神奇的莫比乌斯带_教案教学设计
2023年人教版数学四年级上册神奇的默比乌斯带教案模板(推荐3篇)
人教版数学四年级上册神奇的默比乌斯带教案模板（推荐３篇）〖人教版数学四年级上册神奇的默比乌斯带教案模板第【1】篇〗教学内容：人教版实验教材四年级上册第77页。
教学目标：1、动手操作将长方形纸条制成一个神奇的莫比乌斯带。
2、引导学生认识莫比乌斯带的特点和奇异性质。
3、培养学生大胆猜想、细心求证的精神。
4、在莫比乌斯带变化中感受数学的无穷魅力，拓展数学视野。
进一步激发学生学习数学的兴趣，并获得成功的体验。
教学重点：会制作一个神奇的莫比乌斯带；引导学生发现认识莫比乌斯带的特点和奇异性质。
教学难点：莫比乌斯带面和边个数的验证。
教学具准备：长方形纸条若干、剪刀、胶水、水彩笔。
教学过程：课前谈话：老师给大家讲个故事（课件出示故事情节），你知道他是怎么做到的吗？今天我们就来学习这方面的知识。
一、创设情境，导入新课。
1、变魔术教师出示一张白纸条，并让学生拿出自己的长方形纸条，问：这张纸条有几条边？几个面？生：四条边，两个面。
教师拿着纸条，边比划边说：一个正面，一个反面。
师：现在我能变魔术，把它变得只有两条边，两个面。
你会吗？让学生尝试操作，教师展示将纸条变成纸圈。
问：是不是两条边，两个面？生：是。
师：你会吗？生：会！（学生都尝试做成纸圈）师：这样大家都会做，老师还能把它变成一条边、一个面。
你会吗？教师激发学生的学习兴趣，学生都在自主尝试操作。
师：非常好，有同学在大胆尝试，太棒了！教师把纸条放在背后操作，做成莫比乌斯带，然后展示莫比乌斯圈。
师：想想吧，是怎么做的？2、做纸圈教师让学生尝试做成纸圈，鼓励同桌互助完成，然后举起作品展示。
师：可以这样做（演示：将长方形纸条一端翻转拧成180°以后再首尾相连），再用胶水粘牢。
让全班同学都完成莫比乌斯圈的制作，教师巡视指导操作，并集体展示。
师：大家看自己的纸圈，想一想，是不是一条边、一个面？怎样检验呢？学生思考、尝试，猜测结果：用手指沿着纸条的边和面各走了一圈。
师：我们一起动手检验。
2023年人教版数学四年级上册神奇的默比乌斯带教学设计(推荐3篇)
人教版数学四年级上册神奇的默比乌斯带教学设计（推荐３篇）〖人教版数学四年级上册神奇的默比乌斯带教学设计第【1】篇〗《神奇的莫比乌斯带》综合实践活动教案【教学设想】《神奇的莫比乌斯带》是人教版四年级上册新增的一节数学活动课，其内容属于《拓扑学》的范畴，对小学生来说不太好理解，但其内容又是最能激发学生学习兴趣，拓展数学视野、建构高效课堂的好题材。
本课通过课始的“魔术”表演，创设宽松的课堂氛围，然后让学生在动手“做一做”的过程中，感受莫比乌斯带“只有一条边、一个面”的特点，从而揭示课题；课中设计了沿1/2线、1/3线剪两个活动情境，学生在大胆猜想、细心求证的方法引导下，通过“猜一猜、剪一剪”等实践活动，充分感受了莫比乌斯带的神奇之处；课尾的自主创造和欣赏，让学生进一步感受莫比乌斯带的无穷魅力，引发学生继续探究的欲望；最后用国际数学大师陈省身教授的题词“数学好玩”来激发学生学好数学的自信心。
酸甜苦辣都有营养，成功失败都是收获。
谁能百分之百的肯定，将来的某一天，《拓扑学》的重大发现，不是由于这节课的启蒙呢？教学内容：人教版四年级上册实践与综合应用活动课教学目标：１．让学生在做一做的实践活动中，经历莫比乌斯带的形成过程，了解其特点。
2．在猜一猜、剪一剪的活动中，探究出莫比乌斯带的奇异性质。
3．引领学生感受数学的神奇与魅力，培养学生大胆猜想，细心求证的科学学习方法。
教学重难点：认识莫比乌斯带及其性质，感受数学的神奇与魅力。
教具：每人两张长方形的纸条（①号纸条画出中线，②号纸条画出三等分线）、剪刀、胶水、水彩笔。
教学过程：一、认识莫比乌斯带1．魔术引入师：小朋友们，你们喜欢看魔术表演吗？老师表演一个怎么样？老师表演的魔术是与数学有关的，请看这是一张长方形的纸条，谁来说说它有几条边，几个面？(４条边，两个面。
