锐角三角函数 (2)
锐角三角函数(第2课时)(课件)九年级数学下册(北师大版)
c
sin
A
=
∠A的对边
斜边
斜边
a =c
b
A
c
cos
A
=
∠A的邻边
斜边
=
b c
斜边
b邻 A 边
谢谢~
B1 A1
B2 A1
B1 A1
B2 A1
B1
（3）如果改变B2在梯子A1B1上的位置呢？
由此你可得出什么结论？
B2
（4）如果改变梯子A1B1的倾斜角的大小呢？
由此你可得出什么结论？
C1 C2
A1
探究新知
（1）Rt△B1A1C1 ∽ Rt△B2A1C2.
（2）相等
∵ Rt△B1A1C1 ∽ Rt△B2A1C2，
=
a c
tan A a a c sin A b c b cos A
若∠A+∠B=90°；一个 锐角的正弦等于它余角的余 弦，sinA=cosB；一个锐角的 余弦等于它余角的正弦；
cosA=sinB.
探究新知
锐角三角函数之间的关系:
(1)同一个角:①商的关系:tanA= sin A ；②平方
关系:sin2A+cos2A=1.
A
B
斜边
∠A的对边
┌ ∠A的邻边 C
结论：在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与 斜边的比, ∠A的邻边与斜边的比也随之确定.
探究新知
核心知识点一： 正弦、余弦的定义
想一想：如图.
（1）直角三角形A1B1C1和直角三角形A1B2C2有什么关系？
（2）A1C1 和 A1C2 有什么关系？ B1C1 和 B2C2 呢？
探究新知
• 定义中应该注意的几个问题: 1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构 造直角三角形). 2.sinA,cosA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦 (习惯省去 “∠”号). 3.sinA,cosA 是一个比值，是直角边与斜边之比.注意比的顺序
初中数学：锐角三角函数(2)
5
求:△ABC的周长.
B
┐
C
A
课内练习
3.如图, ∠ACB=90°CD⊥AB.
() () ()
sin B .
( ) ( ) ( )A
C
┌ DB
4.在上图中,若BD=6,CD=12.求cosA的值.
课内练习
5.如图,分别根据图(1)和图
B
B
(2)求∠A的三个三角函数
3
43
值.
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,
边
➢锐角A的正弦,余弦,正切都叫做∠A的三角函数.
想一想
结论:梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关: sinA越大,梯子越陡;cosA越小,梯子越陡.
如图,梯子的倾 斜程度与sinA和
cosA有关吗?
例题解析
例1 如图:在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6
求:BC的长.
后项 4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角
三角形的边长无关. 5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值
相等,则这两个锐角相等.
初中数学
锐角三角函数(2)
1. 理解锐角三角函数正弦、余弦的意义. 2. 能够运用SinA、CosA表示直角三角形中两 边的比. 3.能利用直角三角形中的边角关系(锐角三角 函数)进行计算.
复习回顾
➢直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函 数——正切函数
➢在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比 值是一个定值,那么这个角的值也随之确定.
C
200
┌
A
B
例题解析
例2.如图:在Rt△ABC中,∠C=900, AC =10, 求:AB, sinB.
24.3.1锐角三角函数2
4 cos A 5 sin A cos A 4 5 tan A 2 cos A 3 sin A cos A 2 3 tan A
3 7
4 5 0.5 1.5 3 原式 2 3 0.5 3.5 7
1.sinA与cosA有何关系？ tanA与cotA的关系？
2.tanA与sinA、cosA之间的关系： cotA与sinA、cosA之间的关系： 商的关系
作者:李先贵(平昌县信义小学)
4
探索一：sinA与cosA的平方和关系
证明
∵∠C=900
a b c
2 2
2
a sin A , c
华东师大版九年级（上册）
第二课时
执教人:李先贵
作者:李先贵(平昌县信义小学) 1
锐角三角函数是如何定义的？
sinA = cosA = tanA = cotA =
A的对边 斜边
A的邻边 斜边
A的对边 A的邻边
A的邻边 A的对边
锐角A的正弦、余弦、和正切、余切统称∠A的三角函数
作者:李先贵(平昌县信义小学)
cotA与sinA、cosA间商的关系
cot A
1 tan A
sin A cos A . cos A sin A
cos A . sin A
a sin A , cos A b , tan A a , b c c sin A a b a c a cos A c c c b b
tan A cot A
B
cot A b . a
c a
┌
tan A cot A 1.
