径向分布函数
径向分布函数..
三、径向分布函数法中心分子第一层：第一配位圈 第二层：第二配位圈 . . .短程有序，远程无序1、 基本概念，基本定义首先定义一个新的函数---n 重相关函数 为当系统的位能E N = 0 ,则系统内分子是独立的，由分布函数公式可得到：g(r)r因此对于分子相互独立的系统，，对于分子间有相互作用的系统，相当于对分子独立性的校正，亦即表示了分子的相关性，因而称之为相关函数。
相关函数中，最重要的是二重相关函数g(2)，它可由X射线衍射实验和计算机分子模拟的机器实验结果获得，由式子可知表示如下上式即二重相关函数与位形积分的关系。
对于由球星对称分子构成的液体，仅取决于分子1和2的距离，即可写成g(r)，所以就有故上式中的分子相对函数g(r)就是分子的径向分布函数。
因，即第一个分子是任意分布的。
由于液体分子间存在相互作用，第二个分子不可能任意分布，而构成相对于中心分子的局部密度，相应的二重分布函数为将上式代入到中得到所以径向分布函数g(r)的物理意义可解释为：在一个中心分子周围距离为r处，分子的局部密度相对于本体密度的比值。
从径向分布函数g(r)可以计算液体的配位数：实际上N为中心分子周围分子的总数，而为距中心分子r处在r + dr壳层内的分子数目。
若将上式积分到第一配位圈的距离L处，即可得到配位数N(L)为N(L)实际上也是围绕中心分子，半径为r=L的球体内的分子数。
如图已知：r1,r2…rN 代表坐标系原点，指向分子1，2，… N 的向量，体系分子1，分子2分别出现在r1处的体系元 的几率为：称双重标明分布函数；：泛指（任意分子分布在r1， r2处的概率）：双重分布函数()()()NkT r r u N kT q u K KNTr id d de d d d e Q N N ττττττϕϕϕ............121/...21/1⎰⎰⎰⎰=-*===2τd ()()()KN kT r r r u d d d d e d d r r P N ϕττττττ213/,...,21212]......[,21⎰⎰-=()()()KN kTr r u d d e r r P N ϕττ⎰⎰-=......,3/...2121()()21212,ττd d r r P()()212,r r ρ()()()()()()()2122212212,,1,r r PNr r P N N r r ≈-=ρxy所以： （几率归一化性质）N 重分布函数：（n 重标明分布函数）（n 重分布函数）数密度径向分布函数定义由式子得到，与一指定分子相距r 处，分子局部密度与平均数密度之比；的定义：()()()()()221212212121,1,NN N d d r r d d r r P V≈-==⎰⎰⎰⎰ττρττ()()()KN n r r r u N n d d e r r r P N ϕττ⎰⎰+-=.........,1,...,2121()()()()()()n n n n r r P n N N M r r ,...1...1,...11+--=ρ()()V r P 111=()()11111==⎰⎰V d d r P ττ()()V Nr n =1ρzr 1xr 2d τ1 d τ2yr 12 ()()ρρr r g =()()()()()()()1221212..,21r g P P r r r r =ρ()12r g ()()()()r g V N r g V N V N r (2)12122⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=ρ所以：最简单的： 2、热力学的计算（用径向分布函数计算）由正则系统配分函数为 从而得到系统的能量为E式中第一项为体系的平均动能，第二项为体系的平均位能。
原子径向分布函数
原子径向分布函数原子径向分布函数是用来描述原子在一个原子态系统中的径向分布情况的函数，可以用来帮助理解微观原子结构在物理状态下的变化情况。
原子径向分布函数是描述不同原子或不同原子系统表现在径向构造上的差异性数据，可以用来支持建立合理的原子模型，并有效地应用于材料研制和分子设计。
一般来说，原子径向分布函数在研究原子结构上具有重要意义。
由于原子径向分布函数是基于实验测量得出的，所以可以用来推导出原子间有关性质的信息，比如原子间的相互作用等。
原子径向分布函数可以用来描述描述物质的本征性质，如原子的坐标位置，原子的空间分布等，并可以将这些信息应用于以后的研究中，如计算物质的性质和测量物质的拉曼散射光谱等。
原子径向分布函数的计算依赖于现有的原子核电子结构理论，由于不同原子具有不同的电子结构，所以其径向分布函数也是不同的。
