河南省洛阳市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 理
洛阳市2019—2020学年第一学期期末考试
高二数学试卷(理）
本试卷分第I 卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至 4页.共150分.考试时间120分钟.
第I 卷(选择题，共60分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.
2.考试结束，将答题卡交回.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知不等式: 02
≤++b ax x 的解集为[2,3]，则=+b a
A. - 1
B. 1
C. -2
D. 2 2.已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若18975=++a a a ,则=13S
A. 39
B. 78
C. 117
D. 156
3.若b<a<0,给出下列不等式:①ab 1<1b a +；②0>b |a |+;③b 1-b >a 1-a ；④22lgb >ga l .其中正确的不等式是
A.①④
B.②③
C.①③
D.②④
4.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北45°(即∠BAC = 45°)的方向上，行驶600Wni 后到达B 处.测得此山顶在北偏东15°(即∠ABC =75°）的方向上，仰角∠DBC =30°，则此山的高度CD =
A.m 3800
B.m 3600
C. m 3400
D.m 3200
5.设n m ,为非零向量，则“0 >n m ⋅”是“存在正数λ，使得n m λ=，的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.设21F ,F 分别是椭圆C ：0)>b >(122
22a b
y a x =+的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在x 轴上，若02145F =∠PF ，则椭圆的离心率为
A. 12-
B. 12+
C. 2
12- D. 212+ 7.若变量y x ,,满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥≤+012y x y x ，则x y 1+的取值范围是 A. [0，1] B.[ 21，1] C.[l ，2] D. [2
1,2] 8.已知双曲线0)>b 0,>(122
22a b
y a x =-的渐近线被圆C: 01222=-+x y x 截得的弦长为8,双曲线的右焦点为C 的圆心，则该双曲线的方程为
A. 1162022=-y x
B. 120162
2=-y x
C. 1241222=-y x
D.
112242
2=-y x 9.已知直三棱柱111C B A ABC -中，0120=∠ABC = 120°,AB = 2，BC = CC 1 = 1,则异面直线AB 1与SC 1所成角的正弦值为
A. 21
B. 510 C . 515 D. 36
10.已知F 是椭圆M: 1716
2
2=+y x 的右焦点，A ，B 是椭圆M 上关于原点O 对称的两点，若0=⋅,则△FAB 的内切圆面积为
A. π5
B. π4
C. π2
D.
π
11.已知数列{n a }满足)(2,111*+∈==N n a a a n n n ,n S 是数列{n a }的前n 项和，则
A. 201920202=a
B.
202020202=a C. 3210102020-=a D. )12(310102020-=a
12.正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，平面''''D C B A 内的一动点P 满足到点A ’的距离与到线段''D C 的距离相等，则线段PA 长度的最小值为
A. 25
B. 56
C. 27
D.
2 第II 卷（非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共20分.
13.若命题“R x ∈∃0，使得052020≤+++m mx x ”为假命题，则实数m 的取值范围是 .
14.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ac c b a 3222=-+，则角B 的值
为 .
15.太极图被称为“中华第一图从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物，太极图无不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”。
在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用不等式组
⎪⎩
⎪⎨⎧≥++≤≤+1)1(0
422y x x y x 或1)1(22≥++y x 来表示，设),(y x 是阴影中任意一点，则y x +的最大值为 .
16.过抛物线x y 42
=的焦点F 且倾斜角为60°的直线交抛物线于A ，B 两点，以AF 为直径的圆分别与y 轴相切于点M ，N ，则|MW |= . 三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分）
已知全集U= R ，非空集合 A ={0 <)]13()[2(|+--a x x x },B = {2a < <|2+x a x }，记B x q A x p ∈∈:, :，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.
18.(本小题满分12分）
设等比数列{n a }的前n 项和为n S ,已知42,663=-=S S .
(1)求n n S a ⋅；
(2)证明21,,++n n n S S S 成等差数列.
19. (本小题满分12分）
在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别a,b,c,为设BC 边上的中线AD = m ， 且2242m bc a =+.
(1)求BAC ∠;
(2)若4=a ,求△ABC 的周长的取值范围.
20.(本小题满分12分)
已知拋物线C:x y 82
=的焦点为F ，过点E(-2,0)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D.
(1)证明：直线经过点F;
(2)设0=⋅FB FA ,求直线l 的方程.
21.(本小题满分12分）
如图，三棱柱111C B A ABC -的所有棱长均为2，底面ABC⊥
侧面01160=B AA ，P 为1CC 的中点，011=B A AB I .
(1)证明：P A AB 11⊥；
(2)若M 是棱AC 上一点，满足∠MOP = 45°，求二面角M —-A 的余弦值.
22.(本小题满分12分） 已知F(2,0)为椭圆C: 0)>b 0,>(122
22a b
y a x =+的右顶点，动点M 在椭圆C 的长轴上，过点M 且不与x 轴重合的直线交椭圆C 于A ，B 两点.当点M 与坐标原点0重合时，直线PA ,PB 的斜率乘积为4
1-. (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若MB AM 2=，求△OAB 面积的最大值.。
洛阳市2019-2020学年上学期期末考试高二数学答案(文科)
00/分 %
当@
2 " 时 #"'
垂直平分线的方程为'.*(!!@#! *#"#&
# @
!$&(!!@!!@*#""#
令.
# "#$
#
(!!@@! *#"#
#- # ( !@*
#%%% @
0 0$ 分
当@
"
"
时
#$
#
@ (!!@! *#""
"#
0 0#" 分
当@
/
"#时 #!@*
# @
! !槡!#那 么 $
<%(*)#!槡.#%=%() ##!
0 0#" 分
高 二 数 学 !文 "答 案 % 第# 页 % !共 - 页 "% !!"!"%"#"
= % ("'/
的 面 积+
#
# !()928"
#
# !
C#C
槡(
!
#
槡-(!% %
00 #!分
#$!解'!#"设 等 比 数 列 %-,&的 首 项 为 -##公 比 为 >#由 题 意 知 > 2 ##则
0 0- 分 0 0' 分
!!"08!$"# #& $-
#
$&-# $
0 0. 分
当- $"时#%<%$ /"#%=%08!$"/"恒成立#
=%0!$"在定义域!"#* 4"上单调递增*
河南省洛阳市2019-2020学年高二下学期期中考试数学(文)试题 Word版含解析
洛阳市2019——2020学年第二学期期中考试高二数学试卷（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卷上.2.考试结束，将答题卷交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足1i z i ⋅=+，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A. iB. i -C. 1D. 1-【★答案★】C 【解析】 【分析】由题意结合复数的除法法则可得1z i =-，再根据共轭复数、复数虚部的概念即可得解. 【详解】由题意()()21111i ii z i i i i +⋅+===--=-， 所以z 的共轭复数1z i =+，则z 的共轭复数的虚部为1. 故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算，考查了共轭复数及复数虚部的概念，属于基础题. 2.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确．．的是( ) A. 假设三内角都不大于60° B. 假设三内角都大于60° C. 假设三内角至多有一个大于60° D. 假设三内角至多有两个大于60°【★答案★】B 【解析】 【分析】“至少有一个”的否定变换为“一个都没有”，即可求出结论. 【详解】“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时， 反设是假设三内角都大于60︒. 故选：B.【点睛】本题考查反证法的概念，注意逻辑用语的否定，属于基础题.3.对下列三种图像，正确的表述为（）A. 它们都是流程图B. 它们都是结构图C. （1）、（2）是流程图，（3）是结构图D. （1）是流程图，（2）、（3）是结构图【★答案★】C【解析】试题分析：根据流程图和结构图的定义分别判断三种图形是流程图还是结构图．解：（1）表示的是借书和还书的流程，所以（1）是流程图．（2）表示学习指数函数的一个流程，所以（2）是流程图．（3）表示的是数学知识的分布结构，所以（3）是结构图．故选C．点评：本题主要考查结构图和流程图的识别和判断，属于基础题型．4.有线性相关关系的变量,x y有观测数据(,)(1,2, (15)i ix y i=，已知它们之间的线性回归方程是ˆ511y x=+，若15118 iix ==∑，则151iiy ==∑（）A. 17B. 86C. 101D. 255【★答案★】D【解析】【分析】先计算181.215x==，代入回归直线方程，可得5 1.21117y=⨯+=，从而可求得结果.【详解】因为15118 iix ==∑，所以18 1.215x==，代入回归直线方程可求得5 1.21117y=⨯+=，所以1511715255 iiy==⨯=∑，故选D.【点睛】该题考查的是有关回归直线的问题，涉及到的知识点有回归直线一定会过样本中心点，利用相关公式求得结果，属于简单题目.5. 分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【★答案★】A 【解析】试题分析：本题考查的分析法和综合法的定义，根据定义分析法是从从求证的结论出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．我们易得★答案★． 解：∵分析法是逆向逐步找这个结论成立需要具备的充分条件； ∴分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的充分条件 故选A点评：分析法──通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法，也称为因果分析，从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． 6.有一段演绎推理：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线∥平面，则∥”的结论显然是错误的，这是因为（ ）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 非以上错误【★答案★】A 【解析】演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导，得出具体陈述或个别结论的过程，演绎推理一般有三段论形式，本题中直线平行于平面，则平行于平面内所有直线是大前提，它是错误的. 考点：演绎推理.7.如图：图O 内切于正三角形ABC ，则3ABCOABOACOBCOBCSSSSS=++=⋅，即11||3||22BC h r BC ⋅⋅=⋅⋅⋅，3h r =，从而得到结论：“正三角形的高等于它的内切圆的半径的3倍”；类比该结论到正四面体，可得到结论：“正四面体的高等于它的内切球的半径的a 倍”，则实数a =（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【★答案★】B 【解析】 【分析】利用等体积，即可得出结论.【详解】解：设正四面体的高为h ，底面积为S ，内切球的半径为r ， 则11433V Sh Sr ==⋅， 4h r ∴=，则4a =. 故选：B.【点睛】本题考查类比推理，考查等体积方法的运用，考查学生的计算能力，比较基础. 8.观察下列各式，1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，…，则99a b +=（ ） A. 47 B. 76 C. 121 D. 123【★答案★】B 【解析】 【分析】根据题目所给等式，归纳出正确结论.【详解】根据题目所给等式可知：667771118,111829a b a b +=+=+=+=，88182947a b +=+=，99294776a b +=+=.故选：B【点睛】本小题主要考查合情推理，属于基础题. 9.若5P a a =++，23Q a a =+++（0a ≥），则P ，Q 的大小关系是（ ）A. P Q <B. P Q =C. P Q >D. P ，Q 的大小由a 的取值确定 【★答案★】A 【解析】∵()()()22222525[252232556P Q a a a a a a a a a a -=+++-++++=+-++（）且22556a a a a +<++ ，∴22P Q <，又,0P Q >，∴P Q <，故选C.10.阅读如图所示的程序框图，若输入2020m =，则输出S 为输出（ ）A. 22020B. 21009C. 21010D. 21011【★答案★】D 【解析】 【分析】运行程序，根据循环结构程序框图计算出输出的结果.【详解】运行程序，2020m =，0,1S i ==，1S =，判断是，3,13i S ==+，判断是，……，2019,0132019i S ==++++，判断是，2021,132021i S ==+++，判断否，输出212021132021*********S +=+++=⨯=. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据程序框图计算输出结果，属于基础题.11.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义．如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于－种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．若在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A.928B.1928C.2764D.3764【★答案★】C 【解析】 【分析】根据图①,②,③归纳得出阴影部分的面积与大三角形的面积之比,再用几何概型的概率公式可得★答案★.【详解】依题意可得:图①中阴影部分的面积等于大三角形的面积,图②中阴影部分的面积是大三角形面积的34, 图③中阴影部分的面积是大三角形面积的916, 归纳可得,图④中阴影部分的面积是大三角形面积的2764, 所以根据几何概型的概率公式可得在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为2764. 故选:C【点睛】本题考查了归纳推理,考查了几何概型的概率公式,属于基础题.12.已知复数z 满|12||2|22z i z i ---++=（i 是虚数单位），若在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 的轨迹为（ ）A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 两条射线D. 一条射线【★答案★】B 【解析】 【分析】利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，得出等式的几何意义，结合双曲线的定义，即可求解.