高中数学概率与统计综合练习题
概率与统计练习题
1．某省重点中学从高二年级学生中随机地抽取120名学生，测得身高情况如下表所示. （1）请在频率分布表中的①，②位置上填上适当的数据，并补全频率分布直方图;
（２）现从180cm～190cm这些同学中随机地抽取两名，求身高为185cm以上(包括185cm)的同学被抽到的概率.
2．某校为了更好地落实新课改，增加研究性学习的有效性，用分层抽样的方法从其中A、B、C三个学习小组中，抽取若干人进行调研，有关数据见下表（单位：人）
（1）求表中,x y的值
（2）若从B、C学习小组抽取的人中选2人作感想
发言，求这2人都来自C学习小组的概率.
3．为加强中学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进教育教学改革，教育部门主办了全国中学生航模竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序．通过预赛，选拔出甲、乙、丙和丁四支队伍参加决赛．
（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；
（II）求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率．
4．学校推荐学生参加某著名高校的自主招生考试，初步确定了文科生中有资格的学生40人，其中男生10名，女生30名，决定按照分层抽样的方法选出一个4人小组进行培训。
（1）求40人中某同学被选到培训小组的概率,并求出培训小组中男,女同学的人数；
（2）经过一个月的培训，小组决定选出两名同学进行模拟面试，方法是先从小组里选出一名同学面试，该同学面试后，再从小组里剩下的同学中选一名同学面试，求选出的同学中恰有一名男同学的概率；
（3）面试时，每个同学回答难度相当的5个问题并评分，第一个同学得到的面试分数分别为：68,70,71,72,74，第二个同学得到的分数分别为69,70，70,72,74，请问那位同学的成绩更稳定？并说明理由.
5．黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：
血型
A B AB O 该血型的人所占比/%
28
29
8
35
已知同种血型的人可以输血,O 型血可以输给任一种血型的人,任何人的血都可以输给AB 型血的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是B 型血,若小明因病需要输血,问：(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少？
6．某培训班共有n 名学生,现将一次某学科考试成绩（单位:分）绘制成频率分布直方图,如图所示.其中落在[80,90)内的频数为36.
(1)请根据图中所给数据，求出a 及n 的值；
(2)从如图5组中按分层抽样的方法选取40名学生的成绩作为一个样本，求在第一组、第五组(从左到右)中分别抽取了几名学生的成绩?
(3)在(2)抽取的样本中的第一与第五组中,随机抽取两名学生的成绩,求所取两名学生的平均分不低于70分的概率.
7．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1,2,3,4,5．现从一批该日用
品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
（I ）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a ，b ，c 的值；
（Ⅱ）在（I ）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x 1，x 2，x 3，等级系数为5的2件日用品记为y 1，y 2，现从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．
8．“五·一”放假期间，某旅行社共组织1000名游客，分三批到北京、香港两地旅游，为了做好游客的行程安排，旅行社对参加两地旅游的游客人数进行了统计，列表如下：
第一批 第二批 第三批 北京 200
x
y
香港
150 160 z
已知在参加北京、香港两地旅游的1000名游客中，第二批参加北京游的频率是0．21． （I ）现用分层抽样的方法在所有游客中抽取50名游客，协助旅途后勤工作，问应在第三批参加旅游的游客中抽取多少名游客？ （II ）已知136,133y z ≥≥，求第三批参加旅游的游客中到北京旅游人数比到香港旅游人数多的概率．
X 1 2 3 4 5 频率 a 0．2 0．4 b c
9．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5 杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3 杯选对2杯，则评为良好；否则评为及格．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．
（1）求此人被评为优秀的概率；
（2）求此人被评为良好及以上的概率．
10．盒内有大小相同的3个小球，上面分别标有数字1，2，4；现从盒中摸出一个球，得到球上的数字作为点P 的横坐标，然后将球放回；再从盒中摸出一个球，得到球上的数字作为点P 的纵坐标。
记2
2
16x y +≤所表示的平面区域为M . （1）求点P 落在区域M 内的概率；
（2）若以落在区域M 内的所有点为顶点作面积最大的多边形区域N ，现向区域M 内随意撒一粒芝麻，求芝麻落在区域N 内的概率.（忽略芝麻的大小）
11．如图，从A
1(1,0,0)，A 2(2,0,0)，B 1(0,1,0)，B 2(0,2,0)，C 1(0,0,1)，C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点．
(1)求这3点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率； (2)求这3点与原点O 共面的概率．
12．小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋。
游戏规则为以O 为起点，再从A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X ，若X>0就去打球，若X=0就去唱歌，若X<0就去下棋 （1） 写出数量积X 的所有可能取值 （2） 分别求小波去下棋的概率和不．
去唱歌的概率
13．某校高三某班的一次数学周练成绩（满分为１００分）的茎叶图和频率分布直方
图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：
（Ⅰ）求分数在［５０，６０）的频率及全班人数；
（Ⅱ）求分数在［８０，９０）之间的频数，并计算频率分布直方图中［８０，９０）间的矩形的高；
（Ⅲ）若要从分数在［８０，１００］之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在［９０，１００］之间的概率．
14．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车
辆驾驶员血液酒精浓度在20～80 mg/100 ml(不含
80)之间，属于酒后贺车；在80 mg /100 ml (含80)
以上时，属醉酒贺车，对于酒后驾车和醉酒驾车
的驾驶员公安机关将给予不同程度的处罚．某市
公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动
中，依法检查了250辆机动车，查出酒后驾车和
醉酒贺车的驾驶员20人，下图是对这20人血液
中酒精含量进行检查所得结果的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求：此次抽查的250人中，醉酒驾车的人数；
(2)从血液酒精浓度在[70,90)范围内的驾驶员中任取2人，求恰有1人属于醉酒驾车的概率．
15．某工厂有甲、乙两个车间，每个车间各有编号为1、2、3、4、5的5名技工．在某天内每名技工加工的合格零件的个数如下表：
1号2号3号4号5号甲车间 4 5 7 9 10
乙车间 5 6 7 8 9
（Ⅰ）分别求出甲、乙两个车间技工在该天内所加工的合格零件的平均数及方差，并由此比较两个车间技工的技术水平；
（Ⅱ）质检部门从甲、乙两个车间中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和不小于12个，则称该工厂“质量合格”，求该工厂“质量合格”
的概率．。
高中数学统计与概率测试题
高中数学统计与概率测试题高中数学统计与概率测试题选择题1.某校期末考试后，为了分析该校高一年级1000名学生的研究成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单。
以下说法中正确的是（）A。
1000名学生是总体B。
每名学生是个体C。
每名学生的成绩是所抽取的一个样本D。
样本的容量是1002.某班级在一次数学竞赛中为全班同学生设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，各个奖品的单价分别为：一等奖20元、二等奖10元、三等奖5元，参与奖2元，获奖人数的分配情况如图。
以下说法不正确的是（）A。
获得参与奖的人数最多B。
各个奖项中三等奖的总费用最高C。
购买奖品的费用平均数为9.25元D。
购买奖品的费用中位数为2元3.XXX为了调查消费者对滴滴打车出行的真实评价，采用系统抽样方法从2000人中抽取100人做问卷调查。
为此将他们随机编号1,2，⋯，2000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的100人中，编号落入区间[1,820]的人做问卷A，编号落入区间[821,1520]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为（）A。
23B。
24C。
25D。
264.为了解城市居民的环保意识，某调查机构从一社区的120名年轻人、80名中年人、60名老年人中，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中老年人抽取3名，则n=（）A。
13B。
12C。
10D。
95.A、B、C、D四位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆车只能带一大人和一小孩，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，则A的小孩坐C妈妈或D妈妈的车概率是A。
1/15B。
C。
D。
6.如图，海水养殖厂进行某水产品的新旧网箱养殖方法产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图。
根据频率分布直方图，下列说法正确的是①新网箱产量的方差的估计值高于旧网箱产量的方差的估计值②新网箱产量中位数的估计值高于旧网箱产量中位数的估计值③新网箱产量平均数的估计值高于旧网箱产量平均数的估计值④新网箱频率最高组的总产量的估计值接近旧网箱频率最高组总产量估计值的两倍A。
08-专项拓展训练 概率与统计的综合问题高中数学必修第二册人教版
的平均数， 为从，两地区随机抽出的这200名乘客的满意程度评分的
平均数，试比析】 |1 − | = |2 − |.理由如下：
1 = 55 × 0.05 + 65 × 0.15 + 75 × 0.3 + 85 × 0.3 + 95 × 0.2 = 79.5，
调研,从在甲、乙两家商场消费的顾
客中各随机抽取了100人,每人分别对
各自消费的商场进行评分,满分均为6
0分.整理评分数据，得到甲商场分数的频率分布直方图和乙商场分数的频
数分布表如下所示:
分数区间
频数
[0,10)
2
[10,20)
3
[20,30)
5
[30,40)
15
[40,50)
40
[50,60]
35
10
所以所求概率为
15
=
2
.
