锐角三角函数
锐角函数表
初中锐角三角函数公式表公式有如下几个：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]；sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]；cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]；cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]；cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2；sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2；cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2 。
锐角三角函数是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。
如图：我们把锐角∠A的正弦、余弦、正切和余切都叫做∠A的锐角函数。
锐角三角函数值都是正值正弦。
（sin）等于对边比斜边；余弦（cos）等于邻边比斜边；正切（tan）等于对边比邻边；余切（cot）等于邻边比对边；正割（sec)等于斜边比邻边；余割(cs c)等于斜边比对边。
扩展资料1、同角三角函数间的关系·平方关系：sin^2(A)+cos^2(A)=1·积的关系：sinA=tanA·cosAcosA=cotA·sinAcotA=cosA·cscAtanA·cotA=1·倒数关系：直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,余切等于邻边比对边3、三角函数值（1）特殊角三角函数值（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
（3）锐角三角函数值的变化情况（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0,当角度在0°<∠A<90°间变化时，tanA>0, cotA>0.特殊的三角函数值0°30°45°60°90°0 1/2 √2/2 √3/2 1 ←sinA1 √3/2 √2/2 1/2 0 ←cosA0 √3/3 1 √3 None ←tanANone √3 1 √3/3 0 ←cotA。
锐角三角函数
锐角三角函数锐角三角函数指的是在单位圆上，与单位圆心的射线所夹角度小于90°的三角函数。
常见的锐角三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）以及它们的倒数函数（csc、sec、cot）。
锐角三角函数在数学、物理、工程等领域具有重要的应用。
正弦函数 (sin)正弦函数是指在单位圆上，与x轴正方向的夹角所对应的纵坐标。
可以用以下公式表示：sin(θ) = 对边 / 斜边正弦函数图示正弦函数图示在三角函数中，正弦函数具有以下特点： - 值域在[-1,1]之间； - 奇函数，即sin(-θ) = -sin(θ)； - 周期为2π，即sin(θ + 2π) = sin(θ)。
余弦函数 (cos)余弦函数是指在单位圆上，与x轴正方向的夹角所对应的横坐标。
可以用以下公式表示：cos(θ) = 邻边 / 斜边余弦函数图示余弦函数图示在三角函数中，余弦函数具有以下特点： - 值域在[-1,1]之间； - 偶函数，即cos(-θ) = cos(θ)； - 周期为2π，即cos(θ + 2π) = cos(θ)。
正切函数 (tan)正切函数是指在单位圆上，与x轴正方向的夹角所对应的纵坐标与横坐标的比值。
可以用以下公式表示：tan(θ) = 对边 / 邻边正切函数图示正切函数图示在三角函数中，正切函数具有以下特点： - 值域为全体实数； - 周期为π，即tan(θ + π) = tan(θ)。
倒数函数 (csc、sec、cot)在锐角三角函数中，除了正弦函数、余弦函数和正切函数，倒数函数也是常见的。
倒数函数分别为余弦函数的倒数 (csc)、正弦函数的倒数 (sec) 以及正切函数的倒数 (cot)。
倒数函数的定义如下：csc(θ) = 1 / sin(θ)sec(θ) = 1 / cos(θ)cot(θ) = 1 / tan(θ)这些倒数函数在数学中常用于简化关系式、求解方程等。
应用领域锐角三角函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。
锐角三角函数
关系式
李善兰三角函数展开式 tanα·cotα=1 希腊三角函数公式 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 1+(tanα)^2=(secα)^2 1+(cotα)^2=(cscα)^2 锐角三角函数诱导公式 直角三角形中的锐角三角形函数sin（－α）=－sinα cos（－α）=cosα tan（－α）=－tanα
三角函数值
取值范围
特殊角
变化情况
特殊角的三角函数值如下 ： 注：非特殊角的三角函数值，请查三角函数表
θ是锐角： 0 0 tanθ>0 cotθ>0
1.锐角三角函数值都是正值。 2.当角度在0°～90°间变化时， 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） ； 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 正割值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余割值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。 3.当角度在0°≤A≤90°间变化时，0≤sinA≤1, 0≤cosA≤1；当角度在0°0。
锐角三角函数
数学函数
01 相关概念
03 关系式
目录
02 三角函数值
锐角三角函数是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。我们把锐角∠A的正弦、余弦、正切和余切都叫做 ∠A的锐角函数。
相关概念
