概率统计练习题
练习题
1、设随机变量)6.0,10(b ~X ，则2
2
[()][(X)]
D X
E = 0.16； 2、若随机变量X 的分布未知，但2
,EX DX μσ==,则X 落在区间(2,2)
μσμσ-+内的概率必不小于_________
3、设??(,......)12
X X X n θ
θ=是未知参数θ的一个估计量，满足条件_________ 则称?θ
θ是的无偏估计。 4. 设X,Y 为随机变量，且D (X +Y )=7, D(X)=4, D(Y)=1，则相关系数XY ρ= 1/2 5. 设随机变量12,,, n X X X 相互独立，且(1,2,,)= i X i n 都服从区间[0，1]上的均匀分布，则当n 充分大时，∑==
n
i i n
n X Y 1
1
近似服从
（写出具体分布与参数）t~
6．设(,)X Y 服从区域222:G x y R +≤上的均匀分布，其概率密度为：
222
(,)0
C
x y R f x y ?+≤=?
?其它
，则C=（ ）；B
(A) 2
R π ； (B)
2
1R π； (C) R π2； (D) R π21
。
7．设
,......12X X X n 为相互独立的随机变量，且2
(,())E X D X i i
μσ==（1,2......i n =），11
n
X X i i n ∑=
=，则DX =（ ）A (A)
2
n
σ
(B)
2
n σ (C)
n
σ
(D)
22n σ
8．设一次试验中事件A 不发生的概率为p,独立重复n 次试验，A 发生了X 次则正确的是：（ ）C
(A)
(1)DX np p =-()()21p p X E -= ； (B) ()E X np = ；
(C) ； (D)
2
DX p p =-。
9．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（ ）D
A ． X 与Y 独立； B. ()D X Y DX DY -=+； C ．()D X Y DX DY -=-； D. ()D XY DXDY =. 10. 任何一个连续型随机变量的概率密度)(x ?一定满足( )。C A 、1)(0≤≤x ?
B 、在定义域内单调不减
C 、
1)(=?
+∞
∞
-dx x ? D 、1)(>x ?
11 袋中有m 个红球，n 个白球，任取2球，求（1）取得两个同色球的概率；（2）至少取
得一个白色球的概率
12 已知(,)X Y 的联合分布率为：
求：（1） 关于X 的边缘分布律；
（2）2
Z X Y =的分布律及分布函数()Z F z
13 有朋自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞
机来的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4。若他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别为
111
,,4312
，而乘飞机来不迟到，试求：（1）这位朋友迟到的概率；（2）如果他迟到了，求他乘火车的概率。
14 设A , B 为随机事件,且2
1)(,31)(,41)(===
B A P A B P A P ,令 ;,,0,1不发生发生A A X ???= .,
,0,1不发生发生B B Y ?
??=
求：(1) 二维离散型随机变量(X , Y )的概率分布表；
(2) X 和Y 是否相互独立
15 设随机变量X 的概率密度为0(,)0
Ax B
x f x y π+<<=??
?其它
且
23EX π=求（1）A,B 的值；
（2）3()44P X ππ≤≤；（3）sin Z X =的密度 16 设总体2
~(,)X N μσ(2σ未知)有假设检验::0010H H μμμμ=?<及
样本,......12X
X X n （1）请指出所用统计量及其分布；
（2）指出并推导拒绝域（显
著水平为α）
17 某包装机包装物品重量服从正态分布)4,(2μN 。现在随机抽取16个包装袋，算得平均
包装袋重为900=x ，样本均方差为22=S ，试检查今天包装机所包物品重量的方差是否
有变化？（05.0=α）（488.2715262.6)15(2
025
.02975.0==）（，χχ） 18 已知（X ，Y ）的联合概率密度为：
34120,0
(,)0其它x y e x y f x y --?>>=?
?
