f对xi的偏导数。
二、偏导数的性质1. 偏导数存在性对于连续的多元函数，偏导数一定存在。
但对于非连续的函数，偏导数可能不存在。
2. 二阶偏导数如果一个函数的一阶偏导数存在，则可以进行二次偏导数的计算。
二次偏导数的计算方法和一次偏导数类似，只需要在一次偏导数的式子中再次取偏导数即可。
3. 高阶偏导数类似于二次偏导数，多元函数的任意阶偏导数也可以进行计算。
高阶偏导数的符号和计算方法与一阶偏导数相同。
4. 取偏导数的顺序不同的偏导数的计算顺序有可能会影响计算结果。
例如，f(x,y)=x^2y^2，如果先对x求偏导数，再对y求偏导数，得到的结果为：∂f/∂x=2xy^2，∂f/∂y=2x^2y如果先对y求偏导数，再对x求偏导数，得到的结果为：∂f/∂y=2xy^2，∂f/∂x=2x^2y由于偏导数的计算顺序不同，导致结果也不同。
因此，在取偏导数时，需要注意顺序。
三、偏导数的计算方法1. 公式法偏导数的计算可以使用公式法。
首先需要将待求的函数f(x1,x2,...xn)展开为多项式形式，然后按照偏导数的定义进行计算。
例如，对于函数f(x,y)=x^2+y^2，需要求∂f/∂x和∂f/∂y。
多元函数与偏导数
多元函数与偏导数多元函数是指含有多个自变量的函数。
在数学分析中，我们经常会遇到多元函数的求导问题，其中偏导数是一种重要的工具。
本文将介绍多元函数的基本概念以及偏导数的定义和性质。
一、多元函数的概念多元函数是指含有多个自变量的函数。
常见的多元函数有二元函数和三元函数，形如 f(x, y) 或 f(x, y, z)。
例如，对于一个二元函数f(x, y)，它可以表示为平面上的一个函数，其中 x 和 y 是平面上的两个坐标。
同样地，对于一个三元函数 f(x, y, z)，它可以表示为空间中的一个函数，其中 x、y 和 z 是空间中的三个坐标。
二、偏导数的定义偏导数是多元函数的导数在某一个变量上的特殊形式。
在计算偏导数时，我们要将函数中除了所求导变量外的其他自变量视为常数，并对所求导变量进行求导。
例如，对于二元函数 f(x, y)，偏导数可以表示为∂f/∂x 和∂f/∂y，它们分别表示在 x 方向和 y 方向上的变化率。
同样地，对于三元函数 f(x, y, z)，我们可以计算∂f/∂x、∂f/∂y 和∂f/∂z，分别表示在 x 方向、y 方向和 z 方向上的变化率。
三、偏导数的计算偏导数的计算方法与一元函数的导数计算方法类似，我们可以使用极限的定义来计算偏导数。
例如，对于二元函数 f(x, y)，我们可以计算∂f/∂x 和∂f/∂y，并分别表示为：∂f/∂x = lim(h→0) [f(x+h, y) - f(x, y)] / h，∂f/∂y = lim(k→0) [f(x, y+k) - f(x, y)] / k。
同样地，对于三元函数 f(x, y, z)，我们可以计算∂f/∂x、∂f/∂y 和∂f/∂z，分别表示为：∂f/∂x =lim(h→0) [f(x+h, y, z) - f(x, y, z)] / h，∂f/∂y = lim(k→0) [f(x, y+k, z) - f(x, y, z)] / k，∂f/∂z = lim(l→0) [f(x, y, z+l) - f(x, y, z)] / l。
微积分：8.2 偏导数
y f (x)
T
f ( x0 ) tan ,(为倾角)
M
C
•
O
x0
x
二元函数偏导数的几何意义
设M0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面
z f ( x, y) 上的一点, 过点M0
作平面 y y0 , 此平面与曲面 相交得一曲线, 曲线的方程为
z f ( x, y),
一元函数可导
连续，
多元函数偏导数存在
连续，
xy2
例
设
z
f
( x,
y)
x2
y4
0
x2 y2 0 x2 y2 0
解 函数在(0,0)可偏导，但是
lim ( x, y)(0,0)
xy2 x2 y4
沿 xky2
lim
y0
ky2 k2 y4
y2 y4
k k2 1
与k有关, 此极限不存在，
2u x 2
a 2e ax
cos
by,
2u y2
b2eax
cos by,
2u abeax sinby xy
2u abeax sin by. yx
在一定条件下，混合偏导数相等！
定理 如果函数 z f ( x, y) 的两个二阶混合偏
导数 fxy( x, y)与f yx( x, y) 在区域D内连续，那么在 该区域内
z y
3x
2y
z
y (1, 2)
解2 z y2 x2 6 x 4
先求后代 先代后求
z x (1, 2)
z
1 3y y2,
x1
z y (1, 2)
求f ( x, y, z) (z a xy )sinln x2 在点(1,0,2)处的 三个偏导数.