【详解】因为复数z 满|12||2|22z i z i ---++=（i 是虚数单位）， 在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 到点(1,2)的距离减去到点(2,1)--的距离之差等于22， 而点(1,2)与点(2,1)--之间的距离为32，根据双曲线的定义，可得点Z 表示(1,2)和(2,1)--为焦点的双曲线的一支. 故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义及其应用，其中解答中根据复数模的几何意义，结合双曲线的定义求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.设复数1z i =+，则22||z z-=___________. 【★答案★】5 【解析】 【分析】利用复数运算化简得到2212z i z-=--，再计算复数模得到★答案★. 【详解】1z i =+，则()()()222211111222i i z i i i i i z -=-+=-+=---=--+， 则2222215z z-=+=.故★答案★为：5.【点睛】本题考查了复数的计算，复数的模，意在考查学生的计算能力和转化能力. 14.我们知道：在平面内，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为0022Ax By C d A B++=+，通过类比的方法，可求得在空间中，点()2,4,1到平面2310x y z +++=的距离为___________. 【★答案★】14 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式类比到空间点()000,,x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离为000222Ax By Cz Dd A B C+++=++，进而可求得点()2,4,1到平面2310x y z +++=的距离.【详解】在平面内，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为0022Ax By C d A B++=+，类比到空间中，则点()000,,x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离为000222Ax By Cz Dd A B C+++=++，因此，点()2,4,1到平面2310x y z +++=的距离为22222431114123d +⨯+⨯+==++.故★答案★为：14.【点睛】本题考查类比推理，考查点到平面的距离的计算，考查推理能力与计算能力，属于基础题. 15.设11()()()()11n ni i f n n i N i+-=+∈-+，则集合{|()}x x f n =的子集个数是___________. 【★答案★】8 【解析】 【分析】化简得到()()()nni f n i =+-，计算结合复数乘方的周期性得到{}{}|()2,0,2x x f n ==-，得到★答案★.【详解】()()()()()()()()22111()()()()()1111111n nn n n n i i i f n i i i i i i i i i -+-=+=+-+-=+-++-+， ()()0(0)2i f i =+-=，()()11(1)0i f i =+-=，()()22(2)2i f i =+-=-， ()()33(3)0i f i =+-=，()()44(4)2i f i =+-=，根据n i 的周期性知{}{}|()2,0,2x x f n ==-，子集个数为328=.故★答案★为：8. 【点睛】本题考查了复数的运算，集合的子集，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，周期性的利用是解题的关键. 16.给出下列命题：①线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； ②用2R 来刻画回归效果，2R 越大，说明模型的拟合效果越好；③根据22⨯列联表中的数据计算得出的2K 的值越大，两类变量相关的可能性就越大； ④在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；⑤从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．其中真命题的序号是_______． 【★答案★】②③④ 【解析】 【分析】根据“残差”的意义､线性相关系数和相关指数的意义等统计学知识，逐项判断，即可作出正确的判断．【详解】对①，根据线性相关系数r 的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故①错误；对②，根据用相关指数2R 刻画回归的效果时， 2R 的值越大说明模型的拟合效果就越好，故②正确；对③，2×2列联表中的数据计算得出的2K 越大，“X 与Y 有关系”可信程度越大，相关性就越大，故③正确；对④，根据比较模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果就越好，故④正确；对⑤，新产品没有明显差异，抽取时间间隔相同，故属于系统抽样，故⑤错误. 综上所述，正确的是②③④. 故★答案★为：②③④【点睛】本题解题关键是掌握统计学的基本概念和“残差”的意义､线性相关系数和相关指数的意义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知m 为实数，设复数22(56)(253)z m m m m i =++++-. （1）当复数z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z 对应的点在直线70x y -+=的上方，求m 的取值范围. 【★答案★】（1）2-.（2）(,4)(4,)-∞-⋃+∞ 【解析】【分析】（1）直接根据复数的类型得到方程，解得★答案★.（2）直线70x y -+=的上方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+<，代入数据解不等式得到★答案★.【详解】（1）由题意得：225602530,m m m m ⎧++=⎨+-≠⎩，解得2m =-.（2）复数z 对应的点的坐标为()2256,253m m m m +++-， 直线70x y -+=的上方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+<， 即：22(56)(253)70m m m m +-+-+<+，解得4m >或4m <-， ∴m 的取值范围为(,4)(4,)-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查了根据复数的类型和复数的对应点的位置求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.18.（1）已知0a b ≥>，求证：332222a b ab a b -≥-；（2）若x ，y 都是正实数，且2x y +>，用反证法证明：12x y +<与12yx+<中至少有一个成立. 【★答案★】（1）证明见解析.（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用作差法即可证明.（2）假设12x y +≥，12yx+≥，从而可得12x y +≥，12y x +≥，两不等式相加即可找出矛盾点，即证.【详解】（1）33222222222()()a b ab a b a a b b a b --+=-+-()()(2)a b a b a b =-++，∵0a b ≥>，∴0a b -≥，0a b +>，20a b +>， 从而：()()()20a b a b a b -++≥，∴332222a b ab a b -≥-.（2）假设12x y +≥，12yx+≥， 则12x y +≥，12y x +≥，所以1122x y y x +++≥+，所以2x y ≥+， 与条件2x y +>矛盾，所以假设不成立，即12x y +<与12yx+<中至少有一个成立. 【点睛】本题考查了作差法证明不等式、反证法，反证法关键找出矛盾，属于基础题.19. 为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）.以下茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩．（1）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请画出下面的22⨯列联表． 甲班 乙班 合计 优秀 不优秀 合计（2）判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．下面临界值表仅供参考：0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++【★答案★】（1）表格解析；（2）有97.5％的把握认为成绩优秀与教学方式有关．【解析】试题分析：解题思路：（1）根据茎叶图中的数据，按不同区间进行填表即可；（2）利用公式求值，结合临界值表进行判断.规律总结：以图表给出的统计题目一般难度不大，主要考查频率直方图、茎叶图、频率分布表给出；利用列联表判定两个变量间的相关性，要正确列出或补充完整列联表，利用公式求值，结合临界值表进行判断.试题解析:（1）甲班乙班合计优秀 6 14 20不优秀14 6 20合计20 20 40（2）=因此，我们有97.5％的把握认为成绩优秀与教学方式有关. 考点：1.茎叶图；2.独立性检验. 20.数列{}n a 中，11a =，*13()3nn na a a N n +=+∈ （1）求234,,a a a ，猜想数列{}n a 的通项公式; （2）证明：数列1{}na 是等差数列. 【★答案★】（1）234331,,452a a a ===，32n a n =+；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据*1131,()3nn na a n a a +==∈+N ，分别令1,2,3n =，即可求解234,,a a a 的值，猜想得出数列的通项公式； （2）由*13()3n n na a n a +=+∈N ，得到11113n n a a +=+，利用等差数列的定义，即可得到证明. 【详解】（1）由题意，数列{}n a 中，11a =，*13()3nn na a n a +=+∈N ， 令1n =，可得1213333314a a a ===++； 令2n =，可得2323335a a a ==+； 令3n =，可得343331362a a a ===+； 所以234331,,452a a a ===， 猜想：数列{}n a 的通项公式32n a n =+.（2）由*13()3n nn a a n a +=+∈N ，可得1131133n n n n a a a a ++==+，即11113n n a a +-=（常数）， 又由11a =，所以111a ，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以13为公差的是等差数列. 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及利用等差数列的定义的应用，考查了推理与运算能力，属于基础题.21.已知点()1,2A 是椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>上的一点，椭圆C 的离心率与双曲线221x y -=的离心率互为倒数，斜率为2直线l 交椭圆C 于B ，D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合．（1）求椭圆C 的方程；（2）若12,k k 分别为直线AB ，AD 的斜率，求证：12k k +为定值．【★答案★】（1）22142y x +=（2）详见解析【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义和几何性质，建立方程，即可求椭圆C 的方程； （2）设直线BD 的方程为2y x m =+，代入椭圆方程，设D （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB 、AD 的斜率分别为：,AB AD k k ，则12122211AB AD y y x x k k +=--+--，由此导出结果.【详解】（1）由题意，可得e =c a =22，代入A （1，2）得22211a b+=， 又222a b c =+，解得2,2a b c ===，所以椭圆C 的方程22142y x +=． （2）证明：设直线BD 的方程为y =2x +m ，又A 、B 、D 三点不重合，∴0m ≠， 设D （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由22224y x m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得4x 2+22mx +m 2-4=0 所以△=-8m 2+64＞0，所以22-＜m ＜22．x 1+x 2=-22m ，21244m x x -⋅=设直线AB 、AD 的斜率分别为：k AB 、k AD ， 则k AD +k AB =121212121222222111y y x x m x x x x x x --+-+=+⋅----+=2222222222042142m m m m --+⋅=-=-++ 所以k AD +k AB =0，即直线AB ，AD 的斜率之和为定值．【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解．直线与椭圆的位置关系，直线斜率坐标公式，属于中档题目. 22.已知函数()ln 1f x x ax =-+．（1）若曲线()y f x =在点()1,(1)A f 处的切线l 与直线4330x y +-=垂直，求实数a 的值；（2）若()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：()111ln(1)231n n N n *+>++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∈+ 【★答案★】（1）14a =（2） 1.a ≥（3）证明见解析【解析】【详解】试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在点()1,(1)A f 处的切线方程，注意这个点的切点；（2）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：()a f x ≥恒成立max ()a f x ⇔≥，()a f x ≤恒成立min ()a f x ⇔≤；（3）证明不等式，注意应用前几问的结论. 试题解析：（1）函数的定义域为()10,,()f x a x+∞'=-， 所以()11f a '=-，又切线l 与直线4330x y +-=垂直， 所以切线l 斜率为34，从而314a -=，解得14a = ,（2）若0a ≤，则()10,f x a x->'=则()f x 在()0,∞+上是增函数 而()()11,0f a f x =-≤不成立，故0.a >若0a >，则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()10f x a x '=->； 当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()10.f x a x -<'=所以()f x 在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，在1,a⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是减函数,所以()f x 的最大值为1ln .f a a ⎛⎫=-⎪⎝⎭要使()0f x ≤恒成立，只需ln 0a -≤，解得 1.a ≥（3）由（2）知，当1a =时，有()0f x ≤在()0,∞+上恒成立， 且()f x 在(]0,1上是增函数，()10f =所以ln 1x x <-在(]0,1x ∈上恒成立 .令1n x n =+，则1ln1,111n n n n n <-=-+++ 令1,2,3......,n n =则有11211ln,ln ,......,ln .223311n n n <-<-<-++ 以上各式两边分别相加， 得12111lnln ......ln .......231231n n n ⎛⎫+++<-+++ ⎪++⎝⎭ 即1111ln......,1231n n ⎛⎫<-+++ ⎪++⎝⎭故()111ln 1 (231)n n +>++++ 考点：（1）求切线方程；（2）函数在闭区间上恒成立的问题；（3）不等式证明.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
河南省洛阳市2022-2023学年高二上学期期中考试理科数学试卷(含答案)
(3) 已知点的坐标为（5,3)，点在曲线 ′ 上运动，求线段的中点的轨迹方程.
22. (12 分）
如图，长方体 — 1 1 1 1 中， = 2 = 21 ，
点在棱上且1 丄平面1 1
(1)求 的值
21. ( 12 分）
已知两定点 (-4,0)， (-1，0)，动点 满足 | | = 2 ||，直线 :(2 + 1) + ( + 1) −
5 − 3 = 0.
(1) 求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
(2) 记动点的轨迹为曲线，把曲线向右平移 1 个单位长度，向上平移 1 个单位长度后得到曲线 ′ ，
反射光线所在直线的方程.
20. (12 分)
在直角梯形 中， //， = 2 = 2 =2 2，∠ = 900 如图（1). 把△沿
翻折，使得平面 ⊥平面，如图（2).
