计算机仿真教案04-2-第四章 离散相似法的连续系统仿真
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计算机仿真技术课件 第四章 面向结构图的数学仿真方法
（1）对每个环节要增设一个参数Z(I)，它表示第I个环节的入口有 哪种类型非线性环节。
（2）对每个环节要增设一个参数C(I)，它表示第I个环节入口的那 个非线性环节的参数，当第I个环节入口没有非线性环节，C(I)=0。
（3）一个完整的面向结构图的离散相似法仿真程序框图如图4-17 所示：
输入环节数 n,步长，输入函数 y0,等 输入各环节系数，以及 初值xi (0), yi (0)
G(s)
a0 s 2
b a1s a2
，
u
1 s
－
d
sc
y
图 4-5 二阶环节等效结构图
4.2 面向结构图离散相似法仿真
y0
u1
＋
-
y1 u2
1 ＋-
y4
y2 u3
2
u4 4
y3
3
图 4-6 系统结构图
如果由一个系统如图4-6所示，如果已知各环节的传递函数， 侧很容易将其离散化，而各环节的输入－输出关系为
其中
a0 c / b a1 a / b
（4-7）
u
a0
x
1 s
x
y
-
a1
图 4-3 惯性环节结构图
惯性环节的状态方程和输出方程为
x a1x a0u yx
离散状态方程为
x(n 1) (T )x(n) m (T )u(n) ˆmT 2u(n)
y(n 1) x(n 1)
x(0) y(0)
步 骤
运行程序根据提示输入数据
结果分析
确定系统各个环节号
根据图4-19所示，写出连接矩阵
u1 1
u2
0
uu43
0 0
0 1 0 0
（2）对每个环节要增设一个参数C(I)，它表示第I个环节入口的那 个非线性环节的参数，当第I个环节入口没有非线性环节，C(I)=0。
（3）一个完整的面向结构图的离散相似法仿真程序框图如图4-17 所示：
输入环节数 n,步长，输入函数 y0,等 输入各环节系数，以及 初值xi (0), yi (0)
G(s)
a0 s 2
b a1s a2
，
u
1 s
－
d
sc
y
图 4-5 二阶环节等效结构图
4.2 面向结构图离散相似法仿真
y0
u1
＋
-
y1 u2
1 ＋-
y4
y2 u3
2
u4 4
y3
3
图 4-6 系统结构图
如果由一个系统如图4-6所示，如果已知各环节的传递函数， 侧很容易将其离散化，而各环节的输入－输出关系为
其中
a0 c / b a1 a / b
（4-7）
u
a0
x
1 s
x
y
-
a1
图 4-3 惯性环节结构图
惯性环节的状态方程和输出方程为
x a1x a0u yx
离散状态方程为
x(n 1) (T )x(n) m (T )u(n) ˆmT 2u(n)
y(n 1) x(n 1)
x(0) y(0)
步 骤
运行程序根据提示输入数据
结果分析
确定系统各个环节号
根据图4-19所示，写出连接矩阵
u1 1
u2
0
uu43
0 0
0 1 0 0
4.3离散相似法
x( n
1)
e aT
x( n
)
k a
(1
e aT
)u( n )
k a2
( eaT
1)
k a
T u( n
)
y(n 1) (b a)x(n1) ku( n 1)
2022/1/12
33
第33页，共40页。
三、状态转移矩阵的计算
（1）解析计算（拉氏逆变换）
利用定义 (T ) eAT L1[(sI A)1] 进行求解
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12
第12页，共40页。
h0(t)
h0(t)
1
1
0
Tt
0
Tt
-1
a
b
零阶保持器的特性：
g0 (t) 1(t) 1(t T )
➢ 对采样值既不放大， 也不衰减
➢只能不增不减地保 持一个采样周期
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保持器的传递函数：
1 eTs 1 eTs G0 (s) s s s
b
k
/
s
系统模拟结构图： u
s
y
b
状态空间模型： X kU Y X bU
A 0, B k
离散状态空间模型：x(n 1) x(n) kTu(n) 0.5kT2u(n)
y(n 1) x(n 1) bku(n 1)
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31
第31页，共40页。
（3）惯性环节
传递函数： G( s ) Y ( s ) k k 1 / s U(s) s a 1 a / s
0 1
0 0
1 1
s 0
1 s 1
(sI
A)1
1 s(s 1)
计算机仿真技术与CAD——基于MATLAB的控制系统(第2版)[李国勇]第4章连续系统按环节离散化的数字仿真
![计算机仿真技术与CAD——基于MATLAB的控制系统(第2版)[李国勇]第4章连续系统按环节离散化的数字仿真](https://img.taocdn.com/s3/m/8410cf4752d380eb62946dca.png)
u(kT 1)T
) ]
u[(k T
1)T ] (k
(t T
k t
T) (k
1)T
(4-5)
)
当t=(k+1)T时
uh[(k 1)T ] u(kT)
u[(k
1)T ]
u(kT)
u[(k T
1)T ]
(4-6)
13
今对典型环节中系数a,b,c,d的不同情况，求离散
状态变量式输出量的解。
1．当a≠0,b=0(相应有比例、微分和比例微分等环节) 时，由式（4-4）可得
