初中平面几何中的定值问题讲课讲稿

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初中数学讲座-初中数学平面几何解题教学 (讲座稿)

新课程下的初中平面几何解题教学
——以二道中考平几压轴题为例
★“课标”（2011）的相关要求

数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维和推理能力，培养学生的创新意识和实践能力，促进学生在情感上、态度与价值观方面的发展。各学段中，安排了四个部分的内容：数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践。推理能力的发展应贯穿于整个数学学习的过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，经过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。
图4
图5
类比探究：等腰直角三角形
拓展1 在任意△ABC中,F、G、M分别是AB、AC、BC的中点，分别以AF、AG为边向外作正n边形（n为大于2的整数），如：正三角形ADF，正三角形AGE（图6）；正方形AFDL，正方形 AGEO（图7）；正五边形AGEXY（图8）；‥ ‥， ∠EMD=y.
图6
解析：（1）EB=FD，理由如下.
因为以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作为等边三角形 ABF和ADE，所以AF=AE， ∠FAB= ∠EAD=60°.因为∠FAD= ∠BAD+∠FAB=90°+60°=150°，∠BAE=∠BAD+∠EAD=90° +60°=150°，所以∠FAD=∠BAE.在△AFD和△ABE中，AF=AE， ∠FAD =∠BAE，AD=AB，所以△AFD≌△AEB，所以EB=FD.

14】第十四讲解析几何中的定点、定值和存在性问题

64m2 k 2 16(3 4k 2 )(m2 3) 0 ， 3 4k 2 m2 0 ．
x1 x2
8mk 4(m2 3) , x x . 1 2 3 4k 2 3 4k 2
2 2
3(m2 4k 2 ) y1 y2 (kx1 m) (kx2 m) k x1 x2 mk ( x1 x2 ) m . 3 4k 2
2p 2p 2 pk 即 k ( x 2 p) y tan tan 0．
此时，直线 AB 的方程可表示为 y kx
所以直线 AB 恒过定点 2 p, 所以由（1）（2）知，当定点 2 p,

2p tan
．
y 2 2 px( P 0) 联立消去 x ，得 k 2 y 2
3
p y 2
p 0 b 韦达定理知由
y1 y2
2p 2 pb ①． , y1 y2 k k
（ 1 ）当

2
时，即

2
时， tan tan 1 所以
y1 y2 1, x1 x2 y1 y2 0 ， x1 x2
1 2k 2 1 ． , y1 y2 2a 16a 2
1 k 2 1 1 1 k 2 ． , pq y1 y2 ( y1 y2 ) a 4a 16a 2 4a 2
2 y12 y2 2 pb y1 y2 0 所以 y1 y2 4 p 2 由①知： 4 p 2 所以 b 2 pk. 因此直线 AB 的方程可 2 4p k
表示为 y kx 2 Pk ，即 k ( x 2 P) y 0 所以直线 AB 恒过定点 2 p, 0 ．（2）当

中考数学复习研讨会几何中的最值与定值问题公开课PPT课件

在圆中
变式2.定平方和：
如图，⊙O的半径为R，AB、CD是⊙O的任意两条弦且 ABCD于M。求证：+为定值。
C
B
AM
D
如图，内接于⊙O的四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于点K，设⊙O的半径为R。求证：
变式3.定倒数和：
如图，过⊙O内定点P作任意弦AB，又过A、B作两切线，自点P作两切线的垂线PQ、PR，垂足为Q、R。
练习
1. △ABC中，AB=AC=2，BC边有100个不同点P1， P2，……，P100，记mi=APi2+Bpi×PiC (i=1,2,3,……,100). 则m1+m2+……+m100=＿＿＿.
2. 如图，以G（0，1）为圆心，半径为 2的圆与轴交于A，B两点，与y轴交于C， D两点，点E为⊙G上一动点，于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，求点F所经过的路径长。
如图，已知A是定角的平分线上一个定点，过 A任作一条直线与
N
变式4.定角：
如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足。求证：不管ST滑到什么位置，是一定角。
T M S
AP
O
B
4.坐标系中
如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线 PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线 ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长
等边三角形中的定值问题：

提分攻略十解析几何中的7种定值问题课件(共26张PPT)

则 y1＋y2＝－m22＋m 4， y1y2＝－m23＋4，直线 A1P 的方程为 y＝x1y＋1 2(x＋2)，直线 A2Q 的方程为 y＝x2y－2 2(x－2)，由yy＝＝xx12yy＋－12 22xx＋－22，，
得x1y＋1 2(x＋2)＝x2y－2 2(x－2)，即 x＝2·yy22xx11＋＋22＋－yy11xx22－－22 ＝2·yy22mmyy11＋＋33＋－yy11mmyy22－－11 ＝2·2my13yy2＋2＋3yy12－y1 ＝2·2m·m－23＋·3m4－＋2＋23m4m－－2＋2y1m4＋－yy11－y1 ＝4。所以当 m 变化时，点 S 恒在定直线 x＝4 上。
所以△AOB 的面积为定值 1。
综上，△AOB 的面积为定值 1。
类型五数量积为定值【例 5】已知圆 C：x2＋(y－3)2＝4，一条动直线 l 过点 A(－1,0)与圆 C 相交于 P，Q 两点，M 是 PQ 的中点，l 与直线 m：x＋3y＋6＝0 相交于 N，探索A→M·A→N是否与直线 l 的倾斜角有关。若无关，请求出其值；若有关，请说明理由。
所以a42＋b12＝1，ac＝ 23。又因为 a2＝b2＋c2，解得 a2＝8，b2＝2，所以椭圆 C 的方程为x82＋y22＝1。设直线 PQ 的方程为 y＝kx＋b，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b，直线 PA 的斜率 kPA＝xy11－－21，直线 QA 的斜率 kQA＝xy22－－21。因为∠PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴，所以 PA 与 AQ 所在的直线关于直线 x＝2 对称。
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提分攻略十解析几何中的7种定值问题

全国初中数学竞赛辅导(初3)第17讲平面几何中的定值问题(20200619101924)

