北师大版九年级(上)猜想、证明与拓广教学设计
第06章综合与实践猜想、证明与拓广-九年级上册初三数学(北师大版)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与几何证明相关的实际问题，如如何证明等腰梯形的对角线相等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如通过折叠和剪切来验证几何猜想。
五、教学反思
今天我们在课堂上探讨了综合与实践章节中的猜想、证明与拓广。通过这节课的教学，我发现学生们对于几何猜想的提出表现得非常积极，他们能够通过观察和思考，提出一些有创意的猜想。比如，在探讨勾股定理的逆定理时，有学生提出了关于直角三角形边长比例的猜想，这是一个很好的开始。
然而，我也注意到在证明过程中，学生们普遍存在逻辑推理不够严密的问题。他们有时会忽略一些必要的步骤，或者证明过程中逻辑链条不够清晰。这让我意识到，我们需要在接下来的课程中加强逻辑推理的训练，特别是让学生理解每一步证明的必要性。
4.培养学生的数学建模素养，结合实际问题，引导学生运用几何知识构建数学模型，培养学生将现实问题转化为数学问题的能力。
5.培养学生的创新意识，鼓励学生在猜想、证明与拓广的过程中，勇于提出新观点，探索新方法，激发学生的创新思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-几何猜想的提出：重点在于引导学生通过观察特例提出合理的数学猜想，如勾股定理的逆定理。举例：通过观察不同直角三角形的边长关系，引导学生发现并表述勾股定理的逆定理。
最后，我意识到教学过程中要更加注重培养学生的创新意识和解决问题的能力。在今后的课堂中，我会鼓励学生大胆猜想，勇于尝试不同的证明方法，并引导他们在实际情境中发现几何问题的解决之道。通过这样的教学方式，我相信学生们能够更好地理解和掌握几何知识，提高他们的数学素养。
北师大版初三数学上册猜想、证明与拓广
《猜想、证明与拓广》教学设计西街初中柴晓娟教学目标：⑴经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验.⑵在问题解决过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识.⑶在探究过程中,感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必要性.学习重点难点1.重点:通过对一个开放性、探究性的课题的探索，获得探索和发现的体验，体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法.2.难点:处理问题的策略和方法.课时引入：世界三大几何难题：化圆为方，三等分任意角，倍立方这些问题困扰数学家一千多年都不得其解,而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的.1637年笛卡儿创建解析几何以后,许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。
1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。
1882年林得曼（Linderman）也证明了π的超越性（即π不为任何整数系数多次式的根）,化圆为方的不可能性也得以确立 .教学过程：探究活动1：正方形的“倍增”问题问题(1)：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？教学策略：提出问题后引导学生思考，学生会出现的三种解决问题的思路：1、先有具体情况入手研究，得到一个猜想，然后再拓展到一般情况进行证明。
2、因为问题比较简单，有学生可能直接进行一般情况的证明。
3、由于任意两个正方形都是相似的，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 所以周长比和面积比不可能同时为2. 因此这样的正方形不存在. 这三种解决问题的方法都应该给与肯定和表扬。
证明方法：解：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a,面积为a2,周长扩大两倍后为8a,则其边长应为 2a,此时面积应为 4a2，它不是已知给定的正方形的面积的2倍.所以不存在这样的正方形。