)师：现在我能把它变成两条边两个面的图形，相信吗？见证奇迹的时刻到了，请看（师把长方形的纸条变成纸圈。
）瞧，几条边，几个面？（两条边，两个面）师：有的孩子觉得太简单，那来点复杂的怎么样？还是这张长方形的纸条，现在我能把它变成只有一条边一个面的图形？你信吗？要不你们先试试看，拿出１号纸条，动手做一做。
《神奇的莫比乌斯带》(教案)2023-2024学年数学四年级上册
《神奇的莫比乌斯带》一、教学目标1. 让学生了解莫比乌斯带的特点，通过动手操作，培养学生动手实践能力和空间想象能力。
2. 使学生通过观察、猜想、操作、验证等活动，发现莫比乌斯带的特征，感受数学的无穷魅力。
3. 培养学生的观察能力、动手操作能力、逻辑思维能力及空间想象能力。
4. 培养学生合作交流的意识，感受数学与生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重难点重点：引导学生动手操作，观察、发现、验证莫比乌斯带的特点。
难点：理解并掌握莫比乌斯带的特征。
三、教学准备剪刀、彩笔、白纸四、教学过程1. 导入新课出示图片，引导学生观察并思考：你们认识这个图形吗？它有什么特点？学生回答后，教师总结：这是一个神奇的图形，它有一个非常有趣的特点，那就是它只有一个面和一个边界。
这就是我们今天要研究的莫比乌斯带。
2. 探索交流（1）教师出示莫比乌斯带的图片，引导学生观察并思考：你们能发现莫比乌斯带的特征吗？学生回答后，教师总结：莫比乌斯带的特征是只有一个面和一个边界。
（2）教师引导学生动手操作，制作莫比乌斯带。
学生动手操作后，教师提问：你们发现莫比乌斯带的特征了吗？学生回答后，教师总结：莫比乌斯带的特征是只有一个面和一个边界。
3. 实践应用（1）教师出示练习题，引导学生运用莫比乌斯带的特征解决问题。
学生完成后，教师提问：你们是怎么解决这个问题的？学生回答后，教师总结：通过运用莫比乌斯带的特征，我们可以轻松解决这个问题。
（2）教师引导学生思考：在生活中，莫比乌斯带有哪些应用？学生回答后，教师总结：莫比乌斯带在生活中有很多应用，比如录音机的磁带、皮带传送带等。
4. 总结延伸教师引导学生回顾本节课所学内容，总结莫比乌斯带的特征和应用。
五、课后作业1. 制作一个莫比乌斯带，并观察其特点。
2. 收集有关莫比乌斯带的应用实例，与同学交流分享。
六、板书设计神奇的莫比乌斯带1. 特点：只有一个面和一个边界2. 应用：录音机的磁带、皮带传送带等重点关注的细节是“探索交流”环节中的学生动手操作制作莫比乌斯带的步骤。
神奇的莫比乌斯带(教案)2023-2024学年数学四年级上册
神奇的莫比乌斯带（教案）2023-2024学年数学四年级上册教学目标：1. 让学生了解莫比乌斯带的特点和性质。
2. 培养学生的观察能力、动手操作能力和空间想象力。
3. 培养学生对数学的兴趣和探究精神。
教学重点：1. 莫比乌斯带的制作方法。
2. 莫比乌斯带的性质和特点。
教学难点：1. 莫比乌斯带的性质和特点的理解。
教学准备：1. 莫比乌斯带的制作材料（如纸张、剪刀、胶水等）。
2. 莫比乌斯带的实物模型。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生观察一张普通的纸条，提问：这张纸条有几个面？几个边界？2. 学生回答后，教师总结：普通的纸条有两个面，两个边界。
二、探究（15分钟）1. 教师分发莫比乌斯带的制作材料，指导学生制作莫比乌斯带。
2. 学生制作完成后，教师引导学生观察莫比乌斯带的特点，提问：莫比乌斯带有几个面？几个边界？3. 学生回答后，教师总结：莫比乌斯带只有一个面，一个边界。
三、实践（15分钟）1. 教师引导学生用剪刀沿着莫比乌斯带的中心线剪开，观察剪开后的形状。
2. 学生实践后，教师总结：剪开后的莫比乌斯带变成了一个大环，而不是两个小环。
四、总结（5分钟）1. 教师引导学生回顾本节课的内容，提问：莫比乌斯带的特点是什么？2. 学生回答后，教师总结：莫比乌斯带只有一个面，一个边界，剪开后变成一个大环。