通常情况下，原子径向分布函数可以通过原子核电子结构理论模型求解而得，比如Hartree-Fock理论，Kohn-Sham理论等。
通常，原子径向分布函数是描述一个原子系统径向密度分布的函数，它可以用来计算原子的电子态以及原子结构的构造性质。
因此，原子径向分布函数可以作为一种技术手段，帮助我们更好地理解不同的物质的性质，以便发现和研究新的材料以及其结构和特性。
最后，原子径向分布函数也可以帮助我们更好地对原子的结构和特性研究，比如原子间的相互作用，这些探究将为后续的研究带来更多的有用信息。
另外，原子径向分布函数还可以提供重要的参考，为不同研究领域提供更好的科学背景，并可以用来推动科学技术的发展。
综上所述，原子径向分布函数是对原子态系统径向分布情况的定量描述，至关重要，可以用于更好地理解物质的性质，支持不同领域的研究，为科学技术的发展做出贡献。
径向分布函数
实验一 径向分布函数、角度分布函数电子云图形的绘制一、实验目的1．绘制波函数及其各种分布以及电子云的图像，观察各种函数的分布情况。
2．了解计算机绘图方法。
二、实验原理1．程序原理：本程序可绘制类氢原子的径向分布函数，角度分布函数及原子轨道、杂化轨道和分子轨道等电子几率密度图，绘制过程中的各函数形式列于下列各表中。
式中 ，n 为主量子数，=0.0529nm ，为波尔半径， Z 是有效核电荷，由Slater 规则计算得到的周期表中前四个周期元素的有效核电荷列于表1.1中，下面简要叙述对各类图形的处理方案。
①径向分布函数图：径向分布函数D(r)=r 2R 2(r)反映了电子的几率随半径r 的分布情况， D(r)dr 代表半径r 到r+dr 两个球壳夹层内找到电子的几率。
其中R(r)为类氢原子的径向函数，本程序所采用的径向函数R(r)分别列于表2－2中。
②角度分布函数图：的角度部分 以及角度分布函数 表示同一球面不同方向上 或 的相对大小，本程序所采用的角度函数分别列于表3－3中。
02na Zr=ρ0a ),,(φθψr nlm ),(φθψlm ),(2φθψlm ),,(φθψr nlm ),,(2φθψr nlm ),(φθψlm322232,),(,,,,spd sp yzxzzzz YY fffpp 角度分布图是画的X-Z 平面的截面图，其余角度分布图都是画的X-Y 平面的截面图。
角度分布函数图中，凡轨道形状相同，而仅方向不同者，则仅绘出一个图形作为代表。
③等电子几率密度图：2),,(φθψr 称为电子几率密度函数，它描述在该轨道中的电子在三维空间的分布情况，为了在平面上表示出这种分布往往采用某一切面上的等值面图，程序按指定的轨道在该切面上逐点计算2ψ的值，及找出2maxψ的最大值，求出相对几率密度2max2/ψψ=P ，该值在X-Y 平面上是位置坐标(x,y)的函数(对于23z d 轨道是在X-Z 平面)，绘图时不是将取值相同的点连成曲线，而是打印一系列符号表示相对几率密度的分布区域。
径向分布函数图
（三）径向分布函数图
2. 径向分布函数图中的峰值有（n-l）个。 例如：1s有1个峰；2s有2个峰； 3s有3个峰； 2p有1个峰；3p有2个峰；3d有1个峰等等。 峰所在位置就是电子出现概率大的位置。继续
令drnlr4r2命名为径向分布函数可作继续继续三径向分布函数图设想薄球壳夹层的厚度dr趋向于0则径向分布函数图表示电子在离核距离为r处的球面上出现的概率注意这里讲的是的概率
（三）径向分布函数图
一个以原子核 为中心，半径为r 、 微单位厚度为dr的同 心圆薄球壳夹层内 的体积是4πr 2dr。 若将角度波函数视为常数，则核外电子在 该薄球壳出现的概率为R2 n ,l (r) 4πr 2 dr。令D(r) = R2 n ,l (r) 4πr 2，命名为径向分布函数，可作 出D(r)- r图，如图9-7。
（三）径向分布函数图
3. 角量子数 l 相同，主量子数 n 不同时，主 峰离核的距离不同。 n 越小，主峰离核越近；n 越大，主峰离核 越远；好象电子处于某一电子层中。 继续
（三）径向分布函数图
4. 主量子数n 相同，角量子数l 不同时，ns比 np多一个离核较近的峰，np比nd多一个离核较近 的。第一个峰离核的距离是ns<np<nd<nf，说明l 不同，“钻穿”到核附近的能力不同。钻穿能力 继续 的顺序是ns>np>nd>nf。
继续
（三）径向分布函数图
设想薄球壳夹层的厚 度dr趋向于0，则径向分 布函数图表示电子在离核 距离为r处的球面上出现 的概率。注意这里讲的是 概率而不是概率密度。概 率 = 概率密度×体积。 图中峰值所对应的横坐标，就是电子出现概率 大的区域离核的距离。从径向分布函数图可以看出：
径向分布函数与分子间的作用力
径向分布函数与分子间的作用力