图1直角三角形锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割 （csc）都叫做角A的锐角三角函数。初中学习的锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初 中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到如图1所示的直角三角形中，则 锐角三角函数可表示如下：
锐角的三角函数PPT
余弦函数的符号为cos，表示为cos(θ)， 其中θ为锐角。
02
余弦函数的图像是一条周期为2π的余弦 曲线，表示在直角三角形中，邻边的长 度与斜边的长度的比值在[-1,1]之间周 期性变化。
04
正切函数的定义
01
正切函数：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)
02
正切函数的定义域：(0, π/2)
余弦函数的值域：[-1, 1]
余弦函数的图像：一个周期为2π的周 期函数，图像关于y轴对称
余弦函数的奇偶性：偶函数，f(x) = f(-x)
余弦函数的单调性：在[0, π/2]上是 增函数，在[π/2, π]上是减函数
余弦函数的导数：f'(x) = -sin(x)
正切函数的性质
01
02
03
04
05
值域：正弦函数的值域是[-1, 1]
奇偶性：正弦函数是奇函数， 即f(x) = -f(-x)
周期性：正弦函数的周期是 2π，即f(x + 2π) = f(x)
最值：正弦函数的最大值是1， 最小值是-1
图像：正弦函数的图像是一 条正弦曲线，关于原点对称
余弦函数的性质
定义：余弦函数是直角三角形中的一 个角与对边和斜边的比值
03
正切函数的值域：(0, ∞)
04
正切函数的图像：在平 面直角坐标系中，正切 函数的图像是一条以原 点为中心的对称曲线， 在y轴右侧的部分为单调 递增，在y轴左侧的部分 为单调递减。
Part Two
锐角三角函数的性 质
正弦函数的性质
定义：正弦函数是直角三角 形中的一个角（锐角）的正 弦值与对边长度的比值
06
正切函数是锐 角三角函数中 的一种，表示 在一个直角三 角形中，对边 （opposite） 的长度与邻边 （adjacent） 的长度之比。
锐角三角函数
锐角三角函数知识要点一、锐角三角函数1. 正弦及其公式如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比也随之确定，这个比叫做∠A 的正弦.记作sinA ，即ca斜边的对边∠A sinA ==.2. 余弦及其公式如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果锐角A 确定，那么∠A 的邻边与斜边的比也随之确定，这个比叫做∠A 的余弦.记作cosA ，即cb斜边的邻边∠A cosA ==.3. 正切及其公式如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边的比也随之确定，这个比叫做∠A 的正切.记作tanA ，即ba∠A的斜边∠A的对边tanA ==.4. 锐角三角函数的定义锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数.对于一个锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以sinA 是∠A 的函数.同样，cosA 、tanA 也是∠的函数，其中∠A 是自变量，其取值范围是0°＜∠A ＜90°，sinA 、cosA 、tanA 分别是对应的函数.由于在直角三角形中，斜边大于直角边，且各边长均为正数，所以：0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1，tanA ＞0.二、特殊三角函数锐角α 三角函数30°45°60°sinA2122 23 cosA23 22 21 tanA33 13例题精讲第一部分：正弦函数【例1】 （2011桂林）如图，已知Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA 的值为（ ）A ．43 B ．34 C ．53 D ．54【例2】（2012滨州）把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦函数值（ ）A ．不变B ．缩小为原来的31C ．扩大为原来的3倍D ．不能确定【例3】 （2007宿迁）如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠ABC 等于（ ）A ．5B ．552 C ．55 D ．32【例4】 （2009广州）已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为65πcm 2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，如图所示，则sinθ的值为（ ） A ．125 B ．135 C ．1310 D ．1312【例5】 如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，若AC=4，BC=3，则sin ∠ACD 的值为 ．【例6】 把含30°角的三角板ABC ，绕点B 逆时针旋转90°到三角板DBE 位置（如图所示），求sin ∠ADE 的值．第二部分：余弦函数【例7】 （2011来宾）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则∠A 的余弦值为（ ）A ．53 B ．43 C ．54 D ．34【例8】 （2006湖北）如图，直角三角板的直角顶点0在直线AB 上，斜边CD ∥AB ，则cosα= ．第三部分：正切函数【例9】 （2011苏州）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分別是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（ ） A ．43 B ．34 C ．53 D ．