刚体系统的平衡
刚体的平衡与转动定律的应用
刚体的平衡与转动定律的应用在物理学中，刚体是指其形状和大小在外力作用下不发生变化的物体。
刚体的平衡和转动定律是刚体力学中的重要概念，它们被广泛应用于各种实际工程问题的分析和解决。
一、刚体的平衡刚体的平衡是指刚体在受到外力作用时，保持静止或以一定的速度进行匀速直线运动的状态。
刚体的平衡有两种类型：平稳平衡和不平衡。
1. 平稳平衡当刚体处于平稳平衡状态时，它的重心和支持点重合，不会发生任何转动。
这意味着刚体所受到的合力和合力矩都为零。
根据平衡条件，我们可以得出：∑F = 0 （合力为零）∑M = 0 （合力矩为零）其中，∑F表示合力矢量的矢量和，∑M表示合力矩矢量的矢量和。
平稳平衡的一个典型例子是悬挂在弹簧上的质点。
当质点受到向下的重力和向上的弹簧力之和为零时，质点处于平稳平衡状态。
2. 不平衡当刚体处于不平衡状态时，它的重心和支持点不重合，会发生转动。
此时，刚体所受的合力和合力矩都不为零。
根据不平衡条件，我们可以得出：∑F ≠ 0 （合力不为零）∑M ≠ 0 （合力矩不为零）不平衡的一个典型例子是一个倾斜的物体，当物体所受到的重力分量不平衡时，物体将发生转动。
二、转动定律的应用转动定律是描述刚体转动的物理定律，通过转动定律，我们可以对刚体的转动进行详细的分析。
1. 动量定理动量定理是刚体转动定律的基础，它描述了刚体转动的动力学关系。
根据动量定理，刚体所受的合外力矩等于刚体动量的变化率。
即：∑M = dL/dt其中，∑M表示合外力矩的矢量和，L表示刚体的角动量，t表示时间。
通过动量定理，我们可以计算刚体受到的合力矩以及刚体角动量的变化情况。
2. 角动量守恒定律角动量守恒定律是转动定律中十分重要的一个定律。
它描述了刚体在没有外力矩作用下的转动规律。
根据角动量守恒定律，如果刚体在某一时刻的合外力矩为零，则刚体的角动量将保持不变。
即：∑M = 0 时，L = 常数通过角动量守恒定律，我们可以解决一些与刚体转动相关的问题，如旋转飞盘的角速度变化、自行车的倾斜和转弯等。
《刚体的平衡》 讲义
《刚体的平衡》讲义一、什么是刚体在开始探讨刚体的平衡之前，咱们得先明白啥是刚体。
简单来说，刚体就是在受力作用下形状和大小都不会改变的物体。
想象一下一块坚硬的钢板，不管你怎么推它、拉它，它的尺寸和形状都不会发生变化，这就是刚体。
但要注意，刚体只是一个理想化的模型。
在现实世界中，完全不变形的物体是不存在的。
不过，在很多情况下，当物体的变形非常小，可以忽略不计时，我们就可以把它近似地看作刚体，这样能让我们的研究和计算变得简单很多。
二、刚体平衡的条件要让一个刚体处于平衡状态，需要满足两个条件：合力为零和合力矩为零。
先来说说合力为零。
这就好比一个人在水平方向上同时受到向左和向右的两个大小相等的力，这两个力就相互抵消了，合力为零。
在刚体上，如果作用在它上面的所有力在各个方向上的合力都为零，那么刚体就不会在力的作用下发生平动，也就是不会沿着直线加速移动。
再讲讲合力矩为零。
矩呢，简单理解就是力乘以力臂。
如果一个刚体受到的所有力产生的力矩之和为零，那么刚体就不会发生转动。
比如说，一个跷跷板两端坐的人的重量乘以他们到支点的距离相等，跷跷板就不会转动，处于平衡状态。
只有同时满足合力为零和合力矩为零这两个条件，刚体才能真正地处于平衡状态。
三、刚体平衡的例子生活中有很多刚体平衡的例子。
比如说，一个静止在水平地面上的桌子。
桌子受到重力，方向竖直向下，地面给它的支持力，方向竖直向上，这两个力大小相等、方向相反，合力为零。
同时，关于桌子的任意一点，重力产生的力矩和支持力产生的力矩也相互抵消，合力矩为零，所以桌子能稳稳地静止在那里。
再比如，一个悬挂着的吊灯。
吊灯受到重力，绳子对它的拉力，这两个力大小相等、方向相反，合力为零。