或是先考虑面积扩大为原来的两倍为2a2，则边长应为a2，此时周长应为4a2，不是4a的两倍，无论从哪个角度考虑，都不存在这样的正方形。
北师大版九年级(上)猜想证明与拓广教学设计
北师大版九年级（上）猜想、证明与拓广教学设计吕永芳一、内容解析课题学习是初中数学四大领域之一的重要内容，课题学习设计的意图是为了将前面某领域内所学知识进行综合，加深知识间的理解水平，或在数学内部不同领域间建立起联系，或把数学内容与其它学科内容沟通在一起，建立起数学与其它学科的联系。
本节课是北师大版九年级（上）的课题学习《猜想、证明与拓广》的第1课时，它是在学生已经学完证明（二）、证明（三）及一元二次方程和反比例函数的基础上设计的开放性、研究性的课题，主要意图是给学生提供一个思考、研究的平台，在活动中体会和把握猜想、证明与拓广的数学化思维模式，将数学最本质的东西——思想和方法进行汇总和梳理，同时感悟处理问题的策略和方法，积累数学活动经验。
因此本节课是数学学习中非常重要的一节思维训练课。
二、目标与目标解析1、教学目标：（1）经历猜想、证明与拓广的过程，掌握猜想、证明与拓广的方法，培养问题意识和自主探索的能力，获得探索和发现的体验；（2）在问题解决过程中综合运用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体认识；（3）在探索过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必要性；（4）在合作交流过程中扩展思路，发展学生的推理能力，培养团队合作精神。
2、目标解析：本课题学习整体上是一个开放性、研究性的课题，教学设计依照数学化的进程展开，在围绕“是否存在与已知图形的周长和面积同时倍增的图形”的一系列问题展开的，学生在经历这些问题的探索中加深对数学的领悟，教学实施中对问题的思考以自然的、启发性的方式进行探究，从中学习并感受数学知识的发生历程，其蕴含的“问题情境→猜想→验证→发现规律→证明→拓广”这一数学模式及由特殊到一般、数形结合的思想方法是学生应重点把握的。
本课题学习的目的不在于对某个具体问题的解决，而在于对猜想、证明与拓广能力的培养，因此如何在教学实施中使学生学会猜想，学会证明，学会拓广是本节课的教学重点更是难点，为此我在教学设计中将通过在学生经历猜想、证明与拓广的每一阶段后及时进行反思提炼，总结方法来培养学生猜想、证明与拓广的能力。
猜想、证明与拓广 说课稿
《猜想、证明与拓广》（第1课时）说课稿设计理念：创造性地使用教材，改变课本因过多重复计算而显得枯燥无味的局面，摆脱教材编写模式的束缚，增强课堂过程的趣味性；通过对教材内容的提炼和重组，精心设计可操作性强、开放性适度的活动项目，体会实验活动和归纳的局限性以及证明推理的必要性。
让学生在愉快的活动中学习，实现数学活动人人参与，“不同的人在数学上得到不同的发展”的新课标理念。
一、说教材1．教材的地位和作用《猜想、证明与拓广》是北师大版九年级上册课题学习的内容，本课是在学生学习了一元二次方程、证明（二）、证明（三）、反比例函数的基础上，围绕着中心课题——图形的周长和面积“倍增”（以下简称图形“倍增”），通过一系列具体问题逐渐展开，其主要意图是引导学生通过自主探索活动，综合运用已学的数学知识，体验处理问题的策略和方法，提高解决问题的能力。
2．学情分析在本节课之前，学生已经学习了“方程（组）”、“函数”“反证法”等知识，也学习过从特殊到一般的思想方法，掌握了类比，转化的思想。
3．教学目标(一)教学知识点探索“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”的议题.(二)能力训练要求1．经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索的意识。
2．在问题解决的过程中综合运用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识。
3．在探究过程中，感受由特殊到一般、形数结合的思想方法，体会证明的必要性。
4．在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力。
