数列的定义域是正整数集
数列的概念数列的极限收敛数列的性质
例8 证 对于任意给定的正数 (不妨设0< <1)，由于
三、收敛数列的性质
数列收敛于a的几何意义如下：
当我们把 看成是数轴上的点列时，数列 收敛于a，就是对点a 的任何一
个邻域
，都存在一个序号N，使得点列
的第N个点 以后的
所有点
都在这个邻域之内，即点列中最多除去前N个点外，都聚集在点a
的这个邻域之内，或者说至多有N个点
落在区间
之外.
当我们把数列 看成是n的整标函数，即
其图形是在平面直角坐标系中的二维点列：
数列 收敛于a，就是对于任意给定的正数 (无论其多么
小)，总存在正整数N，当n>N时，二维点 都在直线
与直线
形成的带状域之内，一般来说， 越小( 带宽小)，N越大.
定理2.1(极限的唯一性) 若数列 收敛，则其极限唯一.
例1、例5中的数列是单调增加的，例2中的数列是单调减少的. 对于数列 ，若存在正数M，使得对于一切的n都有
成立，则称数列 是有界的，否则称 是无界的. 容易验证例2，例3和例4中的数列是有界的；而例1和例5中的数列是无界的.
在几何上，通常用数轴上的点列
来表示数列 .
这种表示法可以显示数列的某些性态.如单调增加的数列
是自左
向右依次排列的点列.表示有界数列的点列全部落在某一区间[－M，M]之内，表示无
界数列的点列，无论区间[－M，M]多么长，总有落在该区间之外的点.
二、数列的极限
我国古代著名的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的论断，就是数列极限 思想的体现.
数列的变化趋势，也可以通过平面直角坐标系上的图形来直观表示.
以
为例来讨论数列极限的含义.
前面已经看到：
数列概念及通项公式1
本例的关键是应用an= 本例的关键是应用
S1
(n=1)
题型三 利用递推公式求数列的通项 例3 根据下列条件 写出数列的通项公式： 根据下列条件,写出数列的通项公式 写出数列的通项公式：
（1）a1=2，an+1=an+n； ） ， ； （2）a1=1，an-1=2n-1an. ） ， ）将递推关系写成n-1个等式累 分析 （1）将递推关系写成 个等式累 累加法” 加，即“累加法”. 个等式相乘， （2）将递推关系写成 个等式相乘，即 ）将递推关系写成n-1个等式相乘 累积法”或用逐项迭代法. “累积法”或用逐项迭代法
点评
Sn-Sn-1 (n≥2)求 求 数列的通项， 特别要注意验证a 数列的通项 ， 特别要注意验证 1 的值是 否 满 足 “ n≥2” 的 通 项 公 式 ； 同 时 认 清 “ an+1-an=d（ 常数 ） (n≥2)”与 “ an-an-1=d （ 常数） 与 为常数， （d为常数，n≥2）”的细微差别 为常数 ） 的细微差别.
满足: 变式练习 已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn 满足 log2(1+Sn)=n+1, 求数列 {an} 的通项公式 的通项公式.
3, n=1, an= n 2 , n≥2.
走进高考
湖北卷)古希腊人常用小石子 湖北卷 学例1 (2009·湖北卷 古希腊人常用小石子 在沙滩上摆成各种行状来研究数，例如： 在沙滩上摆成各种行状来研究数，例如：
例4 求满足条件 a1 = 1, an +1 的数列{a 的通项公式 的数列 n}的通项公式
an = (n ∈ N *) 1 + nan
分析：两边取倒数， 分析：两边取倒数，利用逐差法求即利用公式
二轮复习【数列专题】专题1数列的单调性微点5数列单调性的判断方法(五)——递推法
专题1 数列的单调性微点5 数列单调性的判断方法（五）——递推法12n n nn x x x ++++；112n b ⎛⎫− ⎪⎭⎝，若在k b 与m b m ++−n a (,m n ∈N参考答案：()1122941n a a −−⎛⎫== ⎪⎝⎭⋅⋅+由10a >可得若21a a >，即，解得10a <<即当10a <<，此时数列k由③知∑是递增数列．21c c >>>>，11024， 是单调递增；当10n ≥时3n n++，由此利用错位相减法能求出）问得到m =)N n *∈时，12212333n n nn nnx x x +++++=+++，① 1133n n n n+−+++，② 211111()1111133(11333332313n n n n n n n ++⎡⎤−⎢⎥⎣⎦+++−=−=−−． m ，n ，使T 11m +=+112n ⎫⎛⎫−⎪ ⎪⎭⎝⎭从而求得n t 的最大值，项,然后对{2k k +++=，当9k =时的情况即可求得是等比数列，且各项均为正数，所以112n ⎫⎛⎫−⎪ ⎪⎭⎝⎭11142n ⎫⎛⎫−⎪ ⎪⎭⎝⎭112n ⎫⎛⎫⎛−⎪⎪⎭⎝⎭⎝224848n n n +=+233λ<<，2k k +++=9922−=+， 2019=m b ++，设m b m ++−212222m mm b m ++=++++， 22222m m +++，则2311212222m m T −=++++21111111112222222m m m m m m T ++=+++−=−−=2222222m m mm mb m m m ++++−=+−−=−，22mm+−，N *m ∈， 2122222m m ++++=−−+77922S =−21n b −+++112n ⎛ −+−⎝121n +单调递减，23=−，显然b,a ()3,⎫+∞⎪⎪⎭②，②－①即得()3,⎫+∞⎪⎪⎭考查数列的单调性的判定和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平(8n n b ++=256125125()2()()940n n b b b b b b b b b b n n ++−++=+++−++++=−+9,15940,6n n n n +≤≤+≥；）由题知12111(1)(1)(1)222n nA a a a =−−−， 21n +，则111()21(1)(1)(1)22ng n n a a =+−−−， (21)2(22)2n n n n ++3(1)g =都成立，则3a >.。
4.2.1等差数列的概念(第1课时)课件(人教版)
五、作业布置 课本P15：练习 第4、5题
例3 求等差数列8，5，2，…，的通项公式an 和第20项，并判断289是否是数列中的项，若是，是第几项？
解:由已知条件，得 = 5 − 8 = −3,
把1 = 8, = −3代入 = 1 + − 1 ，得
= 8 + − 1 ×(−3)= −3+11，
所以，a20 = −3×20+11=-49
③
对于数列①，我们发现：
18=9+9, 27=18+9，…，81=72+9，即 从第二项起，每一项
18 − 9=9, 27 − 18=9，…，81 − 72=9.
