猜想证明与拓广教案
北师大版初三数学上册猜想、证明与拓广
《猜想、证明与拓广》教学设计西街初中柴晓娟教学目标：⑴经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验.⑵在问题解决过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识.⑶在探究过程中,感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必要性.学习重点难点1.重点:通过对一个开放性、探究性的课题的探索，获得探索和发现的体验，体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法.2.难点:处理问题的策略和方法.课时引入：世界三大几何难题：化圆为方，三等分任意角，倍立方这些问题困扰数学家一千多年都不得其解,而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的.1637年笛卡儿创建解析几何以后,许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。
1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。
1882年林得曼（Linderman）也证明了π的超越性（即π不为任何整数系数多次式的根）,化圆为方的不可能性也得以确立 .教学过程：探究活动1：正方形的“倍增”问题问题(1)：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？教学策略：提出问题后引导学生思考，学生会出现的三种解决问题的思路：1、先有具体情况入手研究，得到一个猜想，然后再拓展到一般情况进行证明。
2、因为问题比较简单，有学生可能直接进行一般情况的证明。
3、由于任意两个正方形都是相似的，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 所以周长比和面积比不可能同时为2. 因此这样的正方形不存在. 这三种解决问题的方法都应该给与肯定和表扬。
证明方法：解：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a,面积为a2,周长扩大两倍后为8a,则其边长应为 2a,此时面积应为 4a2，它不是已知给定的正方形的面积的2倍.所以不存在这样的正方形。
或是先考虑面积扩大为原来的两倍为2a2，则边长应为a2，此时周长应为4a2，不是4a的两倍，无论从哪个角度考虑，都不存在这样的正方形。
北师大版九年级(上)猜想证明与拓广教学设计
北师大版九年级（上）猜想、证明与拓广教学设计吕永芳一、内容解析课题学习是初中数学四大领域之一的重要内容，课题学习设计的意图是为了将前面某领域内所学知识进行综合，加深知识间的理解水平，或在数学内部不同领域间建立起联系，或把数学内容与其它学科内容沟通在一起，建立起数学与其它学科的联系。
本节课是北师大版九年级（上）的课题学习《猜想、证明与拓广》的第1课时，它是在学生已经学完证明（二）、证明（三）及一元二次方程和反比例函数的基础上设计的开放性、研究性的课题，主要意图是给学生提供一个思考、研究的平台，在活动中体会和把握猜想、证明与拓广的数学化思维模式，将数学最本质的东西——思想和方法进行汇总和梳理，同时感悟处理问题的策略和方法，积累数学活动经验。
因此本节课是数学学习中非常重要的一节思维训练课。
二、目标与目标解析1、教学目标：（1）经历猜想、证明与拓广的过程，掌握猜想、证明与拓广的方法，培养问题意识和自主探索的能力，获得探索和发现的体验；（2）在问题解决过程中综合运用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体认识；（3）在探索过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必要性；（4）在合作交流过程中扩展思路，发展学生的推理能力，培养团队合作精神。
2、目标解析：本课题学习整体上是一个开放性、研究性的课题，教学设计依照数学化的进程展开，在围绕“是否存在与已知图形的周长和面积同时倍增的图形”的一系列问题展开的，学生在经历这些问题的探索中加深对数学的领悟，教学实施中对问题的思考以自然的、启发性的方式进行探究，从中学习并感受数学知识的发生历程，其蕴含的“问题情境→猜想→验证→发现规律→证明→拓广”这一数学模式及由特殊到一般、数形结合的思想方法是学生应重点把握的。
本课题学习的目的不在于对某个具体问题的解决，而在于对猜想、证明与拓广能力的培养，因此如何在教学实施中使学生学会猜想，学会证明，学会拓广是本节课的教学重点更是难点，为此我在教学设计中将通过在学生经历猜想、证明与拓广的每一阶段后及时进行反思提炼，总结方法来培养学生猜想、证明与拓广的能力。
北师大版课题学习猜想证明拓广
