自动控制原理 时域分析
《自动控制原理》实验2(线性系统时域响应分析)
实验二 线性系统时域响应分析一、实验目的1．熟练掌握step( )函数和impulse( )函数的使用方法，研究线性系统在单位阶跃、单位脉冲及单位斜坡函数作用下的响应。
2．通过响应曲线观测特征参量ζ和n ω对二阶系统性能的影响。
二、基础知识及MATLAB 函数（一）基础知识时域分析法直接在时间域中对系统进行分析，可以提供系统时间响应的全部信息，具有直观、准确的特点。
为了研究控制系统的时域特性，经常采用瞬态响应（如阶跃响应、脉冲响应和斜坡响应）。
本次实验从分析系统的性能指标出发，给出了在MATLAB 环境下获取系统时域响应和分析系统的动态性能和稳态性能的方法。
用MATLAB 求系统的瞬态响应时，将传递函数的分子、分母多项式的系数分别以s 的降幂排列写为两个数组num 、den 。
由于控制系统分子的阶次m 一般小于其分母的阶次n ，所以num 中的数组元素与分子多项式系数之间自右向左逐次对齐，不足部分用零补齐，缺项系数也用零补上。
1．用MATLAB 求控制系统的瞬态响应1）阶跃响应 求系统阶跃响应的指令有：step(num,den) 时间向量t 的范围由软件自动设定，阶跃响应曲线随即绘出step(num,den,t) 时间向量t 的范围可以由人工给定（例如t=0:0.1:10）[y ，x]=step(num,den) 返回变量y 为输出向量，x 为状态向量在MATLAB 程序中，先定义num,den 数组，并调用上述指令，即可生成单位阶跃输入信号下的阶跃响应曲线图。
考虑下列系统：25425)()(2++=s s s R s C 该系统可以表示为两个数组，每一个数组由相应的多项式系数组成，并且以s的降幂排列。
则MATLAB 的调用语句：num=[0 0 25]; %定义分子多项式 den=[1 4 25]; %定义分母多项式step(num,den) %调用阶跃响应函数求取单位阶跃响应曲线grid %画网格标度线 xlabel(‘t/s’),ylabel(‘c(t)’) %给坐标轴加上说明 title(‘Unit -step Respinse of G(s)=25/(s^2+4s+25)’) %给图形加上标题名 则该单位阶跃响应曲线如图2-1所示：为了在图形屏幕上书写文本，可以用text 命令在图上的任何位置加标注。
自动控制原理--一阶系统的时域分析相关知识
三、 一阶系统的单位脉冲响应
输入信号 r(t) (t) R(s)＝1
c(t)
输出信号 C(s) (s)R(s) 1
1/T
Ts 1
斜率-1/T2
0.368/T 0.135/T
c(t) 1 et /T T
拉氏反变换，得 t k(t) L1[C(s)] L1[ (s)]
0 T 2T 3T 图3.10 一阶系统的单位脉冲响应
• 例3-1：
一阶系统如图所示，试求系统单位阶跃响应的调 节时间ts，如果要求ts=0.1秒，试问系统的反馈 系数应如何调整？
• 例3-2：
G(s) 10
已知某元部件的传递函数为：
0.2s 1
采用图示方法引入负反馈，将调节时间减至原来 的0.1倍，但总放大系数保持不变，试选择KH、 K0的值。
1 et /T (t 0) T
三、 一阶系统的单位脉冲响应特点
• 1）可以用时间常数去度量系统的输出量数字。 • 2）初始斜率为-1/T2 。 • 3) 无超调，稳态误差为零 。
h(t)
超调量
1.0 0.9
延迟时
0.5 间
0.1 0
峰值时间
上升时间 调节时间
误差带 0.02或0.05
稳态误差 (t→∞)
s
输出 C (s) (s) R(s)
1 1 Ts 1 s
1 1 取拉氏反变换，得 s Ts 1
h(t) 1 et /T (t 0)
一阶系统单位阶跃响应是终值为1的单调上升过程。
c(t) c(t) 1 et /T dh(t) 1
1
dt t0 T
0.865
0.632
td 0.69T
一阶反馈系统
假设将一阶系统作为反馈控制系统的对象， 放大器增益可调，系统结构图如图所示。
自动控制原理第三章
➢ 0 1 特征根： s1,2 n jn 1 2
Xc (s)
1 s
s2
n2 2ns n2
1 s
s2
s 2n 2ns n2
1
s 2n
s (s n )2 (n 1 2 )2
其阶跃输入下的暂态响应：
xc (t) 1
e nt
1 2
sin(n
1 2 t ) , arctan
WB (s)
X c (s) X r (s)
(1
1 K)s
1
1 Ts 1
式中：T 1 k , 称为时间常数。
3.2.2 单位阶跃响应函数：
X r (s) 1 s
11
Xc
(s)
Ts
1
s
,
xc (t)
L1[ 1 Ts 1
1] s
L1[ 1 s
s
1
1
]
1
t
eT
T
xc (t ) xss xtt
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6 0.4 0.2
0 0
