函数与极限测试卷与答案(二)

函数与极限测试题（二）

一. 选择题

1.设F()x 是连续函数()f x 的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有( ).

（A ）F()x 是偶函数?()f x )是奇函数. （B ）F()x 是奇函数?()f x 是偶函数. （C ）F()x 是周期函数?()f x 是周期函数. （D ）F()x 是单调函数?()f x 是单调函数 2．设函数,1

1)(1

-x x

x f 则( ) （A ） 0x =，1x =都是()f x 的第一类间断点. （B ） 0x =，1x =都是()f x 的第二类间断点

（C ） 0x =是()f x 的第一类间断点，1x =是()f x 的第二类间断点. （D ） 0x =是()f x 的第二类间断点，1x =是()f x 的第一类间断点. 3．设()1x f x x -=

，01x ≠、，，则1

[

]()

f f x = ( ) A ） 1x - B ） x

-11

C ）

D ） x

4．下列各式正确的是 ( )

A ） 0

lim 11(1+ )x

x x +

→= B ）0lim 1(1+ )

x e x +

→= C ） lim 1(1)x

x e x →∞

=-- D ）lim 1(1)

x e x

-→∞

5．已知9)(

lim =-+∞→x

x a

x a x ，则=a ( )。

A.1；

B.∞；

C.3ln ；

D.3ln 2。

6．极限：=+-∞→x

x x x )1

lim ( ) A.1； B.∞； C.2

-e ； D.2

e 。

7．极限：∞

→x lim 3

x +=（） A.1； B.∞； C.0； D.2．

8．极限：x

x x 11lim 0-+→=（）

A.0；

B.∞； C 2

1； D.2．

9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞

→=（） A.0； B.∞； C.2； D. 2

1．

10．极限: x

x x 2sin sin tan lim

-→=（）

A.0；

B.∞；

C. 16

1； D.16．

二. 填空题 11．极限12sin

lim 2

+∞

→x x

x x = ； 12. 0

arctan lim x x x

→= ； 13. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0

x f x f x x = ；

14. 0sin 5lim

x x x →= ； 15. =-∞→n n n

1(lim ；

16. 若函数2

3122+--=x x x y ，则它的间断点是

17. 绝对值函数 ,0;

()0,0;

,0.x x f x x x x x >??===??-

其定义域是，值域是。

18.符号函数 1,0;0,0;()sgn 1,0.x x f x x x >??

===??-

其定义域是，值域是三个点的集合。

19无穷小量是。

20. 函数()y f x =在点0x 连续，要求函数()y f x =满足的三个条件是。三. 计算题 21.求).1

11(

lim 0

x e

x x

x --+-→ ； 22.设1()32,x f e x -=-求()f x (其中0x >)； 23.求

(3)

lim x x x x --→-； 24.求

lim x

x x x →∞

+-； 25.求2

20sin lim tan 2(3)

x x x x x →+； 26. 已知

9)(lim =-+∞→x x a x a x ，求a 的值；

27. 计算极限n

n 1)321(lim ++∞

→ ；28.求(

)()lg 521

f x x x =

+--它的定义域。 29. 判断下列函数是否为同一函数：

⑴22()sin cos f x x x =＋与() g 1x = ；

⑵1

)(2--=x x x f 与1)(+=x x g ； ⑶()2

1)(+=x x f 与1)(+=x x g ； ⑷()()21+=

x x f 与1)(+=x x g ；

⑸2y ax =与2

s at =。

30. 已知函数2()1f x x =-，求()()()1(())32f x f f x f

f ++、、；

31. 求 746153lim 22--+-+∞→n n n n n ； 32. 求 221lim n

n ++++∞→ ； 33. 求 )1(lim n n n -++∞

→； 34. 求 n n

n n n 3232lim +-+∞→。

35. 判断下列函数在指定点的是否存在极限

⑴ ???<>+=2,2,1x x x x y ，2→x ； ⑵ ???

??><=0,3

,sin x x x x y ，0→x 。

36.求31lim

3+→x x ； 37. 求9

lim 23--→x x x ；

38.求x x x 11lim 0--→； 39.求当x →∞时，下列函数的极限112323+-+-=x x x x y 。 40. 求当x →∞时，函数1

1232+-+-=x x x x y 的极限。

41.求x x x 3sin lim

0→； 42.求20cos 1lim x

x -→； 43.求3

11lim -∞

→?