九年级数学《锐角三角函数(2)》教案
反馈练习，加深对锐角三角函数概念的理解。
活动五：全课小结，推荐作业
复习巩固所学知识，并为下一节课做准备。
教学过程设计
问题与情境
师生行为
媒体使用与教学评价
活动一：复习回顾，导入新课：(3分钟)
问题（一）：
1、什么叫做正弦，你能画图说明如何表示吗？
2、30°、45°、60°角的正弦值分别是多少？
教学难点
正弦、余弦、正切概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，用含几个字母的符号组来表示，因此概念是难点．
教学方法
尝试指导，效果回授。
学法指导
构建师生合作的教学模式，创设问题情境，抓住学生的好奇心和求知欲，引导学生主动探究，为学生开创广阔的思维空间，让学生从中发现知识、掌握方法，服务于应用。
教学资源
最后教师布置作业。
【学生行为】
教师提出问题后，学生思考、交流自己的收获．最后学生记录并认真独立完成．
【媒体应用】
课件展示知识总结。
【设计意图】
1、巩固本节课的知识，由锐角三角函数定义可得到解决直角三角形问题的新的途径．
2、巩固本节课所学的知识，并为下节课的学习做准备．
板书设计
课题
余弦、正切的概念：例题分析：
多媒体辅助教学，增大课堂信息量，加强直观性，有利于学生观察、探究。实物投影仪便于学生展示自己的学习成果。
活动流程
活动内容及目的
活动一：复习回顾，导入新课
复习前面所学，为新知学习做好铺垫。
活动二：诱导尝试，探究新知
引导学生类比正弦，探究、理解余弦、正切。
活动三：例题分析，感悟方法
巩固余弦、正切概念，渗透解直角三角形的方法。
【设计意图】
25.2.2锐角三角函数(2)余弦
§25.1 锐角三角函数（2）
——余弦
1、了解锐角三角函数的意义，掌握余弦 的有关概念； 2、会计算直角三角形中，锐角的余弦值。
复习
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°， B 则
1.角：∠A+ ∠B ＝90°
A
┌ C
2.勾股定理（三边关系） AC2 + BC2 = AB2
BC 8k 8 sin A , AB 17 k 17
八仙过海,尽显才能
3 在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,sinA= 5 ,
A
B
C
求AC和BC.
A
在等腰△ABC中 ,AB=AC=13,BC=10, 求sinB,cosB.
C D 老师提示: 过点A作AD垂直于BC于点D. 求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的. B ┌
在梯形ABCD中 ,AD//BC,AB=DC=13,AD=8,BC=18. 求:sinB,cosB.
┌ E
C
D
B
┌ F
C
老师提示: 作梯形的高是梯形的常用辅助,借助它可以转 化为直角三角形.
小结
回顾
在Rt△ABC中
A的对边 = sinA= A的斜边
A的邻边 = cosA= A的斜边
C
2 30.0 2
45.0 3 60.0
cos45°=
2 2
A
1
C
C
1
1 cos60°= 2
特殊值法
控制变量法
自主探究
探究发现：当锐角α越来越大时, 它的余弦值cosα越来越小 且 0＜cosA ＜1
如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，求cosA和cosB的值.
28,1 锐角三角函数 第二课时-九年级数学下册课件(人教版)
A. 3
12
B. 3
6
C. 3
3
D.
3 2
4 如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，∠CAB＝∠ACB， 过点B 作BE⊥AB 交AC 于点E. (1)求证：AC⊥BD； (2)若AB＝14，cos∠CAB＝ 7 ，
8
求线段OE 的长．
(1)证明：∵∠CAB＝∠ACB，∴)， ∴cos α＝ 1 .
2
常见错解：∵方程2x
2－5x＋2＝0的解是x1＝2，x2＝
1 2
，
∴cos α＝2或cos α＝ 1 .忽略了cos α (α 为锐角)
2
的取值范围是0＜cos α＜1.
易错点：忽视锐角三角函数值的范围而致错.
1 如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD，BC 相交于点P， 如果∠DPB＝α，那么 CD 等于( B )
∴ ▱ABCD是菱形．∴AC⊥BD.