246
nt
8 10 12
⒊ 当 1时，特征方程有一对相等的负实根，称为临界阻尼
系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。
➢当 1 时，
阶跃响应曲线为：
xc
(s)
1 s
s2
n2 2n s
n2
n2 s(s n )2
1 1 n s s n (s n )2
1 )( s
T1
1 T2
)
式中
T1
1 a
n (
1
2
1)
自动控制原理-线性系统的时域分析----典型环节的时域响应
四、线路示图
模拟电路构成：如图2. 1-2 所示。
系统的开环增益为K=500KΩ/R，开环传递函数为：
五、内容步骤
1．绘制根轨迹图：实验前根据对象传函画出对象的根轨迹图，对其稳定性及暂态性能做出理论上的判断。并确定各种状态下系统开环增益K 的取值及相应的电阻值R 。
六、数据处理
1、根轨迹图，如图2.1-3所示：
2、按模拟电路图2.1-2 接线并对每个
环节整定后，用示波器观察输入端与输出端
的时域响应曲线：
（1）调节R值，当系统等幅振荡时（如图
2.1-4所示），测得R的值为157.6kΩ，此时系统达临界稳定。
（2）调节R值，当R小于157.6kΩ时，系统发散的振荡，不稳定（如图2.1-5所示，R=135kΩ）。
3 ．按模拟电路图2.1-2 接线，并且要求对系统每个环节进行整定；将2中的方波信号加至输入端。
4 ．改变对象的开环增益，即改变电阻R 的值，用示波器的“CH1”和“CH2”表笔分别测量输入端和输出端，观察对象的时域响应曲线，应该和理论分析吻合。
注意：此次实验中对象须严格整定，否则可能会导致和理论值相差较大。
实 验 报 告
实验名称线性系统的时域分析----典型环节的时域响应
系
专业
班
姓名
学号
授课老师
预定时间
实验时间
实验台号
一、目的要求
1、根据对象的开环传函，做出根轨迹图。
2、掌握用根轨迹法分析系统的稳定性。
3、通过实际实验，来验证根轨迹方法。
二、原理简述
实验对象的结构框图：如图2. 1-1 所示。
三、仪器设备
自动控制原理一阶系统时域分析
R(s)
1 s3
C
(s)
(
s)
R(s)
(1 Ts
) 1
1 s3
A s3
B s2
C s
D s 1
1 s3
T s2
T2 s
T2 s 1
T
T
c(t)
1
t
2
Tt
T
2 (1
1t
eT
)
2
(t 0)
e(t
)r(t)c(t)TtT2
(1
1
eT
t
)
上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不 能实现对加速度输入函数的跟踪。
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R(s) ＋ E(s) 1 C(s)
－
Ts
R(s)
1
C(s)
Ts 1
(a)
微分方程： 闭环传递函数：
T dc(t) c(t) r(t) dt
(s) C(s) 1 R(s) Ts 1
(b) 标准形式
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二、一阶系统单位阶跃响应
r(t) 1(t), R(s) 1 s
1
C(s)
1 Kh 100 / s 1 s / 100Kh
• 要求ts=0.1s，即3T=0.1s, 即
,得 1 0.1 100Kh 3
K h 0.3
• 解题关键：化闭环传递函数为标准形式。
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二、一阶系统单位脉冲响应
r(t) (t) R(s) 1
C(s) (s)R(s) 1 1/T Ts 1 s 1/T
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例题：加入给定值阶跃量为2.4，响应 曲线如图所示，求超调量。
《自动控制原理》第三章自动控制系统的时域分析和性能指标
i1 n
]
epjt
j
(spj)
j1
j1
limc(t) 0的充要条件是 p j具有负实部
t
二.劳斯(Routh)稳定判据
闭环特征方程
a nsn a n 1 sn 1 a 1 s a 0 0
必要条件
ai0. ai0
劳斯表
sn s n1 s n2
| | |
a a n
n2
a a n 1
n3
b1 b2
或：系统的全部闭环极点都在复数平面的虚轴上左半部。
m
设闭环的传递函数：
(s)
c(s) R(s)
k (s zi )
i 1 n
(s p j )
P j 称为闭环特征方程的根或极点 j1
n
(s pj ) 0 称为闭环特征方程
j1
若R(s)=1,则C(s)= s m
k (szi)
n
c(t)L1[c(s)]L1[
t 3、峰值时间 p
误差带
4 、最大超调量
%
C C ( )
% max
100 %
C ( )
ts
5 、调节时间
ts
(
0 . 05
0
.