五、拓展（5分钟）1. 教师引导学生思考：莫比乌斯带在生活中的应用有哪些？2. 学生回答后，教师总结：莫比乌斯带在科学、艺术等领域有广泛的应用，如磁带、胶带等。
教学反思：本节课通过制作莫比乌斯带，让学生了解了莫比乌斯带的特点和性质，培养了学生的观察能力、动手操作能力和空间想象力。
在教学过程中，要注意引导学生积极参与，鼓励学生提问和思考，培养学生的探究精神。
同时，教师要对学生的回答进行及时的总结和反馈，帮助学生理解和掌握知识。
需要重点关注的细节是“探究”环节，因为这是学生直接参与和体验莫比乌斯带特性的关键步骤。
2023年人教版数学四年级上册神奇的默比乌斯带教学设计(精选3篇)
人教版数学四年级上册神奇的默比乌斯带教学设计（精选３篇）〖人教版数学四年级上册神奇的默比乌斯带教学设计第【1】篇〗教学目标1.认识“莫比乌斯带”，通过操作、思考，发现并验证“莫比乌斯带”的特征。
2.培养大胆猜测，勇于探究的求索精神。
3.在“莫比乌斯带”魔术般的变化中感受数学的无穷魅力，拓展数学视野，进一步激发学生学习数学的兴趣，培养其良好的数学情感。
教学重点学生经历动手操作，主动思考，合作交流的“做数学”的过程，探索莫比乌斯带的奇异性质。
教学难点利用所学数学知识解决问题的能力。
教学准备每位学生若干张长方形纸条、剪刀、水彩笔。
教学过程一、活动导入，揭示课题教师出示一张纸条师：这张纸条有几条边几个面？生：4条边，2个面。
师：同学们能不能想想办法，把这张纸条的边数量减少呢？学生拿出事先准备好的纸条进行尝试。
并作出一个圆环进行展示。
师：现在的物体有几条边几个面呢？生：2条边，2个面。
师：同学们是怎么将一张纸条的4条边变成两条边的？生：将纸条的两条边重合，变成一个纸环，重合的两条边就会消失，所以纸环就变成了2条边，2个面。
师：聪明的同学们，你们还能想想办法，将这个纸环的边或者面继续减少吗？学生用事先准备好的纸条尝试制作，用涂色的方法证明只有一条边，一个面。
师：说一说你是怎么操作的？为什么这么操作？生：第一个纸条变成纸环，两条边重合后就会消失，我就在思考让这个能不能经过其他方式的重合也让这张纸条的边或者面减少呢。
所以我让这张纸条的一面进行旋转，正面和反面进行重合，上面的边与下边的边重合，这样子组成的纸环就变成了一条边、一个面。
揭示课题，像这样只有一条边，一个面的圈，叫做莫比乌斯圈，还叫做莫比乌斯带。
板书：莫比乌斯带二、活动探究，探索莫比乌斯带的神奇。
1. 集体齐动手，制作莫比乌斯带把纸条拿在手中，捏着一端，再将另一端扭转，将纸条的正面与反面重合，上边与下边重合。
强调：一头不变，另一头旋转、重合，两头粘贴。
出示课件，了解莫比乌斯带的由来。
《神奇的莫比乌斯带》(教案)2023-2024学年数学六年级下册北师大版
《神奇的莫比乌斯带》(教案）20232024学年数学六年级下册北师大版作为一名经验丰富的教师，我深知教学的重要性在于引导学生探索未知，启发他们的思维。
今天，我要分享的教学内容是六年级下册的数学教材《神奇的莫比乌斯带》。
一、教学内容本节课的教学内容涉及到北师大版六年级下册数学教材第107页至109页的“圆圈和莫比乌斯带”这一章节。
我们将学习莫比乌斯带的定义、性质以及它在实际生活中的应用。
二、教学目标通过本节课的学习，我希望学生能够掌握莫比乌斯带的定义和性质，能够自主探索莫比乌斯带的奥秘，并了解它在生活中的应用。
三、教学难点与重点本节课的重点是让学生理解并掌握莫比乌斯带的定义和性质，能够运用这些性质解决问题。
难点在于让学生理解莫比乌斯带的神奇之处，以及如何运用莫比乌斯带的性质解决实际问题。
四、教具与学具准备五、教学过程1. 导入：通过一个魔术表演，让学生初步接触莫比乌斯带，引发他们的好奇心。
2. 基本概念：介绍莫比乌斯带的定义，引导学生理解莫比乌斯带的特点。
3. 探索性质：让学生分组进行实验，探索莫比乌斯带的性质，如正反面、长度等。
