定值问题知识点专项练习含答案(高考数学提分)
高考数学复习考点题型专题讲解25 定值问题
高考数学复习考点题型专题讲解专题25 定值问题高考定位 在解析几何题目中，有些几何量与参数无关，这类问题被称为定值问题.定值问题是高考的热点问题、难度较大，一般作为压轴题出现.[高考真题](2020·新高考Ⅰ卷改编)已知椭圆C ：x 26＋y 23＝1，点M ，N 在C 上，点A (2，1)且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值. 证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2). 若直线MN 与x 轴不垂直， 设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ， 代入x 26＋y 23＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 于是x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2.①由AM ⊥AN ，得AM →·AN →＝0，故(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0.将①代入上式，可得(k 2＋1)2m 2－61＋2k 2－(km －k －2)4km 1＋2k2＋(m －1)2＋4＝0，整理得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0.因为A (2，1)不在直线MN 上， 所以2k ＋m －1≠0， 所以2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1.所以直线MN 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23－13(k ≠1).所以直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13.若直线MN 与x 轴垂直， 可得N (x 1，－y 1). 由AM →·AN →＝0，得(x 1－2)(x 1－2)＋(y 1－1)(－y 1－1)＝0. 又x 216＋y 213＝1，所以3x 21－8x 1＋4＝0.解得x 1＝2(舍去)，或x 1＝23.此时直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13.令Q 为AP 的中点，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt△ADP 的斜边， 故|DQ |＝12|AP |＝223.若D 与P 重合，则|DQ |＝12|AP |.综上，存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，使得|DQ |为定值.样题1(2022·厦门二模改编)已知抛物线C ：y 2＝4x ，点P (1，2).过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ，设O 为坐标原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值.证明 由题意，可知直线l 的斜率存在，且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0，Δ＝(2k －4)2－4k 2>0，得k <0或0<k <1. 则x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k2，直线PA 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)， 令x ＝0，得M 的纵坐标y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2， 同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2， 由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，得λ＝1－y M ，μ＝1－y N ， 所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N ＝x 1－1（k －1）x 1＋x 2－1（k －1）x 2＝1k －1·2x 1x 2－（x 1＋x 2）x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ为定值.样题2(2022·湖南六校联考改编)已知双曲线C ：x 2－y 2＝1.已知点A 是C 上一定点，过点B (0，1)的动直线与双曲线C 交于P ，Q 两点，记k AP ，k AQ 分别为直线AP ，AQ 的斜率，若k AP ＋k AQ 为定值λ，求点A 的坐标及实数λ的值.解 设A (m ，n )，过点B 的动直线为y ＝tx ＋1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由⎩⎨⎧x 2－y 2＝1，y ＝tx ＋1，得(1－t 2)x 2－2tx －2＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－t 2≠0，Δ＝4t 2＋8（1－t 2）>0，x 1＋x 2＝2t 1－t2，x 1x 2＝－21－t2， 由1－t 2≠0，且Δ>0，得t 2<2且t 2≠1. 因为k AP ＋k AQ ＝λ， 所以y 1－n x 1－m ＋y 2－nx 2－m＝λ， 即tx 1＋1－n x 1－m ＋tx 2＋1－nx 2－m＝λ，化简得(2t －λ)x 1x 2＋(－mt ＋1－n ＋λm )(x 1＋x 2)－2m ＋2mn －λm 2＝0， 所以(2t －λ)·－21－t 2＋(－mt ＋1－n ＋λm )·2t 1－t 2－2m ＋2mn －λm 2＝0，化简得m (λm －2n )t 2＋2(λm －n －1)t ＋2λ－2m ＋2mn －λm 2＝0， 由于上式对无穷多个不同的实数t 都成立，所以⎩⎨⎧m （λm －2n ）＝0，λm －n －1＝0，2λ－2m ＋2mn －λm 2＝0.如果m ＝0，那么n ＝－1，此时A (0，－1)不在双曲线C 上，舍去， 所以m ≠0，所以λm ＝2n ＝n ＋1， 所以n ＝1，代入2λ－2m ＋2mn －λm 2＝0， 得2λ＝λm 2，因为λ＝2nm≠0，所以m 2＝2，得m ＝±2， 此时A (±2，1)在双曲线C 上.综上，A (2，1)，λ＝2，或者A (－2，1)，λ＝－ 2.样题3(2022·石室中学三诊改编)已知椭圆M ：x 24＋y 2＝1，设O 为坐标原点，A ，B ，C是椭圆M 上不同的三点，且O 为△ABC 的重心，探究△ABC 面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.解 当直线AB 的斜率不存在时，AB ⊥x 轴，点C 在x 轴上，点C 到AB 的距离d ＝32|a |＝3，|AB |＝3， 则S △ABC ＝12|AB |d ＝332.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB ：y ＝kx ＋m ，联立⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有Δ＝16(4k 2＋1－m 2)>0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1·x 2＝4m 2－44k 2＋1.y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m4k 2＋1. 因为O 为△ABC 的重心，所以OC →＝－(OA →＋OB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8km 4k 2＋1，－2m 4k 2＋1， 因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫8km4k 2＋1，－2m 4k 2＋1在椭圆上， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫8km 4k 2＋124＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 4k 2＋12＝1，即4m 2＝4k 2＋1.又|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·44k 2＋1－m 24k 2＋1.点O 到直线AB 的距离d ＝|m |1＋k 2， 所以S △ABC ＝3S △ABO ＝32·|AB |·d ＝6|m |4k 2＋1－m 24k 2＋1＝6|m |3m 24m 2＝332.综上，S △ABC ＝332为定值.规律方法 求解定值问题的两大途径(1)可由特例得出一个值(此值一般就是定值)，然后证明定值：将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关.(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子与分母约分得定值.训练(2022·湖州调研)已知定点F (0，1)，定直线l ：y ＝－1，动圆M 过点F ，且与直线相切.(1)求动圆M 的圆心轨迹E 的方程；(2)过焦点F 的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，与圆N ：x 2＋y 2－2y ＝0交于C ，D 两点(A ，C 在y 轴同侧)，求证：|AC |·|BD |是定值. 解 (1)设点M 到直线l 的距离为d ，依题意|MF |＝d . 设M (x ，y )，则有x 2＋（y －1）2＝|y ＋1|， 化简得x 2＝4y .(2)抛物线E ：x 2＝4y 的焦点F (0，1)，设直线l 的方程是y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎨⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1， 得x 2－4kx －4＝0， 则Δ＝16(k 2＋1)>0， 且x 1＋x 2＝4k ，x 1·x 2＝－4.由条件可知圆x 2＋(y －1)2＝1的圆心为N (0，1)，半径为1，圆心就是焦点， 由抛物线的定义有|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1， 则|AC |＝|AF |－1＝y 1，|BD |＝|BF |－1＝y 2，故|AC |·|BD |＝y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝－4k 2＋4k 2＋1＝1. 即|AC |·|BD |为定值，定值为1.一、基本技能练1.(2022·合肥模拟改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，左、右顶点分别为A 1，A 2.点P 是椭圆C 上异于左、右顶点的任意一点，证明：点P 与A 1，A 2连线的斜率的乘积为定值，并求出该定值.证明 设P (x 0，y 0)，则x 20a 2＋y 20b2＝1，所以y 20＝b 2（a 2－x 20）a2， 所以kPA 1＝y 0x 0＋a，kPA 2＝y 0x 0－a (x 0≠±a )，所以k PA 1·k PA 2＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20x 20－a 2＝b 2（a 2－x 20）a 2x 20－a 2＝－b 2a 2， 又因为e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，所以b 2a 2＝34，所以－b 2a 2＝－34，所以点P 与A 1，A 2连线的斜率的乘积为定值－34.2.(2022·广州调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2分别为椭圆C的左、右焦点，M 为椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长为4＋2 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为圆x 2＋y 2＝5上任意一点，过点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，试判断PA →·PB →是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.解 (1)由已知可得⎩⎨⎧2a ＋2c ＝4＋23，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝5.当x 0＝±2时，y 0＝±1，显然PA ⊥PB ， 则PA →·PB →＝0.当x 0≠±2时，过点P 的切线可设为y ＝k (x －x 0)＋y 0， 联立切线方程与椭圆方程， 得⎩⎨⎧y ＝kx ＋（y 0－kx 0），x 2＋4y 2＝4，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8k (y 0－kx 0)x ＋4[(y 0－kx 0)2－1]＝0， 所以Δ＝64k 2(y 0－kx 0)2－16(4k 2＋1)·[(y 0－kx 0)2－1]＝0. 整理成关于k 的方程，得(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0，此方程的两个根k 1，k 2就是切线PA ，PB 的斜率， 所以k 1·k 2＝1－y 204－x 20＝1－（5－x 20）4－x 20＝－1.所以PA ⊥PB ，所以PA →·PB →＝0. 综上，PA →·PB →＝0，为定值.3.(2022·盐城模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，其离心率e ＝12，P 是椭圆C 上一动点，△PF 1F 2内切圆面积的最大值为π3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线PF 1，PF 2与椭圆C 分别相交于点A ，B ，求证：|PF 1||F 1A |＋|PF 2||F 2B |为定值. (1)解 由题意得△PF 1F 2内切圆半径r 的最大值为33，设|F 1F 2|＝2c ， 则⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝12，12×（2a ＋2c ）×33＝12×2c ·b ，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎨⎧b 2＝3，a 2＝4， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 设P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当y 0≠0时，设直线PF 1，PF 2的方程分别是x ＝m 1y －1，x ＝m 2y ＋1.联立⎩⎨⎧x ＝m 1y －1，x 24＋y 23＝1，消去x 并整理得(3m 21＋4)y 2－6m 1y －9＝0，∴y 0y 1＝－93m 21＋4. ∵x 0＝m 1y 0－1，∴m 1＝x 0＋1y 0， 又x 204＋y 203＝1，∴y 0y 1＝－5＋2x 03. 联立⎩⎨⎧x ＝m 2y ＋1，x 24＋y 23＝1，同理可得y 0y 2＝－5－2x 03，∴|PF 1||F 1A |＋|PF 2||F 2B |＝－y 0y 1－y 0y 2＝103； 当y 0＝0时，直线PF 1，PF 2与x 轴重合，易得|PF 1||F 1A |＋|PF 2||F 2B |＝3＋13＝103. 综上所述，|PF 1||F 1A |＋|PF 2||F 2B |＝103. 二、创新拓展练4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(2，1)，离心率为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠0)与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAPB 的顶点P 在椭圆C 上，求证：平行四边形OAPB 的面积为定值.(1)解 由题意⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋1b2＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝2， 所以椭圆方程为x 24＋y 22＝1. (2)证明 联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋t ，x 24＋y 22＝1， 得(2k 2＋1)x 2＋4ktx ＋2(t 2－2)＝0，所以Δ＝(4kt )2－8(2k 2＋1)(t 2－2)＝8[2(2k 2＋1)－t 2]>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4kt 2k 2＋1，x 1x 2＝2（t 2－2）2k 2＋1，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝2t 2k 2＋1. 因为四边形OAPB 是平行四边形，所以OP →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4kt 2k 2＋1，2t 2k 2＋1， 则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4kt 2k 2＋1，2t 2k 2＋1. 又因为点P 在椭圆上，所以4k 2t 2（2k 2＋1）2＋2t 2（2k 2＋1）2＝1， 即t 2＝2k 2＋12. 因为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝221＋k 22（2k 2＋1）－t 22k 2＋1＝231＋k 22k 2＋1. 又点O 到直线l 的距离d ＝|t |1＋k2， 所以平行四边形OAPB 的面积S ＝2S △OAB ＝|AB |·d ＝23|t |2k 2＋1＝62k 2＋12k 2＋1＝ 6. 即平行四边形OAPB 的面积为定值 6.。
高考数学斜率定值问题解答题专项讲解(含答案)
高考数学斜率定值问题解答题专项讲解（含答案）一、解答题1．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，离心率为√22．分别过O，F的两条弦AB，CD相交于点E（异于A，C两点），且OE=EF．（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线AC，BD的斜率之和为定值．【答案】(1)x 22+y2=1;(2)详见解析. 【解析】试题分析：（1）解：由题意，得c=1，e=ca =√22，故a=√2，从而b2=a2−c2=1，所以椭圆的方程为x 22+y2=1．①5分（2）证明：设直线AB的方程为y=kx，②直线CD的方程为y=−k(x−1)，③7分由①②得，点A，B的横坐标为±√22k2+1，由①③得，点C，D的横坐标为2k 2±√2(k2+1)2k2+1，9分记A(x1，kx1)，B(x2，kx2)，C(x3，k(1−x3))，D(x4，k(1−x4))，则直线AC，BD的斜率之和为kx1−k(1−x3)x1−x3+kx2−k(1−x4)x2−x4=k⋅(x1+x3−1)(x2−x4)+(x1−x3)(x2+x4−1)(x1−x3)(x2−x4)=k⋅2(x1x2−x3x4)−(x1+x2)+(x3+x4)(x1−x3)(x2−x4)13分=k⋅2(−22k2+1−2(k2−1)2k2+1)−0+4k22k2+1(x1−x3)(x2−x4)=0．16分考点：直线与椭圆的位置关系点评：主要是考查了直线椭圆的位置关系的运用，属于基础题。
2．如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：＋＝1的离心率为，直线l：y=x与椭圆E相交于A，B两点，AB=，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．（1）求a，b的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值．【答案】（1），；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）由已知条件可得的值，进而得的关系，再利用与椭圆相交于，两点，，可得；（2）斜率存在时设出直线，的斜率分别为，，，利用，表示的斜率，利用直线相交分别求的坐标，再利用斜率公式求，运算化简含式子，得出结果，最后再考虑斜率不存在情况亦成立．试题解析：（1）因为e==，所以c2=a2，即a2﹣b2=a2，所以a2=2b2；故椭圆方程为+=1；由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限，由解得A（b，b）；又AB=4，所以OA=2，即b2+b2=20，解得b2=12；故=2，=2；（2）由（1）知，椭圆E的方程为，从而A（4，2），B（﹣4，﹣2）；①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C（x0，y0），显然k1≠k2；所以k CB=﹣；同理k DB=﹣，于是直线AD的方程为y﹣2=k2（x﹣4），直线BC的方程为y+2=﹣（x+4）；从而点N的坐标为；用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为；即直线MN的斜率为定值﹣1；②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（4，﹣2）；仍然设DA的斜率为k2，由①知k DB=﹣；此时CA：x=4，DB：y+2=﹣（x+4），它们交点M（4，）；BC：y=﹣2，AD：y﹣2=k2（x﹣4），它们交点N ，从而k MN=﹣1也成立；由①②可知，直线MN的斜率为定值﹣1；考点：1、椭圆的几何性质；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、分类讨论；4、直线的斜率．【方法点晴】本题主要考查的是椭圆的几何性质，直线和椭圆的位置关系及直线斜率，直线相交的问题，属于难题．解决第二问时，涉及直线较多，采用设两条直线斜率，表示另外两条的方法，控制引入未知数个数，然后利用直线相交，表示交点坐标，需要较强的类比推理能力及运算能力，还要注意斜率是否存在，要有较强的分类讨论意识．3．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点()21A ，． (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若P Q ，是椭圆C 上的两个动点，且使PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.【答案】(Ⅰ) 22182x y +=；（Ⅱ）1.2 【分析】（I ）由离心率可得,a c 关系，再将点A 坐标代入，可得,a b 间关系，又222a b c =+，解方程可得22,a b 的值；（II ）由PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，可判断直线,PA AQ 的斜率互为相反数，由两直线都过A 点，由点斜式可写出直线方程．一一与椭圆方程联立，消去x 或y 的值，可得一元二次方程，又A 点满足条件，可求得,P Q 点的坐标，用k 表示．再由斜率公式可得直线PQ 的斜率为定值． 【详解】(Ⅰ) 因为椭圆C , 且过点()2,1A ,所以22411a b +=, 2c a =. 因为222a b c =+, 解得28a =, 22b =,所以椭圆C 的方程为22182x y +=.(Ⅱ)法1：因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称.设直线PA 的斜率为k , 则直线AQ 的斜率为k −. 所以直线PA 的方程为()12y k x −=−, 直线AQ 的方程为()12y k x −=−−.设点(),P P P x y , (),Q Q Q x y ,由()2212,{1,82y k x x y −=−+=消去y , 得()()222214168161640k x k k x k k +−−+−−=. ①因为点()2,1A 在椭圆C 上, 所以2x =是方程①的一个根,则2216164214P k k x k −−=+, 所以2288214P k k x k −−=+. 同理2288214Q k k x k +−=+.所以21614P Qk x x k −=−+. 又()28414P Q P Q ky y k x x k −=+−=−+. 所以直线PQ 的斜率为12−==−P Q PQ P Qy y k x x . 所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12. 法2：设点()()1122,,,P x y Q x y ， 则直线PA 的斜率1112PA y k x −=−, 直线QA 的斜率2212QA y k x −=−. 因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称. 所以PA QA k k =−, 即121211022y y x x −−+=−−, ① 因为点()()1122,,,P x y Q x y 在椭圆C 上,所以2211182x y +=，② 2222182x y +=. ③由②得()()22114410x y −+−=, 得()111112241y x x y −+=−−+, ④同理由③得()222212241y x x y −+=−−+, ⑤ 由①④⑤得()()12122204141x x y y +++=++,化简得()()12211212240x y x y x x y y ++++++=, ⑥ 由①得()()12211212240x y x y x x y y +−+−++=, ⑦ ⑥-⑦得()12122x x y y +=−+.②-③得22221212082x x y y −−+=,得()12121212142y y x x x x y y −+=−=−+. 所以直线PQ 的斜率为121212PQ y y k x x −==−为定值.法3：设直线PQ 的方程为y kx b =+，点()()1122,,,P x y Q x y ， 则1122,y kx b y kx b =+=+, 直线PA 的斜率1112PA y k x −=−, 直线QA 的斜率2212QAy k x −=−. 因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称. 所以PA QA k k =−, 即12121122y y x x −−=−−−, 化简得()()12211212240x y x y x x y y +−+−++=. 把1122,y kx b y kx b =+=+代入上式, 并化简得 ()()1212212440kx x b k x x b +−−+−+=. (*)由22,{1,82y kx b x y =++=消去y 得()222418480k x kbx b +++−=, (**) 则2121222848,4141kb b x x x x k k −+=−=++,代入(*)得()()2222488124404141k b kb b k b k k −−−−−+=++, 整理得()()21210k b k −+−=, 所以12k =或12b k =−. 若12b k =−, 可得方程(**)的一个根为2，不合题意. 若12k =时, 合题意. 所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12. 4．已知直线l 经过椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的左焦点和下顶点，坐标原点O 到直线l 的距离为12a .（1）求椭圆C 的离心率；（2）若椭圆C 经过点()2,1P ，点A ，B 是椭圆C 上的两个动点，且APB ∠的角平分线总是垂直于y 轴，试问：直线AB 的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2；（2）是定值，定值为1. 【分析】（1）先求出直线l 的方程，再由点到直线的距离公式得出原点O 到直线l 的距离，从而可得出答案. (2)由条件结合（1）先求出椭圆方程，根据条件可得AP BP k k =−，设直线AP 的方程为1(2)y k x −=−，与椭圆方程联立，求解出点A 的横坐标，同理求出点B 的横坐标，从而可得直线AB 的斜率，得出答案. 【详解】解：（1）过点(,0)c −，(0,)b −的直线l 的方程为0bx cy bc ++= 则坐标原点O 到直线l 的距离为12bc d a a ===可得242224224()4410c a bc a a c c e e e a =⇒=−⇒−+=⇒==.（2）由（1）易知a =，则椭圆C ：222212x y b b+=经过点(2,1)P ，解得23b =，则椭圆C ：22163x y +=. 因为APB ∠的角平分线总垂直于y 轴，所以AP 与BP 所在直线关于直线1y =对称. 则AP BP k k =−，设直线AP 的斜率为k ，则直线BP 的斜率为k −所以设直线AP 的方程为1(2)y k x −=−，直线BP 的方程为1(2)y k x −=−− 设点11(,)A x y ，22(,)B x y .由221(2)163y k x x y −=−⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2222(12)4(2)8840k x k k x k k ++−+−−=.因为点(2,1)P 在椭圆C 上，则有212884212k k x k −−⋅=+，即21244212k k x k−−=+. 同理可得22244212k k x k+−=+. 所以122812k x x k −−=+，又121228()412ky y k x x k k −−=+−=+. 所以直线AB 的斜率为12121y y x x −=−. 【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的离心率和椭圆中的定值问题，解答本题的关键是由条件得出AP BP k k =−，设直线AP BP ，的方程，与椭圆方程联立，求解出点,A B 的横坐标，属于中档题.5．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>，1F 、2F 是椭圆C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一个动点，且12PF F △面积的最大值为． （1）求椭圆C 的方程；（2）若Q 是椭圆C 上的一个动点，点M ，N 在椭圆2213x y +=上，O 为原点，点Q ，M ，N 满足3OQ OM ON →→→=+，则直线OM 与直线ON 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）2213010x y +=（2）是定值，且定值为13−．【分析】（1）根据题意列出关于a ，b ，c 的方程组，解出a ，b ，c 的值，即可求出椭圆方程；（2）设0(Q x ，0)y ，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，所以2200330x y +=，221133x y +=，222233x y +=，由3OQ OM ON →→→=+得0121233x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，代入22003x y +得2200121233276(2)x y x x y y +=+++，所以121220x x y y +=，即12OM ON k k =−，从而得到直线OM 与直线ON 的斜率之积为定值，且定值为12−． 【详解】解：（1）由题意可知：222c a bc a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得222301020a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的方程为：2213010x y +=； （2）设()00,Q x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，∴2200330x y +=，221133x y +=，222233x y +=， ∵3OQ OM ON →→→=+，∴()()()001122,,3,x y x y x y =+，∴01201233x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，∴()()22220012123333x y x x y y +++=+=2222112211226931827x x x x y y y y +++++327=++()12126330x x y y +=，∴121230x x y y +=，∴121213y y x x =−，即13OM ON k k ⋅=−， ∴直线OM 与直线ON 的斜率之积为定值，且定值为13−． 