54【例10】 （2011黔东南州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上的中线，若BC=6，AC=8，则tan ∠ACD 的值为（ ）A ．53 B ．54 C ．34 D ．43【例11】 （2008泰安）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是（ ） A ．724B ．37C ．247D ．31 【例12】（2008桂林）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，E 为AB 上一点且AE ：EB=4：1，EF ⊥AC 于F ，连接FB ，则tan ∠CFB 的值等于（ ）A ．33B ．332C ．335D ． 35【例13】 （2005泰安）直角三角形纸片的两直角边AC 与BC 之比为3：4．（1）将△ABC 如图1那样折叠，使点C 落在AB 上，折痕为BD ；（2）将△ABD 如图2那样折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ． 则tan ∠DEA 的值为（ ）A ．43 B ．34 C ．2519 D ．54第四部分：特殊角的三角函数值【例14】 （2011烟台）如果△ABC 中，sinA=cosB=22，则下列最确切的结论是（ ） A ．△ABC 是直角三角形 B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形 D ．△ABC 是锐角三角形【例15】（2002杭州）在△ABC 中，∠A 和∠B 都是锐角，且sinA=21，cosB=22，则△ABC 三个内角的大小关系为（ ）A ．∠C ＞∠A ＞∠B B ．∠B ＞∠C ＞∠AC ．∠A ＞∠B ＞∠CD ．∠C ＞∠B ＞∠A【例16】（2010济南）如图所示，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点M 、N 分别为OB 、OC 的中点，则cos ∠OMN 的值为（ ）A ．21B ．22C ．23 D ．1【例17】（2009贺州）已知a=3，且（4tan 45°-b ）2+0213=-+c b ，以a ，b ，c 为边组成的三角形面积等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【例18】（2007襄阳）计算：cos 245°+tan60°•cos30°等于（ ） A ．1 B ．2 C ．2D ．3【例19】（2006潍坊）计算：tan60°+2sin45°-2cos30°的结果是（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ． 1 【例20】 （2012南昌）计算：sin30°+cos30°•tan60°【例21】（2011深圳）计算：2-1+3cos30°+|-5|-(π-2011)0．【例22】 （2009芜湖）（-1）2009×（21-）-2+（-3π）0+|1-sin60°|【例23】（2011兰州）已知α是锐角，且sin （α+15°）=23，计算 8-4cosα-（π-3.14）0+tanα+(31)-1的值．解直角三角形知识要点一、锐角三角函数关系：（1）平方关系： sin 2A + cos 2A = 1； （2）互为余角的两个三角函数关系： 若∠A+∠B=∠90，则sinA=cosB,cosA=sinB.二、解直角三角形的应用中的几个概念 1．仰角、俯角如图1所示，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在不平线下方的角叫做俯角．2．水平距离、垂直距离、坡面距离如图2所示，BC 代表水平距离，AC 代表垂直距离，AB 代表坡面距离．铅垂线仰角 俯角视线 水平线视线图 1ABC垂 直 距 离 坡面距离水平距离 图23．坡度、坡角如图3所示，把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母i 表示，即lhi =，坡度一般写成l h :的形式，如⎪⎭⎫ ⎝⎛==515:1i i 即． 坡面与水平的夹角α叫做坡角，坡角与坡度之间有如下关系：αtan ==lhi .坡度越大，则α角越大，坡面越陡.4．方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于︒90的水平角，叫方向角，如图4，OA ，OB ，OC ，OD 的方向角分别表示北偏东︒60，北偏西︒30，西南方向，南偏东︒20．lhlh i =α图3东南西北 BA︒60︒45C D图4例题精讲第一部分：解直角三角形的实际应用【例1】 某人上坡走了60米，他升高了230米，这坡的坡度是（ ）A ．︒30B ．1:1C ．︒45D ．22 【例2】 小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m ，则他升高了（ ）A ．5200mB ．500mC ．3500mD ．1000m 【例3】 在距电视塔S 米的地面测得塔顶的仰角是α，则塔高是（ ）A ．αsin S B ．αcos SC ．αcot ⋅SD ．αtan ⋅S 【例4】 如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为______米（保留根号）．【例5】 （2010年辽宁省丹东市）如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ） A ．（53332+）m B ．（3532+）m C ． 533m D ．4m【例6】 如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON=30°．公路PQ 上A 处距离O 点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72千米/时的速度行驶时，AB A E D C30°处受噪音影响的时间为( )A ．12秒B ．16秒C ．20秒D ．24秒【例7】 如图，瞭望台AB 高20m ，瞭望台底部B 测得对面塔顶C 的仰角为60°，从瞭望台顶A 测得C 的仰角为45°，已知瞭望台与塔CD 地势高低相同，求塔CD 的高.