多元函数求导法则公式
多元函数求导法则公式1.偏导数：偏导数是多元函数在其中一点上对其中一个自变量的导数，可以通过对该自变量求导来得到。
偏导数的计算方法与一元函数的导数计算类似，只需要将其他自变量视为常数。
记多元函数为f(x1, x2, ..., xn)，则对第i个自变量的偏导数表示为∂f/∂xi。
具体的计算公式如下：- 对于常数函数：如果f(x1, x2, ..., xn) = C，则对任何xi，偏导数都是0。
- 对于一次多项式函数：如果f(x1, x2, ..., xn) = a1x1 + a2x2+ ... + anx_n，则对任何xi，∂f/∂xi = ai。
- 对于乘积函数：如果f(x1, x2, ..., xn) = g(x1, x2, ...,xn)h(x1, x2, ..., xn)，则对任何xi，有∂f/∂xi = h(x1, x2, ..., xn) * (∂g/∂xi) + g(x1, x2, ..., xn) * (∂h/∂xi)。
2.全微分：全微分是多元函数在其中一点上沿所有自变量变化时的变化率，由偏导数组成的线性函数。
全微分的符号为df。
记多元函数为f(x1, x2, ..., xn)，则全微分表示为df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn。
3.链式法则：链式法则是多元函数求导中经常使用的方法，用于计算复合函数的导数。
假设有两个函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过链式法则计算。
具体公式如下：dy/dx = (dy/du) * (du/dx)4.高阶偏导数：高阶偏导数指的是对多元函数的偏导数再次求导的过程。
对于二阶偏导数，可以通过对一级偏导数再次求导得到。
具体的计算方法为，先计算一级偏导数，然后对一级偏导数再次求导。
记二阶偏导数为∂²f/∂x²，则有∂²f/∂x²=∂/∂x(∂f/∂x)5.性质：多元函数的偏导数遵循以下性质：-对自变量求偏导，得到的结果是一个函数。
高等数学8-2偏导数
内容小结
1. 偏导数的概念及有关结论
• 定义; 记号; 几何意义
• 函数在一点偏导数存在
函数在此点连续
• 混合偏导数连续
与求导顺序无关
2. 偏导数的计算方法
先代后求
• 求一点处偏导数的方法 先求后代 利用定义
• 求高阶偏导数的方法
逐次求导法
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
31
思考与练习 P73 题 5 , 6
d dy
f
(0,
y)
y
0
32
P73 题6
(1)
z x
x
1 y2
,
z y
x
2y y2
2z x2
(x
1 y2
)2
,
2z x y
(x
2y y2
)2
,
2z y2
2(x y2 ) (x y2)2
(2) z yx y1, z x y ln x
z f (x, y) 由一x 元 x函 数导
数的几何意义：
x
z
= tan
y
M
0
x =x0 (x , y )
.
y
.
19
几何意义: 偏导数 f x ( x0 , y0 )就是曲面被平面 y y0所截得 的曲线在点M0处的切线M0Tx对 x轴的斜率. 偏导数 f y ( x0 , y0 )就是曲面被平面 x x0所截得 的曲线在点M0处的切线M0Ty对 y轴的斜率.