A a 0, B c
b
b
（4-13）
代入式（4-10）后可得
z[(k 1)] z(kT) cT u(kT) cT u[(k 1)T ]
2b
2b
同样由式（4-8）和式（4-6）两式可得
x[(k 1)T ] z[(k 1)T ] d u(kT) （4-14）
b
17
今将以上三种情况下的典型环节的仿真模 型归纳为一个统一公式
2
4.1 连续系统的离散化
设连续系统的状态空间表达式为
x(t) Ax(t) Bu(t)
y(t
)
Cx(t)
Du(t)
其状态方程的解为
(4-1)
t
x(t) e At x(0) e A(t ) Bu ( )d
0
3
对于kT及（k＋1）T两个相邻的采样时 刻，状态变量的值分别为
kT
x(kT) e A(kT ) x(0) e A(kT ) Bu ( )d
if (u>u1)
if ((u-s)>=x1) x=u-s;else x=x1;end
《计算机仿真教案》课件
《计算机仿真教案》PPT课件第一章：计算机仿真概述1.1 计算机仿真的概念解释计算机仿真的定义强调计算机仿真在科学研究和工程设计中的重要性1.2 计算机仿真的分类介绍连续系统仿真和离散系统仿真的区别列举常见的计算机仿真方法和技术1.3 计算机仿真的应用领域概述计算机仿真在各个领域的应用实例强调计算机仿真在现代社会中的广泛应用第二章：计算机仿真原理2.1 计算机仿真的基本原理解释计算机仿真的基本原理和方法强调计算机仿真需要基于数学模型和算法2.2 计算机仿真的建模方法介绍常见的建模方法，如机理建模、统计建模和机器学习建模强调建模方法的选择和验证的重要性2.3 计算机仿真的求解方法介绍常见的求解方法，如数值求解、符号求解和优化求解强调求解方法的选择和收敛性的考虑第三章：计算机仿真工具3.1 计算机仿真软件介绍概述常用的计算机仿真软件，如MATLAB/Simulink、Ansys和SolidWorks等强调仿真软件的功能和适用领域3.2 计算机仿真软件的使用方法介绍如何使用计算机仿真软件进行仿真的基本步骤强调仿真软件的操作技巧和注意事项3.3 计算机仿真软件的选用原则讨论如何选择合适的计算机仿真软件强调根据实际需求和预算进行合理选择第四章：计算机仿真实验4.1 计算机仿真实验的设计介绍如何设计和规划计算机仿真实验强调实验设计的合理性和可行性4.2 计算机仿真实验的执行介绍如何执行计算机仿真实验强调实验过程中数据的采集和记录的重要性4.3 计算机仿真实验的结果分析介绍如何分析计算机仿真实验的结果强调结果分析的准确性和可靠性第五章：计算机仿真的评估与优化5.1 计算机仿真的评估方法介绍常见的计算机仿真评估方法，如误差评估、效率评估和可信度评估强调评估方法的选择和实施的重要性5.2 计算机仿真的优化方法介绍常见的计算机仿真优化方法，如参数优化、结构优化和算法优化强调优化方法的选择和实施的有效性5.3 计算机仿真的改进与提升讨论如何根据评估和优化结果改进和提升计算机仿真强调持续改进和更新仿真模型的重要性第六章：计算机仿真的可视化6.1 仿真可视化的概念与意义解释仿真可视化在计算机仿真中的作用强调可视化对于理解和分析仿真结果的重要性6.2 可视化工具与技术介绍常用的仿真可视化工具，如Paraview、Maya和Unity等强调不同工具适用于不同类型的仿真数据6.3 可视化应用案例分析通过案例展示如何将可视化应用于仿真数据的展示和分析强调可视化在帮助决策和优化过程中的作用第七章：计算机仿真的并行计算7.1 并行计算基础介绍并行计算的基本概念和原理强调并行计算在提高仿真效率方面的作用7.2 并行仿真方法介绍并行仿真的常见方法和实现策略强调在不同场景下选择合适的并行仿真方法的重要性7.3 并行仿真工具与平台介绍常用的并行仿真工具和平台，如OpenFOAM和ParaView的并行计算功能强调并行仿真工具的选择和配置的重要性第八章：计算机仿真的不确定性分析8.1 不确定性分析的基本概念解释不确定性分析在计算机仿真中的重要性强调不确定性来源和影响因素的识别8.2 不确定性分析的方法介绍常见的不确定性分析方法，如蒙特卡洛模拟和敏感性分析强调不同方法的应用场景和优缺点8.3 不确定性分析的应用案例通过案例展示如何进行不确定性分析并指导仿真的改进强调不确定性分析在提高仿真可靠性和准确性的作用第九章：计算机仿真的验证与验证9.1 验证和验证的基本概念解释验证和验证在计算机仿真中的重要性强调验证和验证对于确保仿真准确性的作用9.2 验证和验证的方法介绍常见的验证和验证方法，如实验验证、理论验证和同行评审强调不同方法的选择和实施的重要性9.3 验证和验证的应用案例通过案例展示如何进行验证和验证并提高仿真的可信度强调验证和验证在仿真研究和应用中的关键作用第十章：计算机仿真的未来发展趋势10.1 新兴技术对计算机仿真影响讨论新兴技术如、大数据和物联网对计算机仿真的影响强调技术发展对仿真方法和工具的推动作用10.2 计算机仿真的跨学科应用概述计算机仿真在跨学科领域中的应用前景强调跨学科合作对仿真研究和应用的重要性10.3 计算机仿真的挑战与机遇讨论计算机仿真面临的挑战和机遇强调持续学习和发展以应对未来仿真领域的变化重点和难点解析一、计算机仿真的概念与分类：理解计算机仿真的定义及其在不同类型系统中的应用是学习仿真的基础。
计算机仿真技术及CAD 第4章 离散事件计算机仿真
区别
1）离散事件系统中，各事件以某种顺序或在某种条件 下发生，并且大都属于随机性的，或者是由于随机的 输入，或者是由于系统元素的属性值作随机变化，使 得难以用常规的方法去研究。