，
试求：（1）X ，Y 的边缘密度函数 （2）X,Y 是否相互独立（3）{}2Y 0,1X 0≤<≤ 19 设,......12X X X n 为来自于总体 X 的一个样本，X 服从指数分布，概率密度为 ,x 0 f (x,)0,x e λλλ-?>=? ?其他 , 求参数λ的矩法估计与最大似然估计。 20设随机变量X,Y 相互独立，且都服从正态分布 2 (,)N μσ，若 ,312Z X Y Z X Y =+=-；求X 和Y 的函数12,Z Z 的相关系数12 z z ρ。 21从某种电子元件中随机抽取30只，测得平均寿命（单位h ）2500X h =，样本标准差 S ＝700h ，设该种电子元件的使用寿命服从正态分布2 (,)N μσ求2 σ的置信度为95％ 的置信区间（上侧分位数(29)45.7,(29)16.00.0250.975χ χ==） 22证明 设连续型随机变量X 的概率密度函数)(x f 是偶函数，其分布函数为 )(x F 。证明对任意实数x ，有1)()(=-+x F x F 。 《概率论与数理统计》练习题8答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、设有10个人抓阄抽取两张戏票，则第三个人抓到有戏票的事件的概率等于( )。 A 、0 B 、1 4 C 、18 D 、15 答案：D 2、如果,A B 为任意事件，下列命题正确的是( )。 A 、如果,A B 互不相容，则,A B 也互不相容 B 、如果,A B 相互独立，则,A B 也相互独立 C 、如果,A B 相容，则,A B 也相容 D 、AB A B =? 答案：B 3、设随机变量ξ具有连续的分布密度()x ξ?，则a b ηξ=+ (0,a b ≠是常数)的分布密度为( )。 A 、 1y b a a ξ?-?? ? ?? B 、1y b a a ξ?-?? ??? C 、1y b a a ξ?--?? ??? D 、 1y b a a ξ??? - ? ??? 答案：A 4、设,ξη相互独立，并服从区间[0，1]上的均匀分布则( )。 A 、ζξη=+服从[0，2]上的均匀分布， B 、ζξη=-服从[- 1，1]上的均匀分布， C 、{,}Max ζξη=服从[0，1]上的均匀分布， D 、(,)ξη服从区域01 01x y ≤≤??≤≤? 上的均匀分布 答案：D 5、~(0, 1), 21,N ξηξ=-则~η( )。 A 、(0, 1)N B 、(1, 4)N - C 、(1, 2)N - D 、(1, 3)N - 答案：B 6、设1ξ，2ξ都服从区间[0，2]上的均匀分布，则12()E ξξ+=( )。 A 、1 B 、2 C 、0.5 D 、4 答案：B 7、设随机变量ξ满足等式{||2}116P E ξξ-≥=，则必有( )。 A 、14D ξ= B 、14 D ξ> C 、1 4 D ξ< D 、{} 15216 P E ξξ-<= 答案：D 8、设1(,,)n X X 及1(,,)m Y Y 分别取自两个相互独立的正态总体21(, )N μσ及 2 2(, )N μσ的两个样本，其样本(无偏)方差分别为21 S 及22 S ，则统计量2 122 S F S =服从F 分 布的自由度为( )。 A 、(1, 1)n m -- B 、(, )n m C 、(1, 1)n m ++ D 、( 1, 1,)m n -- 答案：A 9、在参数的区间估计中，给定了置信度，则分位数( )。 A 、将由置信度的大小唯一确定； B 、将由有关随机变量的分布唯一确定； C 、可按置信度的大小及有关随机变量的分布来选取； D 、可以任意规定。 答案：C 10、样本容量n 确定后,在一个假设检验中,给定显著水平为α,设此第二类错误的概率为β，则必有( )。 《概率论与数理统计》练习题7答案7 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、设随机事件A 、B 互斥，(), (),P A P P B q ==则()P A B =( )。 A 、q B 、1q - C 、 p D 、1p - 答案：D 2、某类灯泡使用时数在500小时以上的概率为0.5，从中任取3个灯泡使用，则在使用500小时之后无一损坏的概率为：( )。 A 、 18 B 、2 8 C 、38 D 、 4 8 答案：A 3、设ξ的分布函数为1()F x ，η的分布函数为2()F x ，而12()()()F x aF x bF x =-是某随机 变量ζ的分布函数，则, a b 可取( )。 A 、32, 55a b = =- B 、2 3a b == C 、13 , 22a b =-= D 、13 , 22 a b ==- 答案：A 4、设随机变量ξ,η相互独立,其分布律为: 则下列各式正确的是( )。 A 、{}1P ξη== B 、{}14 P ξη== C 、{}12 P ξη== D 、{}0P ξη== 答案：C ^^ 5、两个随机变量的协方差为cov(,)ξη=( )。 A 、() () 2 2 E E E ηηξξ-- B 、()()E E E E ξξηη-- C 、()()2 2 E E E ξηξη-? D 、()E E E ξηξη-? 答案：D 6、设随机变量ξ在11,22?? -???? 上服从均匀分布sin ηπξ=的数学期望是( )。 A 、0 B 、1 C 、 1π D 、2π 答案：A 7、设12100,,,ξξξ???服从同一分布，它们的数学期望和方差均是2，那么 104n i i P n ξ=?? <<≥???? ∑( )。 