(三)情感与价值观要求1．积极参与数学活动，积极思考并与同学合作交流.2．获得成功的体验和克服困难的经历，增强运用数学的信心.根据新课程下创建高效课堂理念，让学生在经历探索过程中培养交流合作意识，提升解决问题的能力，从而更利于学生理解数学知识，获得发展。
结合本课内容，我认为重点是：探究“任意给定一个矩形.是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”，从而获得解决问题的方法和途径。
北师大版数学九年级上册阅读与思考猜想、证明与拓广优秀教学案例
在作业小结环节，我会布置相关的作业和练习题，让学生进行巩固和应用。我会提醒学生注意作业的完成要求和时间安排，并鼓励他们积极思考和解决问题。同时，我会对学生的作业进行及时的批改和反馈，给予他们鼓励和指导，帮助他们提高解题能力和学习效果。
五、案例亮点
1.情境创设：本案例通过引入具体案例和实际问题，激发了学生的学习兴趣和动力。这种情境创设的方式使得学生能够更好地理解和感受到数学与生活的紧密联系，增强了学生的学习兴趣和积极性。
（二）过程与方法
在本章节的教学中，我期望学生能够达到以下过程与方法目标：
1.自主学习：学生能够独立完成阅读材料的学习，通过自主学习培养自身的数学思维能力和探究能力。
2.合作交流：学生在小组合作中，能够积极与他人交流和分享自己的思考和观点，通过合作交流提高自己的数学理解和解决问题的能力。
3.问题解决：学生能够运用已学的数学知识和方法，解决阅读材料中的数学问题，通过问题解决培养自己的创新能力和实践能力。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我会将学生分成小组，并给出具体的讨论题目和问题。我会引导学生进行合作和交流，鼓励他们分享自己的观点和思路。我会巡回指导，给予学生必要的帮助和指导，促进学生的小组合作和问题解决能力的培养。
（四）总结归纳
在总结归纳环节，我会邀请学生代表或自己进行对本章节的总结和归纳。我会引导学生回顾和梳理所学的内容和知识点，强调重点和难点，并指出学习的意义和应用价值。通过总结归纳，学生能够加深对知识的理解和记忆，形成系统化的知识结构。
我的教学案例主要包括以下几个方面：首先，我会引导学生通过阅读材料，了解和掌握数学问题的背景和情境。其次，我会引导学生运用已学的数学知识和方法，对问题进行猜想和假设。然后，我会引导学生通过逻辑推理和数学证明，验证猜想的正确性。最后，我会引导学生进行拓广和应用，将所学知识和方法应用到其他相关问题中。
《猜想证明及拓广》教学设计
《猜想证明和拓广》（义务教育课程标准北师大版九年级上册课题学习）一、教材分析●（一）教材内容本课题学习是一个开放性、研究性的课题，为学生提供了一个思考、探究的平台，本课题学习的课题背景是：是否存在一个矩形，其周长与面积是已知矩形周长与面积的若干倍，●（二）地位作用本课题学习在学生的学习过程中具有很强的提升作用，让学生在解决问题的过程中去体验和领悟，获得解决问题的方法和途径，让学生通过本课题的学习不仅掌握学习知识的技能，更能够举一反三，培养数学推理能力和逻辑思维能力。
二、学情分析●（一）知识基础在本节课前，学生已初步掌握了一元二次方程的思想，方程的根与系数之间关系，积累了对一些简单方程问题的处理、分析经验。
●（二）认知水平初三的学生已具备一些方程问题的处理能力，由于年龄特点和认知特点，理性认识强于感性认识三、教学目标● （1）知识技能目标在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力。
●(2) 过程与方法在问题解决过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识 . 在探究过程中 ,感受由特殊到一般、数式结合的思想方法，体会证明的必要性。
● （3）情感态度目标经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验。
四、教学重点难点：● 1. 重点 : 探索“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的 2 倍”，从而获得解决问题的方法和途径．●2．难点 : 从特殊到一般，启发学生综合运用一元二次方程、方程组等知识发现具有一般性的结论，寻求一般性的解决方法．●3．突破重点、突破难点的策略：从数学学习的必要性入手，结合多媒体直观演示，并通过学生互动研讨，加深对数学研究思想的理解，并配合由浅入深的练习，使学生掌握猜想、证明、拓广的方法。