??+n n n ； 44.求n

n n 211lim ??

??+∞

→；

45.求x x kx )11(lim +∞→； 46.求x

x x ??

??-∞→11lim ；

47.求()x

x kx 1

1lim +→ 。

48. 研究函数???

??=≠=0

,10,sin )(x x x x

x f 在点00x =处的连续性。

49. 指出函数1

)(-=

x x f 在点x =1处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。 50. 指出函数?????=≠=0

,00

)(x x x x f 在点0x =处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。

51. 指出函数?

??=≠=0,10

,)(2x x x x f 在点0x =处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。

52.求x

x x )1ln(lim

+→； 53.求???

? ???--→x x x x ln 11lim 21； 54. 试证方程3

23230x x x －＋－＝在区间[1，2]至少有一根。

55. 求x

x x 2sin sin tan lim 30

-→

。

56. 试证正弦函数sin y x =在区间 (-∞， +∞) 内连续。

57. 函数()0

x x f x x x x ≥?==?

()00x x x

f x x ?≠?=?

?=?，，

；是否在点0=x 连续？ 59. 求极限 x

a x x 1lim 0

-→. 函数与极限测试题答案（二）

一.选择题

1.A 【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.

【详解】方法一：任一原函数可表示为?

C dt t f x F 0

)()(，且).()(x f x F ='

当为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-?-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见为奇函数；反过来，若为奇函数，则

dt t f 0

)(为偶函数，从而

?+=x

C dt t f x F 0

)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.

【评注】函数与其原函数的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考与其原函

数的有界性之间有何关系? 2. D 【分析】显然0x =，1x =为间断点，其分类主要考虑左右极限.

【详解】由于函数在0x =， 1x =点处无定义，因此是间断点.且 ∞=→)(lim 0

x f x ，

所以0x =为第二类间断点；

0)(lim 1

→x f x ，1)(lim 1

-=-→x f x ，所以1x =为第一类间断点，故应选(D). 【评注】应特别注意：+∞=-+→1lim 1x x x ，.1lim 1-∞=--→x x

x 从而+∞=-→+

lim x x

x e ，.0lim 1

1=-→-

x x

x e

3 - 8 CACCAC

8.∵x →∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”：原式 = 2

1111lim )11()11)(11(lim 0

0=++=++++-+→→x x x x x x x . （有理化法） 9 -10 DC

10.解：原式16

1821lim )2()cos 1(tan lim 32

030=?=-=→→x x x x x x x x . 注等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。如上例中若对分子的每项作等价替换，则原式0

)2(lim 3

0=-=→x x x x .

二.填空题

11. 2； 12. 1； 13.0； 14.5； 15.2

-e ； 16.12x =、

；17.),(+∞-∞ ),0[+∞； 18. ),(+∞-∞ }1,0,1{-；

19.在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量

20.①函数()=y f x 在点0x 处有定义；②0 x x →时极限0

lim ()x x

f x →存在；③极限值与函数值相等，即0

0lim ()()x x

f x f x →=。三. 计算题

21.【分析】 ""∞-∞型未定式，一般先通分，再用洛比达法则.

【详解】 )

1(1lim )111(lim 200x x

x x x e x e x x x e x --→-→-+-+=--+=2201lim x e x x x x -→+-+

e x x x 221lim 0-→-+=.23

22lim

0=+-→x x e 22. ()3ln 1,0f x x x =+> ； 23.3e ； 24.2

e ； 25.

； 26.3ln ；27. 3 28. 解：由20x ≥＋解得2x ≥-；由x ≠－10解得1x ≠；由520x ->解得 2.5x <；

所以函数的定义域为 2.5>21x x x ≥-≠｛｜且｝或表示为[)()2,11,2.5-?。

29. ⑴、⑸是同一函数，因为定义域和对应法则都相同，表示变量的字母可以不同。⑵⑶不

是同一函数，因为它们的定义域不相同。⑷不是同一函数，因为它们对应的函数值不相同，即对应法则不同。

30.解：()()2

1112f x x x x +=+-=+；()()()()2

22421112f

f x f x x x x ----＝＝＝；

()()()()2323121099f f f f +-+＝＝＝。

31.解：2

222n 2274

3lim 746153lim 746153lim n n n n n

n n n n n n n n n n n

--+-=--+-=--+-+∞→+∞→+∞→

210060031

lim 71lim 46lim 1lim 1lim

53lim 22

=--+-=--+-=+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→n n n

n n n n n n n ；

32. 解：2

12lim 2)