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D 1 1 1 1 ∴ AB × PD + AC × PE + BC × PF = BC × AM 2 2 2 2 A
P M F （2 ）
E C
1 1 1 1 ∴ ah1 + ah2 + ah3 = ah 2 2 2 2
A
B
即 : h1 + h2 + h3 = h
对于图3,又有怎样的关系 对于图 又有怎样的关系? 又有怎样的关系 又如何证明? 又如何证明
教学目标： 教学目标： 1.知识与技能 知识与技能 (1)经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得 经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识， 经历猜想 探索和发现的体验. 探索和发现的体验 （2）在问题解决过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系， ）在问题解决过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系， 形成对数学的整体性认识. 形成对数学的整体性认识 2.过程与方法 过程与方法 在探究过程中,感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必 在探究过程中 感受由特殊到一般、数形结合的思想方法， 感受由特殊到一般 要性. 要性 3.情感、态度与价值观. 情感、态度与价值观 情感
N
A
K
P
Q
C
B
M F （2 ）
D B M （3 ） P F
E C
又有怎样的关系呢? 图3又有怎样的关系呢 又有怎样的关系呢
总结反思， 总结反思，拓展升华 思考：对于图1，为什么会成立？对于图2呢 思考：对于图 ，为什么会成立？对于图 呢？ 对于图2,证明如下 证明如下: 对于图 证明如下 证明:设等边ΔABC的边长为a.连结PA、 、 ， 证明 设等边ΔABC的边长为a.连结 、PB、PC， 设等边 的边长为a.连结 ∵SΔPAB+SΔPAC+SΔPBC=SΔABC
《猜想证明及拓广》教学设计
《猜想证明和拓广》（义务教育课程标准北师大版九年级上册课题学习）一、教材分析●（一）教材内容本课题学习是一个开放性、研究性的课题，为学生提供了一个思考、探究的平台，本课题学习的课题背景是：是否存在一个矩形，其周长与面积是已知矩形周长与面积的若干倍，●（二）地位作用本课题学习在学生的学习过程中具有很强的提升作用，让学生在解决问题的过程中去体验和领悟，获得解决问题的方法和途径，让学生通过本课题的学习不仅掌握学习知识的技能，更能够举一反三，培养数学推理能力和逻辑思维能力。
二、学情分析●（一）知识基础在本节课前，学生已初步掌握了一元二次方程的思想，方程的根与系数之间关系，积累了对一些简单方程问题的处理、分析经验。
●（二）认知水平初三的学生已具备一些方程问题的处理能力，由于年龄特点和认知特点，理性认识强于感性认识三、教学目标● （1）知识技能目标在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力。
●(2) 过程与方法在问题解决过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识 . 在探究过程中 ,感受由特殊到一般、数式结合的思想方法，体会证明的必要性。
● （3）情感态度目标经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验。
四、教学重点难点：● 1. 重点 : 探索“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的 2 倍”，从而获得解决问题的方法和途径．●2．难点 : 从特殊到一般，启发学生综合运用一元二次方程、方程组等知识发现具有一般性的结论，寻求一般性的解决方法．●3．突破重点、突破难点的策略：从数学学习的必要性入手，结合多媒体直观演示，并通过学生互动研讨，加深对数学研究思想的理解，并配合由浅入深的练习，使学生掌握猜想、证明、拓广的方法。
五、教学用具多媒体投影仪大屏幕三角板六、教法学法本节采用“探究 -讨论”模式。
教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导，学生的学法突出探究与讨论。
九年级数学上册《猜想证明与拓广》教案、教学设计
1.回顾本节课所学的内容，让学生总结数学猜想的提出、证明方法和拓广应用等方面的重要知识点。
2.学生分享自己的学习心得，讨论在学习过程中遇到的困难和解决方法。
3.教师点评学生在课堂上的表现，鼓励学生积极参与讨论，培养其勇于探索、严谨治学的精神。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，提高学生的数学素养，特布置以下作业：