4. 应用拓展：通过实例，让学生了解莫比乌斯带在生活中的应用，如手表带、清洁刷等。
5. 练习巩固：设计一些有关莫比乌斯带的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
六、板书设计板书设计主要包括莫比乌斯带的定义、性质以及应用，以简洁明了的方式呈现。
七、作业设计1. 请学生用自己的语言描述莫比乌斯带的定义和性质。
2. 设计一个简单的莫比乌斯带模型，并观察其性质。
3. 举例说明莫比乌斯带在生活中的应用。
八、课后反思及拓展延伸课后，我将会对学生的学习情况进行反思，看是否达到了教学目标。
同时，我会寻找更多的资料，让学生了解莫比乌斯带的更多应用，激发他们的学习兴趣。
重点和难点解析一、莫比乌斯带的基本概念莫比乌斯带的基本概念是本节课的核心，学生需要理解并掌握莫比乌斯带的定义。
莫比乌斯带是一种具有神奇性质的纸圈，它的特点是在某一面上永远没有尽头。
神奇的莫比乌斯带教案
神奇的莫比乌斯带教案一、教学目标1. 让学生了解莫比乌斯带的基本概念，知道莫比乌斯带的特征。
2. 培养学生观察、思考、动手操作的能力，提高学生的科学素养。
3. 培养学生合作交流的意识，激发学生对科学的热情。
二、教学内容1. 莫比乌斯带的定义：一个纸带围绕一个半圆形的棍子扭转180度后粘合起来所形成的带状物。
2. 莫比乌斯带的特性：只有一个面和一个边界。
3. 莫比乌斯带的制作方法。
4. 莫比乌斯带的应用实例。
三、教学重点与难点1. 教学重点：莫比乌斯带的制作方法，莫比乌斯带的特性。
2. 教学难点：理解莫比乌斯带的只有一个面和一个边界的特性。
四、教学准备1. 教具：莫比乌斯带模型、纸带、半圆形木棍、胶水、剪刀。
2. 学具：每组一份莫比乌斯带制作材料包（包括纸带、半圆形木棍、胶水、剪刀）。
五、教学过程1. 导入：通过展示莫比乌斯带模型，引发学生的好奇心，激发学习兴趣。
2. 新课导入：介绍莫比乌斯带的概念和特性。
3. 动手制作：学生分组合作，按照制作方法步骤，制作莫比乌斯带。
4. 观察与思考：学生观察莫比乌斯带的特点，思考其只有一个面和一个边界的特性。
5. 应用实例：引导学生思考莫比乌斯带在现实生活中的应用。
6. 总结与反思：学生总结本节课所学内容，分享自己的收获。
7. 布置作业：让学生课后探索莫比乌斯带的更多特性与应用。
六、教学策略1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、动手操作来揭示莫比乌斯带的特性。
2. 利用小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
3. 运用实例分析，让学生感受莫比乌斯带在现实生活中的应用，提高学生的学习兴趣。
七、教学评价1. 评价学生的莫比乌斯带制作质量，关注学生动手操作能力。
2. 评价学生在小组合作中的表现，关注学生的团队协作能力和沟通能力。
3. 评价学生对莫比乌斯带特性的理解程度，关注学生的思维发展。
八、教学拓展1. 探索莫比乌斯带的更多特性，如莫比乌斯带的扭曲、折叠等。
四年级数学上册《神奇的莫比乌斯带》教案、教学设计
-完成课本第chapter页的练习题，包括填空题、选择题和解答题，旨在巩固莫比乌斯带的性质、制作和应用等方面的知识。
-结合生活实例，用莫比乌斯带的性质解释一种现象，培养学生将数学知识应用于实际生活的能力。
2.选做作业：
-设计一个与莫比乌斯带相关的实验，并记录实验过程和结果，锻炼学生的动手操作能力和探究精神。
2.技能方面：培养学生动手操作、观察、分析、解决问题的能力，以及运用数学语言进行表达和交流的能力。
-学会运用简单的几何知识，对莫比乌斯带进行分割、扭曲等操作。
-能够运用数学语言，描述莫比乌斯带的性质，与他人进行有效沟通。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，教师应引导学生通过以下方法，培养他们的逻辑思维能力和创新意识：