径向分布函数是统计力学中的一个重要概念，它描述了在一个多粒子体系中，任意两个分子之间的距离在不同距离下的概率分布情况。
径向分布函数的求解可以帮助我们了解分子间的作用力，从而更好地理解材料的物理性质和化学反应机制。
在分子间的作用力中，范德华力是一个重要的力。
范德华力是由于分子之间的诱导偶极子相互作用而产生的一种吸引力。
当分子靠得很近时，范德华力会使分子间产生相互作用，从而影响分子的性质和行为。
通过研究径向分布函数和分子间的作用力，我们可以更好地探究材料的物理和化学性质，为材料的设计和制备提供指导和帮助。
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石墨烯的径向分布函数
石墨烯的径向分布函数
石墨烯的径向分布函数是描述石墨烯中原子之间距离分布的函数。
在石墨烯中，碳原子排列成一个二维的六角晶格结构。
径向分布函数可以用来描述在单位面积内，与一个特定原子的距离为r的位置上有多少个原子。
石墨烯的径向分布函数可以通过计算每个原子与周围原子的距离来得到。
通过统计多个石墨烯中的原子对应的距离，可以得到径向分布函数的概率密度分布。
石墨烯的径向分布函数一般呈现出周期性的特征，由于石墨烯中的结构对称性，距离为r的位置上的原子数目与距离为r'的位置上的原子数目相同，只是对应的方向不同。
径向分布函数可以用来研究石墨烯的结构和动力学性质。
通过分析径向分布函数，可以了解原子间的平均距离和密度分布，从而揭示材料的性质和行为。
lammps计算径向分布函数
lammps计算径向分布函数LAMMPS（Large-scale Atomic/Molecular Massively Parallel Simulator）是一款常用的分子动力学模拟软件，可以用于模拟原子、分子、离子或其他粒子的运动和相互作用。
其中，计算径向分布函数（Radial Distribution Function, RDF）是一项重要的分析技术，用于研究粒子的空间分布和相互作用。
径向分布函数是描述在一种给定的物理状态下，两个粒子之间距离的概率密度函数。
它可以用来研究粒子之间的相互作用、组成物质的结构以及相变等现象。
在LAMMPS中，计算径向分布函数可以通过使用compute rdf命令来实现。
首先，需要定义一个计算域，通常是一个立方体或球形区域。
然后，通过计算计算域内每个粒子与其他粒子之间的距离，并统计不同距离范围内粒子对的数量，最后除以总的粒子对数目，得到径向分布函数。
具体操作步骤如下：1. 创建一个输入文件，其中包含定义粒子类型、初始位置、势函数和仿真参数等信息。
2. 在输入文件中，使用compute命令定义一个计算域，可以是一个立方体或球形区域。
例如，使用compute命令定义一个球形计算域，可以使用以下命令：`compute rdf all rdf 100 1 1`这里的100表示计算100个径向分布函数的点，1 1表示计算1到100个点之间的距离。
3. 在模拟过程中，使用run命令运行模拟，生成足够的模拟步数以达到平衡状态。
4. 模拟完成后，使用fix命令来计算径向分布函数。
例如，使用以下命令：`fix rdf all ave/time 1 1 100 c_rdf[*] file rdf.txt mode vector`这里的1 1表示每隔1个模拟步数计算一次径向分布函数，100表示计算100个径向分布函数的点，rdf.txt为输出文件名。
5. 运行模拟并获得输出文件后，可以使用数据分析工具如Python、Matlab等读取和处理径向分布函数数据，进一步解释和研究模拟系统的结构与性质。
无序径向分布函数
无序径向分布函数（Radial Distribution Function，RDF），也称为径向分布函数或配位数函数，用于描述在一组粒子或原子中，距离目标粒子或原子一定距离的范围内，其他粒子或原子的分布密度。
无序径向分布函数常用于分子模拟、凝聚态物理、材料科学等领域，用于分析和描述原子或分子之间的相互作用、组织和排列。
在计算无序径向分布函数时，通常会遵循以下步骤：
1. 确定目标粒子或原子：选择要计算分布函数的目标粒子或原子。
2. 确定半径范围：选择一系列半径范围，即从目标粒子或原子中心开始的距离。
3. 统计在每个半径范围内的粒子或原子数量：对于每个半径范围，计算在该范围内的粒子或原子的数量。
4. 计算无序径向分布函数：通过将每个半径范围内的粒子或原子数量除以总粒子或原子数量，并进行适当的归一化，得到无序径向分布函数的值。
通常，无序径向分布函数的图形呈现出峰值和谷底，这些特征可以提供有关粒子或原子之间相互作用和排列的信息。
不同的材料和体系可能会有不同的无序径向分布函数特征。
具体计算无序径向分布函数的方法可能因具体应用和需求而有
所不同。