第十七讲平面几何中的定值问题定值问题的证明或计算，一般是通过图形的定量，如线段和定角来讨论的．如果问题中已明确给出定值，那么一般通过线段和角的和、差、倍、分的推导或计算来解决；如果问题中未给出定值，可以利用特殊的方法推测出定值，然后再加以一般化的证明．下面举几个例题，说明上述思考方法．例1 如图3－80．已知△ABC中，AB=AC，P是其底边BC上任一点，设AP交△ABC的外接圆于Q点，求证：AP·AQ为定值．分析欲证AP·AQ为定值，我们先用特殊化方法找出这个定值是什么，然后再给以一般化的证明．为此，我们取P与B(或C)重合，则Q点也必与B(或C)重合，则AP·AQ应等于AB2(定值)，以下证明这个推测．证连结BQ．因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB．又因为∠ACB=∠AQB，所以∠ABC=∠AQB．又因为∠BAQ=∠PAB，所以所以 AP·AQ=AB2(定值)．注意如果连结QC，将怎样证明？请读者思考．例2 如图3－81．已知△ABC中，AB=AC，如果直线EF，MN都垂直于BC，试证明：不论MN，EF怎样平行移动，只要MN，EF之间的距离不变，五边形AMNFE的周长是一个定值．分析从图3－81中可以发现，如果引AD⊥BC于D，由已知条件可知AB(或AC)，AD，NF，BD(或CD)都为定值，因此，若五边形AMNFE的周长转化为以上各线段的表达式，则可判定其为定值．证作AD⊥BC于D，则所以所以又因为所以所以所以由于△ABC为确定的等腰(AB=AC)三角形，所以AD，BD，CD，AB为定值，又因为EF，MN之间距离为定长，所以NF为定值．所以五边形AMNFE的周长为定值．例3 设OA，OB是已知圆O的任意两条半径，过B引BE⊥OA于E，过E作EP⊥AB于P．求证：OP2+EP2为定值(图3－82)．分析由已知A，B为⊙O上任意两点，如果固定A，让B在圆上移动，当B点移动到半圆中点时，BE变成了半径r，E与O重合，证延长OP交⊙O于C，D(图3－82)．因为在直角三角形AEB中，∠AEB=90°，EP⊥AB于P，所以EP2=AP·PB=CP·PD＝(OC-OP)·(OD+OP)＝r2-OP2，例4 若P为圆O内一定点，过P任作一弦AC，分别过A，C引圆的切线，再过P分别作两切线的垂线，垂足为Q，R(如图3－84)，分析根据已知，AC为过圆O内定点P的任意一弦，为了找定值，使AC特殊化，令AC为直径，则P是直径AC上的一个定点，这时由于PC，PQ同时垂直于切线，所以Q，C两点重合．同理A，R也重合(图3－85)．于是，下面证明这个推测结论．证在图3－84中，作直径AB，连BC，并过OP作直径EF．由于∠ACB=90°，于是△ABC∽△APR．例4 若P为圆O内一定点，过P任作一弦AC，分别过A，C引圆的切线，再过P分别作两切线的垂线，垂足为Q，R(如图3－84)，分析根据已知，AC为过圆O内定点P的任意一弦，为了找定值，使AC特殊化，令AC为直径，则P是直径AC上的一个定点，这时由于PC，PQ同时垂直于切线，所以Q，C两点重合．同理A，R也重合(图3－85)．于是，下面证明这个推测结论．证在图3－84中，作直径AB，连BC，并过OP作直径EF．由于∠ACB=90°，于是△ABC∽△APR．例4 若P为圆O内一定点，过P任作一弦AC，分别过A，C引圆的切线，再过P分别作两切线的垂线，垂足为Q，R(如图3－84)，分析根据已知，AC为过圆O内定点P的任意一弦，为了找定值，使AC特殊化，令AC为直径，则P是直径AC上的一个定点，这时由于PC，PQ同时垂直于切线，所以Q，C两点重合．同理A，R也重合(图3－85)．于是，下面证明这个推测结论．证在图3－84中，作直径AB，连BC，并过OP作直径EF．由于∠ACB=90°，于是△ABC∽△APR．例4 若P为圆O内一定点，过P任作一弦AC，分别过A，C引圆的切线，再过P分别作两切线的垂线，垂足为Q，R(如图3－84)，分析根据已知，AC为过圆O内定点P的任意一弦，为了找定值，使AC特殊化，令AC为直径，则P是直径AC上的一个定点，这时由于PC，PQ同时垂直于切线，所以Q，C两点重合．同理A，R也重合(图3－85)．于是，下面证明这个推测结论．证在图3－84中，作直径AB，连BC，并过OP作直径EF．由于∠ACB=90°，于是△ABC∽△APR．。