(1) 求证: ⊥ ;
(2) 若为线段的中点，求点到平面的距离.
所成角的余弦值为
A.
6
B.
3
3
C.
3
15
D.
5
10
5
12. 若圆 2 + 2 − 4 − 4 − 10 = 0至少有三个不同的点到直线: = 的距离为 2 2，则直线的倾斜角
的取值范围是
A.[ 12 , 4 ]
5
B. [ 12 , 12 ]
C. [ 6 , 3 ]
B. - 5
C. 10
D. -10
2.已知（4,1,9)，(2,4,3)，则线段的长为
A. 39
B.7
河南省洛阳市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 文
洛阳市2019—2020学年第一学期期末考试高二数学试卷（文）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.第I 卷(选择题，共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2.考试结束，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小題给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A = {0352|2≥--x x x },B = {2 <|| |x x }，则=B A I A.{2 <21|x x ≤-} B.{ 2- <x 或3≥x } C.{21- <2|x x ≤-} D.{21 x <2|-≤-x } 2.在下列四个命题中：①“若b= 3，则b 2= 9”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“c < 1”是“022=++c x x 有实根”的充分不必要条件；④“若A B A =Y ，则B A ⊆的逆否命题.其中真命题的个数为A. 1B. 2C. 3D.4 3.设n S 是等差数列{n a }的前n 项和，且==++9472,122S a a aA. 3B.27C. 54D. 36 4.双曲线的实半轴长为4,焦距为10,则此双曲线的标准方程为A. 1168422=-y xB. 191622=-y xC. 191622=-x y 或191622=-y xD.1841622=-y x 或1841622=-x y5.在 △ABC 中，已知 A = 60°, 2,32==b a ，则 B =A. 30°B.60°C. 30°或150°D. 60°或120°6.已知函数13)(2++=x x x f ，则x f x f x ∆-∆+→∆2)1()1(0lim A. 5 B. 25 C.- 5 D. 25-7.已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥-042201y x y x x ，若x y z 1-=，则z 的取值范围为 A. [23-，2] B.),2[]23,(+∞-∞Y C. ]2,101[- D. ]101,23[-- 8.设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且m b ⊥，则“βα⊥”是“b a ⊥”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1≥+++b a c c a b ，则角A 的取值范围是A.(0，6π]B. (0, 3π]C. )2,6[ππD. ),3[ππ 10.已知F 是椭圆M ：171622=+y x 的右焦点，A,B 是椭圆M 上关于原点O 对称的两点，若0=⋅, 则△FAB 的内切圆面积为A. π5B. π4C. π2D.π11.已知等比数列{n a }的各项都为正数，当3≥n 时，n n a a 224104=-，设数列{n a lg }的前n 项和为n T ,则n T 等于A. 20212020B. 20202019C. 10102019D. 20214040 12.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，其导函数为)('x f ，当0≥x 时，恒有0)()('3≤--x f x f x .则不等式0<)21()21()(33x f x x f x ++-的解集为 A. {-1<x <3|-x } B. {31-<x <1|-x } C. {-1<x |x 或31->x } D. {21-<x 2|≤-x } 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
河南省商丘市九校2018-2019学年高二上学期期末联考数学(理)试题 Word版含解析
2018-2019学年上期期末联考高二数学（理科）一.选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地）1.命题：地否定是 ( )A. B.C. D.【结果】A【思路】【思路】由全称命题地否定直接改写即可.【详解】因为全称命题地否定为特称命题,所以命题：地否定是：.【点睛】本题主要考查含有一个量词地命题地否定,一般只需要改量词和结论即可,属于基础题型.2.已知,则下面不等式成立地是 ( )A. B. C. D.【结果】B【思路】【思路】利用不等式地基本性质即可得出结果.【详解】因为,所以,所以,故选B【点睛】本题主要考查不等式地基本性质,属于基础题型.3.在单调递增地等差数列中,若,则 ( )A. －1B.C. 0D.【结果】C【思路】【思路】先设等差数列地公差为,由题中款件列出方程组,求解即可.【详解】设等差数列地公差为,因为,所以有：,解方程组得：。
故选C【点睛】本题主要考查等差数列地性质,由题意列方程组求公差和首项即可,属于基础题型.4.△ABC地内角A,B,C地对边分别为a,b,c.已知,,,则 ( )A. B. 3 C. 2 D.【结果】B【思路】【思路】由余弦定理,列出方程,直接求解即可.【详解】因为,,,由余弦定理可得：,解得或,故,选B【点睛】本题主要考查余弦定理,熟记公式即可,属于基础题型.5.设,则“”是“”地 ( )A. 充分而不必要款件B. 既不充分也不必要款件C. 充要款件D. 必要而不充分款件【结果】D【思路】【思路】先解不等式和不等式,然后结合充要款件地定义判断即可.【详解】由得。
由得,所以由能推出。
由不能推出,故“”是“”地必要不充分款件.故选D【点睛】本题主要考查充分款件和必要款件,结合概念直接判断即可,属于基础题型.6.曲线在点（1,1）处切线地斜率等于（）.A. B. C. 2 D. 1【结果】C【思路】试题思路：由,得,故,故切线地斜率为,故选C.考点：导数地集合意义.7.已知向量且互相垂直,则地值是 ( )A. B. 2 C. D. 1【结果】A【思路】【思路】由向量垂直,可得对应向量数量积为0,从而可求出结果.【详解】因为,所以,,又互相垂直,所以,即,即,所以;故选A【点睛】本题主要考查向量地数量积地坐标运算,属于基础题型.8.若实数x,y满足约束款件则地最大值是( )A. 2B. 0C. 1D. －4【结果】C【思路】【思路】先由约束款件作出可行域,化目标函数为直线方程地斜截式,由截距地取值范围确定目标函数地最值即可.【详解】由约束款件作出可行域如图所示,目标函数可化为,所以直线在y轴截距越小,则目标函数地值越大,由图像易知,当直线过点A时,截距最小,所以目标函数最大为.故选C【点睛】本题主要考查简单地线性规划,只需依据约束款件作出可行域,化目标函数为直线地斜截式,求在y轴截距,即可求解,属于基础题型.9.已知AB是抛物线地一款焦点弦,,则AB中点C地横坐标是 ( )A. 2B.C.D.【结果】B【思路】【思路】先设两点地坐标,由抛物线地定义表示出弦长,再由题意,即可求出中点地横坐标.【详解】设,C地横坐标为,则,因为是抛物线地一款焦点弦,所以,所以,故.故选B【点睛】本题主要考查抛物线地定义和抛物线地简单性质,只需熟记抛物线地焦点弦公式即可求解,属于基础题型.10.若不等式地解集为,那么不等式地解集为 ( )A. B.C. D.【结果】D【思路】【思路】依据题中所给地二次不等式地解集,结合三个二次地关系得到,由根与系数地关系求出地关系,再代入不等式,求解即可.【详解】因为不等式地解集为,所以和是方程地两根,且,所以,即,代入不等式整理得,因为,所以,所以,故选D【点睛】本题主要考查含参数地一圆二次不等式地解法,已知一圆二次不等式地解求参数,通常用到韦达定理来处理,难度不大.11.已知双曲线地左.右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足,则地面积为 ( )A. 1B.C.D.【结果】A【思路】【思路】由双曲线地定义可得,联立可求出地长,进而可求三角形地面积.【详解】由双曲线地定义可得,又,两式联立得：,,又,所以,即为直角三角形,所以.故选A【点睛】本题主要考查双曲线地简单性质,双曲线地焦点三角形问题,一般需要借助抛物线地性质,结合题中款件来处理,难度不大.12.若函数有两个零点,则实数a地取值范围为 ( )A. B. C. D.【结果】C【思路】【思路】先求出函数地导函数,利用导函数求出函数地最小值,再依据函数地零点和最值之间地关系即可求出参数地范围.【详解】因为函数地导函数为,令,得,所以当时,,函数单调递减。
洛阳市2019-2020学年上学期期末考试高二数学答案(理科)
洛阳市!"#$ !"!"学年第一学期期末考试高二数学试卷 理 参考答案一 选择题#*(),,--,"""")+#")*.,-.""""##+#!).*二 填空题#&!!*!##""""""#'! )""""#(!##槡!""""#)!槡'&&三 解答题#/!解)5":)"0+#;)"0-#:是;的充分条件#"6"+5-!..!分!#"当&$##$!#即$$#&时#+&'")!#"#&$##(!..&分由+5-得$!!&$##!$!#'!#解得#&#$!&*槡(!!..(分!!"当&$##&!#即$&#&时#+&?#不符合题意#舍去!..)分!&"当&$###!#即$##&时#+&'")&$###"#!(!../分由+5-得$!&$##!!$!#'!#解得*#!!$##&!..$分综上#实数$的取值范围是%*#!##&"6!#&#&*槡(!&!..#"分#0!解)!#"设等比数列'$'(的首项为$##公比为;#由题意知;7##则(&&$#!#*;&"#*;&*)()&$#!#*;)"#*;&*+,'!#..!分从而##;&&*/#即;&&*0#..'分所以;&*!#$#&*!#所以$'&!*!"'#..)分('&!*!"@%#*!*!"'&#*!*!"&*!&%#*!*!"'&!..0分!!"由!#"知#('###('#!&*!&%#*!*!"'##&*!&%#*!*!"'#!&&*!&%!*!*!"'##*!*!"'#!&&*!&%!#!@!*!"'*'@!*!"'&&*'&%#*!*!"'&&!('#..##分所以('###('#('#!成等差数列!..#!分高二数学!理"答案"第#页"!共'页""!!"!"%#"#$!解)!#"在/+-,中#7!&/!##'$!*/$789%+,-!在/+.,中#%!&/!##'$!*/$789%+,.!..!分5"%+,-#%+,.& #"6"789%+,-#789%+,.&"#6"%!#7!&!/!##!$!#"6"/!&#!!%!#7!"*#'$!!..'分5"$!#!%7&'/!#"6"$!#!%7&!%!#!7!*$!#即%!#7!*$!&%7#6"789%-+.&%!#7!*$!!%7&#!!5""#%-+.# #"6"%-+.& &!..)分!!"由$&'#%-+.& &及正弦定理得%9:2-&79:2.&'9:2&&槡0&"%&槡0&&9:2-#7&槡0&&9:2.&槡0&&9:2!! &*-"#..0分6"%#7&槡0&&9:2-#槡0&&9:2!! &*-"&槡0&&!&!9:2-#槡&!789-"&09:2!-# )"..#"分5""#-#! ")#-# )#( )##!#9:2!-# )"!##%#70!'#0&#..##分故/+-.的周长的取值范围是!0##!&!..#!分!"!!#"依题意#可设>的方程为"&/1*!!/7""!由1!&0""&/1*'!得1!*0/1##)&"#..!分则/&)'/!*)'$"#/$#或/#*#!..&分设+!"##1#"#-!"!#1!"#则,!"##*1#"#"6"1##1!&0/#1#1!&#)#..'分直线-,的方程为1*1!&1!#1#"!*"#(!"*"!"#即1*1!&01!*1#(!"*1!!0"!..(分令1&"#得"&1#1!&!#所以直线-,经过点0!!#""!..)分!!"由!#"知#"##"!&!/1#*!"#!/1!*!"&/!1##1!"*'&0/!*'#"#"!&1!#0(1!!0&'..0分5"-.0+&!"#*!#1#"#-.0-&!"!*!#1!"#高二数学!理"答案"第!页"!共'页""!!"!"%#"6"-.0+(-.0-&!"#*!"!"!*!"#1#1!&"#"!*!!"##"!"#'##)&&!*#)/!#..#"分故&!*#)/!&"#解得/&A 槡!!..##分所以>的方程为"#槡!1#!&"或"*槡!1#!&"!..#!分!#!!#"取+-的中点,#连接52#.,#5,#易证四边形52.,为平行四边形#从而528.,!..#分5"底面+-.3侧面++#-#-#底面+-.4侧面++#-#-&+-#.,3+-#.,9底面+-.#6".,3侧面++#-#-#..!分6"523侧面++#-#-!..&分又+-#9侧面++#-#-#"6"+-#352!..'分又侧面++#-#-为菱形#所以+-#3+#-#所以+-#3平面+#52!..(分因为+#29平面+#52#所以+-#3+#2!..)分!!"由!#"知#5235+##5235+#5+35+##以5为原点#建立如图所示的空间直角坐标系5*"1B !5"侧面++#-#-是边长为!的菱形#且%++#-#&)"3#6"5!"#"#""#+!"###""#-#!"#*##""#-!*槡&#"#""#.!*槡&!##!#槡&"#2!"#"#槡&"#-.52&!"#"#槡&"!../分设-.+4& -.+.! $""#得4!*槡&! ##*#! #槡& "#6"-.54&!*槡&! ##*#!#槡& "#"6"-.52--.54&& !..0分5"-.52--.54&)-.52)-)-.54)-789%452&槡&-&' !#!#*#! "!#& 槡!-槡!!#6"槡&-&' !#!#*#! "!#& 槡!-槡!!&&#解得 &#!或 &*#!舍去"#..$分6"4!*槡&'#&'#槡&!"#-#-.-&!*槡&###""#-#-.4&!*槡&'#/'#槡&!"!设平面-#-4的法向量''&!"#1#B "#由-#-.--''&"-#-.4-''&*+,"得*槡&"#1&"*槡&'"#/'1#槡&!B &*+,"#取''&!##槡&#*&"!..#"分而侧面++#-#-的一个法向量&/&!"#"##"!高二数学!理"答案"第&页"!共'页""!!"!"%#"则789#&/#''$&&/-'')/-)-)'-)&*槡&&#&!..##分又二面角4*--#*+的平面角为锐角#6"二面角4*--#*+的余弦值为槡&&#&..#!分!!!解)!#"当4与坐标原点5重合时#+#-关于原点对称#设+!""#1""#-!*""#*1""!5"2!!#""为椭圆的右顶点#"6"$&!!..#分又直线2+#2-的斜率乘积为*#'#"6"C 2+-C 2-&1"!""!*'&*#'!..!分又""!$!#1"!%!&##6"1"!&%!!#*""!$!"&%!'!'*""!"#即1"!""!*'&*%!'..&分6"%!&#!..'分6"椭圆的标准方程为"!'#1!&#!..(分!!"设4!/#""#直线+-的方程为"&D 1#/!D 7""#/0!*!#!"!由"!'#1!&#"&D 1#*+,/得!D !#'"1!#!/D 1#/!*'&"!..)分则 &'/!D !*'!D !#'"!/!*'"&#)!D !#'*/!"$"#设+!"##1#"#-!"!#1!"#则1##1!&*!/D D !#'#1#1!&/!*'D !#'!../分5"-.+4&!-.4-#"6"!/*"##*1#"&!!"!*/#1!"#"6"1#&*!1!#..0分6"/!&'D !##)$D !#'#1!&!/D D !#'..$分5"/+5-的面积(&#!)/)-)1#*1!)&&!)/1!)#6"(!&$'!/1!"!&$'-'D !##)$D !#'-#)D !!$D !#'"!'#D !"&$-#)D !!$D !#'"!#..#"分6"(&#!)D )$D !#'&#!$)D )#')D )!##当且仅当D !&'$#D &A !&时上式取等号!6"/5+-面积的最大值为#!..#!分高二数学!理"答案"第'页"!共'页""!!"!"%#"。
