第四章刚体和刚体系统的平衡
刚体的平衡与转动定律的应用
刚体的平衡与转动定律的应用在物理学中，刚体是指其形状和大小在外力作用下不发生变化的物体。
刚体的平衡和转动定律是刚体力学中的重要概念，它们被广泛应用于各种实际工程问题的分析和解决。
一、刚体的平衡刚体的平衡是指刚体在受到外力作用时，保持静止或以一定的速度进行匀速直线运动的状态。
刚体的平衡有两种类型：平稳平衡和不平衡。
1. 平稳平衡当刚体处于平稳平衡状态时，它的重心和支持点重合，不会发生任何转动。
这意味着刚体所受到的合力和合力矩都为零。
根据平衡条件，我们可以得出：∑F = 0 （合力为零）∑M = 0 （合力矩为零）其中，∑F表示合力矢量的矢量和，∑M表示合力矩矢量的矢量和。
平稳平衡的一个典型例子是悬挂在弹簧上的质点。
当质点受到向下的重力和向上的弹簧力之和为零时，质点处于平稳平衡状态。
2. 不平衡当刚体处于不平衡状态时，它的重心和支持点不重合，会发生转动。
此时，刚体所受的合力和合力矩都不为零。
根据不平衡条件，我们可以得出：∑F ≠ 0 （合力不为零）∑M ≠ 0 （合力矩不为零）不平衡的一个典型例子是一个倾斜的物体，当物体所受到的重力分量不平衡时，物体将发生转动。
二、转动定律的应用转动定律是描述刚体转动的物理定律，通过转动定律，我们可以对刚体的转动进行详细的分析。
1. 动量定理动量定理是刚体转动定律的基础，它描述了刚体转动的动力学关系。
根据动量定理，刚体所受的合外力矩等于刚体动量的变化率。
即：∑M = dL/dt其中，∑M表示合外力矩的矢量和，L表示刚体的角动量，t表示时间。
通过动量定理，我们可以计算刚体受到的合力矩以及刚体角动量的变化情况。
2. 角动量守恒定律角动量守恒定律是转动定律中十分重要的一个定律。
它描述了刚体在没有外力矩作用下的转动规律。
根据角动量守恒定律，如果刚体在某一时刻的合外力矩为零，则刚体的角动量将保持不变。
即：∑M = 0 时，L = 常数通过角动量守恒定律，我们可以解决一些与刚体转动相关的问题，如旋转飞盘的角速度变化、自行车的倾斜和转弯等。
《刚体的平衡》 讲义
《刚体的平衡》讲义一、什么是刚体在开始探讨刚体的平衡之前，咱们得先明白啥是刚体。
简单来说，刚体就是在受力作用下形状和大小都不会改变的物体。
想象一下一块坚硬的钢板，不管你怎么推它、拉它，它的尺寸和形状都不会发生变化，这就是刚体。
但要注意，刚体只是一个理想化的模型。
在现实世界中，完全不变形的物体是不存在的。
不过，在很多情况下，当物体的变形非常小，可以忽略不计时，我们就可以把它近似地看作刚体，这样能让我们的研究和计算变得简单很多。
二、刚体平衡的条件要让一个刚体处于平衡状态，需要满足两个条件：合力为零和合力矩为零。
先来说说合力为零。
这就好比一个人在水平方向上同时受到向左和向右的两个大小相等的力，这两个力就相互抵消了，合力为零。
在刚体上，如果作用在它上面的所有力在各个方向上的合力都为零，那么刚体就不会在力的作用下发生平动，也就是不会沿着直线加速移动。
再讲讲合力矩为零。
矩呢，简单理解就是力乘以力臂。
如果一个刚体受到的所有力产生的力矩之和为零，那么刚体就不会发生转动。
比如说，一个跷跷板两端坐的人的重量乘以他们到支点的距离相等，跷跷板就不会转动，处于平衡状态。
只有同时满足合力为零和合力矩为零这两个条件，刚体才能真正地处于平衡状态。
三、刚体平衡的例子生活中有很多刚体平衡的例子。
比如说，一个静止在水平地面上的桌子。
桌子受到重力，方向竖直向下，地面给它的支持力，方向竖直向上，这两个力大小相等、方向相反，合力为零。
同时，关于桌子的任意一点，重力产生的力矩和支持力产生的力矩也相互抵消，合力矩为零，所以桌子能稳稳地静止在那里。
再比如，一个悬挂着的吊灯。
吊灯受到重力，绳子对它的拉力，这两个力大小相等、方向相反，合力为零。
而且，以悬挂点为参考点，重力产生的力矩和拉力产生的力矩也相等，合力矩为零，吊灯就不会晃动，保持平衡。
四、刚体平衡在工程中的应用在工程领域，刚体平衡的知识可是非常重要的。
比如说建筑结构的设计。
一座大楼要稳稳地矗立在那里，就得保证它的各个部分所受到的力满足刚体平衡的条件。
刚体的平衡
Ai-1
Pi P6
A1 C
A6