几何8 教师版平几中的定值与最值

第五讲平几定值与最值本讲概述平面几何定值的求解思路：1．取特殊或极端位置猜测，在一般位置论证 2．通过推导、计算平面几何最值的求解思路： 1．图形中的特殊点2．注意到图形中元素间相互特殊关系 3．引入变量，利用二次函数求极值4．引入三角函数，利用三角函数的极值性 5．利用不等式 6．运用有关结论：①周长一定的简单闭曲线的平面图形中，圆的面积最大； ②面积一定的简单闭曲线的平面图形中，圆的周长最小； ③周长一定的平面n 边形中，正n 边形面积最大； ④面积一定的平面n 边形中，正n 边形周长最小．例题精讲板块一平面几何定值【例1】如图，ABC △为正三角形，动点D 在直线BC 上，过点D 作DE AC ⊥于E ．过点D 作BC 的垂线交过E 所作AB 的垂线于F ，CF 交AB 于P ．证明：APPB恒为定值．【解析】如图，作PS FE ∥，PQ FD ∥，连结QS ．显然，DEF △是正三角形．此时， PQ CP PSFD CF FE==．从而PQ PS =，易知60QPS DFE ∠=∠=︒．故PQS △也是正三角形．因为CQ CP CS CD CF CE ==，所以QS DE ∥．从而，PQ BC ,QS CA ,SP AB ⊥⊥⊥．于是，易知ASP BPQ CQS △∽△∽△．因此，AP BQ =．易知12BQ PB =，故12AP PB =（定值）．【例2】如图，AB 为半圆O ⊙的直径，动点C 在半圆O ⊙上，CD AB ⊥于点D ．1O ⊙与AC ,CD ,AD ︵都相切，2O ⊙与BC ,CD ,DB ︵都相切，切点E ,F 在A ,B 上．证明：不论点C 位置如何，ECF ∠恒为定值．S Q P FED C B A高二·联赛班·暑假第5讲·教师版32【解析】设2O ⊙与BC ︵相切于点M ，与CD 相切于点N ，如图．易知2O ,O ,M 三点共线．由OA OM =，得OAM OMA ∠=∠；类似，22O NM O MN ∠=∠；由2NO AO ∥，得2AOM NO M ∠=∠．故22OMA O MA O MN ∠=∠=∠，从而A ,N ,M 三点共线．于是，有2AF AN AM =⋅．又易知2AC AD AB AN AM =⋅=⋅，因此AC AF =．同理BC BE =．此时CEF CFE BEC AFC ∠+∠=∠+∠11909022ABC BAC ⎛⎫⎛⎫=︒-∠+︒-∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111801809013522ABC BAC =︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒．故18013545ECF ∠=︒-︒=︒（定值）【例3】如图，在ABC △中，AB AC =，动直线l 通过点A （l 不通过BAC ∠内部），已知1O ⊙与直线l 、AB 及BC 都相切，2O ⊙与直线l 、AC 及BC 都相切．证明：不论直线l 的位置怎样变化，12O ,O ⊙⊙的半径之和为定值．【解析】设12O ,O ⊙⊙半径为12R ,R ，如图，作ABC △的高AD ．分两种情况：①当l BC ∥时，易知12O ,O ⊙⊙是两个等圆，且1212R R AD +=，所以， 12R R AD +=（定值）②当l 不平行于BC 时，设l 交BC 于点P ，易知12P ,O ,O 三点共线．记22APO CPO θ∠=∠=．设12E ,E 是两个切点，2PO 交AD 于S ，作AK l ⊥，点K 在2PO 上，易证AK AS =．注意到111tan tan ()2R PE PA PB AB θθ=⋅=⋅+-， 221tan tan ()2R PE PA PC AC θθ=⋅=⋅++，故121tan (2)2R R PA PB PC θ+=⋅++1tan (22)2PA PD θ=⋅+ tan tan PA PD θθ=⋅+⋅AK SD AS SD AD =+=+=（定值）【例4】如图，Q ⊙的直径A Bd =（定值）．O ,O '⊙⊙是两个动圆，它们既同时与⊙Q 内切，又同时与AB 相切．过点B 作Q ⊙的切线交射线AO ,AO '于点E ,F ；过点A 作Q ⊙的切线交射线BO ,BO '于点G ,H ．ABDFO E 1E 2S K P D O 2O 1l C B A证明：不论O ,O '⊙⊙的位置、大小怎样变化，AEF BGH S S +△△恒为定值．【解析】如图，设O ⊙切AB 于点D 、切Q ⊙于点M ．显然，Q ,O ,M 三点共线，OD AB ⊥．记()AD a ,BD b a b ==>，则 AB a b =+，1()2QM QA QB a b ===+，1()2QD a b =-．令OD x =，则1()2OQ a b x =+-．由222OQ OD QD =+，得22211()()22a b x x a b ⎡⎤⎡⎤+-=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，解得abx a b=+．易知AG ODAB BD=，即abAG a b a b b +=+．从而AG a AD ==．同理BE BD b ==．所以AG AE AD BD a b d +=+=+=．同理AH BF d +=．故[]2111()()()()222AEF BGH S S AB EF GH AB AG BE AH BF d d d d +=+=+++=+=△△（定值）板块二平面几何最值【例5】如图，已知圆O 内部有2n 个小圆，其中每个都与其相邻的两个小圆相切，并且都与圆O 内切，其切点顺次为122n A ,A ,,A ．在这2n 个切点中，若任意相邻两切点1i i A ,A +的距离为11211(122)i i i,i n A A a i ,,,n ,A A +++===，且234521,,n ,a a a λ⋅⋅= ．证明：1234212,,n ,n a ,a ,,a -【解析】设圆O 与2n 个小圆i O 的半径分别为(122)i R ,R i ,,,n = ，12AOA θ∠=．则221212122sin2(1cos )2,,A A a R ,a R θθ===- ．由余弦定理，212112()cos ()()R R R R R RR R R R θ-+-=--，所以221212124()(),R R R a R R R R =--．同理，221114(3521)()()i i i ,i i i R R R ai ,,,n R R R R +++==--- ，从而2212212342121224()()()()n n n,,n ,n n R R R R a a a R R R R R R -=--- ．同理，221222345211224()()()()n n n,,n,n R R R R a a a R R R R R R =--- ，故1234212234521,,n ,n ,,n,a a a a a a λ-== ．