2）连续系统仿真中，时间常被分割成均等的或非均等 的间隔，并以一个基本的时间间隔计时； 离散事件系统的仿真则常是面向事件的，时间指针往 往不是按固定的增量向前推进，而是由于事件的推动 而随机推进的。
（3）便于排队规则的确定。例如，生产线上待处 理工件的优先级水平有时需要作为“工件”实体的属 性考虑，以便于“按优先级排队”规则的建立与实现。
3) 状态（State）：实体的状态指在某一时刻 该实体的所有属性值，系统的状态由系统中各 实体的状态合成。
如在理发店服务系统中“顾客”有“等待服务”， “接受服务”等状态，“服务员”有“忙”和“闲” 等状态。状态可以作为动态属性进行描述。
2) 属性(Attribute)： 每一实体所具有的有效 特征称为实体的属性。属性与仿真目的有关， 一般可参照下面原则选取:
（1）便于实体的分类。例如，将理发店顾客的性 别（男、女）作为属性考虑，可将“顾客”实体分为 两类，每类顾客占用不同的服务台。
（2）便于实体行为的描述。例如，将飞机的飞行 速度作为属性考虑，便于对“飞机”实体的行为（如 两地间的飞行时间）进行描述。
活动总是与一个或几个实体的状态相对应。
5)事件（Event）：改变系统状态的某一瞬时
操作或行为称为事件。事件通常发生在活动的
开始或结束时刻。
例如，在例4. 1中，可以把“顾客到达”称为一类事 件，因为正是由于顾客到达，系统的状态——服务员 的“状态”才能由闲变忙（如果原先无人排队），或 者使另一系统状态——排队的顾客人数发生变化（队 列人数加1）。 一个顾客接受服务完毕后离开系统，也可以定义成一 类事件，因为服务台由忙变闲或者等待的队列发生变 化。
第4章 离散事件仿真的基本方法 计算机仿真技术课件
离散事件系统仿真基础
第4章 离散事件仿真的基本方法
离散事件系统与模型 （基本概念） 离散事件仿真（仿真模型、仿真策略）
排队系统的仿真
离散事件仿真应用
在对象的行为不能做分析性的解释，或数据无法直接 收集的情况下，建模者可以用某种方式间接地模拟其 行为，试验所研究的供选择的各种方案，以估计它们 怎样影响对象的行为，然后收集数据来确定哪种方案 是最好的．例如，为了得到一艘拟建造的潜艇受到的 阻力，造一个原型是不可行的，我们可以按比例建一 个模型，去模拟实际的潜艇的行为．又如，在风洞里 利用喷气飞机的比例模型可以估计高速飞行对飞机各 种设计方案的影响。
Discrete Event Dynamic Systems
3. 活动（Activity） : 用于表示两个可以区分 的事件之间的过程, 它标志着系统状态的转移。
• 顾客的到达事件与该顾客开始接受服务事件之间 可称为一个活动－排队活动
3. 进程（Process）:进程由若干个有序事件及 活动组成。
随机现象的模拟
均匀随机数是产生其它随机数的基础。例如，抛 硬币、抽签、统计经验分布都可以由它产生。
产生随机数的方法：
（1）随机数表 : 1927年,4万随机数表,以后有100万随机数表（可
以输入内存，随时调用）；
（2）硬件设备： 从真实物理现象的随机因素中产生随机数，
放射性粒子的放射源，电子晶体管的固有噪音等， 单位时间内放射出的粒子数是随机的。
Discrete Event Dynamic Systems
5. 仿 真 钟 (Simulation clock): current value of
simulated time
– 离散事件动态系统的状态本来就只在离散时 间点上发生变化，因而不需要进行离散化处 理。
第4章 离散事件仿真的基本方法
离散事件系统与模型 （基本概念） 离散事件仿真（仿真模型、仿真策略）
排队系统的仿真
离散事件仿真应用
在对象的行为不能做分析性的解释，或数据无法直接 收集的情况下，建模者可以用某种方式间接地模拟其 行为，试验所研究的供选择的各种方案，以估计它们 怎样影响对象的行为，然后收集数据来确定哪种方案 是最好的．例如，为了得到一艘拟建造的潜艇受到的 阻力，造一个原型是不可行的，我们可以按比例建一 个模型，去模拟实际的潜艇的行为．又如，在风洞里 利用喷气飞机的比例模型可以估计高速飞行对飞机各 种设计方案的影响。
Discrete Event Dynamic Systems
3. 活动（Activity） : 用于表示两个可以区分 的事件之间的过程, 它标志着系统状态的转移。
• 顾客的到达事件与该顾客开始接受服务事件之间 可称为一个活动－排队活动
3. 进程（Process）:进程由若干个有序事件及 活动组成。
随机现象的模拟
均匀随机数是产生其它随机数的基础。例如，抛 硬币、抽签、统计经验分布都可以由它产生。
产生随机数的方法：
（1）随机数表 : 1927年,4万随机数表,以后有100万随机数表（可
以输入内存，随时调用）；
（2）硬件设备： 从真实物理现象的随机因素中产生随机数，
放射性粒子的放射源，电子晶体管的固有噪音等， 单位时间内放射出的粒子数是随机的。
Discrete Event Dynamic Systems
5. 仿 真 钟 (Simulation clock): current value of
simulated time
– 离散事件动态系统的状态本来就只在离散时 间点上发生变化，因而不需要进行离散化处 理。
ch2.3 连续系统仿真的离散相似法
12
5. Ga的迭代计算
Ga
T
At t G e Bdt a 0 T T
0
2` 3 3` 4 1 A t A t 2 Bdt It At T 2! 3!