五、教学用具多媒体投影仪大屏幕三角板六、教法学法本节采用“探究 -讨论”模式。
教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导，学生的学法突出探究与讨论。
九年级数学上册《猜想证明与拓广》教案、教学设计
1.回顾本节课所学的内容，让学生总结数学猜想的提出、证明方法和拓广应用等方面的重要知识点。
2.学生分享自己的学习心得，讨论在学习过程中遇到的困难和解决方法。
3.教师点评学生在课堂上的表现，鼓励学生积极参与讨论，培养其勇于探索、严谨治学的精神。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，提高学生的数学素养，特布置以下作业：
5.预习新课内容：
-预习下一节课将要学习的内容，为新课的学习做好准备；
-针对新课内容，提出自己的疑问和猜想，培养自主学习能力。
教师在批改作业时，应关注学生的思维过程和解答方法，及时给予评价和指导，鼓励学生发挥潜能，提高作业质量。同时，教师应认真总结学生的作业反馈，为今后的教学提供参考。通过以上作业布置，使学生更好地巩固所学知识，提高数学素养，为未来的学习奠定坚实基础。
3.注重数学思想的渗透，引导学生运用数形结合、化归等数学思想方法，简化问题，提高解题效率。
4.通过拓广练习，培养学生将理论知识应用于实际问题的能力，提高学生的数学素养。
（三）情感态度与价值观
本章节教学应关注以下情感态度与价值观的培养：
1.培养学生勇于探索、敢于质疑的精神，激发学生学习数学的兴趣和热情。
-数形结合、化归等数学思想方法的运用。
2.教学难点：
-学生对数学猜想的提出缺乏创新性，难以跳出传统思维框架；
-学生在证明过程中，逻辑推理能力不足，容易陷入思维误区；
-学生在拓广练习中，难以将所学知识灵活应用于实际问题。
（二）教学设想
1.针对教学重点，设计以下教学策略：
-创设问题情境，引导学生通过观察、思考、讨论等方式提出数学猜想，培养学生创新意识；
（四）课堂练习
《猜想证明与拓广》教学设计
《课题学习——猜想、证明与拓广》教学设计西安交大附中樊丹子一、设计思路《猜想、证明与拓广》是义务教育课程标准实验教科书《数学》北师大版九年级（上）课题学习的内容，教材以两个具体的几何议题（“倍增”和“减半”图形存在性问题），创设了问题情景，其主要意图是引导学生通过自主探索活动，综合运用已学的知识，体验处理问题的策略和方法。
本例涉及第一课时“倍增问题”.本课题学习是一个开放性、研究性且具有挑战性的课题，为学生提供了一个思考、探究的平台，这样的活动显然不能通过讲解、告知的方法，只能让学生在解决问题的过程中去体验、领悟，获得解决问题的方法和途径，所以我选择了以“自主探索，大胆猜想——启发诱导，数学证明——分组讨论，合理拓广”为主的教学方法．不断经历猜想、判断、证实或修正，综合运用二次方程、方程组、不等式、函数等知识，由特殊到一般地探索与发现的过程，让学生在“做”中“学”，体验以数学的方式来“做数学”，感悟处理问题的策略和方法。
教学时要为学生提供充分思考和交流的空间，鼓励学生在自主探索和猜测的基础上及时交流自己的想法和做法，可以采用小组合作的方法进行教学，注意问题的连贯性和前后内容的一致性，引导学生分类研究，由特殊到一般，启发学生发现更一般性的结论，寻找一般性的解决方法，对不同学生有不同要求，鼓励主动参与、积极思考、让每位学生都获得成功的体验；关注学生活动过程，包括是否能：发现新问题、尝试从不同角度思考，善于归纳总结等。