P1 mg
例7.3 用20块质量均匀分布的相同光滑积木块， 在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，如图 所示。已知每一积木块的长度为l，横截面是边长 为h＝l/4的正方形。要求此桥具有最大跨度（即桥 孔底宽）。试计算跨度与桥孔高度的比值。
l h
H
L
解：
l x1 2
解：设任一小突起Ai对其的压力为Pi，则
Pi 2Pi（1 i=2 … 6）
P2 2P1
P3 2P2 22 P1
Bi-1
LL
P6 25 P1 32P1 考虑薄片A6B6，根据力矩平衡条件可得
P1
l 2
mg
3 4
l
P6l
0
B6
P6 32P1 代入可解得：
1 P1 42 mg
Pi-1
Ai
1.刚体平衡条件
1）物体受力的矢量和为零：
r
Fi 0
i
2）对矩心的合力矩为零
r
Mi
rri
r Fi
0
i
i
重要推论：
刚体受三个非平行力作用而平衡时，此三个力的 合力为零，而且这三个力的力线（含延长线）相 交于一点。
2.刚体平衡的稳定性
满足平衡条件的刚体，若受到扰动，便离开 平衡位置。若它会自动回到平衡位置，则称为稳 定平衡；若它会更远离平衡位置，则称为不稳定 平衡；若平衡位置的周围仍是平衡位置，则称为 随遇平衡。
x1
x2
mx1
m( x1 2m
l
/
2)
x1
l 4
x2
l 4
x1
x2
x3
m( x1
《刚体的平衡》 讲义
《刚体的平衡》讲义在我们的日常生活和工程实践中，刚体的平衡是一个非常重要的概念。
无论是简单的物体放置，还是复杂的机械结构设计，都离不开对刚体平衡的理解和应用。
那么，什么是刚体的平衡呢？简单来说，当一个刚体在力的作用下保持静止或者做匀速直线运动的状态，我们就说这个刚体处于平衡状态。
要使一个刚体达到平衡，需要满足两个条件：力的平衡和力矩的平衡。
先来说力的平衡。
这意味着作用在刚体上的所有外力的合力必须为零。
想象一下，一个放在水平桌面上静止的木块，它受到竖直向下的重力和桌面给它竖直向上的支持力。
因为重力和支持力大小相等、方向相反，且作用在同一条直线上，所以合力为零，木块就能保持静止，处于平衡状态。
再看力矩的平衡。
力矩可以理解为使物体绕着某个点转动的趋势。
如果一个刚体要平衡，对于任意一点，所有外力产生的力矩之和也必须为零。
比如说，一个跷跷板两端坐着不同体重的人，如果要保持跷跷板平衡，不仅两个人的重力之和要与地面的支持力平衡，而且他们各自产生的力矩也要相互抵消。
为了更好地理解力和力矩的平衡，我们来具体分析一些例子。
假设在一个建筑工地上，有一个起重机吊起一个重物。
起重机的起重臂就可以看作是一个刚体。
重物的重力通过吊钩作用在起重臂上，起重臂自身也有重力，此外还有起重臂与机身连接处的约束力。
要使起重臂保持平衡，这些力在水平和竖直方向上的合力都必须为零。
同时，对于起重臂与机身的连接点，这些力产生的力矩之和也得是零。
又比如，在一个简单的杠杆装置中，有一个支点，在支点的两侧分别施加不同大小的力。
根据杠杆原理，力乘以力臂等于力矩。
要使杠杆平衡，两侧的力矩必须相等。
在实际问题中，求解刚体的平衡常常需要我们建立合适的坐标系，将力分解到各个坐标轴上，然后分别求解力的平衡方程。
对于力矩的计算，要正确确定力臂的长度和力的方向。
理解刚体的平衡不仅对于解决实际问题很重要，在物理学的学习中也是基础。
它为我们进一步学习力学的其他知识，如动力学、材料力学等，打下了坚实的基础。
第四章 刚体力学
第四章 刚体的转动§4-1 刚体的定轴转动1． 研究对象:刚体,即物体内任意两质点间的距离在运动中保持不变。
（不变质点组）。
2． 对刚体运动的分类：（1）平动：刚体内任何一条给定直线在刚体运动过程中方向不变。
所有点的运动相同。
（2）定轴转动：刚体中所有点都绕一固定直线作圆周运动。
（3）刚体的平面运动：这种运动可分解为质心的平动和以质心为轴的转动。
（4）刚体的空间运动：这种运动可分解为平动、轴的运动、绕轴的转动。
3． 角量和线量的关系：r S θ=，r v ω=，r a βτ=，rv r a n 22==ω 规定：ω 方向与刚体转动方向成右手螺旋关系，于是ω由于：dt d ωβ =，所以角加速度的方向也在转轴上。