5.预习新课内容：
-预习下一节课将要学习的内容，为新课的学习做好准备；
-针对新课内容，提出自己的疑问和猜想，培养自主学习能力。
教师在批改作业时，应关注学生的思维过程和解答方法，及时给予评价和指导，鼓励学生发挥潜能，提高作业质量。同时，教师应认真总结学生的作业反馈，为今后的教学提供参考。通过以上作业布置，使学生更好地巩固所学知识，提高数学素养，为未来的学习奠定坚实基础。
3.注重数学思想的渗透，引导学生运用数形结合、化归等数学思想方法，简化问题，提高解题效率。
4.通过拓广练习，培养学生将理论知识应用于实际问题的能力，提高学生的数学素养。
（三）情感态度与价值观
本章节教学应关注以下情感态度与价值观的培养：
1.培养学生勇于探索、敢于质疑的精神，激发学生学习数学的兴趣和热情。
-数形结合、化归等数学思想方法的运用。
2.教学难点：
-学生对数学猜想的提出缺乏创新性，难以跳出传统思维框架；
-学生在证明过程中，逻辑推理能力不足，容易陷入思维误区；
-学生在拓广练习中，难以将所学知识灵活应用于实际问题。
（二）教学设想
1.针对教学重点，设计以下教学策略：
-创设问题情境，引导学生通过观察、思考、讨论等方式提出数学猜想，培养学生创新意识；
（四）课堂练习
九年级数学上册 综合与实践 猜想、证明与拓广教案 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中九年级上册数
猜想、证明与拓广1．经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验．2．在问题解决过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识．3．在探究过程中，感受由特殊到一般的思维规律和数形结合、函数与方程的思想方法，体会证明的必要性．4．在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力，培养团队合作精神．重点探究“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积，分别是已知矩形周长和面积的2倍”，从而获得解决问题的方法和途径．难点综合运用一元二次方程、方程组、函数等知识发现具有一般性的结论．一、情境导入教师：同学们，图片中的人物你们认识吗？对，他是伟大的物理学家——牛顿．他在思考苹果为什么落地的问题时，首先做出了大胆的猜想，最终得出了一个伟大的结论——牛顿万有引力定律．同时也给我们留下了一句名言：没有大胆的猜想，就没有伟大的发现与发明．当然，仅靠大胆的猜想，并不能对问题作出正确的决策和判断，那么，怎样才能对问题作出全面、正确的决策和判断呢？本节课我们就一起探究解决问题的策略与方法——猜想、证明与拓广．二、探究新知1．感悟猜想教师：已知一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？引导学生思考：(1)要对这个问题作出合理的猜想，首先应怎么做？(2)你得出的猜想是什么？你的猜想对任意正方形一定适用吗？学生讨论交流后回答，教师点评，并进一步讲解：猜想是在对具体事例的研究结论的基础上，通过类比或归纳得出的具有普遍性的结论．猜想前所需经历的重要过程就是特例尝试，要使得猜想合理化，就要通过特例尝试．2．体会证明猜想结论：任意给定一个正方形，不存在另一个正方形，使它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍．教师：你的猜想正确吗？对任意正方形一定适用吗？如何知道猜想的正确性？学生思索、讨论、交流意识到：通过几个特例得来的猜想不一定适用于所有正方形，必须要经过证明从而体会到证明的必性．3．学会拓广教师：由正方形的倍增问题的结论出发，从改变图形或改变条件或将此结论向更一般化的规律上去拓广等角度出发，你能提出新的问题吗？学生思考、讨论、交流，分析出：此命题受图形、周长、面积及2倍等条件因素的影响．教师：如果改变某一条件，新的命题就会生成，这就是拓广．拓广就是改变命题的某一条件，生成新的命题；拓广就是新一轮的猜想；拓广就是举一反三、思维的更高境界.三、举例分析例1 任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？面对矩形倍增问题，你有怎样的研究过程和步骤？请说出你的研究步骤．学生小组合作研讨解决此问题的主体步骤．每组可任选一种矩形的长和宽进行研究．然后得出确定的结论，注意解题策略的多样性，小组活动后展示本组的思维成果．例2 任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积，分别是已知矩形周长和面积的一半？学生思考、讨论、交流、归纳．四、练习巩固1．当矩形满足什么条件时，存在一个新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？2．自学教材第168页“读一读”．