1 T 2 AT 3 A2`T 4 A3`T 5 I B T 2 3 4 2! 5 3! T AT A T A T I 2 3 1! 4 2! 5 3! B
kAT G ( k 1 ) a ( k 1 )( k 1 )
13
6. 折半-加倍措施
T T T F ( ), G ( ), G () F ( T ), G ( T ), G ( T ) a a 2 2 2
T T F e e e F () F () 2 2
k
k
A Tk k !
k
矩阵R的范数
N 1 2 2 3 3 A TN1 A T A T A T 1 (N1 )! N 2 ( N 3 )( N 2 ) ( N 4 )( N 3 )( N 2 ) N 1 2 2 3 3 A TN1 A T A T A T 1 2 3 (N1 )! N 2 ( N 2 ) ( N 2 )
1
本章从连续系统离散化的角度出发,建立连续系 统模型的等价离散化模型,并用采样系统的理论和方
法介绍另一种常用的仿真算法—离散相似算法。
建立离散化模型采用的是: 1. 采样(sampling) 2. 信号重构(signal reconstruction)技术
22
ห้องสมุดไป่ตู้
离散相似算法的特点:
系统建模与仿真第四章_离散事件仿真基础解析
• 服务台的状态：忙，闲 • 顾客排队等待的队长：0，1，2，…
济南大学控制科学与工程学院
计算机仿真技术
6
顾客进入系统
顾客排队
接受服务的顾客 服务员
顾客离开
超市系统 临时实体
永久实体
1. 实体(Entity)
• 临时实体：只存在一段时间，由系统外部到达和进入系统. 如超 市系统里的顾客，该临时实体随机到达系统，经过服务员的服务， 然后离开系统. 那些已经在超市选购但并未到服务台结帐排队的 不能称为该系统的实体.
济南大学控制科学与工程学院
计算机仿真技术
3
连续系统与离散事件系统仿真的 区别
• 在连续系统数字仿真中，时间通常被分割成均等或非 均等的时间间隔，并以一个基本的时间间隔计时.
• 而离散事件仿真通常是面对事件的，时间指针不是固 定增值推进，而是由事件的推动而随机递进.
• 连续系统仿真中，系统的动力学模型是由表征系统变 量之间的关系的方程来描述的，仿真的结果表现为系 统变量随时间变化的历程
济南大学控制科学与工程学院
计算机仿真技术
10
[例4.2] 在一个有较大水位落差河段上的船闸运行系统， 从上游新来的船只到达船闸时，进行排队，排到时，船 闸打开，船只过闸，最后船只离开船闸. 该系统的实体、 事件、活动和进程，它们之间的关系？
第四章 离散事件仿真基础
• 前面所讨论的系统，其状态变量是连续变化的，这类 系统的仿真成为连续系统仿真.
• 离散事件系统受事件驱动，系统的迁移发生在一系列 离散事件点上，系统状态是跳跃式变化的，在时间和 空间上都是离散的，与连续系统在性质上完全不同. 比 如：生产调度管理、库存系统、计算机通讯网络等.
接受服务活动
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6
顾客进入系统
顾客排队
接受服务的顾客 服务员
顾客离开
超市系统 临时实体
永久实体
1. 实体(Entity)
• 临时实体：只存在一段时间，由系统外部到达和进入系统. 如超 市系统里的顾客，该临时实体随机到达系统，经过服务员的服务， 然后离开系统. 那些已经在超市选购但并未到服务台结帐排队的 不能称为该系统的实体.
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3
连续系统与离散事件系统仿真的 区别
• 在连续系统数字仿真中，时间通常被分割成均等或非 均等的时间间隔，并以一个基本的时间间隔计时.
• 而离散事件仿真通常是面对事件的，时间指针不是固 定增值推进，而是由事件的推动而随机递进.
• 连续系统仿真中，系统的动力学模型是由表征系统变 量之间的关系的方程来描述的，仿真的结果表现为系 统变量随时间变化的历程
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[例4.2] 在一个有较大水位落差河段上的船闸运行系统， 从上游新来的船只到达船闸时，进行排队，排到时，船 闸打开，船只过闸，最后船只离开船闸. 该系统的实体、 事件、活动和进程，它们之间的关系？
第四章 离散事件仿真基础
• 前面所讨论的系统，其状态变量是连续变化的，这类 系统的仿真成为连续系统仿真.