【点睛】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程;（2）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=，（2）存在符合条件的圆，且此圆的方程为227x y +=，定值为34− 【分析】（1）利用离心率和点在椭圆上列出方程，解出,,a b c 即可（2）当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+，先将直线的方程与椭圆的方程联立，利用直线l 与椭圆有且仅有一个公共点，推出2243m k =+，然后通过直线与圆的方程联立，设()111,P x y ，()222,P x y ，结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出12k k 为定值，然后再验证直线l 的斜率不存在时也满足即可 【详解】 （1）由题意得：12c a =，222a b c =+ 又因为点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上 所以221914a b+=解得2,1a b c ===所以椭圆的标准方程为：22143x y +=（2）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为227x y +=证明如下：假设存在符合条件的圆，且设此圆的方程为：222(0)x y r r +=> 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+由方程组22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2224384120k x kmx m +++−=因为直线l 与椭圆有且仅有一个公共点 所以()()()222184434120km k m ∆=−+−=即2243m k =+由方程组222y kx m x y r=+⎧⎨+=⎩得()2222120k x kmx m r +++−= 则()()()222222410km k m r∆=−+−>设()111,P x y ，()222,P x y ，则221212222,11km m r x x x x k k −−+==++ 设直线1OP ，2OP 的斜率分别为1k ，2k所以()()()221212121212121212kx m kx m k x x km x x my y k k x x x x x x +++++=== 222222222222222111m r kmk km m m r k k k m r m r k −−⋅+⋅+−++==−−+ 将2243m k =+代入上式得()2212224343r k k k k r−+=+−要使得12k k 为定值，则224343r r−=−，即27r = 所以当圆的方程为227xy +=时，圆与l 的交点1P ，2P 满足12k k 为定值34−当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±此时圆与l 的交点1P ，2P 也满足12k k 为定值34−综上：当圆的方程为227xy +=时，圆与l 的交点1P ，2P 满足12k k 为定值34−【点睛】涉及圆、椭圆的弦长、交点、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.7．已知圆F 1：(x +1)2+y 2=r 2(1≤r ≤3)，圆F 2：(x -1)2+y 2= (4-r )2． （1）证明：圆F 1与圆F 2有公共点，并求公共点的轨迹E 的方程；（2）已知点Q (m ，0)(m <0)，过点E 斜率为k (k ≠0）的直线与（Ⅰ）中轨迹E 相交于M ，N 两点，记直线QM 的斜率为k 1，直线QN 的斜率为k 2，是否存在实数m 使得k (k 1+k 2)为定值？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由．【答案】（1）见解析，22143x y +=（2）存在，2m =−【分析】（1）求出圆1F 和圆2F 的圆心和半径，通过圆F 1与圆F 2有公共点求出12F F 的范围，从而根据124PF PF +=可得P 点的轨迹，进而求出方程；（2）过2F 点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =−，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线方程和椭圆方程，根据韦达定理以及111y k x m =−，212y k x m =−，可得()212222(624)4(1)312m k k k k m k m −+=−+−，根据其为定值，则有23120m −=，进而可得结果. 【详解】（1）因为1(1,0)F −，2(1,0)F ，所以122F F =， 因为圆1F 的半径为r ，圆2F 的半径为4r −，又因为13r ≤≤，所以|4|2r r −−≤，即12|4||4|r r F F r r −−≤≤−+， 所以圆1F 与圆2F 有公共点，设公共点为P ，因此124PF PF +=，所以P 点的轨迹E 是以1(1,0)F −，2(1,0)F 为焦点的椭圆， 所以24a =，12c a =⇒=，b =即轨迹E 的方程为22143x y +=；（2）过2F 点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =−，设()11,M x y ，()22,N x y由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩消去y 得到()22224384120k x k x k +−+−=， 则2122843k x x k +=+，212241243k x x k −=+， ①因为111y k x m=−，212y k x m =−，所以()()()121212121211k x k x y y k k k k k x m x m x m x m −−⎛⎫⎛⎫+=+=+⎪ ⎪−−−−⎝⎭⎝⎭()()()()()()2212211212121111x x m x x m x x k k x m x m x m x m −−+−−⎛⎫−−=+= ⎪−−−−⎝⎭()()21212212122(1)2x x m x x mk x x m x x m −+++=−++，将①式代入整理得()212222(624)4(1)312m k k k k m k m −+=−+− 因为0m <，所以当23120m −=时，即2m =−时，()121k k k +=−. 即存在实数2m =−使得()121k k k +=−. 【点睛】本题考查椭圆定理求椭圆方程，考查椭圆中的定值问题，灵活应用韦达定理进行计算是关键，并且观察出取定值的条件也很重要，考查了学生分析能力和计算能力，是中档题.8．已知△ABC 中,B （-1，0）,C （1，0）,AB =6,点P 在AB 上,且∠BAC =∠PCA ． (1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)若813Q ⎛⎫⎪⎝⎭，,过点C 的直线与E 交于M ，N 两点,与直线x =9交于点K ,记QM ,QN ,QK 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,试探究k 1,k 2,k 3的关系,并证明．【答案】(1)()221398x y x +=≠±．(2) k 1+k 2=2k 3证明见解析；【分析】(1)利用已知条件判断P 的轨迹为椭圆,转化求解即可．(2)如图,设M （x 1，y 1）,N （x 2，y 2）,可设直线MN 方程为y =k （x -1）,则K （4，3k ）,联立直线与椭圆方程,通过韦达定理转化求解斜率关系,证明k 1+k 2=2k 3． 【详解】解：(1)如图三角形ACP 中,∠BAC =∠PCA ,所以P A =PC , 所以PB +PC =PB +P A =AB =6,所以点P 的轨迹是以B ,C 为焦点,长轴为4的椭圆（不包含实轴的端点），所以点P 的轨迹E 的方程为()221398x y x +=≠±．(2)k 1,k 2,k 3的关系：k 1+k 2=2k 3．证明：如图,设M （x 1，y 1）,N （x 2，y 2）， 可设直线MN 方程为y =k （x -1）,则K （4，3k ）,由()221981x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩，，可得（9k 2+8）x 2-18k 2x +（9k 2-72）=0, 21221898k x x k +=+,212297298k x x k −=+, ()()1111118818331131y k x k k x x x −−−===−−−−,()22831k k x =−−,38813913k k k −==−−, 因为()()()()121323121212228112803311331x x k k k k x x x x x x +−⎛⎫−+−=−+=−⋅= ⎪−−−++⎝⎭, 所以：k 1+k 2=2k 3． 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用,椭圆的定义的应用,考查转化思想以及计算能力,是难题．9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的焦距为2，且过点⎭.（1）求椭圆E 的方程；（2）若点,A B 分别是椭圆E 的左右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于,A B 的任意一点，直线AP 交l 于点M .①设直线OM 的斜率为1k ，直线BP 的斜率为2k ，求证：12k k 为定值； ②设过点M 垂直于PB 的直线为m ，求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析. 【详解】试题分析：（1）根据条件列方程组223221,1c a b =+=，解得2,a b ==，（2）①设()00,P x y，则可由直线交点得0042,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭，再根据斜率公式化简12k k ，最后利用点P 在椭圆上得定值；②先探求定点为()1,0−，再根据点斜式写出直线m 方程，最后令y=0解得x=-1.试题解析：（1）由题意椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的焦距为2，且过点2⎫⎪⎪⎭， 所以223221,1c a b =+=，解得2,a b ==， 所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=.（2）①设()()000,0P x y y ≠，则直线AP 的方程为()0022y y x x =++， 令2x =得0042,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭，因为01022y k x =+，因为0202y k x =−，所以2012202y k k x =−，因为()()000,0P x y y ≠在椭圆上，所以2200143x y +=，所以1232k k =−为定值， ②直线BP 的斜率为1212y k x =−，直线m 的斜率为112m x k y −=，则直线m 的方程为()()()11110111122422212x x y x y x y x x y y x y −−−=−+=−+=++， 所以直线m 过定点()1,0−.点睛：1.求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y kx b =+，然后利用条件建立,k b 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．10．已知椭圆C 的方程为22143x y +=，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线l的左上方．（1）若以AB 为直径的圆恰好经过椭圆右焦点2F ，求此时直线l 的方程； （2）求证：PAB △的内切圆的圆心在定直线1x =上． 【答案】（1）11127y x =−．（2）见解析 【分析】（1）设直线l 的方程为12y x m =+．设()11,A x y ，()22,B x y ．由直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，由判别式大于0得m 的一个范围，由点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在直线l 的左上方再一个m 的范围，两者结合得m 的取值范围，以AB 为直径的圆恰好经过椭圆C 的右焦点2F ，说明220AF BF ⋅=，用坐标表示并代入1212,x x x x +可求得m ，注意m 的取值范围，即得直线方程；（2）由（1）计算0PA PN k k +=，即得直线1x =是APB ∠的内角平分线，可得结论． 【详解】解：（1）设直线l 的方程为12y x m =+．设()11,A x y ，()22,B x y ． 由2214312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得2230x mx m ++−=，则12x x m +=−，2123x x m =−． 由()22430m m =−−>△，解得22m −<<． 又∵点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在直线l 的左上方，∴21m −<<． 若以AB 为直径的圆恰好经过椭圆C 的右焦点2F ， 则220AF BF ⋅=，即()()11221,1,0x y x y −−⋅−−=，化简得274110m m +−=，解得117m =−，或1m =（舍）．∴直线l 的方程为11127y x =−． （2）∵1212332211PAPBy y kk x x −−+=+−−12123131222211x m x mx x −−−−=+−− ()12111111m x x ⎛⎫=+−+ ⎪−−⎝⎭()()()1212122111x x m x x x x −+=+−−++()222221110132m m m m m m m m +−−+=+−=+=++−+−， ∴直线1x =平分APB ∠，即PAB △的内切圆的圆心在定直线1x =上． 【点睛】本题考查直线与椭圆相交问题，考查直线的对称性．直线与椭圆相交问题采取设而不求思想，即设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，设直线方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得1212,x x x x +，用1212,x x x x +参与运算求解．11．如图已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，()2,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC ⋅=，2OC OB BC BA −=−.（Ⅰ）求椭圆的方程：（Ⅱ）设,P Q 为椭圆上异于,A B 且不重合的两点，且PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴，是否存在实数λ，使得PQ AB λ=，若存在，请求出λ的最大值，若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）223144x y +=（Ⅱ）max λ= 【分析】（Ⅰ）易知2,a =根据条件确定AOC ∆形状，即得C 坐标，代入椭圆方程可得2b ，（Ⅱ）即先判断PQ AB ∥是否成立，设PC 的直线方程，与椭圆联立方程组解得P 坐标，根据P 、Q 关系可得Q 坐标，利用斜率坐标公式即得PQ 斜率，进而判断PQ AB ∥成立，然后根据两点间距离公式计算PQ 长度最大值，即可得λ的最大值. 【详解】（Ⅰ）∵0AC BC ⋅=， ∴,90AC BC ACB ⊥∠=︒又2OC OB BC BA −=−，即2BC AC =，22,OC AC OC AC == ∴AOC ∆是等腰直角三角形 ∵(2,0)A ， ∴(1,1)C 因为点C 在椭圆上，∴22111,2,a a b +==∴243b = ∴所求椭圆方程为223144x y +=（Ⅱ）对于椭圆上两点P 、Q ，∵PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴∴PC 与CQ 所在直线关于1x =对称，设(0PC k k k =≠且1)k ≠±，则CQ k k =−， 则PC 的直线方程1(1)(1)1y k x y k x −=−⇒=−+ ①QC 的直线方1(1)(1)1y k x y k x −=−−⇒−−+ ②将①代入223144x y +=得222(13)6(1)3610k x k k x k k +−−+−−= ③∵(1,1)C 在椭圆上，∴1x =是方程③的一个根，∴22361113p p k k x x k −−⋅==+ 以k −替换k ，得到2236131Q k k x k +−=+.222226242()211313121231313p Q p Q PQ p Q p Q k k k k y y k x x k k k k k k x x x x k k−−⋅−−+−++=====−−−−++因为(1,1)B −−,所以1,3AB k =∴,PQ AB k k = ∴PQ AB ∥，∴存在实数λ，使得PQ AB =λ||(PQ x ====≤当2219k k =时即21,3k k ==时取等号， 又||10AB =maxλ==【点睛】解析几何存在性问题，一般解决方法先假设存在，即设参数，运用推理，将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，然后直接推理、计算，根据计算结果确定是否存在．其中直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化.12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过(1,()222A B −两点，O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，且与圆22:3O x y +=相交于,M N 两点，试问直线OM 与ON 的斜率之积OM ON k k ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）为定值，12−【分析】（1）将,A B 两点坐标代入椭圆方程，建立22,a b 的方程组，即可求出结论；（2）先求出直线l 斜率不存在时OM ON k k ⋅的值，当直线l 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，根据已知求出,m k 关系，再将直线l 与圆方程联立，根据根与系数关系将,M N 坐标用,m k 表示，进而求出OM ON k k ⋅，即可得出结论. 【详解】（1）依题意，2222112113241a ba b ⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2221a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为2212x y +=.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l的方程为x =若直线l的方程为x =M ，N的坐标为,1))−，12OM ON k k ⋅=−.若直线l的方程为x =M ，N的坐标为,(1)()−，12OM ON k k ⋅=−.当直线l 的斜率存在时，可设直线:l y kx m =+， 与椭圆方程联立可得()222124220kxkmx m +++−=，由相切可得()222222168(1)(21)8210k m m k k m ∆=−−+=−+=，2221m k ∴=+.又223y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得()2221230k x kmx m +++−= ()222222244(3)(1)4334(2)0k m m k k m k ∆=−−+='+−=+>，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12221222131km x x k m x x k ⎧+=−⎪⎪+⎨−⎪=⎪+⎩∴()()()222212121212231m k y y kx m kx m k x x km x x m k−=++=+++=+， 2222212222123213113213222OM ONy y m k k k k k k x x m k k −+−−⋅=⋅====−−+−−. 故OM ON k k ⋅为定值且定值为12−.综上，OM ON k k ⋅为定值且定值为12−. 【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程、直线与椭圆的位置关系以及圆与直线的位置关系，要熟练掌握根与系数关系设而不求的方法求相交弦问题，属于中档题.13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>， c =左、右焦点为12,F F ，点,,P A B 在椭圆C 上，且点,A B关于原点对称，直线,PA PB 的斜率的乘积为14−. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 经过点()2,2Q ，且与椭圆C 交于不同的两点,M N ，若163QM QN =，判断直线l 的斜率是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）直线l 【分析】（1）利用斜率乘积为2214b a −=−，c =222a b c =+可构造出方程组，求解得到2a 和2b ，从而可得椭圆标准方程；（2）联立直线l 与椭圆方程，可得关于x 的一元二次方程；利用判别式大于零可求得k 的取值范围；利用韦达定理表示出12x x +和12x x ；根据163QM QN =，可得到163QM QN ⋅=；利用向量数量积坐标运算，代入韦达定理整理得到()2216116143k k +=+，解方程可求得结果.【详解】（1）由题意知：2214PA PBb k k a ⋅=−=−，又c =222a b c =+可得：24a =，21b =，23c =∴椭圆C 的方程为：2214x y += （2）设直线l 的方程为：()22y k x −=−将其代入2214x y +=，整理可得：()221416(1)k x k k x ++−+216(1)40k −−=则()()()22216141416140k k k k ⎡⎤∆=−−+−−>⎡⎤⎣⎦⎣⎦，得：38k > 设()11,M x y ，()22,N x y则()12216114k k x x k −+=+，()()221222448316141414k k k x x k k−+−−==++ 又163QM QN =，且,0QM QN <>= 163QM QN ∴⋅=又()112,2QM x y =−−，()222,2QN x y =−− 所以()()()()12121622223x x y y −−+−−=又()1122y k x =−+，()2222y k x =−+()()()()()()()()()2212121212121622222212413x x y y x x k x x x x k ∴−−+−−=−−+=−+++=⎡⎤⎣⎦ ()()()222244831611624114143k k k k k k k ⎡⎤−+−⎢⎥∴−⨯++=++⎢⎥⎣⎦化简得：()2216116143k k +=+，解得：22k =38k >k ∴=∴直线l【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中的定值类问题.解决本题的关键是灵活利用韦达定理的形式来表示出已知中的等量关系，通过整理可得到关于k 的方程，解方程求得结果；要注意的是，需要通过判别式确定k 的取值范围.14．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>，且过点()4,1M .（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线:l y x m =+（3m ≠−）与椭圆C 交于,P Q 两点，记直线,MP MQ 的斜率分别为12,k k ，试探究12k k +是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1) 221205x y += (2) 12k k +为定值，该定值为0.【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率公式，求得a 2=4b 2，将M 代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程；（2）将直线l ：代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可取得k 1+k 2=0． 试题解析：（1）依题意，222221611,a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪−=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得22220,5,15a b c ===，故椭圆C 的方程为221205x y +=；（2）120k k +=，下面给出证明：设()11,P x y ，()22,Q x y ，将y x m =+代入221205x y+=并整理得22584200x mx m ++−=，()()228204200m m ∆=−−>，解得55m −<<，且 3.m ≠−故1285m x x +=−，2124205m x x −=，则()()()()()()1221121212121414114444y x y x y y k k x x x x −−+−−−−+=+=−−−−， 分子=()()()()12211414x m x x m x +−−++−−()()()()()()212122420852*******5m m m x x m x x m m −−=+−+−−=−−−=，故12k k +为定值，该定值为0.15．椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为2，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l ． （1）求椭圆C 的方程；（2）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1、PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M （m ，0），求m 的取值范围．（3）在（2）的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，若k≠0，试证明1211kk kk +为定值，并求出这个定值． 【答案】（1）2214x y +=；（2）3322m −<<；（3）-8 【解析】试题分析：（1）根据题意可得2221,2.b a b a ==即又因为2c e a ==，所以可得a ，b 的值，即可得方程；（2）设出点p 坐标，由两点式列出直线12,PF PF 方程，然后利用点m 到两直线的距离相等来确定m 值，再根据p 点，横坐标的范围，来确定m 范围；（3）设直线方程为()00.y y k x x −=−与椭圆方程联立，需满足()22200000,4210.x k x y k y ∆=−++−=即求得004x k y =−，由（2）可知0120211x k k y +=，代入化简即可试题解析：（1）由于22222222,1,,x y b c a b x c y a b a=−=−+==±将代入椭圆方程得由题意知2221,2.b a b a==即又222, 1. 1.4c x e a b C y a ====+=所以所以椭圆的方程为（2）设()()000,0.P x y y ≠())((121212000,,,:0,:0,PF PF F F PF PF l y x x y l y x x y −=−−=又所以直线的方程分别为=由于点P在椭圆上，所以221. 4xy+==00322,.433.(522m x m xm<<−<<==−<<因为所以因此分）（3）设()()000,0.P x y y≠则直线l的方程为()00.y y k x x−=−联立()()()() 22222222000000 001,{1484210.4,xyk x ky k x x y kx y k x y y k x x+=++−+−+−=−=−整理得由题意得()22200000,4210.x k x y k y∆=−++−=即又2222200000001,1680,.44x xy y k x y k x ky+=++==−所以故由（2）知00012000211,x x xk k y y y++=+=所以0012120042111118,y xkk kk k k k x y⎛⎫⎛⎫+=+=−⋅=−⎪⎪⎝⎭⎝⎭因此12118.kk kk+为定值，这个定值为－考点：1．椭圆方程的性质；2．直线与椭圆。
高考数学面积定值问题练习专项讲解(含答案)
高考数学面积定值问题练习专项讲解（含答案）一、解答题1．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率e满足2220e −+=，右顶点为A ，上顶点为B ，点C (0，－2)，过点C 作一条与y 轴不重合的直线l ，直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，直线BP ，BQ 分别交x 轴于点M ，N ；当直线l 经过点A 时，l．(1)求椭圆E 的方程；(2)证明：BOM BCN S S ∆∆⋅为定值．【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析【分析】（1）由2220e −+=得2e =，从而可得a =，又有()020AC k a −−==−a =而可求出椭圆E 的方程；（2）由题知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()()11222,,,,y kx P x y Q x y =−联立直线与椭圆的方程得韦达定理，且()()22=84621k k −−⨯⨯+=216240k −>，得232k >，写出直线BP 的方程，求得11,01x M y ⎛⎫ ⎪−⎝⎭，同理可得22,01x N y ⎛⎫⎪−⎝⎭，化简求得12123·411BOM BCNx x SS y y =−−=12为定值． 【详解】解：（1）由2220e −+=解得2e =或e =，∴a =，又222a b c =+，a ∴=，又()020AC k a −−==−a ∴=，1b ∴=，∴椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）由题知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =−， 设()()1122,,,P x y Q x y ，由22212y kx x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2221860k x kx +−+=， ∴12122286,2121k x x x x k k +==++， ()()22=84621k k −−⨯⨯+=216240k −>232k ∴>， ∴()121224421y y k x x k −+=+−=+， ()()121222y y kx kx =−−()21212=24k x x k x x −++=224221k k −+，直线BP 的方程为1111y y x x −=+，令0y =解得111x x y =−，则11,01x M y ⎛⎫⎪−⎝⎭，同理可得22,01x N y ⎛⎫⎪−⎝⎭，12123411BOMBCNx x SSy y ∴=−−=()()()12121212123341141x x x x y y y y y y =−−−++=22226321444212121k k k k +−++++=12，BOM BONS S∆∴为定值12． 【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系中的定值问题，属于中档题．2．已知椭圆C ：2222x y a b +=1（a ＞b ＞0）的离心率为2，O 是坐标原点，点A ，B 分别为椭圆C 的左右顶点，|AB |＝（1）求椭圆C 的标准方程．（2）若P 是椭圆C 上异于A ，B 的一点，直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，AP ∥OM ，BP ∥ON ，则△OMN 的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）2284x y +=1；（2）是，定值【分析】()1由题知,2a =,由2e =及,,a b c的关系即可求解; ()2由题意可得A（﹣0），B （0），设P （x 0，y 0）则x 02+2y 02＝8，可得12OM ON AP BPk k k k ⋅=⋅=−,分直线l 的斜率存在和不存在两种情况分别求△OMN 的面积即可. 【详解】()1由2a ＝e 2c a ==， 解得a ＝c ＝2，b 2＝a 2﹣c 2＝4，则椭圆的方程为2284x y +=1；（2）由题意可得A （﹣0），B （0），设P （x 0，y 0），可得220084x y +=1，即x 02+2y 02＝8，则AP BPk k⋅=220022001822y y x y ===−−−，因为AP ∥OM ,BP ∥ON ，则12OM ON AP BPk k k k⋅=⋅=−， ①当直线l 的斜率不存在时，设l ：x ＝m ，联立椭圆方程可得y ＝所以,,M m N m ⎛⎛ ⎝⎝,由12OM ON k k ⋅=−, 可得228122m m −−=−，解得m ＝±2，所以((,2,M N ±±, 所以S △MNO 12=⨯=②当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx +n ，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 联立直线y ＝kx +n 和x 2+2y 2＝8，可得（1+2k 2）x 2+4knx +2n 2﹣8＝0，可得x 1+x 22412kn k =−+，x 1x 2222812n k−=+， y 1y 2＝（kx 1+n ）（kx 2+n ）＝k 2x 1x 2+kn （x 1+x 2）+n 2， 由OM ONk k ⋅1212y y x x ==k 2()222222124128282n k k n n n +−++=−−−，可得n 2＝2+4k 2， 由弦长公式可得,|MN|===•=，点（0，0）到直线l的距离为d==，所以S △OMN 12=d •|MN |＝综上可知,△OMN 的面积为定值 【点睛】本题考查椭圆标准方程和直线与椭圆的位置关系及弦长公式;考查分类讨论思想和运算求解能力;分直线l 的斜率存在和不存在两种情况分别求△OMN 的面积是求解本题的关键,亦是易错点;属于中档题、常考题型.3．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为3，直线0x y −=与椭圆C 有且只有一个公共点．