在实际应用中，可以使用分子动力学模拟、散射实验等技术来获取粒子或原子的位置信息，并计算无序径向分布函数。
在计算过程中，还可以采用不同的算法和数值方法来进行数据处理和分析。
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实验一 径向分布函数、角度分布函数电子云图形的绘制一、实验目的1．绘制波函数及其各种分布以及电子云的图像，观察各种函数的分2．了解计算机绘图方法。
二、实验1．程序原理：本程序可绘制类氢原子的径向分布函数，角度分布函数及原子轨道、杂化轨道和分子轨道等电子几率密度图，绘制过程中的各函数形式列于下列各表中。
式中，n 为主量子数， =0.0529nm ，为波尔半径， Z 是有效核电荷，由Slater 规则计算得到的周期表中前四个周期元素的有效核电荷列于表1.1中，下面简要叙述对各类图形的处理方案。
①径向分布函数图：径向分布函数D(r)=r 2R 2(r)反映了电子的几率随半径r 的分布情况， D(r)dr 代表半径r 到r+dr 两个球壳夹层内找到电子的几率。
其中R(r)为类氢原子的径向函数，本程序所采用的径向函数R(r)分别列于表2－2中。
②角度分布函数图：的角度部分 以及角度分布函数 表示同一球面不同方向上 或 的相对大小，本程序所采用的角度函数分别列于表3－302na Zr=ρ0a ),,(φθψr nlm ),(φθψlm ),(2φθψlm ),,(φθψr nlm ),,(2φθψr nlm),(φθψlm322232,),(,,,,sp d sp yz xz z z z Y Y f f f p p 角度分布图是画的X-Z 平面的截面图，其余角度分布图都是画的X-Y 平面的截面图。
角度分布函数图中，③等电子几率密度图：2),,(φθψr 称为电子几率密度函数，它描述在该轨道中的电子在三维空间的分布情况，为了在平面上表示出这种分布往往采用某一切面上的等值面图，程序按指定的轨道在该切面上逐点计算2ψ的值，及找出2max ψ的最大值，求出相对几率密度2max 2/ψψ=P ，该值在X-Y 平面上是位置坐标(x,y)的函数(对于23z d 轨道是在X-Z 平面)，绘图时不是将取值相同的点连成曲线，而是打印一系列符号表示相对几率密度的分布区域。
当P ＜0.01时为空白， 0.01≤P ＜0.02时用“：”，0.02≤P ＜0.1时用“／”，0.1≤P ＜0.25时用“O ”，0.25≤P ＜0.5时用“&”和P ＞0.5时用“#”符号表示。
根据这些符号可以粗略看出几在X-Y 平面内，坐标变化范围为 -2.4≤x ≤2.4(步长=0.08) -1.42≤y ≤1.42(步长=0.133) 所有距离的长度单位都是10-10m原子轨道使用的波函数如表1－4所示。
对23224,4,4,3xz z z z f f d d 和轨道采用X-Z 平面做截面，所有其它原子轨道都画在X-Y 平面上，程序使用原子轨道的四重轴对称性，首先计算第三象限内，即-2.4≤x ≤0,-1.42≤y ≤0的Ψ值，随后被2max 2/ψψ=P 代替，在其它三个象限内的相应值由对称性得到，用P(x,y)代表电子在坐标(x ，y)点的几率密度，则：P(-x,-y)=P(-x,y)=P(x,-y)=P(x,y)表1－1 Slater 轨道中的Z *参量值杂化轨道采用的杂化方式如表1－5所示，程序中应用了以X 轴为对称轴的二重轴对称性，在X-Y 平面上画出杂化轨道等电子几率密分子轨道采用如表1－6所示的原子轨道的线性组合，取双原子-A 、B 的两个原子核在Y 轴上，及以Y 轴为分子轴，其坐标分别为-R AB ／2，R AB ／2，若Z A =Z B ，则分子轨道具有四重轴对称性，否则仅有以Y 轴为对称轴的二重轴对称性。
表1－2 类氢原子的径向波函数)(r R nl表1－3 波函数角度部分),(φθlm Yπ41=Sφθπcos sin 43=x pφθπsin sin 43=ypθπcos 43=zp)1cos 3(16522-=θπz d φθθπcos cos sin 415=xzdφθθπs i n c o s s i n 415=yzd φθπ2sin sin 4152=xyd φθπ2cos sin 1615222=-y x d )cos 3cos 5(16733θθπ-=z f φθθπcos )1cos 5(sin 322122-=xz fφθθπs i n )1c o s 5(s i n 322122-=yz f φθθπ2cos cos sin 161052)(22=-y x z f φθθπ2s i n c o s s i n 161052=xyz f φθπ3cos sin 32353)3(22=-y x y f φθπ3sin