DMO 'OQHGF EBA2nA 1高二·联赛班·暑假第5讲·教师版34于是可得1234212,,n ,n a ,a ,,a -【例6】在Rt ABC △中，斜边2AC =，O 为AC 的中点，I 是ABC △的内心．求OI 的最小值．【解析】如图，以O 为圆心，OA 为半径作圆，连BI 延长交O ⊙于M ．则IAM OAM OAI CAM OAI ∠=∠+∠=∠+∠π142CBM OAI A =∠+∠=+∠ABI IAB AIM =∠+∠=∠．故M A M I =，知MAI △为等腰三角形，又MC MA =︵︵，则MC MA =． AMC △为等腰直角三角形．以M 为圆心，MA 为半径作圆，则点I 在M ⊙上，连MO 延长交M ⊙于I '．易知OI OM IM MI OM OI ''+==+≥．于是，OI OI MI OM '=-≥．因AMC △为等腰直角三角形，则2AC =，MA ,MI MA ===又1OM =，故1OI ．即OI1．注：用内切圆代换法可转换为代数问题求解【例7】设ABCD 是一个梯形（AB CD ∥），E 、F 分别是线段AB 、CD 上一点，线段CE 与BF 相交于H ，线段ED 与AF 相交于G ．求证：14EHFG ABCD S S ≤．如果ABCD 是一个任意的凸四边形，结论是否还成立．【解析】先证一个引理：梯形ABCD （AB CD ∥）中，AC ，BD 交于E ，则14ADE BEC ABCD S S S =△△≤．显然ACD BCD S S =△△，都减去CDE S △，即有ADE BEC S S =△△，设为S ，则 CDEABE S S DE S BE S==△△，所以2ABE CDE S S S =△△．由均值不等式，224ABCD ABE CDE S S S S S S =++=△△≥，故14ADE BEC ABCD S S S =△△≤．回到原题，由引理，1144EGF AEDF EHF BECF S S ,S S △△≤≤，相加即得14EHFG ABCD S S ≤．如果ABCD 是任意的凸四边形，结论未必成立．当0DA ,E B ,F C →→→时，EFGH ABCD S S →，所以当AD BE CF ,,BC AB CD 足够小时，14EHFG ABCD S S >．【例8】（*选讲）给定a2a <，内接于单位圆Γ的凸四边形ABCD 适合以下条件：①圆心在这凸四边形内部；②最大边长是a过点A ,B ,C ,D 依次作圆Γ的四条切线A B C D L ,L ,L ,L ．已知A L 与B L 、B L 与C L 、C L 与D L 、D L 与A L 分别相交于A ,B ,C ,D ''''四点．OI'MICB AA求面积之比A B C D ABCDS S ''''的最大值与最小值．【解析】 01年CMO 试题．设圆Γ的圆心为O ，并记12342222AOB ,BOC ,COD ,DOA θθθθ∠=∠=∠=∠=．于是1234,,,θθθθ都是锐角，且1234πθθθθ+++=，不难求得 44111sin 2tan 2ABCDi A B C D i i i S ,S θθ''''====∑∑．由于上式关于1234,,,θθθθ对称，不妨设AB a ,AD ==1234θθθθ≥≥≥，则14sin sin 2a ,θθ==1423π2θθθθ+==+．∴141414111sin()12tan tan cos cos cos sin sin 2θθθθθθθθθ++===2322tan tan sin 2θθθ+=121222sin 2sin 2sin 2sin 2A B C D ABCDS T S θθθθ''''+==+，而1211πsin 224,θθθ=≤≤，∴21sin 212θ≤．由于T 是关于2sin 2θ的严格减函数，maxmin 22228(4)1122T ,T a a ===-⎛⎝．大显身手1．证明：定圆(R)上任意一点到内接正三角形三个顶点距离的平方和是一个定值. 【解析】如图，⊿ABC 是定圆O(R)的内接正三角形，若P 与正⊿ABC 一个顶点重合（如P 与B 重合），则 PA 2+PB 2+PC 2=BA 2+BC 2=2BA 2=6R 2，即定值是6R 2. 可以证明，PA=PB+PC ，∠BPA=∠BCA=600. 在⊿PAB 中，由正弦定理得，AB 2=PA 2+PB 2-2PA ·PB ·cos600=PA 2+PB 2-PA ·PB ，同理，AC 2=PA 2+PC 2-2PA ·PC ·cos600=PA 2+PC 2-PA ·PC ，相加，AB 2+AC 2=2PA 2+PB 2+PC 2-PA(PB+PC)=PA 2+PB 2+PC 2，即PA 2+PB 2+PC 2=AB 2+AC 2=2AB 2=6R 2(定值).高二·联赛班·暑假第5讲·教师版362．如图，由圆()O r 外的定直线l 上任意点A 引二切线AB ,AC ．试证：两切点之间弦BC 恒过定点．【解析】要证BC 恒过定点，则需要证明这一点在某一线段上与O 点距离为定值，为此作OH l ⊥于H ，设BC 与OH 交于P ，连Oa ，则OA BC ⊥，设交BC 于D ，则A ,D ,P ,H 四点共圆．故OP OH OD OA ⋅=⋅．又22ODOA OB r ==，从而2r OP OH=为定值．由此可知P 为定点，由BC 过P 点可知结论成立．3．设12C ,C 为同心圆，2C 的半径是1C 的半径的两倍，四边形1234A A A A 内接于圆1C ，设41A A 延长线交圆2C 于1B ，12A A 延长线交圆2C 于2B ，23A A 延长线交圆2C 于点3B ，34A A 延长线交圆2C 于点4B ．试证：四边形1234B B B B 的周长2(≥四边形1234A A A A 的周长)．并确定等号成立的条件．【解析】设圆心为O ，连结144OB ,OB ,OA ，设1C 的半径为R ，则2C 的半径为2R ．在四边形441B A OB 中，由托勒密定理，414144441OA B B OB A B OB A B ⋅+⋅⋅≥．即14444122R B B R A B R A B ⋅+⋅⋅≥，14414422B B A B A B -≥．同理12121122B B A B A B -≥，23232222B B A B A B -≥，34343322B B A B A B -≥，相加得12233441122334412()B B B B B B B B A A A A A A A A ++++++≥，即四边形1234B B B B 的周长2(≥四边形1234A A A A 的周长)．等号成立时，1i i i OA B B +共圆，1111i i i i i i i iA AOB B O B B O A AO +++-∠=∠=∠=∠， ∴1234A A A A 为菱形，又为圆内接四边形，所以1234A A A A 为正方形．H P D O l C B A。