（1）求椭圆C 的标准方程（2）设点(A，B ，P 为椭圆C 上一点，且直线PA 与PB 的斜率乘积为23−，点M ，N 是椭圆C 上不同于A ，B 的两点，且满足//AP OM ，//BP ON ，求证：OMN 的面积为定值．【答案】（1）22132x y +=；（2）证明见解析． 【分析】（1）将直线代入椭圆方程因为相切故判断式为零，再结合离心率即可求得方程；（2）设直线MN 的方程为x my t =+代入椭圆方程，结合韦达定理和PA 与PB 的斜率乘积为23−，计算整理即可证明问题. 【详解】解：（1）∵直线0x y −=与椭圆有且只有一个公共点，∴直线0x y −=与椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）相切，∴222201x y x y ab ⎧−+=⎪⎨+=⎪⎩()222222250b a x x a a b ⇒+++−= ∴2205a b ∆=⇒+=又∵c a =，∴a =2222b a c =−=， 椭圆C 的方程为22132x y +=．（2）证明：由题意M 、N 是椭圆C 上不同于A ，B 的两点， 由题意知，直线AP ，BP 斜率存在且不为0，又由已知23AP BP k k =−⋅． 由//AP OM ，//BP ON ，所以23OM ON k k =−⋅ 设直线MN 的方程为x my t =+，代入椭圆方程得()222234260m y mty t +++−=①设()11,M x y ，()22,N x y ，则122423mt y y m +=−+，21222623t y y m −=+ 又()212122222121212262363OM ONy y y y t k x x m y y y t k mt y t m −⋅====−+++− 得22223t m =+所以1222111|||||||2223222MONt S t y y t t m t =−===+△ 即MON △的面积为定值2【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．4．如图，椭圆C ：()221212x y m m m +=>+−的离心率e =，椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，又P ，M ，N 为椭圆C 上非顶点的三点．设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ．（1）求椭圆C 的方程，并求12k k ⋅的值；（2）若//AP ON ，//BP OM ，判断OMN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．【答案】（1）椭圆C ：22163x y +=，1212k k ⋅=−；（2）OMN的面积为定值2．【分析】（1）求出椭圆的方程，再设()00,P x y 代入斜率公式，即可得答案；（2）设直线MN 的方程为y kx t =+（0k ≠），设()11,M x y ，()22,N x y ，根据1212OM ON k k k k ⋅=⋅=−，可得121220y y x x +=，再利用韦达定理化简得到,k t 的关系，求出三角形的底和高，代入面积公式，即可得答案； 【详解】解（1）由题意得c ==2c ea ==，所以a =b ==C ：22163x y+= 设()00,P x y ，则22220000131636x y x y ⎛⎫+=⇒=−⎪⎝⎭，又()A ，)B ，则2021220316162x k k x ⎛⎫− ⎪⎝⎭⋅===−− （2）设直线MN 的方程为y kx t =+（0k ≠），设()11,M x y ，()22,N x y ，()22222214260163y kx tk x ktx t x y =+⎧⎪⇒+++−=⎨+=⎪⎩， 122421kt x x k +=−+，21222621t x x k −=+， 由（1）知：1212OM ON k k k k ⋅=⋅=−()()121212122020y y x x kx t kx t x x ⇒+=⇒+++=，()()22121221220k x x kt x x t ++++=，()22222264212202121t ktk kt t k k −+⋅−⋅+=++即()()()222222212682210k t k t tk+−−++=，22263t k ⇒=+，MN ======22263t k =+MN ∴=又O 到直线MN 的距离d =，所以12OMNS =⋅==△． ∴综上OMN 【点睛】第一问的本质是椭圆的第三次定义；第二问探究是否为定值的思路：设直线MN 的方程、设M ，N 的坐标，利用韦达定理得到变量间的关系，再把三角形的面积表达式求出，变量间的关系代入，求得定值.5．如图，1F 、 2F 为椭圆2222:1x y C a b +=的左、右焦点， D 、E 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e =21DEF S=．若 00(,)M x y 在椭圆C 上，则点 00(,)x y N a b 称为点M 的一个“好点”．直线 l 与椭圆交于A 、 B 两点，A 、 B两点的“好点”分别为P 、Q ，已知以PQ 为直径的圆经过坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）AOB 的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）1． 【详解】（1）由题可知222{2,c a b c ==−=解得224,{1,a b ==故椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则11,2x P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,2x Q y ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 由OP OQ ⊥，即121204x x y y +=．（*） ①当直线AB 的斜率不存在时，112112S x y y =⨯−=；②当直线AB 的斜率存在时，设其直线为y kx m =+（0m ≠）， 联立22,{44,y kx m x y =++=得()222418440k x kmx m +++−=，则()221641k m ∆=+−，21224441m x x k −=+， 同理22122441m k y y k −=+，代入（*），整理得22412k m +=． 此时2160m ∆=>，12AB x =−=，h =，∴1S =． 综上，AOB 的面积为定值1． 【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.6．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点围成的菱形的面积为(1,0).（1）求椭圆的方程；（2）若M ，N 为椭圆上的两个动点，直线OM ，ON 的斜率分别为1k ，2k ，当1234k k =−时，MON △的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2【分析】（1）由题设条件，列出方程组，结合222a b c =+，求得22,a b 的值，即可求解.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+，联立方程组，结合根与系数的关系和弦长公式，及三角形的面积公式，求得三角形的面积；当直线MN 的斜率不存在时，结合椭圆的对称性和三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）由椭圆22221x y a b+=的四个顶点围成的菱形的面积为椭圆的一个焦点为(1,0)，可得2ab =，1c =，即221ab a b ⎧=⎪⎨−=⎪⎩， 解得24a =，23b =，故椭圆的方程为22143x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 可得，()2223484120k x kmx m +++−=， 则()()()2222226443441248430k kmk m m ∆=−+−=−+>，即2243m k <+，且122834km x x k −+=+，212241234m x x k−=+，所以12 ||MN x x=−===又由点O到直线MN的距离d=，所以1||2MONS MN d==又因为12121234y yk kx x==−，所以()22221211221228334412434kmkm mk x x km x x m kkmx xk−⎛⎫+⎪++++⎝⎭=+=−−+，化简整理可得22243m k=+，满足0∆>，代入222MCNSm===当直线MN的斜率不存在时，由于1234k k=−，考虑到OM，ON关于x轴对称，不妨设12k=，22k=−，则点M，N的坐标分别为M⎭，N⎭，此时12MONS==△综上可得，MON△【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.7．已知双曲线2222:1x y C a b−=（0a >，0b >）的焦距为C 右支上一动点()00,P x y 到两条渐近线1l ，2l 的距离之积为245b．（1）求双曲线C 的方程；（2）设直线l 是曲线C 在点()00,P x y 处的切线，且l 分别交两条渐近线1l ，2l 于M 、N 两点，O 为坐标原点，证明：MON △面积为定值，并求出该定值．【答案】（1）2214x y −=；（2）证明见解析；定值2． 【分析】（1）动点()00,P x y 到两条渐近线1l ，2l 的距离之积表示出来得,a b 的关系式，结合焦距可求得,a b 得双曲线方程；（2）设直线l 的方程为y kx m =+，由相切得2241k m =+，然后求得,M N 坐标，以及直线与x 轴交点D 坐标，利用D 点坐标求得MON △面积，代入关系式2241k m =+，可得定值． 【详解】解：（1）双曲线2222:1x y C a b−=（0a >，0b >）的渐近线方程为0bx ay +=和0bx ay −=，由动点()00,P x y 到两条渐近线1l ，2l222222002222b x a y a b a b a b−==++， 则2222245b a b a b=+，又2c =2225c a b =+=， 解得2a =，1b =，则双曲线的方程为2214x y −=．（2）证明：设直线l 的方程为y kx m =+，与双曲线的方程2244x y −=联立，可得()222418440k x kmx m −+++=，直线与双曲线的右支相切，可得()()()2228441440km k m ∆=−−+=，可得2241k m =+，设直线l 与x 轴交于D ，则,0m D k ⎛⎫−⎪⎝⎭， 122M N M N MON MOD NOD m S S S OD y y k x x k =+=−=−⋅−△△△， 又双曲线的渐近线方程为12y x =±， 联立12y x y kx m⎧=⎪⎨⎪=+⎩，可得2,1212m m M k k ⎛⎫ ⎪−−⎝⎭， 同理可得2,1212m m N k k ⎛⎫−⎪++⎝⎭， 则2222242*********MONm m m m m m S k k k k k k k m−−=⋅⋅+=⋅⋅==+−−△． 即有MON △面积为定值2． 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的标准方程，考查直线与双曲线位置关系，面积定值问题．解题关键是设出切线方程，由直线与双曲线相切得参数关系，然后求得三角形面积，利用此关系式可得定值．8．如图，已知双曲线22:13y C x −=的左右焦点分别为1F 、2F ，若点P 为双曲线C 在第一象限上的一点，且满足128PF PF +=，过点P 分别作双曲线C 两条渐近线的平行线PA 、PB 与渐近线的交点分别是A 和B .（1）求四边形OAPB 的面积；（2）若对于更一般的双曲线()2222:10,0x y C a b a b'−=>>，点P '为双曲线C '上任意一点，过点P '分别作双曲线C '两条渐近线的平行线P A ''、P B ''与渐近线的交点分别是A '和B '.请问四边形OA P B '''的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用a 、b 表示该定值）；若不是定值，请说明理由.【答案】（1）2；（2）是，且定值为12ab .【分析】（1）求出点P 、B 的坐标，计算出点B 到直线OP 的距离，利用三角形的面积公式可求得四边形OAPB 的面积；（2）设点()00,P x y '，求出点B '的坐标，计算出点B '到直线OP '的距离d ，利用平行四边形的面积公式化简可得结果. 【详解】（1）因为双曲线22:13y C x −=，由双曲线的定义可得122PF PF −=，又因为128PF PF +=，15PF ∴=，23PF =，因为124F F ==，所以，2222121PF F F PF +=，2PF x ∴⊥轴，∴点P 的横坐标为2P x =，所以，22213P y−=，0P y >，可得3P y =，即点()2,3P ，过点P 且与渐近线y =平行的直线的方程为)32y x −=−，联立)32y y x ⎧=⎪⎨−=−⎪⎩，解得132x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点312B ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，直线OP 的方程为320x y −=，点B 到直线OP的距离为d ==，且OP =OAPB的面积为2OAPBOBP S S OP d ==⋅=△ （2）四边形OA P B '''的面积为定值12ab ，理由如下： 设点()00,P x y '，双曲线22221x ya b−=的渐近线方程为b y x a =±，则直线P B ''的方程为()00by y x x a−=−−， 联立()00b y y x x a b y x a ⎧−=−−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得00002222x a x y b y b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即点0000,2222x y a b B y x b a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭'， 直线OP '的方程为0y y x x =，即000y x x y −=， 点B '到直线OP '的距离为d ==22==，且OP '=因此，22OA P B OB P abSS OP d ''''''==⋅==△（定值）. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．9．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，过点1,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点A 、B 分别是椭圆C 的左顶点和上顶点，M 、N 为椭圆C 上异于A 、B 的两点，满足//AM BN ，求证：OMN 面积为定值．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，结合这三个量的值，由此可得出椭圆C 的标准方程； （2）设直线AM 的方程为()2y k x =+，设直线BN 的方程为1y kx =+，将这两条直线分别与椭圆C 的方程联立，求出点M 、N 的坐标，求出OM 以及点N 到直线OM 的距离，利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】（1）由已知条件可得222221314c aab a bc ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 即椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）设()11,M x y 、()22,N x y ，由题意直线AM 、BN 的斜率存在，设直线AM 的方程为()2y k x =+①，设直线BN 的方程为1y kx =+②，由（1）椭圆22:14x C y +=③，联立①③得()222241161640k x k x k +++−=，解得2122841k x k −=+，即222284,4141k k M k k ⎛⎫− ⎪++⎝⎭， 联立②③，得()224180k x kx ++=，所以，22841kx k =−+，即222148,4141k k N k k ⎛⎫− ⎪++⎝⎭−，易知OM =直线OM 的方程为110y x x y −=，点N 到直线OM的距离为d =所以211222222211841222414121411844OMNx y x y k k S OM d k k k k k k −−=⋅==⋅−⋅=++++−−△， 故OMN 面积为定值1． 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y −=相切. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，且22OA OBb k k a⋅=−.求证：AOB 的面积为定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）AOB【分析】（1）由椭圆的离心率等于12，原点O到直线0x y −=的距离等于b 及隐含条件222c a b =−联立方程组求解2a ，2b 的值，则椭圆C 的标准方程可求；（2）联立直线方程和椭圆方程，消去y 后利用根与系数关系得到A ，B 两点的横纵坐标的和与积，由弦长公式求得||AB ，由点到直线的距离公式求得O 到AB 的距离，代入三角形的面积公式证得答案． 【详解】（1）解：由题意得2222124c a c a ba b ⎫⎪=⎪⎪=−⇒=⎬=，23b =． ∴椭圆的方程为22143x y +=；（2）证明：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则A ，B 的坐标满足22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去y 化简得222(34)84120k x kmx m +++−=．21212228412,3434km m x x x x k k−+=−=++， 由△0>，得22430k m −+>．2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222222224128312()343434m km m k k km m k k k −−=+−+=+++．2234OA OBb k k a =−=−，∴121234y y x x =−，即121234y y x x =−． ∴22222312341234434m k m k k−−=−++，即22243m k −=． 248(4||)(34k m AB k −+22)342k +== 又O 点到直线y kx m =+的距离d =，∴1||2AOBS d AB ∆=2222224(1)134243342234k k k k ++===++为定值． 【点睛】方法点睛：定值问题的处理常见的方法有：（1）特殊探究，一般证明.（2）直接求题目给定的对象的值，证明其结果是一个常数.11．已知双曲线222:1(0)x C y a a−=>的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在双曲线C 上.当BF AF ⊥时，BF =. （1）求双曲线C 的方程.（2）设P 为双曲线上一点，点M ，N 在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若P 恰为线段MN 的中点，试判断MON △的面积是否为定值若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由.【答案】（1）2214x y −=；（2）是定值，2. 【分析】（1）由BF =可得2)b a c a =+，求出a 即可得出方程；（2）设出点M ，N 的坐标，可得点P 的坐标，代入双曲线C 的方程，可得1mn =，设2MON θ∠=，利用渐近线方程的斜率得角θ的正切值，再利用三角函数的基本关系式及二倍角公式得sin 2θ，由M ，N 的坐标得OM ，ON ，结合sin 2θ及三角形面积公式即可求出MONS .【详解】（1）由题意，易得(c,0)F ，2,b B c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，则由BF =，可得22()2b ac a =+，)22220c ac ∴−=，即)2220e e −=.又1c e a =>，解得e =，222254c a a b ∴==+， 解得2244a b ==，∴双曲线C 的方程为2214x y −=.（2）由（1）可知双曲线Ｃ的渐近线方程为12y x =±， 设(2,)M m m ，(2,)N n n −，其中0m >，0n >.P 为线段MN 的中点，,2m n P m n −⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得22()()144m n m n +−−=，解得1mn =.设2MON θ∠=，则1tan 2θ=. 又sin 1tan cos 2θθθ==，22sin cos 1θθ+=，02πθ<<，sin 5θ∴=，cos 5θ=， 4sin 22sin cos 5θθθ∴==.又OM =，ON =，114sin 222225MON S OM ON mn θ∴=⋅⋅=⋅==△， MON ∴△的面积为定值2.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线中三角形面积的定值问题，解题的关键是设出点M ，N 的坐标，设2MON θ∠=，得出1mn =和sin 2θ.12．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为2，四个顶点构成的四边形面积为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）斜率存在的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，O 为坐标原点，OP OM ON =+uu u r uuu r uuu r，若点P 在椭圆上，请判断OMN 的面积是否为定值. 【答案】（1）2212x y +=；（2）答案见解析.【分析】（1）由题可得22c =，1222a b ⨯⨯=,a b 即可求出； （2）设出直线方程，与椭圆联立，表示出面积，利用点P 在椭圆上得出,m k 的关系即可求出定值. 【详解】（1）由题可得22c =，1222a b ⨯⨯= 解得1b c ==，a = 故椭圆方程为：2212x y +=.（2）设直线l 方程是y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，()00,P x y ，联立2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()222124220k x kmx m +++−=， ()228210k m ∆=+−>，122412km x x k−+=+，21222212m x x k −=+，MN ==.∵OP OM ON =+uu u ruuu ruuu r，∴012012x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，∴2242,1212km m P k k −⎛⎫ ⎪++⎝⎭ 把点P 坐标代入椭圆方程可得222242221212km m k k −⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 整理可得：22421m k =+， 点O 到直线l的距离为d =，OMN 的面积11224S MN d m =⋅===.所以，OMN 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.13．已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()()2,0,0,1A B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．【答案】（Ⅰ）2214xy +=；e =. 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据两顶点坐标可知a ，b 的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；（Ⅱ）四边形ABNM 的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线AN ，BM 的值求乘积为定值即可．试题解析：（Ⅰ）由题意得，21a b ==，． 所以椭圆C 的方程2214x y+=．又c ==所以离心率2c e a ==．（Ⅱ）设()()000000P x y x y <<，，，则220044x y +=． 又()20A ，，()01B ，，所以， 直线PA 的方程为()0022y y x x =−−． 令0x =，得0022M y y x =−−，从而002112M y BM y x =−=+−．直线PB 的方程为0011y y x x −=+． 令0y =，得001N x x y =−，从而00221Nx AN x y =−=+− 所以四边形ABNM 的面积12S AB BM =⋅ 00002121212x y y x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪−−⎝⎭⎝⎭()22000000000044484222x y x y x y x y x y ++−−+=−−+00000000224422x y x y x y x y −−+=−−+2=．从而四边形ABNM 的面积为定值．考点：1、椭圆方程；2、直线和椭圆的关系．【方法点晴】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，以及考查逻辑思维能力、分析与解决问题的综合能力、运算求解能力、方程思想与分类讨论的思想．第一小题根据两顶点坐标可知a ，b 的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；第二小题四边形ABNM 的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线AN ，BM 的值求乘积为定值即可．14．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左､右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2，点G 是椭圆上一点，12GF F △的周长为6+（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，且四边形OAGB 为平行四边形，求证：OAGB 的面积为定值.【答案】（1）221123x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由抛物线的定义和离心率得出椭圆C 的方程；（2）联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系求出G 点坐标，代入椭圆方程，再由弦长公式，点线距公式结合三角形的面积公式化简计算可得定值． 【详解】（1）因为12GF F △的周长为6+所以226a c +=+3a c +=+.又离心率2c e a ==，解得a =，3c =， 2223b a c =−=.∴椭圆C 的方程为221123x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,G x y ，将y kx m =+代入221123x y+=消去y 并整理得()2221484120kxkmx m +++−=，则122814km x x k +=−+，212241214m x x k−⋅=+， ()121222214my y k x x m k+=++=+， ∵四边形OAGB 为平行四边形，∴()1212,OG OA OB x x y y =+=++，得2282,1414km m G k k ⎛⎫−⎪++⎝⎭，将G 点坐标代入椭圆C 方程得()223144m k =+， 点O 到直线AB的距离为d =，12AB x =−，∴平行四边形OAGB 的面积为12S d AB m x x =⋅=−=====.故平行四边形OAGB 的面积为定值为 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点线距公式和弦长公式，解决本题的关键点是借助于平面向量的坐标表示，利用点在曲线上得出方程，代入平行四边形的面积公式，消去参数得出定值，考查学生计算能力，属于中档题．15．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，椭圆C 与y 轴的一个交点为M ，且12F F =12MF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，A ，B 为椭圆C 上不同的两点，点A 关于x 轴的对称点为点D .若直线BD 的斜率为1，求证：OAB 的面积为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由所给条件可得：焦距2c =2a =，可得21b =，即可得解；（2）首先设直线AB 的方程为y kx m =+，联立椭圆方程2214xy +=可得()()222148410k xkmx m +++−=，结合韦达定理，根据1212OAB S m x x =−△，代入化简即可得到定值.【详解】（1）因为焦距为2c =c = 由12MF =，得2a =，即24a =，21b =，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）证明：由题意知直线AB 斜率一定存在，设直线方程为y kx m =+，点()11,A x y ，()22,B x y ， 则OAB 面积为1212OAB S m x x =−△，()11,D x y −， 联立方程2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222148410k x kmx m +++−=， 即()12221228144114km x x k m x x k ⎧+=−⎪+⎪⎨−⎪⋅=⎪+⎩， 因为直线BD 的斜率为1，所以21211y y x x +=−，即()21212k x x m x x ++=−， 即221228221414k m mm x x k k−+=−⇒=++解得225164m k =+， 所以2122211242214145OABm m S m x x m k k =−=⨯==++△， 综上，OAB 面积为定值45. 【点睛】本题考查了求椭圆方程，考查了解析几何定值问题，有一定的计算量，属于较难题. 本题的解题关键为：（1）对椭圆基本量的理解记忆；（2）韦达定理的应用，韦达定理是联系各个变量之间关系的桥梁，是解决圆锥曲线和直线问题的重要方法；（3）计算能力和计算技巧是解决解析几何问题的关键能力.16．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b−=>>的虚轴长为4，直线20x y −=为双曲线C 的一条渐近线.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）记双曲线C 的左､右顶点分别为A ，B ，斜率为正的直线l 过点()2,0T ，交双曲线C 于点M ，N (点M 在第一象限)，直线MA 交y 轴于点P ，直线NB 交y 轴于点Q ，记PAT 面积为1S ，QBT △面积为2S ，求证：12S S 为定值. 【答案】（1）2214y x −=；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据渐近线方程以及虚轴长度可知,a b ，然后可知方程（2）假设直线方程2x ny =+，并与双曲线方程联立，可得关于y 的二次方程，紧接着使用韦达定理，分别求得,P Q 坐标并表示出12S S ，简单计算即可. 【详解】解：（1）由题意可得2b =， 因为一条渐近线方程为2y x =， 所以2ba=，解得1a =， 则双曲线的方程为2214y x −=；（2）证明：可得()1,0A −，()10B ,， 设直线l ：2x ny =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立22142y x x ny ⎧−=⎪⎨⎪=+⎩，整理可得()224116120n y ny −++=， 可得1221641n y y n +=−−，1221241y y n =−，即有()121234ny y y y =−+， 设直线MA ：11(1)1y y x x =++，可得110,1y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， 设直线NB ：22(1)1y y x x =−−，可得220,1y Q x ⎛⎫⎪−⎝⎭， 又3AT =，1BT =，所以()()1121122122311331y y ny x S S y ny y x ++==+−()()12112112212234333334y y y ny y y ny y y y y y −+++==+−++12123339y y y y −=−+1=.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线的一般方法（1）假设直线方程；（2）联立方程：（3）使用韦达定理；（4）根据条件计算. 17．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的一条渐近线方程为y=，右准线方程为x =． （1）求双曲线C 的标准方程；（2）过点(0,1)P −的直线l 分别交双曲线C 的左、右两支于点,A B ，交双曲线C 的两条渐近线于点,D E （D 在y 轴左侧）．①是否存在直线l ，使得OA OB ⊥？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由； ②记ODE 和OAB 的面积分别为12,S S ，求12S S 的取值范围． 