而且，以悬挂点为参考点，重力产生的力矩和拉力产生的力矩也相等，合力矩为零，吊灯就不会晃动，保持平衡。
四、刚体平衡在工程中的应用在工程领域，刚体平衡的知识可是非常重要的。
比如说建筑结构的设计。
一座大楼要稳稳地矗立在那里，就得保证它的各个部分所受到的力满足刚体平衡的条件。
刚体的平衡
第七章 刚体力学
y
F
Fy j
C
C´
E
Fxi30W°
B W
x
A FN
M z EA FN sin30 W (EB cos 30 CB sin30 )
W (EB cos 30 CB sin30 ) 0
解以上三方程得 FN 8.75 kN
Fx 4.38 kN, Fy 2.08 kN F Fx2 Fy2 4.85 kN, tan 0.4748
Fiy 0
Miz 0
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第七章 刚体力学
其中
Miz 0
是力对z轴力矩的代数和为零,z是垂直于Oxy面的任意轴.
刚体平衡方程的其它形式
(1) 诸力对任意轴的力矩和为零. 在力的作用平面内选O
和O´ 两个参考点，OO´ 连线不与Ox轴正交
Fix 0
Miz 0
Miz 0
(2) 在力的作用平面内选O、O´ 和O´´ 三个参考点，
O、O´ 和O´´ 三点不共线
Miz 0
Miz 0
Miz 0
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§7.6.2 杆的受力特点
第七章 刚体力学
在下面三个条件下，可认为杆仅受两力而平衡. 1. 杆件两瑞与其它物体的联结是光滑铰链联结.对 光滑铰链联结,只有通过节点的压力.
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第七章 刚体力学 [例题2]将长为l ,质量为 m1 的均匀梯子斜靠在墙角下, 已知梯子与墙面间以及梯子与地面间的静摩擦因数分
别为1 和2 ，为使质量为m2 的人爬到梯子顶端时,梯
子尚未发生滑动.试求梯子与地面间的最小夹角.
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y
刚体的平衡条件与力矩计算
刚体的平衡条件与力矩计算在物理学中，刚体是指不受扭曲和变形的物体。
当一个刚体处于平衡状态时，它的各个部分不会发生相对位移或旋转。
要确保刚体处于平衡状态，就需要满足平衡条件。
刚体的平衡条件可以分为两个方面来考虑：平衡力和力矩。
首先，我们来看平衡力。
当一个刚体处于平衡状态时，合力必须为零。
这意味着物体上的所有力的矢量和应该等于零。
以水平桌面上的物体为例，如果物体不发生平移或旋转，那么物体受到的水平方向的力必须平衡。
如果有一个物体在桌面上滑动，那么桌面会给物体施加等大相反的水平力，以阻止物体的滑动。
其次，让我们来探讨力矩。
力矩是描述力对于物体的转动效应的物理量。
当外力施加在刚体上时，它会产生一个力矩，使刚体发生旋转。
为了使刚体保持平衡，应该满足力矩之和为零的条件。
那么，如何计算力矩呢？在计算力矩时，我们需要考虑两个因素：力的大小和力的距离。
力的大小可以通过矢量的模来表示，而力的距离则可以通过力的作用点到旋转轴的垂直距离来衡量。
对于一个刚体上的力来说，我们可以把力矩表示为力乘以它的力臂的长度。
力臂是力作用点到旋转轴的垂直距离，也可以理解为在旋转轴上的投影距离。
力矩的计算公式为：M = F × r，其中M表示力矩，F表示力的大小，r表示力臂的长度。
当多个力作用在一个刚体上时，我们可以计算每个力的力矩，并将它们相加。
根据力矩的方向，我们可以判断刚体的旋转方向。
如果力矩的合力为零，那么刚体将保持平衡状态。
在日常生活中，力矩的概念经常被应用在各种场景中。
例如，当我们使用工具松紧螺丝时，需要施加足够的力矩来克服螺丝的阻力。
