刚体的平衡
刚体的平衡与转动定律的应用
刚体的平衡与转动定律的应用在物理学中，刚体是指其形状和大小在外力作用下不发生变化的物体。
刚体的平衡和转动定律是刚体力学中的重要概念，它们被广泛应用于各种实际工程问题的分析和解决。
一、刚体的平衡刚体的平衡是指刚体在受到外力作用时，保持静止或以一定的速度进行匀速直线运动的状态。
刚体的平衡有两种类型：平稳平衡和不平衡。
1. 平稳平衡当刚体处于平稳平衡状态时，它的重心和支持点重合，不会发生任何转动。
这意味着刚体所受到的合力和合力矩都为零。
根据平衡条件，我们可以得出：∑F = 0 （合力为零）∑M = 0 （合力矩为零）其中，∑F表示合力矢量的矢量和，∑M表示合力矩矢量的矢量和。
平稳平衡的一个典型例子是悬挂在弹簧上的质点。
当质点受到向下的重力和向上的弹簧力之和为零时，质点处于平稳平衡状态。
2. 不平衡当刚体处于不平衡状态时，它的重心和支持点不重合，会发生转动。
此时，刚体所受的合力和合力矩都不为零。
根据不平衡条件，我们可以得出：∑F ≠ 0 （合力不为零）∑M ≠ 0 （合力矩不为零）不平衡的一个典型例子是一个倾斜的物体，当物体所受到的重力分量不平衡时，物体将发生转动。
二、转动定律的应用转动定律是描述刚体转动的物理定律，通过转动定律，我们可以对刚体的转动进行详细的分析。
1. 动量定理动量定理是刚体转动定律的基础，它描述了刚体转动的动力学关系。
根据动量定理，刚体所受的合外力矩等于刚体动量的变化率。
即：∑M = dL/dt其中，∑M表示合外力矩的矢量和，L表示刚体的角动量，t表示时间。
通过动量定理，我们可以计算刚体受到的合力矩以及刚体角动量的变化情况。
2. 角动量守恒定律角动量守恒定律是转动定律中十分重要的一个定律。
它描述了刚体在没有外力矩作用下的转动规律。
根据角动量守恒定律，如果刚体在某一时刻的合外力矩为零，则刚体的角动量将保持不变。
即：∑M = 0 时，L = 常数通过角动量守恒定律，我们可以解决一些与刚体转动相关的问题，如旋转飞盘的角速度变化、自行车的倾斜和转弯等。
《刚体的平衡》 讲义
《刚体的平衡》讲义一、什么是刚体在开始探讨刚体的平衡之前，咱们得先明白啥是刚体。
简单来说，刚体就是在受力作用下形状和大小都不会改变的物体。
想象一下一块坚硬的钢板，不管你怎么推它、拉它，它的尺寸和形状都不会发生变化，这就是刚体。
但要注意，刚体只是一个理想化的模型。
在现实世界中，完全不变形的物体是不存在的。
不过，在很多情况下，当物体的变形非常小，可以忽略不计时，我们就可以把它近似地看作刚体，这样能让我们的研究和计算变得简单很多。
二、刚体平衡的条件要让一个刚体处于平衡状态，需要满足两个条件：合力为零和合力矩为零。
先来说说合力为零。
这就好比一个人在水平方向上同时受到向左和向右的两个大小相等的力，这两个力就相互抵消了，合力为零。
在刚体上，如果作用在它上面的所有力在各个方向上的合力都为零，那么刚体就不会在力的作用下发生平动，也就是不会沿着直线加速移动。
再讲讲合力矩为零。
矩呢，简单理解就是力乘以力臂。
如果一个刚体受到的所有力产生的力矩之和为零，那么刚体就不会发生转动。
比如说，一个跷跷板两端坐的人的重量乘以他们到支点的距离相等，跷跷板就不会转动，处于平衡状态。
只有同时满足合力为零和合力矩为零这两个条件，刚体才能真正地处于平衡状态。
三、刚体平衡的例子生活中有很多刚体平衡的例子。
比如说，一个静止在水平地面上的桌子。
桌子受到重力，方向竖直向下，地面给它的支持力，方向竖直向上，这两个力大小相等、方向相反，合力为零。
同时，关于桌子的任意一点，重力产生的力矩和支持力产生的力矩也相互抵消，合力矩为零，所以桌子能稳稳地静止在那里。
再比如，一个悬挂着的吊灯。
吊灯受到重力，绳子对它的拉力，这两个力大小相等、方向相反，合力为零。
而且，以悬挂点为参考点，重力产生的力矩和拉力产生的力矩也相等，合力矩为零，吊灯就不会晃动，保持平衡。