2019-2020洛阳高二理数期末试卷
'!设某大学的女生体重)单位12与身高(单位*3具有线性相关关系根据一组样 本数据($)$$*#!'+用最小二乘法建立的回归方程为,)*"!4&(%4&!5#则 下列结论中不正确的是
一 选 择 题 本 大 题 共 #! 小 题 每 小 题 & 分 共 )" 分 !在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 只 有 一
项是符合题目要求的!
#!已
知"
是
实数
"#$ 是 #%$
实
数 则 *+,"'
的
值为
-!# !!!!!! .!% # !!!!!! /!"!!!!! 0!槡!'
# (
/!(
*
槡!
!
0!(
*%
槡!
!
高 二 数 学 !理 "! 第! 页 ! !共 ( 页 "! !!"!"%)"
第 卷非选择题共$"分
二 填 空 题 本 大 题 共 ( 小 题 每 小 题 & 分 共 !" 分 ! #'!曲线) *(67( 在!##""处的切线方程为!!!!!! #(!我国古代数学名著,九章算术-记载'.勾股各自乘#并之#为弦 实/#用符 号表示 为
2019-2020学年河南省洛阳市高二上学期期末数学(文)试题
2019-2020学年河南省洛阳市高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}22530A x x x =--≥，{}2B x x =<，则A B =I （ ）A ．1< 22x x ⎧⎫-≤⎨⎬⎩⎭B ．{}23x x <-≥或C ．122x x ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭D ．122x x ⎧⎫-<≤-⎨⎬⎩⎭答案D分别化简集合,A B ,再求其交集即可. 解：{}{225303A x x x x =--≥=≥Q 或1}2x ≤-,{}{}222B x x x x =<=-<<,122A B x x ⎧⎫∴⋂=-<≤-⎨⎬⎩⎭故选:D.本题考查集合的运算,考查解不等式,属于简单题. 2．在下列四个命题中：①“若3b =，则29b =”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“1c <”是“220x x c ++=有实根”的充分不必要条件； ④“若A B A ⋃=，则A B ⊆”的逆否命题. 其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案A一一分析每个命题的真假性即可. 解：①原命题的逆命题为“若29b =,则3b =”,是个假命题;②原命题的否命题为“不全等的三角形,它们的面积不相等”,是个假命题;③若220x x c ++=有实根,则4401c c ∆=-≥⇒≤, 所以“1c <”是“220x x c ++=有实根”的充分不必要条件, 故其是个真命题;④若A B A ⋃=,则B A ⊆,故原命题为假命题,则其逆否命题也为假命题; 故选:A.本题考查了命题的真假性判断,结合了集合的相关性质,属于基础题.3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且274212a a a ++=，9S =（ ） A ．3 B ．27C ．54D ．36答案B利用等差中项的性质化简等式可得53a =,从而可以求出9S . 解：274212a a a ++=Q ,5412a ∴=,即53a =,195959()9292722a a a S a +⋅∴====, 故选:B.本题考查了等差中项的应用,属于简单题.4．双曲线的实半轴长为4，焦距为10，则此双曲线的标准方程为（ ）A ．2218416x y -=B ．221169x y -= C ．221169y x -=或221169x y -= D ．2211684x y -=或2211684y x -=答案C根据题意解出4,5a c ==,所以3b =,以此即可得到双曲线的方程. 解：由双曲线的实半轴长为4,焦距为10, 可得4,5a c ==,所以3b =,又双曲线的焦点可能在x 轴上,也有可能在y 轴上,所以双曲线的方程为:221169x y -=或221169y x -=, 故选:C.本题考查求双曲线的标椎方程,属于简单题.解此类题要注意焦点所在坐标轴,不要错写或者漏写方程.5．在ABC V 中，已知60A =︒，a =2b =，则B =（ ） A ．30° B ．60︒C ．30°或150︒D ．60︒或120︒答案A根据正弦定理即可求出sin B ,再利用大边对大角的性质即可确定B 的值. 解：在ABC V 中,由正弦定理sin sin a bA B=21sin sin 2B B=⇒=, 所以30B =o 或150o , 又a b >,所以A B >, 所以30B =o , 故选:A.本题考查正弦定理解三角形,属于基础题.注意出现多解问题时,要检验是否所有答案都满足题意.6．已知函数()231f x x x =++，则()()11lim2x f x f x∆→+∆-=∆（ ）A ．5B ．52 C ．5-D ．52-答案B 化简()()011lim 2x f x f x∆→+∆-∆()112f '=,因此,利用求导公式求出(1)f '即可得解. 解：()231f x x x =++,则()23f x x '=+,(1)5f '=,所以()() 011 lim2xf x fx∆→+∆-∆()()()11115lim1222xf x ffx∆→+∆-'=⋅=⋅=∆,故选:B.本题考查导数的计算,考查瞬时变化率,属于基础题..7．已知x，y满足约束条件102240xx yx yì-?ïï-?íï+-?ïî，若1yzx-=，则z的取值范围为（）A．3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．[)3,2,2⎛⎤-∞+∞⎥⎝⎦U C．1,210⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D．31,210⎡⎤--⎢⎥⎣⎦答案A画出可行域,利用目标函数的几何意义,结合图像求解.解：画出满足约束条件的可行域如下图所示:则1yzx-=代表可行域内的点(,)x y与点(0,1)P连线的斜率,结合图像可知,当(,)x y落在A时,斜率最大,联立1040xx y-=⎧⎨+-=⎩,解得(1,3)A,此时max2z=,当(,)x y落在B时,斜率最小,联立10220xx y-=⎧⎨--=⎩,解得1(1,)2B-,此时min32z=-,因此,z的取值范围为3[,2]2-,故选:A.本题主要考查线性规划,考查数形结合思想的运用.此类线性规划问题中,目标函数常代表的几何意义一般有截距,斜率,距离等.8．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分不必要条件答案A解：试题分析：α⊥β， b ⊥m又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a ⊥b ”的充分不必要条件，故选A. 【考点】充分条件、必要条件.9．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1b ca c a b+≥++，则角A 的取值范围是（ ） A ．0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B ．0,3π⎛⎤⎥⎝⎦C ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭答案B将题设不等式化简得到222b c a bc +-≥,结合余弦定理即可推出A 的范围. 解： 因为1b ca c a b+≥++, 所以222b c a bc +-≥,所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-=≥=,所以在ABC V 中,(0,]3A π∈,故选:A.本题主要考查余弦定理的应用,难度不大.10．已知F 是椭圆22:1167x y M +=的右焦点，,A B 是椭圆M 上关于原点O 对称的两点，若·0FA FB =u u u v u u u v，则FAB ∆的内切圆的面积为（ ） A ．5π B ．4πC ．2πD ．π答案D画图分析焦点三角形的面积再利用等面积法求解即可. 解：如图,设左焦点为1F ,连接11,AF BF ,因为0FA FB =u u u r u u u r g ,故FA FB ⊥u u u r u u u r,故四边形1F AFB 为矩形.故1FAB F FB S S ∆∆==7tan4π7=,又12AB F F =,故FAB ∆的内切圆半径r 满足 ()()1168722FAB S AB AF BF r r ∆=++=⨯+=,解得1r =.FAB ∆的内切圆的面积为π.故选：D本题主要考查了椭圆焦点三角形的面积公式与等面积法求内切圆半径等.属于中等题型.11．已知等比数列{}n a 的各项都为正数，当3n ≥时，242410nn a a -=，设数列{}lg n a 的前n 项和为n S ，1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则2020T 等于（ ）A ．20202021B ．20192020C ．20191010D ．40402021答案D根据等比中项的性质化简242410nn a a -=,得到10n n a =,从而可以算出{}lg n a 的通项公式,进而求出其前n 项和,再结合裂项相消法即可得出结论. 解：在各项都为正数的等比数列{}n a 中,当3n ≥时,242410nn a a -=,则有10n n a =,由于数列{}n a 为等比数列,所以110,10a q ==,所以*10()n n a n N =∈,则lg lg10nn a n ==,所以其前n 项和(1)2n n n S +=, 所以12112()(1)1n S n n n n ==-++, 所以2020111112(1)22320202021T =-+-++-L 140402(1)20212021=-=, 故选:D.本题考查等差､等比数列的综合运用,需要学生熟练掌握其性质并灵活应用,属于中档题.12．已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x ¢，当0x ≥时，恒有()()03x f x f x '--≤.则不等式()()()331212<0x f x x f x -++的解集为（ ） A ．{}31x x -<<- B ．113x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭C ．113x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或 D ．122x x ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭答案B构造函数3()()g x x f x =,则可推出()g x 的奇偶性与单调性,再利用其单调性解不等式即可. 解：令3()()g x x f x =,则可得232()3()()3[()()]3xg x x f x x f x x f x f x '''=+=+,又当0x ≥时,恒有()()()()033x xf x f x f x f x ''--=+≤, 即0x ≥时,()0g x '≤,所以g (x )在[0,+∞)上单调递减,又f (﹣x )=﹣f (x ),则g (﹣x )=﹣x 3f (﹣x )=g (x ), 所以g (x )为偶函数,所以g (x )在(﹣∞,0)上单调递增,又由()()()331212<0x f x x f x -++可得,g (x )<g (1+2x ), 故12x x >+,即22(12)x x >+,解得113x -<<-,故选:B.本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用,能正确构造函数是解决本题的关键,属于中档题.二、填空题 13．若“0,63x ππ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得0tan x m ≥”是假命题，则实数m 的取值范围为________.答案)+?根据题意,写出原命题的否定,则其是一个真命题,再据此求范围即可. 解： 因为“0,63x ππ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得0tan x m ≥”是假命题, 所以其否定:“,63x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,tan x m <”是真命题,又,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,tan 3x ∈,所以m >故答案为:)+∞.本题考查命题的真假关系,考查三角函数求最值,属于简单题.在解决命题真假性相关问题时,若原命题不好求解,可以考虑与之相关的其他命题,比如命题的否定,逆否命题等.14．在ABC V 中，已知()()()sin sin sin a c A C a b B -+=-，则角C =________. 答案3π 利用正弦定理化简题设等式,再结合余弦定理即可求解. 解：由正弦定理化简()()()sin sin sin a c A C a b B -+=-, 可得()()()a c a c b a b -+=-, 即222a b c ab +-=,所以2221cos 22a cb C ab +-==,因为C 为三角形内角, 所以3C π=,故答案为:3π.本题考查了正,余弦定理在解三角形中的综合运用,需要学生熟悉各类公式并合理应用.15．已知函数()xe f x a x=-有两个零点，则实数a 的取值范围是________.答案(),e +∞对()f x 求导,然后结合导数分析其单调性得出最值,再由函数()f x 有两个零点,可知其最小值小于0,代入求解即可. 解：由()x e f x a x =-,得()2(1)x e x f x x -'=, 令()01f x x '>⇒>,令()01f x x '<⇒<,所以()f x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,)+∞单调递增, 所以min ()(1)f x f e a ==-,又因为函数()xe f x a x=-有两个零点,所以min ()0f x e a =-<,即a e >,故答案为:(),e +∞.本题考查利用导数研究函数零点问题,难度不大.解决此类问题一般都是先利用导数研究函数的单调性,最值等,再结合具体情况求解.16．