另一个例子是摇摆门，门会围绕一个轴旋转，我们可以通过调整门的开关位置来改变力矩，从而实现门的平衡状态。
总结起来，刚体的平衡条件与力矩计算是物理学中重要的概念。
平衡力和力矩是刚体保持平衡的关键要素。
要使刚体处于平衡状态，合力必须为零，同时力矩之和也必须为零。
通过计算力的大小和力臂的长度，我们可以准确地计算力矩。
使刚体保持平衡的充分必要条件
使刚体保持平衡的充分必要条件如何使刚体保持平衡一、引言保持平衡是物体在力的作用下保持不动或者保持匀速直线运动的重要概念。
对于刚体而言，保持平衡意味着它不会发生旋转或倾斜。
本文将介绍使刚体保持平衡的充分必要条件。
二、重心的位置刚体的重心是一个重要的概念。
重心是指刚体所有质点的平均位置，即刚体的质量中心。
在保持平衡的过程中，重心的位置起着关键的作用。
三、平衡的条件刚体保持平衡需要满足以下两个条件：1. 力的平衡条件刚体保持平衡的一个充分必要条件是力的合力为零。
换句话说，刚体所受到的合力必须等于零，才能保持静止或匀速直线运动。
如果刚体所受力的合力不为零，它将发生加速度，即发生旋转或倾斜。
2. 力矩的平衡条件刚体保持平衡的另一个充分必要条件是力矩的合力矩为零。
力矩是力对物体产生旋转影响的量度，它等于力的大小与力臂（力矩臂）的乘积。
力臂是力作用线与旋转轴之间的垂直距离。
对于刚体保持平衡，力的合力矩必须等于零。
这意味着刚体所受到的所有力矩的代数和为零。
如果力矩的合力矩不为零，刚体将发生旋转。
四、重心位置与平衡重心的位置对于刚体的平衡非常重要。
当重心位于刚体的支点上时，刚体可以保持平衡。
这是因为重力产生的力矩为零，不会使刚体发生旋转。
在这种情况下，刚体可以保持静止或匀速直线运动。
然而，当重心位于刚体的支点之外时，刚体将发生旋转。
为了保持平衡，重心必须位于支点的垂直线上。
这是因为当重心位于支点的垂直线上时，重力产生的力矩为零，不会使刚体发生旋转。
五、稳定平衡与不稳定平衡刚体保持平衡时可以分为稳定平衡和不稳定平衡两种情况。
1. 稳定平衡当刚体稍微偏离平衡位置时，它将自动回到平衡位置。
这种情况下，刚体被称为稳定平衡。
稳定平衡的一个充分必要条件是重心的位置要尽可能低，以降低重心偏离垂直线的力矩。
2. 不稳定平衡当刚体稍微偏离平衡位置时，它将进一步远离平衡位置。
这种情况下，刚体被称为不稳定平衡。
不稳定平衡的一个充分必要条件是重心的位置要尽可能高，以增加重心偏离垂直线的力矩。
刚体的平衡条件
刚体的平衡条件刚体是指物体内部各点之间相对位置保持不变的物体。
在物理学中，平衡是指物体处于静止状态或匀速直线运动状态，没有受到任何净外力或净外力矩的作用。
刚体的平衡条件是判断刚体是否处于平衡状态的基本依据。
一、1. 力的平衡条件当一个刚体处于力的平衡状态时，即刚体上所有力的合力等于零。
根据牛顿第二定律，力的合力等于物体质量乘以加速度，而刚体处于平衡状态时，加速度为零，则合力也必须为零。
2. 转矩的平衡条件除了要求刚体上所有力的合力为零外，还要求刚体上所有力对一个点的转矩（力矩）的合为零，即刚体在绕该点转动时，总的转动效果为零。
转矩是由作用在刚体上的力产生的，在计算转矩时，需要考虑力的大小和施力点到转动中心的距离，转矩的方向可以通过右手定则来确定。
二、刚体平衡条件的应用1. 平衡力分析在实际问题中，可以通过平衡力分析来判断刚体是否处于平衡状态。
平衡力分析是指将所有作用在刚体上的力进行分解和合成，然后判断分解后的力的合力是否为零。
如果合力为零，则刚体处于力的平衡状态。
2. 平衡力矩分析除了分析力的平衡外，还需要分析刚体受力点产生的转矩是否平衡。
对于一个绕平衡点旋转的刚体，可以通过平衡力矩分析来判断刚体是否处于平衡状态。
平衡力矩分析是指将所有作用在刚体上的力分别计算其对平衡点的转矩，然后判断所有转矩的和是否为零。
