数学竞赛中的条件最值问题

4 主元素法
的最小值 . π ,有 讲解 : 易知 ,对一切 0 ≤x ≤ sin x ≥ 0 ,sin ( 1 - y ) x ≥ 0. 于是 ,当
1 ≤ ≤ y 1 时 , f ( x , y) ≥ 0 ,当 x 2 1 ,且 x = 0 时 , f ( x , y ) = 0. 2 1 π 的情形 . ,0 < x ≤ 2
a - 8b ≥ 0,
2
2
2
故 f ( x , y) 3 3 = 6 ( x + y ) + 6 xy ( x + y ) - 4 xy 2 2 4 ( x + y ) - 3 ( x + y) + 5
= 6 xy x-
① ② ③
1 4
2
( x + y - 1) + ( 6 x + 1) ・ + ( 6 y + 1) y 1 2
2
b - a≥ 0,
2
a > 0 , b > 0.
2 2
1 2
+
求 a + b 的最小值 ,用代数方法显然比 较棘手 ,于是 ,考虑数形转化 . 如图 1 ,作出抛物线 a = 8 b ( a > 0) 的右 半支 , 再作出抛物线 2 b = a ( b > 0) 的上半 支,两图像交点为 M (4 ,2) . 于是 , 满足 式 ①、②、③ 的 点 P ( a , b) 在图 1 所示
综上所述 ,对任意 ( x , y ) ∈A ,有
f ( x , y) ≥ 2.

当且仅当 x = y =
1 时 , f ( x , y ) min = 2. 2
注 : 配方时要兼顾各个变量 ,还要与因式
2006 年第 12 期
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2 2 注意到 (1 - y ) = 1 - 2 y + y ≥ 1 - 2y >0 , sin ( 1 - y ) x ≤1 - y 则 sin ( 1 - y ) x , 1- y 1 - 2y
2 2 例2 试求函数 f ( x , y ) = 6 ( x + y ) ・ ( x + y ) - 4 ( x2 + xy + y2 ) - 3 ( x + y ) + 5 在
在求条件最值时 , 利用数形结合的思想 方法 ,由数想形 ,直观转化 ,有时容易奏效 . 例1 已知 a 、 b 是正实数 ,方程
图1
2
( x + y - 1) 2 + 2
≥ 2. 当且仅当 x = y = 若 x + y > 1 ,则
1 1 2 2 2 x + y ≥ ( x + y) > . 2 2 1 时 ,上式等号成立 . 2
故 f ( x , y)
=6 x + y > 2.
2 2
1 2
( x + y - 1) + 2 ( x - y) 2 + 2
故 (2 y - 1) sin x + (1 - y ) sin (1 - y ) x ≥ 0, 即 f ( x , y ) ≥ 0. 当 y = 0 时 ,等号成立 . 综上 ,当 x = 0 或 y = 0 时 , f ( x , y ) min = 0. 注 : 也可利用求导数方法结合 tan x > x , π sin x x ∈ 0, 来判断函数 f ( x) = 在 2 x π 0, 上的单调性 . 2
x + ax + 2 b = 0 与 x + 2 bx + a = 0
2 2
区域 A = { ( x , y ) | x > 0 , y > 0}上的最小值 . 讲解 : 若 x + y ≤ 1 ,则
1 1 2 xy ≤ ( x + y ) ≤ . 4 4
都有实数根 . 求 a + b 的最小值 . 讲解 : 由于所给方程均有实根 ,故得约束 条件
2
≤ sin x + δ cos x . ) sin x sin ( x + δ 故 x x +δ ( x +δ ) sin x - x sin ( x + δ ) = ( δ ) x x+ ( δ ) x + sin x - x ( sin x + δ cos x ) ≥ ) x ( x +δ δ sin x - δ cos x (tan x - x ) x cos x δ = = ) ) x ( x +δ x ( x +δ
= 0 时 ,等号成立 .
当 0 ≤y <
下面考虑 0 ≤y <
对于任意 0 < x < x + δ<
π ,有 2
tan x > x > sin x , ) = sin x ・ 且 sin ( x + δ cos δ+ cos x ・ sin δ
求多元函数最值时 , 可任选一个变量作 主元 ( 其余变量暂时固定) , 依次求出这些一 元函数的最值 ,进而求出多元函数的最值 . 例4 设 x1 , x2 , …, x n 取值于某个长度 为 1 的区间 . 记 x =
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中 等 数 学
数学竞赛中的条件最值问题
江厚利
( 安徽省安庆市第一中学 ,246003)
( 本讲适合高中) 条件最值问题是数学竞赛中的热点之 一 . 解这类问题涉及的知识面较广 ,且技巧性 较强 . 本文通过例题介绍求多元函数条件最 值的常用方法和技巧 .
1 数形转换
2 配方法
先将所给函数表达式 ( 或隐函数方程) 配 成若干个平方式及一些常数的代数和的形 式 ,然后再求最值 .
分解法结合使用 .
3 利用函数的单调性
先将多元函数转化为一元函数 , 然后利 用函数的单调性来确定最值 . π ,0 ≤y ≤ 例3 设 0 ≤x ≤ 1. 试求函数
f ( x , y) = (2 y - 1) sin x + (1 - y) sin (1 - y) x
1- y sin x ≤ sin ( 1 - y ) x . 1 - 2y
> 0.
1
n
n
j=1
∑
xj , y =
1
n
n
j=1
∑x
2
j
.求
函数 f = y - x 的最大值 . 讲解 : 设 x1 , …, x n ∈[ a , a + 1 ] ( a ∈R) . 当 n = 1 时 , f = 0 ,显然 , f max = 0. 当 n > 1 时 ,若固定 x2 , x3 , …, x n ,则有
的阴影区域 G ( 含边界) 上 . 2 2 而 a + b 表示点 P ( a , b) 与原点 O 的 距离的平方 ,易知 ,当 a = 4 , b = 2 时 , ( a2 + b2 ) min = | OM | 2 = 20.
收稿日期 :2006 - 03 - 08 修回日期 :2006 210 210