02
)
6、振荡次N数
e e 7、稳态误差 ss
1C()(对单位阶跃) 输入
ss
第三节 一阶系统的动态性能指标
一.一阶系统的瞬态响应
R(s) -
K0 T 0S 1
s5 | 1 3 2
s4 | 1 3 2
s3 | 4 6
s2
|
3 2
2
s1
|
2 3
s0 | 2
自动控制原理-第3章-时域分析法
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
自动控制原理实验 控制系统稳定性分析和时域响应分析
实验二 控制系统稳定性分析和时域响应分析一、实验目的与要求1、熟悉系统稳定性的Matlab 直接判定方法和图形化判定方法；2、掌握如何使用Matlab 进行控制系统的动态性能指标分析；3、掌握如何使用Matlab 进行控制系统的稳态性能指标分析。
二、实验类型设计三、实验原理及说明1. 稳定性分析 1）系统稳定的概念经典控制分析中，关于线性定常系统稳定性的概念是：若控制系统在初始条件和扰动共同作用下，其瞬态响应随时间的推移而逐渐衰减并趋于原点(原平衡工作点)，则称该系统是稳定的，反之，如果控制系统受到扰动作用后，其瞬态响应随时间的推移而发散，输出呈持续震荡过程，或者输出无限偏离平衡状态，则称该系统是不稳定的。
2）系统特征多项式以线性连续系统为例，设其闭环传递函数为nn n n mm m m a s a s a s a b s b s b s b s D s M s ++++++++==----11101110......)()()(φ 式中，n n n n a s a s a s a s D ++++=--1110...)(称为系统特征多项式；0...)(1110=++++=--n n n n a s a s a s a s D 为系统特征方程。
3）系统稳定的判定对于线性连续系统，其稳定的充分必要条件是：描述该系统的微分方程的特征方程具有负实部，即全部根在左半复平面内，或者说系统的闭环传递函数的极点均位于左半s 平面内。
对于线性离散系统，其稳定的充分必要条件是：如果闭环系统的特征方程根或者闭环传递函数的极点为n λλλ,...,21，则当所有特征根的模都小于1时，即),...2,1(1n i i =<λ，该线性离散系统是稳定的，如果模的值大于1时，则该线性离散系统是不稳定的。
4）常用判定语句2.动态性能指标分析系统的单位阶跃响应不仅完整反映了系统的动态特性，而且反映了系统在单位阶跃信号输入下的稳定状态。
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许多设计准则就建立在这些典型信号的基础上 系统对典型信号的响应特性与实际输入信号的响应
特性之间，存在着一定的关系。 采用典型信号来评价系统性能是合理的
典型信号选取条件
2
3.1 引言
输入信号r(t) 系统的微分方程 输出信号c(t)
实际物理系统的性质可用系统数学模型描述，一旦得系 统的数学模型，就可对系统进行分析——求解，从而定系统 的性能指标：稳定性、动态性能、稳态性能。
时域分析法是一种直接的方法，它可以给出系统精确的 时间响应曲线和性能指标，具有明确物理意义（时间、空 间）。但是，人工求解困难（用计算机求解简单），不利于 分析系统结构和参数变化对系统影响。
所以跟踪单位斜坡信号的稳态误差为
C(s) 当初始条件为零时，其传递函数为
（ b） 方 块 图
G(s) C(s) 1 R(s) TS 1
R(s)
C(s)
（ c） 等 效 方 块 图
这种系统是一个惯性环节。
下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的 时域响应。
3.3.2 单位阶跃响应
因为单位阶跃函数的拉氏变换为 R(s) 1
S
近最终状态的响应过程。实际控制系统的瞬态响应，在达到 稳态以前，常常表现为阻尼振荡过程
稳态过程：系统在典型信号作用下，时间t趋于无穷（较大） 时，系统的输出状态。研究系统的稳态特性，以确定输出信 号对输入信号跟踪（复现）能力。
时域性能指标（振荡型）
h(t延迟时间 d： 响应曲线第一次
r(t)图形
o
t
1
o
t
o
t
o
t
o
t
3.2 线性系统的时域性能指标
r(t)＝1 系统的微分方程 c(t)
n
假设特征根（pi）两两互异：c(t) A0 Aie pit i 1 控制系统的时间响应，可以分为动态（瞬态）过程和稳
态过程。和电路系统、电机系统概念一致。 动态过程：系统在典型信号作用下，输出量从初始状态到接
回顾与展望