如果转矩的和为零，则刚体处于平衡状态。
三、刚体平衡条件的应用实例1. 杠杆平衡杠杆是一种应用刚体平衡条件的典型例子。
在杠杆中，一个物体可以通过在不同位置施加力来达到平衡状态。
根据刚体平衡条件，可以根据物体的质量、距离和施力的大小来计算平衡条件。
2. 悬挂物体平衡悬挂物体平衡是指将物体悬挂于绳子或悬挂物上，使其处于平衡状态。
在此过程中，要求物体的重力和拉力达到平衡。
根据刚体平衡条件，可以通过调整悬挂物体的位置或增加绳子的张力来实现平衡。
3. 斜面平衡斜面平衡是指物体静止或匀速滑动于斜面上时的平衡状态。
《刚体的平衡》课件
刚体的平衡条件
01
力的合成条件
如果一个刚体在力的作用下保 持静止或匀速运动，那么这些 力可以通过力的合成相互抵消
，即合力为零。
02
力矩的平衡条件
如果一个刚体在力矩的作用下 保持静止或匀速转动，那么这 些力矩可以通过力矩的平衡相
互抵消，即合力矩为零。
03
刚体的平衡条件
根据牛顿第一定律，一个刚体 在力的作用下保持静止或匀速 运动，必须满足两个条件，即 合力为零和合力矩为零。这两 个条件也被称为刚体的平衡条
在分析刚体的平衡问题时，需要计算所有 作用在刚体上的力和力矩，并判断它们是 否满足力矩平衡条件。
力的平衡原理
定义
应用
力的平衡原理是指在刚体上作用的所 有外力在任意轴上的投影代数和为零 ，则刚体平衡。
在分析刚体的平衡问题时，需要计算 所有作用在刚体上的外力在任意轴上 的投影，并判断它们是否满足力的平 衡条件。
《刚体的平衡》ppt课件
目录
• 刚体的平衡概述 • 刚体的平衡形态 • 刚体的平衡原理 • 刚体的平衡应用 • 刚体的平衡问题解决
01
刚体的平衡概述
平衡的定义
01
平衡的定义
02
平衡的分类
平衡是指刚体在力的作用下，通过力的合成或力矩的平衡，使刚体的 状态保持不变或匀速运动。
根据刚体的运动状态，平衡可以分为静态平衡和动态平衡。静态平衡 是指刚体在力的作用下保持静止状态；动态平衡是指刚体在力的作用 下保持匀速运动状态。
复杂问题
如桥梁、高层建筑等大型 结构的平衡问题。
实际应用
如工程设计、机械制造等 领域中的刚体平衡问题。
THANKS
土木工程
在土木工程领域，刚体的平衡在建筑物的地基设计、斜坡稳定性分析等方面具有广泛应用。了解刚体的平衡有助于预 防建筑物因不均匀沉降或滑坡而造成的损坏。
静力学-力系平衡+刚体系统平衡 1
•有唯一解•无穷组解源自•利用用变形协调条件确定真实解
二、刚体系统的平衡
[隔离体]、[整体]
刚体系平衡 系统中每个刚体平衡
A
B
F
600
C
M
问题：平面刚体系若由n个单刚体组合而成， 可用的独立平衡条件最多有多少？ 独立平衡方程数N:
N 3n
A
B
F
60
0
M
[整体]
n个隔离体的平 C 衡方程(3n个) 肯定独立。
FAx FAy 1
2
2
2m
FB
[整体] C
FE
Q1
M
E
MA=0, –F+2FB–4Q–M+8FE=0 FB=1500N, Fy=0, FAy+FB+FE–F–Q=0 FAy=250N。
FCx
FCy
[CE]
FE
解：[AB],受力分析 A B
F
x
0, FAx 0
F
y
0,
l
FAy
MA
A FAx B
FAy qdx 0,
0
FAy ql
M
A l
0, 1 2 M A ql 2
M A xqdx 0,
0
例 ：图示为叉车的钢叉简图，已知：货物均重为 q=1500N/m，其它尺寸如 图示，求：约束A，B处的约束反力。
FBy FC F sin 60 0
a F sin 60 FC a 0 2
FBy
B
F
600
FC
C
Fy 0
(5) (6)
FBy
M
B
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FA
13 4
FBy
A
2
D5
B FBx