与前一项的差都等于
如果用{ } 表示数列①，则有：
同一个常数.
2 − 1 =9, 3 − 2 =9,…， 9 − 8 =9.
数列的定义域是正整数集或它的子集.
数列{ } 是从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数，
记为 =().
如果数列{an } 的第项 与它的序号之间的对应关系可以用一
个式子来表示，那么这个式子就是数列的函数解析式，叫做这个
数列的通项公式.
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来
4.2.1
等差数列的概念
第1课时
人教A版（202X）选择性必修第二册
学习目标
Hale Waihona Puke 1.理解等差数列的含义.2.掌握等差数列通项公式的推导过程及其运用.
3.理解等差数列与一次函数的关系.
4.核心素养：直观想象、数学运算、数学抽象
一、复习导入
定义：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，
数列中的每一个数叫做这个数列的项.
高中数学数列知识点归纳
高中数学数列知识点归纳在高中数学的学习中，数列是一个非常重要的知识点，它不仅在数学学科中有着广泛的应用，也是高考中的重点考查内容。
为了帮助同学们更好地掌握数列这一板块，下面将对高中数学数列的相关知识点进行详细归纳。
一、数列的概念数列是按照一定顺序排列的一列数。
例如：1，3，5，7，9 就是一个数列。
数列中的每一个数称为数列的项，排在第一位的数称为首项，记为\（a_1\），第\（n\）个数称为第\（n\）项，记为\（a_n\）。
数列可以用通项公式来表示，通项公式是一个用\（n\）表示\（a_n\）的式子。
例如，数列 1，3，5，7，9 的通项公式为\（a_n ＝ 2n 1\）。
二、等差数列1、定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
这个常数称为等差数列的公差，通常用\（d\）表示。
2、通项公式＼（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\），其中\（a_1\）为首项，＼（d\）为公差。
3、前\（n\）项和公式＼（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2} ＝ na_1 ＋＼frac{n(n 1)d}｛2}＼）4、性质（1）若\（m ＋ n ＝ p ＋ q\），则\（a_m ＋ a_n ＝ a_p ＋ a_q\）。
（2）＼（a_n\）是关于\（n\）的一次函数，＼（S_n\）是关于\（n\）的二次函数且常数项为 0 。
三、等比数列1、定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数称为等比数列的公比，通常用\（q\）表示（＼（q ≠ 0\））。
2、通项公式＼（a_n ＝ a_1q^｛n 1}＼）。
3、前\（n\）项和公式当\（q ＝ 1\）时，＼（S_n ＝ na_1\）；当\（q ≠ 1\）时，＼（S_n ＝＼frac{a_1(1 q^n)｝｛1 q}＼）。
4、性质（1）若\（m ＋ n ＝ p ＋ q\），则\（a_m × a_n ＝ a_p × a_q\）。
2.1数列的概念与简单表示法(二)
§2.1数列的概念与简单表示法(二)学习目标 1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列；2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项(重、难点).预习教材P30－31完成下列问题：知识点一数列的函数性质1.数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.2.在数列{a n}中，若a n＋1>a n，则{a n}是递增数列；若a n＋1<a n，则{a n}为递减数列；＝a n，则{a n}为常数列.若a n＋1【预习评价】1.从定义上看，数列是特殊的函数，因此，表示数列除可以用通项公式外，还可以有哪些方法？提示还可以用列表法，图象法.2.数列单调性与函数单调性的区别和联系是什么？提示联系：若函数f(x)在[1，＋∞)上单调，则数列f(n)也单调.反之不正确，例如f(x)＝(x－52，数列f(n)单调递增，但函数f(x)在(1，＋∞)上不是单调递增.4)区别：二者定义不同，函数单调性的定义：函数f(x)的定义域为D，设D⊇I，对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，若f(x1)>f(x2)，则f(x)在I上单调递减，若f(x1)<f(x2)，则f(x)在I上单调递增，定义中的x1，x2不能用有限个数值来代替.数列单调性的定义：只需比较相邻的a n与a n＋1的大小来确定单调性.知识点二数列的表示方法1.数列的递推公式：如果数列{a n}的第1项或前几项已知，并且数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.2.数列的表示方法：数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法.【预习评价】1.已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1，则数列的第5项a 5＝________，由此归纳出{a n }的一个通项公式为________，可以求得a 8＝________.解析 ∵a 1＝3，∴a 2＝2a 1＋1＝7，a 3＝2a 2＋1＝15，a 4＝2a 3＋1＝31，a 5＝2a 4＋1＝63，∴a 5＝63.可以看出a n ＝2n ＋1－1， ∴a 8＝29－1＝511.答案 63 a n ＝2n ＋1－1 5112.数列的通项公式与递推公式有什么区别？ 提示 不同点相同点通项公式 要根据某项的序号，直接用代入法求出该项都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项递推公式可根据第1项或前几项的值，通过一次或多次赋值逐项求出数列的项，直至求出所需的项都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项题型一 数列的函数特性【例1】 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由.解 法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n＝（9－n ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n11，当n ＜9时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n ＞9时，a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n . 则a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 9＝a 10＞a 11＞a 12＞…，故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.法二 根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a na n ≥a n ＋1，即⎩⎨⎧n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1≤（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n （n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1，解得9≤n ≤10.又n ∈N *，则n ＝9或n ＝10.故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.规律方法 1.由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1，2，…，n }这一条件.2.可以利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，找到数列的最大项；利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1，找到数列的最小项.【训练】 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn 2＋9(n ∈N *)，写出其前5项，并判断数列{a n }的单调性.解 当n ＝1，2，3，4，5时，a n 依次为110，213，16，425，534，a n ＋1－a n ＝n ＋1（n ＋1）2＋9－nn 2＋9＝－n 2－n ＋9[（n ＋1）2＋9][n 2＋9]. ∵函数f (x )＝－x 2－x ＋9＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋374在[1，＋∞)上单调递减，又f (1)＝7>0，f (2)＝3>0，f (3)<0，∴当n ＝1，2时，a n ＋1>a n ，当n ≥3，n ∈N *时，a n ＋1<a n ， 即a 1<a 2<a 3>a 4>a 5>….