第四章刚体和刚体系统的平衡

处于平衡。
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4.1 质点系和刚体的平衡条件
4.1.2 质点系的平衡条件
质点系平衡，指质点系中每一个质点均处于平衡状态。即质点系中所
有的质点都相对参考系全都处于静止状态，或全都处于匀速运动状态。 下文来研究处于平衡状态的质点系上外力F1，F2，…，Fn间的关系。
我们知道，作用于质点系中每个质点上的力可以分为外力和内力两种，
内力为质点系内各质点间相互的作用力。设所研究质点系由n个质点
构成，其上所受外力为F1，F2，…，Fn，用表示作用于第个质点的
外力的合力，用表示作用于第个质点的内力的合力。把作用于每个质
点上的力作为一个小组，来计算作用于该质点系的外力及质点系质点
间内力构成的力系的主矢和主矩。对于第个质点，根据式（4-1）
对于单个质点，由于作用在单质点上的力系只能是汇交力系，汇交力 系在汇交点可以合成一合力，根据牛顿第一定律，质点平衡的充分必 要条件是合力等于零，即力系的主矢

FR 0
（4-1）
也就是说，单个质点处于平衡，则肯定有作用在该质点上的力系的合
力为零；反过来说，当作用在某质点上的力系的合力为零时，该质点
为平衡力系。式（4-4）成立是质点系处于平衡状态的必要条件，即
质点系平衡，式（4-4）一定成立。
反过来看，式（4-4）成立是否质点系一定平衡呢？需要分不同的情 况讨论。
对于单个刚体而言，可以证明，式（4-4）是单个刚体平衡的充要条 件，即

Fi 0
，
MO (Fi ) 0
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上述平衡方程适用于任意力系作用下的刚体，但如果作用在刚体上的
力系是空间特殊力系，则上述方程中的某些平衡方程会自动满足，方
程数目会减少。
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4.2 刚体的平衡方程
4.2.2 特殊空间力系作用下刚体的平衡方程
对于空间汇交力系，如果取汇交点为坐标原点，则力系中各力对通过
汇交点的任一轴的力矩都为零，三个力矩方程自动满足。独立平衡方
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4.2 刚体的平衡方程
4.2.1 一般空间力系作用下刚体的平衡方程
由上文的讨论得知，刚体平衡的充要条件是作用在刚体上的外力系的 主矢及外力对任一点的主矩都为零，写成矢量方程组是式（4-4），
在工程中，为了方便应用，可以利用矢量投影定理，将其投影在三个
互相垂直的坐标轴上，得到6个标量形式的平衡方程：
质点i系1 中每个质点上外力的合力等于i1 所有外力合力，质点系中每个质
点上外力的合力对点之矩的和等于所有外力对点之矩的和。上式可进
一步化为

Fi 0
，
MO (Fi ) 0
（4-4）
上式表明，质点系处于平衡时，作用于该质点系的外力系的主矢及外
力对任一点的主矩必定为零，由第2章知，作用于该质点系的外力系

Fiz 0,
Mx (Fi ) 0, M y (Fi ) 0
（4-8）
可以看出，对于受空间汇交力系、空间力偶系、空间平行力系作用而 处于平衡状态的刚体，当如上所述选取合适的坐标系时，都将有三个 平衡方程自动满足，独立的平衡方程只有三个。
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4.2 刚体的平衡方程
知， FRi fRi = 0
，即每个小组的合力为零。可以推出，所有小
组的力的合力为零，即所研究的力系的主矢为零。根据合力矩定理，
每个小组的力对任意点的力矩之和也等于零，即主矩也为零。由此得
到质点系平衡时其上作用的力系应满足的条件，即平衡条件
m

(FRi fRi ) = 0
i 1
， m MO (FRi fRi ) = 0 i 1
程只剩三个

Fix 0,
Fiy 0,
Fiz 0
（4-6）
对于空间力偶系，由于力偶在任一轴上的投影为零，力的投影方程自
然满足。独立平衡方程只剩三个

Mx (Fi ) 0, My (Fi ) 0, Mz (Fi ) 0
（4-7）
对于力系中所有力的作用线相互平行的空间力系，若坐标系的轴与力 作用线平行，则各力在轴和轴上的投影均为零，各力对轴之矩均为零， 三个方程自动满足，只剩三个独立方程

Fix 0,
Fiwenku.baidu.com 0,
Fiz 0
（4-5）
M x (Fi ) 0, M y (Fi ) 0, M z (Fi ) 0
式（4-5）为一般空间力系的平衡方程，也叫做空间任意力系的平衡
方程。
上述方程表明，平衡力系中所有力在直角坐标系各轴上投影的代数和 都为零；同时平衡力系中所有力各轴之矩的代数和也分别等于零。
（4-2）
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4.1 质点系和刚体的平衡条件
根据牛顿第三定律，质点系内力总是成对出现，相互作用，具有大小
相等、方向相反、作用在同一条直线上的性质。因此，每对内力的矢
量和其对任意点的力矩之和均等于零。故式（4-2）可化为
m

FRi = 0
，
m
MO (FRi ) = 0
（4-3）
同一直线的力，弹簧两端会开始背向远离，直到其内部产生的弹性力
和施加的力相等，才能停下来、停止伸长。在此例中，在弹簧停止伸
长之前，作用在它上面的力系是符合式（4-4）的，但弹簧仍然在运
动，不平衡。在弹簧停止伸长之后，处于平衡状态，同时，其上作用
的外力系也符合式（4-4）。
对于具体的问题而言，条件中的外力包括主动力及约束力。
4.2.3 平面力系作用下刚体的平衡方程
4.1 质点系和刚体的平衡条件
但对变形体而言，变形体平衡，式（4-4）成立，反过来则不一定成 立，即
变形体平衡可以得出

Fi 0
，
MO (Fi ) 0
成立。
但
Fi 0 ， MO (Fi ) 0成立，变形体不一定平衡。
例如，在一根比较细弱的弹簧两端施加大小相等、方向相反、作用在
第四章 刚体和刚体系统的平衡
第一节 质点系和刚体的平衡条件 第二节 刚体的平衡方程 第三节 刚体平衡问题 第四节 静定刚体系统的平衡问题 第五节 钢化原理 第六节 摩擦及考虑摩擦时的平衡问题 总结与讨论 习题
4.1 质点系和刚体的平衡条件
4.1.1 单质点的平衡条件