在学习方法上，应充分发挥学生在教学中的主体作用，采取让学生自己观察、大胆猜想、进行小组讨论和交流、师生共同归纳总结，体验学习的过程．二、教学目标（1）知识与技能目标：探索“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”的议题．（2）过程与方法目标：经历猜想、证明、拓广的数学思考过程，体验相应的数学思想方法，发展学生的推理能力；并在解决问题的过程中综合应用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识．（3）情感态度价值观：通过反思自己及同伴解决问题的过程，使学生提出问题的能力得到发展并在求解相应的“问题串”中，使学生体会到不同数学领域之间的联系．三、教学重点、难点重点：探索“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”，从而获得解决问题的方法和途径．难点：从特殊到一般，启发学生综合运用一元二次方程、方程组、不等式、函数等知识发现具有一般性的结论，寻求一般性的解决方法．四、教学程序及设想问题提出看这幅美丽的正方形图片，如果想把它的周长和面积同时扩大为原来的2倍，使它成为一个新的图片，能实现吗？先猜想结论，并尝试用数学的方法，科学的解释你的结论．把教学内容转化为具有潜在意义的问题，让学生产生强烈的问题意识，使学生的整个学习过程成为由知识与经验，同化和索引出当前学习的新知识，这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中．猜想探究转化为数学问题1：任意给定一个正方形，是否存在．．另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形的2倍？(鼓励学生大胆猜想、对研究的问题发表见解，进行探索、合作与交流，对学生涌现出多样化的解题思路，及时予以引导、归纳和总结)得出结论后鼓励学生合理发散思维，提出新的问题……让学生感知到我们不仅解决了问题,而且学会多种方式多种途径思考问题,发散思维.能力拓展问题2-1：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？凸现类比的数学思想方法，以类比引起新的认识冲突，促使学生重新审视，认真探究矩形的形状太多了，我们如何来探索问题2呢？总结出探究问题的方法：从特殊到一般问题2-2：如果已知矩形长和宽分别为2和1，结论会怎样？你是怎么做的？与同伴交流。
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北师大版九年级（上）猜想、证明与拓广教学设计吕永芳一、内容解析课题学习是初中数学四大领域之一的重要内容，课题学习设计的意图是为了将前面某领域内所学知识进行综合，加深知识间的理解水平，或在数学内部不同领域间建立起联系，或把数学内容与其它学科内容沟通在一起，建立起数学与其它学科的联系。
本节课是北师大版九年级（上）的课题学习《猜想、证明与拓广》的第1课时，它是在学生已经学完证明（二）、证明（三）及一元二次方程和反比例函数的基础上设计的开放性、研究性的课题，主要意图是给学生提供一个思考、研究的平台，在活动中体会和把握猜想、证明与拓广的数学化思维模式，将数学最本质的东西一一思想和方法进行汇总和梳理，同时感悟处理问题的策略和方法，积累数学活动经验。
因此本节课是数学学习中非常重要的一节思维训练课。
二、目标与目标解析1、教学目标：（1）经历猜想、证明与拓广的过程，掌握猜想、证明与拓广的方法，培养问题意识和自主探索的能力，获得探索和发现的体验；（2）在问题解决过程中综合运用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体认识；（3）在探索过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必要性；（4）在合作交流过程中扩展思路，发展学生的推理能力，培养团队合作精神。
2、目标解析：本课题学习整体上是一个开放性、研究性的课题，教学设计依照数学化的进程展开，在围绕“是否存在与已知图形的周长和面积同时倍增的图形”的一系列问题展开的，学生在经历这些问题的探索中加深对数学的领悟，教学实施中对问题的思考以自然的、启发性的方式进行探究，从中学习并感受数学知识的发生历程，其蕴含的“问题情境T猜想T验证T发现规律T证明T拓广”这一数学模式及由特殊到一般、数形结合的思想方法是学生应重点把握的。
本课题学习的目的不在于对某个具体问题的解决，而在于对猜想、证明与拓广能力的培养，因此如何在教学实施中使学生学会猜想，学会证明，学会拓广是本节课的教学重点更是难点，为此我在教学设计中将通过在学生经历猜想、证明与拓广的每一阶段后及时进行反思提炼，总结方法来培养学生猜想、证明与拓广的能力。