【答案】（1）2212y x −=（2）[3，1)【分析】（1）由双曲线的渐近线方程和准线方程，可得a ，b ，c 的方程组，解得a ，b ，可得双曲线的方程； （2）①可设直线l 的方程为1y kx =−，与双曲线的方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，以及两直线垂直的条件，解方程，即可判断存在性；②联立渐近线方程和直线l 的方程，求得D ，E 的横坐标，可得||DE ，由弦长公式得到||AB ，再由三角形的面积公式得到12S S 关于k 的函数，然后求出其范围即可． 【详解】（1）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>的渐近线方程为b y x a =±，准线方程为2ax c =±，由题意可得b a=2a c =222+=a b c ， 解得1a =，b =c =则双曲线的方程为2212y x −=；（2）①由题意可知直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为1y kx =−， 与双曲线方程2222x y −=联立，可得22(2)230k x kx −+−=， 由△22412(2)0k k =+−>，解得k << 则12222k x x k +=−−，122302x x k =−<−，解得k <，如果存在直线l ，使得OA OB ⊥，则12120x x y y +=， 即为212121212(1)(1)(1)()1x x kx kx k x x k x x +−−=+−++ 22232(1)()()1022kk k k k =+⋅−−⋅−+=−−，解得k ∈∅， 所以不存在直线l ，使得OA OB ⊥；②由1y kx y =−⎧⎪⎨=⎪⎩，可得D由1y kx y =−⎧⎪⎨=⎪⎩，可得E||DE=；||AB，由ODE和OAB的高相等，可得12||||S DES AB===，由k<<23(1k−∈，3]，所以12SS的取值范围是1)．【点睛】关键点点睛：三角形的面积比可转化为||||DEAB，利用直线与双曲线联立，由韦达定理、弦长公式求出||||DEAB，转化为求关于k的函数，是解题的关键，属于中档题.18．已知F是抛物线()2:20C x py p=>的焦点，点M是抛物线上的定点，且()4,0MF =.(1)求抛物线C的方程；(2)直线AB与抛物线C交于不同两点()()112221,,,,3A x yB x y x x−=且，直线l与AB平行，且与抛物线C相切，切点为N，试问△ABN的面积是否是定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）28x y=；（2）定值2764【分析】（1）设00(,)M x y，由(4,0)MF =，求得004,2px y=−=，代入抛物线的方程，求得p的值，即可得到抛物线的方程；（2）设其方程为y kx b=+，联立方程组，求得1212,x x y y++，得到Q2(4,4)k k b+，由条件设切线的方程为y kx t=+，联立方程组，利用根与系数的关系，求得切点N2(4,2)k k，再由NQ x⊥轴，求得22NQ k b=+及213x x−=，利用面积公式，即可求解．【详解】（1）设00(,)M x y，由题知(0,)2pF，所以00(,)(4,0)2pMF x y=−−=，所以00402x p y −=⎧⎪⎨−=⎪⎩，即0042x p y =−⎧⎪⎨=⎪⎩， 代入22(0)x py p =>中得216p =，解得4p =，所以抛物线C 的方程为28x y =．（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，设其方程为y kx b =+，由28y kx b x y=+⎧⎨=⎩，整理得2880x kx b −−=，则12128,8x x k x x b +==−， 所以21212()282y y k x x b k b +=++=+，设AB 的中点为Q ，则点Q 的坐标为2(4,4)k k b +， 由条件设切线的方程为y kx t =+，则28y kx t x y=+⎧⎨=⎩，整理得2880x kx t −−=． 因为直线与抛物线相切，所以264320k t ∆=+=，所以22t k =−，所以228160x kx k −+=，所以4x k =，所以22y k =，所以切点N 的坐标为2(4,2)k k ，所以NQ x ⊥轴，所以222(4)22NQ k b k k b =+−=+， 因为213x x −=，又因为222212112()()46432x x x x x x k b −=+−=+，所以29232k b +=， 所以221211127(2)2264AMN S NQ x x k b x x ∆=⋅−=+⋅−=， 所以AMN ∆的面积为定值，且定值为2764 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．19．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b −=>>的焦距为且过点()1A −，直线l 与曲线C 右支相切（切点不为右顶点），且l 分别交双曲线C 的两条渐近线与M 、N 两点，O 为坐标原点.（1）求双曲线C 的方程；（2）求证：MON △面积为定值，并求出该定值.【答案】（1）2214x y −=；（2）证明见解析，MON △面积为2. 【分析】（1）根据题意可得关于a 、b 、c 的方程组，求出2a 、2b 的值，由此可得出双曲线C 的标准方程； （2）设直线l 的方程y kx m =+，将直线l 的方程与双曲线C 的方程联立，由0∆=可得出k 、m 所满足的等式，求出点M 、N 的坐标，利用三角形的面积公式可计算出MON △的面积.【详解】（1）设双曲线C 的焦距为()20c c >，由题意可得：2222222241811c a c a b b a b⎧⎪=⎧⎪==+⇒⎨⎨=⎩⎪⎪−=⎩，则双曲线C 的方程为2214x y −=； （2）由于直线l 与双曲线C 右支相切（切点不为右顶点），则直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+， 则2214y kx m x y =+⎧⎪⎨−=⎪⎩消y 得()222418440k x kmx m −+++=， ()()2222226444144041k m k m k m ∆=−−+=⇒=+，①设l 与x 轴交于一点D ，m OD k=−， 122OMN MOD NOD M N M N m S S S OD y y k x x k−=+=⨯−=⋅−△△△， 双曲线两条渐近线方程为：12y x =±， 联立12,21212y x m m M k k y kx m ⎧=⎪⎛⎫⇒⎨ ⎪−−⎝⎭⎪=+⎩，联立12,22121y x m m N k k y kx m⎧=−−⎪⎛⎫⇒⎨ ⎪++⎝⎭⎪=+⎩， 则22224142212122142MON m m m m m m m S k k k k m k k k k k −−=⋅⋅+=⋅⋅=⋅⋅⋅−−=+−△（定值）. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键就是利用直线与双曲线得出2241k m =+，并求出点M 、N 的坐标，再结合三角形的面积计算出OMN S △为定值.。
2025年高考数学一轮复习-定值问题-专项训练【含答案】
2025年高考数学一轮复习-定值问题-专项训练一、基本技能练1.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为12，左、右顶点分别为A1，A2.点P是椭圆C上异于左、右顶点的任意一点，证明：点P与A1，A2连线的斜率的乘积为定值，并求出该定值.2.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，M为椭圆C上一点，△MF1F2的周长为4＋23.(1)求椭圆C的方程；(2)若P为圆x2＋y2＝5上任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，试判断PA→·PB→是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.3.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其离心率e＝12，P是椭圆C上一动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为π3 .(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线PF1，PF2与椭圆C分别相交于点A，B，求证：|PF1||F1A|＋|PF2||F2B|为定值.二、创新拓展练4.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)经过点(2，1)，离心率为22.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l：y＝kx＋t(t≠0)与椭圆C相交于A，B两点，若以OA，OB为邻边的平行四边形OAPB的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形OAPB的面积为定值.参考答案与解析一、基本技能练1.证明设P (x 0，y 0)，则x 20a 2＋y 20b 2＝1，所以y 20＝b 2（a 2－x 20）a 2，所以kPA 1＝y 0x 0＋a ，kPA 2＝y 0x 0－a (x 0≠±a )，所以kPA 1·kPA 2＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20x 20－a 2＝b 2（a 2－x 20）a 2x 20－a2＝－b 2a 2，又因为e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，所以b 2a 2＝34，所以－b 2a 2＝－34，所以点P 与A 1，A 2连线的斜率的乘积为定值－34.2.解(1)＋2c ＝4＋23，＝32，＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝5.当x 0＝±2时，y 0＝±1，显然PA ⊥PB ，则PA →·PB →＝0.当x 0≠±2时，过点P 的切线可设为y ＝k (x －x 0)＋y 0，联立切线方程与椭圆方程，＝kx ＋（y 0－kx 0），2＋4y 2＝4，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8k (y 0－kx 0)x ＋4[(y 0－kx 0)2－1]＝0，所以Δ＝64k2(y0－kx0)2－16(4k2＋1)·[(y0－kx0)2－1]＝0.整理成关于k的方程，得(4－x20)k2＋2x0y0k＋1－y20＝0，此方程的两个根k1，k2就是切线P A，PB的斜率，所以k1·k2＝1－y204－x20＝1－（5－x20）4－x20＝－1.所以PA⊥PB，所以P A→·PB→＝0.综上，PA→·PB→＝0，为定值.3.(1)解由题意得△PF1F2内切圆半径r的最大值为33，设|F1F2|＝2c，ca＝12，（2a＋2c）×33＝12×2c·b，＝b2＋c2，2＝3，2＝4，∴椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.(2)证明设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，当y0≠0时，设直线PF1，PF2的方程分别是x＝m1y－1，x＝m2y＋1.m1y－1，＋y23＝1，消去x并整理得(3m21＋4)y2－6m1y－9＝0，∴y0y1＝－93m21＋4.∵x0＝m1y0－1，∴m1＝x0＋1y0，又x204＋y203＝1，∴y0y1＝－5＋2x03.m 2y ＋1，＋y 23＝1，同理可得y 0y 2＝－5－2x 03，∴|PF 1||F 1A |＋|PF 2||F 2B |＝－y 0y 1－y 0y 2＝103；当y 0＝0时，直线PF 1，PF 2与x 轴重合，易得|PF 1||F 1A |＋|PF 2||F 2B |＝3＋13＝103.综上所述，|PF 1||F 1A |＋|PF 2||F 2B |＝103.二、创新拓展练4..(1)解＋1b 2＝1，22，b 2＋c 2，2＝4，2＝2，所以椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明kx ＋t ，＋y 22＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4ktx ＋2(t 2－2)＝0，所以Δ＝(4kt )2－8(2k 2＋1)(t 2－2)＝8[2(2k 2＋1)－t 2]>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4kt 2k 2＋1，x 1x 2＝2（t 2－2）2k 2＋1，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝2t 2k 2＋1.因为四边形OAPB 是平行四边形，所以OP →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)－4kt 2k 2＋1，则－4kt 2k 2＋1，又因为点P 在椭圆上，所以4k 2t 2（2k 2＋1）2＋2t 2（2k 2＋1）2＝1，即t 2＝2k 2＋12.因为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝221＋k 22（2k 2＋1）－t 22k 2＋1＝231＋k 22k 2＋1.又点O 到直线l 的距离d ＝|t |1＋k 2，所以平行四边形OAPB 的面积S ＝2S △OAB ＝|AB |·d ＝23|t |2k 2＋1＝62k 2＋12k 2＋1＝ 6.即平行四边形OAPB 的面积为定值 6.。
2020高考数学专项训练《17与圆相关的定点、定值问题》(有答案)
B
－9，0 5
对于圆
O 上任一点
P，都有PB为
PA
5
常数3. 5
变式联想
变式 1
答案：(1)y＝± 2(x－3)； 4
(2)(3±2 2，0)．
解析：(1)因为直线 l1 过点 A(3，0)，且与圆 O：x2＋y2＝1 相切，设直线 l1 的方程为 y
＝k(x－3)，即 kx－y－3k＝0，则圆心 O(0，0)到直线 l1 的距离为 d＝
B(t，0)，当 P 为圆 O 与 x 轴左交点(－3，0)时，PB＝|t＋3|；当 P 为圆 O 与 x 轴右交点 PA 2
(3，0)时，PB＝|t－3|，依题意，|t＋3|＝|t－3|，解得，t＝－5(舍去)，或 t＝－9.下面证明：
PA 8
2
8
5
点
B
－9，0 5
对于圆
O
上任一点
P，都有PB为一常数．设 PA
x＝3，
1)．解方程组 y＝ t （x＋1）， s＋1
3， 4t 得 P′ s＋1 同理可得，
3， 2t Q′ s－1 .所以以 P′Q′为直径的圆 C 的方程为(x－3)(x－3)＋
y－ 4t s＋1
y－ 2t s－1
＝0，又
s2＋t2＝1，所以整理得
x2＋y2－6x＋1＋6x－2y＝0，若圆
C
t
串讲 2 设 O 为坐标原点，F(1，0)，M 是 l：x＝2 上的点，过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆 D 交于 P，Q 两点．
(1)若 PQ＝ 6，求圆 D 的方程； (2)若 M 是 l 上的动点，求证点 P 在定圆上，并求该定圆的方程．
(2018·江苏模拟卷)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 是圆 O：x2＋y2＝1 与 x 轴的两个交点(点 B 在点 A 右侧)，点 Q(－2，0)，x 轴上方的动点 P 使直线 PA，PQ，PB 的 斜率存在且依次成等差数列．
高考数学一轮复习考点知识与题型讲解46 三定问题(定点、定值、定直线)(含解析)
高考数学一轮复习考点知识与题型讲解 考点46 三定问题(定点、定值、定直线)一．求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 二．直线定点问题的求解的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；④根据直线过定点的求解方法可求得结果. 三．解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量(通常为变量k )；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.考点题型分析考点题型一 定值【例1】(2022·北京丰台区·高三一模)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>长轴的两个端点分别为(2,0),(2,0)A B -(1)求椭圆C 的方程；(2)P 为椭圆C 上异于,A B 的动点，直线,AP PB 分别交直线6x =-于,M N 两点，连接NA 并延长交椭圆C 于点Q .(ⅰ)求证：直线,AP AN 的斜率之积为定值； (ⅱ)判断,,M B Q 三点是否共线，并说明理由.【答案】(1)2214x y +=；(2)(ⅰ)证明见解析；(ⅱ)是，理由见解析.【解析】(1)由题意得2,c a e a ===，所以2221==-=c b a c ，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)(ⅰ)证明：设00(,)P x y ，因为P 在椭圆C 上，所以220014x y +=.因为直线AP 的斜率为002y x +，直线BP 的斜率为002y x -， 所以直线BP 的方程为00(2)2y y x x =--. 所以N 点的坐标为008(6,)2y N x ---.所以直线AN 的斜率为0000822622y x y x --=-+-. 所以直线,AP AN 的斜率之积为： 20200022000021422122442x y y y x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅===-+---. (ⅱ),,M B Q 三点共线.设直线AP 斜率为k ，易得(6,4)M k --. 由(ⅰ)可知直线AN 斜率为12k -，所以直线AN 的方程为1(2)2y x k=-+. 联立22440,22,x y x ky ⎧+-=⎨=--⎩可得22(44)80k y ky ++=.解得Q 点的纵坐标为221kk -+， 所以Q 点的坐标为222222(,)11k kQ k k --++.所以，直线BQ 的斜率为22220122221kk k k k--+=--+，直线BM 的斜率为40622k k --=--. 因为直线BQ 的斜率等于直线BM 的斜率， 所以,,M B Q 三点共线. 【举一反三】1．(2022·陕西宝鸡市·高三二模(文))已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左､右焦点分别为1F ，2FG 是椭圆上一点，12GF F △的周长为6+.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，且四边形OAGB 为平行四边形，求证：OAGB 的面积为定值.【答案】(1)221123x y +=；(2)证明见解析.【解析】(1)因为12GF F △的周长为6+，所以226a c +=+，即3a c +=+.又离心率c e a ==a =3c =， 2223b ac =-=.∴椭圆C 的方程为221123x y +=.(2)设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,G x y ，将y kx m =+代入221123x y+=消去y 并整理得()2221484120kxkmx m +++-=，则122814km x x k +=-+，212241214m x x k-⋅=+， ()121222214my y k x x m k +=++=+，∵四边形OAGB 为平行四边形，∴()1212,OG OA OB x x y y =+=++，得2282,1414km m G k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭， 将G 点坐标代入椭圆C 方程得()223144m k =+， 点O 到直线AB的距离为d =12AB x =-，∴平行四边形OAGB 的面积为12S d AB m x x =⋅=-=====. 故平行四边形OAGB的面积为定值为2．(2022·四川遂宁市·高三二模(文))如图，已知椭圆C ：()22211x y a a+=>的左焦点为F ，直线()0y kx k =>与椭圆C 交于A ，B 两点，且0FA FB ⋅=时，3k =.(1)求a 的值；(2)设线段AF ，BF 的延长线分别交椭圆C 于D ，E 两点，当k 变化时，直线DE 与直线AB 的斜率之比是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】(2)为定值5.【解析】(1)设()00,A x y ，则()00,B x y --，由题意得焦点为()F所以，()()2220000001FA FB x y x y x y a ⋅=⋅--=--+-.当0FA FB ⋅=时，有222001x y a +=-.联立222,1,y kx x y a =⎧⎪⎨+=⎪⎩得220221a x k a =+，2220221k a y k a =+，从而22222222111a k a a k a k a +=-++.将k =222413a a a =-+，所以()231a a =>，故a =(2)由(1)知，()F ，椭圆C ：2213x y +=.设AD：00x x y y +=C ：2233x y +=，得(2002200310x x y y y y ⎡⎤+⎢⎥+--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 而220033x y +=，即()22000050y x y y y +--=，从而D y =.同理BE：00x x y y =E y =从而5E D E D y y y y +=-.于是00000055E D DE E D E D y y y k kx x x -====⋅=-.所以DE ，BC 的斜率之比为定值5.考点题型二 定点【例2】(2022·河南月考(文))已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两焦点为()11,0F -，()21,0F ，点P 在椭圆C 上，且12PF F △(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)点M 为椭圆C 的右顶点，若不平行于坐标轴的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点(,A B 均不是椭圆C 的右顶点)，且满足AM BM ⊥，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】(Ⅰ)22143x y +=；(Ⅱ)证明见解析，定点坐标为2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】(Ⅰ)由椭圆的对称性可知：当点P 落在椭圆的短轴的两个端点时12PF F △的面积最大，此时122b ⨯⨯=，解得：b = 由222a b c =+得：2314a =+=．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=． (Ⅱ)设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为y kx m =+，联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()()222348430k x mkx m +++-=，则()()222264163430m k k m =-+->，即22340k m +->，122834mk x x k ∴+=-+，()21224334m x x k-=+． ()()1212y y kx m kx m ∴=++()221212k x x mk x x m =+++()2223434m k k-=+．椭圆的右顶点为()2,0M ，AM BM ⊥，0MA MB ∴⋅=，()()1212220x x y y ∴--+=，即()121212240y y x x x x +-++=， ()()2222234433434m k m k k --∴+++2164034mkk ++=+．整理可得：2271640m km k ++=， 解得：12m k =-，227km =-，(1m ，2m 均满足22340k m +->)． 当2m k =-时，l 的方程为()2y k x =-，直线l 过右顶点()2,0，与已知矛盾； 当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2,07⎛⎫⎪⎝⎭，∴直线l 过定点，定点坐标为2,07⎛⎫⎪⎝⎭【举一反三】1．(2022·黑龙江大庆市·高三一模(理))已知焦点在x 轴上的椭圆C ：222210)x ya b a b+=>>（，短轴长为1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，已知点2(,0)3P ，点A 是椭圆的右顶点，直线l 与椭圆C 交于不同的两点,E F ，,E F 两点都在x 轴上方，且APE OPF ∠=∠．证明直线l 过定点，并求出该定点坐标．【答案】(1)22143x y +=；(2)证明见解析，(6,0).【解析】(1)由22221b a c a c b ⎧=⎪-=⎨⎪-=⎩得21b a c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.(2)当直线l 斜率不存在时，直线l 与椭圆C 交于不同的两点分布在x 轴两侧，不合题意. 所以直线l 斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+. 设11(,)E x y 、22(,)F x y ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=， 所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k-=+. 因为APE OPF ∠=∠，所以0PE PF k k +=，即121202233y y x x +=--，整理得1212242()()033m kx x m k x x +-+-= 化简得6m k =-，所以直线l 的方程为6(6)y kx k k x =-=-， 所以直线l 过定点(6,0).2．(2022·全国高三月考(文))已知斜率为的34的直线l 与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>交于点,A B ，线段AB 中点为()11D -,，直线l 在y 轴上的截距为椭圆C 的长轴长的716倍. (1)求椭圆C 的方程；(2)若点,,,P Q M N 都在椭圆上，且,PQ MN 都经过椭圆C 的右焦点F ，设直线,PQ MN 的斜率分别为12,k k ，121k k +=-，线段的中点分别为,G H ，判断直线GH 是否过定点，若过定点.求出该定点，若不过定点，说明理由.【答案】(1)22143x y +=；(2)过定点，31,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】设()()1122,,,A x y B x y ， 则12122,2x x y y +=-+=，且2222112222221,1x x x x a b a b+=+= 两式相减得2222121222x x y y a b --=-即2121221212y y y y b x x x x a+-⋅=-+-， 即222324b a -⋅=-，所以2234b a =又直线l 的方程为()3114y x -=+， 令0x =，得74y =所以772,2,164a ab ⨯===， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)由题意得()1,0F ，直线,PQ MN 的方程分别为()12()1,1y k x y k x =-=-，设()()3344,,,P x y Q x y ，联立122(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22121213484120k k k xx +-+-=，所以212341834x k k x +=+，则2211221143,3434k k G k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭同理2222222243,3434k k H k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以12221212221212221233334344443434GHk k k k k k k k k k k k k ----++==+-++ 由121k k +=- 得()11314GH k k k =++， 所以直线GH 的方程为221111221134334434k k y k k x k k ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭整理得()21133144y k k x ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭， 所以直线GH 过定点31,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.考点题型三 定直线【例3】(2022·深圳实验学校高中部)如图，已知抛物线21:2C y x =直线2y kx =+交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点.(1)证明：OA OB ⊥；(2)设抛物线C 在点A 处的切线为1l ，在点B 处的切线为2l ，证明：1l 与2l 的交点M 在一定直线上.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】1)设211,12A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,12B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把2y kx =+代入212y x =，得2240x kx --=. 由韦达定理得122x x k +=，124x x =-.()22211221212111,,0224OA OB x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫∴⋅=⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以OA OB ⊥ (2)212y x =，y x '∴=， 故经过点211,12A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线1l 的方程为：()211112y x x x x -=-， 即21112y x x x =-，① 同理，经过点222,12B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线2l 的方程为：22212y x x x =-，②21x x ⨯-⨯①②，得12122y x x ==-. 即点M 在直线:2l y =-上.【举一反三】1．(2022·浙江温州市)已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点到准线的距离为2，直线:2l y kx =+交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，点P 为直线1l ，2l 的交点.(i)求证：点P 在一条定直线上；(ii)求PAB △面积的取值范围.【答案】(1)24x y =；(2)(i)证明见解析；(ii))⎡+∞⎣. 【解析】(1)抛物线()2:20C x py p =>的焦点到准线的距离为2， 可得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =.(2)联立方程组24,2x y y kx ⎧=⎨=+⎩消去y 得，2480x kx --=， ∴124x x k +=，128x x =-由24x y =得，12y x '=，所以切线PA 方程为()111112:l y y x x x -=- 切线PB 方程为()22221:2l y y x x x -=- 联立直线PA ､PB 方程可解得1222x x x k +==，1224x x y ⋅==-. (i)所以点P 的坐标为()2,2k -.所以点P 在定直线2y =-上(ii)点P 到直线AB 的距离为2d =所以AB ==PAB △的面积为()322214422PABS d AB k =⋅==+△ 所以当0k =时，PABS 有最小值PAB△面积的取值范围是)⎡+∞⎣.2．(2022·云南昆明市·昆明一中高三月考(理))已知点P 是抛物线2:2C x y =上的动点，且位于第一象限．圆222:()0O x y r r +=>，点P 处的切线l 与圆O 交于不同两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过点P 且垂直于x 轴的直线交于点M ．(1)求证：点M 在定直线上；(2)设点F 为抛物线C 的焦点，切线l 与y 轴交于点N ，求PFN 与PDM △面积比的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2)1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】(1)设2,2m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中0m >，显然切线l 的斜率存在且不为零， 由22x y =，求导得：y x '=，所以切线l 的斜率为m ， 因为D 是弦AB 的中点，所以OD l ⊥，所以直线OD 方程：1y x m=-， 联立方程1y x m x m⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得1y =-，所以点M 在定直线1y =-上． (2)由(1)知切线l 的方程：2()2m y m x m -=-，化简得：22m y mx =-， 令0x =，得20,2m N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,2m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 联立方程221m y mx y x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得()()3222,2121m m D m m ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，而()211||124PFN S FN m m m ==+，()()()2232221||22181PDM m m m S PM m m m +=-=++， 所以222122PFN PDM S m S m ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，令222t m =+>，得1102t <<， 则22111221,22PFN PDM S t S t t -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以PFN 与PDM △面积比的取值范围为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．。