P
2m
2m
二、截面法
用假想的截面把桁架切开，取其中一部分为研究对象， 通过其平衡条件求出某些杆件内力的方法。 解题步骤： 1. 以整体为研究对象求桁架外约束反力 2. 用假想截面把桁架切开，取一部分为研究对象求杆件内力
注意事项： 1. 截面应截过待求内力的杆，且外力、约束反力为已知。 2. 截面切及的未知内力的杆件一般不超过三根。 3. 被切杆件的内力统一假设受拉伸作用。
解刚体系统问题的一般方法： 由整体 局部（常用），由局部
整体（用较少）
解题步骤
解题技巧
①选研究对象
① 选坐标轴最好是未知力 垂直 投影轴；
②画受力图（受力分析） ② 取矩点最好选在未知力的交叉点上；
③平衡方程。
③ 充分发挥二力杆的直观性；
④ 解方程求出未知数 注意问题
④ 灵活使用合力矩定理。
力偶在坐标轴上的投影不存在；
50 6
8.33(kN)
YC
4m
③
E
再 研
YA X A 0 B
Q
P
究
F 1m C G
整
A
1m
YB
体
3m
3m
6m
D
YD
D YD
mA 0,YB 3 YD 12 P 10 Q 6 0 YB 100(kN)
Y 0,YA YB YD Q P 0 YA 48.33(kN)
XO -SA sin 0
Y 0
y
YO XO
M
x
SA
P
-SA cos YO 0
M PR XO P tg YO P
[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
[例3-6] 已知：连续梁上，P=10kN, Q=50kN, CE 铅垂, 不计梁重 求：A ,B和D点的约束力。 (不能先整体求出，要拆开）
[例3-7] 已知：m=30kN.m,P=10kN, q=
5kN/m , 求：A、C 、E处的反力。
q
M
P
C
60
B
E D
1m
1m
1m
1m
2m
1m
1m
3m
A
解：
以DE为研究对象：
FDy
P
60
FE
FDx
Fx 0
FDx P cos 60 5kN
mD(F ) 0
Fy 0
2FE P sin60o 1 0 FDy FE P sin60o 0
求：①M=？②O点的约束力？③AB杆内力？
④冲头给导轨的侧压力？
y
SB
M
OA R
解：研究B
N
由 X 0
B
x
P
l
N +SB sin 0
B
Y 0
P
P+SB cos 0
SB
-
P
cos
,
N P tg
M OA R
l B
再研究轮
mO (F )0
-SA cos R M 0 X 0
Fy 0
M A 9kN.m
FAy FBy q 1 0
FAy 10.67kN
§3-4 平面桁架的内力计算
桁架：一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构， 它在受力后几何形状不变。
节点：桁架中杆件的铰链接头。
工程中的桁架结构
工程中的桁架结构
工程中的桁架结构
关于平面桁架的几点假设： 1.各杆件为直杆，各杆轴线位于同一平面内； 2.杆件与杆件间均用光滑铰链连接； 3.载荷作用在节点上，且位于桁架几何平面内； 4.各杆件自重不计或平均分布在节点上。
[例3-9] 已知：如图，h，a，P。
I
FAy
A
1
4
8
3 5 7 9 11 FB
2
6 10 B
FAx
P
P
a
a
a
求：4，5，6杆的内力。
FAy
F4
F5
A1 3 5
FAx
2 A'
6 F6
P
I
解： ① 研究整体求支反力 ② 选截面 I-I ，取左半部研究
Fx 0
FAx 0
MB 0
FAy 3a P 2a P a 0
FAy P
由 MA 0
F 4h FAy a 0 Pa
F4 h
Pa FAy P F4 h
FAy
F4 4
A 1 3 5 F5
FAx
2 A'
6
F6
P
说明 ：
Fy 0
FAy F5 sin P 0