• 离散事件系统受事件驱动，系统的迁移发生在一系列 离散事件点上，系统状态是跳跃式变化的，在时间和 空间上都是离散的，与连续系统在性质上完全不同. 比 如：生产调度管理、库存系统、计算机通讯网络等.
接受服务活动
计算机与CAD仿真第4章连续系统按环节离散化的数字仿真
xk 1 Gxk Hu k uk yk 1 c x d uk 1
a T b Ge T a a (T ) c T c d (1 e b ) H e b b a 0 T a a (T ) c T c d 2 (aT b be b ) e b b a 0 ad c 1 cb d d b
表4-2 非线性环节标志
标 志 FZ=0
FZ=1 FZ=2
说 明 典型环节前后均无非线性环节
典型环节前有饱和非线性环节，应修正其输入u 典型环节前有死区非线性环节，应修正其输入u
FZ=3
FZ=4 FZ=5
典型环节前有滞环非线性环节，应修正其输入u 典型环节前有继电器非线性环节，应修正其输 入u 典型环节后有饱和非线性环节，应修正其输出x 典型环节后有死区非线性环节，应修正其输出x
sX(s) X(0) AX(s) BU(s)
或者：
( sI A) X( s) X(0) BU( s)
sI A1
1
上式两边左乘
，可得
1
X(s) (sI A) X(0) (sI A) BU(s)
令： L1[(sI A) 1 ] Φ(t ) ，称为系统状态转移矩阵。
x[(k 1)T ] Gx(kT ) Hu (kT ) u(kT )
G e AT
T
式中：
H
e A(T t ) Bdt
0
T
te A(T t ) Bdt
0
2. 关于离散相似法的几点说明及结论
1. 它是一个递推算法（但不是数值积分法）。
2.G, H ,
控制系统仿真及MATLAB语言-连续系统的离散化方法
则微分方程变为一阶微分方程组：
y1 ' = y2 y2 ' = 2( 1 − y12 )y2 − y1 y1( 0 ) = 2 , y2 ( 0 ) = 0
1、建立M-文件vdp.m如下： 如下： function dy=vdp(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=2*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);
解
1、建立m-文件 、建立 文件 文件rigid.m如下： 如下： 如下 function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2); 2、取t0=0，tf=12，输入命令： 、 ， ，输入命令： [T,Y]=ode45('rigid',[0 12],[0 1 1]); plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+') 3、结果如图 、 图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线.
hn = tn+1 −tn
求出微分方程在这些时刻的近似值 x0 x1 x2 L xN
h 2 (2) hk (k ) x(t0 + h) ≈ x(t0 ) + h x(t0 ) + x (t0 ) + L + x (t0 ) 2! k!
1. 欧拉法
取前两项近似： xk +1
矩形面积
= hf (tk , xk ) + xk
2、取t0=0，tf=20，输入命令： 输入命令： [T,Y]=ode45(‘vdp’,[0 10],[1;1]); plot(T,Y(:,1),'-‘, T,Y T,Y(:,2)) 3、结果
y1 ' = y2 y2 ' = 2( 1 − y12 )y2 − y1 y1( 0 ) = 2 , y2 ( 0 ) = 0
1、建立M-文件vdp.m如下： 如下： function dy=vdp(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=2*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);
解
1、建立m-文件 、建立 文件 文件rigid.m如下： 如下： 如下 function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2); 2、取t0=0，tf=12，输入命令： 、 ， ，输入命令： [T,Y]=ode45('rigid',[0 12],[0 1 1]); plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+') 3、结果如图 、 图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线.
hn = tn+1 −tn
求出微分方程在这些时刻的近似值 x0 x1 x2 L xN
h 2 (2) hk (k ) x(t0 + h) ≈ x(t0 ) + h x(t0 ) + x (t0 ) + L + x (t0 ) 2! k!
1. 欧拉法
取前两项近似： xk +1
矩形面积
= hf (tk , xk ) + xk
2、取t0=0，tf=20，输入命令： 输入命令： [T,Y]=ode45(‘vdp’,[0 10],[1;1]); plot(T,Y(:,1),'-‘, T,Y T,Y(:,2)) 3、结果
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x(n+1)=Φ(T)x(n)+Φm(T)u(n) 加零阶保持器的离散化状态方程
(3-2-8)
加一阶保持器的离散化状态方程
如果采用一阶保持器，那么，
u(kTt)u(kT)u(kT)u[k(1)T]t T
u(kT)u'(kT)t
代入(3-2-7)，
x[k (1)T]eAT x(kT )( TeA(Tt)Bd )u(tkT ) 0
数值积分法: 离线, 非实时 比较成熟，精度也比较高. 计算公式比较复杂，因而计算量比较大
离散化模型: 速度很快
(一)离散状态方程模型
连续系统的状态方程和
输出方程为
x＝Ａx＋Ｂu
拉氏
y＝Ｃx
变换
设 x(t)
X(s),对式(3-1)进行拉氏变换,得:
(3-2-1)
sX(s)-X(0)=AX(s)+BU(s)
所 以 x c ( k T ) ( 1 ) k r ( 2 ) k ,k 0 ,1 ,2 L
脉冲传递函数在大多情况下是z的有理分 式，即可表示为