最新整理高考数学提分专练及答案-圆锥曲线的定点 定值与最值
高考数学提分专练及答案:圆锥曲线的定点定值与最值一、选择题1.已知抛物线y2=2p x(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2=x1+x3，则有( )A.|F P1|+|F P2|=|F P3|B.|F P1|2+|F P2|2=|F P3|2C.2|F P2|=|F P1|+|F P3|D.|F P2|2=|F P1|·|F P3|答案：C解题思路：抛物线的准线方程为x=-，由定义得|F P1|=x1+，|F P2|=x2+，|F P3|=x3+，则|F P1|+|F P3|=x1++x3+=x1+x3+p，2|F P2|=2x2+p，由2x2=x1+x3，得2|F P2|=|F P1|+|F P3|，故选 C.2.与抛物线y2=8x相切倾斜角为135°的直线l与x 轴和y轴的交点分别是A和B，那么过A，B两点的最小圆截抛物线y2=8x的准线所得的弦长为( )A.4B.2C.2D.答案：C命题立意：本题考查直线与抛物线及圆的位置关系的应用，难度中等.解题思路：设直线l的方程为y=-x+b，联立直线与抛物线方程，消元得y2+8y-8b=0，因为直线与抛物线相切，故Δ=82-4×(-8b)=0，解得b=-2，故直线l的方程为x+y+2=0，从而A(-2,0)，B(0，-2)，因此过A，B两点最小圆即为以A B为直径的圆，其方程为(x+1)2+(y+1)2=2，而抛物线y2=8x的准线方程为x=-2，此时圆心(-1，-1)到准线的距离为1，故所截弦长为2=2.3.如图，过抛物线y2=2p x(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|B C|=2|B F|，且|A F|=3，则此抛物线的方程为( )A.y2=9xB.y2=6xC.y2=3xD.y2=x答案：C命题立意：本题考查抛物线定义的应用及抛物线方程的求解，难度中等.解题思路：如图，分别过点A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为E，D，由抛物线定义可知|A E|=|A F|=3，|B C|=2|B F|=2|B D|，在R t B D C中，可知B C D=30°，故在R t A C E中，可得|A C|=2|A E|=6，故|C F|=3，则G F即为A C E的中位线，故|G F|=p==，因此抛物线方程为y2=2p x=3x.4.焦点在x轴上的双曲线C的左焦点为F，右顶点为A，若线段F A的中垂线与双曲线C有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是( )A.(1,3)B.(1,3]C.(3，+∞)D.[3，+∞)答案：D命题立意：本题主要考查双曲线的离心率问题，考查考生的化归与转化能力.解题思路：设A F的中点C(x C,0)，由题意x C≤-a，即≤-a，解得e=≥3，故选 D.5.过点(，0)引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O 为坐标原点，当A O B的面积取值时，直线l的斜率等于( )A. B.- C.± D.-答案：B命题透析：本题考查直线与圆的位置关系以及数形结合的数学思想.思路点拨：由y=，得x2+y2=1(y≥0)，即该曲线表示圆心在原点，半径为1的上半圆，如图所示.故S A O B=|O A||O B|·s i n A O B=s i n A O B，所以当s i n A O B=1，即O A O B时，S A O B取得值，此时O到直线l的距离d=|O A|s i n45°=.设此时直线l的方程为y=k(x-)，即k x-y-k=0，则有=，解得k=±，由图可知直线l的倾斜角为钝角，故k=-.6.点P在直线l：y=x-1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B两点，且|P A|=|A B|，则称点P为“正点”，那么下列结论中正确的是( )A.直线l上的所有点都是“正点”B.直线l上仅有有限个点是“正点”C.直线l上的所有点都不是“正点”D.直线l上有无穷多个点(点不是所有的点)是“正点”答案：A解题思路：本题考查直线与抛物线的定义.设A(m，n)，P(x，x-1)，则B(2m-x,2n-x+1)， A，B在y=x2上， n=m2,2n-x+1=(2m-x)2，消去n，整理得关于x的方程x2-(4m-1)x+2m2-1=0，Δ=8m2-8m+5>0恒成立，方程恒有实数解.二、填空题7.设A，B为双曲线-=1(b>a>0)上两点，O为坐标原点.若O A O B，则A O B面积的最小值为________.答案：解题思路：设直线O A的方程为y=k x，则直线O B的方程为y=-x，则点A(x1，y1)满足故x=，y=， |O A|2=x+y=;同理|O B|2=.故|O A|2·|O B|2=·=.=≤(当且仅当k=±1时，取等号)， |O A|2·|O B|2≥，又b>a>0，故S A O B=|O A|·|O B|的最小值为.8.已知直线y=x与双曲线-=1交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线P A，P B的斜率k P A，k P B存在时，k P A·k P B=________.答案：解题思路：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则由得y2=，y1+y2=0，y1y2=-，x1+x2=0，x1x2=-4×.由k P A·k P B=·====知k P A·k P B为定值.9.设平面区域D是由双曲线y2-=1的两条渐近线和抛物线y2=-8x的准线所围成的三角形(含边界与内部).若点(x，y)D，则目标函数z=x+y的值为______.答案：3解题思路：本题考查双曲线、抛物线的性质以及线性规划.双曲线y2-=1的两条渐近线为y=±x，抛物线y2=-8x的准线为x=2，当直线y=-x+z过点A(2,1)时，z m a x=3.三、解答题10.已知抛物线y2=4x，过点M(0,2)的直线与抛物线交于A，B两点，且直线与x轴交于点 C.(1)求证：|M A|，|M C|，|M B|成等比数列;(2)设=α，=β，试问α+β是否为定值，若是，求出此定值;若不是，请说明理由.解析：(1)证明：设直线的方程为：y=k x+2(k≠0)，联立方程可得得k2x2+(4k-4)x+4=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C，则x1+x2=-，x1x2=，|M A|·|M B|=|x1-0|·|x2-0|=，而|M C|2=2=，|M C|2=|M A|·|M B|≠0，即|M A|，|M C|，|M B|成等比数列.(2)由=α，=β，得(x1，y1-2)=α，(x2，y2-2)=β，即得：α=，β=，则α+β=，由(1)中代入得α+β=-1，故α+β为定值且定值为-1.11.如图，在平面直角坐标系x O y中，设点F(0，p)(p>0)，直线l：y=-p，点P在直线l上移动，R是线段P F与x轴的交点，过R，P分别作直线l1，l2，使l1P F，l2l，l1∩l2=Q.(1)求动点Q的轨迹C的方程;(2)在直线l上任取一点M作曲线C的两条切线，设切点为A，B，求证：直线A B恒过一定点;(3)对(2)求证：当直线M A，M F，M B的斜率存在时，直线M A，M F，M B的斜率的倒数成等差数列.解题思路：本题考查轨迹方程的求法及直线与抛物线的位置关系.(1)利用抛物线的定义即可求出抛物线的标准方程;(2)利用导数及方程根的思想得出两切点的直线方程，进一步求出直线恒过的定点;(3)分别利用坐标表示三条直线的斜率，从而化简证明即可.解析：(1)依题意知，点R是线段P F的中点，且R Q ⊥F P，R Q是线段F P的垂直平分线.|Q P|=|Q F|.故动点Q的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为：x2=4p y(p>0).(2)设M(m，-p)，两切点为A(x1，y1)，B(x2，y2).由x2=4p y得y=x2，求导得y′=x.两条切线方程为y-y1=x1(x-x1)，y-y2=x2(x-x2)，对于方程，代入点M(m，-p)得，-p-y1=x1(m-x1)，又y1=x，-p-x=x1(m-x1)，整理得x-2m x1-4p2=0.同理对方程有x-2m x2-4p2=0，即x1，x2为方程x2-2m x-4p2=0的两根.x1+x2=2m，x1x2=-4p2.设直线A B的斜率为k，k===(x1+x2)，所以直线的方程为y-=(x1+x2)(x-x1)，展开得：y=(x1+x2)x-，将代入得：y=x+p.直线恒过定点(0，p).。
高考数学《斜率和积问题与定点定值问题 》专项练习-带答案
高考数学《斜率和积问题与定点定值问题 》专项练习-带答案一．解答题（共34小题）1．（2021•西陵区校级月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点3(1,)2A C 的四个顶点构成的四边形面积为 （1）求椭圆C 的方程（2）E F 为椭圆上的两个动点 是否存在这样的直线AE AF 使其满足：①直线AE 的斜率与直线AF 的斜率互为相反数 ②线段EF 的中点在直线12x =上 若存在 求出直线AE 和AF 的方程 若不存在 请说明理由． 【解答】解：（1）由已知得2219140a b ab a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪>>⎪⎪⎩解得24a = 23b =∴椭圆C 的方程22143x y +=．（2）设直线AE 的方程为3(1)2y k x -=- 代入22143x y +=得222(34)4(32)41230k x k k x k k ++-+--=．(*) 设1(E x 1)y 2(F x 2)y 且1x =是方程(*)的根∴212412334k k x k --=+用k -代替上式中的k 可得222412334k k x k +-=+故EF 中点横坐标为21224312432x x k k +-==+解得32k =±∴直线AE AF 的方程分别为32y x =332y x =-+或332y x =-+ 32y x =．2．（2021•盐湖区校级月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点3(1,)2A 且离心率e 为12（1）求椭圆C 的方程（2）E F 是椭圆上的两个动点 如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数 证明直线EF 的斜率为定值 并求出这个定值．【解答】解（1）根据题意 22222914112ab c e a a b c ⎧⎪+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩解得2,1a b c ===∴椭圆C 的方程为：22143x y +=（2）证明：设直线AE 的方程为：3(1)2y k x -=- 由223(1)2143y k x x y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得222(34)4(23)41230k x k k x k k +--+--= ∴2222412312129(,)342(34)k k k k E k k ----+++由题直线AF 的方程为3(1)2y k x -=-- ∴2222412312129(,)342(34)k k k k F k k +--++++∴2222222212129121291212(34)2(34)412341232423434EFk k k k k k k k k k k k k k k -++--+-++===+----++∴直线EF 的斜率为定值 且这个定值为12． 3．（2021•汉阳区校级期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点3(1,)2A 且两个焦点1F2F 的坐标依次为(1,0)-和(1,0)．（1）求椭圆C 的标准方程（2）设E F 是椭圆C 上的两个动点 O 为坐标原点 直线OE 的斜率为1k 直线OF 的斜率为2k 求当12k k ⋅为何值时 直线EF 与以原点为圆心的定圆相切 并写出此定圆的标准方程【解答】解：（1）由椭圆定义得2a =即2a = 又1c = 所以23b = 得椭圆C 的标准方程为22143x y +=（2）当直线EF 的斜率存在时 设直线EF 的方程为y kx b =+ 1(E x 1)y 2(F x 2)y 直线EF 的方程与椭圆方程联立 消去y 得222(34)84120k x kbx b +++-=当判别式△22340k b =+->时 得122834kbx x k +=-+ 212241234b x x k -=+设12k k m ⋅= 因为点E F 在直线y kx b =+上 得1212()()kx b kx b mx x ++= 整理得221212()()0k m x x bk x x b -+++=即222224128()()03434b kb k m bk b k k --+-+=++ 化简得22121234k m b m -=-原点O 到直线EF 的距离d = 则2222212121(1)(34)b k md k k m -==++- 由已知有d 是定值 所以有13434mm m=--- 解得1m =- 即当121k k ⋅=-时 直线EF 与以原点为圆心的定圆相切 验证知当直线EF 的斜率不存在时也成立此时d =定圆的标准方程为22127x y += 4．（2021•杨浦区校级期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 四点1(1,1)P 2(0,1)P3(P - 4P 中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程：（2）椭圆C 上是否存在不同的两点M N 关于直线1x y +=对称？若存在 请求出直线MN 的方程 若不存在 请说明理由（3）设直线l 不经过点2P 且与C 相交于A B 两点 若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1 求证：l 过定点．【解答】解：（1）结合椭圆几何特征 可得2P 3P 4P 在椭圆上即有2(0,1)P 3(P - 4P 满足椭圆方程即1b =221314a b +=解得2a = 1b =可得椭圆方程为2214x y +=（2）设直线MN 为y x m =+ 线段MN 中点为D根据椭圆中点弦性质2122b k k a =-即11:44MN OF OD k k l y x=-⇒=- 联立1x y +=解得中点4(3D 1)3- 代入y x m =+ 可得53m =-∴5:3MN l y x =-（3）证明：当直线l 的斜率不存在时 设:l x m = (,)A A m y (,)A B m y -直线2P A与直线2P B的斜率的和为1-2211111A B A A P A P B A B y y y y k k x x m m -----+=+=+=-解得2m = 此时l 过椭圆右顶点 不存在两个交点 故不满足 若直线l 的斜率存在 设:l y kx b =+ 联立椭圆2244x y += 可得222(14)8440k x kbx b +++-= 设1(A x 1)y 2(B x 2)y则122814kbx x k+=-+ 21224414b x x k -=+ 221212121211(1)()2221211P A P B y y b x x kbk k k k b k x x x x b ---++=+=+=-=⇒=-+直线:21l y kx k =+- 即(2)1y k x =+- 则直线l 经过定点(2,1)--．5．（2021•新课标Ⅲ）已知曲线2:2x C y = D 为直线12y =-上的动点 过D 作C 的两条切线 切点分别为A B ． （1）证明：直线AB 过定点（2）若以5(0,)2E 为圆心的圆与直线AB 相切 且切点为线段AB 的中点 求四边形ADBE的面积．【解答】解：（1）证明：22x y =的导数为y x '=设切点1(A x 1)y 2(B x 2)y 即有2112x y = 2222x y =切线DA 的方程为111()y y x x x -=- 即为2112x y x x =-切线DB 的方程为2222x y x x =-联立两切线方程可得121()2x x x =+可得121122y x x ==- 即121x x =- 直线AB 的方程为2112112()2x y y y x x x x --=-- 即为211211()()22x y x x x x -=+- 可化为1211()22y x x x =++可得AB 恒过定点1(0,)2（2）法一：设直线AB 的方程为12y kx =+由（1）可得122x x k += 121x x =- AB 中点21(,)2H k k +由H 为切点可得E 到直线AB 的距离即为||EH15||-=解得0k =或1k =± 即有直线AB 的方程为12y =或12y x =±+由12y =可得||2AB = 四边形ADBE 的面积为12(12)32ABE ABD S S ∆∆+=⨯⨯+= 由12y x =±+可得||1444AB =+=此时1(1,)2D ±-到直线AB11|1|++= 5(0,)2E 到直线AB15||-=则四边形ADBE的面积为142ABE ABD S S ∆∆+=⨯⨯=法二：（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+． 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 可得2210x tx --=． 于是122x x t += 121x x =- 21212()121y y t x x t +=++=+212|||2(1)AB x x t =-=+．设1d 2d 分别为点D E 到直线AB 的距离则1d =2d =因此 四边形ADBE的面积2121||()(2S AB d d t =+=+． 设M 为线段AB 的中点 则21(,)2M t t +．由于EM AB ⊥ 而2(,2)EM t t =- AB 与向量(1,)t 平行 所以2(2)0t t t +-=．解得0t =或1t =±．当0t =时 3S = 当1t =±时S = 综上 四边形ADBE 的面积为3或6．（2013秋•临川区校级月考）在平面直角坐标系xoy 中 如图 已知椭圆22195x y +=的左右顶点为A B 右焦点为F 设过点(,)T t m 的直线TA TB 与此椭圆分别交于点1(M x 1)y 2(N x 2)y 其中0m > 10y > 20y <（1）设动点P 满足()()13PF PB PF PB +-= 求点P 的轨迹方程 （2）设12x = 213x = 求点T 的坐标（3）若点T 在点P 的轨迹上运动 问直线MN 是否经过x 轴上的一定点 若是 求出定点的坐标 若不是 说明理由．【解答】解：（1）由椭圆22195x y +=可得：29a = 25b =2c =．(2,0)F ∴ (3,0)B ．设(,)P x y 则(2,)PF x y =-- (3,)PB x y =--． 满足()()13PF PB PF PB +-= (52x ∴- 2)(1y -- 0)13= 2513x ∴-=化简得9x =故P 的轨迹方程为9x =（2）由221112,195x y x =+=及10y >得153y = 则点5(2,)3M 从而直线AM 的方程为113y x =+同理可以求得直线BN 的方程为5562y x =- 联立两方程可解得107,3x y ==∴点T 的坐标为10(7,)3． （3）假设直线MN 过定点 由T 在点P 的轨迹上 (9,)T m 直线AT 的方程为(3)12m y x =+ 直线BT 的方程为(3)6my x =- 点1(M x 1)y 满足112211(3)12195m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得221112(3)(3)(3)9125x x x m -++=- 又13x ≠ 解得212240380m x m -=+ 从而得124080my m =+． 同理：22236020m x m -=+ 222020my m -=+．∴直线MN 的方程：22222010360()204020m m m y x m m m -+=-+-+令0y = 解得1x =．∴直线MN 经过定点(1,0)．7．（2010•江苏）在平面直角坐标系xOy 中 如图 已知椭圆22195x y +=的左 右顶点为AB 右焦点为F ．设过点(,)T t m 的直线TA TB 与椭圆分别交于点1(M x 1)y 2(N x 2)y其中0m > 10y > 20y <．（1）设动点P 满足224PF PB -= 求点P 的轨迹 （2）设12x = 213x = 求点T 的坐标（3）设9t = 求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）．【解答】解：（1）设点(,)P x y 则：(2,0)F (3,0)B (3,0)A -． 由224PF PB -= 得2222(2)[(3)]4x y x y -+--+= 化简得92x =． 故所求点P 的轨迹为直线92x =． （2）将1212,3x x ==分别代入椭圆方程 以及10y > 20y < 得5(2,)3M 1(3N 20)9-直线MTA 方程为：0352303y x -+=+- 即113y x =+ 直线NTB 方程为：032010393y x --=--- 即5562y x =-． 联立方程组 解得：7103x y =⎧⎪⎨=⎪⎩所以点T 的坐标为10(7,)3．（3）点T 的坐标为(9,)m 直线MTA 方程为：03093y x m -+=-+ 即(3)12my x =+ 直线NTB 方程为：03093y x m --=-- 即(3)6my x =-． 分别与椭圆22195x y +=联立方程组 同时考虑到13x ≠- 23x ≠解得：2223(80)40(,)8080m m M m m -++ 2223(20)20(,)2020m mN m m--++． （方法一）当12x x ≠时直线MN 方程为：222222222203(20)202040203(80)3(20)80208020m m y x m m m m m m m m m m -+-++=--+-++++ 令0y = 可得22222201030(20)2040(20)(40)m x m m m m -=-+-+-即为2210104040x m m =--令0y = 解得：1x =．此时必过点(1,0)D当12x x =时 直线MN 方程为：1x = 与x 轴交点为(1,0)D ． 所以直线MN 必过x 轴上的一定点(1,0)D ．（方法二）若12x x = 则由222224033608020m m m m --=++及0m >得m =此时直线MN 的方程为1x = 过点(1,0)D ．若12x x ≠则m ≠ 直线MD 的斜率2222401080240340180MDmmm k m m m +==---+直线ND 的斜率222220102036040120NDmm m k m m m -+==---+ 得MD NDk k = 所以直线MN 过D 点． 因此 直线MN 必过x 轴上的点(1,0)．8．（2021•西安一模）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F 过F 的直线l 与C 交于A B 两点 点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时 求直线AM 的方程 （2）设O 为坐标原点 直线l 不与x 轴重合 求OMAOMB∠∠的值．【解答】解：（1）由已知得(1,0)F l 的方程为1x = 由已知可得 点A的坐标为或(1,． 所以AM的方程为y x =或y （2）当l 与x 轴重合时 0OMA OMB ∠=∠=︒当l 与x 轴不重合也不垂直时 设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠ 1(A x 1)y 2(B x 2)y当12x x << 直线MA MB 的斜率之和为121222MA MB y y k k x x +=+--由11(1)y k x =- 22(1)y k x =-得12121223()4(2)(2)MA MB kx x k x x kk k x x -+++=--将(1)y k x =-代入2212x y += 得2222(21)4220k x k x k +-+-=所以22121222422,2121k k x x x x k k -+==++． 则3331212244128423()4021k k k k kkx x k x x k k --++-++==+从而0MA MB k k += 故MA MB 的倾斜角互补 所以OMA OMB ∠=∠ 所以1OMAOMB∠=∠．9．（2021春•湖北期中）如图 椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于A B 两点 当直线l 平行于x 轴时 直线l 被椭圆E 截得的线段长为4．（Ⅰ）求椭圆E 的方程（Ⅱ）设O 为坐标原点 是否存在常数λ 使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值？若存在 求λ的值 若不存在 请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于A B 两点∴22222411c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得28a = 22b = ∴椭圆E 的方程为22182x y +=．（Ⅱ）当直线AB 的斜率存在时 设直线AB 的方程为1y kx =+ 1(A x 1)y 2(B x 2)y 联立221182y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得22(41)840k x kx ++-=△22648(41)0k k =++> 122841k x x k +=-+ 122441x x k -=+从而12121212[(1)(1)]OA OB PA PB x x y y x x y y λλ⋅+⋅=+++--21212(1)(1)()1k x x k x x λ=+++++22(48)(43)41k k λλ--+--=+∴当13λ=-时 53OA OB PA PB λ⋅+⋅=-此时 53OA OB PA PB λ⋅+⋅=-为定值．当直线AB 的斜率不存在时 直线AB 即为直线CD 此时 1533OA OB PA PB OC OD PC PD λ⋅+⋅=⋅-⋅=-．故存在常数13λ=- 使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值53-．10．（2021春•湛江校级月考）如图 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(2,3)P 离心率12e =直线l 的方程为4y =． （Ⅰ）求椭圆C 的方程（Ⅱ）AB 是经过(0,3)的任一弦（不经过点)P 设直线AB 与直线l 相交于点M 记PAPB PM 的斜率分别为1k 2k 3k ．问：是否存在常数λ 使得11k 十231k k λ=？若存在 求λ的值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C 经过点(2,3)P∴22491a b +=又12c e a == 222a b c =+ 216a ∴= 212b =∴椭圆C 的方程为：2211612x y +=（Ⅱ）结论：存在常数2λ= 使得11k 十2312k k =． 理由如下：①当AB 斜率存在时 不妨设为3y kx =+联立直线AB 与椭圆方程 消去y 整理得：22(34)24120k x kx ++-= 设1(A x 1)y 2(B x 2)y 则1222434kx x k +=-+ 1221234x x k -=+ ∴11k 十1221222133x x k y y --=+-- 121222x x kx kx --=+12122[(1)(1)]k x x =-+- 12122(1)x x k x x +=- 224(1)12k k -=-- 24k =-令4y = 则34kx += 从而1(M k4)则3122 34kk kλλλλ-==--11k十231k kλ=∴对比可知2λ=②当AB斜率不存在时不妨设(0A(0,B-(0,4)M则11k十214k==-312k=-当2λ=时也成立综上所述存在常数2λ=使得11k十2312k k=．11．（2013•江西）如图椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>经过点3(1,)2P离心率12e=直线l 的方程为4x=．（1）求椭圆C的方程（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点)P设直线AB与直线l相交于点M记PAPB PM的斜率分别为1k2k3k．问：是否存在常数λ使得123k k kλ+=？若存在求λ的值若不存在说明理由．【解答】解：（1）椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>经过点3(1,)2P可得22191(0)4a ba b+=>>①由离心率12e=得12ca=即2a c=则223b c=②代入①解得1c=2a=b=故椭圆的方程为22143x y+=（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k则直线AB的方程为(1)y k x=-③代入椭圆方程22143x y+=并整理得2222(43)84120k x k x k+-+-=设1(A x1)y2(B x2)y2122843k x x k +=+ 212241243k x x k -=+④ 在方程③中 令4x =得 M 的坐标为(4,3)k 从而111321y k x -=- 222321y k x -=- 33312412k k k -==-- 注意到A F B 共线 则有AF BF k k k == 即有121211y yk x x ==-- 所以1212121212123331122()1111211y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------ 1212122322()1x x k x x x x +-=-⨯-++⑤ ④代入⑤得22122222823432214128214343k k k k k k k k k k -++=-⨯=---+++ 又312k k =-所以1232k k k += 故存在常数2λ=符合题意方法二：设0(B x 00)(1)y x ≠ 则直线FB 的方程为00(1)1y y x x =-- 令4x = 求得003(4,)1y M x - 从而直线PM 的斜率为0030212(1)y x k x -+=-联立2200143(1)1x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩得0058(25x A x -- 003)25y x - 则直线PA 的斜率00102252(1)y x k x -+=- 直线PB 的斜率为020232(1)y k x -=-所以000001230002252321222(1)2(1)2(1)y x y y x k k k x x x -+--++=+=⨯=---故存在常数2λ=符合题意12．（2021•新课标Ⅰ）已知A B 分别为椭圆222:1(1)x E y a a+=>的左 右顶点 G 为E 的上顶点 8AG GB ⋅=．P 为直线6x =上的动点 PA 与E 的另一交点为C PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程（2）证明：直线CD 过定点． 【解答】解：如图所示：（1）由题意(,0)A a - (,0)B a (0,1)G∴(,1)AG a = (,1)GB a =- 218AG GB a ⋅=-= 解得：3a =故椭圆E 的方程是2219x y +=（2）由（1）知(3,0)A - (3,0)B 设(6,)P m 则直线PA 的方程是(3)9my x =+联立22222219(9)69810(3)9x y m x m x m m y x ⎧+=⎪⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎪⎩由韦达定理2222981327399c c m m x x m m --+-=⇒=++代入直线PA 的方程为(3)9my x =+得： 269c m y m =+ 即22327(9m C m -++ 26)9mm +直线PB 的方程是(3)3my x =-联立方程22222219(1)6990(3)3x y m x m x m m y x ⎧+=⎪⎪⇒+-+-=⎨⎪=-⎪⎩由韦达定理22229933311D D m m x x m m --=⇒=++代入直线PB 的方程为(3)3m y x =-得221D my m -=+即2233(1m D m -+ 22)1mm -+则①当c D x x =即22222733391m m m m --=++时 有23m = 此时32c D x x ==即CD 为直线32x =②当c D x x ≠时 直线CD 的斜率243(3)C D CD C D y y mK x x m -==--∴直线CD 的方程是22222433()13(3)1m m m y x m m m---=-+-+ 整理得： 243()3(3)2m y x m =-- 直线CD 过定点3(20)． 