数学北师大版九年级上册猜想证明与拓广
北师大版九年级上数学讲学稿54课题学习 猜想、证明与拓广
§课题学习 猜想、证明与拓广教学目标：1、 经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验；2、 在解决问题的过程中综合运用所学知识，体会数学知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识。
提高用数形结合的方法从不同角度思考问题的能力。
3、 在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力；教学重点：在探究过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想方法；教学难点：形成对数的整体性认识，提高用数形结合的方法从不同角度思考问题的能； 教学过程： 一、学前准备1、认真阅读课本P165~P168，回答下列问题：1、已知正方形1111D C B A 的边长是2，则它的周长为 ，面积为 ； 另一个正方形2222D C B A ，它的周长是正方形1111D C B A 的2倍，则它的面积为 ； 问题：正方形2222D C B A 的周长和面积可以同时是正方形1111D C B A 的2倍吗？2、已知正方形1111D C B A 的边长是a ，则它的周长为 ，面积为 ； 另一个正方形2222D C B A ，它的周长是正方形1111D C B A 的2倍，则它的面积为 ； 问题：正方形2222D C B A 的周长和面积可以同时是正方形1111D C B A 的2倍吗？3、任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？ 再找几组数据试一试。
结论：_______________________________________________________________二、合作、探究问题1、任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？⑴ 假设已知矩形的长和宽分别为2和1，则它的周长为 ，面积为设矩形的长和宽分别为x 和y ,则可以列方程得：结论：______________________________________________________________⑵ 当已知矩形的长和宽分别为３和１时，是否还有相同的结论？当已知矩形的长和宽分别为４和１，５和１，…，n 和１时，上面结论是否依然成立？请填写下表：⑶ 上面结论对于任意给定的一个矩形都成立吗？你能证明它的一般性吗？ 设原已知矩形两边长分别为n m ,1问题2、任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？⑴如果已知矩形的长和宽分别为２和１，结论会怎样呢？与同伴进行交流。
第06章综合与实践猜想、证明与拓广-九年级上册初三数学(北师大版)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与几何证明相关的实际问题，如如何证明等腰梯形的对角线相等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如通过折叠和剪切来验证几何猜想。
五、教学反思
今天我们在课堂上探讨了综合与实践章节中的猜想、证明与拓广。通过这节课的教学，我发现学生们对于几何猜想的提出表现得非常积极，他们能够通过观察和思考，提出一些有创意的猜想。比如，在探讨勾股定理的逆定理时，有学生提出了关于直角三角形边长比例的猜想，这是一个很好的开始。
然而，我也注意到在证明过程中，学生们普遍存在逻辑推理不够严密的问题。他们有时会忽略一些必要的步骤，或者证明过程中逻辑链条不够清晰。这让我意识到，我们需要在接下来的课程中加强逻辑推理的训练，特别是让学生理解每一步证明的必要性。
4.培养学生的数学建模素养，结合实际问题，引导学生运用几何知识构建数学模型，培养学生将现实问题转化为数学问题的能力。
5.培养学生的创新意识，鼓励学生在猜想、证明与拓广的过程中，勇于提出新观点，探索新方法，激发学生的创新思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-几何猜想的提出：重点在于引导学生通过观察特例提出合理的数学猜想，如勾股定理的逆定理。举例：通过观察不同直角三角形的边长关系，引导学生发现并表述勾股定理的逆定理。
最后，我意识到教学过程中要更加注重培养学生的创新意识和解决问题的能力。在今后的课堂中，我会鼓励学生大胆猜想，勇于尝试不同的证明方法，并引导他们在实际情境中发现几何问题的解决之道。通过这样的教学方式，我相信学生们能够更好地理解和掌握几何知识，提高他们的数学素养。
九年级上册 猜想、证明与拓广 综合与实践 优质课件
知识的升华
任意给定一个矩形,是否一定存在另 一个矩形,它的周长和面积分别是已 知矩形周长和面积的一半?