A 、 12 B 、212n n - C 、12n D 、1 n 答案：B 8、设12, , , n X X X 是来自正态总体2(, )N μσ的样本( )。 A 、2 11~(,)n i i X X N n μσ==∑ B 、2 11()~(0, )n i X N n n σμ=-∑ C 、22 2111()~(1)n i i X n n μχσ=?--∑ D 、22 21 11()~()n i i X X n n χσ=?-∑ 答案：B 9、样本12(,, , )n X X X ，2n >,取自总体ξ，E μξ=，2D σξ=，则有( )。 《 概率论与数理统计》练习题一 一、判断正误，在括号内打√或× 1．n X X X ,,,21 是取自总体),(2 σμN 的样本，则∑== n i i X n X 1 1 服从)1,0(N 分布； 2．设随机向量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其边缘分布函数)(x F X 是)0,(x F ； 3．（√）设{}∞+-∞=Ω＜＜x x |，{}20|＜x x A ≤=，{}31|＜x x B ≤=，则B A 表示{}10|＜＜x x ； 4．若事件A 与B 互斥，则A 与B 一定相互独立； 5．对于任意两个事件B A 、，必有=B A B A ； 6．设A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； 7．（√）B A 、为两个事件，则A B A AB = ； 8．（√）已知随机变量X 与Y 相互独立，4)(, 8)(==Y D X D ，则4)(=-Y X D ； 9．（√）设总体)1,(~μN X ， 1X ,2X ,3X 是来自于总体的样本，则3216 3 6161?X X X ++=μ 是μ的无偏估计量； 10．（√）回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关关系。 二、填空题 1．设C B A 、、是3个随机事件，则事件“A 和B 都发生而C 不发生”用C B A 、、表示为C AB 2．设随机变量X 服从二项分布),(p n B ，则 =EX DX p -1: 3．?????≤≤-=,, , 0,1)(其他b x a a b x f 是 均匀 分布的密度函数； 4．若事件C B A 、、相互独立，且25.0)(=A P ，5.0)(=B P ，4.0)(=C P ，则)(C B A P =分布函数； 5．设随机变量X 的概率分布为 则=a )()(Y D X D +； 6．设随机变量X 的概率分布为 习题一 （A ） 1.写出下列随机试验的样本空间： （1）一枚硬币连抛三次；（2）两枚骰子的点数和；（3）100粒种子的出苗数；（4）一只灯泡的寿命。 2. 记三事件为C B A ,,。试表示下列事件： （1）C B A ,,都发生或都不发生；（2）C B A ,,中不多于一个发生；（3）C B A ,,中只有一个发生；（4）C B A ,,中至少有一个发生； （5）C B A ,,中不多于两个发生；（6）C B A ,,中恰有两个发生；（7）C B A ,,中至少有两个发生。 3.指出下列事件A 与B 之间的关系： （1）检查两件产品，事件A =“至少有一件合格品”，B =“两件都是合格品”； （2）设T 表示某电子管的寿命，事件A ={T >2000h }，B ={T >2500h }。 4.请叙述下列事件的互逆事件： （1）A =“抛掷一枚骰子两次，点数之和大于7”； （2）B =“数学考试中全班至少有3名同学没通过”； （3）C =“射击三次，至少中一次”； （4）D =“加工四个零件，至少有两个合格品”。 5.从一批由47件正品,3件次品组成的产品中,任取一件产品,求取得正品的概率。 6.电话号码由7个数字组成,每个数字可以是9,,1,0 中的任一个,求：（1）电话号码由完全不相同的数字组成的概率；（2）电话号码中不含数字0和2的概率；（3）电话号码中4至少出现两次的概率。 7.从0,1,2,3这四个数字中任取三个进行排列,求“取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数”的概率。 8.从一箱装有40个合格品,10个次品的苹果中任意抽取10个,试求：（1）所抽取的10个苹果中恰有2个次品的概率；（2）所抽取的10个苹果中没有次品的概率。 9.设A ,B 为任意二事件,且知4.0)()(==B p A p ,28.0)(=B A p ,求)(B A p ?；)(A B p 。 10.已知41)(=A p ，31)(=A B p ，2 1)(=B A p ，求)(B A p ?。 11.一批产品共有10个正品和4个次品,每次抽取一个,抽取后不放回,任意抽取两次,求第二次抽出的是次品的概率。 12.已知一批玉米种子的出苗率为0.9,现每穴种两粒,问一粒出苗一粒不出苗的概率是多少？ 13.一批零件共100个,次品率为10%,每次从中任取一个零件,取出的零件不再放回,求第三次才取得正品的概率。 第六章 数理统计习题 一、填空题 1.若n ξξξ,,,21Λ是取自正态总体),(2 σμN 的样本，则∑==n i i n 1 1ξξ服从分布 )n ,(N 2 σμ 2. 设随机变量ξ与η相互独立, 且都服从正态分布(0,9)N , 而129(,,,) x x x L 和 129(,,,) y y y L 是分别来自总体ξ和η的简单随机样本, 则统计量 129 222129 ~U y y y =+++L (9)t . 3. 