∴数列{a n }的前3项是递增的，从第3项往后是递减的.方向1 由递推公式写出数列的项【例2－1】 已知数列{a n }的第一项a 1＝1，以后的各项由递推公式a n ＋1＝2a na n ＋2给出，试写出这个数列的前5项. 解 ∵a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，∴a 2＝2a 1a 1＋2＝23， a 3＝2a 2a 2＋2＝2×2323＋2＝12，a 4＝2a 3a 3＋2＝2×1212＋2＝25，a 5＝2a 4a 4＋2＝2×2525＋2＝13.故该数列的前5项为1，23，12，25，13. 方向2 由数列的递推公式求通项公式【例2－2】 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n ≥2)，写出该数列前5项，并归纳出它的一个通项公式. 解 ∵a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n ≥2)，∴a 2＝a 1＋12×1＝1＋12＝32，a 3＝a 2＋13×2＝32＋16＝53，a 4＝a 3＋14×3＝53＋112＝74，a 5＝a 4＋15×4＝74＋120＝95.故数列的前5项分别为1，32，53，74，95.由于1＝2×1－11，32＝2×2－12，53＝2×3－13，74＝2×4－14，95＝2×5－15，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2n －1n ＝2－1n . 方向3 构造数列法求通项公式【例2－3】 设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________.解析 法一 (累乘法)：把(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0分解因式，得[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0. ∵a n ＞0，∴a n ＋1＋a n ＞0， ∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， ∴a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n ，∴a n a 1＝1n .又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n . 法二 (迭代法)：同法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴a n ＋1＝nn ＋1a n ，∴a n ＝n －1n ·a n －1＝n －1n ·n －2n －1·a n －2＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·a n －3…＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12a 1＝1n a 1.又∵a 1＝1，∴a n ＝1n .法三 (构造特殊数列法)：同法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴(n ＋1)a n ＋1＝na n ， ∴数列{na n }是常数列， ∴na n ＝1·a 1＝1， ∴a n ＝1n . 答案 1n规律方法 1.由递推公式写出通项公式的步骤 (1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项).(2)根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式. (3)写出一个通项公式并证明.2.递推公式的常见类型及通项公式的求法(1)求形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的通项公式.将原来的递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再用累加法(逐差相加法)求解，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1). (2)求形如a n ＋1＝f (n )a n 的通项公式.将原递推公式转化为a n ＋1a n ＝f (n )，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由a 2a 1＝f (1)，a 3a 2＝f (2)，…，a na n －1＝ f (n －1)，累乘可得a na 1＝f (1)f (2)…f (n －1).课堂达标1.下列四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项； ②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝n n ＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3D.4解析 只有③正确.①中，如已知a n ＋2＝a n ＋1＋a n ， a 1＝1，无法写出除首项外的其他项.②中a n ＝n ＋1n ＋2，④中－1和1排列的顺序不同，即二者不是同一数列. 答案 A2.数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( ) A.a n ＝a n －1＋2(n ≥2)B.a n ＝2a n －1(n ≥2)C.a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)D.a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2)解析 A ，B 中没有说明某一项，无法递推，D 中a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，不合题意. 答案 C3.数列{x n }中，若x 1＝1，x n ＋1＝1x n ＋1－1，则x 2 017等于( )A.－1B.－12 C.12 D.1解析 ∵x 1＝1，∴x 2＝－12，∴x 3＝1， ∴数列{x n }的周期为2，∴x 2 017＝x 1＝1. 答案 D4.已知数列{a n }，对于任意的p ，q ∈N *，都有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝________.解析 由已知得a 1＋a 1＝a 1＋1＝a 2，∴a 2＝29， 同理a 4＝49，a 8＝89，∴a 9＝a 8＋1＝a 8＋a 1＝89＋19＝1， ∴a 36＝2a 18＝4a 9＝4. 答案 45.求数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项. 解 由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2942＋10818.由于n ∈N *，故当n 取距离294最近的正整数7时，a n 取得最大值108， ∴数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项为a 7＝108.课堂小结1.{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式.而a n 只表示数列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系.2.数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法； ④递推公式法.3.通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映a n 和n 之间的关系，即a n 是n 的函数，知道任意一个具体的n 值，就可以求出该项的值a n ；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n 直接得出a n .基础过关1.已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N *)，则此数列的通项a n 等于( ) A.n 2＋1 B.n ＋1 C.1－nD.3－n解析 a n ＋1－a n ＝－1，利用累加法可以求得a n ＝3－n .选D. 答案 D2.已知数列{a n }中的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，此数列的第3项是( ) A.1 B.12 C.34D.58解析 a 1＝1，a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋12×2＝34.答案 C3.数列{a n }中，a n ＝n － 2 011n － 2 012，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( ) A.a 1，a 50 B.a 1，a 44 C.a 45，a 44D.a 45，a 50解析 a n ＝n － 2 011n － 2 012＝1＋2 012－ 2 011n － 2 012.