五、小结1．知识方面：(1)任意给定一个正方形，一定不存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形的2倍；(2)任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍．2．数学思想方法方面：(1)转化思想——几何中图形是否存在的问题，常常把它转化为代数中方程是否有解的问题加以解决；(2)特殊到一般的思想——对一个问题的研究，一般先从特殊开始，然后再到一般．六、课外作业教材169～170页习题第1～4题．在实际教学中，我们常被课本或教学参考书中的教学设计模式牢牢套住，授课时按部就班，有时显得十分牵强附会．本设计尽可能做到摆脱课本内容模式对授课过程的束缚，在学生行动上先从简单易操作的动手试验入手，力求营造一个轻松愉快的课堂氛围，激发学生的学习兴趣和求知欲．在内容上先从最特殊的正方形的探究入手，让学生在轻松愉快的活动过程中建立起思考和解决问题的模式．然后循序渐进，通过类比、实验、探索、猜想、验证和拓广的数学模型，提出和解决了矩形的相关问题．然而，本课题中的具体问题仅是一个展示平台，在教学活动中感悟问题的产生和提出，体会知识的归纳、综合与拓展，领会处理与解决问题的方法与策略，积累一定的数学活动经验，才是本课题教学应追某某现的目标．因此，本节课教学更侧重于学生数学活动水平的提高，努力渗透数学思想方法、问题的处理和解决策略等，并力求做到人人参与，使不同的学生均有不同的收获．。
课题学习——猜想、证明与拓广
《课题学习——猜想、证明与拓广》教案教学程序教学设计设计意图问题提出问题1.1-1.3 “正方形倍增”：(1)边长为a的正方形，是否存在周长倍增的正方形？(2)是否存在面积倍增的正方形？(3)(诱发学生思考)是否存在周长和面积都倍增的正方形？以递进的问题方式引发学生思考，让学生产生强烈的问题意识，使学生的整个学习过程成为由知识与经验，同化和索引出当前学习的新知识．猜想探究(教师启发)：由正方形的倍增问题，你能生成什么样的猜想？(鼓励学生大胆猜想、对研究的问题发表见解，进行探索、合作与交流，对学生涌现出多样化的解题思路，及时予以引导、归纳和总结)得出结论后鼓励学生合理发散思维，提出新的问题……让学生感知到我们不仅解决了问题,而且学会多种方式多种途径思考问题,发散思维.能力拓展问题 2.1：任意给定一个正方形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？学生尝试、发现、验证……凸现类比的数学思想方法，以类比引起新的认识冲突，促使学生重新审视，认真探究问题2.2：（矩形倍增）任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？矩形的形状太多了，我们如何来探索问题2呢？问题2.2：（具体化）如果已知矩形的长和宽分别为2和1，3和1，3和2，结论会怎样？你是怎么做的？与同伴交流。
该环节留给学生充分思维的时间，四人小组讨论探究，发散思维，解决问题。
并在全班交流。
解决的方式很多：如试值法、一元二次方程，二元一次方程组，函数……给学生充分的自由度，分组任意设定一组数据完成探索，方法自选；总结出探究问题的方法：从特殊到一般体现数学建模在探究过程中的作用，体会“数形结合”，“转化”等思想方法，拓展学生的思维空间。
教学程序教学设计设计意图思维升华（2）若已知矩形的长和宽分别为m和n，是否有相同的结论？将问题转化为方程或方程组有无解的情况加以探究，使猜想得到验证。
北师大版初中数学九年级上册《综合与实践猜想、证明与拓广》公开课教案_1
北师大版初中数学九年级上册《综合与实践猜想、证明与拓广》公开课教案_1直觉的误导教学设计一、教学目标知识技能目标经历看图时的错觉，问题引入的误区，感觉上的误导，经验导致的错误，认识到直觉在解决问题时的误导作用。
数学思考目标了解对于数学的结论，光凭直觉判断是不行的，还需要通过演绎推理来验证。
解决问题目标会从具体情境中自己发现问题自己解决问题，增强应用意识，提高实践能力。
情感态度目标通过积极参加数学活动，对数学有强烈的好奇心和求知欲，并且在交流探究中敢于发表自己的想法，勇于质疑，勇于创新。
教学重点:探究直觉在解决问题时的误导作用教学难点：通过演绎推理来验证数学直觉二、教法与学法1、教学方法：综合与实践应以学生自主探究为主，教师引导为辅，因此我选用“引导启发式”进行教学，做学生活动的组织者、.引导者、合作者。
2、学法指导：在老师的组织引导下，采用“自主探索、合作交流”的学习方法，真正成为学习的主体。
三、教学过程这节课我设计了“创设情景，导入新课”、“合作交流，探究新知”、“华山论剑，展现自我”、“归纳总结，知识升华”、“作业设计，延续拓展”这五个教学环节。
第一个环节：创设情景，导入新课。
首先欣赏爱因斯坦·玛丽莲混合画，引出人们的直觉是不同的，同时激发学生的学习兴趣和探究欲望，然后通过亚里士多德的名言——直觉就是科学知识的创始性根源，以及这些历史上由直觉而产生的重大发现，让学生感受到直觉思维在解决问题时的积极作用。