3
2.[2024广东梅州开学考试]某中学准备在中秋节向全校学生征集书画作品,
美术老师田老师从全校随机抽取了四个班级记作，，，,对征集到的
作品的数量进行了分析统计,制作了如下两幅不完整的统计图.
（1）田老师抽取的四个班级共征集到多少作品?
【解析】
120
由题图1知班级作品数量占比为
故() =
3
3
,即2人评分都在[10,20)内的概率为 .
10
10
（3）如果从甲、乙两家商场中选择一家消费,你会选择哪一家?请说明理由.
【解析】 选择乙商场，理由如下:
(i)从对两个商场评分低于30分的人数所占的比例来看，
对甲商场评分低于30分的频率为0.2,所以对甲商场评分低于30分的人数所
第十章 概率
高中数学(统计概率)综合练习试题含解析
考点：频率分布直方图．
13．B
【解析】
试题分析：分层抽样为按比例抽样，则O型血抽取人数为 ；A型血抽取人数为 ；B型血抽取的人数为 ；AB型血抽取人数为 ．故本题答案选B．
考点：分层抽样
14．B
【解析】
试题分析：因为 ，所以 ＝ ，故选B．
A．
B．
C．
D．
2．2015年11月19日是“期中考试”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则 （ ）
A． B． C． D．
3．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两个样本的下列数字特征相同的是（）
考点：变量的相关性以及回归直线方程.
6．D
【解析】
试题分析：由二项分布概念可知得 ，则 = ，故正确选项为D.
考点：二项分布.
7．B
【解析】
试题分析：设中间一个长方形的面积为 ，则其他 个小长方形面积和为 ，则 所以 ，所以中间一组的频数为 ，故选B．
考点:1．频率分布直方图；2．总体估计．
8．B
【解析】
（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中y的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，求所抽取的人中至少有一个同学的成绩在 的概率．
25．为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12．
高中数学概率统计练习题
y 2015年12月31日期末复习题（二）一．选择题（共12小题）1．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5．现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件，则此样本的容量为（）A．40B．80C．160D．3202．某县教育局为了解本县今年参加一次大联考的学生的成绩，从5000名参加今年大联考的学生中抽取了250名学生的成绩进行统计，在这个问题中，下列表述正确的是（）A．5000名学生是总体B．250名学生是总体的一个样本C．样本容量是250D．每一名学生是个体3．（2015?抚顺模拟）某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法．抽取4个班进行调查，若抽到的最小编号为3，则抽取最大编号为（）A．15B．18C．21D．224．一个频率分布表（样本容量为30）不小心倍损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60）上的频率为0.8，则估计样本在[40，50），[50，60）内的数据个数共为（）A．15B．16C．17D．195．如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（）A．11B．11.5C．12D．12.56．某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出（单位：万元）的统计资料如下表所示：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x12.314.515.017.019.820.6支出Y5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18根据统计资料，则（）A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系7．下列事件是随机事件的是（）（1）连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上．（2）异性电荷相互吸引（3）在标准大气压下，水在1℃时结冰（4）任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数．A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）8．从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么对立的两个事件是（）A．至少有1个白球，至少有1个红球B．至少有1个白球，都是红球C．恰有1个白球，恰有2个白球D．至少有1个白球，都是白球9．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2011次，那么第2010次出现正面朝上的概率是（）A．B．C．D．10．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A．0.42B．0.28C．0.3D．0.711．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4B．0.6C．0.8D．112．函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题）13．在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率．14．从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为。
高中数学概率统计专题练习题及答案
高中数学概率统计专题练习题及答案一、选择题1. 掷一枚骰子，结果为奇数的概率是多少？A. 1/2B. 1/6C. 2/3D. 1/32. 从1至20这20个数字中随机选出一个数，选出的数是素数的概率是多少？A. 1/5B. 1/4C. 1/2D. 2/53. 一只盒子中有5张红牌和3张蓝牌，从中随机抽取2张牌，同时放回，再随机抽取2张牌，求两次抽取都是红牌的概率是多少？A. 1/16B. 3/8C. 1/4D. 1/8二、计算题1. 一次考试中，甲乙丙三位同学都有70%的概率通过考试。
求三位同学中至少有一位通过考试的概率。
答案：1 - (1 - 0.7)^3 = 0.9732. 从1至100这100个数字中随机选出一个数，选出的数是2的倍数且小于等于50的概率是多少？答案：50/100 = 0.53. 有A、B两个车站，A车站开往B车站的列车间隔是15分钟，B车站开往A车站的列车间隔是10分钟。
现在一个人随机到达A车站，请问他至少要等待几分钟才能搭乘到开往B车站的列车？答案：最小公倍数(15, 10) = 30分钟三、应用题1. 每个学生参加一次足球比赛的概率是0.4，问一个班级20个同学中至少有10个学生参加比赛的概率是多少？答案：利用二项分布公式，计算P(X≥10)，其中n=20，p=0.4，k≥10。
答案约为0.599。
2. 一批产品有10%的次品率，现从中随机抽取20个产品，求其中恰好有3个次品的概率。
答案：利用二项分布公式，计算P(X=3)，其中n=20，p=0.1，k=3。
答案约为0.201。
3. 一支篮球队最近10场比赛中获胜的概率是0.8，在下一场比赛中，求该队至少获胜8次的概率。
答案：利用二项分布公式，计算P(X≥8)，其中n=10，p=0.8，k≥8。
答案约为0.967。
以上为高中数学概率统计专题练习题及答案。
希望对您的学习有所帮助！。
高三数学练习题：概率与统计专项训练
高三数学练习题：概率与统计专项训练问题1：某班级中有30名男生和20名女生，班级展示某项艺术作品的学生是随机选取的。
如果从班级中随机抽取一个学生，那么他/她是男生的概率是多少？问题2：一个小组中有5名男学生和6名女学生，从中随机选择两名学生参加一个活动。
计算以下概率：a) 两名所选学生都是男学生的概率；b) 两名所选学生都是女学生的概率；c) 两名所选学生中，一名是男学生，一名是女学生的概率。
问题3：一位学生参加一场4道选择题的考试。
每道题目有4个选项，其中只有一个是正确的。
如果这位学生是随机作答问题，计算以下概率：a) 回答所有题目都正确的概率；b) 回答至少一道题目正确的概率；c) 回答所有题目都错误的概率。
问题4：一位装有10个红球和20个蓝球的罐子中随机抽取5个球。
计算以下概率：a) 抽取的5个球中有3个红球和2个蓝球的概率；b) 抽取的5个球中至少有3个红球的概率；c) 抽取的5个球中没有红球的概率。
问题5：一款手机有4种颜色：黑色、白色、金色和红色。
某家电商销售这款手机，其中40%的手机是黑色的，30%是白色的，20%是金色的，余下的是红色的。
如果从中随机选择一部手机，计算以下概率：a) 手机是黑色或白色的概率；b) 手机不是红色的概率。
问题6：一组学生参加了一场数学竞赛，其中50%的学生是男生，50%是女生。
这些学生中有60%是九年级的学生，40%是十年级的学生。
如果从中随机选择一名学生，计算以下概率：a) 学生是男生且是九年级的概率；b) 学生是女生或是十年级的概率。
问题7：一组数据包含10个互不相等的整数。
如果从中随机选择两个整数，计算以下概率：a) 两个整数之和是偶数的概率；b) 两个整数之差是正数的概率；c) 两个整数之积是负数的概率。
这些练习题旨在巩固概率与统计的相关概念，并提供实际问题的应用。
通过解答这些问题，学生可以加深对概率与统计的理解，同时提高解决实际问题的能力。
高中数学概率与统计概率分布练习题及答案
高中数学概率与统计概率分布练习题及答案1. 离散型随机变量问题1一次买彩票，抽奖号码是从1到30的整数，每个号码中奖的概率是相等的。
求以下事件的概率：a) 中奖号码小于等于10b) 中奖号码是偶数c) 中奖号码是质数解答1a) 中奖号码小于等于10的概率为10/30，即1/3。
b) 中奖号码是偶数的概率为15/30，即1/2。
c) 中奖号码是质数的概率为8/30，即4/15。