∴当n ∈[1，44]且n ∈N *时，{a n }单调递减， 当n ∈[45，＋∞)且n ∈N *时，{a n }单调递减， 结合函数f (x )＝2 012－ 2 011x － 2 012的图象，可知(a n )max ＝a 45，(a n )min ＝a 44. 答案 C4.数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝a n ＋1－3，则14是{a n }的第________项.解析 a 1＝2，a 2＝a 1＋3＝5，a 3＝a 2＋3＝8，a 4＝a 3＋3＝11，a 5＝a 4＋3＝14. 答案 55.数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ∈N *，2≤n ≤10)，则数列{a n }的最大项为________.解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1， ∴a n ≠0，∴a na n －1＝2>1，∴a n >a n －1，即{a n }单调递增，∴{a n }的最大项为a 10＝2a 9＝4a 8＝…＝29·a 1＝29·2＝210＝1 024. 答案 1 0246.已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，1a n －2＋1a n ＝2a n －1(n ∈N *，n ≥3)，求a 3，a 4.解 由a 1＝1，a 2＝23且1a n －2＋1a n ＝2a n －1，知当n ＝3时，1a 1＋1a 3＝2a 2，∴1a 3＝2a 2－1a 1＝3－1＝2，∴a 3＝12.当n ＝4时，1a 2＋1a 4＝2a 3，∴1a 4＝2a 3－1a 2＝4－32＝52，∴a 4＝25.7.根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式.(1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a n n ＋1(n ∈N *)； (3)a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）(n ∈N *). 解 (1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9.猜想a n ＝(n －1)2(n ∈N *).(2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝42＝2，a 4＝52.猜想a n ＝n ＋12(n ∈N *).(3)a 1＝－1，a 2＝－12，a 3＝－13，a 4＝－14.猜想a n ＝－1n (n ∈N *).能力提升8.已知数列{x n }满足x 1＝a ，x 2＝b ，x n ＋1＝x n －x n －1(n ≥2)，设S n ＝x 1＋x 2＋…＋x n ，则下列结论正确的是( )A.x 100＝－a ，S 100＝2b －aB.x 100＝－b ，S 100＝2b －aC.x 100＝－b ，S 100＝b －aD.x 100＝－a ，S 100＝b －a解析 x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝x 2－x 1＝b －a ，x 4＝x 3－x 2＝－a ，x 5＝x 4－x 3＝－b ，x 6＝x 5－x 4＝a －b ，x 7＝x 6－x 5＝a ＝x 1，x 8＝x 7－x 6＝b ＝x 2，∴{x n }是周期数列，周期为6，∴x 100＝x 4＝－a ，∵x 1＋x 2＋…＋x 6＝0，∴S 100＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2b －a .答案 A9.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，n 为正奇数，a n ＋1，n 为正偶数，则其前6项之和是( ) A.16B.20C.33D.120解析 a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，∴前6项之和为33.答案 C10.已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 010＝________，a 2 015＝________.解析 依题意，得a 2 010＝a 2×1 005＝a 1 005＝a 4×252－3＝1，a 2 015＝a 4×504－1＝0.答案 1 011.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n (n ∈N *)，试归纳出这个数列的通项公式a n ＝________.解析 由a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n得a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14，…，所以可归纳出a n ＝1n . 答案 1n12.已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式.解 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1. ∴故n ≥2时，1a n ＝1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1＝2＋＝n ＋1.∴1a n ＝n ＋1，∴当n ≥2时，a n ＝1n ＋1.a 1＝12也适合上式，∴a n ＝1n ＋1(n ∈N *). 13.(选做题)设f (x )是定义在实数集R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝f (x ＋1)－f (x )，对数列f (n )(n ∈N *)，若f (1)＝lg 32，f (2)＝lg 15，求f (2 016).解 f (3)＝f (2)－f (1)＝lg 15－lg 32＝lg 10＝1，f (4)＝f (3)－f (2)＝1－lg 15＝lg 23，f (5)＝f (4)－f (3)＝lg 23－1＝lg 115，f (6)＝f (5)－f (4)＝lg 115－lg 23＝lg 110＝－1，f (7)＝f (6)－f (5)＝－1－lg 115＝－1＋lg 15＝lg 32＝f (1)，f (8)＝f (7)－f (6)＝lg 32＋1＝lg 15＝f (2).∴f (n )是周期为6的周期数列.∴f (2 016)＝f (336×6)＝f (6)＝－1.。
七年级数学数列公式大全
七年级数学数列公式大全一、数列的定义数列是一组有序的数字排列，其特点是每项都有一个特定的位置，且每一项都具有前一项和后一项的关联。
数列可以视为一种特殊的函数，其定义域和值域分别是正整数集和实数集。
二、数列的表示方法数列的表示方法有两种，一种是列举法，即将数列中的所有项一一列举出来，如：1，2，3，...，n。
另一种是通项公式法，即用数学公式表示数列的每一项，如：an=n（n为自然数）。
三、等差数列等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。
这个常数叫做等差数列的公差。
等差数列的通项公式为：an=a1+（n-1）d。
四、等比数列等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的一种数列。
这个常数叫做等比数列的公比。
等比数列的通项公式为：an=a1*q（n-1）。
五、数列的求和数列的求和有两种方法，一种是公式法，即直接套用求和公式进行计算；另一种是裂项相消法，即将数列中的每一项都拆分成两个部分，然后将它们相加，最终得到结果。
六、数列的应用数列在现实生活中有着广泛的应用，如计算利息、计算折扣、计算概率等等。
同时，数列也是数学中的一个重要分支，它在数学竞赛中有着重要的地位。
七、数列的拓展除了等差数列和等比数列之外，还有许多其他类型的数列，如斐波那契数列、杨辉三角等等。
这些数列都具有各自独特的性质和特点，值得我们去探索和学习。
八、数列与函数的关系数列可以看做是一种特殊的函数，它的定义域和值域分别是正整数集和实数集。
同时，数列和函数之间也存在着密切的联系，许多函数的性质都可以通过数列来探究和理解。
因此，在学习数列的过程中，也需要注意与函数的联系和区别。
九、数列的学习方法学习数列需要掌握一定的方法和技巧。
首先，需要理解数列的基本概念和性质；其次，需要掌握常见的数列求和方法；最后，需要多做练习题，加深对数列的理解和应用。
同时，也需要注重与其他数学知识的联系和综合运用。
总之，七年级数学中的数列知识点是一个重要的内容，它不仅在数学中有着广泛的应用，同时也是后续数学知识的基础。
专题6.1 数列的通项公式与求和(原卷版) 文科生