然而不是所有的直觉都是可靠的，很多时候直觉对解决问题造成不好的误导作用。
从而引出课题——直觉的误导。
第二个环节：合作交流，探究新知我设两个探究活动：从看图时的错觉到解决为什么看图时产生了错觉。
围绕着直觉会产生误导的主题，从形象到抽象，从感性认识到理性认识，循序渐进，引导学生深入探究问题的本质。
探究活动一：多媒体展示一系列图片，它们都能引起大家看图时直觉上的错觉，形象直观，让学生对直觉的误导的问题有了初步的认识。
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猜想、证明与拓广(教案)
曹荣
教学目标：1 经历猜想、证明与拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索与发现的体验。
2在解决问题的过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识。
3在探究过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必要性。
4在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力。
教学重难点：感悟、体验与处理数学问题的策略与方法。
教学方法：
1用多媒体创设问题情境引导学生在做中学，体验以数学的方式来做数学的过程。
2通过小组讨论归纳总结，让学生在交流中受益，体会与他人合作探索数学规律，构建数学模型来解决实际问题的重要性。
实验用具与教具：多媒体课件。
教学过程
一创设情景。
封地故事（一）在一次战役中，王强和李明都立下了战功。
论功行赏的时候，国王给了他们两人二块同样大的正方形封地。
王强不服气，认为自己的功劳大。
国王说“我给你一根绳子，长是李明封地周长的2倍，你能圈一个正方形，面积恰好是李明封地的2倍，我就封给你这块地。
”你认为王强能做到吗？
二探索交流。
议题一（实际问题转化为数学问题）
问题：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，使它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？你是怎么想的？
议题二封地故事（二）王强想了一下，说：“您的要求无法办到”国王觉得王强思维敏捷，说：“那再给你一个机会。
现在把李明的封地改为矩形，再给你一根绳子，长是矩形周长的2倍，你能圈出一个矩形，面积是李明的2倍吗？”你知道该问题转变成什么数学问题吗？
问题：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，使它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？你是怎么想的？
猜想：………………….
验证：当已知矩形的长和宽分别是2和1，3和1，4和1的时候，结论怎样？你是怎么想的？
发现规律：当已知矩形的长和宽分别是n和1时（n>1），是否仍有相同的结论？
当已知矩形的长和宽分别是n和m 时（n>m），是否仍有相同的结论？
得出结论：任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，使它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍。
知识拓广：正方形是一种特殊的矩形，那么当已知矩形的长和宽分别是m和n 时（n=m），上述结论是否还成立呢？这与议题一相矛盾吗？为什么？
（综合议题一与议题二，强化数学知识，渗透分析处理问题的方法。
）
通过小组讨论，让学生充分进行探索，能够运用一元二次方程，方程组，函数图象的知识去构建数学模型，感悟与处理一些解决数学问题的策略与方法。
三、应用拓展。
（课外练习）
1、任意给定一个圆，是否存在另一个圆，它的周长和面积分别是已知圆的周长和面积的2倍？若存在，求出这两个圆的半径之比，若不存在，请说明理由。
2、任意给定一个正三角形，是否存在另一个正三角形，它的周长和面积分别是已知正三角形周长和面积的的2倍？若存在，请求出正三角形的边长，若不存在，请说明理由。
通过课外练习，学生能够学以致用，能够有独立的分析问题，探索规律，总结拓广的意识，能够建立一些简单的数学模型来处理一些实际问题。
四各抒己见。
提出问题：当我们遇到一些较复杂的数学议题时，你会怎么做？
让学生充分的发表自己的见解，教师进行有针对性的启发和指导，对不同的学生提出不同的要求，让学生都能获得成功的体验。
五课堂小结。
解决问题的一般步骤
问题情景———实际生活————猜想——数学模型——知识拓广
提出问题，为下一节作铺垫。
封地故事（续）
王强在同学们的帮助下，顺利拿到了封地。
国王想：我亏大了，如果我让王强的地不变，把李明封地的面积和周长都变成原来的一半，不是更好吗?你认为这个问题能做到吗？。