平面几何中的定值问题

心, 射线 AO 交 BC 于点 D , 动直线 l 交 AB 、 AC 于点 E 、 F . 如果 A 、 E、 D、 F 四点共圆 , 那么, 线段 EF 在 BC 上的正射影恒为定值 . 讲解: 如图 6, 作 DM L AB 于点 M , DN L AC 于点 N , MMc L BC 于点 Mc, NNc L BC 于点 Nc. 显然, Mc N c是定值. 作 EE c L BC 、 FFc L BC . 易证 A 、 M、 D、 N 四点共圆 . 从而 , N DEM = N DFN . 所以 , v DEM V v DFN . EM DM sin A cos C 故 FN = DN = sin B= cos B .
2
=
3 2 2 3 ( R - r )+ Rr cos( 60 b- B) 4 2 1 Rr #2sin A + B#cos A - B 2 2 2
2 2 = 3 ( R - r ) + 3 Rr cos( 60 b- B) 4 2
3 Rr cos( 60 b- B) 2 = 3 2 2 ( R - r ) ( 定值) . 4
AB = a + b , QM = QA = QB = QD = 1 ( a- b ) . 2 1 ( a+ b ) - x . 2
2 2
1 ( a + b) , 2
令 OD = x , 则 OQ =
2 2 2
由 OQ = OD + QD , 得 1 ( a + b) - x 2 解得 x = ab . a+ b = x + 1 ( a - b) 2
PP 2 = PP 3 =
2
PA #PB , 2R PB #PC 2R .