问题2某商品的销售量每天可以是0、1、2或3箱，各箱销售的概率分别为0.1、0.3、0.4和0.2。
求销售量的概率分布表。
解答2销售量的概率分布表如下：销售量 | 0 | 1 | 2 | 3--- | --- | --- | --- | ---概率 | 0.1 | 0.3 | 0.4 | 0.22. 连续型随机变量问题3某地每天的气温符合正态分布，均值为20摄氏度，标准差为3摄氏度。
求以下事件的概率：a) 气温大于等于15摄氏度b) 气温在15摄氏度到25摄氏度之间解答3a) 气温大于等于15摄氏度的概率可以通过计算标准正态分布的累积概率得到，约为0.8413。
b) 气温在15摄氏度到25摄氏度之间的概率可以通过计算标准正态分布的累积概率得到，约为0.6827。
问题4某工厂生产的铆钉的长度符合正态分布，均值为5毫米，标准差为0.2毫米。
若从工厂中随机抽取一只铆钉，求其长度在5.2毫米到5.5毫米之间的概率。
解答4将问题转化为标准正态分布，得到长度在1到2.5之间的概率约为0.3944。
以上是高中数学概率与统计概率分布的练习题及答案。
人教B版高中数学选择性必修第二册第四章概率与统计综合测试卷
第四章概率与统计综合测试卷时间：120分钟满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知4个红球，2个白球，每次随机取1个球，不放回地取两次．在第一次取到红球的条件下，第二次取到白球的概率为()A ．35B ．25C ．23D ．3102．两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，下列说法错误的是()A ．落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好B ．相关系数|r|越接近1，变量x ，y 相关性越强C ．相关指数R 2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差D ．若x 表示女大学生的身高，y 表示体重，则R 2≈0.65表示女大学生的身高解释了65%的体重变化3．已知随机变量X 服从二项分布X ～B(6，13)，则P(X ＝2)＝()A ．1316B ．4243C ．13243D ．802434．甲、乙两人独立完成某一任务的概率分别为14，23，若甲、乙分别去完成这项任务且相互之间不受影响，则甲完成此任务而乙没有完成此任务的概率为()A ．112B ．16C ．14D ．235．一名小学生的年龄和身高的数据如下表．由散点图可知，身高y(单位：cm )与年龄x(单位：岁)之间的回归直线方程为y ^＝b ^x ＋65，预测该学生11岁时的身高约为()年龄x 6789身高y118126136144A .163cmB ．161.8cmC ．152cmD ．158cm6.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附：若X ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544.A ．2386B ．2718C ．3413D ．47727．下列说法中，正确命题的序号是()①已知随机变量ξ服从正态分布N(2，δ2)，P(ξ<4)＝0.84，则P(2<ξ<4)＝0.34；②以模型y ＝c e kx 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z ＝ln y ，求得回归直线方程为z ^＝0.3x ＋4，则c ，k 的值分别是e 4和0.3；③若事件A 与事件B 互斥，则事件A 与事件B 独立；④若样本数据x 1，x 2，…，x 10的方差为2，则数据2x 1－1，2x 2－1，…，2x 10－1的方差为16.A ．①④B ．③④C ．②③D ．①②8．袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是()①取出的最大号码X 服从超几何分布；②取出的黑球个数Y 服从超几何分布；③取出2个白球的概率为114；④若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为114.A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③④二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．设A ，B 是两个概率大于0的随机事件，则下列说法正确的是()A ．若事件A 和B 是对立事件，则P(A)＋P(B)＝1B ．若事件A 和B 是互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1C ．若事件A 和B 相互独立，则P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)D ．若事件A 和B 相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)10．若随机变量X 服从两点分布，其中P(X ＝1)＝12，E(X)、D(X)分别为随机变量X 的均值与方差，则下列结论正确的是()A ．P(X ＝0)＝12B ．E(X)＝12C ．E(3X)＝12D ．D(2X)＝1411．下列四个表述中，正确的是()A ．运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本中心(x －，y －)B ．在回归直线方程y ^＝0.1x ＋10中，当变量x 每增加1个单位时，变量y ^约增加0.1个单位C ．具有相关关系的两个变量x ，y 的相关系数为r ，那么|r|越接近于0，x ，y 之间的线性相关程度越高D .在一个2×2列联表中，根据表中数据计算得到χ2的观测值k ，若k 的值越大，则认为两个变量间有关的把握就越小12．2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的火箭发射升空，这是一件让全国人民关注的大事，因此每天有很多民众通过手机、电视、报纸了解有关新闻，某组织随机选取10人调查民众了解这一新闻的方式，其中喜欢用电视、手机、报纸了解这一新闻的分别有3人、6人、1人，现随机选出2人，则()A ．有1人喜欢用电视的方式的概率是715B ．有2人喜欢用电视的方式的概率是415C .至多有1人喜欢用电视的方式的概率是1415D ．至少有1人喜欢用手机的方式的概率是815三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．一个箱子中有6个大小相同的产品，其中4个正品、2个次品，从中任取3个产品，记其中正品的个数为随机变量X ，则X 的均值E(X)＝________．14．从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．记事件A 为“抽取到的两张卡片上的数字奇偶性相同”，事件B 为“两张卡片上的数字均为偶数”，则P(B|A)＝________．15．如下表是降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的回归直线方程y ^＝0.7x ^＋0.3，那么表中m 的值为________．x 3456y2.9m44.116.如图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，…，6，用X 表示小球落入格子的号码，假定底部6个格子足够长，投入160粒小球，则落入3号格的小球大约有________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)某校举办了一场主题为“爱诗词、爱祖国”的诗词知识竞赛，从参赛的学生中抽出60人，对这60名学生的成绩(满分100分)进行统计，并按[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计参加这次知识竞赛的学生成绩的中位数；(2)若规定80分以上(含80分)为优秀，用频率估计概率，从参赛学生中随机抽取3人，记其中成绩优秀的人数为ξ，求ξ的分布列．18．(12分)某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动．活动规则如下：在一不透明的纸箱中有9张相同的卡片，其中3张卡片上印有“中”字，3张卡片上印有“国”字，另外3张卡片上印有“红”字．消费者从该纸箱中不放回地随机抽取3张卡片，若抽到的3张卡片上都印有同一个字，则获得一张20元代金券；若抽到的3张卡片中每张卡片上的字都不一样，则获得一张10元代金券；若抽到的3张卡片是其他情况，则不获得任何奖励．(1)求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有“中”字的概率；(2)记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的分布列和数学期望E(X)；(3)该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付5元．若你是消费者，请从收益方面来考虑是否愿意再次参加该项抽奖活动，并说明理由．19．(12分)中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有A 和B 两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A 类试题得10分；每答对1道B 类试题得20分，答错都不得分，每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答(每道题抽后不放回).已知小明同学A 类试题中有7道题会作答，而他答对各道B 类试题的概率均为25.(1)若小明同学在A 类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率；(2)若小明只作答A 类试题，设X 表示小明答这3道试题的总得分，求X 的分布列和期望；(3)小明应从A 类试题中抽取几道试题作答才能使自己得分的数学期望更大？请从得分的数学期望角度给出理由．20．(12分)某市甲乙两所高中学校高二年级联合举办安全知识竞赛，共两轮，每轮满分为80分．参赛选手为这两所学校高二学生随机抽取的各100名学生．图1和图2分别是甲校和乙校参赛选手第一轮竞赛成绩的频率分布直方图．