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，A 在第一象限，AM l ⊥，BN l ⊥，垂足分别为M ，N ，且MAB △的面积是NAB △的面积的3倍，则直线l 的斜率为________. 答案3利用已知条件画出图形,然后过B 作BD AM ⊥于点D ,再结合抛物线的定义和三角形的面积比找到线段比例关系,从而求解. 解：如图所示:过B 作BD AM ⊥于点D ,则BN MD =,根据抛物线的定义可知:,AM AF BN BF ==, 又MAB △的面积是NAB △的面积的3倍, 则有3,2AM BN AD BN ==,所以4AB AF BF AM BN BN =+=+=,所以22tan 3BDAB AD DAB AD-∠===所以直线l 3故答案为3本题主要考查直线与抛物线的综合运用,结合了直线斜率等相关知识,难度不大.三、解答题17．已知全集U =R ，非空集合{|(2)[(31)]0}A x x x a =--+<，2{|2}B x a x a =<<+,记:,:p x A q x B ∈∈，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.答案111[,)(233-U 讨论集合A 中二次不等式的两根的大小关系进行分类求解,再根据集合间的关系对区间端点进行列式求解即可.解：解：:,:p x A q x B ∈∈Q ,p 是q 的必要条件,A B ∴⊆.(1)当312a +>,即13a >时,{|231}A x x a =<<+.由A B ⊆得22312a a a ≤⎧⎨+≤+⎩,解得1332a <≤. (2)当312a +=,即13a =时,A =∅,不符合题意,舍去. (3)当312a +<,即13a <时,{|312}A x a x =+<<. 由A B ⊆得23122a a a ≤+⎧⎨≤+⎩,解得1123a -≤<.综上,实数a 的取值范围是1113[,)(,2332--U .本题主要考查了分类讨论的思想以及集合间的基本关系,属于中等题型.18．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 20cos C c b A a ++=. （1）求A 的值；（2）若ABC V 外接圆半径为3，b c +=ABC V 的面积.答案（1）23A π=（2(1)由正弦定理,结合两角和的正弦函数公式化简已知等式,再由sin B ≠0,可求得cos A 12=-,结合范围A ∈(0,π),可求A 的值; (2)由正弦定理可得a 的值,由余弦定理可得bc 的值,进而根据三角形的面积公式即可求解.解：(1)由cos 20cos C c b A a ++=及正弦定理得cos sin 2sin 0cos sin C C B A A++=, sin cos cos sin 2cos sin 0A C A C A B ∴++=,从而()sin 2cos sin 0A C A B ++=,即sin 2cos sin 0B A B +=,又ABC V 中,sin 0B >,1cos 2A ∴=-, ()0,A π∈Q ,23A π∴=;(2)由(1)知23A π=,sin A ∴=. ABC QV 外接圆半径为3,由正弦定理得2sin 232a R A ==⨯⨯=, 由余弦定理2222cos abc bc A =+-,得()222a b c bc bc =+-+,b c +=Q 1bc =∴,ABC ∴V 的面积11sin 122S bc A ==⨯=.本题属于解三角形的综合运用,结合了三角恒等变换的相关知识,属于中档题.19．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知36S =-，642S =.(1)求n a ，n S ；(2)证明1n S +，n S ，2n S +是成等差数列.答案（1）()2n n a =-，()2[12]3nn S =---（2）证明见解析 (1)利用基本量法求解首项与公比,进而求得n a ,n S .(2)根据(1)中所得的n S 证明+122n n n S S S +=+即可.解：解：(1)由题意设等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为q ,则1q ≠,则313616(1)61(1)421a q S q a q S q ⎧-==-⎪-⎪⎨-⎪==⎪-⎩, 从而317q +=-,即38q =-,所以2q =-,12a =-,所以()2n n a =-, ()()()()2[12]2[12]123n n n S -⨯--==-----. (2)由(1)知,()()121222[12][12]33n n n n S S +++++=------()()+122[222]3n n +=----- ()()2[22242]3n n =-+⨯--⨯-()4[12]23n n S =---=, 所以1n S +,n S ,2n S +成等差数列．本题主要考查了基本量法求等比数列通项公式的方法以及数列求和等.属于中等题型.20．已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈.（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调区间.答案（1）20x y +-=（2）当0a ≤时增区间()0,+∞，当0a >时增区间(),a +∞，减区间()0,a试题分析：（1）当2a =时，()2ln f x x x =-，求得切点为()1,1A ，2()1f x x =-'，求得斜率为()11f '=-，故切线方程为1(1)y x -=--；（2）函数的定义域为()0,+∞，()1a x a f x x x-=-='，当0a ≤时，∵0x >，∴()0f x '>恒成立，函数单调递增，当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增.试题解析：（1）∵2a =，∴()2ln f x x x =-，∴(1)12ln11f =-=，即(1,1)A2()1f x x=-'，(1)121f ='-=-， 由导数的几何意义可知所求切线的斜率(1)1k f '==-，所以所求切线方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=.（2）()1a x a f x x x-=-='， 当0a ≤时，∵0x >，∴()0f x '>恒成立，∴()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '=，得x a =，∵0x >，∴()0f x '>，得x a >；()0f x '<得0x a <<；∴()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增.【考点】导数与切线、单调区间．21．已知椭圆()222210,0:x y a b a C b +=>>的离心率为2，其左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 是坐标平面内一点，且2OP =u u u r 1234PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，其中O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的方程； （2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的垂直平分线在x 轴上截距的最大值.答案（1）2212x y +=（2 (1)设()P m n ,,根据题意列出对应等式,解方程后即可求得a 和b 的值,得到椭圆方程;(2)设出直线l 的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理求出中点坐标公式,当直线的斜率存在时,利用直线的点斜式方程,求得AB 的垂直平分线方程,令y =0,求得x ,再利用基本不等式即可得解.解：(1)由题知22212c e a ==,222a c ∴=, 设()P m n ,,又()1,0F c -,()2,0F c22274OP m n ∴=+=u u u r , ()()222123,,4PF PF c m n c m n m c n ⋅=---⋅--=-+=u u u r u u u u r ,21c ∴=,从而22a =,21b =,故椭圆C 的方程为2212x y +=; (2)设直线l 的方程为13y kx =-,()11,A x y ,()22,B x y , 联立方程:221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,消去y 得:()2241621039k x kx +--=, 显然>0∆,又()1224321k x x k +=+,()12216921x x k =-+, ()()()2121222242233321321k y y k x x k k -∴+=+-=-=++, 则AB 的中点坐标为()()2221,321321k k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭, 当AB 的斜率k 为零时,AB 的垂直平分线为y 轴,横截距为0;当0k ≠时,AB 垂直平分线的方程为:()()22112321321k y x k k k ⎛⎫ ⎪+=-- ⎪++⎝⎭, 令0y =,()211133212k x k k k==⋅++当k 0<时,()20321k x k =<+, 当0k >时,12k k +≥那么11132x k k=⋅≤+, 当且仅当12k k =,即k =,所以当2k =时,弦AB 的垂直平分线在x 轴上的截距有最大值,. 本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的综合应用,属于中档题.在直线与圆锥曲线的综合题中,常用基本不等式,二次函数或对勾函数的性质等求最值.22．已知函数()ln 21f x x x =++，()2g x x x =+.（1）求函数()()y f x g x =-的极值；（2）若对任意0x >，都有()()0f x mg x -≤成立，求整数m 的最小值. 答案（1）极大值为1（2）2(1)设()()()x f x g x ϕ=-,然后对()x ϕ求导,再结合导数分析其单调性得出极值情况即可;(2)设()()()h x f x mg x =-,则0x >时都有()0≤h x 成立,因此分情况求出()h x 的最大值即可得解.解：(1)令()()()22ln 21ln 1x f x g x x x x x x x x ϕ=-=++--=-++()0x > 则()()()221112121x x x x x x x x xϕ-+--++'=-+==()0x > 令()0x ϕ'>,解得01x <<;令()0x ϕ'<,解得1x >,所以函数()x ϕ在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减,故()x ϕ的极大值为()11ϕ=,∴当1x =时,()()y f x g x =-的极大值为1,无极小值;(2)设()()()()2ln 21h x f x mg x x x m x x =-=++-+, 则()()()()2221211122mx m x x mx h x mx m x x x-+-+-+-'=-+-==, ①当0m ≤时,0x Q >,10mx -<,210x +>,()0h x '∴>,故()h x 在()0,∞+上单调递增,而()1320h m =->,不满足题意,舍去;②当0m >时,令()0h x '=,解得1x =所以()max 2112111ln 1ln h x h m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫==++-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 令()()1ln 0t m m m m=->,显然()t m 在()0,∞+上单调递减, ()110t =>Q ,()12ln 202t =-<. 故当2m ≥时,()0t m <满足题意,故整数m 的最小值为2.本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,极值和最值,属于中档题.在解决含参问题时,常有两种解题思路,一是分离参数,二是分类讨论.。
19-20学年河南省洛阳市高二上学期期末数学试卷 (含答案解析)
19-20学年河南省洛阳市高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 不等式的解集是(13,12)，则a +b 的值是( ) A. −2 B. 2 C. 12 D. 222. S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3+a 11=12，则S 13=( )A. 60B. 78C. 156D. 不确定3. 设a 、b ∈R ，若a −|b|>0，则下列不等式中正确的是( )A. b −a >0B. a 3+b 3<0C. a 2−b 2<0D. b +a >04. 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD =( ) m ．A. 100√3B. 100√6C. 100D. 100√25. 已知非零向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 则“a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ ”是“b ⃗ =c ⃗ ”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，若线段PF 1的中点在y 轴上，∠PF 1F 2=30°，则椭圆的离心率为( )A. √33B. √36C. 13D. 16 7. 已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z =x +2y 的最小值是( )A. −8B. −6C. −3D. 3 8. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线被圆x 2+y 2−6x +5=0截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为( )A. √62B. 32C. √6D. 29. 在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，若AB =√2BB 1，则AB 1与BC 1所成角的大小为( )A. π6B. π3C. 5π12D. π210. F 1，F 2是椭圆x 29+y 25=1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2=60°，则△AF 1F 2的面积为( ) A. 7√32 B. 5√32 C. 72D. 7√52 11. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=4且S n =12a n+1+2，则S 10=( )A. 2×(310−1)B. 2×(310+1)C. 2×(39+1)D. 2×(39−1)12. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，已知点A(1,0，3)，C(3,2，−1)，则这个正方体的棱长为( )A. √3B. 2C. 2√3D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知命题“∃x ∈R ，使2x 2+(a −1)x +12≤0”是假命题，则实数a 的范围是______．14. △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2=b 2+c 2+bc,，则角A =______．15. 太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物，太极图无不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用不等式组{x 2+y 2≤4x ≤0x 2+(y +1)2≥1或x 2+(y −1)2≤1来表示，设(x,y)是阴影中任意一点，则z =x +y 的最大值为______．16. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线AB 的斜率为______；三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设集合A ={x|x ⩽−2或x ⩾3}，集合B ={x|(x −2a)(x +a)>0}(其中a <0).(1)求集合B ；(2)设p:x ∈A ，q:x ∈B ，且q 是p 的充分不必要条件，求a 的取值范围．18.设{a n}是公比不为1的等比数列，其前n项和为S n，且a5，a3，a4成等差数列．(Ⅰ)求数列{a n}的公比；(Ⅱ)证明：对任意k∈N∗，S k+2，S k，S k+1成等差数列．19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC+cosAcosB=2cosAsinB．(1)求tan B；(2)若b=2√5，AB边上的中线CD=√17，求△ABC的面积．20.已知直线l经过抛物线x2=4y的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，(1)若|AF|=4，求点A的坐标；(2)若直线l的倾斜角为45°，求线段AB的长．21.如图，四棱锥P−ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AD=2BC=2，∠BAD=∠ABC=90∘．(Ⅰ)证明：PC⊥BC；(Ⅱ)若直线PC与平面PAD所成角为30∘，求二面角B−PC−D的余弦值．22.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为√22，过点B(0,−2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点为F2．(1)求椭圆的方程；(文科)(2)求弦长CD．(理科)(2)求△CDF2的面积．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，是基础题．根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求得a 、b 的值，再求a +b ． 解：不等式ax 2+bx +2<0的解集是(13,12)，∴方程ax 2+bx +2=0的实数根为13和12，由根与系数的关系知{2a =13×12−b a =13+12, 解得a =12，b =−10，∴a +b =2．故选B ．2.答案：B解析：解：由等差数列{a n }的性质可得：a 3+a 11=12=a 1+a 13，则S 13=13(a 1+a 13)2=13×122=78．故选：B ．利用等差数列{a n }的性质可得：a 3+a 11=12=a 1+a 13，再利用等差数列的前n 项和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式的性质及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.答案：D解析：本题考查不等关系的应用及判断，不等式的性质，属于基础题．由题意结合不等式性质可得a >0及−a <b <a ，从而判断b +a >0．解：当a =1，b =0时，A ，B ，C 都不正确；∵a−|b|>0，∴|b|<a，∴a>0，∴−a<b<a，∴b+a>0，D正确，故选D．4.答案：B解析：解：设此山高ℎ(m)，则BC=√3ℎ，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB= 600．根据正弦定理得√3ℎsin30°=600sin45∘，解得ℎ=100√6(m)故选：B．设此山高ℎ(m)，在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h．本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．5.答案：B解析：解：非零向量a⃗，b⃗ ，c⃗则“a⃗⋅b⃗ =a⃗⋅c⃗”不一定推出“b⃗ =c⃗”，也可能是“b⃗ =−c⃗”，反之，一定成立，所以非零向量a⃗，b⃗ ，c⃗则“a⃗⋅b⃗ =a⃗⋅c⃗”是“b⃗ =c⃗”的必要而不充分条件．故选：B．若p⇒q，则p是q的充分条件；若p⇐q，则p是q的必要条件．由此可判断充要条件．本题考查了向量数量积、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：A解析：本题考查椭圆的离心率的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质的灵活运用．由已知条件推导出PF2⊥x轴，|PF2|=12|PF1|，|PF2|=23a，从而得到ac=√3，由此能求出椭圆的离心率．解：∵线段PF1的中点在y轴上设P的横坐标为x，F1(−c,0)，∴−c+x=0，∴x=c；∴P与F2的横坐标相等，∴PF2⊥x轴，∵∠PF1F2=30°，∴|PF2|=12|PF1|，∵|PF1|+|PF2|=2a，∴|PF2|=23a，tan∠PF1F2=|PF2||F1F2|=2a32c=√33，∴ac=√3，∴e=ca =√33．故选A．7.答案：B解析：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y得y=−12x+12z，利用数形结合即可的得到结论．解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A(1,1)，B(−2,−2)，C(−5,1)，z=x+2y，则y=−12x+12z，当直线y=−12x+12z过点B(−2,−2)时z取到最小值，所以z=x+2y的最小值是−2+2×(−2)=−6，故选：B．解析：解：双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±ba x ， 圆x 2+y 2−6x +5=0即为(x −3)2+y 2=4，圆心为(3,0)，半径为2，圆心到渐近线的距离为d =|3b|√a 2+b 2，由弦长公式可得2=2√4−9b 2a 2+b 2， 化简可得a 2=2b 2，即有c 2=a 2+b 2=32a 2，则e =c a =√62． 故选：A ．求出圆的标准方程，求得圆的圆心和半径，求得双曲线的方程的渐近线方程，运用点到直线的距离公式和弦长公式，解方程可得a 2=2b 2，由a ，b ，c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值． 本题考查双曲线离心率的计算，主要是渐近线方程的运用，考查直线和圆相交的弦长公式的运用，考查运算能力，属于中档题．9.答案：D解析：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中利用向量法将空间直线夹角转化为向量夹角是解答的关键．利用向量加法的三角形法则，可将AB 1与C 1B 的方向向量分别用三棱柱的棱对应的向量表示，进而设BB 1=1，AB =√2，分析出两向量数量积为0，进而得到两直线互相垂直．解：∵AB =√2BB 1，设BB 1=1，AB =√2，∴AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ ， =0+√2×√2×cos 2π3+1+0=0．∴直线AB 1与BC 1所成角为π2．10.答案：B解析：求出F1F2的长度，由椭圆的定义可得AF2=6−AF1，由余弦定理求得AF1，从而求得三角形AF1F2的面积．本题考查椭圆的定义、标准方程，简单性质，以及余弦定理的应用，求出AF1的值，是解题的关键．由题意可得a=3，b=√5，c=2，故F 1F2=2×2=4，AF1+AF2=6，AF2=6−AF1，∵AF22=AF12+F1F22−2AF1⋅F1F2cos60°=AF12−4AF1+16，∴(6−AF1)2=AF12−4AF1+16，∴AF1=52，故三角形AF1F2的面积S=12×52×4×√32=5√32．故选B．11.答案：C解析：解：数列{a n}的前n项和为S n，若a1=4且S n=12a n+1+2，可得a1=S1=12a2+2，即a2=4，n≥2时，a n=S n−S n−1，S n=12a n+1+2，S n−1=12a n+2，两式相减可得a n=12a n+1−12a n，即为a n+1=3a n，可得a n=a2q n−2=4⋅3n−2，n≥2，则S10=12a11+2=2×39+2=2×(39+1)，故选：C．由数列的递推式：n=1时，a1=S1，n≥2时，a n=S n−S n−1，结合等比数列的通项公式，可得a n，即可得到所求和．本题考查数列的递推式的运用：求通项，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12.答案：C解析：本题考查空间直角坐标系及空间两点间的距离公式，属于基础题．由AC距离即可求棱长．解：易知AC=√(1−3)2+(0−2)2+(3+1)2=2√6，设正方体的棱长为a，√a2+a2=2√6，得a=2√3，故选C．13.答案：(−1,3)解析：由命题的否定与原命题真假相反，可得到∀x∈R，使2x2+(a−1)x+12>0成立，然后根据一元二次不等式恒成立问题的解决办法即可解出结果，属于基础题．解：由已知得：∀x∈R，使2x2+(a−1)x+12>0，∴△=(a−1)2−4×2×12<0，解得：−1<a<3．故答案为(−1,3)．14.答案：2π3解析：本题考查余弦定理的应用，属于基础题．直接利用余弦定理求出A的余弦值，推出A的值即可．解：在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若a2=b2+c2+bc,由余弦定理可知cosA=b2+c2−a22bc =−12，因为A是三角形内角，所以A=2π3．故答案为2π3．15.答案：1+√2解析：解：依题意，z=x+y，所以y=−x+z，z表示直线y=−x+z在y轴上的截距，所以当直线y=−x+z与圆x2+(y−1)2=1切于如图的点A时，z最大(z>1)，因为直线y=−x+z与圆相切，所以点(0,1)到直线x+y−z=0的距离为1，即1=|1−z|√2，因为z>1，所以z−1√2=1，解得z=1+√2．故答案为：1+√2．平移直线z=x+y，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值．本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力．16.答案：±√3解析：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．设出直线方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及向量等式列式求解．解：抛物线y2=2px的焦点为F(p2,0)，由题意可知直线AB的斜率存在，设直线方程为y=k(x−p2)．联立{y2=2pxy=k(x−p2)，得ky2−2py−kp2=0．设A(x1,y1)，B(x2,y2).则y1+y2=2pk，y1y2=−p2．由AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得y 1y 2=−3． ∴(y 1+y 2)2y 1y 2=y 1y 2+y 2y 1+2 =−3−13+2=4p 2k 2−p 2=−4k 2， 解得：k =±√3．故答案为：±√3．17.答案：解：(1)关于x 的不等式(x −2a )(x +a )>0的解集为B(其中a <0).解得x <2a 或x >−a ．∴集合，a <0．(2)设p:x ∈A ，q:x ∈B ，且q 是p 的充分不必要条件，∴{2a ⩽−23⩽−a a <0，等号不能同时成立．解得a ⩽−3．∴a 的取值范围是．解析：本题考查集合关系中的参数取值问题，不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(1)关于x 的不等式(x −2a)(x +a)>0的解集为B(其中a <0)，利用一元二次不等式的解法即可得出．(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，根据B ⫋A 可以得出结论．18.答案：(Ⅰ)解：设数列{a n }的公比为q(q ≠0,q ≠1)，由a 5，a 3，a 4成等差数列，得2a 3=a 5+a 4，即2a 1q 2=a 1q 4+a 1q 3，由a 1≠0，q ≠0得q 2+q −2=0，解得q =−2或1(舍去)，所以q =−2．(Ⅱ)证明：对任意k ∈N ∗，S k+2+S k+1−2S k =(S k+2−S k )+(S k+1−S k )=a k+1+a k+2+a k+1=2a k+1+a k+1·(−2)=0，所以，对任意k ∈N ∗，S k+2，S k ，S k+1成等差数列．解析：本题主要考查了等比数列和等差数列的性质，属于基础题．(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q(q ≠0,q ≠1)，由a 5，a 3，a 4成等差数列，进而求得答案；(Ⅱ)证明：对任意k ∈N ∗，S k+2+S k+1−2S k =(S k+2−S k )+(S k+1−S k )=a k+1+a k+2+a k+1=2a k+1+a k+1·(−2)=0，进而求得答案．19.答案：解：(1)由cosC +cosAcosB =2cosAsinB ，得cos[π−(A +B)]+cosAcosB =2cosAsinB ，即−cosAcosB +sinAsinB +cosAcosB =2cosAsinB ，∴sinAsinB =2cosAsinB ，∵sinA ≠0，∴sinA =2cosA ，则tanA =2．(2)由(1)得，cosA =√55，sinA =2√55， 在△ACD 中，CD 2=b 2+(c 2)2−2⋅b ⋅c 2⋅cosA ，代入条件得c 2−8c +12=0，解得c =2或6，当c =2时，S △ABC =12bcsinA =4；当c =6时，S △ABC =12bcsinA =12．解析：本题考查三角形的解法，考查余弦定理的应用，是基础题．(1)将C =π−(A +B)代入化简求值即可；(2)在△ACD 中，由余弦定理解得c =2或6，利用面积公式求解即可．20.答案：解：由x 2=4y ，得p =2，其准线方程为y =−1，焦点F(0,1)．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).