【考点1】数列的概念与表示 【备考知识梳理】1．定义：按照一定顺序排列着的一列数．2．表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法．3．分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列． 4．n a 与n S 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥．5．处理方法：.用函数的观点处理数列问题 【规律方法技巧】1. 数列是定义域为正整数集或其有限子集的函数，故数列具有函数的特征（周期性、单调性等）．2. 观察法是解决数列问题的法宝，先根据特殊的几项，找出共同的规律，横看“各项之间的关系结构”，纵看“各项与项数n 的关系”，从而确定数列的通项公式． 【考点针对训练】1. 【2016年4月河南八市高三质检卷】已知*1log (2)()n n a n n N +=+∈，观察下列算式：1223lg 3lg 4log 3log 42lg 2lg 3a a •=•=•=；123456237lg 3lg 4lg8log 3log 4log 83lg 2lg 3lg 7a a a a a a •••••=•=•=，…；若*1232016()m a a a a m N ••••=∈，则m 的值为（ ）A ．201622+ B ．20162 C ．201622- D ．201624-2.数列 ,817,275,31,31--的一个通项公式是 A ．n n a n n 312)1(1--=+ B ．n n a n n 312)1(--= C ． n n n n a 312)1(1--=+ D ． nn n n a 312)1(--= 【考点2】递推关系与数列通项公式【备考知识梳理】在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈．数列通项公式的求解常用方法：1、定义法，直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．2、公式法， 若已知数列的前项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n n 求解．3、由递推式求数列通项法，对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列．4、待定系数法（构造法），求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高．通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法． 【规律方法技巧】 数列的通项的求法： ⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.⑵已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥.⑶已知12()n a a a f n =求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩.⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +(2)n ≥.⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a aa a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅(2)n ≥.⑹已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）.特别地，（1）形如1n n a ka b -=+、1nn n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求n a .如(21)已知111,32n n a a a -==+，求n a ；（2）形如11n n n a a ka b--=+的递推数列都可以用倒数法求通项.注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解. （3）由n S 与1n S -的关系，可以先求n S ，再求n a ，或者先转化为项与项的递推关系，再求n a ． 【考点针对训练】1. 【2016届榆林市高三二模】在数列{}n a 中，()1111,114n n a a n a -=-=->，则2016a 的值为（ ） A ．14-B ．5C ．45D ．以上都不对 2. 【2016湖北省八校高三.二联】数列{}n a 满足1=1a ，()()1=11n n na n a n n ++++，且2=cos 3n n n b a π，记n S 为数列{}n b 的前项和，则120S = . 【考点3】数列求和 【备考知识梳理】数列的求和也是高考中的热点内容，考察学生能否把一般数列转化为特殊数列求和，体现了化归的思想方法，其中错位相减和裂项相消是高考命题的热点．估计在以后的高考中不会有太大的改变．数列求和的常用方法，尤其是利用裂项法和错位相减法求一些特殊数列的和，数列求和的基本方法：1.基本公式法：()1等差数列求和公式：()()11122n n n a a n n S na d +-==+ ()2等比数列求和公式：()111,11,111n n n na q S a q a a q q qq =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩()30122nn n n n n C C C C ++++=.2.错位相消法：一般适应于数列{}n n a b 的前向求和，其中{}n a 成等差数列，{}n b 成等比数列．3.分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和．4.拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有：()1若{}n a 是公差为d 的等差数列，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭； ()2()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；()31k=；()411m m m n n n C C C -+=-；()5()!1!!n n n n ⋅=+-.5.倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的． 【规律方法技巧】数列求和关键是研究数列通项公式，根据通项公式的不同特征选择相应的求和方式，若数列是等差数列或等比数列，直接利用公式求和；若通项公式是等差乘等比型，利用错位相减法；若通项公式可以拆分成两项的差且在累加过程中可以互相抵消，利用裂项相消法，从近年的考题来看，逐渐加大了与函数不等式的联系，通过对通项公式进行放缩，放缩为易求和的数列问题处理． 【考点针对训练】1. 【2016年江西九江高三第三次联考】设n S 是等差数列{}n a 的前项和，若12,21344672==S S ，则=2016S （ ）A ．22B ．26C ．30D ．342. 【2016届淮北一中高三最后一卷】已知函数()()()()1210log 110ax x f x x x ⎧->⎪=⎨+-<≤⎪⎩且334f f ⎡⎤⎛⎫-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，在各项为正的数列{}n a 中，{}1112,,2n n n a a f a a +⎛⎫==+⎪⎝⎭的前项和为n S ，若126n S =，则n =____________．【应试技巧点拨】1. 由递推关系求数列的通项公式 （1）利用“累加法”和“累乘法”求通项公式此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法，递推关系为1()n n a a f n +-=用累加法；递推关系为1()n n a f n a +=用累乘法.解题时需要分析给定的递推式，使之变形为1n n a a +-、1n naa +结构，然后求解.要特别注意累加或累乘时，应该为)1(-n 个式子，不要误认为个. (2)利用待定系数法，构造等差、等比数列求通项公式求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）.把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解. 3.如何选择恰当的方法求数列的和在数列求和问题中，由于题目的千变万化，使得不少同学一筹莫展，方法老师也介绍过，就不清楚什么特征用什么方法.为此提供一个通法 “特征联想法”：就是抓住数列的通项公式的特征，再去联想常用数列的求和方法.通项公式作为数列的灵魂，只有抓住它的特征，才能对号入座，得到求和方法. 特征一：....++=n n n b a C ，数列{}n C 的通项公式能够分解成几部分，一般用“分组求和法”. 特征二：n n n C a b =⋅，数列{}n C 的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积，一般用“错位相减法”. 特征三：1n n nC a b =⋅，数列{}n C 的通项公式是一个分式结构，一般采用“裂项相消法”. 特征四：nn n n C C a =⋅，数列{}n C 的通项公式是一个组合数和等差数列通项公式组成，一般采用“倒序相加法”.4. 利用转化，解决递推公式为n S 与n a 的关系式. 数列{n a }的前项和n S 与通项n a 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥.通过纽带：12)n n n a S S n -=-≥（，根据题目求解特点，消掉一个n n a S 或.然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解.如需消掉n S ，利用已知递推式，把n 换成（n+1）得到递推式，两式相减即可.若消掉n a ，只需把1n n n a S S -=-带入递推式即可.不论哪种形式，需要注意公式1n n n a S S -=-成立的条件 2.n ≥ 【三年高考】1. 【2016高考上海文科】无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.2. 【2016高考新课标Ⅲ文数】已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =,211(21)20n n n n a a a a ++---=.（I ）求23,a a ；（II ）求{}n a 的通项公式.3.【2016高考浙江文数】设数列{n a }的前项和为n S .已知2S =4，1n a +=2n S +1，*N n ∈.（I ）求通项公式n a ；（II ）求数列{2n a n --}的前项和.4．【2016高考上海文科】对于无穷数列{n a }与{n b }，记A ={x |x =a ，*N n ∈}，B ={x |x =n b ，*N n ∈}，若同时满足条件：①{n a }，{n b }均单调递增；②A B ⋂=∅且*N A B =，则称{n a }与{n b }是无穷互补数列.（1）若n a =21n -，n b =42n -，判断{n a }与{n b }是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若n a =2n 且{n a }与{n b }是无穷互补数列，求数列{n b }的前16项的和；（3）若{n a }与{n b }是无穷互补数列，{n a }为等差数列且16a =36，求{n a }与{n b }得通项公式. 5．【2015高考安徽，文13】已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 .6.【2015高考新课标1，文13】数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .7.【2015高考山东，文19】已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬•⎩⎭的前项和为21nn +. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前项和n T .8.【2015高考湖南，文19】设数列{}n a 的前项和为n S ，已知121,2a a ==，且13n n a S +=*13,()n S n N +-+∈，（I ）证明：23n n a a +=； （II ）求n S .9.【2015高考浙江，文17】已知数列n a 和n b 满足，*1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈*12311111(n N )23n n b b b b b n+++++=-∈. （1）求n a 与n b ；（2）记数列n n a b 的前n 项和为n T ，求n T .10.【2014高考全国2卷文第16题】数列}{n a 满足2,1181=-=+a a a nn ，则=1a ________． 11.【2014高考湖南卷文第16题】已知数列{}n a 的前项和*∈+=N n nn S n ，22. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()n nan a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.12.【2014高考山东文第19题】在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设(1)2nn n b a +=，记1234(1)n n n T b b b b b =-+-+++-，求n T .【一年原创真预测】1. 已知数列{}n a 的前项和n S 满足21(1)22n n nS n S n n +-+=+*()n N ∈，13a =，则数列{}n a 的通项n a =（ ）A ．41n -B ．21n +C ．3nD ．2n + 2．已知数列{}n a 中，12a =，12(1)n n na n a +=+，则5a =（ ） A ．320 B ．160 C ．80 D ．403.已知数列{}n a 的前项和为n S ，11a =．当2n ≥时，1221n n a S n -+=+，则299S = （ ） A ．246 B ．299 C ．247 D ．2484.m b 为数列{2}n 中不超过3*()Am m N ∈的项数，2152=b b b +且310b =，则正整数A 的值为_______.5.已知数列{}n a 的首项1a m =，其前项和为n S ，且满足2132n n S S n n ++=+，若对n N *∀∈，1n n a a +<恒成立，则m 的取值范围是_______． 6.已知数列{}n a 的前n 项和2n 33S n n 22=+． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n an b 2=，*n n *n3,n 2k 1,k N 2S 3n c b ,n 2k,k N ⎧=-∈⎪+=⎨⎪=∈⎩，设数列n {c }的前n 项和为n T ，求2n T ．7.已知数列{}n a 满足*1221212221,2,2,3,()n n n n a a a a a a n N +-+===+=∈.数列{}n a 前项和为n S .(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若12m m m a a a ++=，求正整数m 的值； （Ⅲ）是否存在正整数m ，使得221mm S S -恰好为数列{}n a 中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由.8.已知数列{}n a 中任意连续三项的和为零，且212 1.a a ==- (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足*1111(N ),n n n b b a n b a ++=∈=，求数列{}n b 的前n 项和n S 的取值范围.【考点1针对训练】 1. 【答案】C【解析】由题意：1223lg 3lg 4log 3log 42lg 2lg 3a a •=•=•=；123456237lg 3lg 4lg8log 3log 4log 83lg 2lg 3lg 7a a a a a a •••••=•=•=，…；12345613142315lg3lg 4lg16log 3log 4log 1616,lg 2lg3lg15a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=⋅=…；据此可知，*1232016()m a a a a m N ••••=∈，则m 的值为201622-2.【答案】C.【考点2针对训练】 1. 【答案】C 【解析】2341415,,,54a a a a ===-=因此周期为3，即2016345a a ==，选C. 2. 【答案】7280140418111201212413972802626⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯-⨯= 【考点3针对训练】1. 【答案】C【解析】由134420166721344672,,S S S S S --成等差数列，得1221022016-+=⨯S ，即=2016S 30,故选C.2. 【答案】6【三年高考】 1. 【答案】42. 【解析】（Ⅰ）由题意得41,2132==a a . （Ⅱ）由02)12(112=---++n n n n a a a a 得)1()1(21+=++n n n n a a a a .因为{}n a 的各项都为正数，所以211=+n n a a ，故{}n a 是首项为，公比为21的等比数列，因此121-=n n a . 3.4．【解析】（1）因为4∉A ，4∉B ，所以4∉AB ，从而{}n a 与{}n b 不是无穷互补数列．（2）因为416a =，所以1616420b =+=．数列{}n b 的前16项的和为()()23412202222++⋅⋅⋅+-+++=()512020221802+⨯--=． （3）设{}n a 的公差为d ，d *∈N ，则1611536a a d =+=．由136151a d =-≥，得1d =或． 若1d =，则121a =，20n a n =+，与“{}n a 与{}n b 是无穷互补数列”矛盾；若2d =，则16a =，24n a n =+，,525,5n n n b n n ≤⎧=⎨->⎩．综上，24n a n =+，,525,5n n n b n n ≤⎧=⎨->⎩．5．【答案】27【解析】∵2≥n 时，21,21121+=+=-a a a a n n 且，∴{}1a a n 是以为首项，21为公差的等差数列，∴2718921289199=+=⨯⨯+⨯=S 6.