1(lim 21lim 2222=+=+=++++∞→+∞→+∞→n n n n n n n n n n n ； 33 .解：

n n n n n n n n n ++++-+=-++∞→+∞

→1)

1)(1(lim

)1(lim ；

01lim 1lim 1

lim

1lim

lim

=++=++=++=

+∞

→+∞→+∞→+∞

→+∞

→n n n n n n n n

n n n n

34.解：11

0101lim )32(lim 1

lim )32

(lim 1)3

2(1)32(lim 3232lim -=+-=+-=+-=+-+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→n n n n n n n n n n n n

n 35.解：⑴因为

3lim ,2lim 2

==+

-→→y y x x ，y y x x +

→→≠22lim lim ；所以函数在指定点的

极限不存在。⑵ 因为003

lim ,00sin lim 00=?===+-→→y y x x ，y y x x +

-→→=00lim lim ；所以函数在指定点的极限0lim

=→y x 。

36.3

lim1111lim

3lim lim3336

x x x x x x →→→→===+++； 37.()()23

333311

lim

lim lim 93336

x x x x x x x x x →→→--===

--++； 38.211

11lim )11(lim )11()11)(11(lim 11lim

0000

-=+--=+--=+-+---=--→→→→x x x x x x x x x x x x x x ； 39.3

1111

12lim 1

12lim x

x x x x x x x x x +-+-

=+-+-∞→∞→ 20

010

021lim 1lim 1lim 1

lim 1lim 2lim 323=+-+-=+-+-=∞→∞→∞→∞→∞→∞→x

x x x x x x x x x

40. 3

23232

11112lim 112lim x

x x x x x x x x x x +-+-=+-+-∞→∞→ 00

010

001lim 1lim 1lim 1lim 1lim 1lim 23232=+-+-=+-+-=∞→∞→∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x

41. 3333sin lim 3sin lim

00=?=→→x

x x x x 42. 2122sin lim 21)2(42sin 2lim cos 1lim

02202

0=?????? ?

==-→→→x x x x x x x x x 43. 原式=e e n

n n n

n ==++∞→∞→1)

11(lim )1

1(lim 3 44. 原式22211lim 11lim e n n n n n n =??????????? ??+=??????????? ??+=∞→∞→ 45. 原式k k

x k

x e kx kx 1

1111lim 11lim =???

??????

??+=??????????

? ??+=∞→∞

→

46. 原式11

11lim 11lim ---∞→--∞→=???

???????? ??-+=????

??????? ??-+=e x x x

x x

47. 原式()k k

kx x e kx =??

????+=→1

01lim 48.解

00sin lim ()lim

1()(0)1x x x x

f x f x f x

→→====而

l i m ()(0)0x f x

f x →∴=∴=函数在处连续。

49. 间断，函数在x ＝1处无定义且左右极限不存在，第二类间断点

50. 间断，函数在x ＝0处左右极限不存在，第二类间断点 51. 间断，0)(lim 0

=→x f x 但()01f ＝，两者不相等，第一类间断点

52. 解：11

000ln(1)

lim limln(1)ln lim(1)ln 1x x x x x x x x e x

→→→+=+=+== 53. 解：()211

1lim ln lim 1ln 2001x x x x x x x →→??

-?=+=?=?? ???-??

54. 证明：设32()2323f x x x x ＝－＋－，则在[1，2]上连续，()()120250f f <>＝-，＝

根据零点定理，必存在一点(12)ξ∈，

使()0f ξ＝，则x ξ＝就是方程的根。 55. 原式16

1821lim )2()cos 1(tan lim 32

030=?=-=→→x x x x x x x x 56. 证明：()x ?∈-∞+∞，

，任给x 一个增量x ?，对应的有函数y 的增量 sin()sin 2sin cos()22

x x y x x x x ???=+?-=?+.

∵ x x

x y ?=??