设~(0,16),~(0,9),,X N Y N X Y 相互独立, 129,,,X X X L 与1216 ,,,Y Y Y L 分别 为X 与Y 的一个简单随机样本, 则22 2 129222 1216X X X Y Y Y ++++++L L 服从的分布为 (9,16).F 二、选择题 1、设总体ξ服从正态分布，其中μ已知，σ未知，321,,ξξξ是取自总体ξ的 个样本，则非统计量是( D ). A 、)(3 1321ξξξ++ B 、μξξ221++ C 、),,m ax (321ξξξ D 、 )(1 2322212 ξξξσ++ 2、设)2,1(~2 N ξ，n ξξξK ,,21为ξ的样本，则( C ). 221N n ξ?? ???:， A 、 )1,0(~2 1N -ξ B 、)1.0(~41 N -ξ C 、)1,0(~/21N n -ξ D 、 )1,0(~/21 N n -ξ 3、设n ξξξΛ,,21是总体)1,0(~N ξ的样本，S ,ξ分别是样本的均值和样本标准差， 则有( C ) A 、)1,0(~N n ξ B 、)1,0(~N ξ C 、 ∑=n i i n x 1 22)(~ξ D 、)1(~/-n t S ξ 三、计算题 1、在总体)2,30(~2N X 中随机地抽取一个容量为16的样本，求样本均值X 在 29到31之间取值的概率. 第二章练习题(答案) 一、单项选择题 1. 已知连续型随机变量X 的分布函数为 3.若函数f(x)是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是(C ) A. f(x)的定义域是[0, 1] B. f(x)的值域为[0,1] 4.设X - N(l,l),密度函数为f(x),则有(C ) 5.设随机变量X ~ N (/M6), Y ?N 仏25)，记 P1 = P (X “ + 5), 则正确的是 (A)对任意“，均有Pi = p 2 (B)对任意“，均有Pi v p? (c)对任意〃，均有Pl > Pi (D )只对“的个别值有P1 = P2 6.设随机变量x ?N(10^s 2) 9 则随着s 的增加 P{|X- 10|< s} ( C ) F(x) = o, kx+b 、 x<0 0 < x< x> 则常数&和〃分别为 (A) k = —b = 0 龙， (B) k = 0,b 丄 (C) k = —,b = 0 (D) k = 0,b= 1 n In In 2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数 (A ) z 7 fl -cosx ； 2 0, f sinx, A. f(x)』沁,xnO C. f (x)= a (a>0); B. f (x) 1, x < 0 [cosx, — - < X < - 1 2 2 D. f (x) 其他 0, 0 < X < 7T 其他 —-< x < - 2 2 其他 C- f(x)非负 D. f (x)在(-叫+00)内连续 A. P {X 概率统计练习题答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 《概率论与数理统计》练习题 2答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、A 、B 任意二事件，则A B -=( )。 A 、B A - B 、AB C 、B A - D 、A B 答案：D 2、设袋中有6个球，其中有2个红球，4个白球，随机地等可能地作无放回抽样，连 续抽两次，则使P A ()=1 3成立的事件A 是( )。 A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球 C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球 D 、 第一次抽得白球，第二次抽得红球， 答案：B 3、函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ A 、ξη= B 、2ξηξ+= C 、2ξηξ= D 、~(2,)B p ξη+ 答案：D 5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立，且i E ξ及i D ξ都存在(1,2, ,)i n =，又 12,,, ,n c k k k ，为1n +个任意常数，则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ C 、11n n i i i i i i D k c k D ξξ==??+= ???∑∑ D 、()111n n i i i i i D D ξξ==??-= ???∑∑ 答案：C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 A 、()150050x x x e x ?-≤?=?>? B 、( )2 6 2x x ?-= C 、()312 x x e ?-= D 、()() 42 1 1x x ?π= + 答案：D 7、设随机变量的数学期望和方差均是1m +(m 为自然数)，那么 (){}041P m ξ<<+≥( )。 A 、 11m + B 、1m m + C 、0 D 、1m 答案：B 8、设1, , n X X 是来自总体2(, )N μσ的样本， 2 211 11, (),1n n i n i i i X X S X X n n --==--∑∑则以下结论中错误的是( )。 