(2)解：在Rt△AOB 中，cos ∠OAB＝ AO 7 ，AB＝14，
AB 8
∴AO＝
7 8
AB＝
49 4
.
在Rt△ABE 中，cos ∠EAB＝ AB 7 ，
AE 8
AB＝14，∴AE＝
8 7
AB＝16，
∴OE＝AE－AO＝16－
BC 5
C
（1）
解： AB AC2 BC2 22 32 13,
┌
所以
sin A BC
3
3
13 ,
sin B AC
2
2 13 ,
AB 13 13
AB 13 13
cos A AC 2 2 13 , AB 13 13
tan A BC 3 .
28.1锐角三角函数(第2课时)
BC AB AC 13 12 5 BC 5 B sin A AB 13
2 2 2 2
12
13
A
AC 12 cos A AB 13
倍 速 课 时 学 练
BC 5 tan A AC 12
AC 12 sin B AB 13 BC 5 cos B AB 13 AC 12 tan B BC 5
B
解：∵
BC sin A AB
A
6
BC 5 AB 6 10 sin A 3
又
C
AC AB2 BC2 102 62 8
倍 速 课 时 学 练
AC 4 AC 4 cos A , tan B AB 5 BC 3
练
习
1. 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值． C 解：由勾股定理
2. 在Rt△ABC中，如果各边长都扩大2倍，那么锐角A的正弦值、余 弦值和正切值有什么变化？
解：设各边长分别为a、b、c，∠A的三个三角函数分别为
a b a sin A ， A ， A cos tan c c b
则扩大2倍后三边分别为2a、2c
cos A
斜边
c
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即
A的对边 a tan A A的邻边 b
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
例题示范
3 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sinA＝ 5 ，求 cosA、tanB的值．
义务教育课程标准实验教科书
九年级下册
28.1锐角三角函数（第2课时）
锐角三角函数(第2课时)教案 2022—2023学年人教版数学九年级下册
28.1 锐角三角函数第2课时一、教学目标【知识与技能】1.通过类比正弦函数，理解余弦函数、正切函数的定义，进而得到锐角三角函数的概念；2.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.【过程与方法】通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.【情感态度与价值观】经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力.二、课型新授课三、课时第2课时共4课时四、教学重难点【教学重点】理解余弦、正切概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边的比值、直角边之比是固定值.【教学难点】熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺等.学生：三角尺、铅笔.六、教学过程(一)导入新课（出示课件2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.当∠A确定时，∠A的对边与斜边的比就确定，此时，其他边之间的比是否也确定呢？(二)探索新知知识点一余弦的定义如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D，∠C=∠F=90°，则AC DF=成立吗？为什么？（出示课件4）AB DE学生思考后，师生共同解答：（出示课件5）∵∠A=∠D，∠C=∠F=90°，∴∠B=∠E.从而sinB=sinE，因此AC DF=.AB DE教师归纳：（出示课件6）在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA=.A b c∠=的邻边斜边教师强调：从上述探究和证明过程，可以得到互余两角的三角函数之间的关系：对于任意锐角α，有cos α=sin(90°－α),或sin α=cos(90°－α).（出示课件7）出示课件8，教师对照正弦、余弦的定义，对两个概念注意事项加以强调：1.sinA 、cosA 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形).2.sinA 、cosA 是一个比值（数值）.3.sinA 、cosA 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关.出示课件9，学生独立思考后口答，教师订正.知识点二 正切的定义如图，△ABC 和△DEF 都是直角三角形，其中∠A=∠D ，∠C=∠F=90°，则BC EF AC DF=成立吗？为什么？（出示课件10）学生自主证明，一生板演，教师巡视，并用多媒体展示. 证明：∵∠C=∠F=90°，∠A=∠D ，∴Rt △ABC ∽Rt △DEF. ∴BC AC EF DF =， 即BC EF AC DF=. 教师问：当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值也是唯一确定的吗？（出示课件11）学生独立思考后，师生共同总结：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与邻边的比是一个固定值.（出示课件12）如图：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA.即tanA=a .A A b∠=∠的对边的邻边出示课件14，教师问：如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？学生答：互为倒数.教师问：锐角A 的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？学生答：锐角A 的正切值可以等于1；当a=b 时；可以大于1，当a ＞b 时.出示课件15，学生独立思考后口答，教师订正.知识点三 锐角三角函数的定义出示课件16：锐角A 的正弦、余弦、和正切统称∠A 的锐角三角函数.考点1 已知直角三角形两边求锐角三角函数的值.