中考数学压轴题专题反比例函数的经典综合题附答案

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（，2）．

（1）求k的值；

（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的一个顶点恰好落在函数y= （k＞0，x ＞0）的图象上时，求菱形ABCD平移的距离．

【答案】（1）解：作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，

∵点D的坐标为（，2），

∴DO=AD=3，

∴A点坐标为：（，5），

∴k=5 ；

（2）解：∵将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数y= （x＞0）的图象上D′，∴DF=D′F′=2，

∴D′点的纵坐标为2，设点D′（x，2）

∴2= ，解得x= ，

∴FF′=OF′﹣OF= ﹣ = ，

∴菱形ABCD平移的距离为，

同理，将菱形ABCD向右平移，使点B落在反比例函数y= （x＞0）的图象上，

菱形ABCD平移的距离为，

综上，当菱形ABCD平移的距离为或时，菱形的一个顶点恰好落在函数图象上．【解析】【分析】（1）根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可；（2）B和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移求出即可．

2．已知反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1）．

（1）试确定此反比例函数的解析式；

（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；

（3）已知点P（m， m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴

的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2 n+9的值．

【答案】（1）解：由题意得1= ，解得k=﹣，

∴反比例函数的解析式为y=﹣

（2）解：过点A作x轴的垂线交x轴于点C．

在Rt△AOC中，OC= ，AC=1，

∴OA= =2，∠AOC=30°，

∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，

∴∠AOB=30°，OB=OA=2，

∴∠BOC=60°．

过点B作x轴的垂线交x轴于点D．

在Rt△BOD中，BD=OB?sin∠BOD= ，OD= OB=1，

∴B点坐标为（﹣1，），

将x=﹣1代入y=﹣中，得y= ，

∴点B（﹣1，）在反比例函数y=﹣的图象上

（3）解：由y=﹣得xy=﹣，

∵点P（m， m+6）在反比例函数y=﹣的图象上，其中m＜0，

∴m（ m+6）=﹣，

∴m2+2 m+1=0，

∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）．

∵△OQM的面积是，

∴OM?QM= ，

∵m＜0，∴mn=﹣1，

∴m2n2+2 mn2+n2=0，

∴n2﹣2 n=﹣1，

∴n2﹣2 n+9=8．

【解析】【分析】（1）由于反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；（3）把点P（m， m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由

△OQM的面积是，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n2﹣2 n+9的值．

3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b（a≠0）的图象与y轴相交于点A，与反

比例函数y2= （c≠0）的图象相交于点B（3，2）、C（﹣1，n）．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）根据图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围；

（3）在y轴上是否存在点P，使△PAB为直角三角形？如果存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解：把B（3，2）代入得：k=6

∴反比例函数解析式为：

把C（﹣1，n）代入，得：

n=﹣6

∴C（﹣1，﹣6）

把B（3，2）、C（﹣1，﹣6）分别代入y1=ax+b，得：，解得：

所以一次函数解析式为y1=2x﹣4

（2）解：由图可知，当写出y1＞y2时x的取值范围是﹣1＜x＜0或者x＞3．

（3）解：y轴上存在点P，使△PAB为直角三角形

如图，

过B作BP1⊥y轴于P1，

∠B P1 A=0，△P1AB为直角三角形

此时，P1（0，2）

过B作BP2⊥AB交y轴于P2

∠P2BA=90，△P2AB为直角三角形

在Rt△P1AB中，

在Rt△P1 AB和Rt△P2 AB

∴

∴P2（0，）

综上所述，P1（0，2）、P2（0，）．

【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点C坐标，最后用再用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用图象直接得出结论；（3）分三种情况，利用勾股定理或锐角三角函数的定义建立方程求解即可得出结论．