(1)若规定成绩在66分以上的学生为优秀，试根据第一轮竞赛的成绩分别估计甲乙这两所学校高二学生的优秀率；(2)已知第二轮竞赛成绩不低于60分的学生中，甲校增加了15人，乙校不变．根据第二轮竞赛的成绩完成下面2×2列联表．依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析甲乙两个学校高二学生这次竞赛的成绩是否有差异．成绩低于60分人数成绩不低于60分人数合计甲校乙校合计附表及公式：α＝P(χ2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），n ＝a ＋b ＋c ＋d.21．(12分)数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，下表为2017～2021年中国在线直播用户规模(单位：亿人)，其中2017年～2021年对应的代码依次为1～5.年份代码x 12345市场规模y3.984.565.045.866.36参考数据：y －＝5.16，v －＝1.68，错误!i y i ＝45.10，其中v i ＝x i .参考公式：对于一组数据(v 1，y 1)，(v 2，y 2)，…，(v n ，y n )，其回归直线y ^＝b ^v ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝错误!，a ^＝y －－b ^v －.(1)由上表数据可知，可用函数模型y ^＝b ^x ＋a ^拟合y 与x 的关系，请建立y 关于x的回归方程(a ^，b ^的值精确到0.01)；(2)已知中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率为p ，现从中国在线直播购物用户中随机抽取4人，记这4人中选择在品牌官方直播间购物的人数为X ，若P(X ＝3)＝P(X ＝4)，求X 的分布列与期望．22．(12分)2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(也称“强基计划”)，《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划．强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为12，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为16，23，m ，其中0<m<1.(1)若m ＝23，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求m 的取值范围．参考答案与解析1．答案：B解析：第一次取到红球后还剩3个红球，2个白球，故第二次取到白球的概率为25.故选B.2．答案：A解析：对于A ：回归直线方程拟合效果的强弱是由相关指数R 2或相关系数|r |判定，故不正确；对于B ：根据相关系数|r |越接近1，变量相关性越强，故正确；对于C ：相关指数R 2越小，残差平方和越大，效果越差，故正确；对于D ：根据R 2的实际意义可得，R 2≈0.65表示女大学生的身高解释了65%的体重变化，故正确．故选A.3．答案：D解析：P (X ＝2)＝C 26(13)2(1－13)4＝80243.故选D.4．答案：A解析：依题意，甲、乙分别去完成这项任务相互独立，则甲完成此任务而乙没有完成此任务的概率为14×(1－23)＝112.故选A.5．答案：B解析：由表中数据可知：x －＝6＋7＋8＋94＝7.5，y －＝118＋126＋136＋1444＝131，因为回归方程y ^＝b ^x ＋65过样本中心(x －，y －)，所以131＝b ^×7.5＋65解得b ^＝8.8，将x ＝11代入y ^＝8.8x ＋65得y ^＝161.8.故选B.6．答案：C解析：因为曲线C 为正态分布N (0，1)的密度曲线，所以根据正态分布的性质，P (0<x <1)＝12P (－1<x <1)＝0.3413，所以落入阴影部分的点的个数的估计值为10000×0.3413＝3413.故选C.7．答案：D解析：对于①，因为ξ～N (2，δ2)，P (ξ<4)＝0.84，所以P (2<ξ<4)＝0.84－0.5＝0.34，故①正确；对于②，y ＝c e kx 两边同时取对数可得ln y ＝ln c ＋kx ，则z ＝ln c ＋kx ，又因为z ^＝0.3x ＋4，所以k ＝0.3，ln c ＝4，所以k ＝0.3，c ＝e 4，故②正确；对于③，若事件A 与事件B 互斥，则事件A 与事件B 不会同时发生，当事件A 与事件B 独立，两事件可以同时发生，故③错误；若样本数据x 1，x 2，…，x 10的方差为2，则数据2x 1－1，2x 2－1，…，2x 10－1的方差为22×2＝8，故④错误．所以正确的为①②.故选D.8．答案：B解析：对于①，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取出的最大号码X 不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故①错误；对于②，取出的黑球个数Y 符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故②正确；对于③，取出2个白球的概率为C 26C 24C 410＝37，故③错误；对于④，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，∴总得分最大的概率为C 46C 410＝114，故④正确．故选B.9．答案：AD解析：若A ，B 是对立事件，则事件A ，B 满足P (A )＋P (B )＝1，所以A 选项正确；若事件A ，B 互斥，如：投掷一枚均匀的骰子，设A ＝{向上的点数是1}，B ＝{向上的点数是2}，则A ，B 互斥，P (A )＋P (B )<1，所以B 选项错误；只有当A 和B 互斥时，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，所以C 选项错误；若A 和B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )，所以D 选项正确．故选AD.10．答案：AB解析：根据随机变量X 服从两点分布，其中P (X ＝1)＝12，∴P (X ＝0)＝12，故A 正确；E (X )＝0×12＋1×12＝12，故B 正确；则E (3X )＝3E (X )＝3×12＝32，故C 错误；D (X )＝(0－12)2×12＋(1－12)2×12＝14，则D (2X )＝4D (X )＝4×14＝1，故D 错误．故选AB.11．答案：AB解析：A ：由样本中心一定在回归直线上，正确；B ：由y ^＝0.1x ＋10，x 每增加1个单位则y ^约增加0.1个单位，正确；C ：两个变量x ，y 的相关系数为r ，那么|r |越接近于1，x ，y 之间的线性相关程度越高，错误；D ：观测值k 越大，则认为两个变量间有关的把握就越大，错误．故选AB.12．答案：AC解析：设选出的2人中喜欢用电视的方式的人数为X ，则X 的可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝C 03C 27C 210＝715，P (X ＝1)＝C 13C 17C 210＝715，P (X ＝2)＝C 23C 07C 210＝115，A 正确，B 错误．这2人中至多有1人喜欢用电视的方式的概率是P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝1415，C 正确．这2人中至少有1人喜欢用手机的方式的概率为C 16C 14C 210＋C 26C 04C 210＝1315，D 错误．故选AC.13．答案：2解析：任取3个产品，记其中正品的个数为随机变量X ，则X 的可能取值为1，2，3则P (X ＝1)＝C 14C 22C 36＝420＝15，P (X ＝2)＝C 24C 12C 36＝1220＝35，P (X ＝3)＝C 34C 02C 36＝420＝15，则E (X )＝1×15＋2×35＋3×15＝2.14．答案：38解析：P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝C 24C 24＋C 25＝66＋10＝38.15．答案：2.8解析：由已知中的数据可得：x －＝4.5，y －＝(2.9＋m ＋4＋4.1)÷4＝m ＋114，∵数据中心点(x －，y －)一定在回归直线上，∴11＋m 4＝0.7×4.5＋0.3，解得m ＝2.8.16．答案：50解析：设A ＝“向右下落”，则A －＝“向左下落”，且P (A )＝P (A －)＝12，设Y ＝X －1，∵小球下落过程中共碰撞5次，∴Y ～B (5，12)，∴P (Y ＝k )＝P (X ＝k ＋1)＝C k 5(12)k (1－12)5－k ＝C k 5(12)5，(k ＝0，1，2，3，4，5)，∴P (X ＝3)＝C 25(12)5＝516，故投入160粒小球，则落入3号格的小球大约有160×516＝50粒．17．解析：(1)设样本数据的中位数为a ，由0.05＋0.15＋0.2<0.5，0.05＋0.15＋0.2＋0.3>0.5，知a ∈(70，80).所以0.05＋0.15＋0.2＋(a －70)×0.03＝0.5，解得a ＝2203，故参加这次知识竞赛的学生成绩的中位数约为2203.(2)由题意，知样本中80分以上(含80分)的频率为310，则从参赛学生中随机抽取1名学生，他的成绩是优秀的概率约为310，所以ξ～B (3，310).所以P (ξ＝0)＝(710)3＝3431000，P (ξ＝1)＝C 13×310×(710)2＝4411000，P (ξ＝2)＝C 23×(310)2×710＝1891000，P (ξ＝3)＝(310)3＝271000.所以ξ的分布列为ξ0123P 34310004411000189100027100018.解析：(1)记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有‘中’字”为事件A ，则P (A )＝C 33C 39＝184.所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有“中”字的概率是184.