四、刚体平衡在工程中的应用在工程领域，刚体平衡的知识可是非常重要的。
比如说建筑结构的设计。
一座大楼要稳稳地矗立在那里，就得保证它的各个部分所受到的力满足刚体平衡的条件。
刚体运动方程与平衡方程
刚体运动与平衡的实例分析
实例一
一个静止在地面上的杠铃，受到重力和地面的支持力作用，处于平衡状态。当有人推这 个杠铃时，推力大于杠铃的重力，杠铃开始加速向上运动，此时杠铃的运动状态发生了
改变。
实例二
一辆匀速直线行驶的汽车，受到牵引力和阻力的作用，处于平衡状态。当牵引力大于阻 力时，汽车会加速行驶；当牵引力小于阻力时，汽车会减速行驶，此时汽车的运动状态
刚体运动与平衡的转化关系
转化条件
当刚体受到的合外力为零时，即处于平衡状态，此时刚体的运动状态不会改变；反之，当刚体运动状态改变时， 其受到的合外力不为零，即不处于平衡状态。
转化关系
在一定条件下，刚体的运动状态与平衡状态可以相互转化，如静止的刚体受到外力作用后会开始运动，而匀速直 线运动的刚体受到合外力为零时会保持该运动状态。
实验结果与分析
根据实验数据，绘制刚体的位 移、速度和加速度随时间变化
的曲线图。
分析实验结果，验证刚体运动 方程与平衡方程的正确性。
探讨影响刚体运动和平衡的因 素，如质量、转动惯量、力矩 等。
比较实验结果与理论值的差异 ，分析误差来源，并提出改进 措施。
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平衡力
使物体处于平衡状态的力。
平衡力学
研究物体平衡状态的力学分支。
刚体动力学与平衡力学的联系与区别
联系
平衡力学是刚体动力学的一个特例，当 刚体处于静止状态时，其运动方程退化 为平衡方程。
VS
区别
刚体动力学研究刚体的运动规律，包括加 速、减速和匀速运动等；而平衡力学主要 关注静止或匀速直线运动状态的物体，研 究其平衡条件和稳定性。
刚体运动方程与平衡方程
• 刚体运动方程 • 平衡方程 • 刚体运动与平衡的关系 • 刚体动力学与平衡力学的关系 • 刚体运动与平衡的实验验证
刚体的平衡
第七章 刚体力学
y
F
Fy j
C
C´
E
Fxi30W°
B W
x
A FN
M z EA FN sin30 W (EB cos 30 CB sin30 )
W (EB cos 30 CB sin30 ) 0
解以上三方程得 FN 8.75 kN
Fx 4.38 kN, Fy 2.08 kN F Fx2 Fy2 4.85 kN, tan 0.4748
Fiy 0
Miz 0
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第七章 刚体力学
其中
Miz 0
是力对z轴力矩的代数和为零,z是垂直于Oxy面的任意轴.
刚体平衡方程的其它形式
(1) 诸力对任意轴的力矩和为零. 在力的作用平面内选O
和O´ 两个参考点，OO´ 连线不与Ox轴正交
Fix 0
Miz 0
Miz 0
(2) 在力的作用平面内选O、O´ 和O´´ 三个参考点，
O、O´ 和O´´ 三点不共线
Miz 0
Miz 0
Miz 0
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§7.6.2 杆的受力特点
第七章 刚体力学
在下面三个条件下，可认为杆仅受两力而平衡. 1. 杆件两瑞与其它物体的联结是光滑铰链联结.对 光滑铰链联结,只有通过节点的压力.
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第七章 刚体力学 [例题2]将长为l ,质量为 m1 的均匀梯子斜靠在墙角下, 已知梯子与墙面间以及梯子与地面间的静摩擦因数分
别为1 和2 ，为使质量为m2 的人爬到梯子顶端时,梯
子尚未发生滑动.试求梯子与地面间的最小夹角.