G (z) U Y ( (z z) )b 1 0 a b 1 1 z z 1 1 a b 2 2 z z 2 2 a b p m z z p m
已知，由前面计算得
上式改写为，Y(z)=(b0+b1z-1+b2z-2+....+bmz-m)U(z)(a1z-1+a2z-2+....+apz-p)Y(z)
初始条件： k
xr(k) 0
k0 k0,
xc(0)2
❖解：令k=1，有
x c ( 1 ) x c (0 ) x r( 1 ) 2 x r( 1 )
因为 xc(1)210 所以 xc(1)1
令k=2，有
x c(2 ) x c( 1 ) x r(2 ) 2 x r(0 )
因为 xc(2)(1)20 所以 xc(2)3
则Z [1f1 *(t)2f2(t)]1F 1(z)2F 2(z)
延迟定理
设t<0，f(t)=0，令Z[f(t)]=F(z)，则延迟定理为
Zf(tiT)ziF(z)
超前定理
令 Z[f(t)]=F(z)，则
i 1
Z[f(tiT)]ziF (z)zi f(kT)zk k0
复位移定理
设 Z{f(t)}=F(z)，则
所以
F(z)
z z1
z zeaT
z(1eaT) (z1)(zeaT)
例4-3-4 求F(z)Z[s in t]
s s 1
1
解： L[sint] 2 j 2 2 2 j 2 j 2 j
s2 2
s2 2
s j s j
因为 所以
L1
s
1
j
e
j
(t
)
F(z)
z
s2
2
2 4 12 2 4 12
利用矩阵指数函数的计算，可方便计算出其余的两 个系数，例如：
对于
m (T )
T e A ( T t ) Bdt
0
令 =T-t，则有， m ( T )
T e A ( T t ) Bdt
0
eAT (AT)i /i! i0
T e A Bd 0
T(
( AT ) i ) B
Z[em atf(t)]F(zeaT)
初值定理
设 Z{f(t)}=F(z)，如果Z→∞时F（z）的极限 存在，则函数的初值为
lim f(t)f(0)lim F(z) z
终值定理
设 Z{f(t)}=F(z)，则函数的终值为
l i m f( t ) f( ) l i m ( z 1 ) F ( z ) l i m ( 1 z 1 ) F ( z )
xc(k)+a1xc(k-1)+a2xc(k-2)+… =b0xr(k)+b1xr(k-1)+b2xr(k-2)+……
或表示为 xc(k)=T[xr(k)] 当系数均为常数时，上式为线性定常差分方程。
❖ 差分方程的解法
迭代法 Z变换法
迭代法
❖例 4-4-1：已知采样系统的差分方程是
x c ( k ) x c ( k 1 ) x r ( k ) 2 x r ( k 2 )
a1y(n-1)-a2y(n-2)-....-any(n-p)
4.3 Z变换
Z变换的定义 Z变换的方法 Z变换的性质 Z反变换
Z变换的定义
采 样 函 数f(t)f(t)(tkT) k0
对其进行拉氏变换：
L [f ( t) ] F (s ) L k 0f(k T )( t k T ) k 0f(k T )e k T s
脉冲传递函数又可表示为： G(Z)=Z[Gh(s)Ga(s)]
保持器传递函数
系统传递函数
(3-2-10)
选择不同的保持器，将得不同的G(Z),例 如选零阶保持器，则由(3-2-10)得，
G (Z ) Z { 1 e sT G (s) }(1 z 1 )Z { G (s)}
s
s
通过脉冲传递函数导出系统差分方程
1 2jBiblioteka 11 e jTz1
1 2j
1 1e jT
z1
1
e
jT
z1 z1
sinT
e jT
z1
z2
1
z1 sinT 2z1 cosT
z2
Z变换的性质
线性性质 延迟定理 超前定理 复位移定理 初值定理 终值定理 卷积和定理
线性性质
若 ： Z [f1 *(t)]F 1(z),Z [f2*(t)]F 2(z)，
z0
z1z2
L
1 1z1
z z1
例4-3-2 求e at 的F(Z)。
解：Fz eakTzke0z0eaTz1e2aTz2L k0 1e1aTz1zzeaT
部分分式法
例4-3-3 求解F (s) a
s(s a)
的Z变换 。
解：因为 Fs A B 1 1
s sa s sa
而 L1Fs1(t)eat
同理，求出
xc(3)2,xc(4)6
输入输出关系如下图所示。
Z变换法
❖例 4-4-2：求解
x c (k 2 ) 3 x c (k 1 ) 2 x c (k ) 0
初始条件：xc(0T)=0, xc(1)=1
❖解：由超前定理，令 Z[xc(k)]Xc(z) 于是 Z [ x c ( k 2 ) ] z 2 X c ( z ) z 2 X c ( 0 ) z X c ( 1 )
Z [x c(k 1 ) ]zc X (z) zc X (0 )
代入原式得
z 2 X c ( z ) z 2 X c ( 0 ) z c ( 1 ) X 3 z c ( z ) X 3 z c ( 0 ) X 2 X c ( z ) 0
整理后得
X c(z) z2 3 zz 2 (z 1 )zz( 2 ) z z1 z z2
Z反变换 幂级数展开法 部分分式法 反演积分法（留数法）
4.4 线性常系数差分方程
差分方程的定义 差分方程的解法
差分方程的定义
对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时刻的 输出值 xc(k) 不仅与这一时刻的输入值 xr(k)有关，而且 与过去时刻的输入值xr(k-1)， xr(k-2)…有关，还与过去 的输出值xc(k-1)， xc(k-2)…有关。可以把这种关系描述 如下：
微分方程 拉氏变换 传递函数
脉冲传递函数的定义 在连续系统中、应用拉氏变换可将描述系统的
微分方程转化为传递函数。同样，在采样系统中， 利用Z变换可将描述采样系统的差分方程转化为 类似于传递函数的另一种数学模型一脉冲传递函 数，或称Z传递函数。脉冲传递函数的定义如下：
在零初始条件下，线性定常采样系统的输出采 样信号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比称 为采样系统的脉冲传递函数。
t
£ [0f1 ()f2 (t)d] F 1 (s)F 2 (s)
对(3-2-2)式进行拉氏反变换，并利用卷积定理得
t
x (t) F (t)x (0 ) 0F (t)B(u )d
eAx t(0)teA (t )B(u)d 0
这就是连续方程的解.