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，10，20，则P (X ＝20)＝C 33＋C 33＋C 33C 39＝128，P (X ＝10)＝C 13C 13C 13C 39＝928，P (X ＝0)＝1－928－128＝914.所以X 的分布列为X 01020P 914928128E (X )＝0×914＋10×928＋20×128＝5514.(3)记随机变量Y 为消费者在一次抽奖活动中的收益，则Y ＝X －5，所以E (Y )＝E (X )－5＝－1514<0，因此我不愿意再次参加该项抽奖活动．19．解析：(1)小明仅答对1题的概率P ＝710×(35)2＋310·C 12·25·35＝99250.(2)X 可能的取值为0，10，20，30，P (X ＝0)＝C 33C 310＝1120，P (X ＝10)＝C 17C 23C 310＝740，P (X ＝20)＝C 27C 13C 310＝2140，P (X ＝30)＝C 37C 310＝724，所以X 的分布列为X0102030P 11207402140724所以E (X )＝0×1120＋10×740＋20×2140＋30×724＝21.(3)设小明从两类试题中分别抽取n 1，n 2道试题，回答正确的题数分别为x 1，x 2，两类试题总得分为y ，∵x 1服从超几何分布，x 2服从二项分布，∴E (x 1)＝n 1×710＝0.7n 1，E (x 2)＝n 2×25＝0.4n 2，由n 1＋n 2＝3，∴E (y )＝10E (x 1)＋20E (x 2)＝10×0.7n 1＋20×0.4n 2＝10×0.7n 1＋20×0.4(3－n 1)＝24－n 1.∵n 1＝0，1，2，3，∴当n 1＝0时E (y )max ＝24.即小明全部回答B 类试题时，得分的期望值最大为24.20．解析：(1)根据频率分布直方图，甲校高二学生的优秀率为0.01×10×70－6670－60＋0.01×10＝0.14；乙校高二学生的优秀率为0.035×10×70－6670－60＋0.025×10＝0.39.(2)第一轮竞赛中成绩不低于60分的学生，甲校有100×0.01×20＝20人，乙校有：100×(0.035×10＋0.025×10)＝60人；则第二轮竞赛中成绩不低于60分的学生，甲校有35人，乙校有60人；故2×2列联表如下所示：成绩低于60分人数成绩不低于60分人数合计甲校6535100乙校4060100合计10595200故可得χ2＝200（65×60－35×40）2105×95×100×100＝5000399≈12.531>10.828，故在小概率值α＝0.001的独立性检验下，甲乙两个学校高二学生这次竞赛的成绩有差异．21．解析：(1)设v ＝x ，则y ^＝b ^v ＋a ^，因为y －＝5.16，v －＝1.68，错误!2i ＝错误!i＝15，所以b ^＝错误!＝45.10－5×1.68×5.1615－5×1.682＝1.7560.888≈1.98.把(1.68，5.16)代入y ^＝b ^v ＋a ^，得a ^＝5.16－1.98×1.68≈1.83.即y 关于x 的回归方程为y ^＝1.98x ＋1.83.(2)由题意知X ～B(4，p)，P(X ＝3)＝C 34p 3(1－p)＝4p 3(1－p)，P(X ＝4)＝C 44p 4＝p 4，由4p 3(1－p)＝p 4得p ＝45，所以X 的取值依次为0，1，2，3，4，P(X ＝0)＝C 04(1－45)4＝1625，P(X ＝1)＝C 14·45·(1－45)3＝16625，P(X ＝2)＝C 24(45)2(1－45)2＝96625，P(X ＝3)＝C 34(45)3(1－45)＝256625，P(X ＝4)＝C 44(45)4＝256625，所以X 的分布列为X01234P 16251662596625256625256625E(X)＝4×45＝165.22．解析：(1)设“该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目”为事件A ，“该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目”为事件B ，根据题意可得P(A)＝C 13(12)1(12)2＝38，P(B)＝16×(13)2＋56×23×13×2＝2154＝718.(2)设该考生报考甲大学通过的科目数为X ，报考乙大学通过的科目数为Y ，根据题意可知，X ～B(3，12)，所以E(X)＝3×12＝32，P(Y ＝0)＝56×13(1－m)＝518(1－m)，P(Y ＝1)＝16×13(1－m)＋56×23(1－m)＋56×13m ＝1118－13m ，P(Y ＝2)＝16×23(1－m)＋16×13m ＋56×23m ＝19＋12m ，P(Y ＝3)＝16×23m ＝19m.则随机变量Y 的分布列为Y0123P 518(1－m)1118－13m 19＋12m 19m E(Y)＝1118－13m ＋29＋m ＋13m ＝56＋m ，若该考生更希望通过乙大学的笔试时，有E(Y)>E(X)，所以56＋m>32，又因为0<m<1，所以23<m<1，所以m 的取值范围是(23，1).。
人教版高中数学概率与统计专项练习题(含答案)
人教版高中数学概率与统计专项练习题（含答案）考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx学校注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题(共8题，每题5分，共40分)1．已知直线x +y +k =0(k >0)与圆x 2+y 2=4交于不同的两点A ,B ,O 是坐标原点,且有|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ |≥√33|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则k 的取值范围是 A.(√3,+∞)B.[√2,+∞)C.[√2,2√2)D.[√3,2√2)2．已知函数f (x )=(2a -1)x -12cos 2x -a (sin x +cos x )在[0,π2]上单调递增,则实数a 的取值范围为A.(-∞,13] B.[13,1] C.[0,+∞) D.[1,+∞)3．已知{a n }是等比数列,数列{b n }满足b n =log 2a n ,n ∈N *,且b 2+b 4=4,则a 3的值为A.1B.2C.4D.164．已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,虚轴的上端点为B ,点P ,Q 在双曲线上,且点M (-2,1)为线段PQ 的中点,PQ ∥BF ,双曲线的离心率为e ,则e 2=A.√2+12B.√3+12C.√2+22D.√5+125．双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与圆x 2+y 2-2x +15=0相切,则双曲线C 的离心率为A.√52B.√2C.√5D.√1726．已知函数f (x )=-x 2+a2,g (x )=x 2e x -a 2,若对任意的x 1∈[-12,1],存在唯一的x 2∈[-1,1],使得f (x 1)=g (x 2),则实数a 的取值范围是A.[14,e] B.(1+1e ,e]C.(14+1e ,e] D.[1,e]7．已知函数f (x )=(x 2-2x )sin(x -1)+x +1在[-1,3]上的最大值为M ,最小值为m ,则M +m =A.4B.2C.1D.08．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共6题，每题5分，共30分)9．(2x +x-1)5的展开式中常数项是 .10．已知函数f (x )=3sin(x -π3),若f (x 1)-f (x 2)=6,则f (x 1-x 2)的值为 .11．已知不等式ax 2+bx +c ≥0(a ≠0,a <b )对一切实数x 恒成立,当实数a ,b ,c 变化时,a+b+c b-a的最小值为 .12．已知数列{a n }的首项a 1=1,当n ≥2时,满足a n =a 1+12a 2+13a 3+…+1n-1a n-1,则通项a n = .13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,满足S 7=S 11,且a 1>0,则S n 最大时n 的值是 .14．(x 2+3x +2)5的展开式中含x 项的系数是 .三、解答题(共6题，共80分)15．设椭圆C :a 2+b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,椭圆的上顶点为点B ,点A 为椭圆C 上一点,且3F 1⃗⃗⃗ +F 1⃗⃗⃗ =0.(1)求椭圆C 的离心率;(2)若b =1,过点F 2的直线交椭圆C 于M ,N 两点,求线段MN 的中点P 的轨迹方程.16．设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列.已知a 1=4,b 1=6,b 2=2a 2-2,b 3=2a 3+4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设数列{c n }满足c 1=1,c n ={1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k,其中k ∈N *. (i)求数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式; (ii)求∑i=12na i c i (n ∈N *).17．已知椭圆C :x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,且|F 1F 2|=4√3,A (√3,-√132)是椭圆上一点.(1)求椭圆C 的标准方程和离心率e 的值;(2)若T 为椭圆C 上异于顶点的任一点,M ,N 分别为椭圆的右顶点和上顶点,直线TM 与y 轴交于点P ,直线TN 与x 轴交于点Q ,求证:|PN |·|QM |为定值.18．11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X 个球该局比赛结束. (1)求P (X =2);(2)求事件“X =4且甲获胜”的概率.19．