A 、X 与2n S 独立 B 、 ~(0, 1)X N μ σ - 1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是（ D ）。 A. A,B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ?B D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X ＝3的概率为（ C ） A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、某人进行射击，设射击的命中率为0.2,独立射击100次，则至少击中9次的概率为（ B ） A.91 9910098 .02.0C B.i i i i C -=∑100100 9 10098 .02.0 C.i i i i C -=∑100100 10 10098 .02.0 D.i i i i C -=∑- 1009 0100 98 .02.01 4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ，则)( )3 12 53(32 1=+ +X X X E B A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本521,,,X X X 来自N （0，1），常数c 为以下何值时,统计量25 24 23 2 1X X X X X c +++? 服从t 分布。（ C ） A. 0 B. 1 C. 2 6 D. -1 6、设X ~)3,14(N ，则其概率密度为（ A ） A.6 )14(2 61- -x e π B. 3 2 )14(2 61- - x e π C. 6 )14(2 321- - x e π D. 2 3 )14(2 61-- x e π 7、321,,X X X 为总体),(2 σμN 的样本， 下列哪一项是μ的无偏估计（ A ） A. 32 12 110 351X X X + + B. 32 1416131X X X ++ C. 32 112 5 2 13 1X X X + + D. 32 16 13 13 1X X X + + 8 、设离散型随机变量X 的分布列为 则常数C 为（ C ） （A ）0 （B ）3/8 （C ）5/8 （D ）－3/8 概率论与数理统计习题 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） 1．设)4,5.1(~N X ，且8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则P{-2 习题2参考答案 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 解：根据 1)(0 ==∑∞ =k k X P ，得10 =∑∞ =-k k ae ，即111 1 =---e ae 。 故 1-=e a 解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2, 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2, (1)两人投中的次数相同 P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}= 1 1 2 2 020********* 2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ?+?+?=(2)甲比乙投中的次数多 P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}= 1 2 2 1 110220022011222222 0.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ?+?+?=解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155 ++= (2)P{ 解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++L =11[1()] 14 41314 k k lim →∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=111 1244 --= 解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，2 12341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719 ???= 1123412342341234{1}{}{}{}{} 2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795 P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=???+???+???+???