(3-2-3)
现推导离散化后的解. 对kT及(k+1)T两个依次采样时刻，有
(3-2-11)
对(3-2-11)进行z-返变换并由延迟定理， y(kT)=b0u(kT)+b1u[(k-1)T]+b2u[(k-
2)T]+....+bmu[(k-m)T]-a1y[(k-1)T]-a2y[(k2)T]-....-apy[(k-p)T]
令kT对应n点，有， y(n)=b0u(n)+b1u(n-1)+b2u(n-2)+...+bmu(n-m)-
eAT (AT)i /i! i0
根据精度要求只取（L+1）项，则
L
e AT ( AT ) i / i! i 0
方法２：矩阵指数函数展成两项之差 exp(AT)=[I+exp(AT)]/[I+exp(-AT)]
若取4项（L=3）,得 ex A ) p [ T I ( A ( T A )2 T (A ) 3 ]/ T I[ A ( T A )2 T (A ) 3 ]T
加零阶保持器的离散化状态方程
如果采用零阶保持器，那么， u(kT+t)=u(kT) 这样(3-2-7)可写成
x [k ( 1 )T ] e Ax T (k)T u (k)T T e A (T t)Bd t 0 (T )x (k)T m (T )u (k)T
(3-2-8)
加一阶保持器的离散化状态方程
如果采用一阶保持器，那么，
u(kTt)u(kT)u(kT)u[k(1)T]t T
u(kT)u'(kT)t
代入(3-2-7)，
x[k (1)T]eAT x(kT )( TeA(Tt)Bd )u(tkT ) 0
数值积分法: 离线, 非实时 比较成熟，精度也比较高. 计算公式比较复杂，因而计算量比较大
离散化模型: 速度很快
(一)离散状态方程模型
连续系统的状态方程和
输出方程为
x＝Ａx＋Ｂu
拉氏
y＝Ｃx
变换
设 x(t)
X(s),对式(3-1)进行拉氏变换,得:
(3-2-1)
sX(s)-X(0)=AX(s)+BU(s)
所 以 x c ( k T ) ( 1 ) k r ( 2 ) k ,k 0 ,1 ,2 L
脉冲传递函数在大多情况下是z的有理分 式，即可表示为
G (z) U Y ( (z z) )b 1 0 a b 1 1 z z 1 1 a b 2 2 z z 2 2 a b p m z z p m
已知，由前面计算得
上式改写为，Y(z)=(b0+b1z-1+b2z-2+....+bmz-m)U(z)(a1z-1+a2z-2+....+apz-p)Y(z)
初始条件： k
xr(k) 0
k0 k0,
xc(0)2
❖解：令k=1，有
x c ( 1 ) x c (0 ) x r( 1 ) 2 x r( 1 )
因为 xc(1)210 所以 xc(1)1
令k=2，有
x c(2 ) x c( 1 ) x r(2 ) 2 x r(0 )
因为 xc(2)(1)20 所以 xc(2)3
则Z [1f1 *(t)2f2(t)]1F 1(z)2F 2(z)
延迟定理
设t<0，f(t)=0，令Z[f(t)]=F(z)，则延迟定理为
Zf(tiT)ziF(z)
超前定理
令 Z[f(t)]=F(z)，则
i 1
Z[f(tiT)]ziF (z)zi f(kT)zk k0
复位移定理
设 Z{f(t)}=F(z)，则
所以
F(z)
z z1
z zeaT
z(1eaT) (z1)(zeaT)
例4-3-4 求F(z)Z[s in t]
s s 1
1
解： L[sint] 2 j 2 2 2 j 2 j 2 j
s2 2
s2 2
s j s j
因为 所以
L1
s
1
j
e
j
(t
)
F(z)
z
s2
2
2 4 12 2 4 12
利用矩阵指数函数的计算，可方便计算出其余的两 个系数，例如：
对于
m (T )
T e A ( T t ) Bdt
0
令 =T-t，则有， m ( T )
T e A ( T t ) Bdt
0
eAT (AT)i /i! i0
T e A Bd 0
T(
( AT ) i ) B
Z[em atf(t)]F(zeaT)
初值定理
设 Z{f(t)}=F(z)，如果Z→∞时F（z）的极限 存在，则函数的初值为
lim f(t)f(0)lim F(z) z
终值定理
设 Z{f(t)}=F(z)，则函数的终值为
l i m f( t ) f( ) l i m ( z 1 ) F ( z ) l i m ( 1 z 1 ) F ( z )
xc(k)+a1xc(k-1)+a2xc(k-2)+… =b0xr(k)+b1xr(k-1)+b2xr(k-2)+……
或表示为 xc(k)=T[xr(k)] 当系数均为常数时，上式为线性定常差分方程。
❖ 差分方程的解法
迭代法 Z变换法
迭代法
❖例 4-4-1：已知采样系统的差分方程是
x c ( k ) x c ( k 1 ) x r ( k ) 2 x r ( k 2 )
a1y(n-1)-a2y(n-2)-....-any(n-p)
4.3 Z变换