在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :x 2a 2+y 2=1(a >1)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是C上异于长轴端点的动点,∠F 1PF 2的角平分线交x 轴于点M .当P 在x 轴上的射影为F 2时,M 恰为OF 2的中点.(1)求C 的方程;(2)过点F2引PF2的垂线交直线l:x=2于点Q,试判断除点P外,直线PQ与C是否有其他公共点?说明理由.20．如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,PA=PD.(1)证明: BC⊥PB;(2)若PA⊥PD,PB=AB,求二面角A-PB-C的余弦值.参考答案1.C【解析】设AB 的中点为D ,则OD ⊥AB ,因为|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≥√33|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥√33|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤2√3|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2≤12|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2.因为|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+14|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4,所以|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2≥1,因为直线x +y +k =0(k >0)与圆x 2+y 2=4交于不同的两点A ,B ,所以|OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2<4,所以1≤|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2<4,所以1≤(√2)2<4,因为k >0,所以√2≤k <2√2,所以k 的取值范围是[√2,2√2).【备注】无2.D【解析】本题主要考查函数的单调性与导数、不等式恒成立问题、三角函数的值域,以函数的单调性为载体,借助导数及三角函数,考查化归与转化能力、运算求解能力.因为函数f (x )在[0,π2]上单调递增,所以f '(x )=2a -1+sin 2x -a cos x +a sin x ≥0在[0,π2]上恒成立,即a ≥1-sin2x 2+sinx-cosx在[0,π2]上恒成立.设g (x )=1-sin2x2+sinx-cosx,x ∈[0,π2],则g (x )=(sinx-cosx)22+sinx-cosx ,设sin x -cos x =t ,则y =t 22+t =(t+2)2-4(t+2)+4t+2=t +2+4t+2-4,因为t =√2sin(x -π4),x ∈[0,π2],所以-1≤t ≤1,1≤t +2≤3,所以0≤y ≤1,所以a ≥1,故选D.【备注】【画龙点睛】分离参数是避免分类讨论的主要方法,换元法是化繁为简的主要方法. 3.C【解析】∵{a n }为等比数列,∴{b n }为等差数列,∴b 3=2,log 2a 3=2,∴a 3=4.故选C. 【备注】无 4.A【解析】解法一 由题意知F (c ,0),B (0,b ),则k PQ =k BF =-bc .设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则{x 12a 2-y 12b 2=1,x 22a 2-y 22b 2=1,两式相减,得y 1-y 2x 1-x 2=b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2).因为线段PQ 的中点为M (-2,1),所以x 1+x 2=-4,y 1+y 2=2,又k PQ =y 1-y 2x 1-x 2=-b c ,所以-bc =-4b 22a 2,整理得a 2=2bc ,所以a 4=4b 2c 2=4c 2(c 2-a 2) ,即4e 4-4e 2-1=0,得e 2=√2+12,故选A.解法二 由题意知F (c ,0),B (0,b ),则k BF =-bc .设直线PQ 的方程为y -1=k (x +2),即y =kx +2k +1,代入双曲线方程,得(b 2-a 2k 2)x 2-2a 2k (2k +1)x -a 2(2k +1)2-a 2b 2=0.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则x 1+x 2=-4,所以2a 2k(2k+1)b 2-a 2k 2=-4.又k =k BF =-b c,所以2a 2·(-b c)[2·(-b c)+1]=-4b 2+4a 2(-b c )2,整理得a 2=2bc ,所以c 2-b 2-2bc =0,即(c b )2-2cb -1=0,得cb=√2+1,则e 2=c 2a 2=c 2c 2-b 2=(c b )2(cb)2-1=√2+1)2(√2+1)2-1=√2+12,故选A.【备注】无 5.C【解析】本题主要考查双曲线的几何性质、直线与圆的位置关系,考查的学科素养是理性思维,数学探索.不妨取双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =ba x ,即bx -ay =0,化圆x 2+y 2-2x +15=0的方程为标准方程,得(x -1)2+y 2=45,则圆心坐标为(1,0),半径为2√55.由题意可得√a 2+b2=2√55,(直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于圆的半径)即b 2a 2+b2=45,即c 2-a 2c 2=45,所以c 2=5a 2,(关键点拨:求双曲线的离心率的关键是求出关于a ,c 的关系式)所以双曲线C 的离心率e =ca =√5,故选C.【备注】无 6.B【解析】本题考查函数的值域、单调性和图象等,考查数形结合思想、化归与转化思想,考查考生的运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力.由对任意的x 1∈[-12,1],存在唯一的x 2∈[-1,1],使得f (x 1)=g (x 2),可得函数f (x )在[-12,1]上的值域是g (x )在[-1,1]上的值域的某个子集的子集,g (x )值域的这个子集应具备这样的条件,即集合内的任何一个函数值,都对应函数g (x )在[-1,1]上唯一一个自变量的值,再数形结合,即可求解.当x ∈[-12,1]时,f (x )=-x 2+a2的值域是[a 2-1,a2],g'(x )=2x e x +x 2e x =x (x +2)e x ,则g (x )在(-1,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,g (-1)=1e −a2,g (0)=-a 2,g (1)=e-a 2,若对任意的x 1∈[-12,1],存在唯一的x 2∈[-1,1],使得f (x 1)=g (x 2),则{a 2-1>1e -a2,a 2≤e −a 2,所以1+1e <a ≤e,故选B.【备注】【解题关键】由对任意的x 1∈[-12,1],存在唯一的x 2∈[-1,1],使得f (x 1)=g (x 2)成立,正确得到函数f (x )和g (x )值域之间的关系是解决本题的关键. 【易错警示】理解存在唯一的x 2∈[-1,1]和存在x 2∈[-1,1]的不同. 7.A【解析】本题主要考查函数的性质.注意到f (x )=[(x -1)2-1]sin(x -1)+x +1,可令t =x -1,g (t )=(t 2-1)sin t +t ,则y =f (x )=g (t )+2,t ∈[-2,2].显然M =g (t )max +2,m =g (t )min +2.又g (t )为奇函数,则g (t )max +g (t )min =0,所以M +m =4,故选A.【备注】无 8.C【解析】本题主要考查韦恩图的应用与概率问题,考查考生的阅读理解能力,考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、数据分析.根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用韦恩图表示如下:所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100=0.7.【备注】无 9.-161【解析】(2x +1x -1)5表示五个(2x +1x -1)相乘,则展开式中的常数项由三种情况产生,第一种是从五个(2x +1x -1)中分别抽取2x ,2x ,1x ,1x ,-1,则此时的常数项为C 52·C 32·22·(-1)=-120;第二种情况是从五个(2x +1x-1)中都抽取-1,则此时的常数项为(-1)5=-1;第三种情况是从五个(2x +1x -1)中分别抽取2x ,1x ,-1,-1,-1,则此时的常数项为C 51·C 41·21·(-1)3=-40,故展开式的常数项为-120-1-40=-161. 【备注】无 10.3√32【解析】本题主要考查诱导公式、三角函数的性质,考查考生的运算求解能力与分析问题、解决问题的能力.利用已知得到f (x 1)=3,f (x 2)=−3,然后解得x 1,x 2,最后利用诱导公式即可求得f (x 1-x 2)的值.由f (x 1)-f (x 2)=6并结合f (x )的解析式得f (x 1)=3,f (x 2)=-3,所以sin(x 1-π3)=1,sin(x 2-π3)=−1,则x 1-π3=2k 1π+π2,k 1∈Z ,x 2-π3=2k 2π-π2,k 2∈Z ,所以x 1-x 2=2(k 1-k 2)π+π,k 1,k 2∈Z .所以f (x 1-x 2)=3sin[2(k 1-k 2)π+π-π3]=3sin π3=3√32.【备注】【素养落地】求解时需将函数的解析式和f (x 1)-f (x 2)=6联系起来,利用三角函数的图象和性质找到解题的突破口,体现逻辑推理、数学运算等核心素养.