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y
刚体的平衡
Ai-1
Pi P6
A1 C
A6
P1 mg
例7.3 用20块质量均匀分布的相同光滑积木块， 在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，如图 所示。已知每一积木块的长度为l，横截面是边长 为h＝l/4的正方形。要求此桥具有最大跨度（即桥 孔底宽）。试计算跨度与桥孔高度的比值。
l h
H
L
解：
l x1 2
解：设任一小突起Ai对其的压力为Pi，则
Pi 2Pi（1 i=2 … 6）
P2 2P1
P3 2P2 22 P1
Bi-1
LL
P6 25 P1 32P1 考虑薄片A6B6，根据力矩平衡条件可得
P1
l 2
mg
3 4
l
P6l
0
B6
P6 32P1 代入可解得：
1 P1 42 mg
Pi-1
Ai
1.刚体平衡条件
1）物体受力的矢量和为零：
r
Fi 0
i
2）对矩心的合力矩为零
r
Mi
rri
r Fi
0
i
i
重要推论：
刚体受三个非平行力作用而平衡时，此三个力的 合力为零，而且这三个力的力线（含延长线）相 交于一点。
2.刚体平衡的稳定性
满足平衡条件的刚体，若受到扰动，便离开 平衡位置。若它会自动回到平衡位置，则称为稳 定平衡；若它会更远离平衡位置，则称为不稳定 平衡；若平衡位置的周围仍是平衡位置，则称为 随遇平衡。
x1
x2
mx1
m( x1 2m
l
/
2)
x1
l 4
x2
l 4
x1
x2
x3
m( x1
作用在刚体上的二力平衡条件
作用在刚体上的二力平衡条件在我们日常生活中，有些事情看似平常，却暗藏玄机。
比如说，咱们搬个大沙发，二力平衡就很重要。
你想想，如果一边使劲，另一边却懒洋洋的，那肯定是搬不动的。
这就跟咱们平时说的“单打独斗”一样，互相配合才能完美完成。
你看啊，刚体上的二力平衡条件，简单说就是两股力相互抵消，像老天爷在打平衡木，保持着一个稳定的状态，真是让人感叹，世界的奥秘无处不在。
说到刚体，别以为它就跟坚硬的石头一样。
刚体可以是各种形状，各种材质。
比如说你家的木桌子，搬起来就得注意了。
要是你使劲往一边推，另一边没力气抵挡，那木桌子不就飞了吗？这就像在打麻将，如果你一人胡了，其他人肯定要想法子对抗，那桌子才不会翻。
二力平衡就像咱们打麻将的策略，各自用力但又不让对方有机可乘。
再说了，二力平衡可不仅仅是物理现象。
生活中处处可见。
想想两个人的关系吧，一个人总是付出，另一个人却总是索取，久而久之，这段关系肯定就会崩塌。
就像刚体上的力，得平衡才行。
要是力不平衡，生活就会像失去重心的秋千，晃来晃去，随时都有翻车的风险。
咱们在一起工作的时候也是一样，团队合作，大家齐心协力，才能把事情做好，像老鼠过街，人人喊打，不协调的团队可真没啥戏可唱。
说起力的方向，咱们也得聊聊它的角度。
力的方向就像咱们的目标，不能东一头西一头的，要朝着同一个方向努力。
比如，若你和朋友一起去爬山，你们得都朝着山顶走，不然到头来不但累得够呛，还可能迷路。
咱们俗话说“齐心协力，其利断金”，这就是二力平衡的精髓。
一个小小的力量，也能撬动大山，只要方向对，劲儿到位。
二力平衡还有个特点，就是时间因素。
想想咱们在操场上玩秋千，力的作用是有时间限制的。
要是你一开始用力过猛，秋千会飞得特别高，但最后也会摔得特别惨。
就像生活中，过犹不及，太极端的事情往往都不美好。
稳稳地来，慢慢地推，平衡的力量才能持续。
记住，轻轻松松往前走，生活自然会顺风顺水。
有趣的是，二力平衡的概念在物理学上被广泛运用。
刚体的平衡条件
刚体的平衡条件刚体是指物体内部各点之间相对位置保持不变的物体。
在物理学中，平衡是指物体处于静止状态或匀速直线运动状态，没有受到任何净外力或净外力矩的作用。
刚体的平衡条件是判断刚体是否处于平衡状态的基本依据。
一、1. 力的平衡条件当一个刚体处于力的平衡状态时，即刚体上所有力的合力等于零。
根据牛顿第二定律，力的合力等于物体质量乘以加速度，而刚体处于平衡状态时，加速度为零，则合力也必须为零。