fx (x, y)
y
x4
4x2y2 (x2 y2)2
多元函数与偏导数多元函数的偏导数和极值问题
多元函数与偏导数多元函数的偏导数和极值问题多元函数与偏导数多元函数是指自变量不只是一个，而是多个的函数。
在多元函数中，我们可以通过偏导数来研究函数的变化趋势和极值问题。
本文将介绍多元函数的偏导数和极值问题，并探讨其应用。
一、多元函数的偏导数多元函数的偏导数是指只对其中一个自变量求导，将其他自变量视为常数的导数。
对于多个自变量的情况，我们可以分别对每个自变量求偏导数。
以一个二元函数为例，设函数为f(x, y)，其中x和y为自变量。
我们分别对x和y求偏导数得到：∂f/∂x 和∂f/∂y。
二、偏导数的几何意义在单变量函数中，导数可以表示函数在某一点的切线斜率。
而在多元函数中，偏导数也有类似的几何意义。
对于偏导数∂f/∂x，可以理解为函数在自变量x方向上的变化率。
具体而言，在函数曲面上，当自变量x发生微小变化时，函数值的变化量与x的变化量之比即为∂f/∂x。
同样，∂f/∂y表示函数在自变量y方向上的变化率。
通过求偏导数，我们可以描绘出函数曲面在不同自变量方向上的变化率，从而更好地理解函数的性质。
三、偏导数的计算方法对于多元函数，我们可以使用基本的微积分规则来计算偏导数。
以二元函数为例，设函数为f(x, y)，我们可以按照以下步骤计算它的偏导数：1. 对自变量x求导，将y视为常数，得到∂f/∂x。
2. 对自变量y求导，将x视为常数，得到∂f/∂y。
同样的方法可以推广到更多自变量的情况。
四、多元函数的极值问题在求解多元函数的极值问题时，我们需要求解函数的极值点，即使得函数取得最大值或最小值的自变量取值。
在单变量函数中，可以通过求导数并令导数为零来解决极值问题。
而在多元函数中，需要使用偏导数来解决。
对于二元函数f(x, y)，我们可以通过以下步骤来求解其极值：1. 找到函数的偏导数∂f/∂x 和∂f/∂y。
2. 令偏导数∂f/∂x 和∂f/∂y 分别等于零，解得极值点(x*, y*)。
3. 对于极值点(x*, y*)，利用二阶偏导数来判断其为极大值点还是极小值点。
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四、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 z z f x ( x, y) , f y ( x, y) x y 若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是
z = f ( x , y )的二阶偏导数 . 按求导顺序不同,
有下列四个二阶偏导数:
z 2z z 2z ( ) f x y ( x, y) ( ) 2 f x x ( x , y ); y x x y x x x
x kx k lim 2 2 x 0 x ( kx) 1 k2
其值随 k 的不同而变化，
xy lim f ( x , y ) lim 2 不存在. 2 x 0 x 0 x y
y 0 y 0
从而 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
xy , 2 2 (方法2) z f ( x , y ) x y , 0
f x ( x, y)
x4 4 x 2 y2 y4 y , 2 2 2 (x y )
x2 y2 0
0,
x2 y2 0
f y ( x, y)
同理,关于自变量y的偏导数也不存在 .
注 对于二元函数： 可偏导
连续
xy x2 y2 , 例3 设 f ( x , y ) 0,
x2 y2 0 x2 y2 0
,
求 f x (0,0), f y (0,0)，并讨论f ( x , y )在(0,0)处的连续性.
在点( x0 , y0 )处可(偏)导.
z 是一个整体记号，不能拆分 偏导数 4º x z z x x
例1 一定量理想气体的状态方程 p V T (R 为常数) , 求证: 1 V T p RT p RT 2 , 证 p V V V 说明: 此例表明, RT V R V , 偏导数记号是一个 p T p 整体记号, 不能看作
2z
x2 y 2 2 , x y 0, 4 2 例6 设f ( x , y ) x y 2 2 0 , x y 0, 求f ( x , y )的偏导数.
解 当（x , y） (0,0)时， 有
f x ( x, y)
2 xy( x 4 y 2 ) x 2 y 4 x 3 ( x 4 y 2 )2 2 xy( y 2 x 4 ) ( x 4 y 2 )2
z
x 1 1
3y y
2
d z (1, y ) z d y y2 y ( 1, 2)
求证 ） ， 例5 设 z x y ( x 0, 且 x 1
x z 1 z 2z y x ln x y
证
1 y x y 1 x z 1 z x ln x yx ln x y y x ln x y
例2 证明 : 函数z
x 2 y 2 在(0,0)点连续,
但两个偏导数均不存在 .
证 ε 0, 取δ ε ,
则当 ( x 0) ( y 0)
2 2
x 2 y 2 δ时,
便有
x 2 y 2 02 02
x2 y2 δ ε ,
故函数在点 (0,0)处连续.
分子与分母的商 !
p V T RT 1 V T p pV
5º若 f ( x , y0 )为分段函数，分段点为 x0，
则求 f x ( x0 , y0 )时，须用偏导数定义 .
3. 偏导数存在与连续的关系 对于一元函数： 可导 连续 连续
对于多元函数： 可（偏）导
例4 求 z x 3 x y y 在点(1 , 2) 处的偏导数.