= 12323 {2}1{0}{1}1199595 P X P X P X ==-=-==- -= 解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4, 34 314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5, 3 4 5 324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++= （1）X ～P(λ)=P ×3)= P 0 1.51.5{0}0! P X e -=== 1.5 e - （2）X ～P(λ)=P ×4)= P(2) 0122 222{2}1{0}{1}1130!1! P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=- 练习 1.写出下列随机试验的样本空间 (1)把一枚硬币连续抛掷两次.观察正、反面出现的情况； (2)盒子中有5个白球，2个红球，从中随机取出2个，观察取出两球的颜色； (3)设10件同一种产品中有3件次品，每次从中任意抽取1件，取后不放回，一直到3件次品都被取出为止，记录可能抽取的次数；(4)在一批同型号的灯泡中，任意抽取1只，测试它的使用寿命. 解：(1)U={正正正反反正反反} (2)U={白白白红红白红红} (3)U={1，4，5，6，7，8，9，10} (4)U={t>0} 2.判断下列事件是不是随机事件 (1)一批产品有正品，有次品，从中任意抽出1件是正品； (2)明天降雨； (3)十字路口汽车的流量； (4)在北京地区，将水加热列100℃，变成蒸汽； (5y掷一枚均匀的骰子，出现1点. 解：(1)(2)(3)(5)都是随机事件，(4)不是随机事件。 3.设A,B为2个事件,试用文字表示下列各个事件的含义 (1)A+B； (2)AB； (3)A－B； (4)A－AB；(5)AB； (6)AB AB . 解：(1)A ，B 至少有一个发生；(2) A ，B 都发生；(3) A 发生而B 不发生；(4) A 发生而B 不发生；(5)A ，B 都不发生；(6)A ，B 中恰有一个发生（或只有一个发生）。 4.设A,B,C 为3个事件,试用A,B,C 分别表示下列各事件 (1)A ，B ，C 中至少有1个发生； (2)A ，B ，C 中只有1个发生； (3)A ，B ，C 中至多有1个发生； (4)A ，B ，C 中至少有2个发生； (5)A ，B ，C 中不多于2个发生； (6)A ，B ，C 中只有C 发生. 解： (1)A B C, (2)AB C A B C A B C, (3)AB C ABC A B C A B C, (4)ABC ABC ABC ABC AB BC AC, (5)ABC A B C, (6)A B C ++?+??+???++??+??+++++++??或或 练习 1.下表是某地区10年来新生婴儿性别统计情况： 出生年份 1990 1991 1992 1993 1094 1995 1996 1997 1998 1999 总计 男 3 011 2 531 3 031 2 989 2 848 2 939 3 066 2 955 2 967 2 974 29 311 女 2 989 2 352 2 944 2 837 2 784 2 854 2 909 2 832 2 878 2 888 28 概率论与数理统计 练习题1答案 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、若P(A)=0.3，()0.1P AB =，则P(AB)=__________. 答案：0.2 2、设()0, ()0,P A P B >>则下列公式正确的是( )。 A 、[]()() 1()P A B P A P B -=- B 、( )()()P A B P A P B =? C 、(|)(|)P AB A P B A = D 、()(|)P A B P B A = 答案：C 3、设I 是一个区间，sin ()0 x I x x I ?∈?=? ∈?，是一个概率密度函数，则I 是( )。 A 、[ ,)2 π π B 、(0,]π C 、3(, ]2 ππ D 、(,0]2 π - 答案：A 4、将一枚硬币抛掷三次，设头两次抛掷中出现正面的次数为ξ，第三次抛掷出现正面的次数为η，二维随机变量(,)ξη所有可能取值的数对有( )。 A 、2对 B 、6对 C 、3对 D 、8对 答案：B 5、设2 ~(, ),~(0, 1)N a N ξση则η与ξ的关系为( )。 A 、2 a ξησ -= B 、a a ηξ=+ C 、a ξησ-= D 、a ξ ησ =- 答案：C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 答案：D 7、设独立随机变量12100,,,ξξξ???均服从参数为4λ=的泊松分布，试用中心极限定理确定 概率1001420i i P ξ=?? <=???? ∑____________。 已知，0,1(0.5)0.6915F =，0,1(1)0.8413F =，0,1(2)0.9772F = 答案：0.8413 8、样本1(, , )n X X 来自总体ξ，ξ有分布密度()x ?及分布函数()F x ，则以下结论 不成立的是( )。 A 、i X 有分布密度()x ?，1, 2, , i n = B 、i X 有分布函数()F x ，1, 2, , i n = C 、{}1 , , n Max X X 的分布函数为[]()n F x D 、n X 为{}1,,ax n M X X 的一个元偏估计 答案：D 9、设(12,, , n X X X )是正态总体2~(, )X N μσ的样本，统计量()(/U X μσ=-服从(0,1)N ，又知2 0.64,16n σ==，及样本均值X ，利用U 对μ作区间估计，若已指定置信度1α-,并查得U 的临界值为12 1.96U α- =,则μ的置信区间为( )。 