第二十三讲平面几何的定值与最值问题(含解答)-

第二十三讲平面几何的定值与最值问题【趣题引路】传说从前有一个虔诚的信徒,他是集市上的一个小贩.••每天他都要从家所在的点A出发,到集市点B,但是,到集市之前他必须先拐弯到圆形古堡朝拜阿波罗神像.古堡是座圣城,阿波罗像供奉在古堡的圆心点O,•而周围上的点都是供信徒朝拜的顶礼地点如图1.这个信徒想,我怎样选择朝拜点,才能使从家到朝拜点,•然后再到集市的路程最短呢?(1) (2)解析在圆周上选一点P,过P作⊙O的切线MN,使得∠APK=∠BPK,即α=β.那么朝圣者沿A→P→B的路线去走,距离最短.证明如图2,在圆周上除P点外再任选一点P′.连结BP•′与切线MN•交于R,AR+BR>AP+BP.∵RP′+AP′>AR.∴AP′+BP′=AP′+RP′+RB>AR+BP>AP+BP.不过,用尺规作图法求点P的位置至今没有解决.•“古堡朝圣问题”属于数学上“最短路线问题”,解决它的方法是采用“等角原理”.【知识延伸】平面几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.•所谓几何定值问题就是要求出这个定值.在解决这类问题的过程中,可以直接通过计算来求出定值;也可以先考虑某一个特殊情形下的该相关值,然后证明当相应几何元素变化时,此值保持不变.例1如果△ABC的外接圆半径R一定,求证: abcS是定值.(S表示△ABC的面积)解析由三角形面积S=12absinC和正弦定理sincC=2R,∴c=2RsinC.∴abcS=2sincC=4sinsinR CC=4R是定值.点评通过正弦定理和三角形面积公式经过变形,计算出结果是4R,即为定值.平面几何中不仅有等量关系,还有不等关系,例如在变动一些几何元素时,•某一相关的值保持不大于(或不小于)某个定值,如果这个定值在某个情形下可以取得,•这就是一个几何极值.确定几何极值的问题称为几何极值问题,解决这些问题总要证明相关的几何不等式,并指明不等式成为等式的情形(或者至少证明不等式可以成为等式).例2 如图,已知⊙O的半径R=33,A为⊙O上一点,过A作一半径为r=3的⊙O′,问OO′何时最长?最长值是多少?OO′何时最短?最短值是多少?解析当O′落在OA的连线段上(即⊙A与线段OA的交点B时)OO′最短,且最短长度为33-3 ;当O′落在OA的延长线上(即⊙O与OA的延长线交点C时)OO′最长,且最长的长度为33+3 .点评⊙O′是一个动圆,满足条件的⊙O′有无数个,但由于⊙O′过A点,所以⊙O′的圆心O′在以A为圆心半径为3的⊙A上.【好题妙解】佳题新题品味例1 如图,已知P为定角O的角平分线上的定点,过O、P•两点任作一圆与角的两边分别交于A、B两点.求证:OA+OB是定值.证明连结AP、BP,由于它们为有相同圆周角的弦,AP=PB,不妨记为r.•另记x1=OA,x2=OB.对△POA应用余弦定理,得x12+OP2-2OP·cos∠AOP·x1=r2.故x1为方程x2-2OP·cos 12∠AOB·x+(O P2-r2)=0的根,同理x2亦为其根.因此x1,x2为此方程的两根,由韦达定理,得x1+x2=2OP(12∠AOB)是定值.点评当x 1=x 2时,x 1+x 2为此定值,事实上此时OP 一定是直径.例2 如图,在矩形ABCD 中,AB=8,BC=9,⊙O 与外切,且⊙O 与AB 、BC•相切.⊙O ′与AD 、CD 相切,设⊙O 的半径为x,⊙O 与⊙O ′的面积的和为S,求S•的最大值和最小值. 解析设⊙O ′的半径为y,过O 与O ′分别作CD 与BC 的垂线OH,O ′F,•垂足分别为H,F,OH 、O ′F 交于点E,则有:O ′E=8-(x+y),OE=9-(x+y) 由勾股定理可得:(x+y)2=[8-(x+y)]2+[9-(x+y)]2. 整理,得(x+y-29)(x+y-5)=0,由题意知1≤x ≤4,∴x+y=5,y=-x+5,∴S=πx+πy=π(2x-10x+25),=2π[(x-52)2+254], 故当x=52时,S min =252π; 当x=4时,S=17π.点评先由已知求出⊙O ′的半径也⊙O 的半径x 之间的关系,然后再根据面积公式写出S 与x 之间的关系,这个关系就是一个函数关系,再通过函数的性质得解.中考真题欣赏例 (南京市中考题)如图,⊙O 1与⊙O 2内切于点P,又⊙O 1切⊙O 2•的直径BE 于点C,连结PC 并延长交⊙O 2于点A,设⊙O 1,⊙O 2的半径分别为r 、R,且R ≥2r.•求证:PC ·AC 是定值.解析若放大⊙O 1,使⊙O 1切⊙O 2的直径于点O 2(如图), 显然此时有PC ·AC=PO 2·AO 2=2r ·R(定值). 再证明如图的情况:连结C O 1,PO 2,• 则PO 2•必过点O 1,•且O 1C ⊥BE,得CO 2=22121O O O C -=22R Rr -,从而BC=R+22R Rr -,EC=R-22R Rr -.所以PC ·AC=EC ·BC=2Rr,故PC ·AC 是定值. 点评解答几何定值问题时,可先在符合题目条件的前提下用运动的观点,从特殊位置入手,找出相应定值,然后可借助特殊位置为桥梁,完成一般情况的证明.竞赛样题展示例1 (第十五届江苏省初中数学竞赛题)如图,正方形ABCD的边长为1,•点P为边BC 上任意一点(可与点B或点C重合),分别过点B、C、D作射线AP的垂线,•垂足分别为点B′、C′、D′.求BB′+CC′+DD′的最大值和最小值.解析∵S△DPC= S△APC =12 AP·CC′,得S 四边形BCDA= S△ABP+ S△ADP+ S△DPC= 12AP(BB′+DD′+CC′),于是BB′+CC′+DD′=2 AP.又1≤AP≤2,故2≤BB′+CC′+DD•′≤2,∴BB′+CC′+DD′的最小值为2,最大值为2.点评本题涉及垂线可考虑用面积法来求.例2 (2000年“新世纪杯”广西竞赛题)已知△ABC内接于⊙O,D是BC•或其延长线上一点,AE是△ABC外接圆的一条弦,若∠BAE=∠CAD.求证:AD.AE为定值.证明如图 (1),当点D是BC上任意一点且∠BAE=∠CAD时,连结BE,则∠E=∠C,∠BAE=∠CAD,∴△ABE∽△ADC.∴AB AEAD AC=,即AD·AE=AB·AC为定值.如图 (2),当点D在BC的延长线上时,∠BAE=∠CAD.此时,∠ACD=∠AEB.∴△AEB∽△ACD,∴AB AE AD AC=即AD·AE=AB·AC为定值.综上所述,当点D在BC边上或其延长线上时,只要∠CAD=∠BAE,总有AD·AE为定值. 点评先探求定值,当AD⊥BC,AE为圆的直径时,满足∠BAE=∠CAD这一条件,•不难发现△ACD ∽△AEB,所以AD·AE=AB·AC,因为已知AB,AC均为定值.•再就一般情况分点D•在BC上,点D在BC的延长线上两种情况分别证明.全能训练A级1.已知MN是⊙O的切线,AB是⊙O的直径.求证:点A、B与MN的距离的和为定值.2.已知:⊙O与⊙O1外切于C,P是⊙O上任一点,PT与⊙O1相切于点T.求证:PC:PT是定值.3.⊙O 1与⊙O 2相交于P 、Q 两点,过P 作任一直线交⊙O 1于点E,交⊙O 2于点F.求证:∠EQF 为定值.4.以O 为圆心,1为半径的圆内有一定点A,过A 引互相垂直的弦PQ,RS.求PQ+RS 的最大值和最小值.5.如图,已知△ABC 的周长为2p,在AB 、AC 上分别取点M 和N,使MN•∥BC,•且MN 与△ABC 的内切圆相切.求:MN 的最值.CABMNA 级(答案)1.定长为圆的直径;2.利用特殊位置探求定值(当PC 构成直径时)是两圆的半径). 3.因∠E,∠F 为定角(大小固定)易得∠EQF 为定值.4.如图,设OA=a(定值),过O 作OB ⊥PQ,OC ⊥RS,B 、C 为垂足, 设OB=x,OC=y,0≤x ≤a,(0≤y ≤a),且x 2+y 2=a 2. 所以所以∴(PQ+RS)2=4(2-a 2+而x 2y 2=x 2(a 2-x 2)=-(x 2-22a )2+44a . 当x 2=22a 时,(x 2y 2)最大值=44a .此时;当x 2=0或x 2=a 2时,(x 2y 2)最小值=0,此时(PQ+RS )最小值=2（）. 5.设BC=a,BC 边上的高为h,内切圆半径为r. ∵△AMN ∽△ABC,2MN h r BC h -=,MN=a(1-2rh),• 由S △ABC =rp,∴r=2ABC S ahp p∆=, ∴MN=a(1-a p )=p ·a p (1-a p )≤p 2(1)2aa p p⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=4p ,当且仅当a p =1-a p ,即a=2p 时,取等号,∴MN 的最大值为4p.B级1.如图1,已知正方形ABCD的边长为3,点E在BC上,且BE=2,点P在BD上,则PE+PC的最小值为( )A.23B. 13C. 14D.15E D CAB PSQA B PM(1) (2) (3)2.用四条线段a=14,b=13,c=9,d=7.作为四条边构成一个梯形,•则在所构成的梯形中,中位线长的最大值是__________.3.如图2,⊙O的半径为2,A、B两点在⊙O上,切线AQ和BQ相交于Q,P是AB•延长线上任一点,QS⊥OP于S,则OP·OS=_______.4.已知,如图3,线段AB上有任一点M,分别以AM,BM为边长作正方形AMFE•、•MBCD.正方形AMFE、MBCD的外接圆⊙O、⊙O′交于M、N两点,则直线MN的情况是( •)A.定直线B.经过定点C.一定不过定点D.以上都有可能5.如图,已知⊙O的半径为R,以⊙O上一点A为圆心,以r为半径作⊙A,•又PQ与⊙A 相切,切点为D,且交⊙O于P、Q.求证:AP·AQ为定值.6.如图,⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点,经过点B•的一直线和两圆分别相交于点C 和D,设此两圆的半径为R 1,R 2.求证:AC:AD=R 1:R 2.B 级(答案)1.B.∵A 、C 关于BD 对称,连结AE 交BD 于P,此时PE+PC=AE 最短.2.11.5 (1)当上底为7,下底分别为14,13,9时,中位线长分别为10.5,10,8; (2)当上底为9和13时,均构不成梯形.3.连结OQ 交AB 于M,则OQ ⊥AB.连结OA,则OA ⊥AQ. ∵∠QMP=∠QSP=90°,∴S,P,•Q,M 四点共圆,故OS ·OP=OM ·OQ. 又∵OM ·OQ=OA 2=2,∴OS ·OP=2.4.B.由图可知直线MN 可看作⊙O 和⊙O ′的割线, 当M 在点A 时,直线MN 变为⊙O•′的切线, 当M 在点B 时,直线MN 变为⊙O 的切线.这两种情况是以AB•为直角边的等腰直角三角形的两直角边所在的直线,交点是第三个顶点M.M 是AB 的中点时,MN 是AB•的垂直平分线,也过第三个顶点,所以选B. 5.如图,作⊙O 的直径AB,连结AD. ∵PQ 切⊙A 于D,∴AD ⊥PQ, ∴AP ·AQ=AD ·AB.•而AD=r,AB=2R,∴AP ·AQ=2Rr 为定值.6.作AN ⊥CD,垂足为点N,连结AB,有AC.AB=AN.2R1,① AB ·AD=AN ·2R 2 .② ①÷②,得12R AC AD R ,∴AC:A D=R 1:R 2.。