若以ω为正方向，β为正表示加速，β为负表示减速。
以后将学到的力矩的方向、动量矩的方向等都在转轴上。
4． 力矩：力矩就是综合描述这三要素的一个物理量。
定义：f r M⨯=大小：θsin ⋅⋅=⋅=r f d f M 分量值：ατcos fr r f M z =⋅=f 在转动平面内。
若f 不在转动平面内，将f分解为平行于转轴和垂直于转轴两部分。
平行于转轴部分对刚体的转动无贡献。
几个力同时作用于刚体，它们的合力矩是这几个力的力矩的矢量合： ∑=i M M（注意：不是合力的力矩，而是力矩的矢量合。
力矩的矢量合≠合力的力矩。
） 例：求匀质园盘在水平面上转动时所受的摩擦力矩。
解：取rdr dm πσ2⋅=gdm df ⋅=μ rdf dM f =mgR gR dr gr dM M Rf f μπμσπμσ32322320====⎰⎰§4-2 转动动能 转动惯量 转动定律1． 转动动能： ∑∑∑===i i i i ii i i i k r m r m v m E 22222)(212121ωω 2． 转动惯量J ：（单位：Kg.m 2）对于质量为离散型分布的刚体：∑=iii rm J 2；对于质量为连续型分布的刚体：dm r J M⎰=2（1）J 由三个因素决定：质量的大小、质量分布、转轴的位置。
理论力学_刚体系的平衡
几何静力学
ห้องสมุดไป่ตู้
0
3 4 6 8
P
5
F C A
P
0 0 0 0 0 0 0 F G 0 H E 0 0 C D 0 0
A 60°
60° B
I
K
J
0
9
7
A
B
G 0 0 0 00 H D E
B
22/39
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例 4-6-3
截面法
第 4章
截面的选择
如何求1杆的内力？
C
3 1
P
先由整体平衡求出A、B处的约束力；再作 截面I，考虑左半部平衡
Rx 0 X A X B Q 0
C
YA
解
第 4章
例 4-6-2
已知连续梁由AB和BC两段组成，长度分别为 2a和a，梁的A端插入墙内，C处有滚动支座 支撑，B处用光滑铰连结，在BC段作用力偶 矩m，在AB段作用分布载荷q，求A、B、C 处 约束反力
q
A B
几何静力学
Q
(2) 考虑左半部
10/39
几何静力学
英国福斯湾桥。 钢悬臂桁架双线 铁路桥。跨度521 米。1890年建成
桁架的工程实例
第 4章
桁架的工程实例
几何静力学
北京首都国际机场航空港内 钢结构飞机库
ZT120型塔式起重机
12/39
卫星发射塔。1983年8月 19日发射科学试验卫星。
法国埃菲尔铁塔
2
桁架构思的由来
第 4章
桁架构思的由来 — 大跨度梁的发展(有效使
例 4-6-3
已知：尺寸、载荷。求：各杆内力。
P3 P 1
2
工程力学(北航版)——第四章：平面任意力系
∑mA(F)=0
Q(6 − 2) − P ⋅ 2 + FB (2 + 2) = 0
限制条件为： 限制条件为： FB ≥ 0
解得： 解得：
Q≤350 kN
因此保证空、满载均不倒 应满足如下关系 应满足如下关系： 因此保证空、满载均不倒Q应满足如下关系
75 kN≤Q≤350 kN
当W=400KN时，Q的范围？ W=400KN时 的范围？
MO =
∑M
Oi
方向： 方向 方向规定 +
M A ≠ MO
7
简化中心： 简化中心 (与简化中心有关)
3. 平面一般力系的合成结果
′ 初步简化结果： 初步简化结果：主矢 FR ，主矩 MO，下面分别讨论。
′ ， ① FR =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ，
′ ② FR = 0 , M O ≠ 0 即 简 化 结 果 为 一 力 偶 M = M O = ∑MOi， 此 时
刚体等效于只有一个力偶的作用（因为力偶可以在刚 体平面内任意移转，故这时，主矩与简化中心O无关。） ③ FR ≠0, O =0, ′ ≠0,M =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