1 绪论
控制系统发展史、控制方式、基本组成、术语、分类 控制系统基本要求：稳定性、动态性能、稳态误差
2 控制系统的数学模型
控制系统的数学模型建立、传递函数、方框图等效变换
3 时域分析法
4 根轨迹法
控制系统分析方法
5 频率响应法
6 控制系统的补偿与综合（设计、校正）
第三章 时域分析法
3.1 引言 3.2 线性系统的时域性能指标 3.3 一阶系统时域分析 3.4.1 二阶系统时域分析 3.4.2 二阶系统时域性能指标 3.5 线性系统的稳定性 3.6 稳态误差及其计算
(1) 信号（实验室）容易产生 (2) 尽可能接近实际工作时的外加信号 (3) 反映系统最不利的工作(环境)条件
工程上典型测试信号（输入函数）
时域函数：r(t) t 0 复域：F（s）
单位脉冲
(t)
单位阶跃
1[t]
单位速度 单位加速度 单位正弦
t
1 t2 2
sin t
1
1 S
1 S2
1 S3
s2 2
，则系统的输出由下式可知为
G(s) C(s) 1 R(s) TS 1
C(s) G(s)R(s) 1 1 1 1 TS 1 S S TS 1
对上式取拉氏反变换，得
t
c(t) 1 e T
t 0
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3%
c(t)
1
0.632
t
c(t) 1 e T
0%上升到100%
峰值时间t p ：响应曲线达到超调量的第一个峰值所需要的时间。
时域性能指标（振荡型）
h(t)
Mp超 调 量
1 h() 0.9 h()
td
0.5 h()
允许误差
0.1 h()
td
0 tr tp ts
调节时间 ts ：
响应曲线达到并永远
保持在一个允许误差
范围内，所需的最短
时间。用稳态值的
c(t)
1
t
eT
T
t0
3.3.4 一阶系统的单位斜坡响应
当 R(s) 1
S2
C
(
s)
G(s)
R(s)
1 TS
1
1 S2
1 S2
T S
T2 1 TS
对上式求拉氏反变换，得：c(t)
t
T
(1
1t
eT
)
t
T
Te
1t T
因为
1t
e(t) r(t) c(t) T (1 e T )
r(t) c(t)
ess
lim e(t) t
0
td 0.69T
ts 3T
tr 2.20T
t p和％不存在
(5%误差带）
3.3.3 一阶系统的单位脉冲响应
当输入信号为理想单位脉冲函数时，R(S)＝1，输出
量的拉氏变换与系统的传递函数相同，即 C(s) 1
TS 1
这时相同的输出称为脉冲响应记作g(t)，因为
g(t) L1[G(s)] ,其表达式为
1 h() 0.9 h()
td
0.5 h()
td
0.1 h()
达到稳态值的一
半所需的时间。
0.02或 0.05
上升时间 tr :
响应曲线从稳态值
0 tr tp ts
t 的 10%上升到90%， 所需的时间。 振荡型系统定义：
图 3-2表 示 性 能 指 标 td,tr,tp,Mp和 ts的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
0.02或 0.05 百分数（5%或2%）
⑤ 超调量 %
指响应的最大偏离量 t h(tp)于终值之差的
百分比，即
图
3-2表
示
性
能
指
标
td,tr,tp,Mp和
ts的
单
位
阶
跃
响
应
曲
线
%
h(t p )
h()
100 %
tr 或t p 评价系统的响应速度；
h()
ts 同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。
% 评价系统的阻尼程度。
1 T
0
T
2T 3T 4T 5T
图3-4指数响应曲线
注解：
传递函数的极点是产生系统响 应的瞬态分量。这一个结论不仅 适用于一阶线性定常系统，而且 也适用于高阶线性定常系统。
t
1
响应曲线在 t 0 时的斜率为 T
阶跃输入时的稳态误差为零:
1t
e(t) r(t) c(t) 11 e T
动态性能指标：
3.3 一阶系统的时域分析 3.3.1 一阶系统的数学模型
R
+
+
r(t)
i(t) C
c(t)
（ a） 电 路 图
R(s)
I(s)
用一阶微分方程描述的控制系统 称为一阶系统。图（a）所示的 RC电路，其微分方程为
RC duc dt
Uc
r(t)
•
T C(t) C(t) r(t)
其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输 入电压，T=RC为时间常数。