解(方法1) 先求后代
z 2x 3 y , x
z 3x 2 y y
2
2
z x (1, 2) z y (1, 2)
(方法2)
先代后求
z
2 x 6x 4 y2
d z ( x ,2) d ( x 2 6 x 4) z x 1 x 1 d x x ( 1, 2) d x
f ( x ,0) f (0,0) 解(方法1) f x (0,0) lim x 0 x x0 0 2 lim x 0 0 x 0 x
同理可求得
f y (0,0) 0.
x 0 y kx 0
lim
f ( x, y)
x 0 y kx 0
lim
xy 2 2 x y
由此可知： f x ( x0 , y0 ) f x ( x , y ) ( x0 , y0 )
f y ( x0 , y0 ) f y ( x , y ) ( x0 , y0 )
2º 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 例如: 三元函数 u = f (x , y , z) 在点(x , y , z) 处对 x 的
x x0
P ( x0 , y0 )
x
z 1 x2 y2 , 例7 求曲线 x 1, 在点(1,1, 3 )处的切线与y轴正向的夹角β
解
根据偏导数的几何意义 ,有
z tanβ y
x 1 y 1
2y 2 1 x
2
2 x 1 y y 1
1 3
π 故 β 6
某邻域U ( P0 )内有定义. 若当固定 y在 y0 ,
z f ( x , y0 ) 在 x x0处的导数存在，即
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) lim x x 0
存在，则称此极限为z f ( x , y )在点 ( x0 , y0 )处 对x 的偏导数，记为
但
f ( x ,0) f (0,0) lim 为分段函数， x x 0
x 0
f ( x ,0)
z
x2 x
lim
x x 0 lim x 0 x x
2
分段点：x 0 故求 f x (0,0)时， o
须用偏导数定义.
y
x
此极限不存在, 故函数在(0,0)点处关于
自变量x的偏导数不存在 .
第八章
第二节 多元函数的偏导数
一、 偏导数的概念 二 、偏导数的计算 三 、偏导数的几何意义 四 、高阶偏导数
一、偏导数的概念
1.引例 弦线的振动问题. 研究弦在点 x0 处的振动 速度与加速度 , 就是将 振幅 中的 x 固定
于 x0 处 , 求
关于
t 的一阶导数与二阶导数.
2. 定义8.6 设函数 z f ( x , y )在点 P0 ( x0 , y0 )的
注 1º偏导函数 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x的（或 y )偏导数都存在 , 称该偏导数为 z = f(x, y) 对自变量x (或y)的偏导函数, 也简称为 偏导数 , 记为
z f ( x, y ) , , z y , f y ( x, y) , f2 y y
2z z z 2z f y x ( x , y ); ( ) 2 f y y ( x , y ) ( ) x y y x y y y
类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于
x y 0,
2
2
x 2 y 2 0,
x y 0,
2 2
x y 0.
2
2
三、偏导数的几何意义
设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x , y ) 上一点,
d f ( x , y0 ) tan dx x x0
x2 y2 0 x y 0
2 2
f ( x ,0) 0,
f (0, y ) 0,
0 0
注 对于二元函数： 可偏导 连续
二、偏导数的计算
由偏导数的定义可知, 偏导数的计算可归结
为一元函数的导数计算.
f x ( x0 , y0 )
f y ( x0 , y0 )
求某个具体 的点处的偏 导数时方便
f (0, Δy ) f (0,0) 0 f y (0,0) lim lim 0. Δy Δy 0 Δy 0 Δy
于是
2 xy( y 2 x 4 ) , 4 2 2 (x y ) f x ( x, y) 0, x2 ( x4 y2 ) , 4 2 2 (x y ) f y ( x, y) 0,
f y ( x, y)
x2( x4 y2 ) x2 y 2 y
( x 4 y 2 )2 2 4 2 x (x y ) . ( x 4 y 2 )2
当( x , y ) (0,0)时， 由偏导数的定义得
f (Δx ,0) f (0,0) 0 f x (0,0) lim lim 0, Δx Δx 0 Δx 0 Δx
y 的一阶偏导数为
( y
nz ) n 1 x y
3 z x2 y . 的二阶偏导数及 例8 求函数 z e 2 y x z z 2z x2 y x2 y x2 y 2e e 解 e y x x2 2 2 2 z z x2 y x2 y z x2 y 2 e 4 e 2e 2 y x y x y
f y ( x0 , y0 ) lim
f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 )
y 0
y
f z 记为 ; f ( y y ) f ( y ) y ( x0d , yf ); 0 0 0 f ( y0 ) lim y ( x0 , y0 ) y 0 y d y y y0