4．已知：O是坐标原点，P（m，n）（m＞0）是函数y= （k＞0）上的点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）（a＞m）．设△OPA的面积为

s，且s=1+ ．

（1）当n=1时，求点A的坐标；

（2）若OP=AP，求k的值；

（3）设n是小于20的整数，且k≠ ，求OP2的最小值．

【答案】（1）解：过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ=n，OQ=m，

当n=1时，s= ，

∴a= = ．

（2）解：解法一：∵OP=AP，PA⊥OP，∴△OPA是等腰直角三角形．

∴m=n= ．

∴1+ = ?an．

即n4﹣4n2+4=0，

∴k2﹣4k+4=0，

∴k=2．

解法二：∵OP=AP，PA⊥OP，

∴△OPA是等腰直角三角形．

∴m=n．

设△OPQ的面积为s1

则：s1= ∴?mn= （1+ ），

即：n4﹣4n2+4=0，

∴k2﹣4k+4=0，

∴k=2．

（3）解：解法一：∵PA⊥OP，PQ⊥OA，∴△OPQ∽△OAP．

设：△OPQ的面积为s1，则 =

即： = 化简得：

化简得：

2n4+2k2﹣kn4﹣4k=0

（k﹣2）（2k﹣n4）=0，

∴k=2或k= （舍去），

∴当n是小于20的整数时，k=2．

∵OP2=n2+m2=n2+ 又m＞0，k=2，

∴n是大于0且小于20的整数．

当n=1时，OP2=5，

当n=2时，OP2=5，

当n=3时，OP2=32+ =9+ = ，

当n是大于3且小于20的整数时，

即当n=4、5、6…19时，OP2的值分别是：

42+ 、52+ 、62+ …192+ ，

∵192+ ＞182+ ＞32+ ＞5，

∴OP2的最小值是5．

【解析】【分析】（1）利用△OPA面积定义构建关于a的方程，求出A的坐标；（2）由已知OP=AP，PA⊥OP，可得△OPA是等腰直角三角形，由其面积构建关于n的方程，转化为k的方程，求出k;（3）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方构建关于k的方程，最值问题的基本解决方法就是函数思想，利用勾股定理用m、n的代数式表达OP2,,在n的范围内求出OP2的最值.

5．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A（，6）和点B（-3，），直线AB与轴交于点C．

（1）求直线AB的表达式；

（2）求的值．

【答案】（1）解：∵点A（，6）和点B（-3，）在双曲线，∴m=1，n=-2，

∴点A（1，6），点B（-3，-2），

将点A、B代入直线，得，解得，

∴直线AB的表达式为：

（2）解：分别过点A、B作AM⊥y轴，BN⊥y轴，垂足分别为点M、N，

则∠AMO＝∠BNO＝90°，AM=1，BN=3，

∴AM//BN，∴△ACM∽△BCN，

∴

【解析】【分析】根据反比例函数的解析式可得m和n的值，利用待定系数法求一次函数的表达式；作辅助线，构建平行线，根据平行线分线段成比例定理可得结论．

6．如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折现”）

（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；

（2）如图2，双曲线y= 与新函数的图象交于点C(1，a)，点D是线段AC上一动点(不包括端点)，过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．

①试求△PAD的面积的最大值；

②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形?若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．

【答案】（1）解：如图1，新函数的性质：1.函数的最小值为0；2.函数图象的对称轴为直线x=3.

由题意得，点A的坐标为（-3，0），分两种情况：

①当x-3时，y=x+3；

②当x<-3时，设函数解析式为y=kx+b，

在直线y=x+3中，当x=-4时，y=-1，

则点（-4，-1）关于x轴的对称点为（-4，1），

把点（-4，1），（-3，0），代入y=kx+b中，

得：，

解得：，

∴y=-x-3.

综上，新函数的解析式为y=.

（2）解：如图2，

①∵点C（1，a）在直线y=x+3上，

∴a=4，

∵点C（1，4）在反比例函数y=上，

∴k=4，

∴反比例函数的解析式为y=.

∵点D是线段AC上一动点，

∴设点D的坐标为（m，m+3），且-3

∵DP∥x轴，且点P在双曲线上，

∴点P的坐标为（，m+3），

∴PD=-m，

∴S△PAD=（-m）（m+3）=m2-m+2=（m+）2+，

∵a=<0，

∴当m=时，S有最大值，最大值为，

又∵-3<<1，

∴△PAD的面积的最大值为.

②在点D的运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形，理由如下：

当点D为AC的中点时，其坐标为（-1，2），此时点P的坐标为（2，2），点E的坐标为（-5，2），

∵DP=3，DE=4，

∴EP与AC不能互相平分，

∴四边形PAEC不能为平行四边形.