综合①②故直线CD 过定点3(20)．13．（2021•怀化一模）如图 已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点 点F 为抛物线2:C y x =的焦点 且抛物线C 上存在不同的两点A B ．（1）若AB 中点为M 且满足PA PB 的中点均在C 上 证明：PM 垂直于y 轴 （2）若点A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧 6(OA OB O ⋅=为坐标原点） 且ABO ∆与AFO ∆的面积分别为1S 和2S 求124S S +最小值．【解答】解：（1）证明：设0(P x 0)y 21(A y 1)y 22(B y 2)y因为直线PA PB 的中点在抛物线上所以1y 2y 为方程2200()22y y y y ++=的两个根 即220002220y y y y y -+-= 的两个不同的实数根 所以1202y y y += 所以PM 垂直于y 轴． （2）根据题意可得1(4F 0)设1(A x 1)y 2(B x 2)y 则211x y = 222x y = 所以22121212126x x y y y y y y +=+= 则123y y =-或122y y = 因为A B 位于x 轴的两侧 所以123y y =- 设直线AB 的方程为x ty m =+ 联立2x ty my x=+⎧⎨=⎩ 得20y ty m --=所以123y y m =-=- 则3m = 所以直线过定点(3,0)所以1212111143||4||224S S y y y +=⨯⨯-+⨯⨯11211111131339()()2226222222y y y y y y y y y =⨯-+=⨯+=+⨯当且仅当11922y y =即132y =时取等号 故124S S +的最小值为6．14．（2021•丽水月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率12e = 1F 2F 是椭圆C 的左右焦点 过2F 且垂直于长轴的弦长为3． （Ⅰ）求椭圆C 的方程（Ⅱ）过点(1,0)-的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A B 若以AB 为直径的椭圆经过右焦点2F 求直线l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2(0)c c >． 由已知 22221223c a ba abc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得：2243a b ⎧=⎨=⎩ 所以椭圆的标准方程为：22143x y +=．（Ⅱ）由题意直线l 不能是x 轴 设:1l x my =- 1(A x 1)y 2(B x 2)y 联立2213412x my x y =-⎧⎨+=⎩可得22(34)690m y my +--= 则122634m y y m +=+ 122934y y m =-+ 因为以AB 为直径的圆经过右焦点2F 所以222121212121212(1)(1)(2)(2)(1)2()40F A F B x x y y my my y y m y y m y y =--+=--+=+-++=．即22296(1)()2403434mm mm m +--+=++解得m =直线l 方程为：330x +=或330x +=． 15．已知定理：如果二次曲线220Ax Cy Dx Ey F ++++=与直线0(0)mx ny q q ++=≠有两个公共点P Q O 是坐标原点 则OP OQ ⊥的充要条件是222()()()0A C q mD nE q m n F +-+++=．（1）试根据上述定理 写出直线:230l x y +-=与圆22:60C x y x y c ++-+=相交于P Q 坐标原点为O 且OP OQ ⊥的充要条件 并求c 的值（2）若椭圆22221x y a b+=与直线0mx ny q ++=相交两点P Q 而且OP QQ ⊥ 试判断直线PQ 与圆2222111x y a b +=+的位置关系 并说明理由．【解答】解：（1）由定理可知OP OQ ⊥的充要条件为：22(3)(212)(3)(14)0c ⨯---⨯-++= 即183050c -+= 125c ∴=． （2）椭圆22221x y a b+=与直线0mx ny q ++=相交两点P Q2222211()()0q m n a b∴+-+= 即2222211m n a b q ++=． ∴圆2222111x y a b +=+的半径为r 又圆心(0,0)到直线PQ的距离为d =d r ∴=∴直线PQ 与圆2222111x y a b+=+相切．16．若直线:230l x y +-=与圆2220x y mx m +-+=相交于P Q 两点 并且OP OQ ⊥ 求实数m 的值．【解答】解：设1(P x 1)y 2(Q x 2)y ．联立2223020x y x y mx m +-=⎧⎨+-+=⎩ 化为25(86)940x m x m -+++=． △2(86)800m m =+-> 216490m m ++>．(*) 12865m x x +∴+=12945mx x +=． 1212121233195[93()]2245x x my y x x x x ---∴=⨯=-++=．OP OQ⊥∴12129495055m mOP OQ x x y y +-=+=+=解得18m =．满足(*)． 18m ∴=．17．（2021•朝阳区校级月考）在直角坐标系xOy 中 曲线2:4C x y =与直线(0)y kx a a =+>交于M N 两点．（1）当0k =时 分别求C 在点M 和N 处的切线方程（2）y 轴上是否存在点P 使得当k 变动时 总有OPM OPN ∠=∠？说明理由．【解答】解：（1）联立24y ax y =⎧⎪⎨=⎪⎩可得)M a()N a -或()M a -)N a ．12y x '= 故24x y =在x =C在,)a处的切线方程为y a x -=-0y a --=．故24x y =在x =-处的导数值为C在(,)a -处的切线方程为y a x -=+0y a ++=．0y a --=0y a ++=． （2）存在符合题意的点 证明如下：设(0,)P b 为符合题意的点 1(M x 1)y 2(N x 2)y 直线PM PN 的斜率分别为1k 2k ．将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=． 124x x k ∴+= 124x x a =-．∴1212121212122()()()y b y b kx x a b x x k a b k k x x x x a--+-+++=+==． 当b a =-时 有120k k += 则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补 故OPM OPN ∠=∠ 所以(0,)P a -符合题意．18．（2013秋•普宁市校级月考）已知动圆过定点(4,0)A 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8． （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程（2）若轨迹C 与圆222:(5)(0)M x y r r -+=>相交于A B C D 四个点 求r 的取值范围（3）已知点(1,0)B - 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P Q 若x 轴是PBQ ∠的角平分线 证明直线l 过定点．【解答】解：（1）设圆心(,)C x y 过点C 作CE y ⊥ 轴 垂足为E 则1||||2ME MN =2222||||||||CA CM ME EC ∴==+2222(4)4x y x ∴-+=+ 化为28y x =（2）联立22228(5)y xx y r⎧=⎨-+=⎩ 得222250x x r -+-=． 轨迹C 与圆222:(5)(0)M x y r r -+=>相交于A B C D 四个点 ∴222(2)4(25)0250r r ⎧=--->⎨->⎩解得5r <（3）设1(P x 1)y 2(Q x 2)y由题意可知120y y +≠ 212110.8y y y x <= 2228y x =．x 轴是PBQ ∠的角平分线 PB QB k k ∴=-∴121211y y x x =-++ ∴1222121188y yy y =-++ 化为1280y y +=． 直线PQ 的方程为211121()y y y y x x x x --=--∴21112221()88y y y y x x y y --=-- 化为211218()8y y y x y y -=-+ 化为2211211()()8y y y y y y x y +-+=- 12()88y y y x ++= 令0y = 则1x =∴直线PQ 过定点(1,0)．19．（2021•金牛区校级期末）已知动圆过定点(4,0)A 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8． （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C 的方程（Ⅱ）已知点(3,0)B - 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P Q 若x 轴是PBQ ∠的角平分线 证明直线l 过定点．【解答】解：（Ⅰ）设动圆圆心(,)P x y 则2222||||4PM PA x ==+即：2222(4)4x y x -+=+ 即动圆圆心的轨迹方程为：28y x =（Ⅱ）设两点1(P x 1)y 2(Q x 2)y 设不垂直于x 轴的直线：:(0)l x ty m t =+≠ 则28x ty my x=+⎧⎨=⎩有：2880y ty m --= 所以：128y y t += 128y y m =- 因为x 轴是PBQ ∠的角平分线 所以：0BP BQ k k +=即：1212033y yx x +=++即：12122(3)()0ty y m y y +++= 则：16(3)80tm m t -++= 所以：3:3m l x ty ==+所以直线l 过定点(3,0)．20．（2021•平顶山一模）已知动圆过定点(4,0)A 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8． （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程（2）已知点(1,0)B - 长为PQ 的两端点在轨迹C 上滑动．当x 轴是PBQ ∠的角平分线时 求直线PQ 的方程．【解答】解：（1）(4,0)A 设圆心(,)C x y 线段MN 的中点为E 则由圆的性质得：2MNME =2222CA CM ME EC ==+ 222(4)4x y x ∴-+=+ 即28y x =． （2）设1(P x 1)y 1(Q x 1)y 由题意可知2118y x = 2228y x =．（ⅰ）当PQ 与x 轴不垂直时 120y y +≠ 120y y < 由x 轴平分PBQ ∠ 得121211y yx x =-++∴122212088y y y y +=++1212()(8)0y y y y ∴++= 1280y y ∴+=．设直线:PQ x my n =+代入C 的方程得：2880y my n --=． 880n ∴-= 即1n =．由于 2212|||6432PQ y y m =-=+=∴212m =因此 直线PQ 的方程为10x y -=．（ⅱ）当PQ 与x 轴垂直时 ||PQ =可得直线PQ 的方程为3x =．综上 直线PQ 的方程为10x y -=或3x =．21．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>离心率e 过(1,0)C -点且斜率为1的直线l 与椭圆交于A B 两点 且C 点分有向线段AB 所成的比为3． （1）求该椭圆方程（2）P Q 为椭圆上两动点 满足0OP OQ = 探求2211||||OP OQ +是否为定值 并说明理由．【解答】解：（1）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>离心率e ∴22222212c a b e a a -=== 222a b ∴= 过(1,0)C -点且斜率为1的直线l 与椭圆交于A B 两点∴直线l 的方程为1y x =+联立222122y x x y b=+⎧⎨+=⎩ 得2234220x x b ++-= 设1(A x 1)y 2(B x 2)y 则1243x x +=- 212223b x x -=C 点分有向线段AB 所成的比为3 ∴3AC CB = 1(1x ∴-- 12)3(1y x -=+ 2)y 12340x x ∴++=∴12224()242403x x x x +++=-++=解得243x =- 10x =21b ∴= 22a =∴椭圆方程为2212x y +=．（2）设直线PQ 为：y kx m =+联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-= 设3(P x 3)y 4(Q x 4)y 则342412kmx x k +=-+ 23422212m x x k -=+ 22343422()()12m k y y kx m kx m k -∴=++=+34340x x y y +=2222220m m k ∴-+-= ∴22213m k =+∴原点到直线PQ的距离d ==222222211||||||13()||||(||||)||||2OP OQ PQ OP OQ OP OQ OP OQ d ++====当PQ 的斜率不存在时 仍然满足上述关系综上2211||||OP OQ +为定值32． 22．（2014•江西一模）如图 1F 2F是离心率为2的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点 直线1:2l x =-将线段12F F 分成两段 其长度之比为1:3．设A B 是C 上的两个动点 线段AB 的中点M 在直线l 上 线段AB 的中垂线与C 交于P Q 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程（Ⅱ）是否存在点M 使以PQ 为直径的圆经过点2F 若存在 求出M 点坐标 若不存在 请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设2(,0)F c直线1:2l x =-将线段12F F 分成两段 其长度之比为1:3∴112132c c -=+解得1c =．离心率为e =a ∴ ∴椭圆C 的方程为2212x y +=．（Ⅱ）当直线AB 垂直于x 轴时 直线AB 的方程为12x =-此时(P 0)Q 0) 221F P F Q =- 不合题意． 当直线AB 不垂直于x 轴时 设存在点1(2M - )m 0m ≠设直线AB 的斜率为k 1(A x 1)y 2(B x 2)y 由221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得12121212()2()0y y x x y y x x -+++=-则140mk -+= 故14k m =此时 直线PQ 的斜率为14k m =-PQ 的直线方程为14()2y m m x -=-+ 即4y mx m =--．联立22412y mx m x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 整理 得2222(321)16220m x m x m +++-=． ∴212216321m x x m +=-+ 212222321m x x m -=+由题意220F P F Q =∴221212(1)(1)F P F Q x x y y =--+121212()1(4)(4)x x x x mx m mx m =-+++++2221212(116)(41)()1m x x m x x m =++-+++2222222(116)(22)(41)(16)1321321m m m m m m m +---=+++++ 221910321m m -==+m ∴=． M 在椭圆内 ∴278m <m ∴=符合条件． 综上所述 存在两点M 符合条件 坐标为1(2M -和1(2M -．23．（2021•沈阳一模）设O 为坐标原点 动点M 在椭圆22194x y +=上 过M 作x 轴的垂线垂足为N 点P 满足2NP NM =． （Ⅰ）求点P 的轨迹方程E（Ⅱ）过(1,0)F 的直线1l 与点P 的轨迹交于A B 两点 过(1,0)F 作与1l 垂直的直线2l 与点P 的轨迹交于C D 两点 求证：11||||AB CD +为定值． 【解答】（Ⅰ）解：设(,)P x y 则(,0)N x (0,)NPy =又NM ==∴()M x y由M 在椭圆上得2219x += 即22198x y +=（Ⅱ）证明：当1l 与x 轴重合时 ||6AB = 16||3CD =∴1117||||48AB CD +=． 当1l 与x 轴垂直时 16||3AB =||6CD = ∴1117||||48AB CD +=． 当1l 与x 轴不垂直也不重合时 可设1l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠ 此时设1(A x 1)y 2(B x 2)y 3(C x 3)y 4(D x 4)y 把直线1l 与曲线E 联立22(1)198y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(89)189720k x k x k +-+-=可得△2222(18)4(89)(972)0k k k =--+->．21221889k x x k +=+ 212297289k x x k -=+．∴2248(1)||89k AB k +=+把直线2l 与曲线E 联立221(1)198y x kx y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩同理可得2248(1)||98k CD k +==+．∴222211899817||||48(1)48(1)48k k AB CD k k +++=+=++为定值． 24．（2021春•凉山州期末）O 为坐标原点 动点M 在椭圆22:12x C y +=上 过M 作x 轴的垂线 垂足为N 点P 满足2NP NM =． （1）求点P 的轨迹方程（2）设点Q 在直线3x =-上 且1OP PQ = 直线l 过点P 且垂直于OQ 求证：直线过定点．【解答】解：（1）设(,)P x y (,)M x y '' 则(,0)N x ' (,)NP x x y '=- (0,)NM y '=由2NP NM =得：x x '=y ' 因为M 点在椭圆上2212x y += 所以22122x y +=即点P 的轨迹方程：222x y +=（2）由题意设(3,)Q t - (,)P m n 则222m n += 由1OP PQ =得：(m )(3n m -- )1t n -= 2231m m tn n ∴--+-= 330m tn ∴+-=由已知得 直线l 的方程：333333()(1)m m y x m n x x t t t t t +=-+=-+=+所以直线恒过定点(1,0)-．25．（2021•武汉月考）设O 为坐标原点 动点M 在椭圆22:142x y E +=上 过点M 作x 轴的垂线 垂足为N 点P 满足2NP NM = （1）求点P 的轨迹方程（2）设(1,0)A 在x 轴上是否存在一定点B 使||2||BP AP =总成立？若存在 求出B 点坐标 若不存在 说明理由．【解答】解：（1）设(,)P x y 点M 坐标为1(x 1)y 1(N x 0) 则2211142x y +=① 由2NP NM =知11x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩即11x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩代入①得224x y += 即点P 的轨迹方程224x y +=． （2）假设存在点(,0)B m 设(,)P x y 由||2||BP AP =得即22233(28)4x y m x m ++-=- 又点P 的轨迹方程为224x y += 故2280412m m -=⎧⎨-=⎩解得4m =．∴存在点(4,0)B 满足条件．26．（2021•武昌区校级期末）设点O 为坐标原点 动点M 在椭圆22:12x C y +=上 过点M作x 轴的垂线 垂足为N 点P 满足2NP NM =． （1）求点P 的轨迹方程（2）设点Q 在直线3x =-上 且1OP PQ = 过点P 作直线l 使得l OQ ⊥． ()i 证明：直线l 过定点（记为点)T 并求出该点的坐标()ii 当P Q 两点在直线OT 同侧时 求四边形OPQT 的面积的取值范围．【解答】解：（1）设0(M x 0)y 0(N x 0) (,)P x y 则220012x y +=点P 满足2NP NM =可得0(x x - 0))y y =即有0x x = 0y = 即0y y =可得22122x y +=即P 的轨迹方程为222x y += （2）()i 证明：设(3,)Q t - (,)P m n由1OP PQ = 可得(m )(3n m -- 22)31t n m m nt n -=--+-= 可得33nt m -= 直线3:()l y n x m t -=-即为33ty tn x m -=-可得3333ty m x m --=- 即为33ty x =+ 由10x += 即1x =- 0y = 则直线l 恒过定点(1,0)T -()ii 设m α= n α= 设n 0t > (0,)απ∈ 则13t m n +-=-可得t =由PT OQ ⊥ 可得四边形OPQT 的面积为： 22211||||(1)922S PT OQ n m t ==+++9(119+=+32232sin α+=322cos sin α+=由2222sin S α-'=23cos sin αα--=由0S '=可得cos α= 1sin 3α=即有83233143S -=由cos α在(0,)απ∈递减 可得S则四边形OPQT 的面积的取值范围为 )+∞． 27．（2021•巨鹿县校级期中）设A B 为曲线：24x y =上两点 A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率（2）设M 为曲线C 上一点 C 在M 处的切线与直线AB 平行 且AM BM ⊥ 求直线AB 的方程．【解答】解：（1）设1(A x 21)4x 2(B x 22)4x 为曲线2:4x C y =上两点 则直线AB 的斜率为221212121144()4144x x k x x x x -==+=⨯=- （2）设直线AB 的方程为y x t =+ 代入曲线2:4x C y =可得2440x x t --= 即有124x x += 124x x t =-再由24x y =的导数为12y x'=设2(,)4m M m 可得M 处切线的斜率为12m由C 在M 处的切线与直线AB 平行 可得112m =解得2m = 即(2,1)M由AM BM ⊥可得 1AM BM k k =-即为2212121144122x x x x --=--- 化为12122()200x x x x +++= 即为48200t -++=解得7t=．则直线AB的方程为7=+．y x28．（2021•定远县三模）在平面直角坐标系xOy中已知椭圆如图所示斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于两点A B线段AB的中点为E射线OE交椭圆C于点G交直线x＝﹣3于点D（﹣3 m）．（1）求m2+k2的最小值（2）若|OG|2＝|OD|•|OE| 求证：直线l过定点．【解答】解：（1）设直线l的方程为y＝kx+t（k＞0）由题意t＞0由方程组得（3k2+1）x2+6ktx+3t2﹣3＝0由题意Δ＞0 所以3k2+1＞t2设A（x1y1）B（x2y2）由根与系数的关系得所以由于E为线段AB的中点因此此时所以OE所在直线的方程为又由题意知D（﹣3 m）令x＝﹣3 得即mk＝1所以m2+k2≥2mk＝2 当且仅当m＝k＝1时上式等号成立此时由Δ＞0得0＜t＜2 因此当m＝k＝1且0＜t＜2时m2+k2取最小值2．（2）证明：由（1）知D所在直线的方程为将其代入椭圆C的方程并由k＞0 解得又由距离公式及t ＞0得由|OG |2＝|OD |•|OE | 得t ＝k因此直线l 的方程为y ＝k （x +1） 所以直线l 恒过定点（﹣1 0）．29．（2021•涪城区校级模拟）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F A 为C 上异于原点的任意一点 过点A 的直线L 交C 于另一点B 交x 轴的正半轴于点D 且有||||FA FD = 当点A 的横坐标为3时 ADF ∆为正三角形．（1）求C 的方程（2）若直线1L 平行L 且1L 和C 有且只有一个公共点E 证明直线AE 恒过定点求ABE ∆的面积最小值．【解答】解：（1）当点A 的横坐标为3时 过点A 作AG x ⊥轴于GA (2pF 0) ||||32p FA FD ∴==+． ADF ∆为正三角形13||||224pFG FD ∴==+． 又||||||32pFG OG OF ===-33224p p ∴-=+2p ∴=．C ∴的方程为24y x =．当D 在焦点F 的左侧时 ||||32pFA FD ==+ 又||2||2(3)62pFD FG p ==-=-ADF ∆为正三角形362pp ∴+=- 解得18p = C ∴的方程为236y x =．此时点D 在x 轴负半轴 不成立 舍． C ∴的方程为24y x =．（2）证明：设1(A x 1)y 1||||1FD AF x ==+ 1(2D x ∴+ 0)12AD y k ∴=-． 由直线1//l l 可设直线1l 方程为12y y x m =-+联立方程 消去x 得21880y y y m +-=①由1l 和C 有且只有一个公共点得△164320y m =+= 12y m ∴=- 这时方程①的解为2y m = 代入12y y x m =-+得2x m = 2(E m ∴ 2)m ． 点A 的坐标可化为21(m 2)m - 直线AE 方程为222222()1m m y m x m m m +-=--即22(1)1my x m =--∴直线AE 过定点(1,0)直线AB 的方程为2111()24y y y y x -=-- 即211224y x y y =-++． 联立方程 消去x 得22118(8)0y y y y +-+=1218y y y ∴+=-12118|||2|AB y y y y ∴=-=+点E 的坐标为214(E y 14)y - 点E 到直线AB的距离为：2124|2|y d ++=ABE ∴∆的面积31112||2||1622y S AB d y ==+当且仅当12y =±时等号成立ABE ∴∆的面积最小值为16．30．（2021春•合肥期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点1)2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程（Ⅱ）已知(0,)A b (,0)B a 点P 是椭圆C 上位于第三象限的动点 直线AP BP 分别将x 轴 y 轴于点M N 求证：||||AN BM 为定值．【解答】解：得c a = 2a b ∴=． 又椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点1)2∴2231144b b += 解得21b = ∴椭圆C 的方程为2214x y +=．（Ⅱ）设点0(P x 00)(20y x -<< 010)y -<<．由（Ⅰ）知 (0,1)A (2,0)B∴直线AP 的方程为0011y y x x -=+．令0y =得 001M xx y =-． 直线BP 的方程为00(2)2y y x x =--．令0x =得 022N y y x =-． ∴00000222||122y x y AN x x --=-=-- 0000022||211x x y BM y y --=-=--∴22200000000000000000000000000002222(22)444844(22)||||421(2)(1)2222x y x y x y x y x y x y x y x y AN BM x y x y x y x y x y x y ------++--+--+=====------+--+ 是一个确定的定值．31．（2021•黄浦区校级月考）已知抛物线C 关于y 轴对称 且经过点(2,1)- （1）求抛物线C 的标准方程及其准线方程（2）设O 为原点 过抛物线C 的焦点F 作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M N 抛物线的准线分别交直线OM ON 于点A 和点B 求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点【解答】解：（1）设抛物线2:2(0)C x py p =->经过点(2,1)-．可得42p = 即2p = 可得抛物线C 的方程为24x y =- 准线方程为1y = （2）证明：抛物线24x y =-的焦点为(0,1)F -设直线方程为1y kx =- 联立抛物线方程 可得2440x kx +-= 设1(M x 1)y 2(N x 2)y 可得124x x k +=- 124x x =- 直线OM 的方程为11y y x x = 即14xy x =- 直线ON 的方程为22y y x x = 即24x y x =-可得14(A x -1) 24(B x - 1) 可得AB 的中点的横坐标为121142()224kk x x --+=-=--即有AB 为直径的圆心为(2,1)k -半径为212||1441616||2224AB k x x +=-==可得圆的方程为222(2)(1)4(1)x k y k -+-=+ 化为224(1)4x kx y -+-= 由0x = 可得1y =-或3．则以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点(0,1)- (0,3)．32．在直角坐标系xOy 中 点p到两点(0,的距离之和等于4 设点p 的轨迹为C 直线1y kx =+与C 交于A B 两点． （1）求C 的方程 （2）若||AB =求k 的值 （3）若OA OB ⊥ 求k 的值 （4）当1k =时 求AB 的中点坐标． 【解答】解：（1）4> ∴点p 的轨迹C 为椭圆．设椭圆的标准方程为22221(0)y x a b a b+=>>．则24a =c 2221b a c =-=．∴椭圆C 的标准方程为：2214y x +=．（2）设1(A x 1)y 2(B x 2)y ．联立22114y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化为22(4)230k x kx ++-= 12224k x x k -∴+=+ 12234x x k -=+8||5AB=∴222224(3)128(1)[()]4425k k k k -⨯-∴+-=++化为421736530k k +-= 解得21k = 1k ∴=±．（3）OA OB ⊥∴0OA OB =12120x x y y ∴+=212121212(1)(1)()1y y kx kx k x x k x x =++=+++ 21212(1)()10k x x k x x ∴++++=。
2024年高考数学复习大题全题型专练：专题14 圆锥曲线中的定值定点问题(原卷版)