2.教学过程：
-利用多媒体课件展示一幅神奇的莫比乌斯带图形，并提出问题：“同学们，你们见过这样的图形吗？它有什么特别之处？”
-邀请学生分享他们对莫比乌斯带的了解，激发学生的学习兴趣。
-引导学生观察莫比乌斯带的特征，如只有一个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、只有一个边界等，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.教学内容：讲解莫比乌斯带的定义、性质和制作方法。
-查找资料，了解莫比乌斯带在其他领域的应用，如艺术、建筑等，拓展学生的知识视野。
3.小组合作作业：
-以小组为单位，探讨莫比乌斯带的一个性质，并制作一份PPT或手抄报，展示性质的具体内容和相关实例，提高学生的团队协作能力和表达能力。
4.创新性作业：
-鼓励学生发挥创意，设计一个独特的莫比乌斯带相关作品（如手工制作、绘画等），体现莫比乌斯带的神奇魅力。
2.教学过程：
-师生共同回顾本节课所学内容，总结莫比乌斯带的定义、性质、制作方法及应用。
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神奇的莫比乌斯带这学期有幸承担学校人文讲坛的任务，原来任四年级数学老师的时候，搜集了许多有关“莫比乌斯带”的资料，趁着这个阴雨不断的十一长假重新作了整理和修缮。
不过很可惜很多图片都没有办法上转。
讲稿：神奇的莫比乌斯带同学们一定听过这样一个讲不完的故事：从前有座山，山上有座庙，庙里有个和尚在讲故事，讲的什么？……我们在记录这个故事的时候，可以像我这样用“……”来表示故事讲不完，再可爱一点儿，同学们认识了循环小数，在循环节的首尾各点一点儿表示无限循环下去，我们可以效仿这样来表示：•从前有座山，山上有座庙，庙里有个和尚在讲故事，讲的什么•？但如果我把四句话分别写在一张纸条的正反两面，我们还有办法让这个故事讲不完吗？答案是可以！我们只要将纸条做一个翻转，然后再粘贴，就能够实现故事无限循环下去。
那么大家所看到的这个纸圈在数学的历史上历经多年终于被德国的天文学家莫比乌斯发现了，公元1858年，莫比乌斯把这条带子介绍给大家，于是这个纸圈便被命名为——莫比乌斯带。
今天中午，我就跟大家一起来看看这条带子的与众不同。
一、莫比乌斯带的发现首先让我们一起来重温莫比乌斯带的发现。
数学上流传着这样一个故事：有人曾提出，先用一张长方形的纸条，首尾相粘，做成一个纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。
这个纸圈应该怎样粘？如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面，势必要涂完一个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈儿呢？对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科学家进行了认真研究，结果都没有成功。
后来，德国的数学家莫比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心思索、试验，也毫无结果。
有一天，他被这个问题弄得头昏脑涨了，便到野外去散步。
新鲜的空气，清凉的风，使他顿时感到轻松舒适，但他头脑里仍然只有那个尚未找到的圈儿。
一片片肥大的玉米叶子，在他眼里变成了“绿色的纸条儿”，他不由自主地蹲下去，摆弄着、观察着。
叶子弯取着耸拉下来，有许多扭成半圆形的，他随便撕下一片，顺着叶子自然扭的方向对接成一个圆圈儿，他惊喜地发现，这“绿色的圆圈儿”就是他梦寐以求的那种圈圈。
莫比乌斯回到办公室，裁出纸条，把纸的一端扭转180°，再将两端粘在一起，这样就做成了只有一个面的纸圈儿。
圆圈做成后，麦比乌斯捉了一只小甲虫，放在上面让它爬。