≤?≤?≤22

sin 20，由夹逼准则知，00y x →?→（），再由x 的任意性知

正弦函数 sin y x = 在其定义域()-∞+∞，

上处处连续，即它是连续函数。 57. 解：注意f (x )是分段函数，且点0=x 两侧f 表达式不一致。

解法1： ()0

lim ()0 0 0 x

x f -

→-=-=， ()0lim 0 0 0 x

x f +→=+=， ∴ 0)(lim 0

=→

x f x . 又()0 0f =， ∴ 函数() f x x =l l 在点0x =处连续（图1—19）

。解法2 ∵)0(0)(lim )(lim 0

f x x f x x ==-=-

-→→， ∴ 函数在点0=x 左连续；

又∵ )0(0lim )(lim 00f x x f x x ===+

+→→， ∴ 函数在点0=x 右连续，所以函数在点0=x 连续。 58 证虽然()f x 是分段函数，但点0=x 两侧函数表达式一致。

∵ )0(01sin lim )(lim 0

f x x x f M x x

=====?→

→，∴ )(x f 在点0=x 处连续。 59. 解：令–1 x

a t =，则() log 1a x t =+，当0x →时，0t →，

∴ 原式a e t t t a t a t a t

ln log 1)

1(log 1lim )1(log lim 1

00==+=+=→→

. 特别地，11lim 0=-→x

e x x ，这表明0x →时，e 1x x =-.

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初三数学二次函数单元测试题及答案

远航教育初三寒假第一次诊断试题 (测试时间：120分钟，满分：150分) 姓名: 成绩：一、选择题(每题5分，共50分) 1. sin30°值为( ) A.1／3 B.1／2 C.1 D. 0 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是() A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是()

9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线 x=-1，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上的点，P 3(x 3，y 3)是直线上的点，且-1

二次函数测试卷(含答案)

二次函数单元测试卷、选择题（每小题 3分，共30 分） 4ac - b 2 4a ；④当b = 0时，函数的图像关于 y 轴对称.其中正确命题的个数是（ A. 1 个 B. a — c F 列二次函数中有一个函数的图像与坐标轴有一个交点，这个函数是（ 2 抛物线y - -3x - 2x -1的图象与坐标轴交点的个数是（ B .只有一个交点 C .有且只有两个交点 D .有且只有三个交点 1.当-2 < x = 1,二次函数 y=- (x-m ) 2 2 + m +1 有最大值4，则实数 m 值为（ 7 A.- 4 B. ,3 或-..3 C.2 或-..3 D. 2 或3或-- 4 2.函数y = mx ? x - 2m （ m 是常数）的图像与 X 轴的交点个数为（ A. 0 个 1个或2个 3.关于二次函数 2 y = ax bx c 的图像有下列命题：①当c = 0时, 函数的图像经过原点；②当 c 0，且函数的图像开口向下时，方程 2 ax bx 必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是 2 9.函数y 二ax bx c 的图象如图所示，那么关于 x 的一元二次方程 A .有两个不相等的实数根 B.有两个异号的实数根 4. 关于X 的二次函数 2 y =2mx （8 m 1）x 8m 的图像与x 轴有交点，则 m 的范围是（ 1 m - 一 16 1 1 m > m 二一一 B . 16 且 m=0 C . 16 D . 1 m 空一 16且 m^O 5. F 列二次函数中有个函数的图像与 x 轴有两个不同的交点，这个函数是 C. 2 y 二 3x -2x 5 D. y 二 3x 2 5x 「1 6. 若二次函数 2 =ax c ，当x 取 X 1、 x 2 （Xi = X2 ）时，函数值相等, 则当 x 取X 1 X 2时，函数值为 _c 7. 2 .y =x — 1 2 B . y =x 4 C. y =X 2 — 2X 1 2 D. y = 3x 5x -1 8. A .没有交点

二次函数测试题及答案

1. 2. 3. 4. 5. 6. 、选择题: 二次函数抛物线y =(x-2)2 3的对称轴是( A.直线x = —3 B.直线x =3 二次函数y 二ax 2 在( ) A.第一象限 C.第三象限已知二次函数则一定有( 2 A. b —4ac 0 bx c 的图象如右图，则点 = ax 2 把抛物线y =x 2 ? bx B.第二象限 D.第四象限 C. M bx c ，且 a ::: 0，a -b c .0， 2 B. b -4ac =0 C. b 2 -4ac ：： 2 D. b —4ac < 0 c 向右平移3个单位，再向下平移 2个单位，所得图象的解析式是 2 y =x -3x 5，则有( A. b = 3 , c -1 C. b =3 , c =3 B. b = -9 , c = -15 D. b = —9 , c =21 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y 二ax 2 (a c)x c 与一次函数 k 已知反比例函数y 的图象如右图所示，则二 x y =ax c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是(