专题14圆锥曲线中的定值定点问题1．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过 30,2,,12A B两点．(1)求E 的方程；(2)设过点 1,2P 的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH．证明：直线HN 过定点．2．（2021·全国·高考真题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b，右焦点为F，且离心率为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x 相切．证明：M ，N ，F三点共线的充要条件是||MN 3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知椭圆M ：22221x y a b （a >b >0）的离心率为22，AB 为过椭圆右焦点的一条弦，且AB 长度的最小值为2.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点，点 2,0P ，记直线PC 的斜率为1k ，直线PD 的斜率为2k ，当12111k k 时，是否存在直线l 恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由.4．（2022·上海松江·二模）2222:1(0)x y a b a b 的右顶点坐标为(2,0)A ，左、右焦点分别为1F 、2F ，且122F F ，直线l 交椭圆 于不同的两点M 和N ．(1)求椭圆 的方程；(2)若直线l 的斜率为1，且以MN 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程；(3)若直线l 与椭圆 相切，求证：点1F 、2F 到直线l 的距离之积为定值．5．（2022·上海浦东新·二模）已知12F F 、分别为椭圆E ：22143x y的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆E 于,A B 两点．(1)当直线l 垂直于x 轴时，求弦长AB ；(2)当2OA OB时，求直线l 的方程；(3)记椭圆的右顶点为T ，直线AT 、BT 分别交直线6x 于C 、D 两点，求证：以CD 为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．6．（2022·上海长宁·二模）已知,A B 分别为椭圆222Γ:1(1)xy a a的上、下顶点，F 是椭圆 的右焦点，M 是椭圆 上异于,A B 的点．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2(1)若π3AFB，求椭圆 的标准方程(2)设直线:2l y 与y 轴交于点P ，与直线MA 交于点Q ，与直线MB 交于点R ，求证：PQ PR 的值仅与a 有关(3)如图，在四边形MADB 中，MA AD ，MB BD ，若四边形MADB 面积S 的最大值为52，求a 的值．7．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）圆O ：224x y 与x 轴的两个交点分别为 12,0A ， 22,0A ，点M 为圆O 上一动点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点R 满足12NR NM(1)求点R 的轨迹方程；(2)设点R 的轨迹为曲线C ，直线1x my 交C 于P ，Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S ，试问：是否存在一个定点T ，当m 变化时，2A TS 为等腰三角形8．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆 2222:10x y C a b a b的离心率为12，椭圆C 的左､右顶点分别为A ，B ，上顶点为D ，1AD BD.(1)求椭圆C 的方程；(2)斜率为12的动直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，是否存在定点P （直线l 不经过点P ），使得直线PM 与直线PN 的倾斜角互补，若存在这样的点P ，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.9．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知椭圆 2222:10x y C a b a b的两个焦点分别为1F 和2F ，椭圆C 上一点到1F 和2F 的距离之和为4，且椭圆C 的离心率为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)过左焦点1F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点D （不与1F 重合），是否存在实数 ，使1AB DF恒成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说出理由.10．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知椭圆2222:1(0)C bb x a a y 上一个动点N 到椭圆焦点(0,)Fc 的距离的最小值是23，且长轴的两个端点12,A A 与短轴的一个端点B 构成的12A A B △的面积为2．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过点4(0,)M 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点．证明：直线1A P 与直线2A Q 的交点T 在定直线上．11．（2022·安徽省舒城中学三模（理））已知椭圆22:184x y ，过原点O 的直线交该椭圆 于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），点 4,0E ，直线AE 与椭圆的另一交点为C ，直线BE 与椭圆的另一交点为D ．(1)若AB 是 短轴，求点C 坐标；(2)是否存在定点T ，使得直线CD 恒过点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2022·广东茂名·二模）已知圆O ：x 2+y 2＝4与x 轴交于点(2,0)A ，过圆上一动点M 作x 轴的垂线，垂足为H ，N 是MH 的中点，记N 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过6(,0)5作与x 轴不重合的直线l 交曲线C 于P ，Q 两点，设直线AP ，AS 的斜率分别为k 1，k 2.证明：k 1＝4k 2．13．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C 的焦点在y 轴上，中心在坐标原点，从下焦点1F 射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点2F ，这束光线的总长度为4率e 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若从椭圆C 中心O 出发的两束光线OM 、ON ，分别穿过椭圆上的A 、B 点后射到直线4y 上的M 、N 两点，若AB原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4连线过椭圆的上焦点2F ，试问，直线BM 与直线AN 能交于一定点吗？若能，求出此定点：若不能，请说明理由.14．（2022·全国·模拟预测）设椭圆 222:10416x y C b b的右焦点为F ，左顶点为A ．M 是C 上异于A 的动点，过F 且与直线AM 平行的直线与C 交于P ，Q 两点（Q 在x 轴下方），且当M 为椭圆的下顶点时，2AM FQ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设点S ，T 满足PS SQ ，FS ST，证明：平面上存在两个定点，使得T 到这两定点距离之和为定值．15．（2022·上海交大附中模拟预测）已知椭圆221214x y F F ：，，是左、右焦点．设M 是直线 2l x t t ：上的一个动点，连结1MF ，交椭圆 于 0N N y ．直线l 与x 轴的交点为P ，且M 不与P重合．(1)若M的坐标为528，，求四边形2PMNF 的面积；(2)若PN 与椭圆 相切于N 且1214NF NF，求2tan PNF 的值；(3)作N 关于原点的对称点N ，是否存在直线2F N ，使得1F N 上的任一点到2F N，若存在，求出直线2F N 的方程和N 的坐标，若不存在，请说明理由．16．（2022·全国·模拟预测（理））已知椭圆C ： 222210x y a b a b的右顶点为A ，上顶点为B ，直线AB的斜率为原点O 到直线AB 的距离为2217.(1)求C 的方程；(2)直线l 交C 于M ，N 两点，90MBN ，证明：l 恒过定点.17．（2022·全国·模拟预测（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b的左、右焦点分别为1F ，2F ，1A ，2A 分别为左、右顶点，1B ，2B 分别为上、下顶点．若四边形1122B F B F212F F ，212B B ，212A A 成等差数列．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆外一点P (P 不在坐标轴上)连接1PA ，2PA ，分别与椭圆C 交于M ，N 两点，直线MN 交x 轴于点Q ．试问：P ，Q 两点横坐标之积是否为定值？若为定值，求出定值；若不是，说明理由．18．（2022·山西·太原五中二模（文））已知椭圆2221x y ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于A B ､和C D ､，记得到的平行四边形ACBD 的面积为S ．(1)设 1122,,,A x y C x y ，用A C ､的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212S x y x y ；(2)请从①②两个问题中任选一个作答①设1l 与2l 的斜率之积12，求面积S 的值．②设1l 与2l 的斜率之积为m ．求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变．19．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知A ，B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b的右顶点和上顶点，||AB ，直线AB 的斜率为12.(1)求椭圆的方程；(2)直线//l AB ，与x ，y 轴分别交于点M ，N ，与椭圆相交于点C ，D ．证明：（i ）OCM 的面积等于ODN △的面积；（ii ）22||||CM MD 为定值．20．（2022·北京市第十二中学三模）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b 过点(2,0)A .(1)求椭圆M 的方程；(2)已知直线(3)y k x 在x 轴上方交椭圆M 于B ，C （异于点A ）两个不同的点，直线AB ，AC 分别与y 轴交于点P ､Q ，O 为坐标原点，求 k OP OQ 的值.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6。
湖南高考数学定值定点问题专项练习及答案
湖南高考数学定值定点问题专项练习及答案
在处置椭圆定值定点效果的进程中,体验以静态的观念研讨解析几何效果的思想方式，下面是定值定点效果专项练习，请考生仔细练习。
例1：椭圆C：+=1经过点(0，0)，离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点。
(1)求椭圆C的方程;
(2)假定直线l交y轴于点M，且=，=，当直线l的倾斜角变化时，探求+的值能否为定值?假定是，求出+否那么，请说明理由。
破题切入点：
(1)待定系数法。
(2)经过直线的斜率为参数树立直线方程，代入椭圆方程消y 后可得点A，B的横坐标的关系式，然后依据向量关系式=，=。
把，用点A，B的横坐标表示出来，只需证明+的值与直线的斜率k有关即证明了其为定值，否那么就不是定值。
解：(1)依题意得b=，e==，a2=b2+c2，
a=2，c=1，椭圆C的方程为+=1。
(2)因直线l与y轴相交于点M，故斜率存在，
又F坐标为(1，0)，设直线l方程为
y=k(x-1)，求得l与y轴交于M(0，-k)，
设l交椭圆A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，
x1+x2=，x1x2=，
又由=，(x1，y1+k)=(1-x1，-y1)，
=，同理=，
所以当直线l的倾斜角变化时，直线+的值为定值-。
定值定点效果专项练习及答案分享到这里，更多内容请关注高考数学试题栏目。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第24讲 定值问题一．解答题（共19小题）1．已知中心为坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线C 过点Q ，且点Q 在x 轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点1F （Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）命题：“过椭圆2212516x y +=的一个焦点F 作与x 轴不垂直的任意直线l ”交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，则||||AB FM 为定值，且定值是103”．命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线E ，过该圆锥曲线焦点F 的弦AB ，AB 的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点M ，AB 的长度与F 、M 两点间距离的比值．试类比上述命题，写出一个关于抛物线C 的类似的正确命题，并加以证明．（Ⅲ）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不必证明）．2．已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的椭圆C 过点3(1,)2Q ，且点Q 在x 轴的射影恰为该椭圆的一个焦点1F ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 的一个焦点F 作与x 轴不垂直的任意直线l 交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，则||||AB FM 是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由．3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，离心率12,e F F =分别为左、右焦点，椭圆C 上一点M 满足12MF MF ⊥，且△12MF F 的面积为1． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点(1,0)T 作斜率为(0)k k >的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．过点O 且平行于l 的直线交椭圆于点P ，Q ，证明：2||||||TA TB OP ⋅为定值．4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，上顶点M 40y ++=的距离为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(1,1)T 作直线1l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且1()2OT OP OQ =+，求1l 直线方程；（注意用两种方法作答，每种方法4分）（3）设直线l 过点(4,2)-且与椭圆C 相交于A ，B 两点，l 不经过点M ，证明：直线MA 的斜率与直线MB 的斜率之和为定值．5．已知椭圆2222:1x y C a b+=，(0)a b >>，点P 在椭圆上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左右顶点分别为A ，B ，过点(2,0)Q 的动直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，是否存在定直线:l x t '=，使得l '与AN 的交点G 总在直线BM 上？若存在，求出一个满足条件的t 值；若不存在，说明理由．6．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>，上顶点(0,)b 在直线10x y +-=上． （Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆Γ交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆Γ的顶点）．点C 在椭圆Γ上，且AC AB ⊥，直线BC 与x 轴、y 轴分别交于P ，Q 两点．()i 设直线BC ，AP 的斜率分别为1k ，2k ，问是否存在实数t ，使得12k tk =？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；()ii 求OPQ ∆面积的最大值．7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，F 为椭圆C 的右焦点，A 是右准线与x 轴的交点，且1AF =．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 上顶点B 的直线l 交椭圆另一点D ，交x 轴于点M ，若3BM MD =，求直线l 的方程；（3）设点3(,0)2Q ，过点F 且斜率不为零的直线m 与椭圆C 交于S ，T 两点，直线TQ 与直线2x =交于点1S ，试问11S S S A 是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．8．已知椭圆22:1259x y C +=的右焦点为F ，过F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的中垂线l '交x 轴于点M ．（1）若2BF =，求B 点坐标； （2）问：ABFM是否为定值．9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 、2F 是椭圆C 的左、右焦点，P 为椭圆上的一个动点，且△12PF F 面积的最大值为 （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点2F 作与x 轴不垂直的直线1l 交椭圆于A ，B 两点，第一象限点M 在椭圆上且满足2MF x ⊥轴，连接MA ，MB ，记直线AB ，MA ，MB 的斜率分别为k ，1k ，2k ，探索122k k k +-是否为定值，若是求出；若不是说明理由．10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，过椭圆C 的左焦点1(,0)F c -且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，且椭圆C 截直线x c =． （1）求椭圆C 的方程；（2）线段MN 的垂直平分线与x 轴交于点P ，求点P 横坐标的取值范围；（3）试问在x 轴上是否存在一点Q ，使得QM QN ⋅恒为定值？若存在，求出点Q 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．11．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22:18x y C m m+=-．（1）若椭圆C 的焦点在x 轴上，求实数m 的取值范围； （2）若6m =，①P 是椭圆C 上的动点，M 点的坐标为(1,0)，求PM 的最小值及对应的点P 的坐标； ②过椭圆C 的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线l 交x 轴于点N ，证明：ABFN是定值，并求出这个定值．12．已知左焦点为1(1,0)F -的椭圆过点E ，过右焦点2F 分别作斜率为1k ，2k 的椭圆的动弦AB ，CD ．设点M ，N 分别为线段AB ，CD 的中点． （1）求椭圆的标准方程；（2）求三角形OAB 面积的最大值； （3）若121k k =，①求证：直线MN 经过定点T ，并求出定点T 的坐标． ②求证：点T 到直线AB ，CD 的距离的平方和为定值．13．已知椭圆222:1(0)12x yC b b+=>中，以(2,1)Q -为中点的弦AB 所在直线的方程是240x y -+=．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点(,0)P m 为椭圆C 长轴上的一个动点，过点Pl 交椭圆C 于S ，T 两点，证明：22||||PS PT +为定值．14．如图，已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到直线20x y --=AB 是过抛物线C 焦点F 的动弦，O 是坐标原点，过A ，B 两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于点P ．（1）求证：PA PB ⊥．（2）若动弦AB 不经过点(2,1)M ，直线AB 与准线l 相交于点N ，记MA ，MB ，MN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ．问：是否存在常数λ，使得12311k k k λ+=+在弦AB 运动时恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．15．已知1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，焦距为2，过2F 作斜率存在且不为零的直线l 交C 于A ，B 两点，且△1F AB 的周长为8． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知弦AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，求证：2||||PF AB 为定值． 16．已知圆C 的圆心坐标为(3,0)C ，且该圆经过点(0,4)A ． （1）求圆C 的标准方程；（2）若点B 也在圆C 上，且弦AB 长为8，求直线AB 的方程；（3）直线l 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之积为2，求证：直线l 过一个定点，并求出该定点坐标．（4）直线l 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之和为0，求证：直线l 的斜率是定值，并求出该定值．17．已知圆O 的方程为2213x y +=，直线00:13l x x y y +=，设点0(A x ，0)y ． （1）若点A 为(3,4)，试判断直线l 与圆C 的位置关系；（2）若点A 在圆O 上，且02x =，00y >，过点A 作直线AM ，AN 分别交圆O 于M ，N 两点，且直线AM 和AN 的斜率互为相反数． ①若直线AM 过点O ，求直线MN 的斜率；②试问：不论直线AM 的斜率怎样变化，直线MN 的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1(,0)F c -，2(,0)F c ，直线:l x my c =+与椭圆C 交于点M ，N 两点，当m =M 是椭圆C 的顶点，且△12MF F 的周长为6．（1）求椭圆C 的方程；（2）若M ，2F ，N 在直线4x =上的射影分别为E ，K ，D ，连接MD ，当m 变化时，证明直线MD 与NE 相交于一定点，并求出该定点的坐标；（3）设椭圆C 的左顶点为A ，直线AM ，AN 与直线4x =分别相交于点P ，Q ，试问：当m 变化时，以线段PQ 为直径的圆被x 轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．19．已知圆22:(16A x y -+=的圆心为A ，点(B 是圆A 内一个定点，点C 是圆A 上任意一点，线段BC 的垂直平分线与半径AC 相交于点D ． （1）求动点D 的轨迹E 的方程；（2）给定点(0,1)P ，若过点1(0,)2Q -的直线l 与轨迹E 相交于M ，N 两点（均不同于点)P ．证明：直线PM 与直线PN 的斜率之积为定值．第24讲 定值问题参考答案与试题解析一．解答题（共19小题）1．已知中心为坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线C过点Q ，且点Q 在x 轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点1F （Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）命题：“过椭圆2212516x y +=的一个焦点F 作与x 轴不垂直的任意直线l ”交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，则||||AB FM 为定值，且定值是103”．命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线E ，过该圆锥曲线焦点F 的弦AB ，AB 的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点M ，AB 的长度与F 、M 两点间距离的比值．试类比上述命题，写出一个关于抛物线C 的类似的正确命题，并加以证明．（Ⅲ）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不必证明）．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>点Q ，且点Q 在x 轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点1F ∴双曲线C 的一个焦点为1(2,0)F 可得C 的另一个焦点为2(2,0)F -（1分）由122||||||a QF QF =-==3分）a ∴=，又2c =，所以2221bc a =-=（4分）双曲线的方程为2213x y -=（Ⅱ）关于抛物线C 的类似命题为：过抛物线24y x =的焦点1(1,0)F 作与x 轴不垂直的任意直线L 交抛物线于点A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，则1||||AB MF 为定值，定值是2（6分）证明如下：由于直线与x 轴不垂直，可设直线L 的方程为(1)(0)y k x k =-≠ 联立方程24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩可得22222(2)0k x k x k -++=由题意L 与C 有两个交点A ，B ，则20k ≠，△0> 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y则21222(2)k x x k ++=，121x x =，12124(2)y y k x x k+=+-= ∴线段AB 的中点P 的坐标2222(,)k k k+（8分）AB 的垂直平分线MP 的方程为22212()k y x k k k+-=--令0y =可得，223x k =+即22(3,0)M k+，1(1,0)F122||2MF k∴=+（9分）||AB =244k =+∴1||2||AB MF =（10分） （Ⅲ）过圆锥曲线E 的焦点F 作与焦点所在的对称轴不垂直的任意直线L 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交焦点所在的对称轴于点M ，则||||AB MF 为定值，定值是2e（其中e 是圆锥曲线E 的离心率）（13分）（法二）由题意可设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>（1分）由已知可得222214314a b a b ⎧⎪⎪-=⎨⎪+=⎪⎩（3分）解可得，2231a b ⎧=⎨=⎩∴双曲线的方程为2213x y -=（4分）（Ⅱ），（Ⅲ）同法一2．已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的椭圆C 过点3(1,)2Q ，且点Q 在x 轴的射影恰为该椭圆的一个焦点1F ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 的一个焦点F 作与x 轴不垂直的任意直线l 交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，则||||AB FM 是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由．【解答】解：()I 中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的椭圆C 过点3(1,)2Q ，且点Q 在x 轴的射影恰为该椭圆的一个焦点1F ，∴设椭圆方程为222211x y a a +=-，把3(1,)2Q 代入，得：2291411a a +=-，整理，得4241740a a --=， 解得24a =，或214a =， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=⋯（4分）()II “过椭圆22143x y +=的一个焦点F 作与x 轴不垂直的任意直线l 交椭圆于A 、B 两点， 线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，则||||AB FM 为定值，且定值是4” ⋯（5分）证明如下：由于l 与x 轴不垂直，可设直线l 的方程为(1)y k x =-①当0k ≠时，由()()22222213484120431x y k x k x k y k x ⎧+=⎪+-+-=⎨⎪=-⎩得． 依题意l 与C 有两个交点A 、B ，所以△0>． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则221212228412,3434k k x x x x k k -+==++，121226(2)34k y y k x x k -+=+-=+， 所以线段AB 的中点P 的坐标为22243(,)3434k kk k-++，⋯（7分） AB 的垂直平分线MP 的方程为：222314()3434k k y x k k k +=--++． 令0y =，解得2234k x k =+，即22(,0)34k M k +， 所以2123(1)||34k F M k+=+．⋯（9分）又||AB=2212(1)34kk+=+，⋯（10分）所以1||4||ABF M=．⋯（11分）②0k=时，易得结论成立．综上所述，结论成立．^⋯（12分）3．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>，离心率12,e F F=分别为左、右焦点，椭圆C上一点M满足12MF MF⊥，且△12MF F的面积为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点(1,0)T作斜率为(0)k k>的直线l交椭圆C于A，B两点．过点O且平行于l的直线交椭圆于点P，Q，证明：2||||||TA TBOP⋅为定值．【解答】（1）解：方法一：由离心率222e a b c==+，得：::2a b c=所以2,a b c==，椭圆C上一点M，满足12MF MF⊥，所以点M为圆：22223x y c b+==与椭圆2222:14x yCb b+=的交点，联立方程组解得||y=，所以1221211||||122G F PS F F y b=⋅=⨯==，解得：1b=，2a=，所以柯圆C的标准方程为：2214xy+=．方法二：由椭圆定义；122MF MF a+=，222212121212114()22MF MF MF MF c MF MF MF MF⋅=+==+-⋅，得到：22444c a=-，即21b=，又222e a b c=+，得2,a c==，所以椭圆C的标准方程为：2214xy+=．（2）证明：设直线AB的方程为：(1)y k x=-．得222222121222844(14)8440,1414k kk x k x k x x x xk k-+-+-=+=⋅=++，∴12||||1|1|TA TB x x ⋅=--2222212122224483(1)(1)|()1|(1)|1|141414k k k k x x x x k k k k-+=+-++=+-+=+++， 设过点O 且平行于l 的直线PQ 方程：222222222222444(1),44,||14141414M y kxk y kx x k x x OP x k k k y =⎧+⎪=+====⎨++++=⎪⎩，∴2222||||3(1)314||44(1)TA TB k k OP k ⋅+==++． 4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，上顶点M40y ++=的距离为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(1,1)T 作直线1l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且1()2OT OP OQ =+，求1l 直线方程；（注意用两种方法作答，每种方法4分）（3）设直线l 过点(4,2)-且与椭圆C 相交于A ，B 两点，l 不经过点M ，证明：直线MA 的斜率与直线MB 的斜率之和为定值． 【解答】解：（1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为，上顶点M到直线40y ++=的距离为3，222|4|32c ab a bc ⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得4a =，2b =， ∴椭圆C 的方程为：221164x y +=．（2）方法一（点差法）， 设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，1()2OT OP OQ =+，(1,1)T ，T ∴为PQ 的中点，122x x ∴+=，122y y +=∴22112222416416x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 两式相减可得12121212()()4()()x x x x y y y y +-=-+-， 即12124()x x y y -=--， ∴121214y y x x -=--， 14PQ k ∴=-，1l ∴直线方程为11(1)4y x -=--，即450x y +-=；方法二：易知直线1l 的斜率存在，不妨设为k ， 则直线1l 的方程为1(1)y k x -=-，即1y kx k =+-，由221416y kx k x y =+-⎧⎨+=⎩，消y 可得222(14)8(1)4(1)160k x k k x k ++-+--=， 1228(1)14k k x x k-∴+=+， 设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，1()2OT OP OQ =+，(1,1)T ，T ∴为PQ 的中点，122x x ∴+=， ∴28(1)214k k k -=+，解得14k =-，即直线1l 为1544y x =-+，即450x y +-=；（3）证明：易知直线l 斜率恒小于0，设直线l 的方程为(4)2y k x =--，且1k ≠-， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．由22(4)2416y k x x y =--⎧⎨+=⎩得2222(14)(3216)64640k x k k x k k +-+++=， 2122321614k k x x k +∴+=+，2122646414k kx x k+=+，由（1）得(0,2)M ， 121221121212121222(44)(44)24(1)()MA MB y y kx k x kx k x kx x k x x k k x x x x x x ----+---+++=+==， 12122(44)x x k k x x +=-+， 16(21)2(44)64(1)k k k k k k +=-+⋅+，2(21)k k =-+，1=-（定值）． 5．已知椭圆2222:1x y C a b+=，(0)a b >>，点P 在椭圆上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左右顶点分别为A ，B ，过点(2,0)Q 的动直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，是否存在定直线:l x t '=，使得l '与AN 的交点G 总在直线BM 上？