【解析】【分析】（1）根据一次函数的性质，结合函数图象写出新函数的两条性质；利用待定系数法求新函数解析式，注意分两种情况讨论；（2）①先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，设出点D的坐标，进而得到点P的坐标，再根据三角形的面积公式得出函数解析式，利用二次函数的性质求解即可；②先求出A的中点D的坐标，再计算DP、DE的长度，如果对角线互相平分，则能成为平行四边形，如若对角线不互相平分，则不能成为平行四边形.

7．如图，在矩形OABC中，OA=6，OC=4，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与BC边交于点E.

（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；

（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？

【答案】（1）解：∵在矩形OABC中，OA=6，OC=4，∴B（6，4），

∵F为AB的中点，∴F（6，2），

又∵点F在反比例函数（k＞0）的图象上，∴k=12，

∴该函数的解析式为y= （x＞0）

（2）解：由题意知E，F两点坐标分别为E（，4），F（6，），

∴，

=

=

=

= ，

∴当k=12时，S有最大值．S最大=3

【解析】【分析】）当F为AB的中点时，点F的坐标为（3，1），由此代入求得函数解析式即可；根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可．

8．在平面直角坐标系中，我们定义点P（a，b）的“变换点”为Q．且规定：当a≥b时，Q 为（b，﹣a）；当a＜b时，Q为（a，﹣b）．

（1）点（2，1）的变换点坐标为________；

（2）若点A（a，﹣2）的变换点在函数y= 的图象上，求a的值；

（3）已知直线l与坐标轴交于（6，0），（0，3）两点．将直线l上所有点的变换点组成一个新的图形记作M．判断抛物线y=x2+c与图形M的交点个数，以及相应的c的取值范围，请直接写出结论．

【答案】（1）（1，﹣2）

（2）解：当a≥﹣2时，则A（a，﹣2）的变换点坐标为（﹣2，﹣a），

代入y= 可得﹣a= ，解得a= ；

当a＜﹣2时，则A（a，﹣2）的变换点坐标为（a，2），

代入y= 可得2= ，解得a= ，不符合题意；

综上可知a的值为；

（3）解：设直线l的解析式为y=kx+b （k≠0 ），将点（6，0）、（0，3）代入y=kx+b

得：，解得，

∴直线l的解析式为y=﹣ x+3．

当x=y时，x=﹣ x+3，解得x=2．

点C的坐标为（2，﹣2），点C的变换点的坐标为C′（ 2，﹣2 ），

点（6，0）的变换点的坐标为（0，﹣6），点（0，3）的变换点的坐标为（0，﹣3），

当x≥2时，所有变换点组成的图形是以C′（ 2，﹣2）为端点，过（0，﹣6 ）的一条射线；即：y=2x﹣6，其中x≥2，

当x＜2时，所有变换点组成的图形是以C′（2，﹣2）为端点，过（0，﹣3）的一条射线，

即y= x﹣3，其中，x＜2．

所以新的图形M是以C′（2，﹣2）为端点的两条射线组成的图形．

如图所示：

由和得：x2﹣x+c+3=0①和x2﹣2x+c+6=0②

讨论一元二次方程根的判别式及抛物线与点C′的位置关系可得：

①当方程①无实数根时，即：当c＞﹣时，抛物线y=x2+c与图形M没有交点；

②当方程①有两个相等实数根时，即：当c=﹣时，抛物线y=x2+c与图形M有一个交点；

③当方程②无实数根，且方程①有两个不相等的实数根时，即：当﹣5＜c＜﹣时，抛物线y=x2+c与图形M有两个交点；

④当方程②有两个相等实数根或y=x2+c恰好经过经过点C′时，即：当c=﹣5或c=﹣6时，抛物线y=x2+c与图形M有三个交点；

⑤当方程②方程①均有两个不相等的实数根时，且两根均小于2，即：当﹣6＜c＜﹣5时，抛物线y=x2+c与图形M有四个交点；

⑥当c＜﹣6时，抛物线y=x2+c与图形M有两个交点．

【解析】【解答】解：（1）∵2≥﹣1，

∴点（2，1）的变换点坐标为（1，﹣2），

故答案为：（1，﹣2）；

【分析】（1）由变换点的定义可求得答案；（2）由变换点的定义可求得A的变换点，代入函数解析式可求得a的值；（3）先求得直线y=x与直线l的交点坐标，然后分为当x≥2和x＜2两种情况，求得M的关系式，然后在画出M的大致图象，然后将抛物线y=x2+c与M的函数关系式组成方程组，然后依据一元二次方程根的判别式进行判断即可．

9．如图，已知二次函数的图象与y轴交于点A(0，4），与x 轴交于点B，C，点C坐标为(8，0），连接AB，AC.