结果，小甲虫不翻越任何边界就爬遍了圆圈儿的所有部分。
莫比乌斯圈激动地说：“公正的小甲虫，你无可辩驳地证明了这个圈儿只有一个面。
”麦比乌斯带就这样被发现了。
二、有关莫比乌斯带的小故事“莫比乌斯带”有点神秘，一时又派不上用场，但是人们还是根据它的特性编出了一些故事，据说有一个小偷偷了一位很老实农民的东西，并被当场捕获，将小偷送到县衙，县官发现小偷正是自己的儿子。
于是在一张纸条的正面写上：小偷应当放掉。
而在纸的反面写了：农民应当关押。
县官将纸条交给执事官由他去办理。
聪明的执事官将纸条扭了个弯，用手指将两端捏在一起。
然后向大家宣布：根据县太爷的命令放掉农民，关押小偷。
县官听了大怒，责问执事官。
执事官将纸条捏在手上给县官看，从“应当”二字读起，确实没错。
仔细观看字迹，也没有涂改，县官不知其中奥秘，只好自认倒霉。
县官知道执事官在纸条上做了手脚，怀恨在心，伺机报复。
一日，又拿了一张纸条，要执事官一笔将正反两面涂黑，否则就要将其拘役。
执事官不慌不忙地把纸条扭了一下，粘住两端，提笔在纸环上一划，又拆开两端，只见纸条正反面均涂上黑色。
县官的毒计又落空了。
现实可能根本不会发生这样的故事，但是这两个故事却很好地反映出“莫比乌斯带”的特点。
三、奇妙的莫比乌斯带左图所示的带子是由一张纸条的两端粘接而成。
纸的一面称为带的内侧，而纸的另一面则称为带的外侧。
我们把这样的曲面叫做“双侧曲面”。
如果一只蜘蛛想沿着纸带从外侧爬到内侧，那么它非得设法跨越带的边缘不可．右面这张图所示的是莫比乌斯带，它也是由一张纸条两端粘接而成，不过，在粘接前一端扭转了180°。
现在，所得的纸带已不再具有两面，它只有一个面，一条边，这样的曲面我们就叫它“单侧曲面”。
设想一只蜘蛛开始沿着莫比乌斯带爬，那么它能够爬遍整条带子而无须跨越带的边缘。
要证实这一点，只要拿一支铅笔，笔不离纸连续地画线．那么，你将会经过整条的带子，并返回你原先的起点．莫比乌斯带的另一个有趣的性质，只要你沿着如下图所示的带子中央的虚线剪开把这个圈一分为二，照理应得到两个圈儿，奇怪的是，剪开后竟然是一个大圈儿。
如果在纸条上划两条线，把纸条三等分，再粘成“麦比乌斯圈”，用剪刀沿画线剪开，剪刀绕两个圈竟然又回到原出发点，猜一猜，剪开后的结果是什么，是一个大圈？还是三个圈儿？都不是。
它究竟是什么呢？你自己动手做这个实验就知道了。
你就会惊奇地发现，纸带不仅没有一分为二，反而剪出一个两倍长的纸圈。
有趣的是：新得到的这个较长的纸圈，本身却是一个双侧曲面，它的两条边界自身虽不打结，但却相互套在一起。
我们可以把上述纸圈，再一次沿中线剪开，这回可真的一分为二了！得到的是两条互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别包含于两条纸圈之中，只是每条纸圈本身并不打结罢了。
同学们如果感兴趣，可以将纸条四等分、五等分……，做成莫比乌斯带，剪剪看会出现什么结果。
四、克莱因瓶莫比乌代很神奇，但是，莫比乌斯带具有一条非常明显的边界。
这似乎是一种美中不足。
公元1882年，另一位德国数学家费力克斯•克莱茵（felixklein，1849～1925），终于找到了一种自我封闭而没有明显边界的模型，以他的名字命名的著名“瓶子”——“克莱因瓶”。
这种怪瓶实际上可以看作是由一对麦比乌斯圈，沿边界粘合而成。
这是一个象球面那样封闭的（也就是说没有边）曲面，但是它却只有一个面。
在图片上我们看到，克莱因瓶的确就象是一个瓶子。
但是它没有瓶底，它的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。
如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话，我们就会得到一个轮胎面。
我们可以说一个球有两个面——外面和内面，如果一只蚂蚁在一个球的外表面上爬行，那么如果它不在球面上咬一个洞，就无法爬到内表面上去。
