数学竞赛辅导专题1—关于n项和或积的极限(15页

补充定理：施笃兹（Stolz）定理[注] 施笃兹定理被称作数列极限的洛必达法则.拆项相消[练习] 1. 设),( 1211211111+∈++++=+++++N n x n n .lim n n x ∞→求[提示]),(2111)1(2211+++++-==n n n n n)(251225∞→→-=+n n n x 故 2. 求)1()1)(1(lim 22213121nn ---∞→ [提示].21 ;11121=+-⋅=-原式n n n n n3/153. 求)(lim 42224224221211n n n nn +++++++∞→ [分析] 先将分子加在一起后再计算)21211 222222n +++++++ （）（由于∑=+++=nk k 1222)21( ∑=++=nk k k k 1)12)(1(61∑=++=n k k k k 123)32(61∑∑∑===++=nk n k n k kk k 11213612131)1()12)(1()]1([2161612121312++++++=⋅⋅n n n n n n n )]1()12)(1()1([22121++++++=n n n n n n n .121=原式故[注] 解题时常用以下公式4/15该方法不具有一般性，但可以作为一种方法积累.夹逼准则[思路分析] 若证得0lim 2=∞→nn x 则必有0lim =∞→n n x 两边同乘以 x n5/15[练习].求下列极限：n nmn n n m a a a a a a +++>∞→ 2121lim ,0,,, .1求设},,,max{21m a a a M =记[提示]则Mn M M a a a M M n nnnnn mn nnn⋅=+<+++<= 21n n n1sin 21sin 1sin lim .2+++∞→ ∑=∞→+nk n kn k 12lim .3∑=∞→+nk n kn k122lim .4[提示] 同上（是上题的特例）[提示] 夹逼准则[提示] 化为定积分6/15例3. 设),,2,1( )1()1)(1)(1(2211614121 =++++=n x n n .lim n n x ∞→求)(2 )1(2 )1)(1(2)1()1(12222121212121∞→→-=+-=--=+n x x n n n nn [练习].lim , cos cos cos 2222n n n n x x x x x ∞→=求设 ⎩⎨⎧≠=0,sin ,10 x x x x 答案：[提示] x n 的分子分母同乘以 以利用二倍角公式合并.7/15)21ln(1e lim lim lim n n n n n n n n nn n nn n n ⋅⋅⋅∞→∞→∞→== ！！例4.)ln 2ln 1(ln 1elim nn n n n n +++∞→= ∑==∞→ni ni nn 1ln 1elim ∑==∞→ni n ni n1ln 1lim e⎰=10d ln exx .e 1-=反常积分由此得8/15d. 关于求n 项和或积的极限问题，还可以利用极限的平均值 定理的方法来求解先介绍极限的平均值定理:.lim lim ,lim ).1(21n n nn n n a a n a a a ∞→∞→∞→=∞±+++ 则存在或为设则存在或为若设,lim ),,2,1(0).2(∞+=>∞→n n n a n a .lim lim 21n n n n n a a a a ∞→∞→= [证明] (1) 由施笃兹定理, 令分子 = x n , 则[证明] (2) 先变形, 再由施笃兹定理得na a a n n na a a ln ln ln 2121e+++= nn n a a a 21lim ∞→)lim exp(ln ln ln 21n a a a nn +++∞→= 算术平均值的极限几何平均值的极限.lim lim lim )1()()(1212121n n n n n n n a n n a a a a a a n a a a ∞→-∞→∞→=--+++-+++=+++ )lim exp()1()ln ln (ln )ln ln (ln 12121--+++-+++-∞→=n n a a a a a a n n n )ln lim exp(n n a ∞→=.lim a =9/15;, , 11试求且其和为收敛设正项级数、S a n n ∑∞=;2lim )1(21nna a a nn +++∞→ ;)1(2 )2(121∑∞=++++n nn n na a a 该定理的应用:极限的平均值定理[注]本题直接把分子看成一个数列用施笃兹定理得不出结果;须把分子的数列选取适当形式, 结合已知条件以用上述极限的平均值定理.10/15nn S ∞→=lim )()()[(lim 11332221++∞→+-+++-++-=n n n n a b b a b b a b b )[(lim 13211++∞→++++-=n n n a a a b b 准备用结论(1), 其极限为0 .同理此处用到(1)的结果b n →0)( 0 ∞→→n b n 则11/15[例5] 证明以下极限存在, 并求出其极限值.)31111(lim nn n n ++++∞→ [思路] 属于n 项和的极限 , 处理方法有:①抵消中间项,化为有限式; ②放大缩小以用夹逼;③化为定积分; ④可想到“单调有界准则”证明其极限存在.[证] 存在性—用单调有界准则证； 求极限值—转化为定积分求中科院 2012考研,31111n n n x n ++++= 记,33123113131111+++++++=+++n n n n n x n 则n n n n x x n n 133********-+++++=∴-+01313131=-++<n n n n 单调减少}{n x ⇒3231323)1(3313131>+=--=+++≥n n n n nn n x n又有下界}{n x ⇒.}{,极限存在数列由单调有界准则n x12/15取左端点为ξ i以下求极限—用定积分 , 分割如下图)(1))1((1)1(11)1(1111n n n n n n n n n n n n n n n x +++-+++++++++-++=+++ 取左端点为ξ i]11111111111[121110202lim lim n n n n n n n n n n n n n n n x -+-∞→∞→++++++++++∴+++=- nn nn nn nn nn nnn x 31]111111111111[1121110+++++++++++-+-+++= 即nn n n n n n n n n n n 21))12(1)1(11)1(1111++-++++++++-++=+++ ⎰+=2d 11x x 3ln )1ln(20=+=x13/15)2111(lim nn n +++∞→ 练习（归纳）求极限)3111(lim n n n +++∞→ )4111(lim nn n +++∞→ )()111(lim +∞→∈+++Z k knn n 2ln 3ln 4ln kln 2ln 2=………………14/15作小曲线C :[例7] 计算曲线积分,222d d ⎰+-L y x x y y x 其中L 是由直线 x +y =1, y = x -1和半圆周x 2+y 2 = 1, x ≤ 0所围成的闭曲线,方向为逆时针方向.[解] 如图222222),(;),(y x xy x y y x Q y x P ++-==2222ε=+y x xQ y x x y y P ∂∂=+-=∂∂22222)2(2则有0d d )(1222d d ⎰⎰⎰=-∂∂∂∂+-+D CL y x yPx Q y x x y y x 格林⎰⎰-+-+-=CL yx x y y x y x x y y x 22222d d 2d d 即⎰--=Cxy y x d d 21ε⎰⎰d d 221D y x ε格林222ε⋅⋅=επε.2π=(ε > 0 充分小)并取顺时针方向⎰⎰⎰-=-=⇒CCL中科院 2012考研15/15[例8] 利用微积分的有关内容证明:()x x n n n x x x cot 1tan tan tan lim 221441221-=+++∞→ [证] 利用公式nxn n x xx x 2sin2sin cos cos cos 2222= 两边取自然对数得)sin 2ln(sin ln cos cos cos ln 22ln 2ln 22n nn x x x x x -=+++ 两边同时对x 求导得nx xn n nn x x x x 2122sin cos cot 221441221tan tan tan ⋅-=---- x x x x n x x n n nn cot sin cos 2214412212122tan tan tan -⋅=+++ 两边令n → ∞ 取极限得()nn n x x x 221441221tan tan tan lim +++∞→ x n n x xn nn cot sin cos lim 21lim 22∞→∞→-⋅=x n n n x n x n cot cos lim 212lim 2∞→∞→-⋅=x x cot 1-=。