例 如图，△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA ，cosA ，tanA 的值.（出示课件17）学生思考后，师生共同解答.解：由勾股定理,得2222=106AC AB BC --， 因此，63sin ==105BC A AB =， 84cos 105AC A AB ,===63tan ==.84BC A AC = 师生共同总结：已知直角三角形中的两条边求锐角三角函数值的一般思路是：当所涉及的边是已知时，直接利用定义求锐角三角函数值；当所涉及的边是未知时，可考虑运用勾股定理的知识求得边的长度，然后根据定义求锐角三角函数值．（出示课件18）出示课件19，学生独立思考后口答，教师订正.考点2 已知一边及一锐角三角函数值求函数值.例 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6，3sin 5A =，求cosA,tanB 的值．学生独立思考后，师生共同解答.解：∵在Rt △ABC 中，sin BC A AB=， ∴5610sin 3BC AB A =⨯==. 又22221068AC AB BC =-=-=， ∴4cos 5AC A AB ==，4tan .3AC B BC == 教师强调：在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值，即可求出其它的所有锐角三角函数值.出示课件21，学生独立思考后一生板演，教师订正.(三) 课堂练习（出示课件22-28）练习课件22-28相应题目，约用时15分钟。
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28.1 锐角三角函数（2）主备：简红
一.课时学习目标：
1、掌握余弦、正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的余弦和正切值。
2、能用函数的观点理解余弦和正切。
重点和难点
重点：三角函数定义的理解。
难点：直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系及求三角函数值。
二.课前预习导学：
带着下列问题独立预习.交流研讨课本第77—78页内容：
1. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，当∠A确定时，它的邻边与斜边的比值是
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的，记作。
即cosA＝＝。
2. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，当∠A确定时，它的对边与邻边的比值是
锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的，记作。
即tanA＝＝。
三.预习检测
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝3，则cosA＝________，tanB＝______。
2.在中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则有（）
A．B．C．D．
3. 在中，∠C＝90°，如果那么的值为（）
A．B．C．D．
四. 课堂学习研讨：
第一，小组内交流你的预习收获，并说出你的困惑。
第二，分组汇报预习收获及困惑。
第三，本节内容深入研讨，并整理。
探索新知：
一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比. 对边与邻边的比是否也是一个固定值？
如图：Rt△ABC与Rt△A`B`C`，∠C=∠C` =90o，∠A=∠A‘
那么与有什么关系？
结论：1.在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形
的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值。
2.在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与邻边的比也是一个固定值。
五.课内训练巩固：
1.在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=6,AC=8,则sinA=_____,cosA=_____,tanA=_____。
2.在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=2BC,则sinC=____，cosA=_____,tanA=_____。
3.等腰三角形中，腰长为5，底边长8，则底角的正切值是
A B C D 4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=32
，AC=12，则AB=_____,BC=_____。
5..在Rt △ABC 中，∠C ＝900，下列式子中正确的是（ ）．
A. sinA=sinB
B. sinA=cosB
C. tanA=tanB
D. cosA= cosB
6..在Rt △ABC 中，∠C ＝900，已知a 和A ，则下列关系式中正确的( )
A. c=a·sinA
B. c=A a sin
C. c=a·cosA
D. c=A a
cos
7.如图，菱形ABCD 的对角线AC ＝6，BD ＝8，∠ABD ＝a ，
则下列结论正确的是 ( )
A.54sin =
a B ．53cos =a C ．34tan =a D. tan α=43
8.如图，以直角坐标系的原点O 为圆心，以1为半径作圆，若P 是该圆上第一象限内的点，且OP 与x 轴正方向组成的角为α，则点P 的坐标是__________．
9.两条宽度为1的纸条，交叉重叠在一起，且它们的夹角为α，则它们重叠部分的面积为__________．
六.课后拓展延伸：
1.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且AB ＝5，BC ＝3．
则sin ∠BAC= ；tan ∠ADC= ．
2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D 。
已知AC= 5 ，
BC=2，那么cos ∠ACD 为
3.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB 于D ，若BD ：AD=1：3， 求tan ∠BCD 。
教学后反思：
C A B D。