F5 0
Fx 0
F6 F5 cos F4 FAx 0
力偶矩M =常数，它与坐标轴和取矩点的选择无关。
静定与静不定问题的概念
平面 X 0 汇交力系 Y 0
两个独立方程，只能求两个独立未知数。
平面 力偶系
mi 0
一个独立方程，只能求一个独立未知数。
X 0
平面 任意力系
Y 0
mO (Fi )0
三个独立方程，只能求三个独立未知数。
FC 25kN
FC FBy q 1 FDy 0 FBy 15.67kN
q
B
1m
1m
1m
C
1m
M
P
60
D
2m
1m
E
1m
q
3m
A
B
F 'Bx
以AB为研究对象：
F 'By FCy
Fx 0 FAx FBx 5kN
FAx
MA
mA(F ) 0
M A 3FBx 2FBy q 1 1.5 0
§3-3 刚体系统的平衡
刚体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统。
[例]
B
M
C
P
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。
内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
外力、内力都是某研究对象而言的， 对不同的研究对象而言，可转换。
刚体系统平衡的特点： ①系统平衡，系统中每个单体也是平衡的； ②每个单体可列3个平衡方程，整个系统可列 3n个方程（设系统中有n个物体）
桁架的特点： ①直杆，不计自重； ②杆端铰接； ③外力作用在节点上。
二力杆
节点法与截面法 一、节点法
以桁架的节点为研究对象，通过其平衡条件求出各杆件内力的方法。
解题步骤： 1. 以整体为研究对象求桁架外约束反力 2. 逐个以节点为研究对象求各杆件内力 3. 校核
注意事项： 1. 先选只有两个未知力的节点进行计算 2. 画节点受力图时统一假设各杆件受拉伸作用
FE 2.5 3kN=4.33kN
FDy 2.5 3kN=4.33kN
10
q
B
1m
1m
1m
C
1m
M
P
60
E D
2m
1m
1m
3m
A
以BD为研究对象：
q
FBx
C
B
FBy
FC
Fx 0
FBx FDx 5kN
M D F 'Dx
F 'Dy
mB(F ) 0
Fy 0
2FC 4FDy q 1 0.5 m 0
[例3-8] 已知：如图 P=10kN，求各杆内力？
FBy
解：① 研究整体，求支座反力
FA
13 4
A
2
D5
B
Fx 0,
FBx
FBx 0
P
MA(F ) 0, 4FBy 2P 0
FBy 5 kN
2m
2m
MB(F ) 0, 2P 4FA 0
② 依次取A、C、D节点研究，计算各杆内力。
当：独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）
[例]
v P
已知
FAy
P
A
FAx
静定（未知数三个
FAy
BA
P
FBy
B
FAx
FBx
FBy
静不定（未知数四个）
静不定问题在变形体力学（材力,结力,弹力） 中用位移谐调条件来求解。
[例3-5] 已知：OA=R, AB= l , 当OA水平，冲压力为P时，
FA 5 kN
FA F1
F2
Fy 0, FA F1 sin300 0
F1 10kN（压）
Fx 0, F2 F1 cos300 0
F2 8.66 kN
C
Fx 0 F4 cos 300 F1'cos 300 0
F4
Fy 0
F3 F1'sin300 F4 sin300 0
F '1
F3
F '3
代入F1' F1
解得： F3 10kN, F4 10 kN（压）
F '2 D
P
Fx 0
F5 F2' 0
F5
代入F2' F2后
F5 7.66 kN
节点D的另一个方程可用来校核计算结果
C
Fy 0 P F3' 0