三、学情分析九年级学生整体推理意识和推理能力较强，但他们往往习惯于对确定性的问题进行一般证明，而对于判断某一命题的正误问题就感到有些不知所措，缺少由特例尝试去发现规律的意识，因而在教学中需要把“正方形倍增问题”先具体化，让学生充分经历猜想的过程，感悟合理猜想的方法。
由于九年级（上）的学生综合运用各种知识的能力还不够强，对一个问题往往只局限于一两种思维和方法，不能很好的拓宽思路，这样教师在解题策略上就应做好引导，并充分发挥小组合作学习的资源，提高课堂教学效率。
另外九年级学生的解题意识强但问题意识比较缺乏，对将一个问题拓广开来去发现其他相关的结论或提出新问题方面可能还不够理想，这也将成为本节教学中的一个难点。
因而在教学中应引导学生挖掘命题的控制条件，通过改变某一条件去进行合理的拓广，培养学生良好的思维能力。
四、教法及预期效果分析为了有效实现教学目标，根据教学内容的特点及学生学习的需要，本节课采取启发式教学与学生合作学习相结合的教学方法。
为提高课堂教学容量和效率，选用多媒体辅助教学。
由于本节课在设计前充分考虑了学生已有的知识基础和所授课班级的学情及九年级学生的认知特点，并通过反复研究课题也把握了培养学生猜想、证明与拓广的能力”这一教学重点和难点，因此通过本节课的学习学生应该在思维方法和能力培养上有所收获，能够对数学有更深的认识和领悟，其影响应该是深远的。
五、教学过程设计与说明（一）初探倍增问题，感悟猜想、证明与拓广1、感悟猜想问题1:已知边长为1的正方形，是否存在另一个正方形，使它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？已知正方形边长为2呢？已知正方形边长为3呢？观察并研究以上三个问题后你能得出什么猜想？活动方式：小组合作解决上述问题，研讨后得出本组的猜想。
汇总小组的活动成果，展示学生的猜想。
问题2:你是怎样得出猜想的？进行合理化猜想的重要过程是什么？学生活动：学生反思获得猜想的过程，初步体会获得猜想需要经过特例尝试的过程。
反思提炼：猜想是在对具体事例的研究结论的基础上，通过类比或归纳得出的具有普遍性的结论。
猜想前所需经历的重要过程就是特例尝试。
（设计说明：基于对学生以往学习状况的分析，学生没有过对合理化猜想的训练，为了让学生切身感悟到什么是猜想，所以我创造性地将教材直接给出任意正方形倍增问题改成让学生先研究几个特例，再通过观察分析后得到任意正方形倍增问题的猜想，这样学生就可以由上述过程的感悟提炼出进行合理化猜想的方法，使培养学生猜想的能力落到实处。
）2、体会证明问题3:你的猜想正确吗？对任意正方形一定适用吗？如何知道猜想的正确性？学生活动：学生思索，意识到通过几个特例得来的猜想不一定适用于所有正方形，必须经过证明才能给予认可。
从而体会到证明的必要性。
问题4:你能证明或验证你的猜想的正确性吗？学生活动：小组合作研讨并证明任意给定一个正方形，不存在另一个正方形，使它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍”然后学生展示本组的思维论证方法和过程。
教学问题诊断：对于本题的证明应用的是反证法的思想，学生可能会用相似知识或解方程等多种方法来解决，也可能会用控制变量法去解决，教师鼓励学生多角度多思维，一题多法，对学生表述中出现的思维错误及时纠正。
反思提炼：注重对反证法和控制变量法的理解，培养思维的灵活性及综合运用各种知识解决问题的能力。
从中我们可以体会到数学与其他学科联系密切，是工具学科。
（设计说明：学生多年来受到最多的训练就是证明和推理的训练，但是对证明的基本方法领悟的不一定很深，尤其是反证法的思想，所以在教学中对学生的证明方法要进行汇总，让学生明晰对“不存在”类命题的证明要用反证法来推理，而推理就要每一步都有理有据。
）3、学会拓广问题5:分析正方形倍增的结论，找出命题的影响因素。
学生活动：学生分析出此命题受图形、周长、面积及2倍等条件因素的影响。
教师指出：如果改变某一条件，新的命题就会生成，这就是拓广。
问题6:由正方形的倍增问题的结论出发，从改变图形或改变条件或将此结论向更一般化的规律上去拓广等角度出发，你能提出新的问题吗？教学问题诊断：这是一个思维拓广的设计，开放性很强。
在把握拓广的方法后学生会想到很多问题，教师可以将学生提出的问题进行分类解析：从改变图形角度，学生可能会提出一系列的图形的倍增问题，对此我将按相似和不相似分成两类来分别研究。
