猜想、证明与拓广

x
或者是：___(_2__R____1_5_)_米__
R 2x 2R 15
15
x R 2
2.39
假如有一条很长很长的绳子，恰好可绕地球赤道一周。 如果把绳子再接长15米后，绕着赤道一周悬在空中 （如果能做到的话），那么在赤道的任何地方，姚明 都可以在绳子下自由穿过！你们相信吗？
直觉的误导
哪条线段长？量量看
A
C
B
D
图 中 哪 个 人 高 些 ？
观察两个图案中心的的圆，哪个大些？
这 个 四 边 形 还 是 正 方 形 吗 ？
三人住店，每人10元，老板优惠他们， 叫小二退5元给他们，小二发现5元不好 分，于是一人只退了1元，自己揣了2元， 那么住店者每人只出了9元，3×9＝27， 加上小二的2元才29元！可是当初他们一 共付出30元，还有1元钱呢？哪里去了？
3
5
3 5
5
3
5
3
5
8
5 5
㈢ 直尺测对角线上的点是否共线
8
5
3 5
3 5
5
3
5
3
5
8
不是90° 不共线
5 实验结论： 右图中的图形不是长方形
证明：如下图，过D做DF⊥AE于F。
假定右图的图形是长方形，那么 ∠CAF=90° ，
则有∠2+∠3=90°。
因为∠1+∠2=90°， 则∠1=∠3。
∴Rt△DAF ∽Rt△ ABC。
体会到了对于数学的结论，完全凭直觉 判断是不行的，还需要通过演绎推理来 验证。
A
D
4
将图上的四块 拆开来移到下 图各位置。
C
B
E
每一部分与上
F
图完全相同
G
H
那这个洞从哪里来的呢？
请同学们观察身边的由直觉 造成误导的现象，或学习中 遇到的这样的例子，总结起 来，写一篇数学小论文。
新课程标准 综合与实践
直觉的误导
河大附中 郭改选
是 爱 因 斯 坦 ，
还 是 玛 丽 莲 梦 露 ？
·
亚 里 士 多 德
直觉就是科学知识的创始性根源。 ———亚里士多德
欧几里得几何学的五个公设都是基于直觉；
阿基米德
阿基米德在浴室里找到了辨别王冠真假的方法；
凯库勒发现苯分子环状结构更是一个直觉 思维的成功典范。
AF DF ,
即2 5
BC AC 3 8
25 1 3 8 24
这是不可能的，因此右图中的图形不可能是长方形。
3
5
3 8
5
3
5
8
5
5
B
3
5
3
D
3
5
C
8
E
5
3F A
35ຫໍສະໝຸດ 3 85M
8
5
5
2
R
Q
3
5
5
31
3N
5
P
8
O
3
5
证法二：如右图，过Q做QR⊥MN于R。
∵MN//PQ
∴∠2+∠3= 180°
tan1 PO 8 ,tan2 RQ 5 .
PQ 3
MR 2
∴∠1≠∠2
∴∠1+∠3≠ 180° ，即∠MQO ≠ 180°
∴点O、Q、M不共线。
因此右图中的图形不可能是长方形。
这节课你有何收获， 能与大家分享、交流你的感受吗？
今天我们收获了…
经历了看图时的错觉，问题引入的误区， 感觉上的误导，经验导致的错误，认识 到直觉在解决问题时的误导作用。
A BCD
A BCD
资料：
安徽省2006年课改实验区初中毕业考试数学 试卷的选择题中的第10小题是一道学生容易错 误解答的数学题. 多数考生看到试卷后,误认为是 正五角星,不假思索地错选A,以致本题的答题正 确率很低,从9500多份试卷中,随机抽取300份试 卷进行样本统计:有232名学生选A,占77.3%,有 36名学生选B或C,占12%,只有32名学生选D,占 10.7%.多数学生选A答案的原因是平时有太多的 对正五角星的了解和认识，形成思维定势.
假如有一条很长很长的绳子，恰好可绕 地球赤道一周。如果把绳子再接长15米后， 绕着赤道一周悬在空中（如果能做到的话）， 那么在赤道的任何地方，姚明都可以在绳子 下自由穿过！你们相信吗？
假如有一条很长很长的绳子，恰好可绕地球赤道一 周。如果把绳子再接长15米后，绕着赤道一周悬在空 中（如果能做到的话），那么在赤道的任何地方，姚 明都可以在绳子下自由穿过！你们相信吗？
有一张8 cm ×8 cm的正方形的纸片，面积是64 cm2。 把这张纸片按左图所示剪开，把剪出的4个小块按右图 所示重新拼合，这样就得到了一个长为13cm，宽为 5cm的长方形，面积是65 cm2。这是可能的吗？
动手操作 填写实验报告单：
㈠ 将左图按上图方式剪开拼成右图
结论
5
㈡ 量角器测右8 图左上角或5右下角度数
A
分析：
B
2
1
∵∠1= ∠A+ ∠D
∠2= ∠C +∠E
C
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
= ∠1+∠2 +∠B
=180°
E D
问题2：（2006 安徽）下图是由10 把相同的折扇组成的 “蝶恋花”（图 l ）和梅花图案（图 2 )（图中的折扇无
重叠）, 则梅花图案中的五角星的五个锐角均为A( )
∴ ∠4= ∠BAE－ ∠1 －∠3
C
D
=108°－ 30°－30°
图（2）
=48°
问题2：（2006 安徽）下图是由10 把相同的折扇组成的 “蝶恋花”（图 l ）和梅花图案（图 2 )（图中的折扇无
重叠）, 则梅花图案中的五角星的五个锐角均为D( )
A . 36º B . 42º C . 45º D . 48º
A . 36º B . 42º C . 45º D . 48º
解析： 由图（1）可知： 每个扇形的圆心角为120°
顺次连接图（2）五角星的锐角顶点，
A
则五边形ABCDE为正五边形，
B
3
4
M
2
它的每个内角为108°. E ∵△AME是等腰三角形，∠M=120°
∴ ∠1 = ∠2 =30°
∠3=30°
假如有一条很长很长的绳子，恰好可绕地球赤道一周。如果把 绳子再接长15米后，绕着赤道一周悬在空中（如果能做到的 话），那么在赤道的任何地方，姚明都可以在绳子下自由穿过！ 你们相信吗？
分析：设地球半径为R米,绳子接长后绕一周半径为x米,则
绳子原来的长度可表示为：__2___R_米__
绳子加长后的长度为：___2__x__米______
解：设地球半径为R米,绳子接长后
绕一周半径为x米,则有
x
2x 2R 15
R
xR
15
2
2.39
∴在假设的情况下，姚明可以在绳下自由穿过。
问题1：
如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=___1__8_0_°__。
A
B
E
C
D
问题1：如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_1__8_0_°____。