2. 转矩的平衡条件除了要求刚体上所有力的合力为零外，还要求刚体上所有力对一个点的转矩（力矩）的合为零，即刚体在绕该点转动时，总的转动效果为零。
转矩是由作用在刚体上的力产生的，在计算转矩时，需要考虑力的大小和施力点到转动中心的距离，转矩的方向可以通过右手定则来确定。
二、刚体平衡条件的应用1. 平衡力分析在实际问题中，可以通过平衡力分析来判断刚体是否处于平衡状态。
平衡力分析是指将所有作用在刚体上的力进行分解和合成，然后判断分解后的力的合力是否为零。
如果合力为零，则刚体处于力的平衡状态。
2. 平衡力矩分析除了分析力的平衡外，还需要分析刚体受力点产生的转矩是否平衡。
对于一个绕平衡点旋转的刚体，可以通过平衡力矩分析来判断刚体是否处于平衡状态。
平衡力矩分析是指将所有作用在刚体上的力分别计算其对平衡点的转矩，然后判断所有转矩的和是否为零。
如果转矩的和为零，则刚体处于平衡状态。
三、刚体平衡条件的应用实例1. 杠杆平衡杠杆是一种应用刚体平衡条件的典型例子。
在杠杆中，一个物体可以通过在不同位置施加力来达到平衡状态。
根据刚体平衡条件，可以根据物体的质量、距离和施力的大小来计算平衡条件。
2. 悬挂物体平衡悬挂物体平衡是指将物体悬挂于绳子或悬挂物上，使其处于平衡状态。
在此过程中，要求物体的重力和拉力达到平衡。
根据刚体平衡条件，可以通过调整悬挂物体的位置或增加绳子的张力来实现平衡。
3. 斜面平衡斜面平衡是指物体静止或匀速滑动于斜面上时的平衡状态。
《刚体的平衡》课件
刚体的平衡条件
01
力的合成条件
如果一个刚体在力的作用下保 持静止或匀速运动，那么这些 力可以通过力的合成相互抵消
，即合力为零。
02
力矩的平衡条件
如果一个刚体在力矩的作用下 保持静止或匀速转动，那么这 些力矩可以通过力矩的平衡相
互抵消，即合力矩为零。
03
刚体的平衡条件
根据牛顿第一定律，一个刚体 在力的作用下保持静止或匀速 运动，必须满足两个条件，即 合力为零和合力矩为零。这两 个条件也被称为刚体的平衡条
在分析刚体的平衡问题时，需要计算所有 作用在刚体上的力和力矩，并判断它们是 否满足力矩平衡条件。
力的平衡原理
定义
应用
力的平衡原理是指在刚体上作用的所 有外力在任意轴上的投影代数和为零 ，则刚体平衡。
在分析刚体的平衡问题时，需要计算 所有作用在刚体上的外力在任意轴上 的投影，并判断它们是否满足力的平 衡条件。
《刚体的平衡》ppt课件
目录
• 刚体的平衡概述 • 刚体的平衡形态 • 刚体的平衡原理 • 刚体的平衡应用 • 刚体的平衡问题解决
01
刚体的平衡概述
平衡的定义
01
平衡的定义
02
平衡的分类
平衡是指刚体在力的作用下，通过力的合成或力矩的平衡，使刚体的 状态保持不变或匀速运动。
根据刚体的运动状态，平衡可以分为静态平衡和动态平衡。静态平衡 是指刚体在力的作用下保持静止状态；动态平衡是指刚体在力的作用 下保持匀速运动状态。
复杂问题
如桥梁、高层建筑等大型 结构的平衡问题。
实际应用
如工程设计、机械制造等 领域中的刚体平衡问题。
THANKS
土木工程
在土木工程领域，刚体的平衡在建筑物的地基设计、斜坡稳定性分析等方面具有广泛应用。了解刚体的平衡有助于预 防建筑物因不均匀沉降或滑坡而造成的损坏。
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稳定平衡
不稳定平衡
随遇平衡
例7.1 匀质杆OA重P1，长为l1，能在竖直平面内绕 固定铰链O转动，此杆的A端用铰链连另一重为P2、 长为l2的均匀杆AB，在AB杆的B端加一水平力F。
求平衡时此两杆与水平线所成的角度与的大小，
以及OA与AB间的作用力。
O
P1 A
F
B
P2
解：
（1） 以AB为研究对象，有
Ll n1 n
l
1
2
x1
3
x2
4
x3
……
L
10 1/ n n1 1.258
10
H 9/4