11. 已知抛物线y =ax2 bx c与x轴有两个交点，那么一元二次方程ax2 bx 0的根的情况是_______________________ 12. __________________________________________________________________ 已知抛物线 y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1，则a+c= _______________________________ 13. 请你写出函数y=（x+1）2与y=x2+1具有的一个共同性质：_____________________ . 14. 有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点：甲：对称轴是直线x =4 ；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为 3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： 15. 已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：________________________. A.x 二-2 B. x =2 C. 8. 二欠函 1 数y :=(x -1)2'2的最小值是（) A.-2 B. 2 C. D. 1 9. - 二- 次函数y =ax2bx c的图象如图所 M=4 a 2b c N = a —b c , P = 4a-b ,则（ A.M0 , N 0, P 0 B.M<0 ,N 0, P 0 C.M0, N ：： 0, P 0 D.M0 , N 0, P ：：：0 、填空题: 7.抛物线y=x2 -2x 3的对称轴是直线（）x = —1 D. x =1 10.将二次函数y =x2 -2x 3配方成y =(x -h)2? k的形式，则y= ____________________

函数与极限练习题

题型一．求下列函数的极限二．求下列函数的定义域、值域三．判断函数的连续性，以及求它的间断点的类型内容一．函数 1.函数的概念 2.函数的性质——有界性、单调性、周期性、奇偶性 3.复合函数 4.基本初等函数与初等函数 5.分段函数二．极限（一）数列的极限 1.数列极限的定义 2.收敛数列的基本性质 3.数列收敛的准则（二）函数的极限 1.函数在无穷大处的极限 2.函数在有限点处的极限 3.函数极限的性质 4.极限的运算法则（三）无穷小量与无穷大量 1.无穷小量 2.无穷大量 3.无穷小量的性质 4.无穷小量的比较 5.等价无穷小的替换原理三．函数的连续性 x处连续的定义 1.函数在点0 2.函数的间断点 3.间断点的分类 4.连续函数的运算 5.闭区间上连续函数的性质例题详解题型I函数的概念与性质题型II求函数的极限（重点讨论未定式的极限）题型III求数列的极限题型IV已知极限，求待定参数、函数、函数值题型V无穷小的比较题型VI判断函数的连续性与间断点类型题型VII与闭区间上连续函数有关的命题证明

自测题一一．填空题二．选择题三．解答题 3月18日函数与极限练习题一．填空题 1.若函数121)x (f x -??? ??=，则______)x (f lim x =+∞ → 2.若函数1 x 1 x )x (f 2--=，则______)x (f lim _1x =→ 3. 设23,,tan ,u y u v v x === 则复合函数为 ()y f x = = _________ 4. 设 cos 0()0 x x f x x x ≤??=? >?? ，则 (0)f = __________ 5.已知函数 2 ()1 ax b x f x x x +

二次函数测试卷一(含答案)

二次函数2013年单元检测训练卷B 一、选择题（每题3分，共24分）． C ． 6．（3分）发射一枚炮弹，经x s 后的高度为y m ，且高度y 与时间x 的函数关系式为y=ax +bx ，若此炮弹在第6s 之间的函数关系的图象为下列选项中的（）． C D ． 8．（3分）（2006?岳阳）小明从如图的二次函数y=ax +bx+c 图象中，观察得出了下面的五条信息：①a ＜0 ；②c=0；③函数的最小值为﹣3；④当x ＜0时，y ＞0；⑤当0＜x 1＜x 2＜2时，y 1＞y 2．你认为其中正确的有多少个（）