【例8】 如图所示，水坝的横断面是梯形ABCD ，迎水坡DA 的坡度为1:2.5，背水坡CB 的坡度为1:2，坝高DE为8米，坝顶宽DC 为6米． 求：（1）坝底的宽AB ；（2）1米长的堤坝所需的土石方(体积)．【例9】 如图所示，从塔底同一水平线上的测量仪上，测得塔顶的仰角为︒45，向塔前进了10米（两次测量在塔的同侧），又测得塔顶的仰角为︒60，测量仪器的高为1.5米，求塔高（精确到0.1米）．AEDCB【例10】某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD 的高度．如示意图，由距CD 一定距离的A 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为β，在A 和C 之间选一点B ，由B 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为α．测得A ，B 之间的距离为4米，tan 1.6α=，tan 1.2β=，试求建筑物CD 的高度．【例11】如图所示，在东西方向的海岸线上，有A 、B 两个码头，相距()13100-米，由码头A 测得一只船K在北偏东︒60，由码头B 测得K 在北偏西︒15．求船只K 到海岸线AB 的距离．【例12】如图所示，已知海岛P 的周围18千米的范围内有暗礁，一艘海轮在点A 处测得海岛P 在北偏东︒30方向，向正北航行12千米到达点B 处，又测得海岛P 在北偏东︒45的方向，如果海轮不改变航向，继续向北航行，有没有触礁的危险？ABC GFDEA BM K北北东西ACDBE F β αG【例13】如图，某天然气公司的主输气管道从A 市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A 处测得要安装天然气的M 小区在A 市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C 处，测得小区M 位于C 的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N ，使到该小区铺设的管道最短，并求AN 的长.【例14】如图所示，已知：在山脚C 处测得出顶A 的仰角是︒45，沿着斜角为︒30的斜坡前进300m 到达D ，在D 点测得山顶A 的仰角为︒60．求山高AB ．【例15】如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米. （1）求新传送带AC 的长度；（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，6≈2.45)ABC P东北AB DC第二部分：解直角三角形几何综合题【例16】在ABC ∆中，32sin 90=︒=∠A C ，，那么=B tan （ ） A ．55 B ．25 C ．552 D ．53【例17】菱形的边长为4，有一个内角为︒40，则较短的对角线长是（ ）A ．︒40sin 4B ．︒20sin 4C ．︒20sin 8D ．︒20cos 8 【例18】 已知在等腰ABC ∆中，顶角A 的平分线与对边交于D 点，若AB:BC=13:10，则=∠DAC cos ． 【例19】 三角形三边的长分别为17,32,5，则此三角形最大内角的度数是 ．【例20】一个三角形的一边长为2，这边上的中线长为1，另两边长之和为31+，则这个三角形的面积为（ ）A ．1B ．23 C ．3 D ．43【例21】方程()01242=++-m x m x ，的两根恰好是某直角三角形的两锐角的正弦，则m 的值为（ ）A ．2B ．3C ．2±D ．3±【例22】已知在ABC ∆中，B A C ∠>∠︒=∠，90，且A tan 和B tan 的值是方程013342=+-x x 的两个根，则=∠A ． 【例23】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ⊥DC ，∠C ＝60°，AD ＝4，BC ＝6，求AB 的长．ABC D【例24】 一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F=∠ACB=90°, ∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD 的长．课后练习1．菱形ABCD 的对角形AC=10cm ，BD=6cm ，那么2tanA等于（ ） A ．53 B ．54C ．343D ．345 2．等腰三角形底边长10cm ，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ） A ．135 B ．1312 C ．1310 D ．125 3．在ABC Rt ∆中，31tan ,90=︒=∠A C ，则=B sin ． 4．直角三角形中，一锐角的正切值为125，周长为18，则三边长为 ． 5．如图所示，一树的上段CB 被风折断，树梢着地，与地面成︒30角，树梢着地处B 与树根A 相距6m ，则原来的树高是 ．6．已知在ABC ∆中，3=AB ，AC=4，BC=3，BD 是AC 边上的中线，则BD 的长为 ．A BC7．已知，如图，海岛A 四周20海里范围内是暗礁区.一艘货轮由东向西航行，在B 处测得岛A 在北偏西︒60，航行24海里后到C 处，测得岛A 在北偏西︒30.请通过计算说明，货轮继续向西航行，有无触礁危险？ABC 3060。
锐角三角函数
锐角三角函数在直角三角形ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，∠C为直角。
则定义以下运算方式：sin A=∠A的对边长/斜边长，sin A记为∠A的正弦；sinA＝a/c cos A=∠A的邻边长/斜边长，cos A记为∠A的余弦；cosA＝b/c tan A=∠A的对边长/∠A的邻边长，tanA＝sinA/cosA＝a/ b tan A记为∠A的正切；当∠A为锐角时sin A、cos A、tan A统称为“锐角三角函数”。
sinA＝cosB sinB＝cosA常见三角函数在平面直角坐标系x O y中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为(x,y)。