对相似图形引导学生去发现一般规律及解决办法；对不相似的图形，如矩形、菱形、平行四边形等，可以先解决矩形倍增问题，其余问题课后自行研究；从改变数量关系条件看，学生也可以提出3倍、4倍或m倍等问题，对此可由正方形2倍增问题的解决思路类似地得以解决，若提出1/2倍问题，则可为下节课做铺垫。
另外学生还可能提出异种图形间的倍增问题，如由正方形到矩形的倍增问题，教师都要给予认可，并引导学生去解决或类比解决。
（设计说明：此环节设计的目的就是要教会学生学会拓广，学会有条理的思考。
通过分析命题的制约因素为拓广提供了方向，由此学生掌握了按一定的思维方向去合理拓广的方法，这是本节课需要培养的重要能力之一，是本节的一个教学难点。
为突破这个难点，让学生学会分析，我可以类比语文上的分析句子。
由于本环节的开放性非常强，教师要头脑非常清楚地把握所有可能出现的问题，对课堂进行很好的预设，只要学生能按一定的方向提出新的问题就值得表扬。
同时教师对提出的众多问题进行分类解析，这也是学生应该学习的一种解决问题的能力。
通过对上述问题的简要解析，学生明确了研究方法，拓展了思维。
）教师反思、知识升华：通过以上问题的解决，我们经历了“猜想T证明T拓广”的全过程，这种思维模式就是一种数学化的模式，每一过程都有要领可寻：要得到合理的猜想，必须经过特例尝试的过程；而猜想的正确性则需一般化的证明或反证论证，注意多方位多角度的思维；从特例尝试到一般证明是数学探究最常见的方法，也就是由特殊到一般；拓广就是举一反三，是思维的更高境界，我们要在分析命题的影响因素的基础上控制一些因素不变而改变某一因素，就可将问题进行拓广，如正方形倍增问题我们就可以改变条件，或改变图形，或将结论向更一般化去推广。
其实拓广就是新一轮的猜想，科学知识体系就是在不断的“猜想--证明--再猜想--再证明”中往复循环、螺旋式上升和发展的。
掌握好猜想、证明与拓广这种数学模式，你的研究能力就会增强，面对任何问题都会应对自如。
（设计说明：教师适时的反思与归纳对学生来说起着重要的作用，学生在正方形倍增问题中经历了猜想、证明与拓广全过程的基础上再次明晰猜想、证明与拓广这一思维模式及各自的要领，培养了猜想、证明与拓广的能力学生将终身受益。
这一反思归纳为下一问题的解决奠定了思维方法的基础。
）（二）再探倍增问题，应用猜想、证明与拓广矩形倍增问题：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形使它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍？教学问题诊断：这个问题是学生由正方形倍增问题从改变图形的角度拓广很容易想到的问题，如果学生首先想到的是：“任意给定一个正方形，是否存在一个矩形使它的周长和面积分别是已知正方形的2倍”问题时，教师就先解决此问题，然后视时间情况再考虑完全解决或半课堂解决半课后作业的方式处理矩形到矩形的周长和面积同时2倍问题。
因为这二者在解决方法、思维方式上基本一致，并且学生能由正方形到正方形的同种图形倍增问题想到不同种图形的倍增问题也是难得的思维拓广，值得珍惜。
在开放式的课题学习中学生什么问题都有可能提出，因此对于再探倍增问题的处理我将视学生提出问题的情况而定教学内容。
问题1:面对矩形倍增问题，你有怎样的研究过程和步骤？请说出你的研究步骤。
问题2:从特例尝试入手研究矩形倍增问题。
活动方式：小组合作交流。
每组可任选一种矩形的长和宽进行研究。
然后得出确定的结 论，注意解题策略的多样性。
小组活动后展示本组的思维成果。
教学问题诊断：有了正方形倍增研究的基础， 同时为了提高课堂效率， 拓宽学生思维的 广度，为学生提供互相交流研讨的平台， 此处我采取了小组合作探究的方式进行。
学生通过 研究特例去探索结论，得出存在与否的判断，然后再进行一般证明。
教师在巡视中观察发现 学生存在的问题或思维困惑点，给予及时点拨。
小组充分研讨后各组派代表展示思维成果，其它组作补充。
在证明中，学生可能会通过列二元方程组来解决， 也可能列一元二次方程或分式方程来解，还有学生可能会想到将方程组中的每一个方程转化成函数表达式的形式，然 后利用函数图象来解决，这些方法教师都要给予肯定，以培养思维的灵活性及解题的多策略， 使学生积累解题经验，学会综合运用各种知识。