(1)由抛物线的定义可知，|AF|=y 1+p 2，从而y 1=3．代入x 2=4y ，解得．∴点A 的坐标为(2√3,3)或(−2√3,3)．(2)直线l 的方程为y −1=x ，与抛物线方程联立，得{y =x +1x 2=4y， 消x ，整理得y 2−6y +1=0，其两根为y 1，y 2，且y 1+y 2=4．由抛物线的定义可知，|AB|=y 1+y 2=4+p =6+2=8，所以，线段AB 的长是8．解析：(1)由x2=4y，得p=2，其准线方程为y=−1，焦点F(0,1).设A(x1,y1)，B(x2,y2).由抛物线的定义可知，|AF|=4，从而y1=3.由此能得到点A的坐标．(2)直线l的方程为y−1=x.与抛物线方程联立可得y2−6y+1=0，其两根为y1，y2，且y1+y2=4..由抛物线的定义可知线段AB的长．本题考查直线和抛物线的位置关系，解题时要认真审题，合理地进行等价转化，注意抛物线性质的合理运用．21.答案：解：(Ⅰ)取AD 的中点为O ，连接PO,CO，∵ΔPAD为等边三角形，∴PO⊥AD，底面ABCD 中，可得四边形ABCO 为矩形，∴CO⊥AD，∵PO∩CO=O，∴AD⊥平面POC ，∵PC⊂平面POC ，∴AD⊥PC，又AD//BC，所以PC⊥BC；(Ⅱ)由平面PAD⊥平面ABCD ，PO⊥AD知，∴PO⊥平面ABCD ，OP,OD,OC两两垂直，直线PC与平面PAD所成角为30∘，即∠CPO=30∘，由AD=2,知PO=√3,得CO=1，分别以OC→,OD→,OP→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O−xyz，则P(0,0,√3),D(0,1,0),C(1,0,0),B(1,−1,0)，BC →=(0,1,0)，PC →=(1,0,−√3)，CD →=(−1,1,0) ，设平面PBC 的法向量为n →=(x,y,z)，∴{y =0x −√3z =0，则n →=(√3,0,1)， 设平面PDC 的法向量为m →=(x,y,z)，∴{−x +y =0x −√3z =0，则n →=(√3,√3,1)， ∴cos⟨m →,n →⟩=m →·n →|m →||n →|=2√7=2√77， ∴由图可知二面角B −PC −D 的余弦值−2√77.解析：本题直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．(Ⅰ)取AD 的中点为O ，连接PO ，CO ，说明PO ⊥AD.证明CO ⊥AD ，然后证明AD ⊥平面POC ，推出PC ⊥BC ．(Ⅱ)证明PO ⊥平面ABCD ，分别以OC →，OD →，OP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O −xyz ，求出平面PBC 的法向量，平面PDC 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B −PC −D 的余弦值．22.答案：解：(1)由题意可得：b =1，c a =√22，a 2=b 2+c 2，联立解得b =1，a =√2，c =1． 可得椭圆方程为x 22+y 2=1．(2)∵F 1(−1,0)，∴直线BF 1的方程为y =−2x −2，由{y =−2x −2x22+y2=1得9x 2+16x +6=0． ∵△=162−4×9×6=40>0，∴直线与椭圆有两个公共点，(文科)设为C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，x 1+x 2=−169，x 1⋅x 2=23．∴|CD|=√1+(−2)2|x 1−x 2|=√5⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√5⋅√25681−4×23=109√2，(理科)设为C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，x 1+x 2=−169，x 1⋅x 2=23．∴|CD|=√1+(−2)2|x 1−x 2|=√5⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√5⋅√25681−4×23=109√2，又点F 2到直线BF 1的距离d =4√55， 故S △CDF 2=12|CD|⋅d =49√10．解析：(1)由题意可得：b =1，c a =√22，a 2=b 2+c 2，联立解出即可得出． (2)F 1(−1,0)，可得直线BF 1的方程为y =−2x −2，与椭圆方程联立可得：9x 2+16x +6=0.设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，利用根与系数的关系可得：|CD|=√1+(−2)2|x 1−x 2|.=√5⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2.求出点F 2到直线BF 1的距离d ，可得S △CDF 2=12|CD|⋅d ．本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长与面积问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2019-2020学年河南省洛阳市高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年河南省洛阳市高二上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．已知不等式20x ax b ++≤的解集为[2,3]，则a b +=（ ） A ．-1 B ．1C ．-2D ．2【答案】B【解析】根据二次函数不等式的解集与根的关系利用韦达定理求解即可. 【详解】易得20x ax b ++=的两根分别为2,3,故235,5a a -=+==-,236b =⨯=.故1a b +=.故选：B 【点睛】本题主要考查了二次函数不等式的解集与根的关系,属于基础题型.2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若57918a a a ++=，则13S =（ ） A ．39 B ．78C ．117D ．156【答案】B【解析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】由等差数列有579773168a a a a a =+=⇒=+.故1371378S a ==. 故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的等和性与前奇数项和的性质,属于基础题型. 3．若0b a <<，给出下列不等式：①11a b ab <+；②||0a b +>；③11a b a b->-；④22ln ln a b >．其中正确的不等式是（ ） A ．①④ B ．②③C ．①③D ．②④【答案】C【解析】根据不等式的性质判定或举出反例即可. 【详解】对①,因为0b a <<,故10a b <+,又10ab>,故11a b ab <+成立.故①正确. 对②,当2b =-,1a =-时||0a b +>不成立.故②错误.对③,构造函数1(),(0)f x x x x =-<,则21'()10f x x =+>,故1(),(0)f x x x x =-<为增函数,又0b a <<,故11b a b a-<-,故③正确.对④, 当2b =-,1a =-时22ln ln a b >不成立.故④错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查了不等式的性质,属于中等题型.4．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北o 45（即o 45BAC ∠=）的方向上，行驶m 后到达B 处，测得此山顶在北偏东o 15（即o 75ABC ∠=）的方向上，仰角o 30DBC ∠=，则此山的高度CD =（ ）A．m B．m C．m D．m【答案】C【解析】根据正弦定理先求得BC ,再求出DC 即可. 【详解】易得180457560BCA ∠=︒-︒-︒=︒.由正弦定理得sin 1200sin sin sin AB BC AB BACBC m BCA BAC BCA⋅∠=⇒===∠∠∠.故tan301200CD BC m =⨯︒==. 故选：C 【点睛】本题主要考查了解三角形中的正余弦定理的实际运用,属于中等题型.5．设,m n 为非零向量，则“>0m n ⋅”是“存在正数λ，使得λ=m n ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】根据充分与必要条件的性质判定即可. 【详解】若>0m n ⋅则说明向量,m n 的夹角为锐角或者0︒,故,m n 不一定共线,故“存在正数λ,使得λ=m n ”不成立.又“存在正数λ,使得λ=m n ”时,m n 夹角为0︒,故>0m n ⋅. 故“>0m n ⋅”是“存在正数λ,使得λ=m n ”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的判定,同时也考查了向量共线与数量积的基础知识,属于基础题型.6．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1245PF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ） A1 B1C．12D．12【答案】A【解析】根据椭圆性质与焦点三角形的离心率公式求解即可. 【详解】由题,设线段1PF 的中点Q 在y 轴上,且原点O 为12F F 的中点,故OQ 为12PF F △边2PF 边的中线.故2//PF OQ ,故2PF x ⊥轴.又1245PF F ∠=,故离心率1221212F F c e a PF PF ====+. 故选：A 【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率问题,需要根据题意找到焦点三角形三边的关系进行求解,属于中等题型.7．若变量,x y 满足约束条件210x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则1y z x +=的取值范围是（ ）A ．[0,1]B ．1[,1]2C ．[1,2]D ．1[,2]2【答案】D【解析】画出可行域,根据1y z x+=的几何意义求解即可. 【详解】画出可行域,又1y z x +=的几何意义为点(),x y 到()0,1-.易得1y z x +=在()2,0处取得最小值01122z +==,在()1,1处取得最大值1121z +==.故1y z x +=的取值范围是1[,2]2.故选：D 【点睛】本题主要考查了线性规划中斜率的几何意义,属于基础题型.8．已知双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线被圆C ：x 2+y 2﹣12x ＝0截得的弦长为8，双曲线的右焦点为C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）A ．2212016x y -=B ．2211620x y -=C ．2211224x y -=D ．2212412x y -=【答案】B【解析】求得数显的渐近线的方程，以及圆的圆心和半径，运用直线和圆相交的弦长公式，以及点到直线的距离公式可得,a b 的关系式，由题意可得6c =，再由,,a b c 的关系可得a ，即可求得双曲线的方程，得到答案. 【详解】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆22:120C x y x +-=的圆心(6,0)C ，半径6r =，见解析被圆22:120C x y x +-=截得的弦长为8，可得8==解得d ==双曲线的焦点为C 的圆心，即6c =，则b =4a =，可得双曲线的方程为2211620x y -=.故选B. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用，同时考查了直线与圆的位置关系的应用，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题.9．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的正弦值为（ ） A ．12BCD【答案】C【解析】建立空间直角坐标系利用向量方法求解即可. 【详解】如图,以B 为空间直角坐标系原点建立如图空间直角坐标系,因为120ABC ∠=,2AB =,故1(,1)AB =,1(0,1,1)BC =.设1AB 与1BC 所成角为θ,则1111cos 53ABBC AB BC θ⋅===⋅.故sin 5θ==.故选：C 【点睛】本题主要考查了利用空间直角坐标系求解异面直线夹角的问题,属于基础题型.10．已知F 是椭圆22:1167x y M +=的右焦点，,A B 是椭圆M 上关于原点O 对称的两点，若0FA FB =，则FAB ∆的内切圆的面积为（ ） A ．5π B ．4πC ．2πD ．π【答案】D【解析】画图分析焦点三角形的面积再利用等面积法求解即可. 【详解】如图,设左焦点为1F ,连接11,AF BF ,因为0FA FB =,故FA FB ⊥,故四边形1F AFB 为矩形.故1FAB F FB S S ∆∆==7tan4π7=,又12AB F F =,故FAB ∆的内切圆半径r 满足 ()()1168722FAB S AB AF BF r r ∆=++=⨯+=,解得1r =.FAB ∆的内切圆的面积为π.故选：D 【点睛】本题主要考查了椭圆焦点三角形的面积公式与等面积法求内切圆半径等.属于中等题型.11．已知数列{}n a 满足*111,2()n n n a a a n N +==∈，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）A ．201920202a =B ．202020202a =C ．1011202023S =-D ．101020203(21)S =- 【答案】D【解析】根据数列{}n a 的地推公式求解通项公式,再求和判断即可. 【详解】因为12nn n a a +=,故1*122(2,)n n n a a n n N +++=≥∈,故11221222n n n n n n n na a aa a a +++++=⇒=. 又11221,22a a a a ==⇒=.故135,,...a a a 成等比数列.246,,...a a a 成等比数列. 故100910102020222a a =⨯=.()()1210092310102020122...2222...2S =+++++++++()10101210091010213122 (2)33(21)21-=++++=⨯=--.故选：D 【点睛】本题主要考查了根据递推公式求解数列通项公式以及求和的方法,属于中等题型. 12．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面1111D C B A 内的一动点P ，满足到点1A 的距离与到线段11C D 的距离相等，则线段PA 长度的最小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】易得P 的轨迹为抛物线,得出1A P 的最小值即可求出PA 的最小值. 【详解】由动点P ,满足到点1A 的距离与到线段11C D 的距离相等可知,P 的轨迹是以1A 为焦点,以直线11C D 为准线的抛物线,显然P 位于11A D 的中点E 时1A P 取得最小值为12.此时2AP ==.