在这个直角三角形中，y是θ的对边，x是θ的邻边，r是斜边，则可定义以下六种运算方法：基本函数英文表达式语言描述正弦函数Sine sinθ=y/r 角θ的对边比斜边余弦函数Cosine cosθ=x/r 角θ的邻边比斜边正切函数Tangent tanθ=y/x 角θ的对边比邻边余切函数Cotangent cotθ=x/y 角θ的邻边比对边正割函数Secant secθ=r/x 角θ的斜边比邻边余割函数Cosecant cscθ=r/y 角θ的斜边比对边在初高中教学中，主要研究正弦、余弦、正切三种函数。
注：tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。
sinπ/3非常见三角函数除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数，这些运算已趋于淘汰：函数名与常见函数转化关系正矢函数versinθ=1-cosθ余矢函数coversθ=1-sinθ半正矢函数haversθ=(1-cosθ)/2;半余矢函数hacoversθ=(1-sinθ)/2;外正割函数exsecθ=secθ-1外余割函数excscθ=cscθ-1单位圆定义六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。
单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。
锐角三角函数公式大全
锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =4cos³a-3cosa sin3a=3sina-4sin³a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos³a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3/2)²] =4cosa(cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)) 三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 两角和差 cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 和差化积 sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差 sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2 诱导公式 sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (—a)=-tanα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan（π/2＋α）＝－cotα tan（π/2－α）＝cotα tan（π－α）＝－tanα tan（π＋α）＝tanα 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限 万能公式 sinα=2tan(α/2）/［1+tan＾(α/2)］ cosα=［1-tan＾(α/2)］/1+tan＾(α/2)］ tanα=2tan(α/2)/［1-tan＾(α/2)］。
锐角三角函数
锐角三角函数1．对于锐角α，总有 sin 2α+ cos 2α＝ 。
2、 Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=cosB3、tan α＝cosAsinA 4、给出仰角、俯角的定义如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。
右图中的∠1就是仰角， ∠2就是俯角。
1. 互为余角的三角函数关系。
sinA=cos(90º-A) cosA=sin(90º-A)tanA=cot(90º-A) cotA=tan(90º-A)2. 锐角三角形函数随角度的变化规律：当角度在0º—90º间变化时，正弦、正切值随角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦、余切值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）.3. 同角三角函数的关系： sin ²α+cos ²α=1 tan α·cot α=1 tan α= cot α=4. 锐角α的三角函数的取值范围。
0<sin α<1 0<cos α<1 tan α>0 cot α>02、已知a 为锐角，sina=cos500则a 等于（ ） A 20° B 30° C 40° D 50°3、已知tan α＝125，α是锐角，则sin α＝ . 5．已知α为锐角，且sin α=0.7233，则cos （90°－α）=________．6, 若∠A=60°，则化简()21-sinA = 7，Rt △ABC 中，∠C=90°且3cos sin =+B A ，则∠A= 。
8，若Sin22°31′=CosA ，则∠A= 。
9 若Sin 2A+Cos 221°= 1，则∠A= 。
12．2222sin 1sin 2sin 88sin 89+++=… _______． 10．已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，若sin A =552，则cos B 的值等于（ ） A ．51 B ．55 C ．53 D ．1 11．当∠A 是锐角且tan A 的值大于33时，∠A 一定（ ） sin α cos α cos α sin αA ．小于30°B ．大于30°C ．小于60°D ．大于60°12．下列各题中错误的是（ ）A ．sin37°=cos53°B ．sin60°=cos60°C ．cos28°37′=sin61°23′D ．cos α=sin （90－α）13比较大小：①tan21° tan31°， ②Sin21° Cos21°。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第2课时 锐角三角函数
1.掌握余弦、正切的定义.