Z变换的定义 Z变换的方法 Z变换的性质 Z反变换
Z变换的定义
采 样 函 数f(t)f(t)(tkT) k0
对其进行拉氏变换：
L [f ( t) ] F (s ) L k 0f(k T )( t k T ) k 0f(k T )e k T s
脉冲传递函数又可表示为： G(Z)=Z[Gh(s)Ga(s)]
保持器传递函数
系统传递函数
(3-2-10)
选择不同的保持器，将得不同的G(Z),例 如选零阶保持器，则由(3-2-10)得，
G (Z ) Z { 1 e sT G (s) }(1 z 1 )Z { G (s)}
s
s
通过脉冲传递函数导出系统差分方程
1 2jBiblioteka 11 e jTz1
1 2j
1 1e jT
z1
1
e
jT
z1 z1
sinT
e jT
z1
z2
1
z1 sinT 2z1 cosT
z2
Z变换的性质
线性性质 延迟定理 超前定理 复位移定理 初值定理 终值定理 卷积和定理
线性性质
若 ： Z [f1 *(t)]F 1(z),Z [f2*(t)]F 2(z)，
z0
z1z2
L
1 1z1
z z1
例4-3-2 求e at 的F(Z)。
解：Fz eakTzke0z0eaTz1e2aTz2L k0 1e1aTz1zzeaT
部分分式法
例4-3-3 求解F (s) a
s(s a)
的Z变换 。
解：因为 Fs A B 1 1
s sa s sa
而 L1Fs1(t)eat
同理，求出
xc(3)2,xc(4)6
输入输出关系如下图所示。
Z变换法
❖例 4-4-2：求解
x c (k 2 ) 3 x c (k 1 ) 2 x c (k ) 0
初始条件：xc(0T)=0, xc(1)=1
❖解：由超前定理，令 Z[xc(k)]Xc(z) 于是 Z [ x c ( k 2 ) ] z 2 X c ( z ) z 2 X c ( 0 ) z X c ( 1 )
Z [x c(k 1 ) ]zc X (z) zc X (0 )
代入原式得
z 2 X c ( z ) z 2 X c ( 0 ) z c ( 1 ) X 3 z c ( z ) X 3 z c ( 0 ) X 2 X c ( z ) 0
整理后得
X c(z) z2 3 zz 2 (z 1 )zz( 2 ) z z1 z z2
Z反变换 幂级数展开法 部分分式法 反演积分法（留数法）
4.4 线性常系数差分方程
差分方程的定义 差分方程的解法
差分方程的定义
对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时刻的 输出值 xc(k) 不仅与这一时刻的输入值 xr(k)有关，而且 与过去时刻的输入值xr(k-1)， xr(k-2)…有关，还与过去 的输出值xc(k-1)， xc(k-2)…有关。可以把这种关系描述 如下：
微分方程 拉氏变换 传递函数
脉冲传递函数的定义 在连续系统中、应用拉氏变换可将描述系统的
微分方程转化为传递函数。同样，在采样系统中， 利用Z变换可将描述采样系统的差分方程转化为 类似于传递函数的另一种数学模型一脉冲传递函 数，或称Z传递函数。脉冲传递函数的定义如下：
在零初始条件下，线性定常采样系统的输出采 样信号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比称 为采样系统的脉冲传递函数。
t
£ [0f1 ()f2 (t)d] F 1 (s)F 2 (s)
对(3-2-2)式进行拉氏反变换，并利用卷积定理得
t
x (t) F (t)x (0 ) 0F (t)B(u )d
eAx t(0)teA (t )B(u)d 0
这就是连续方程的解.
(3-2-3)
现推导离散化后的解. 对kT及(k+1)T两个依次采样时刻，有
(3-2-11)
对(3-2-11)进行z-返变换并由延迟定理， y(kT)=b0u(kT)+b1u[(k-1)T]+b2u[(k-
2)T]+....+bmu[(k-m)T]-a1y[(k-1)T]-a2y[(k2)T]-....-apy[(k-p)T]
令kT对应n点，有， y(n)=b0u(n)+b1u(n-1)+b2u(n-2)+...+bmu(n-m)-
eAT (AT)i /i! i0
根据精度要求只取（L+1）项，则
L
e AT ( AT ) i / i! i 0
方法２：矩阵指数函数展成两项之差 exp(AT)=[I+exp(AT)]/[I+exp(-AT)]
若取4项（L=3）,得 ex A ) p [ T I ( A ( T A )2 T (A ) 3 ]/ T I[ A ( T A )2 T (A ) 3 ]T
加零阶保持器的离散化状态方程
如果采用零阶保持器，那么， u(kT+t)=u(kT) 这样(3-2-7)可写成
x [k ( 1 )T ] e Ax T (k)T u (k)T T e A (T t)Bd t 0 (T )x (k)T m (T )u (k)T