第六章 样本及抽样分布 1.[一] 在总体N （52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8到53.8之间的概率。 解： 8293 .0)7 8( )7 12( } 6 3.68.16 3.6526 3.62.1{}8.538.50{),36 3.6, 52(~2 =-Φ-Φ=< -< - =< 概率论与数理统计练习题集及答案 一、选择题： 1．某人射击三次，以i A 表示事件“第i 次击中目标”，则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为（ ） （A ）321A A A ++ （B ）323121A A A A A A ++ （C ）321321321A A A A A A A A A ++ （D ）321A A A 2．掷两颗均匀的骰子，它们出现的点数之和等于8的概率为（ ） （A ） 365 （B ）364 （C ）363 （D ）36 2 3．设随机事件A 与B 互不相容，且0)(,0)(>>B P A P ，则（ ） （A ）)(1)(B P A P -= （B ）)()()(B P A P AB P = （C ）1)(=+B A P （D ）1)(=AB P 4．随机变量X 的概率密度为???<≥=-00 )(2x x ce x f x ，则=EX （ ） （A ）21 （B ）1 （C ）2 （D ）4 1 5．下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是（ ） （A ）+∞<<∞-+=x x x F ,11)(2 1 （B ）?????≤>+=0 001)(2 x x x x x F （C ）+∞<<∞-=-x e x F x ,)(3 （D ） +∞<<∞-+=x x x F ,arctan 21 43)(4π 6．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令X Y 2-=，则Y 的概率密度 )(y f Y 为（ ） （A ）)2(2y f X - （B ）)2(y f X - （C ）)2 (21y f X -- （D ）)2 (2 1y f X - 7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表 h g p f e d x c b a x p y y y X Y Y j X i 61818121321，且X 与Y 相互独立，则=h （ ） （A ）81 （B ）8 3 （C ）4 1 （D ）3 1 8．设随机变量]5,1[~U X ，随机变量)4,2(~N Y ，且X 与Y 相互独立，则=-)2(Y XY E （ ） （A ）3 （B ）6 （C ）10 （D ）12 9．设X 与Y 为任意二个随机变量，方差均存在且为正，若 EY EX EXY ?=，则下列结论不正确的是（ ） （A ）X 与Y 相互独立 （B ）X 与Y 不相关 （C ）0),cov(=Y X （D ）DY DX Y X D +=+)( 答案： 1. B 2. A 3.D 4.A 5.B 6. D 7. D 8. C 9. A 1．某人射击三次，以i A 表示事件“第i 次击中目标”，则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为（ C ） （A ）321A A A ++ （B ）323121A A A A A A ++ 习题六 1．设总体X 的概率密度为(1)01(;)0x x f x θ θθ?+<<=? ?其它 ，其中1θ>-， 12,,X X ,n X 为来自总体X 的样本，求参数θ的矩估计量。 解：总体的一阶原点矩为2 1 )1();()(1 11++= +===??++∞ ∞ -θθθθθdx x dx x xf X E v ，而样本的一阶原点矩为X X n A n i i ==∑=1 11，用样本的一阶原点矩估计总体的一阶 原点矩，即有 X =++21θθ，由此得θ的矩估计量为.112?X X --=θ 3．设总体~(0,)X U θ，现从该总体中抽取容量为10的样本，样本观测值为： 0.5，1.3，0.6，1.7，2.2，1.2，0.8，1.5，2.0，1.6 试求参数θ的矩估计值。 解：总体的一阶原点矩为2 )(1θ = =X E v ，而样本的一阶原点矩为 X X n A n i i ==∑=111，用样本的一阶原点矩估计总体的一阶原点矩，即有X =2θ， 由此得θ的矩估计量为X 2?=θ ，其矩估计值为 68.2)6.10.25.18.02.12.27.16.03.15.0(10 1 22?=+++++++++?==x θ 6．设12,,,n x x x 为来自总体X 的一组样本观测值， 求下列总体概率密度中θ的最大似然估计值。 （1）101(;)0 x x f x θθθ-?<<=??其它（0θ>）； （2）10 (;)0x x e x f x α αθθαθ--?>?=? ?? 其它 （α已知）； （3）?? ? ??≤>=-000);(2 2 22x x e x x f x θθθ A . P(A B) =P(A) B . P AB 二 P A 概率论与数理统计习题 、选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中) 1. 设 X~N(1.5,4)，且：?：」(1.25) =0.8944，.:」(1.75) = 0.9599，贝U P{-2 概率论与数理统计练习题集及答案 一、选择题： 1．