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平面几何中的定值问题开场白：同学们，动态几何类问题是近几年中考命题的热点，题目灵活、多变，能够全面考查同学们的综合分析和解决问题的能力。

这类问题中就有一类是定值问题，下面我们来看几道题：【问题1】已知一等腰直角三角形的两直角边AB=AC=1，P 是斜边BC 上的一动点，过P 作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则PE+PF= 。

方法1：特殊值法：把P 点放在特殊的B 点或C 点或BC 中点。

此种方法只适合小题。

方法2：等量转化法：这是绝大部分同学能够想到的方法，PF=AE,PE=BE,所以PE+PF=BE+AE 。

方法3：等面积法：连接AP ，ABC ABP APC S S S AB AC AB PE AC PF ∆∆∆=+⇒⋅=⋅+⋅AB PE PF ⇒=+总结语：这虽然是一道动态几何问题，难吗？不难，在解决过程中（方法2抓住了边长AB的不变性和PE,PF 与BE,AE 的不变关系；方法3抓住了面积的不变性），使得问题迎刃而解。

设计：大部分学生都能想到方法2，若其他两种方法学生没有想到，也不要深究，更不要自己讲掉。

此题可叫差生或中等偏下的学生回答（赛比艳，艾科）（设计意图：由简到难，让程度最差的同学也有在课堂上展示自我的机会。

）过渡：这道题太简单了，因为等腰直角三角形太特殊了，我若把等腰直角三角形换成一般的等腰三角形，问题有没有变化，又该如何解决？请看：【变式1】若把问题1中的等腰直角三角形改为等腰三角形，且两腰AB=AC=5，底边BC=6，过P 作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则PE+PF 还是定值吗？若是，是多少？若不是，为什么?方法1：三角形相似进行量的转化ABM PBE PCF∆∆∆,AM PE PF AM PB AM PCPE PF AB PB PC AB AB⋅⋅⇒==⇒==()462455AM PB PC AM BC PE PF AB AB +⋅⋅⇒+====（板书）（M 为BC 中点）（解题要点：等腰三角形中，底边上的中线是常作的辅助线，抓住这条线的长度是不变量这个特点，建立PE,PF 与AM 之间的联系，化动为静）方法2：等面积法：ABC ABP APC S S S BC AM AB PE AC PF ∆∆∆=+⇒⋅=⋅+⋅642455BC AM PE PF AB ⋅⋅⇒+===（M 为BC 中点）（板书）（解题要点：抓住三角形面积是个不变量，用等面积法求解，这是在三角形中求解与垂线段有关的量的常用方法。

）(若学生想不到，可提示：在此题中，不变的东西是什么？不变的这个量和变量PE,PF 之间有什么联系，能不能用一个等式来表示？学生会三角形的边长，角度，周长，面积等都是不变量。

（设计意图：由特殊到一般，引出求垂线段长度的常用方法：等面积法）（教师行为：出示题之后，让学生做，教师下去看。

叫用方法1的同学先站起来回答，然后再叫用方法2的同学。

以达到过渡到下一题的目的。

）问：我把题中的5改为a ，6改为b ，PE+PF 还是定值吗？你能求出这个定值吗？答：是定值，求解方法不变。

问：由这题，你能得出等腰三角形的一个一般性结论吗？结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为定值PE+PF=bh a⋅(a 为腰长,b 为底边长,h 为的边上的高)（等面积法可以求解，注意当顶角为钝角的情况）（设计意图：培养学生探究的精神，养成勤总结的习惯）问题：通过前面几题，你能说说在解答动态几何问题时解题的关键是什么？应该注意什么问题？答：不要被"动"、"变"迷惑，通过观察，分析，动中窥静，变化之中求不变，从而明确图形之间的内在联系，找到不变量或不变关系，找到解题的途径。