轮胎面也是一样，有内外表面之分。
但是克莱因瓶却不同，我们很容易想象，一只爬在“瓶外”的蚂蚁，可以轻松地通过瓶颈而爬到“瓶内”去——事实上克莱因瓶并无内外之分！如果把一个克莱因瓶适当地剪开来，我们就能得到两条莫比乌斯带。
除了我们上面看到的克莱因瓶的模样，还有一种不太为人所知的“８字形”克莱因瓶。
它看起来和上面的曲面完全不同，但是在四维空间中它们其实就是同一个曲面——克莱因瓶。
五、麦比乌斯圈的应用：数学中有一个重要分支叫“拓扑学”，主要是研究几何图形连续改变形状时的一些特征和规律的，“麦比乌斯圈”变成了拓扑学中最有趣的单侧面问题之一。
麦比乌斯圈的概念被广泛地应用到了建筑，艺术，工业生产中。
运用麦比乌斯圈原理我们可以建造立交桥和道路，避免车辆行人的拥堵。
在科技馆的展厅里有一个名叫“三叶纽结”的展品。
它高12米，整体宽度10米，由三条宽1.65米的带形成的一根三棱柱经过三次盘绕，将其一端旋转120°后首尾相接构成。
它实际上是由“莫比乌斯带”演变而成的。
它表示着科学没有国界，各种科学之间没有边界，科学是相互连通的，科学和艺术也是相互连通的！在世界特殊奥林匹克运动史上，莫比乌斯环有着特殊的意义，其象征着连接起全世界智障人士的友谊，彰显出特奥会所崇尚的“转换一种生命方式，您将获得无限发展”理念。
不久前落成的以2007年世界夏季特奥会会标“眼神”为主题的纪念雕塑，其采用的就是象征着无限发展的莫比乌斯环。
瑞典《不可能的图形》邮票：瑞典1982年发行的一枚邮票，图案是一个古里古怪的图形，如果你用指尖沿着这个古怪的图形上任何一个面顺着一个方向划下去，结果会发现这是一个在现实中不可能造出来的东西。
但如果你就这样一直顺着划下去，又会回到原来的出发点，似乎这个物体又不荒谬。
其实这是一个立体化的“莫比乌斯圈”。
发行这枚“不可能的图形”邮票，意在引导人们关注科学，探索宇宙不解之谜。
莫比乌斯带为很多艺术家提供了灵感，比如美术家m.c.escher就是一个利用这个结构在他木刻画作品里面的人，最著名的就是莫比乌斯二代，图画中表现一些蚂蚁在莫比乌斯带上面前行。
foa建筑工作室的虚拟住宅方案，试图达到数学上著名的“莫比乌斯带”所展示的有趣的空间界面特点。
它也经常出现在科幻小说里面，比如亚瑟•克拉克的《黑暗之墙》。
科幻小说常常想象我们的宇宙就是一个莫比乌斯带。
由a.j.deutsch创作的短篇小说《一个叫莫比乌斯的地铁站》为波士顿地铁站创造了一个新的行驶线路，整个线路按照莫比乌斯带方式扭曲，走入这个线路的火车都消失不见。
另外一部小说《星际航行：下一代》中也用到了莫比乌斯带空间的概念。
莫比乌斯带也被用于工业制造。
一种从莫比乌斯带得到灵感的针式打印机色带能使用更长的时间，因为可以更好的利用整个带子。
莫比乌斯带常被认为是∞（无穷大符号）的创意来源，因为如果某个人站在一个巨大的莫比乌斯带的表面上沿着他能看到的“路”一直走下去，他就永远不会停下来。
但是这是一个不真实的传闻，因为∞的发明比莫比乌斯带还要早。
六、不可能的事情在这幅名叫“瀑布”的平版画中存在的不可思议：瀑布是一个封闭系统,但它却能使作坊车轮象一台永动机一样连续地转动。
瑞士艺术家oscarreutersvard是“不可能图形之父。
他创作出了“不可能图形”。
1934年,他通过一系列立方体造出了第一个不可能三角形。
1982年这幅画作为瑞典邮票发行。
七、结语莫比乌斯带实际是拓扑学中的一个小部分。
拓扑学是19世纪发展起来的一个重要的几何分支。
早在欧拉或更早的时代，就已有拓扑学的萌芽，那时候发现的个别问题，例如哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等，都是拓扑学发展史上的重要问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。
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