（1）请直接写出二次函数的解析式.

（2）判断△ABC的形状，并说明理由.

（3）若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标.

【答案】（1）解：∵二次函数的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B.C,点C坐标(8,0),

∴

解得

∴抛物线表达式：

（2）解：△ABC是直角三角形.

令y=0,则

解得x1=8,x2=-2,

∴点B的坐标为(-2,0),

由已知可得,

在Rt△ABO中

AB2=BO2+AO2=22+42=20,

在Rt△AOC中

AC2=AO2+CO2=42+82=80,

又∴BC=OB+OC=2+8=10,

∴在△ABC中

AB2+AC2=20+80=102=BC2

∴△ABC是直角三角形

（3）解：∵A(0,4),C(8,0),

AC= =4 ,

①以A为圆心,以AC长为半径作圆,交轴于N,此时N的坐标为(-8,0),

②以C为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为( ,0)或( ,0)

③作AC的垂直平分线,交g轴于N,此时N的坐标为(3,0),

综上,若点N在轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标分别为(-8,0)、( ,0)、(3,0)、 ,0)

【解析】【分析】(1)根据待定系数法即可求得;(2)根据拋物线的解析式求得B的坐标,然后根据勾股定理分别求得AB2=20,AC2=80,BC=10然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形(3)分别以A.C两点为圆心,AC长为半径画弧,与m轴交于三个点,由AC的垂直平分线与c轴交于一个点,即可求得点N的坐标

10．已知，抛物线的图象经过点，．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）如图1，是抛物线对称轴上一点，连接，，试求出当的值最小时点的坐标；

（3）如图2，是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把分成面积之比为的两部分，请求出点的坐标．

【答案】（1）解：将，的坐标分别代入．

得

解这个方程组，得，

所以，抛物线的解析式为

（2）解：如图1，由于点、关于轴对称，所以连接，直线与轴的交点即为所求的点，

由，令，得，

解得，，

点的坐标为，

又，

易得直线的解析式为：．

当时，，

点坐标

（3）解：设点的坐标为，

所以所在的直线方程为．那么，与直线的交点坐标为，与抛物线的交点坐标为．

由题意，得

① ，即，

解这个方程，得或（舍去）．

② ，即，

解这个方程，得或（舍去），

综上所述，点的坐标为，或，．

【解析】【分析】（1）将点、的坐标代入可得出、的值，继而得出这个抛物线的解析式；（2）由于点、关于轴对称，所以连接，直线与轴的交点即为所求的点，利用待定系数法确定直线的解析式，然后求得该直线与轴的交点坐标即可；（3）如图2，交于，设，根据一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，设点的坐标为，，．

然后分类讨论：分别利用或，列关于的方程，然后分别解关于的方程，从而得到点坐标

11．如图，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A，B两点，B点坐标为(4,0)，与y轴交于点C(0,4).点D为抛物线上一点

（1）求抛物线的解析式及A点坐标；

（2）若△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；

（3）若△BCD是锐角三角形,请直接写出点D的横坐标m的取值范围________.

【答案】（1）解：将B（4,0），C（0,4）代入y=x2+bx+c得，

，解得，

所以抛物线的解析式为，

令y=0，得，解得，，

∴A点的坐标为（1,0）

（2）解：设D点横坐标为，则纵坐标为，

①当∠BCD=90°时，如下图所示，连接BC，过C点作CD⊥BC与抛物线交于点D，过D作DE⊥y轴与点E，

由B、C坐标可知，OB=OC=4，

∴△OBC为等腰直角三角形，

∴∠OCB=∠OBC=45°，

又∵∠BCD=90°，

∴∠ECD+∠OCB=90°

∴∠ECD=45°，

∴△CDE为等腰直角三角形，

∴DE=CE=a

∴OE=OC+CE=a+4

由D、E纵坐标相等，可得，

解得，，

当时，D点坐标为（0,4），与C重合，不符合题意，舍去.