sin 32353)3(22=-y x x f()θπcos 3181+=sp Y⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=15231cos 52cos 1615232θθπsp d Y表1－4 类氢原子波函数),,(φθψr nlm20231)(1ρπψ-=ea Z S 20232)(241ρπψ-=e a Z S 20)66()(31812233ρρρπψ-+-=e a ZS 232234)123624()(19210ρρρρπψ--+-=e a ZSφθρπψρcos sin )(24122302-=e a Z xP φθρπψρsin sin )(24122302-=e a Z yP θρπψρcos )(24122302-=e a Z z P φθρρπψρcos sin )4()(21812233--=e a Z x P φθρρρπψρcos sin )1020()(564122324-+-=e a Z x P )1cos 3()(63612223232-=-θρπψρe a Z oz dφθρπψρ2cos sin )(236122232322-=-e a Z oy x dφθρπψρ2sin sin )(2361222323-=e a Z oxyd)1cos 3()6()(384122322324--=-θρρπψρe a Z oz dφθρρπψρ2cos sin )6()(31281223223224---=e a Z oy x dφθρρπψρ2sin sin )6()(312812232234--=e a Z oxy d)cos 3cos 5()(538413232334θθρπψρ-=-e a Z oz fφθθρπψρcos )1cos 5(sin )(3012812232324-=-e a Z oxz fφθρπψρ3cos sin )(2384132323)22(4--=e a Z oy x x f φθθρπψρ2cos cos sin )(3128122323)22(4--=e a Z oy x z f表1－5杂化轨道)(2122x p s sp ψψψ+=)2(31222x p s sp ψψψ+=)(2122223z p y p x p s sp ψψψψψ+++= xp y x d s dsp 422342212121ψψψψ++=-234223432121212161dz x p y x ds sp d ψψψψψ-++=-表1－6分子轨道成键轨道 反键轨道B s A s s 111ψψσ+= B s A s s 11*1ψψσ-=B s A s s 222ψψσ+= B s A s s 22*2ψψσ-=yB p yA p y p 222ψψσ-= yB p yA p y p 22*2ψψσ+=xB p xA p x p 222ψψπ+= xB p xA p x p 22*2ψψπ-= yB p A s y p s 2121ψψσ+= yB p A s y p s 21*21ψψσ-= yB p A s y p s 2222ψψσ+= yB p A s y p s 22*21ψψσ-=2．①1s 至4s ，2p 至4p ，3d 至4d, 4f 轨道的径向函数、径向密度函数、②所有s 、p 、d 、f 轨道和sp 、d2sp3杂化轨道的角度函数和角度分布③1s 至4s ，2x p 至4x p 、23zd 、223yx d -、xy d 3、24zd 、224y x d-、xy d 4、34zf 、24xz f、)22(4y x x f-、)22(4y x z f-原子轨道；sp 、2sp 、3sp 、2dsp 、32sp d 杂化轨道；s s 11±,s s 22±，x x p p 22±，y y p p 22±，y p s 21±，y p s 22±分子轨道3．使用方法本程序采用Turbo BASIC 语言编程，并已编译成可执行文件，适用于486系列微机，VGA 彩色显示器。
本软件的运行环境为MS －DOS3.30三、实验所需的仪器MS-DOS3.30或更高版本 四、实验步骤1.打开稳压电源开关，待电压稳定后，打开显示器、打印机和主2.选择适当参数，绘制径向分布，角度分布和原子轨道、杂化轨道、分子轨道等电子几率密度图各13.关掉主机和附件开关，切断电源。
五、数据处理记录所绘图形，观察各类函数的极大值、界面位置和数目以及分布情况。
六、在绘制径向分布函数和等电子几率密度图时只有选择合适的参数，才能观察到大小适当完整的图形。
七、结果与讨论1．在绘制径向分布函数、等电子几率密度图时为什么要选用有效核电荷?2．讨论有效核电荷大小对电子云及其各种分布的影响。