【答案】6【解析】∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴2(12)12612n n S -==-，∴264n =，∴n=6. 7.8.9.【解析】 (1)由112,2n n a a a +==，得2nn a =.当1n =时，121b b =-，故22b =.当2n ≥时，11n n n b b b n+=-，整理得11n n b n b n ++=，所以n b n =. (2)由(1)知，2nn n a b n =⋅，所以23222322n n T n =+⋅+⋅++⋅2341222232(1)22n n n T n n +=+⋅+⋅++-⋅+⋅，所以2311222222(1)22n n n n n n T T T n n ++-=-=++++-⋅=--，所以1(1)22n n T n +=-+.10.【答案】12． 【解析】由已知得，111n n a a +=-，82a =，所以781112a a =-=，67111a a =-=-，56112a a =-=， 451112a a =-=，34111a a =-=-，23112a a =-=，121112a a =-=． 11.12.【一年原创真预测】 1. 【答案】A【解析】由21(1)22n n nS n S n n +-+=+，得121n n S S n n +-=+，则数列{}n S n 是首项为131S=，公差为2的等差数列，则32(1)21nS n n n=+-=+，即22n S n n =+，则当2n ≥时，1n n n a S S -=-＝2222(1)(1)41n n n n n +----=-．又当1n =时，113a S ==，满足41n a n =-，故选A ．2．【答案】B【解析】由12(1)n n na n a +=+，得121n n a a n n +=⋅+，则数列{}n an是首项为2，公比为2的等比数列，所以1222n n na n-=⋅=，即2n n a n =⋅，所以5552160a =⋅=，故选B ． 3.【答案】B4.【答案】64或65【解析】设1b t =，则由2152=b b b +，可设*25=,=2,()b t d b t d d N ++∈ （0d =不满足题意）因此122t t A +≤<，1221282,21252,++t dt d t d t d A A ++++≤<≤<从而22131222max{2,2,}min{2,2,}125125++t d t d tt d t t d A ++-++-≤<,再由3122,t d t -+<+得4d <，d 为正整数 1,2,3d ∴=，代入验证得3d =，因此12822125ttA ≤<⨯，由23536t b b b t +=≤≤=+及310b =得4,5,67t =，，由310b =得10112272A ≤<，再结合12822125tt A ≤<⨯验证只有当6t =时，13622125A ≤<有解，解得64A =或65．5.【答案】15(,)43-6.【解析】()I 当n 2≥时，()()2n 133S n 1n 122-=-+-，n n n 1a S S 3n -∴=-=，又n 1=时，11a S 3==满足上式, 所以n a 3n =.()II ()*n n*1,n 2k 1,k N n n 2c 8,n 2k,k N ⎧=-∈⎪+=⎨⎪=∈⎩.()()21321242n n n T c c c c c c -=+++++++111111123352n 12n 1⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()242n 888++++()n6416411122n 1164-⎛⎫=-+ ⎪+-⎝⎭()n n 646412n 163=+-+. 7.（II ）由12m m m a a a ++=，①若2()m k k *=∈N ，则22122k k k a a a ++= 即2131k k +=⇒=，即2m =, ② 若21()m k k *=-∈N ，即21221k k k a a a -+= 即1(21)2321k k k --⋅⋅=+，1223121k k -⋅=+-,123k -⋅为正整数∴221k -为正整数，即211k -=，即1k =，但此时式为0233⋅=不合题意,综上，2m =.（III ）若221m m S S -为{}n a 中的一项，则221mm S S -为正整数,2113212422(...+)(...)m m m S a a a a a a ---=++++++ 112(121)2(31)31231m m m m m --+--=+=+--，221221213m m m m m S S a S S ---+∴==-2122(1)331m m m --≤+-， 故若221m m S S -为{}n a 中的某一项只能为123,,a a a ，①若2122(1)3131m m m ---=⇒+-无解；②若212122(1)3231031m m m m m ----=⇒+-=+-，显然1m =不符合题意，2m =符合题意，当3m ≥时，设12()31m f m m -=+-，则112()3ln 32,()3(ln 3)20m m f m m f m --'''=-=->,即1()3ln 32m f m m -'=-为增函数，故()(3)0f m f ''≥>，即()f m 为增函数，,故()(3)10f m f >=>，故当3m ≥时方程12310m m -+-=无解，即2m =是方程唯一解；③若22122(1)33131m m m m ---=⇒=+-即1m =，综上所述，1m =或2m =. 8.（II ）因为33132231331322132131323313()()4n n n n n n n n n n n n b b b b b b a a a a a a a a b b b b -------=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅==，所以11313212113()()24n n n b a a a a a ---==⋅，1132321113()()24n n n b a a a a ---==-⋅，从而当*3,n k k N =∈时，。
第四章 数列(公式、定理、结论图表)--2023年高考数学必背知识手册(新教材)
第四章数列（公式、定理、结论图表）一．数列的概念：1.定义：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
2．数列是按一定顺序排列的一列数，记作,,,,321 n a a a a 简记{}n a .3．数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 的关系若用一个公式)(n f a n =给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。
4．数列的项为当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。
5、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式．6、求数列中最大最小项的方法：最大⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a 最小⎩⎨⎧≤≤-+11n n n n a a a a 考虑数列的单调性二、等差数列1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．（2）符号表示：11(2)(1)n n n n a a d n a a d n -+-=≥-=≥或2、通项公式：若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-．通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②n ma a d n m-=-．通项公式特点：1()n a d n a d =+-),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。
3、等差中项若三个数a ，A ，b 组成等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2a cb +=，则称b 为a 与c 的等差中项．即a 、b 、c 成等差数列<=>2a cb +=4、等差数列{}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中（1）q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若。
第一课数列概念及通项公式1
= n2 n 4 .
2
(所 相2)乘a(方2=得法2aa11一2·,aa)3因3·=…为2a·22aan,n=a=42a=112a2ann33·2a11,22…, ·,…an·2a=nn2a11nn11
,
(所方以法ana二=n=2)1因aa2nan为11(n·a1aa)annnn1=12
352= 495=01225.
2
学例2 (2009·重庆卷)已知
a1=1,a2=4,an+2=4an+1+an,bn= （1）求b1,b2,b3的值；
an1 an
,n∈N*.
（2）设cn=bnbn+1,Sn为数列{cn}的前n项和，
求证Sn＞17n；
（3）求证：|b2n-bn|＜
1 64
·171n2
所以Sn=c1+c2+…+cn>17n.