9．（3分）抛物线y=ax经过点（3，5），则a=_________． 10．（3分）（2006?衡阳）抛物线y=（x﹣1）2+3的顶点坐标为_________． 11．（3分）抛物线y=（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）的图象经过原点，则m=_________． 12．（3分）已知抛物线y=x2+b2经过点（a，4）和（﹣a，y），则y的值是_________． 13．（3分）已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2009的值为_________．14．（3分）（2007?南宁）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（a，bc）在第_________象限． 15．（3分）（2003?大连）已知抛物线y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A，B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，使△ABC的面积为10，则C点坐标为_________． 16．（3分）老师给出一个二次函数，甲，乙，丙三位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一、二、四象限；乙：当x＜2时，y随x的增大而减小．丙：函数的图象与坐标轴只有两个交点．已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数_________．三、解答题（17题、18题、每题7分，19题、20题每题8分，21题10分，22题12分，共52分） 17．（7分）已知二次函数y=x2+4x，用配方法把该函数化为y=a（x+h）2+k（其中a，h，k都是常数，且a≠0）的形式，并指出抛物线的对称轴和顶点坐标． 18．（7分）（2010?淮北模拟）如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案） 19．（8分）（2009?河北）已知抛物线y=ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3）和点P（t，0），且t≠0．（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；（2）若t=﹣4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．

二次函数经典测试题及答案解析

二次函数经典测试题及答案解析一、选择题 1．如图，ABC ?为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（） A ． B ． C ． D ．【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意．【详解】根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值， ∴选项B 符合题意，选项A 不合题意．故选B ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题． 2．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（） A ．0＜t ＜5 B ．﹣4≤t ＜5 C ．﹣4≤t ＜0 D ．t ≥﹣4 【答案】B 【解析】【分析】先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函

数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解；【详解】解：∵对称轴为直线x ＝2， ∴b ＝﹣4， ∴y ＝x 2﹣4x ，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4， ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5， ∴﹣4≤t ＜5；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键． 3．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大【答案】D 【解析】【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．【详解】解：设原数为m ，则新数为2 1100 m ，设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+，易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确．当y ＝21时，2 1100 m m - +＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．

函数与极限测试题及答案(一)

函数与极限测试题（一）一、填空题 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。 3、若0x →时，无穷小2 21ln 1x x -+与2sin a 等价，则常数a =_____。 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则()f x 的间断点为x =_____。二、单选题 1、当0x →时，变量 2 11 sin x x 是（） A 、无穷小 B 、无穷大 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 2、设函数()bx x f x a e =+在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（） A 、0,0a b << B 、0,0a b >> C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（） A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????，则()lim x f x →∞ 为（） A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 C 、一定不存在 D 、不一定存在

例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+ =+ ++ 三、求下列极限 1 、 lim x 2、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+?? 四、确定,a b 的值，使() 32 2ln 10 011ln 0 1ax x f x b x x x x x x x ?+<==??-+?>++?? 在(),-∞+∞内连续。五、指出函数()1 11x x x e e f x e e --= -的间断点及其类型。六、设1234,,,a a a a 为正常数，证明方程 31240123 a a a a x x x x +++=---有且仅有三个实根。七、设函数()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()()(),f a g a f b g b ≤≥，证明：在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()f g ξξ=。函数与极限测试题答案（一）一、1、 11x x e -+； 2、 11, 2 2a b ++?? ???? ； 3、 4-； 4、0 ；二、1—4、DCBD 三、1 、解：原式lim 3x ==；

函数与极限习题与答案

第一章函数与极限（A ）一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-= ，其定义域为。 2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为。 3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为。 4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为。 5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2x f y =的定义域为。 6、43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。 7、函数x x y sin = 有间断点，其中为其可去间断点。 8、若当0≠x 时，x x x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续，则=)0(f 。 9、=++++++∞→)21(lim 222 n n n n n n n n 。 10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的条件。 11、=++++∞→352352) 23)(1(lim x x x x x x 。 12、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则k= 。 13、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是。 14、当+∞→x 时， x 1 是比3-+x 15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是无穷小。 16、函数x e y 1=在x=0处是第类间断点。 17、设1 1 3 --= x x y ，则x=1为y 的间断点。 18、已知33=?? ? ??πf ，则当a 为时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。

19、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在，则a= 。 20、曲线2sin 2 -+=x x x y 水平渐近线方程是。 21、1 14)(2 2-+ -= x x x f 的连续区间为。 22、设?? ?>≤+=0 ,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续，则常数 a= 。二、计算题 1、求下列函数定义域（1）2 11 x y -= ；（2）x y sin = ；（3）x e y 1= ； 2、函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？（1）x x g x x f ln 2)(,ln )(2 == ；（2）2)(,)(x x g x x f = = ；（3）x x x g x f 22tan sec )(, 1)(-== ； 3、判定函数的奇偶性（1）)1(2 2 x x y -= ；（2）3 2 3x x y -= ；