【解后反思】解决本题的关键是根据f (x 1)-f (x 2)=6并结合三角函数的解析式及图象和性质得到f (x 1)=3,f (x 2)=−3,然后利用诱导公式进行化简求解即可. 11.3【解析】因为不等式ax 2+bx +c ≥0(a ≠0,a <b )对一切实数x 恒成立,所以0<a <b ,对于方程ax 2+bx +c =0,Δ=b 2-4ac ≤0,所以c ≥b 24a ,所以a+b+c b-a≥a+b+b 24ab-a=1+b a +14×(b a )2b a-1.令y =1+b a +14×(b a )2b a-1,t =ba ,则有14×t 2+(1-y )×t +1+y =0 ①,关于t 的方程①的判别式Δ'=(1-y )2-(1+y )≥0,解得y ≥3或y ≤0,由0<a <b ,可得ba >1,所以y >0,所以y ≥3,所以a+b+c b-a的最小值为3.【备注】无12.a n ={1(n =1),n 2(n ≥2).【解析】由题设a n =a 1+12a 2+13a 3+…+1n-1a n-1 (n ≥2),① 可得a n+1=a 1+12a 2+13a 3+…+1n-1a n-1+1n a n ,② 且a 2=a 1=1.②-①得a n+1-a n =1n a n (n ≥2),即a n+1=n+1na n (n ≥2),即a n+1a n=n+1n(n ≥2),所以当n ≥3时,a n =a 1×a2a 1×a3a 2×…×an a n-1=1×11×32×43×…×nn-1=n2,当n =2时,a 2=1=22,满足上式,当n =1时,a 1=1≠12,不满足上式,故所求a n ={1(n =1),n 2(n ≥2).【备注】上述解析中当n ≥3时,等式a n a n-1=nn-1才成立,使用累乘法求得数列通项公式a n 后,不仅需要检验a 1是否满足通项公式,还得检验a 2是否满足通项公式,这一点极易出错.本题也可利用构造法转化为等差数列求通项,把a n+1=n+1na n (n ≥2)化为a n+1n+1-ann =0(n ≥2),得到数列{a nn }是从第2项起公差为0的等差数列,注意首项不满足.13.9【解析】本题主要考查等差数列的前n 项和公式、性质.通解是根据S 7=S 11得7a 1+7×62d =11a 1+11×102d ,即2a 1+17d =0,再结合二次函数的知识判断出前9项和最大;优解是根据S 7=S 11得a 8+a 9+a 10+a 11=0,即可知前9项和最大. 通解 设等差数列{a n }的公差为d ,由S 7=S 11可得7a 1+7×62d =11a 1+11×102d ,即2a 1+17d =0,得到d =-217a 1,所以S n =na 1+n(n-1)2d =na 1+n(n-1)2×(-217a 1)=-a117(n-9)2+8117a 1,由a 1>0可知-a117<0.故当n =9时,S n 最大.优解 根据S 7=S 11可得a 8+a 9+a 10+a 11=0.由等差数列的性质可得a 9+a 10=0,由a 1>0可知a 9>0,a 10<0.当所有正数项相加时,S n 取得最大值,所以前9项和S 9最大.【备注】无14.240【解析】∵(x 2+3x +2)5=(x +1)5(x +2)5,∴展开式中含x 的项是C 54xC 5525+C 55C 54x 24=240x ,∴展开式中含x 项的系数是240. 【备注】无15.解:(1)设A (x 0,y 0),由题意知B (0,b ),F 1(-c ,0),由3F 1⃗⃗⃗ +F 1⃗⃗⃗ =0得{3x 0+4c =03y 0+b =0⇒{x 0=-4c3y 0=-b 3,即A (-43c ,-b3), 又A (x 0,y 0)在椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1上, ∴(-43c)2a 2+(-13b)2b 2=1,得ca =√22,即椭圆C 的离心率为e =√22.(2)由(1)知,e =√22.又b =1,a 2=b 2+c 2,∴a 2=2, ∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.当线段MN 在x 轴上时,MN 的中点为坐标原点(0,0).当线段MN 不在x 轴上时,设直线MN 的方程为x =my +1,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 将直线MN 的方程代入椭圆方程x 22+y 2=1中,得(m 2+2)y 2+2my -1=0. ∵点F 2在椭圆内部,∴Δ>0,y 1+y 2=-2mm 2+2,则x 1+x 2=m (y 1+y 2)+2=4m 2+2,∴点P 的坐标(x ,y )满足x =2m 2+2,y =-mm 2+2, 消去m 得,x 2+2y 2-x =0(x ≠0).综上所述,点P 的轨迹方程为x 2+2y 2-x =0.【解析】本题主要考查椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系,考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力,以及数形结合思想,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.(1)设A (x 0,y 0),由3F 1⃗⃗⃗ +F 1⃗⃗⃗ =0得A (-43c ,-b3),代入椭圆方程,即可得出结果;(2)由题设及(1)得出椭圆方程为x 22+y 2=1,分别讨论线段MN 在x 轴上,线段MN 不在x 轴上的情况,计算即可得出结果.【备注】【方法归纳】 求椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率的方法:(1)直接求出a ,c ,求解e ,已知标准方程或a ,c 易求时,可利用离心率公式e =ca 求解;(2)变用公式,整体求e ,如利用e =√c 2a2=√a 2-b 2a 2=√1-b 2a2求解;(3)利用公式的变形e =c a=2c 2a=|F 1F 2||MF 1|+|MF 2|(点M 在椭圆上,F 1,F 2为两焦点)求解;(4)建立a ,b ,c 的齐次关系式,将b 用a ,c 表示,两边同除以a 或a 2化为e 的关系式,进而求解.16.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q .依题意得{6q =6+2d,6q 2=12+4d,解得{d =3,q =2,故a n =4+(n-1)×3=3n+1,b n =6×2n-1=3×2n . 所以,{a n }的通项公式为a n =3n+1,{b n }的通项公式为b n =3×2n . (2)(i)a 2n (c 2n -1)=a 2n (b n -1)=(3×2n +1)(3×2n -1)=9×4n -1. 所以,数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式为a 2n (c 2n -1)=9×4n -1. (ii)∑i=12na i c i =∑i=12n[a i +a i (c i -1)] =∑i=12na i +∑i=1n a 2i (c 2i -1)=[2n×4+2n (2n -1)2×3]+∑i=1n(9×4i -1)=(3×22n-1+5×2n-1)+9×4(1-4n )1-4-n=27×22n-1+5×2n-1-n-12(n ∈N *).【解析】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.【解题思路】(1)先分别设出数列{a n }的公差与数列{b n }的公比,然后利用已知条件建立方程组,求出公差与公比,最后利用公式求解即可.(2)(i)将(1)中所求结论代入,即可求出相应的通项公式;(ii)分组求和,即可得出结果.【备注】【命题分析】数列在高考命题中较为灵活,可以以较为基础的形式呈现,也可以融入较多的创新问题,但最终都离不开数列通项公式的求解、数列的求和等.从最近几年的高考来看,数列问题最终通常可以转化为我们熟悉的等差数列或等比数列问题进行求解.17.(1)解法一 ∵|F 1F 2|=4√3,∴c =2√3,F 1(-2√3,0),F 2(2√3,0). 由椭圆的定义可得2a =√3√3)√132+√3-2√3)√132=√1214+√254=112+52=8,解得a =4,∴e =2√34=√32,b 2=16-12=4, ∴椭圆C 的标准方程为x 216+y 24=1.解法二 ∵|F 1F 2|=4√3,∴c =2√3,椭圆C 的左焦点为F 1(-2√3,0),故a 2-b 2=12, 又点 A (√3,-√132)在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上,则3b 2+12+134b 2=1,化简得4b 4+23b 2-156=0,得b 2=4,故a 2=16,∴e =2√34=√32,椭圆C 的标准方程为x 216+y 24=1.(2)由(1)知M (4,0),N (0,2),设椭圆上任一点T (x 0,y 0)(x 0≠±4且x 0≠0),则x 0216+y 024=1.直线TM :y =y 0x-4(x -4),令x =0,得y P =-4y 0x0-4,∴|PN |=|2+4y 0x0-4|.直线TN :y =y 0-2x 0x +2,令y =0,得x Q =-2xy 0-2,∴|QM |=|4+2x 0y 0-2|.|PN |·|QM |=|2+4y 0x 0-4|·|4+2x 0y 0-2|=|2x 0+4y 0-8x 0-4|·|2x 0+4y 0-8y 0-2|=4|x 02+4y 02+4x 0y 0-8x 0-16y 0+16x 0y 0-2x 0-4y 0+8|,由x 0216+y 024=1可得x 02+4y 02=16,代入上式得|PN |·|QM |=16, 故|PN |·|QM |为定值.【解析】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程等基础知识,考查定值问题,考查推理论证能力、运算求解能力.(1)考虑两种方法解决;(2)分别先得到|PN |与|QM |的表达式,再结合条件证明即可【备注】【规律总结】在直线与椭圆相交背景下求面积的最值,定值、定点问题是高考的热点问题,将直线方程与椭圆方程联立后利用根与系数的关系以及点到直线的距离公式建立目标函数,将面积问题转化为求函数的最值问题是常规解法,应当熟练掌握,同时,需提高整体代换的意识,通过换元等方法优化和提高运算的能力18.