某人射击三次，以 A i 表示事件“第 i 次击中目标”，则事件“三次 中至多击中目标一次”的正确表示为（ ） （A ） A 1 A 2 A 3 （）AA AA AA B 1 2 1 3 2 3 （C ） A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3 （ ） A 1 A 2 A 3 D 2．掷两颗均匀的骰子，它们出现的点数之和等于 8 的概率为（ ） （A ） 5 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 2 36 36 36 36 3．设随机事件 A 与 B 互不相容，且 P( A) 0 ,P(B) 0 ，则（ ） （ A ） P(A) 1 P(B) （ B ） P( AB) P( A)P(B) （ C ） P(A B) 1 （D ） P( AB) 1 4．随机变量 X 的概率密度为 f ( x) ce 2x x ，则 EX （ ） x 0 （A ） 1 （B ）1 （C ）2 （D ） 1 2 4 5．下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是（ ） （A ） F 1( x) 1 , x （B ） F 2 (x) x x 2 1 x x 1 x 0 （C ）F 3 (x) e x , x F (x ) 3 1 arctan x , x （D ） 4 4 2 6．已知随机变量 X 的概率密度为 f X (x) ，令Y 2X ，则 Y 的概率密度 f Y (y) 为（ ） 概率论第六章习题解答 1、在总体2(52,6.3)N 中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8与53.8之间的概率。 解 因为2(52,6.3)N ，所以 3.8 52 {50.853{}6.336 P X << = 10.87.2 ( )()6.3 6.3 -=Φ-Φ(1.71)( 1.14)=Φ-Φ- 0.956410.87290.8293=-+= 2、在总体(12,4)N 中随机抽取一容量为5的样本1X ，2X ，3X ，4X ，5X ， （1）求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率。 （2）求概率12345{max(,,,,)15}P X X X X X >，12345{min{(,,,,)10}P X X X X X < 解 （1）总体均值为12μ=，，样本均值5114 (12,)55 i i X X N ==∑ 所求概率为 {|12|1}1{|12|1}P X P X ->=--≤ 1{1121}P X =--≤-≤ 1P =-≤≤ 1( ()22 =-Φ+Φ- 22(1.12)=-Φ2(10.8686)0.2628=-= （2）1234512345{max(,,,,)15}1{max(,,,,)15}P X X X X X P X X X X X >=-≤ 123451{15,15,15,15,15}P X X X X X =-≤≤≤≤≤ 51 1{15}i i P X ==- ≤∏5 1 121512 1{ }22 i i X P =--=-≤∏ 51((1.5))=-Φ5 1(0.9332)0.2923=-=. （3） 12345{min{(,,,,)10}P X X X X X < 《概率论与数理统计》练习题2答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、A 、B 任意二事件，则A B -=( )。 A 、B A - B 、AB C 、B A - D 、A B 答案：D 2、设袋中有6个球，其中有2个红球，4个白球，随机地等可能地作无放回抽样，连续抽两次，则使P A ()=13 成立的事件A 是( )。 A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球 C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球 D 、 第一次抽得白球，第二次抽得红球， 答案：B 3、函数()0 0 sin 01 x F x x x x ππ D 、不可能为某一随机变量的分布函数。 答案：D 4、设ξ,η相互独立,且都服从相同的01-分布，即则下列结论正确的是( )。 1 q p P ξη() (1)q p =- A 、ξη= B 、2ξηξ+= C 、2ξηξ= D 、~(2,)B p ξη+ 答案：D 5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立，且i E ξ及i D ξ都存在(1,2,,)i n =，又12,,,,n c k k k ，为1n +个任意常数，则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ C 、11n n i i i i i i D k c k D ξξ==??+= ???∑∑ D 、()11 1n n i i i i i D D ξξ==??-= ???∑∑ 答案：C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 A 、()150050x x x e x ?-≤?=?>? B 、( )2 6 2x x ?-=概率统计练习题8答案
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