请你类比本节课学到的方法解决这个 问题
驶向胜利的彼岸
n
n n2 1
n3 n2 1
n
n
n 2
1
(n
1的整数)
解题思路:通过类比引伸推广,归纳出一般结论,解题 关键是探索归纳,猜想.
2.已知:(1)如图,AB⊥BD于点B,CD⊥BD于点D, AD和 BC相交于点E,EF⊥BD于点F.
求证: 1 1 1
AB CD EF
(2)若将图1中的垂直改为斜交,如图2,AB//CD,AD与 BC相交于点E,EF//AB交BD于点F,则(1)的结论还成 立吗?如果成立,请给予证明;不成立,请说明理由.
1、特例尝试，合理化的猜想出结论 2、证明猜想的正确性 3、你能由矩形的倍增问题拓广 出新的问题吗？
挑战自我
1.观察下列各式:
2 2 8 2 2, 33 3
3 3 27 3 3 , 88 8
4 4 64 4 4 , 15 15 15
你能得到怎样的结论• •?•并证明你的结论.
解 : 所得结论为:
(3)猜想SΔABD、SΔBED和SΔBDC有什么关系?并证明你的
猜想. A
A
E
C
C E
B
FD
B
图1
F
D
图2
悟
通过今天三个问题的研究，你感悟到 了什么样的处理问题的策略和方法？
科学的知识体系就是在不断的猜想—证 明---再猜想（拓广）---再证明中往复循 环、螺旋式上升和发展的。掌握好猜想、 证明与拓广的学习模式，你的研究能力就 会增强，面对任何问题都会应对自如。
北师大版初三数学上册猜想、证明与拓广
《猜想、证明与拓广》教学设计西街初中柴晓娟教学目标：⑴经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验.⑵在问题解决过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识.⑶在探究过程中,感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必要性.学习重点难点1.重点:通过对一个开放性、探究性的课题的探索，获得探索和发现的体验，体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法.2.难点:处理问题的策略和方法.课时引入：世界三大几何难题：化圆为方，三等分任意角，倍立方这些问题困扰数学家一千多年都不得其解,而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的.1637年笛卡儿创建解析几何以后,许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。
1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。
1882年林得曼（Linderman）也证明了π的超越性（即π不为任何整数系数多次式的根）,化圆为方的不可能性也得以确立 .教学过程：探究活动1：正方形的“倍增”问题问题(1)：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？教学策略：提出问题后引导学生思考，学生会出现的三种解决问题的思路：1、先有具体情况入手研究，得到一个猜想，然后再拓展到一般情况进行证明。
2、因为问题比较简单，有学生可能直接进行一般情况的证明。
3、由于任意两个正方形都是相似的，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 所以周长比和面积比不可能同时为2. 因此这样的正方形不存在. 这三种解决问题的方法都应该给与肯定和表扬。
证明方法：解：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a,面积为a2,周长扩大两倍后为8a,则其边长应为 2a,此时面积应为 4a2，它不是已知给定的正方形的面积的2倍.所以不存在这样的正方形。
或是先考虑面积扩大为原来的两倍为2a2，则边长应为a2，此时周长应为4a2，不是4a的两倍，无论从哪个角度考虑，都不存在这样的正方形。
北师大版九年级(上)猜想证明与拓广教学设计
北师大版九年级（上）猜想、证明与拓广教学设计吕永芳一、内容解析课题学习是初中数学四大领域之一的重要内容，课题学习设计的意图是为了将前面某领域内所学知识进行综合，加深知识间的理解水平，或在数学内部不同领域间建立起联系，或把数学内容与其它学科内容沟通在一起，建立起数学与其它学科的联系。
本节课是北师大版九年级（上）的课题学习《猜想、证明与拓广》的第1课时，它是在学生已经学完证明（二）、证明（三）及一元二次方程和反比例函数的基础上设计的开放性、研究性的课题，主要意图是给学生提供一个思考、研究的平台，在活动中体会和把握猜想、证明与拓广的数学化思维模式，将数学最本质的东西——思想和方法进行汇总和梳理，同时感悟处理问题的策略和方法，积累数学活动经验。
因此本节课是数学学习中非常重要的一节思维训练课。