若存在，求出一个满足条件的t 值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）椭圆2222:1x y C a b+=，(0)a b >>，点P 在椭圆上．∴22222431c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得216a =，24b =，c =∴椭圆C 的方程为221164x y +=．（2）当l x ⊥轴时，M，(2,N ，直线AN 、BM的方程分别为4)y x =+，4)y x -．60y ++20y +-=．联立解得(8,G -．猜测常数8t =． 即存在定直线:l x t '=，使得l '与AN 的交点G 总在直线BM 上．证明：当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为：(2)y k x =-，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，(8,)G t ． 联立22(2)416y k x x y =-⎧⎨+=⎩，化为2222(14)1616160k x k x k +-+-=． ∴21221614k x x k +=+，2122161614k x x k -=+．(12,)AG t =，2(4AN x =+，2)y ，三点A ，N ，G 共线．22(4)120t x y ∴+-=，∴22221212(2)44y k x t x x -==++ 由于(4,)BG t =，1(4BM x =-，1)y ，要证明三点B ，M ，G 共线． 即证明11(4)40t x y --=．即证明211212(2)(4)4(2)04k x x k x x ----=+，而22211212122232(1)1603(2)(4)(2)(4)210()323201414k k x x x x x x x x k k -----+=-++=-+=++，∴211212(2)(4)4(2)04k x x k x x ----=+成立．∴存在定直线:8l x '=，使得l '与AN 的交点G 总在直线BM 上．综上可知：存在定直线:8l x '=，使得l '与AN 的交点G 总在直线BM 上．6．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>，上顶点(0,)b 在直线10x y +-=上． （Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆Γ交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆Γ的顶点）．点C 在椭圆Γ上，且AC AB ⊥，直线BC 与x 轴、y 轴分别交于P ，Q 两点．()i 设直线BC ，AP 的斜率分别为1k ，2k ，问是否存在实数t ，使得12k tk =？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；()ii 求OPQ ∆面积的最大值．【解答】解：()I 上顶点(0,)b 在直线10x y +-=上，1b ∴=，由c e a ===得224a b =，即2a =，∴椭圆Γ的方程为2214x y +=；()II ()i 存在实数t ，使得12k tk =．设1(A x ，111)(0)y x y ≠，2(C x ，2)y ，则1(B x -，1)y - ∴直线AB 的斜率11AB y k x =， AB AC ⊥，∴直线AC 的斜率11x k y =-， 设直线AC 的方程为y kx m =+，由题意知0k ≠，0m ≠， 由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(14)8440k x kmx m +++-=，122814km x x k ∴+=-+，121222()214my y k x x m k+=++=+ 由题意知12x x ≠-，1211121144y y y k x x k x +∴==-=+，∴直线BC 的方程为1111()4y y y x x x +=+，令0y =，得13x x =，即1(3P x ，0)， 1121211101322y y k k k x x x -∴==-∴=--即12t =-，∴存在常数12t =-使得结论成立． ()ii 直线BC 的方程1111()4yy y x x x +=+，令0x =，得134y y =-，即13(0,)4Q y -，由()i 知1(3P x ，0)，OPQ ∴∆的面积为11111139||||3||||||||2248S OP OQ x y x y ==⨯⨯= 由于221111||||4x x y y +， 当且仅当11||2||22x y ==时等号成立，此时S 取得最大值98， OPQ ∴∆面积的最大值为98．7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为22，F 为椭圆C 的右焦点，A 是右准线与x 轴的交点，且1AF =．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 上顶点B 的直线l 交椭圆另一点D ，交x 轴于点M ，若3BM MD =，求直线l 的方程；（3）设点3(,0)2Q ，过点F 且斜率不为零的直线m 与椭圆C 交于S ，T两点，直线TQ 与直线2x =交于点1S ，试问11S S S A 是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可知，22c e a ==，由2||1a AF c c=-=，解得2a =，1c =，所以2221b a c =-=，所以椭圆C 的方程：2212x y +=；（2）由（1）知(0,1)B ，设0(D x ，0)y ，由3BM MD =，(0M x -，01)3(M x x -=-，0)y 得031y =-，所以013y =-，代入椭圆方程得21129x +=，解得043x =±．所以4(3D ±，1)3-，因此l 的方程为：1y x =±+；（3）设直线m 的方程1x my =+，1(S x ，1)y ，2(T x ，2)y ，联立方程组22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，整理得：22(2)210m y my ++-=， 则，12222m y y m +=-+，12212y y m =-+， 所以12122y y my y +=， 直线TQ 的方程为223()322y y x x =--，又221x my =+， 令2x =，则22211222123211y y y y y y y x my y ====+---，所以点1S 的坐标为1(2,)y ， 即11S A S S ⊥，所以110S S S A =． 因此11S S S A 为定值，定值为0．8．已知椭圆22:1259x y C +=的右焦点为F ，过F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的中垂线l '交x 轴于点M ．（1）若2BF =，求B 点坐标； （2）问：ABFM是否为定值． 【解答】解：（1）椭圆22:1259x y C +=的右焦点为F ， 过F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点，2BF =，设1(B x ，1)y∴由椭圆的第二定义得：1242554x =-， 解得1154x =， 1(B x ，1)y 在椭圆22:1259x y C +=上， ∴22115()41259y +=，解得1374y =±， 15(4B ∴，37)4-或15(4B ，37)4． （2）设直线l 的方程为(4)y k x =-，不妨取15(4B ，37)4，把15(4B ，37)4代入直线(4)y k x =-，得37k =-，∴直线l 的方程为37(4)y x =--，联立2237(4)1259y x x y ⎧=--⎪⎨+=⎪⎩，得2176140027750x x -+=，解得185(44A ，277)44-，15(4B ，37)4，22185152773740()()44444411AB ∴=-+--=，AB 的中点17537(,)4444N ，137l k '=， ∴直线l '的方程为371175()444437y x -=-， 令0y =，得28(11M ，0)， 2816|4|1111MF ∴=-=， ∴4051116211AB FM ==，故AB FM 为定值52．9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为63，1F 、2F 是椭圆C 的左、右焦点，P 为椭圆上的一个动点，且△12PF F 面积的最大值为32． （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点2F 作与x 轴不垂直的直线1l 交椭圆于A ，B 两点，第一象限点M 在椭圆上且满足2MF x ⊥轴，连接MA ，MB ，记直线AB ，MA ，MB 的斜率分别为k ，1k ，2k ，探索122k k k +-是否为定值，若是求出；若不是说明理由． 【解答】解：（1）椭圆的离心率为63，△12PF F 面积的最大值为32， ∴2226312322c e a b c a b c ⎧==⎪⎪⎪⋅=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得3a =，3b =， 故椭圆的方程为22193x y +=． （2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 2MF x ⊥轴， ∴(6,1)M ．设直线1l 的方程为(6)y k x =-，联立直线1l 与椭圆方程22(6)193y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，化简整理可得，2222(31)661890k x k x k +-+-=，由韦达定理可得，21226631k x x k +=+，212218931k x x k -=+，∴121212121211(6)1(6)111()[]2226666k k y y k x k x x x x x +------=+=+---- 121212261111[2()][2]2266(6)(6)x x k k x x x x +-=-+=-----21131[2][232231k k k k k +=-=-=--+，∴122k k k +-=， 故122k k k +-为定值，定值为． 10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，过椭圆C 的左焦点1(,0)F c -且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，且椭圆C 截直线x c =． （1）求椭圆C 的方程；（2）线段MN 的垂直平分线与x 轴交于点P ，求点P 横坐标的取值范围；（3）试问在x 轴上是否存在一点Q ，使得QM QN ⋅恒为定值？若存在，求出点Q 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意椭圆过点(c，则满足方程组222222112c a c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得22a =，21b =，所以椭圆方程为2212x y +=，（2）设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =+≠，联立方程22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 整理得2222(21)4220k x k x k +++-=，△0>，设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，(p P x ，)P y ，MN 的中点(R R x ，)R y ，则22121222422,2121k k x x x x k k --+=⋅=++， 所以221222222,(1)(1)2212121R R R x x k k kx y k x k k k k +--===+=+=+++，MN 的垂直平分线RP 的方程为1()R R y y x x k-=--，令0y =得2222222211212121242p R R k k k x x ky k k k k =+=-+=-=-+++++， 因为0k ≠，所以102p x -<<，所以点P 的横坐标的取值范围为1(,0)2-．（3）假设存在，设(Q Q x ，0)．结合第（2）问知：22121222422,2121k k x x x x k k -+=-⋅=++， 所以22222212121212222422(1)(1)(1)(1)212121k k k y y k x x k x x x x k k k k ---⋅=++=+++=⋅++=+++ 所以21122121212(,)(,)()Q Q Q Q QM QN x x y x x y x x x x x x y y ⋅=-⋅-=-+++ 22222222222(241)222421212121Q Q Q Q Q x x k x k k k x x k k k k +++----=-⋅++=++++ 设2222(241)221Q Q Q x x k x k λ+++-=+则222(2412)20QQ Q x x k x λλ++-+--=对任意0k ≠恒成立， 所以222412020Q Q Q x x x λλ⎧++-=⎪⎨--=⎪⎩，解得54Q x =-，716λ=-，所以存在点5(,0)4Q -，使得QM QN ⋅为定值716-．11．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22:18x y C m m+=-． （1）若椭圆C 的焦点在x 轴上，求实数m 的取值范围； （2）若6m =，①P 是椭圆C 上的动点，M 点的坐标为(1,0)，求PM 的最小值及对应的点P 的坐标； ②过椭圆C 的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线l 交x 轴于点N ，证明：ABFN是定值，并求出这个定值． 【解答】解：（1）由题意得，80m m >->，解得48m <<， 所以实数m 的取值范围是(4,8)；（2）因为6m =，所以椭圆C 的方程为22162x y +=，①设点P 坐标为(,)x y ，则22162x y +=，因为点M 的坐标为(1,0)，所以22222222233(1)21223()33322x PM x y x x x x x =-+=-++-=-+=-+，[x ∈，所以当32x =时，PM P 坐标为3(,2；②由26a =，22b =，得24c =，即2c =，从而椭圆C 的右焦点F 的坐标为(2,0)，右准线方程为3x =，离心率e ， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，AB 的中点0(H x ，0)y ， 则2211162x y +=，2222162x y +=，两式相减得，22221212062x x y y --+=，即0121203AB x y y k x x y -==--， 令AB k k =，则线段AB 的垂直平分线l 的方程为001()y y x x k -=--，令0y =，则00023N x ky x x =+=， 因为(2,0)F ，所以02|2||3|3N FN x x =-=-，因为120(3)(3)3|AB AF BF e x e x x =+=-+-=-．故32AB FN ==ABFN．12．已知左焦点为1(1,0)F -的椭圆过点E ，过右焦点2F 分别作斜率为1k ，2k 的椭圆的动弦AB ，CD ．设点M ，N 分别为线段AB ，CD 的中点． （1）求椭圆的标准方程；（2）求三角形OAB 面积的最大值； （3）若121k k =，①求证：直线MN 经过定点T ，并求出定点T 的坐标． ②求证：点T 到直线AB ，CD 的距离的平方和为定值．【解答】（1）解：由题意1c =，且右焦点2(1,0)F ，122||||a EF EF ∴=+==， 2222b a c ∴=-=．∴所求椭圆方程为：22132x y +=；（2）解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设AB 方程为1x my =+． 由221236x my x y =+⎧⎨+=⎩，得22(23)440m y my ++-=． 122423m y y m -+=+，122423y y m -=+． 三角形OAB 面积21211||||22S OF y y =⨯-===112312=⨯=，当且仅当2m =时，取等号； （3）①证明：由题意，12k k ≠，令直线AB 的斜率为k ，则CD 的斜率为1k， 设(M M x ，)M y ，直线AB 的方程为(1)y k x =-， 代入椭圆方程并化简得2222(23)6360k x k x k +-+-=．∴22323M k x k =+，22232(1)(1)2323M M k ky k x k k k -=-=-=++． 22232(,)2323k kM k k -∴++；同理可得23(23N k +，22)23kk -+．直线MN 的斜率222222222323333(1)2323k kkk k k k k k k ---++==+-++，直线MN 的方程为22223()233(1)23k k y x k k k +=-+++，即2(3)3(1)ky x k =-+，此时直线过定点(3,0)T ；②证明：直线AB 的方程为(1)y k x =-，即0kx y k --=，直线CD 的方程为1(1)y x k=-，即10x ky --=．则点T 到AB 距离的平方221241k d k =+，到ACD 距离的平方22241d k =+．∴点T 到直线AB ，CD 的距离的平方和为222122244411k d d k k +=+=++，为定值．13．已知椭圆222:1(0)12x y C b b+=>中，以(2,1)Q -为中点的弦AB 所在直线的方程是240x y -+=．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点(,0)P m 为椭圆C 长轴上的一个动点，过点Pl 交椭圆C 于S ，T 两点，证明：22||||PS PT +为定值．【解答】解：（1）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2211222222112112x y b x y b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得，121212122()()()()012x x x x y y y y b +-+--=，所以21212121212y y x x b x x y y -+=-⋅-+， 即122121212021202x x y y b y y x x +--⋅=-+--． 又AB 所在直线的方程是240x y -+=，所以12AB k =，(2,1)Q -，12OQ k =-， 所以2111222AB OQ b k k ⋅=-=-⨯，23b ∴=．故椭圆C 的方程是221123x y +=． （2）设直线1:()2l y x m =-交椭圆于1(S x ，1)y ，2(T x ，2)y ，由221()2412y x m x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，消去y 得，2222120x mx m -+-=． 因此12x x m +=，212122m x x -=．于是2222221122||||()()PS PT x m y x m y +=-++-+222212*********()()[()22()2]444x m x m x x x x m x x m =-+-=+--++ 22225(1222)154m m m m =-+-+=． 故22||||PS PT +为定值，且为15．14．如图，已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到直线20x y --=的距离为322．AB 是过抛物线C 焦点F 的动弦，O 是坐标原点，过A ，B 两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于点P ． （1）求证：PA PB ⊥．（2）若动弦AB 不经过点(2,1)M ，直线AB 与准线l 相交于点N ，记MA ，MB ，MN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ．问：是否存在常数λ，使得12311k k k λ+=+在弦AB 运动时恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）证明：22(0)(0,)2px py p F =>∴，由F 到直线20x y --=的距离为322， 即|02|232222222p p p --+==∴=，故抛物线方程为24x y =， (0,1)F ，依题意，设直线AB 方程为1(0)y kx k =+≠，联立24x y =得：2440x kx --=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，124x x k ∴+=，124x x =-，2/42x x y y =∴=，∴12124,12244PA PB PA PB x x x x k k k k -==∴===-，PA PB ∴⊥；（2）将1y =-代入1y kx =+得2(,1)N k--，(2,1)M，2212112212112211121244,224224x x y x y x k k x x x x ---+-+======----， ∴1212122244414444x x x x k k k k ++++++=+===+， 31(1)212()k k k k--==+--， 若有12311k k k λ+=+成立，则有1111k k k λ+=++解得1λ=-，故存在1λ=-，使12311k k k λ+=+成立．15．已知1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，焦距为2，过2F 作斜率存在且不为零的直线l 交C 于A ，B 两点，且△1F AB 的周长为8． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知弦AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，求证：2||||PF AB 为定值． 【解答】解：（1）因为椭圆的焦距为2， 所以22c =，解得1c =，由椭圆的定义可得△1F AB 的周长为4a ，又因为△1F AB 的周长为8， 所以48a =，解得2a =， 所以2223b a c =-=，所以椭圆的方程为22143x y +=． （2）证明：设直线l 的方程为(1)y k x =-，联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(34)84(3)0k x k x k +-+-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，所以2122834k x x k +=+，21224(3)34k x x k -=+，设AB 的中点为0(Q x ，0)y ，所以212024234x x k x k +==+，0023(1)34ky k x k -=-=+， 当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线的方程为222314()3434k k y x k k k --=--++，令0y =，得2234k x k =+，所以222223(1)|||1|3434k k PF k k +=-=++，2212(1)||34k AB k +=+，所以222223(1)||13412(1)||434k PF k k AB k ++==++， 当0k =时，直线l 的方程为0y =，此时||24AB a ==，2||1PF c ==，所以2||1||4PF AB =， 综上，2||1||4PF AB =． 16．已知圆C 的圆心坐标为(3,0)C ，且该圆经过点(0,4)A ． （1）求圆C 的标准方程；（2）若点B 也在圆C 上，且弦AB 长为8，求直线AB 的方程；（3）直线l 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之积为2，求证：直线l 过一个定点，并求出该定点坐标．（4）直线l 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之和为0，求证：直线l 的斜率是定值，并求出该定值．【解答】解：（1）设圆的标准为222(3)x y r -+=，把(0,4)A 代入得5r =， 故圆的标准方程为22(3)25x y -+=．（2）①k 不存在时，根据题意，直线l 的方程为：0x =； ②k 存在时，设直线l 的方程为：4y kx =+，联立方程224(3)25y kx x y =+⎧⎨-+=⎩，则22(1)(68)0k x k x +--=， 所以22268464(,)11k k k B k k -+-++，根据弦AB 长为8，可得2222268464||()(4)811k k k AB k k-+-=+-=++， 所以724k =-，所以直线l 的方程为724960x y +-=， 综上所述，直线l 的方程为0x =或724960x y +-=； （3）当k 不存在时，设(,)M a b ，(,)N a b -， 直线AM ，AN 的斜率之积为2，(0,4)A ， ∴442b b a a ---⋅=，即22162b a =-， 点(,)M a b 在圆上，22(3)25a b ∴-+=，联立2222162(3)25b a a b ⎧=-⎨-+=⎩，无解，舍去， 当直线l 存在时，设直线:MN y kx t =+，1(M x ，1)kx t +，2(N x ，2)kx t +， 2212121212442(2)(4)()(4)0AM AN kx t kx t k k k x x k t x x t x x +-+-⋅=⋅=⇒-+-++-=① 联立方程22222(1)(26)160(3)25y kx tk x kt x t x y =+⎧⇒++-+-=⎨-+=⎩， 所以122(26)1kt x x k --+=+，2122161t x x k -=+代入①得2222(2)(16)(4)(26)(4)(1)0k t kt k kt t k --+--++-+=， 化简得26t k =+，所以直线l 的方程为：(2)6ty x t =++，所以过定点(6,12)--． （4）设直线:4AM y kx =+，联立方程22224(1)(68)0(3)25y kx k x k x x y =+⎧⇒+--=⎨-+=⎩， 所以M 点的坐标为22268464(,)11k k k k k --++++， 同理N 点的坐标为22268464(,)11k k k k k +--+++．所以34M N MN M N y y k x x -==--，故直线l 的斜率是定值，且为34-．17．已知圆O 的方程为2213x y +=，直线00:13l x x y y +=，设点0(A x ，0)y ． （1）若点A 为(3,4)，试判断直线l 与圆C 的位置关系；（2）若点A 在圆O 上，且02x =，00y >，过点A 作直线AM ，AN 分别交圆O 于M ，N 两点，且直线AM 和AN 的斜率互为相反数． ①若直线AM 过点O ，求直线MN 的斜率；②试问：不论直线AM 的斜率怎样变化，直线MN 的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【解答】解：（1）当点A 的坐标为(3,4)时，直线l 的方程为34130x y +-=， 圆心到直线l的距离135d r ==<=， ∴直线l 与圆O 相交．⋯（5分）（2）①由点A 在圆O 上，且02x =，00y >，得03y =，即(2,3)A ． 由题意，AM 是圆的直径，所以点M 的坐标为(2,3)--，且32AM k =． 又直线AM 和AN 的斜率互为相反数，所以32AN k =-⋯（7分）直线AN 的方程为362y x =-+，由2236213.y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩得：223(6)132x x +-=， 解得：2x =或4613x =，所以469(,)1313N∴直线MN 的斜率为9483213134672321313MNk +===+．⋯（10分） ②记直线AM 的斜率为k ，则直线AM 的方程为：32y kx k =+-． 将32y kx k =+-代入圆O 的方程得：22(32)13x kx k ++-=， 化简得：222(1)2(32)(32)130k x k k x k ++-+--=，2是方程的一个根，∴22(32)1321M k x k --=+，∴222621M k k x k --=+， 由题意知：AN k k =-，同理可得，222621N k k x k +-=+，⋯（13分）∴32(32)4M N M N MN MN M N M N M Ny y kx k kx k x x k k x x x x x x -+---+++-===---， ∴2222222222262262842111122622623111MNk k k k k k k k k kk k k k k k k k --+--+-+++===---+--+++， ∴不论直线AM 的斜率怎样变化，直线MN 的斜率总为定值23．⋯（16分） 18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1(,0)F c -，2(,0)F c ，直线:l x my c =+与椭圆C 交于点M ，N 两点，当33m =-，M 是椭圆C 的顶点，且△12MF F 的周长为6．（1）求椭圆C 的方程；（2）若M ，2F ，N 在直线4x =上的射影分别为E ，K ，D ，连接MD ，当m 变化时，证明直线MD 与NE 相交于一定点，并求出该定点的坐标；（3）设椭圆C 的左顶点为A ，直线AM ，AN 与直线4x =分别相交于点P ，Q ，试问：当m 变化时，以线段PQ 为直径的圆被x 轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由． 【解答】（1）解：当33m =-时，直线l 的倾斜角为23π， 由题意得226cos 3a c c aπ+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得2a =，1c =，3b =，∴椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）由（1）知，1c =，∴直线l 的方程为1x my =+， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得22(34)690m y my ++-=．∴12122269,3434m y y y y m m --+==++． 当直线l 与x 轴垂直时，可得MD 与NE 的交点为2F K 的中点5(,0)2G ，当直线l 与x 轴不垂直时，下面证明MD 过定点5(,0)2G ，由题意可知2(4,)D y ，2225342GD y y k ==-，11115322MG y y k x my ==--，12121112293333(34)22MG GD y y y k k m y my my --=-=-⋅+-- 222211112211113(34)6()(34)692033()(34)()(34)22m y my m y my my m y my m y ++-++-===-+-+．MG GD k k ∴=，即MG 过定点5(,0)2G ，同理可证NE 也过定点5(,0)2G ，∴直线MD 与NE 相交于一定点，该定点的坐标为5(,0)2G ；（3）由题意可得直线AM 的方程为11(2)2yy x x =++，令4x =，得P 点坐标为116(4,)2y x +， 同理可得226(4,)2y Q x +， 设(,)H x y 为以PQ 为直径的圆上任意一点，则0PH QH ⋅=， ∴以PQ 为直径的圆的方程为2121266(4)()()022y y x y y x x -+--=++． 令0y =，则2121236(4)0(3)(3)y y x my my -+=++．即2122121236(4)03()9y y x m y y m y y -+=+++， 即2222293634(4)096393434m x m m m m m -⨯+-+=--⨯+⨯+++， 即2222936(4)09182736x m m m -⨯-+=--++． 即2(4)9x -=，解得1x =或7x =．即以PQ 为直径的圆恒过(1,0)与(7,0)， ∴当m 变化时，以线段PQ 为直径的圆被x 轴截得的弦长是定值6．19．已知圆22:(16A x y +=的圆心为A，点(B 是圆A 内一个定点，点C 是圆A 上任意一点，线段BC 的垂直平分线与半径AC 相交于点D ．（1）求动点D 的轨迹E 的方程；（2）给定点(0,1)P ，若过点1(0,)2Q -的直线l 与轨迹E 相交于M ，N 两点（均不同于点)P ．证明：直线PM 与直线PN 的斜率之积为定值．【解答】解：（1）如图，由已知，圆心A ，半径4r =．点D 在线段BC 的垂直平分线上，则||||DC DB =， 又||||||AC DA DC =+，||||||AC DA DB ∴=+， 又||4AC r ==，||||4||DA DB AB ∴+=>， 则动点D 的轨迹E是以(A B 为焦点，长轴长24a =的椭圆，从而2222,1a c b a c ===-=， 故所求轨迹E 方程为2214x y +=； （2）由已知，直线l 过点1(0,)2Q -，且不过点(0,1)P ，则l 斜率存在， 设1:2l y kx =-，将其代入2214x y +=得22(41)430k x kx +--=，则△264120k =+>成立， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则12122243,4141k x x x x k k +==-++，显然10x ≠，20x ≠ 设直线PM 与直线PN 的斜率分别为1k ，2k ， 则2212121212222212121212121223493339399()()()()()31132414222424433441k k kx kx k x x k x x k x x k y y k k k k k k x x x x x x x x k -+-⋅--++-+++--+⋅=⋅===+=+=+=---+，即直线PM 与直线PN 的斜率之积为定值．。