′ 简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR = FR 。（此时 ,
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
8
′ ≠0,M ≠0,为最一般的情况 此种情况还可以继续简 为最一般的情况。 ④ FR ≠0, O ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简
化为一个合力 FR 。
′ F R = F ′ R = − FR′ ′ M O = FR ⋅ d
F'R F'R F''R A FR FR
刚体系统的平衡
FA
13 4
FBy
A
2
D5
B FBx
P
2m
2m
二、截面法
用假想的截面把桁架切开，取其中一部分为研究对象， 通过其平衡条件求出某些杆件内力的方法。 解题步骤： 1. 以整体为研究对象求桁架外约束反力 2. 用假想截面把桁架切开，取一部分为研究对象求杆件内力
注意事项： 1. 截面应截过待求内力的杆，且外力、约束反力为已知。 2. 截面切及的未知内力的杆件一般不超过三根。 3. 被切杆件的内力统一假设受拉伸作用。
解刚体系统问题的一般方法： 由整体 局部（常用），由局部
整体（用较少）
解题步骤
解题技巧
①选研究对象
① 选坐标轴最好是未知力 垂直 投影轴；
②画受力图（受力分析） ② 取矩点最好选在未知力的交叉点上；
③平衡方程。
③ 充分发挥二力杆的直观性；
④ 解方程求出未知数 注意问题
④ 灵活使用合力矩定理。
力偶在坐标轴上的投影不存在；
50 6
8.33(kN)
YC
4m
③
E
再 研
YA X A 0 B
Q
P
究
F 1m C G
整
A
1m
YB
体
3m
3m
6m
D
YD
D YD
mA 0,YB 3 YD 12 P 10 Q 6 0 YB 100(kN)
Y 0,YA YB YD Q P 0 YA 48.33(kN)
XO -SA sin 0
Y 0
y
YO XO
M
x
SA
P
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（4-2）
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4.1 质点系和刚体的平衡条件
根据牛顿第三定律，质点系内力总是成对出现，相互作用，具有大小
相等、方向相反、作用在同一条直线上的性质。因此，每对内力的矢
量和其对任意点的力矩之和均等于零。故式（4-2）可化为
m
FRi = 0 ，m来自MO (FRi ) = 0
（4-3）
同一直线的力，弹簧两端会开始背向远离，直到其内部产生的弹性力
和施加的力相等，才能停下来、停止伸长。在此例中，在弹簧停止伸
长之前，作用在它上面的力系是符合式（4-4）的，但弹簧仍然在运
动，不平衡。在弹簧停止伸长之后，处于平衡状态，同时，其上作用
的外力系也符合式（4-4）。
对于具体的问题而言，条件中的外力包括主动力及约束力。
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4.2 刚体的平衡方程
4.2.1 一般空间力系作用下刚体的平衡方程
由上文的讨论得知，刚体平衡的充要条件是作用在刚体上的外力系的 主矢及外力对任一点的主矩都为零，写成矢量方程组是式（4-4），
在工程中，为了方便应用，可以利用矢量投影定理，将其投影在三个
互相垂直的坐标轴上，得到6个标量形式的平衡方程：
处于平衡。
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4.1 质点系和刚体的平衡条件
4.1.2 质点系的平衡条件
质点系平衡，指质点系中每一个质点均处于平衡状态。即质点系中所
有的质点都相对参考系全都处于静止状态，或全都处于匀速运动状态。 下文来研究处于平衡状态的质点系上外力F1，F2，…，Fn间的关系。
我们知道，作用于质点系中每个质点上的力可以分为外力和内力两种，
第四章 刚体和刚体系统的平衡
第一节 质点系和刚体的平衡条件 第二节 刚体的平衡方程 第三节 刚体平衡问题 第四节 静定刚体系统的平衡问题 第五节 钢化原理 第六节 摩擦及考虑摩擦时的平衡问题 总结与讨论 习题