二、目标与目标解析1、教学目标：（1）经历猜想、证明与拓广的过程，掌握猜想、证明与拓广的方法，培养问题意识和自主探索的能力，获得探索和发现的体验；（2）在问题解决过程中综合运用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体认识；（3）在探索过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必要性；（4）在合作交流过程中扩展思路，发展学生的推理能力，培养团队合作精神。
2、目标解析：本课题学习整体上是一个开放性、研究性的课题，教学设计依照数学化的进程展开，在围绕“是否存在与已知图形的周长和面积同时倍增的图形”的一系列问题展开的，学生在经历这些问题的探索中加深对数学的领悟，教学实施中对问题的思考以自然的、启发性的方式进行探究，从中学习并感受数学知识的发生历程，其蕴含的“问题情境→猜想→验证→发现规律→证明→拓广”这一数学模式及由特殊到一般、数形结合的思想方法是学生应重点把握的。
本课题学习的目的不在于对某个具体问题的解决，而在于对猜想、证明与拓广能力的培养，因此如何在教学实施中使学生学会猜想，学会证明，学会拓广是本节课的教学重点更是难点，为此我在教学设计中将通过在学生经历猜想、证明与拓广的每一阶段后及时进行反思提炼，总结方法来培养学生猜想、证明与拓广的能力。
课题学习：猜想、证明与拓广
x(1.5-x)=1 x2-1.5x+1=0 ∵△= -1.75<0 这样的矩形不存在. ∴这样的矩形不存在
问题5:已知矩形的长和宽分别为 和 , 问题 :已知矩形的长和宽分别为6和1,是 否存在另一个矩形, 否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是 已知矩形周长和面积的一半? 已知矩形周长和面积的一半?
问题2:已知矩形的长和宽分别为 和 , 问题 :已知矩形的长和宽分别为2和1,是 否存在另一个矩形, 否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是 已知矩形周长和面积的2倍 已知矩形周长和面积的 倍?
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分析:设所求矩形的长为 , 分析:设所求矩形的长为x, 则宽为(6-x),列方程 则宽为 ,
x(6-x)=4
答:所求矩形的长和宽分别为
n + m + n + m 和n + m n + m
2 2 2
2
问题4:已知矩形的长和宽分别为 和 , 问题 :已知矩形的长和宽分别为2和1,是 否存在另一个矩形, 否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是 已知矩形周长和面积的一半? 已知矩形周长和面积的一半?
超级链接
分析:设所求矩形的长为 , 分析:设所求矩形的长为x, 则宽为(1.5-x),列方程 则宽为 ,
x(8-x)=6
解得: 解得:
x=
4 ± 10
讨论:当已知矩形的长和宽分别为n和1时, 讨论:当已知矩形的长和宽分别为 和 时 是否存在另一个矩形, 是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别 是已知矩周长和面积的2倍 是已知矩周长和面积的 倍?
答:所求矩形的长和宽分别为
讨论:已知矩形的长和宽分别为 和 时 讨论:已知矩形的长和宽分别为n和m时,是 否存在另一个矩形, 否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是 已知矩周长和面积的2倍 已知矩周长和面积的 倍?
九年级上册 猜想、证明与拓广 综合与实践 优质课件
里出了问题呢？
13
13
8
5
55Βιβλιοθήκη 8158
5
8
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8
8
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5
8
活动5 剪下重拼,面积怎么变了呢？
5A 8
５
1 E
8
13
1 F□
3 2
D
5
B
5C
8
(四）画龙点睛，提炼精髓
仅凭观察、猜想是不可靠的， 操作实验和计算是必要的， 重要的是有严密的推理论证。
理性思维 批判质疑 勇于探究
(科学研究精神)
辨伪求真，体会数学的严谨之美！
在草地中间有条1米的直道（如图1）,为达到“曲径通
幽”的效果，现修改为处处1米宽的弯曲的小路（如图
2）.曲道比直道面积大吗？
A
1m
D
A
1m
D
bm
bm
B
am
图1
C
B
am
C
图2
ab (a 1)b ab ab b b
活动2 两个面积可以拼合？
如图，直角坐标系xoy中，A(0,5),直线x=-5与 x 轴交于点D， 直线 y 3 x 39 与x轴及直线 x=-5分别交于点C，E．点B，E关于 x 轴对称，连8接A8，B.