例7.4 有一半径为R的圆柱A，静止 在水平地面上，并与竖直墙面相接 触。现有另一质量与A相同，半径 为r的较细圆柱B，用手扶着圆柱A， 将B放在A的上面，并使之与墙面 相接触，如图所示，然后放手。己 知圆柱A与地面的静摩擦系数为 0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为 0.30。若放手后，两圆柱体能保持 图示的平衡，问圆柱B与墙面间的 静摩擦系数和圆柱B的半径的值各 应满足什么条件？
Br A
R
解：对A球：
mg N1 N3 sin F3 cos 0（1）
F1 N3 cos F3 sin 0 （2）
F1R F3R
（3）
对B球：
mg F2 N3 sin F3 cos 0 （4）
N2 N3 cos F3 sin 0
N
N 的方向与水平线的夹角满足： A
F
B
tan P2
P2
F
例 7.2 有 6 个完全相同 的刚性长条薄片 AiB（i i=l， 2…，6），其两端下方各有 一个小突起。薄片及突起 的重量均可以不计。现将 此 6 个薄片架在一只水平 的碗口上，使每个薄片一 端的小突起 Bi 恰在碗口 上。另一端小突起 Ai 位于 其下方薄片的正中，由正上方俯视如囹所示。若将一质量为 m 的质点放在薄片 A6B6 上一点，这一点与此薄片中点的距离 等于它与小突起 A6 的距离，求薄片 A6B6 中点所受的（由另 一薄片的小突起 A1 所施的）压力。
Pi-1
Ai
Ai-1
Pi P6
A1 C
A6
P1 mg
例7.3 用20块质量均匀分布的相同光滑积木块， 在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，如图 所示。已知每一积木块的长度为l，横截面是边长 为h＝l/4的正方形。要求此桥具有最大跨度（即桥 孔底宽）。试计算跨度与桥孔高度的比值。
l h
H
L
解：
l x1 2
F3
3 N3
3
F3 N3
cos 1 sin
r
7 13
2
R
0.29R
综合上述结果，可得到r满足的条件：
R r 0.29R
解：设任一小突起Ai对其的压力为Pi，则
Pi 2Pi（1 i=2 … 6）
P2 2P1
P3 2P2 22 P1
Bi-1
LL
P6 25 P1 32P1 考虑薄片A6B6，根据力矩平衡条件可得
P1
l 2
mg
3 4
l
P6l
0
B6
P6 32P1 代入可解得：
1 P1 42 mg
r mgr N1
r F1
圆柱B与墙面的接触点不发生滑动：
F2 2N2 2 1
圆柱A在地面上不发生滑动：
F1
1N1
1
F1 N1
cos 2 cos 2sin
cos R r , sin 1 cos2 2 Rr
Rr
Rr
r1R 9
两圆柱的接触点不发生滑动：
F3r F2r
（5）
（6） A
联立（1）~（6）解得：
N1
2 cos 2sin 1 cos sin
mg
N2
F1
F2
F3
1
cos cos
sin
mg
1 sin N3 1 cos sin mg
B
r F3
r N3 r
N3
r r F2
N2
mgr r F3
Fl2
sin
P2
l2 2
cos
O
tan P2
2F
P1 A
F
B
以OA+l1 2
cos
P2
(Fl1
cos
l2 2
)
F
(l1
sin
l2
sin
)
tan P1 2P2
2F
（2） 以AB为研究对象，其所受的合力为零，因此
N F 2 P22
x1
x2
mx1
m( x1 2m
l
/
2)
x1
l 4
x2
l 4
x1
x2
x3
m( x1
x2 )
m( x1 2m
x2
l
/
2)
x1
x2
l 6
LL
x3
l 6
xn
l 2n
L 10
l 10 1
2 n1 xn 2 n1 n
H 9h 9 l 4
10 1
1.刚体平衡条件
1）物体受力的矢量和为零：
r
Fi 0
i
2）对矩心的合力矩为零
r
Mi
rri
r Fi
0
i
i
重要推论：
刚体受三个非平行力作用而平衡时，此三个力的 合力为零，而且这三个力的力线（含延长线）相 交于一点。
2.刚体平衡的稳定性
满足平衡条件的刚体，若受到扰动，便离开 平衡位置。若它会自动回到平衡位置，则称为稳 定平衡；若它会更远离平衡位置，则称为不稳定 平衡；若平衡位置的周围仍是平衡位置，则称为 随遇平衡。