故选：A 【点睛】本题主要考查了立体几何中的轨迹问题,根据动点到定点与定直线间的距离相等即可知轨迹为抛物线,属于基础题型.二、填空题13．若命题“0x R ∃∈使得200250x mx m +++≤”为假命题，则实数m 的取值范围是_____.【答案】(2,10)-【解析】根据命题为假命题可根据其否命题为真命题求解. 【详解】因为命题“0x R ∃∈使得200250x mx m +++≤”为假命题,故“x R ∀∈,2250x mx m +++>”恒成立.故()()()242501020m m m m -+<⇒-+< .解得210m -<<. 故答案为：(2,10)- 【点睛】本题主要考查了特称命题的否定与恒成立问题,属于基础题型. 14．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝ac ，则B =_______．【答案】【解析】试题分析：由a 2＋c 2－b 2＝ac ，得，由于，所以【考点】余弦定理.15．太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物，太极图无不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用不等式组()22224011x y x x y ⎧+≤⎪⎪≤⎨⎪++≥⎪⎩或()2211x y +-≤来表示，设(),x y 是阴影中任意一点，则z x y =+的最大值为______.【答案】1【解析】将目标函数z x y =+对应的基准直线y x =-向上平移到阴影部分的边界位置，根据圆心()0,1到直线0x y z +-=的距离等于1列方程，由此求得z 的最大值. 【详解】根据线性规划的知识，将目标函数z x y =+对应的基准直线y x =-向上平移到阴影部分的边界位置，即直线0x y z +-=与圆()2211x y +-=在第一象限部分相切时，z 取得最大值. 根据圆心()0,1到直线0x y z +-=的距离等于1()10z =>，解得1z =【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查线性规划求最大值，属于基础题.过抛物线24y x =的焦点F 且倾斜角为o 60的直线交抛物线于,A B 两点，以,AF BF 为直径的圆分别与y 轴相切于点,M N ，则||MN =16．.【解析】由题意可根据焦半径公式求得,AF BF ,再利用||MN 等于,AF BF 中点纵坐标之差求解即可. 【详解】由焦半径公式有241cos60AF ==-︒,241cos603BF ==+︒.又||MN 等于,AF BF中点纵坐标12,y y 之差.又11sin 602y AF =⨯⨯︒=,11sin 6023y BF =-⨯⨯︒=-.故12||MN y y ⎛=-== ⎝⎭【点睛】本题主要考查了抛物线的焦半径公式与中点纵坐标的运算方法,属于中等题型.三、解答题17．已知全集U =R ，非空集合{|(2)[(31)]0}A x x x a =--+<，2{|2}B x a x a =<<+,记:,:p x A q x B ∈∈，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】1113[,)(,2332--【解析】讨论集合A 中二次不等式的两根的大小关系进行分类求解,再根据集合间的关系对区间端点进行列式求解即可. 【详解】 解：:,:p x A q x B ∈∈,p 是q 的必要条件,A B ∴⊆.(1)当312a +>,即13a >时,{|231}A x x a =<<+. 由A B ⊆得22312a a a ≤⎧⎨+≤+⎩,解得1332a <≤. (2)当312a +=,即13a =时,A =∅,不符合题意,舍去. (3)当312a +<,即13a <时,{|312}A x a x =+<<.由A B ⊆得23122a a a ≤+⎧⎨≤+⎩,解得1123a -≤<. 综上,实数a 的取值范围是1113[,)(,]2332--. 【点睛】本题主要考查了分类讨论的思想以及集合间的基本关系,属于中等题型. 18．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知36S =-，642S =. (1)求n a ，n S ；(2)证明1n S +，n S ，2n S +是成等差数列.【答案】（1）()2nn a =-，()2[12]3nn S =---（2）证明见解析【解析】(1)利用基本量法求解首项与公比,进而求得n a ,n S . (2)根据(1)中所得的n S 证明+122n n n S S S +=+即可. 【详解】解：(1)由题意设等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为q ,则1q ≠,则313616(1)61(1)421a q S q a q S q ⎧-==-⎪-⎪⎨-⎪==⎪-⎩,从而317q +=-,即38q =-,所以2q =-,12a =-,所以()2nn a =-,()()()()2[12]2[12]123nnn S -⨯--==-----.(2)由(1)知,()()121222[12][12]33n n n n S S +++++=------()()+122[222]3n n +=----- ()()2[22242]3n n =-+⨯--⨯-()4[12]23nn S =---=,所以1n S +,n S ,2n S +成等差数列． 【点睛】本题主要考查了基本量法求等比数列通项公式的方法以及数列求和等.属于中等题型. 19．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BC 边上的中线AD m =，满足2224a bc m +=. (1)求BAC ∠；(2)若4a =，求ABC ∆的周长的取值范围. 【答案】（1）3π（2）(8,12] 【解析】(1)利用ADB ∠与ACB ∠互补,余弦值相反再根据余弦定理列式求解即可. (2)根据正弦定理求得外接圆直径,再将周长转换为关于角度的函数,利用三角恒等变换的方法求解即可. 【详解】解：(1)在ABD ∆中,2221cos 4c m a ma ADB =+-∠. 在ACD ∆中,2221cos 4b m a ma ACB =+-∠. ADB ACB π∠+∠=,cos cos 0ADB ACB ∴∠+∠=, 2222122b c m a ∴+=+,222211()24m b c a ∴=+-.2224a bc m +=,2222222a bc b c a ∴+=+-,即222b c a bc +-=,2221cos 22b c a BAC bc +-∴∠==.0BAC π<∠<,3BAC π∴∠=.(2)由4a =,3BAC π∠=及正弦定理得4sin sin sin 3sin3a b c A B C π====, 2,sin()3b Bc C B π∴===-,23sin()(sin )32b c B B B B π∴+=-=+8sin()6B π=+.203B π<<,5666B πππ∴<+<,1sin()126B π<+≤,(4,8]b c +∈, 故ABC ∆的周长的取值范围是(8,12]. 【点睛】本题主要考查了解三角形中正弦与余弦定理的运用,同时也考查了利用边化角的方法求解周长最值的方法,属于中等题型.20．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，过点(2,0)E -的直线l 与C 相交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D . (1)证明：直线BD 经过点F ； (2)设0FA FB =，求直线AB 的方程 .【答案】（1）证明见解析（2）20,20x x ++=+=【解析】(1)联立l 与抛物线的方程,求得韦达定理,再求解直线BD 的方程,令0,y =从而求得横坐标,利用韦达定理证明等于F 的横坐标即可.(2)利用(1)中的二次方程与韦达定理,利用坐标表达0FA FB =,代入韦达定理化简求解即可. 【详解】(1)依题意,可设l 的方程为2(0)x my m =-≠.由282y x x my ⎧=⎨=-⎩得28160y my -+=, 则264640m ∆=->,1m >或1m <-.设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则11(,)D x y -,12128,16y y m y y ∴+==,直线BD 的方程为212221()y y y y x x x x +-=⋅--,即222218()8y y y x y y -=⋅--.令120,28y y y x ===得,所以直线BD 经过点F . (2)由①知,21212(2)(2)84x x my my m +=-+-=-,221212488y y x x ==g .11(2,),FA x y =-uu r Q 22(2,)FB x y =-uu r,212121212(2)(2)2()4163216FA FB x x y y x x x x m ∴⋅=--+=-+++=-u u r u u r,故232160m -=,解得m =,所以l 的方程为20,20x x ++=+= 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系,需要联立直线与抛物线的方程,利用韦达定理转换题中对应的条件,再代入化简求解.属于中等题型.21．如图,三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2,底面ABC ⊥侧面11AA B B ,01160,AA B P ∠=为1CC 的中点,11AB A B O ⋂=.(1)证明：1AB ⊥平面1A OP .(2)若M 是棱AC 上一点,且满足045MOP ∠=,求二面角1M BB A --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）13【解析】试题分析：（1））取AB 的中点D ，连接,,OP CD OD ，易证OPCD 为平行四边形，从而OP CD .由底面ABC ⊥侧面11AA B B ，可得 C D ⊥侧面11AA B B ，即1AB OP ⊥，又侧面11AA B B 为菱形，所以11AB A B ⊥，从而1AB ⊥平面1A OP ，可证得AB 1⊥A 1P ．（2）以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系z xoy -.利用向量法求解． 试题解析;（1）取AB 的中点D ，连接,,OP CD OD ，易证OPCD 为平行四边形，从而OP CD .由底面ABC ⊥侧面11AA B B ，底面ABC ⋂侧面11AA B B AB =，CD AB ⊥，CD ⊆底面ABC ，所以CD ⊥侧面11AA B B ，即OP ⊥侧面11AA B B ，又1AB ⊆侧面11AA B B ，所以1AB OP ⊥，又侧面11AA B B 为菱形，所以11AB A B ⊥，从而1AB ⊥平面1A OP ，因为1A P ⊆平面1A OP ，所以11AB A P ⊥.（2）由（1）知，1OP OA ⊥，OP OA ⊥，1OA OA ⊥，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系z xoy -.因为侧面11AA B B 是边长为2的菱形，且1160AA B ∠=︒，所以()0,0,0O ，()0,1,0A ，()10,1,0B -，()B，12C ⎛ ⎝，(P，得(OP =.设()0AM AC λλ=>，得1,12M λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以1,122OM λλ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以3OP OM λ⋅=.而cos OP OM OP OM MOP ⋅=⋅⋅∠=232λ.所以2313λ⎛⎫=，解得12λ=.所以34M ⎛⎝⎭，()1B B =，174B M ⎛= ⎝⎭.设平面1B BM 的法向量()1,,n x y z =，由111100B B n B M n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得3070442x y x y z ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩，取()11,3,3n =-.而侧面11AA B B 的一个法向量()20,0,1n =.设二面角1M BB A --的大小为θ.则121212coscos ,n n n nn n θ⋅===13= 22．已知(2,0)P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点，点M 在椭圆C 的长轴上，过点M 且不与x 轴重合的直线交椭圆C 于A B 、两点，当点M 与坐标原点O 重合时，直线PA PB 、的斜率之积为1-4．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若2AM MB =，求OAB ∆面积的最大值．【答案】(1) 24x +y 2＝1;(2) △OAB 面积的最大值为1 【解析】（1）设1(A x ，1)y ，1(B x -，1)y -，可得2121144PA PBy k k x ==--．又2211221x y a b+=，代入上式可得：2214b a -=-，2a =，解得b ，即可得出椭圆C 的标准方程．（2）设直线AB 的方程为：(0)x ty m t =+≠，(22)m -剟．1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，与椭圆方程联立化为：222(4)240t y mty m +++-=，有2A M M B =，可得122y y =-，利用根与系数的关系可得：22241694t m t +=+．OAB ∆的面积12213|()|||22S m y y my =-=，即可得出． 【详解】解：（1）设1(A x ，1)y ，1(B x -，1)y -，则2121144PA PBy k k x ==--． 又2211221x y a b +=，代入上式可得：2214b a -=-， 又2a =，解得1b =．∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． （2）设直线AB 的方程为：(0)x ty m t =+≠，(22)m -剟．1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立2244x ty mx y =+⎧⎨+=⎩，化为：222(4)240t y mty m +++-=， 12224mt y y t ∴+=-+，212244m y y t -=+，2AM MB =，122y y ∴=-，∴122152y y y y +=-，代入可得：22241694t m t +=+． OAB ∴∆的面积12213|()|||22S m y y my =-=，22222222222299416161694494(4)(94)(94)t t t S m y t t t t +∴==⨯⨯=⨯++++．212||1214949||||t S t t t ∴==++…，当且仅当249t =时取等号．OAB ∴∆面积的最大值为1．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、向量运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。