AD AE, BD CE
A
AD BD AE CE 即AB AC A B C是等腰三角形
D
E
O C
B
活动5 剪下重拼,面积怎么变了呢？
有一 张13×13＝169的正方形纸片，把这张纸片按左图
所示剪成4块，按右图所示重新拼合，计算可知长方形的面积
为21×8＝168 .比原先少了一个单位的面积,太不可思议了!哪
初中数学北师大九年级上册(2023年修订)综合与实践 ⊙ 猜想证明与拓广刘小玲 (2)
1．为什么要证明
一、学生知识状况分析
学生的技能基础：在七年级和八年级上学生学习了很多与几何相关的知识，为今天的进一步的学习作好了知识储备，同时，学生也经历了很多验证结论合理性的过程，有了初步的逻辑推理思维，合情推理能力得到了很大的提高，为今天系统的培养学生严谨的逻辑推理能力打下了良好的基础．
学生活动经验基础：在以往的几何学习中，学生已经参与了对几何图形的观察、比较、动手操作、猜测、归纳等活动，对今天本节课的分组讨论、自主探究等活动有很大的帮助．
二、教学任务分析
学生的直观能力是中要培养的一个方面，但如果学生仅有对图形的直观感受而不能进行推理、论证，有时是会产生错误的结论，本课时安排的教学是让学生的直观感受与实际结果之间产生思维上的碰撞，从而使学生对原有的直观感觉产生怀疑，从而确立对某一事物进行合理论证的必要性。
因此，本课时的教学目标是：
1.运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否．
2.经历观察、验证、归纳等过程，使学生对由这些方法所得到的结论产生怀疑，以此激发学生的好奇心，从而认识证明的必要性，培养学生的推理意识．
3.了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等．
三、分析
本节课的教学思路为：验证活动（1）——猜想并验证活动（2）——猜想并验证活动（3）——经验总结——学生练习——课堂小结——巩固练习。
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《课题学习——猜想、证明与拓广》学案
枝江市董市一中马明元
一、学习目标
（1）探索“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”的议题。
（2）经历猜想、证明、拓广的数学思考过程，体验相应的数学思想方法，发展学生的推理能力；并在解决问题的过程中综合应用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识。
（3）通过反思自己及同伴解决问题的过程，使学生提出问题的能力得到发展并在求解相应的“问题串”中，使学生体会到不同数学领域之间的联系。
二、猜想证明
[题1]任意给定一个正方形，是否存在
．．另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形的2倍？
三、能力拓展
[题2]任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？
矩形的形状太多了，我们如何来探索这个问题呢？
[题3]如果已知矩形长和宽分别为2和1，结论会怎样？
你是怎么做的？与同伴交流。
并写出过程。
四、思维升华
[题4]若已知矩形的长和宽分别为3和1，4和1，5和1，…，n和1…是否有相同的结论？自己任意设定一组数据完成探索，方法自选。
[题5]若已知矩形的长和宽分别为m和n，是否有相同的结论？
将问题转化为方程或方程组有无解的情况加以探究，使猜想得到验证。
五、归纳总结
通过本节课的学习你有哪些收获？
六、应用创新
1 思考题1：任意给定一个矩形，能否找到另一个矩形，使其周长和面积都为原来那个矩形的1/2？
2 思考题2: 任意给定一个圆，是否存在另一个圆，它的周长和面积分别是已知圆的2倍
3 布置作业七、。