2.了解锐角∠A 的三角函数的定义.
3.能运用锐角三角函数的定义求三角函数值.
阅读教材P64-65,自学“探究”与“例2”. 自学反馈 学生独立完成后集体订正
①在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c;∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的 ，即cosA= ；∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的 ，即tanA= .
②锐角A 的正弦、余弦、正切叫做∠A 的 .
③在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a=3、b=4，则cosB= ，tanB= .
④在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，则sinA=
（）（）= ，
cosA=
（）（）= ,tanA=
（）（）= . ⑤在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，则sinA= （）（）= ，cosA=
（）（）= ，tanA=
（）（）= . ⑥在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，则sinA= （）（）= ，cosA=
（）（）= ，tanA=
（）（）= .
锐角三角函数是在直角三角形的前提下.
活动1 小组讨论
例1 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.
解:在Rt △ABC 中，根据勾股定理得BC=22AB AC -=221312-=5,
∴sinA=cosB=BC AB =513,cosA=sinB=AC AB =1213,tanA=BC AC =512,tanB=AC BC =12
5
.
利用勾股定理求出第三边，再直接运用三角函数定义即可.
活动2 跟踪训练(独立完成后小组内展示学习成果)
1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 是AB 的中点，若CD=BC ，则tanA= .
2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，c=13，a=12，那么sinA= ，cosA= ，tanA= .
3.在Rt △ABC 中，∠C=90°，c=2，sinB=1
2
，则a= ，b= ,S △ABC= .
均可先求出直角三角形的边长，再用锐角三角函数的关系来做.
活动1 小组讨论
例2 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，tanA=
3
4
，求sinA 和cosB 的值.
解:∵tanA=
BC
AC
, ∴BC=AC ×tanA=8×
34
=6. ∵AB=22BC AC +=2268+=10, ∴sinA=BC AB =610=35,cosB=BC AB =610=3
5
.
先求Rt △ABC 的边长，再求sinA 、cosB 的值.
例3 如图，在△ABC中，AB=15，AC=13，S△ABC=84，求sinA的值. 解:过点C作CD⊥AB于点D.
∵S△ABC=1
2 AB·CD,
∴CD=2
ABC
S
AB
=
284
15
=
56
5
.
在Rt△ACD中，sinA=CD
AC
=
56
5
13
=
56
65
.
求sinA的值，由正弦定义可知，必须在直角三角形中，图中没有直角三角形，应想办法构造，题中又提供了三角形的面积及边AB的长，故可通过C作高CD.
活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
1.在△ABC中，∠C=90°，且tanA=1
3
,则cosB的值是.
2.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB∶BC=2∶5，S△ABC=103，求tanC的值.
活动3 课堂小结
1.本节学习的数学知识，锐角的余弦、正切及锐角三角函数的定义.
2.本节还学到了类比的思想.
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.
【预习导学】
自学反馈
①余弦b
c
正切
a
b
②锐角三角函数
③3
5
4
3
④⑤⑥略
【合作探究1】活动2 跟踪训练
1.
3
2.12
13
5
13
12
5
1
2
【合作探究2】活动2 跟踪训练。