（3）证明:当n=1时,结论|b2-b1|= 14＜1674 成立.当
n≥2时，有|bn+1-bn|=|4+
1
-4-
bn
1
|
bn 1
=| bn bn1 |≤
bnbn1
117|bn-bn-1|≤
171|b2 n-1-bn-2|
1
≤…≤ 17n|b1 2-b1|=
例3 根据下列条件,写出数列的通项公式：
（1）a1=2，an+1=an+n； （2）a1=1，an-1=2n-1an.
分析（1）将递推关系写成n-1个等式累
加，即“累加法”. （2）将递推关系写成n-1个等式相乘，即
“累积法”或用逐项迭代法.
(1)(方法一)an+1=an+n，
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数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集 {1，2，3，4，…,n}）为定义域的函数an=f(n),当自 变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一 列函数值。
思考
函数y 2 x 1与y 3x ,当x依次取1， 2， 3...时， 其函数值构成怎样的数列？
an
一.定义：
按照一定顺序排列的一列数叫数列。
思考1：数列 4，5，6，7，8，9，10；
数列 10，9，8，7，6，5，4；是否相同？
思考2：数列中的数是否可以重复？ 如：数列－1，1，－1，1，· · · 。
二.数列的分类：
1）根据数列项数的多少分：
P28观察
有穷数列：项数有限的数列. 例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列. 例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 2）根据数列项的大小分：
a1 1 a 1 1 n an 1
(n 1)
写出这个数列的前五项。 练习：P31 2
递推公式是数列所特有的表 示法，它包含两个部分，一是 递推关系，一是初始条件，二 者缺一不可．
（ 1 ） 1,2,4,8.
写出下面数列的一个通项公式，使它 的前4项分别是下列各数：
正方形数 1, 4, 9, 16, ……
提问：这些数有什么规律吗？
一.定义：
按照一定顺序排列着的一列数叫数列。
(1)三角形数：1, 3, 6, 10, .….. (2)正方形数：1, 4, 9, 16, …… (3)4，5，6，7，8，9，10； (4)10，9，8，7，6，5，4； 数列中的每一个数叫做这个数列的项。
递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。 常数数列：各项相等的数列。 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，
有些项小于它的前一项的数列
三.数列的表示： 观察下列数列的每一项与这一项的序号是 否有一定的对应关系？ 1 1 1 1 1 1 ， ，， ，， 项 2 3 4 5 n 序号 项 序号
练习：P31 1,3,4
数列
2，4，6，8，10，……
其通项公式是：
图象为：
an
10 9 8
an 2n
7
6 5
4
3 2
0
1
2
3
4
5
n
例2、图中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski）三 角形，在下图4个三角形中，着色三角形的个数依次 构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项 公式，并在直角坐标系中画出它的图象。
2
3
2
1 1
?
64个格子
8
7
6
5
4
3
2
8 7 6 5 4 3 2 1 1
你认为国王 有能力满足 上述要求吗
每个格子里的麦粒数都是 前 一个格子里麦粒数的 2倍 且共有 64 格子
1 2
0
2
1
2
2
2
3
63 ? 2
1844,6744,0737,0955,1615
观察下列图形：
三角形数 1, 3, 6, 10, .…..
2.1数列的概念与简 单表示法
8 7 6 5 4 你想得到 64个格子 3
8 7 6 5 4 3
什么样的 2 赏赐？
1
1
8 7 6 OK 5
4 3 2
8
陛下，赏小 请在第一个格 请在第三个格 人一些麦粒 请在第二个格 请在第四个格 子放 1 颗麦粒 4 颗麦粒 依次类推 … 子放 2 颗麦粒 7 子放 子放 8 颗麦粒 就可以 6 。 5 4
如果数列{an }的第n项与序号n之间的关系可以用一个式 子来表示，那么这个公式叫做数列的通项公式。
正方形数：1, 4, 9, 16, ……
an n 2
通项公式可以看成是数列的函数解析式。
如果只知道数列的通项公式，那能写出这个 数列吗？
根据下面数列 an 的通项公式，写出 它的前5项：
an 3
n 1
an 30 27 24 21 18 15
an 3
n 1
12
9 6 3
o
1
2
3
4
5
n
问题：如果一个数列{an}的首项a1=1，从第二项 起每一项等于它的前一项的2倍再加1， 即 an = 2 an-1 + 1（n∈N，n>1），（※）
你能写出这个数列的前三项吗？ 递推公式 例3 设数列{an }满足
(1)三角形数：1, 3, 6, 10, .….. (2)正方形数：1, 4, 9, 16, ……
按照一定顺序排列着的一列数叫数列。
数列中的每一项都和它的序号有关，排第一位 的数称为这个数列的第1项（首项），
排第二位的数称为这个数列的第2项，· · · · · · ， 排第n位的数称为这个数列的第n项. 数列的一般形式可以写成：a1 , a2 , a3 ,an ,, 其中 an是数列的第n项，上面的数列又可简记为
（ 1）
n an n 1
（2） an 1 n
n
例1、 写出下面数列的一个通项公式，使它的 前4项分别是下列各数：
an 2n 1 （ 1 ） 1,3,5,7; 2 an (n 1) （2） 4， 9， 16 ， 25 ； 1 1 1 a (1) n 1 1 (3)1 ， ，， ；n n 2 3 4 n1 an 1 (1) （4） 2， 0， 2， 0。
1 2 3 4 5
….
n 2n
2， 4， 6， 8， 10，…
1 2 3 4 5
……
n
数列中的每一个数都对应着一个序号， 反过来，每个序号也都对应着一个数。
数列与函数的关系 :
数列可以看作特殊的函数，序号是 其自变量，项是序号所对应的函数值， * N 数列的定义域是正整数集 ，或是 * 正整数集 的有限子集 ． N
( 2)1 0 ， 100 ， 1000 ， 10000 。 （3 ） 9， 99 ， 999 ， 9999 。 （4） 5， 55 ， 555 ， 5555 。 （5 ） 0.Байду номын сангаас,0.9 9,0.9 9 9 ,0.9 9 9 9 ( 6) 2, 5 ,2 2, 1 1.
小结
• • • • • • • • 1、数列的定义 2、数列的实质—特殊的函数（离散函数） 3、数列的通项公式 4、数列的表示方法： 列表法， 通项公式法， 图象法， 递推公式法