在解题过程中要注意点或线在运动的过程中，是否需要讨论。

过渡：上面两题中的动点都是在一定线段或直线上运动，有些同学可能还是觉得不够刺激，下面再来一道刺激一点的，让点在一个区域内运动，请看：【变式2】已知P 为边长为a 的等边三角形ABC 内任意一动点， P 到三边的距离分别为h 1,h 2,h 3,则P 到三边的距离之和是否为定值？为什么？（由上题的启示，学生可能很容易想到等面积法）ABC ABP ACP BCP S S S S BC AM AB PE AC PF BC∆∆∆∆=++⇒⋅=⋅+⋅+⋅PE PF PD AM ⇒++= 为定值（M 为BC 中点）（板书）可以用几何画板度量长度，进行演示（设计意图：使学生更深一步理解等面积法的应用）过渡：研究完了P 在三角形内部运动的情况，我们不防降低对P 点的约束，让这个好动的点P 动到三角形外部去，情况又会有何变化？【变式3】已知P 为边长为a 的等边三角形ABC 外任意一点，P 到三边的距离分别为h 1,h 2,h 3,则P 到三边的距离之间有何关系？为什么？图1 图2图3CCC在几何画板中操作，发现当点P 移出三角形时，h 1＋h 2＋h 3发生改变，那么h 1,h 2,h 3有没有什么一定的关系呢？等面积法还可以用吗？△PAB ，△PBC ，△PAC 的面积有何关系？这三个三角形的面积和不变的三角形ABC 的面积有何关系？（直需讲解一种情况，其它让学生自己去补充）图1：ABC ABP ACP BCP S S S S BC AM AB PE AC PF BC PD ∆∆∆∆=+-⇒⋅=⋅+⋅-⋅PE PF PD AM ⇒+-=为定值（板书）图2：ABC ACP BCP ABP S S S S BC AM AC PF BC PD AB PE ∆∆∆∆=+-⇒⋅=⋅+⋅-⋅PF PD PE AM ⇒+-=为定值（只把结论板书）图3：ABC ABP BCP ACP S S S S BC AM AB PE BC PD AC PF ∆∆∆∆=+-⇒⋅=⋅+⋅-⋅PE PD PF AM ⇒+-=为定值（只把结论板书）图1 图2 图3 图1：ABC ACP ABP BCP S S S S BC AM AC PE AB PF BC PD ∆∆∆∆=--⇒⋅=⋅-⋅-⋅PF PE PD AM ⇒--=为定值（板书）图2：ABC ABP BCP ACP S S S S BC AM AB PE BC PD AC PF ∆∆∆∆=--⇒⋅=⋅-⋅-⋅PE PD PF AM ⇒--=为定值（只把结论板书）图3：ABC BCP ABP ACP S S S S BC AM BC PD AB PE AC PF ∆∆∆∆=--⇒⋅=⋅-⋅-⋅PD PE PF AM ⇒--=为定值（只把结论板书）（设计意图：渗透分类讨论思想在平面几何中的应用。

）（教师行为：在几何画板中作出个三角形，填充内部，让学生直观地发现几个三角形之间的面积关系。

）过渡：前面我们研究的都是以三角形为背景的动态几何定值问题，下面再看一道以圆为背景的定值问题。

C【问题2】已知：已知弧AB 为120度，在以AB 为弦的弓形劣弧上取一点M(不包括A 、B 两点)，以M 为圆心作圆M 和AB 相切，分别过A ，B 作⊙M 的切线，两条切线相交于点C.求证：∠ACB 有定值，并求出这个定值.分析：问：这个图形中不变的是什么？不变的角是那一个？答：此题中的不变量是弧AB ，因此∠AMB 也是不变量；不变关系是相切。

问：已知直线和圆已经相切，我们会想到什么？答：连接圆心与切线方法1：问：要证∠ACB 有定值，可以转化为求什么为定值？答：要证∠ACB 有定值，只需证∠CAB+∠CBA 是定值，只需证 ∠MAB+∠MBA 是定值，只要∠AMB 是定值即可。

证明：在△ABC 中，∠MAB+∠MBA=180 －∠AMB ， ∵M 是△ABC 的内心，∴∠CAB+∠CBA=2(180 －∠AMB).∴∠ACB=180 －（∠CAB+∠CBA ）=180 －2(180 －∠AMB)= 2∠AMB －180 ＝60 . ∴∠ACB 有定值60 .方法2：问：要证∠ACB 有定值，可以转化为求什么为定值？答：要证∠ACB 有定值，只需证∠EMF 是定值，只需证∠EMD+∠FMD 是定值，只要∠AMD+∠BMD 即∠AMB 是定值即可。

证明：在四边形CEMF 中，∠C+∠EMF=180， ∵M 是△ABC 的内心，∴∠DMA=∠EMA, ∠FMB=∠DMB ∴∠EMD+∠FMD=2∠AMB =240∴∠EMF=120∴∠C =180-∠EMF=60总结：若要证的不变量比较困难，你可以先找找题中比较容易看出的不变量，然后建立两者之间的联系。

（设计意图：多角度，多方位地研究动态几何中的定值问题，本题以圆为背景，研究角的定值问题。

）过渡：上题是道有关定值的证明题，也就是已经明确方向肯定是定值了，若不是证明题呢？【问题3】已知：O是如图同心圆的圆心,AB是大圆的直径?点P是小圆上的一动点,大小圆半径分别为R与r?问:PA2＋PB2是否有定值,若有,求出定值;若没有,说明理由.分析：这道题是探索定值的问题，可以先用特位定值法，探索以下是否可能是定值。

①点P放在直径AB上.得PA2＋PB2＝（R＋r）2＋（. R－r）2＝2（R2＋r2）.②点P放在与直径AB垂直的另一条直径上也可得PA2＋PB2＝R2＋r2＋R2＋r2＝2（R2＋r2）.说明PA2＋PB2非常有可能是定值，而且这个值为2（R2＋r2）证明：（直角三角形计算法）PA2＋PB2＝HA2＋PH2+PH2＋HB2＝2PH2＋(OH+R)2+(R-OH)2＝2PH2＋2OH2+2R2=2(PH2＋OH2) +2R2=2r2＋2R2解答动态几何定值探索问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成：①先探求定值.它要用题中固有的几何量表示.②③再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.结束语：数学因运动不再枯燥，数学因运动而充满活力。

希望同学们能够把握动态几何的解题规律。

【小结】问：这节课我们学习了一类怎么样的问题？用什么方法解决？答：动态几何中的定值问题特点：图形中的某个元素，按某种规律在运动类型：（1）点动（2）线动（3）旋转、平移（4）形变解题思路：不要被"动"、"变"迷惑，通过观察，分析，动中窥静，变化之中求不变，从而明确图形之间的内在联系，找到解题的途径。