4.1 质点系和刚体的平衡条件
4.1.1 单质点的平衡条件
质点i系1 中每个质点上外力的合力等于i1 所有外力合力，质点系中每个质
点上外力的合力对点之矩的和等于所有外力对点之矩的和。上式可进
一步化为
Fi 0
，
MO (Fi ) 0
（4-4）
上式表明，质点系处于平衡时，作用于该质点系的外力系的主矢及外
力对任一点的主矩必定为零，由第2章知，作用于该质点系的外力系
知， FRi fRi = 0
，即每个小组的合力为零。可以推出，所有小
组的力的合力为零，即所研究的力系的主矢为零。根据合力矩定理，
每个小组的力对任意点的力矩之和也等于零，即主矩也为零。由此得
到质点系平衡时其上作用的力系应满足的条件，即平衡条件
m
(FRi fRi ) = 0
i 1
， m MO (FRi fRi ) = 0 i 1
Fiz 0,
Mx (Fi ) 0, M y (Fi ) 0
（4-8）
可以看出，对于受空间汇交力系、空间力偶系、空间平行力系作用而 处于平衡状态的刚体，当如上所述选取合适的坐标系时，都将有三个 平衡方程自动满足，独立的平衡方程只有三个。
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4.2 刚体的平衡方程
4.2.3 平面力系作用下刚体的平衡方程
内力为质点系内各质点间相互的作用力。设所研究质点系由n个质点
构成，其上所受外力为F1，F2，…，Fn，用表示作用于第个质点的
外力的合力，用表示作用于第个质点的内力的合力。把作用于每个质
点上的力作为一个小组，来计算作用于该质点系的外力及质点系质点
间内力构成的力系的主矢和主矩。对于第个质点，根据式（4-1）
为平衡力系。式（4-4）成立是质点系处于平衡状态的必要条件，即
质点系平衡，式（4-4）一定成立。
反过来看，式（4-4）成立是否质点系一定平衡呢？需要分不同的情 况讨论。
对于单个刚体而言，可以证明，式（4-4）是单个刚体平衡的充要条 件，即
Fi 0
，
MO (Fi ) 0
成立上。一页 下一页 返回
上述平衡方程适用于任意力系作用下的刚体，但如果作用在刚体上的
力系是空间特殊力系，则上述方程中的某些平衡方程会自动满足，方
程数目会减少。
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4.2 刚体的平衡方程
4.2.2 特殊空间力系作用下刚体的平衡方程
对于空间汇交力系，如果取汇交点为坐标原点，则力系中各力对通过
汇交点的任一轴的力矩都为零，三个力矩方程自动满足。独立平衡方
对于单个质点，由于作用在单质点上的力系只能是汇交力系，汇交力 系在汇交点可以合成一合力，根据牛顿第一定律，质点平衡的充分必 要条件是合力等于零，即力系的主矢
FR 0
（4-1）
也就是说，单个质点处于平衡，则肯定有作用在该质点上的力系的合
力为零；反过来说，当作用在某质点上的力系的合力为零时，该质点
程只剩三个
Fix 0,
Fiy 0,
Fiz 0
（4-6）
对于空间力偶系，由于力偶在任一轴上的投影为零，力的投影方程自
然满足。独立平衡方程只剩三个
Mx (Fi ) 0, My (Fi ) 0, Mz (Fi ) 0
（4-7）
对于力系中所有力的作用线相互平行的空间力系，若坐标系的轴与力 作用线平行，则各力在轴和轴上的投影均为零，各力对轴之矩均为零， 三个方程自动满足，只剩三个独立方程
Fix 0,
Fiy 0,
Fiz 0
（4-5）
M x (Fi ) 0, M y (Fi ) 0, M z (Fi ) 0
式（4-5）为一般空间力系的平衡方程，也叫做空间任意力系的平衡
方程。
上述方程表明，平衡力系中所有力在直角坐标系各轴上投影的代数和 都为零；同时平衡力系中所有力各轴之矩的代数和也分别等于零。
4.1 质点系和刚体的平衡条件
但对变形体而言，变形体平衡，式（4-4）成立，反过来则不一定成 立，即
变形体平衡可以得出
Fi 0
，
MO (Fi ) 0
成立。
但
Fi 0 ， MO (Fi ) 0成立，变形体不一定平衡。
例如，在一根比较细弱的弹簧两端施加大小相等、方向相反、作用在