当时，D点坐标为（6,10）；

②当∠CBD=90°时，如下图所示，连接BC，过B点作BD⊥BC与抛物线交于点D，过B作FG⊥x轴，再过C作CF⊥FG于F，过D作DG⊥FG于G，

∵∠COB=∠OBF=∠BFC=90°，

∴四边形OBFC为矩形，

又∵OC=OB，

∴四边形OBFC为正方形，

∴∠CBF=45°

∵∠CBD=90°，

∴∠CBF+∠DBG=90°，

∴∠DBG=45°，

∴△DBG为等腰直角三角形，

∴DG=BG

∵D点横坐标为a，

∴DG=4-a，

而BG=

∴

解得，，

当时，D点坐标为（4,0），与B重合，不符合题意，舍去.

当时，D点坐标为（2,-2）；

综上所述，D点坐标为(6,10)或(2,-2).

（3）3+ ＜m ＜6或 3- ＜m ＜2

【解析】【解答】解：（3）当BC为斜边构成Rt△BCD时，如下图所示，以BC中点O'为圆心，以BC为直径画圆，与抛物线交于D和D'，

∵BC为圆O'的直径，

∴∠BDC=∠BD'C=90°，

∵，

∴D到O'的距离为圆O'的半径，

∵D点横坐标为m，纵坐标为，O'点坐标为（2,2），

∴

即

化简得：

由图像易得m=0或4为方程的解，则方程左边必有因式，

∴采用因式分解法进行降次解方程

或或，

解得，，，

当时，D点坐标为（0,4），与C点重合，舍去；

当时，D点坐标为（4,0），与B点重合，舍去；

当时，D点横坐标；

当时，D点横坐标为；

结合（2）中△BCD形成直角三角形的情况，

可得△BCD为锐角三角形时，D点横坐标m的取值范围为3+ ＜m ＜6或 3- ＜m ＜2.【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式，再令y=0，求A的坐标；（2）设D点横坐标为a，代入函数解析式可得纵坐标，分别讨论∠BCD=90°和∠CBD=90°的情况，作出图形进行求解；（3）当BC为斜边构成Rt△BCD时，以BC中点O'为圆心，以BC为直径画圆，与抛物线交于D和D'，此时△BCD和△BCD'就是以BC为斜边的直角三角形，利用两点间距离公式列出方程求解，然后结合（2）找到m的取值范围.

12．请完成下面题目的证明．如图,AB为⊙O的直径,AB=8,点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点,连接OC,AC,且∠BOC<90°,直线BC与直线AD相交于点E,过点C作直线CG 与线段AB的延长线相交于点F,与直线AD相交于点G,且∠GAF=∠GCE

（1）求证:直线CG为⊙O的切线；

（2）若点H为线段OB上一点,连接CH,满足CB=CH；

①求证:△CBH∽△OBC；

②求OH+HC的最大值.

【答案】（1）证明：由题意可知：∠CAB=∠GAF，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°

∵OA=OC，

∴∠CAB=∠OCA，

∴∠OCA+∠OCB=90°，

∵∠GAF=∠GCE，

∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，

∵OC是⊙O的半径，

∴直线CG是⊙O的切线；

（2）证明：①∵CB=CH，

∴∠CBH=∠CHB，

∵OB=OC，

∴∠CBH=∠OCB，

∴△CBH∽△OBC

解：②由△CBH∽△OBC可知：

∵AB=8，

∴BC2=HB?OC=4HB，

∴HB= ，

∴OH=OB-HB=

∵CB=CH，

∴OH+HC=

当∠BOC=90°，

此时BC=

∵∠BOC＜90°，

∴0＜BC＜

令BC=x

∴OH+HC= = =

当x=2时，

∴OH+HC可取得最大值，最大值为5

【解析】【分析】（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，∠GAF=∠GCE，由圆的性质可知：∠CAB=∠OCA，所以∠OCA=∠GCE，从而可证明直线CG是⊙O的切线；（2）①由于CB=CH，所以∠CBH=∠CHB，易证∠CBH=∠OCB，

从而可证明△CBH∽△OBC；②由△CBH∽△OBC可知：