(1)X =2就是10∶10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P (X =2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.(2)X =4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.【解析】本题主要考查互斥事件的概率、相互独立事件的概率,意在考查考生的逻辑思维能力、数据获取与处理能力、运算求解能力,考查的核心素养是逻辑推理、数学建模、数学运算.(1)由题意知P (X =2)包括甲获胜的概率与乙获胜的概率,则利用互斥事件的概率公式求解即可;(2)利用相互独立事件与互斥事件的概率公式计算即可.【备注】【方法技巧】求较复杂事件的概率问题,解题关键是理解题目的实际含义,把实际问题转化为概率模型,必要时先将所求事件转化成互斥事件的和,或者求其对立事件的概率,再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.19.(1)解法一 设|F 1F 2|=2c ,则c 2=a 2-1,不妨设P 在x 轴上方(如图).当P 在x 轴上的射影为F 2时,P (c ,1a),F 1(-c ,0),F 2(c ,0),所以直线PF 1的方程为x -2acy +c =0.因为|OF 2|=2|OM |,所以|OM |=|MF 2|=c2,所以点M 的坐标为(c2,0). 则点M 到直线PF 1的距离为d =|c 2+c|√1+4a 2c 2=2√1+4a 2c 2.因为PM 平分∠F 1PF 2,PF 2⊥F 1F 2,所以d =|MF 2|,即2√1+4a 2c2=c2,化简得a 2c 2=2,所以a 2(a 2-1)=2,解得a 2=2.所以C 的方程为x 22+y 2=1. 解法二 设|F 1F 2|=2c ,则c 2=a 2-1.当P 在x 轴上的射影为F 2时,因为|OF 2|=2|OM |,所以|OM |=c 2,所以|MF 1|=32c ,|MF 2|=12c . 在△PMF 1中,|MF 1|sin∠MPF 1=|PF 1|sin∠PMF 1,在△PMF 2中,|MF 2|sin∠MPF 2=|PF 2|sin∠PMF 2,因为∠PMF 1=180°-∠PMF 2,所以sin∠PMF 1=sin∠PMF 2,又∠MPF 1=∠MPF 2,所以|MF 1||MF 2|=|PF 1||PF 2|,故|PF 1|=3|PF 2|. 因为|PF 1|+|PF 2|=2a , 所以|PF 1|=32a ,|PF 2|=12a .由|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2,得(32a )2=(12a )2+(2c )2,化简得2c 2=a 2,所以2(a 2-1)=a 2,解得a 2=2, 所以C 的方程为x 22+y 2=1.解法三 设|F 1F 2|=2c ,则c 2=a 2-1.当点P 在x 轴上的射影为F 2时,如图,P (c ,±1a ).所以|PF 2|=1a.因为PF 2⊥F 1F 2,所以tan∠F 1PF 2=|F 1F 2||PF 2|=2ac .因为|OF 2|=2|OM |,所以|MF 2|=c 2,tan∠MPF 2=|MF 2||PF 2|=ac 2. 因为PM 平分∠F 1PF 2,所以tan∠F 1PF 2=2tan∠MPF 21-tan 2∠MPF 2,即2ac =2×ac 21-(ac 2)2,化简得a 2c 2=2,所以a 2(a 2-1)=2,解得a 2=2. 所以C 的方程为x 22+y 2=1.解法四 设|F 1F 2|=2c ,则c 2=a 2-1.当P 在x 轴上的射影为F 2时,P (c ,±1a),所以|PF 2|=1a.因为|OF 2|=2|OM |,所以|F 1M |=3|MF 2|,所以S △PF 1M =3S △PMF 2, 即12|PF 1|·|PM |sin∠F 1PM =32|PF 2|·|PM |sin∠F 2PM ,因为∠F 1PM =∠F 2PM ,所以|PF 1|=3|PF 2|. 又因为|PF 1|+|PF 2|=2a ,所以|PF 2|=a2, 所以a 2=1a ,解得a 2=2. 所以C 的方程为x 22+y 2=1.(2)除点P 外,直线PQ 与C 无其他公共点. 理由如下:如图,设P (x 0,y 0)(y 0≠0),则x 022+y 02=1,即y 02=1-x 022.设Q (2,y Q ),则Q ⃗ =(-1,-y Q ),P ⃗ =(1-x 0,-y 0),由QF 2⊥PF 2,得Q ⃗ ·P ⃗ =0, 所以x 0-1+y 0y Q =0,即y Q =1-x 0y 0.所以k PQ =1-x 0y 0-y 02-x 0=y 02+x 0-1(x0-2)y 0=(1-x 022)+(x 0-1)(x 0-2)y 0=-x02y 0,所以直线PQ 的方程为y -y 0=-x 02y 0(x -x 0),即2y 0y -2y 02=-x 0x +x 02,即x 0x +2y 0y -2=0. 由{x 0x +2y 0y-2=0x 2+2y 2=2,得(x 02+2y 02)y 2-4y 0y +(2-x 02)=0, 即y 2-2y 0y +y 02=0.因为Δ=(2y 0)2-4y 02=0,所以除点P 外,直线PQ 与C 无其他公共点.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识,考查运算求解能力、逻辑推理能力,考查数形结合思想、化归与转化思想等. 【备注】无20.(1)如图,取AD 的中点E ,连接PE ,BE ,BD ,∵PA =PD , ∴PE ⊥AD.∵底面ABCD 为菱形,且∠BAD =60°, ∴△ABD 为等边三角形, ∴BE ⊥AD.∵PE ∩BE =E , PE ,BE ⊂平面PBE , ∴AD ⊥平面PEB ,∴AD ⊥PB. ∵AD ∥BC ,∴BC ⊥PB. (2)设AB =2,则AB =PB =AD =2,BE =√3, ∵PA ⊥PD ,E 为AD 的中点, ∴PA =√2,PE =1,∴PE 2+BE 2=PB 2,∴PE ⊥BE.以E 为坐标原点,分别以EA ,EB ,EP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (1,0,0),B (0,√3,0) ,P (0,0,1),C (-2,√3,0),∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-√3,1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,0). 设平面PAB 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),∵{n 1·AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴{-x 1+√3y 1=0,-x 1+z 1=0,令x 1=1得z 1=1,y 1=√33,∴n 1=(1,√33,1).设平面BPC 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),则{n 2·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴{-√3y 2+z 2=0,-2x 2=0, 令y 2=-1,得x 2=0,z 2=-√3,即n 2=(0,-1,-√3).∴n 1·n2|n 1|·|n 2|=-2√77. 设二面角A -PB -C 的平面角为θ,由图可知,θ为钝角, 则cos θ=-2√77.【解析】无【备注】【易错警示】 求二面角的值的易错点是:(1)求平面的法向量出错;(2)公式用错,把线面角的向量公式与二面角的向量公式搞混,导致结果出错.注意,二面角的取值范围为[0,π].。
高中数学概率与统计综合练习题
高中数学概率与统计综合练习题1.某省重点中学随机抽取了120名高二学生，并记录了他们的身高情况。
现在需要完成以下两个问题：（1）根据数据填写频率分布表和频率分布直方图；（2）从身高在180cm到190cm之间的学生中随机抽取两名学生，求身高至少为185cm 的概率。
2.为了更好地落实新课改和增加研究性研究的有效性，某校采用分层抽样的方法从三个研究小组（A、B、C）中抽取了若干名学生进行调研。
下表给出了调研结果（单位：人）。
现在需要完成以下两个问题：（1）求出表中x和y的值；（2）从B、C两个研究小组中随机抽取两名学生，求他们都来自C研究小组的概率。
3.教育部门主办了全国中学生航模竞赛，分为预赛和决赛两个阶段。
决赛中，甲、乙、丙和丁四支队伍按照抽签方式决定出场顺序。
现在需要完成以下两个问题：（1）求出甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（2）求出甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率。
4.学校推荐了40名文科生参加某著名高校的自主招生考试，其中男生10名，女生30名。
为了进行培训，采用了分层抽样的方法，从中选出了一个4人小组。
现在需要完成以下三个问题：（1）求40名学生中某个同学被选入培训小组的概率，并求出培训小组中男、女同学的人数；（2）经过一个月的培训，小组决定选出两名同学进行模拟面试。
方法是先从小组中选出一名同学进行面试，然后从剩下的同学中再选一名进行面试。
求选出的同学中恰好有一名男同学的概率；（3）每个同学回答了难度相当的5个问题并得到了相应的评分。
第一个同学的分数为68、70、71、72、74，第二个同学的分数为69、70、70、72、74.请问哪个同学的成绩更稳定？说明理由。
5.下表给出了黄种人群中各种血型的人所占比例。
35.已知同种血型的人可以输血。
O型血可以输给任何血型的人，任何血型的人都可以输给AB型血。
其他不同血型的人不能互相输血。
小明是B型血，如果小明因病需要输血，问：(1)任意找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任意找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？6.某培训班共有n名学生，现将一次某学科考试成绩（单位:分）绘制成频率分布直方图，如图所示。