立体几何中的角度与距离问题
立体几何中的角度与距离问题
【基础知识】
一．空间角度问题
（一）理解空间中各种角的定义及其取值范围
1．异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角的概念。
2．各种角的取值范围：（1）异面直线所成的角的取值范围是：0°< θ ≤90°；（2）直线于平面所成的角的取值范围是： 0°≤ θ ≤90°；（3）二面角的大小可以用它的平面角来度量，通常认为二面角平面角的取值范围是： 0°< θ ≤180° （二）空间中的角的计算
1、用直接法求角的一般步骤是：（1）找出或做出有关角的图形；（2）证明它符合定义（3）计算（一般通过解三角形）
2、异面直线所成的角：用平移转化的方法使它成为相交直线所成的角。
当异面直线垂直时，运用直线垂直平面的定义或三垂线定理（或逆定理）判定所成角是90°.
3． 斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段/斜线段及斜线段在平面内的射影。
4． 二面角要转化为其平面角，掌握以下三种基本做法：（1）直接利用定义；（2）利用三垂线定理及其逆定理（3）作棱的垂面
另外，还要特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角
注意：1.空间各种角的计算方法都是转化为平面角来计算的，应熟练掌握这种转化。
2.计算题必须有推理过程。 二．空间距离问题
1．立体几何中的各种距离有：（1）点到直线的距离（2）点到平面的距离（3）平行直线间的距离（4）异面直线间的距离（5）直线与平面的距离（6）两个平面间的距离（7）球面上两点间距离
2．空间七种距离求法，通常是转化为平面上两点间的距离：（1）找出或作出有关距离的图形；（2）证明它们就是所求的距离；（3）利用平面几何和解三角形的知识在平面内计算
α β
A
O
P A B
O
P α
β (1)
(2)
(3)
3． 求异面直线距离（1）定义：关键确定公垂线段（2）转化为直线和平面间距离（过a 而与b 平行的平面）
（3）转化为平面间距离（4）极值法
4． 求点面距离其法有二：（1）直接法，确定垂足的位置（2）等体积法，同一个三棱锥，从不同的角度选择
底和高计算体积并加以比较即可。
5． 曲面上两点间距离（1）曲面可展开，则在侧面展开图上计算。（2）曲面不可展开，球面上两点的球面距
离按定义求。
6．各种距离可相互转化：点到平面的距离、点到直线的距离是重点。求点到平面的距离：转移法、体积法体现了转化的思想。
【课后训练】
1.ABCD 是边长为2的正方形，以BD 为棱把它折成直二面角A —BD —C ，E 是CD 的中点，则异面直线AE 、BC 的距离为
A.2
B.3
C.
2
3
D.1 2．在△ABC 中，AB =15，∠BCA =120°，若△ABC 所在平面α外一点P 到A 、B 、C 的距离都是14，则P 到α的距离是
A.13
B.11
C.9
D.7
3．长方体AC 1的长、宽、高分别为3、2、1，从A 到C 1沿长方体的表面的最短距离为
A
1
A.1+3
B.2+10
C.32
D.23
4．（2006全国卷）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为则侧面与底面所成的二面角等于_____ 5．（2006年辽宁卷）若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α,则cos α=______.
【针对练习】
1．（2002全国）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（ ）
A.
4
3 B.
5
4 C.
53 D.－5
3 2．右图是正方体的平面展开图．在这个正方体．．．
中， ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE
是异面直线
③CN 与BM 成60°角 ④DM 与BN 垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是（ ） A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④
3．平面α内的∠MON =60°，PO 是α的斜线，PO =3，∠POM =∠PON =45°，那么点P 到平面α的距离是
A.
3 B.
4
33 C. 23 D. 33
4．已知直线a ∥α，且a 与α间的距离为d ，a 在α内的射影为a ′，l 为平面α内与a ′平行的任一直线，则a 与l 之间的距离的取值范围是
A.［d ，+∞）
B.（d ，+∞）
C.（0，d ］
D.{d }
5．（2006年四川卷）已知二面角l αβ--的大小为0
60，,m n 为异面直线，且,m n αβ⊥⊥，则,m n 所成的角为（ ）
（A ）0
30 （B ）0
60 （C ）0
90 （D ）0
120
6．关于直角AOB 在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角.其中正确判断的序号是 （注：把你认为是正确判断的序号都填上）.
7．正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是_____.
8．（2006年安徽卷）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体
上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是：
①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号．．
） A B
C D
A 1
B 1
C 1
D 1 第8题图
α
暑假立体几何中的距离问题
立体几何中的距离问题 【要点精讲】 1距离 空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线 线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离?因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的 求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。 两条异面直线的距离 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离； 求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度 点到平面的距离 平面外一点P在该平面上的射影为P',则线段PP的长度就是点到平面的距离；求 法：①"一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。(2)等体积法。 直线与平面的距离： 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的 距离； 平行平面间的距离： 两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。 求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法， 把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关 距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形. 若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。 异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a、b所成的角为，它们的公垂线AA '的长度为d，在a上有线段A' E = m , b上有线段AF = n，那么EF = 、d2 m2 n2 2mncos (“土”符号由实际情况选定)
立体几何(角度、距离、体积)
立体几何 一、角度问题。 1. 如图,四棱锥P ABCD -中,PA ABCD ⊥底面, 2,4,3 BC CD AC ACB ACD π ===∠=∠=,F 为PC 的中点,AF PB ⊥. (1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值. 【答案】
2. 如图,圆锥顶点为p .底面圆心为o ,其母线与底面所成的角为22.5°.AB 和CD 是底 面圆O 上的两条平行的弦,轴OP 与平面PCD 所成的角为60°. (Ⅰ)证明:平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面; (Ⅱ)求cos COD ∠. 【答案】解: (Ⅰ) PAB P D ,////C m AB CD CD PCD AB PCD ?=??设面面直线且面面 //AB m ?直线 ABCD m ABCD AB 面直线面//?? . 所以,ABCD D P PAB 的公共交线平行底面与面面C . (Ⅱ)
r PO OPF F CD r =??=∠5.22tan .60,由题知，则的中点为线段设底面半径为. ? -?=?∠==????=?5.22tan 15.22tan 245tan ,2cos 5.22tan 60tan 60tan ,2COD r OF PO OF . )223(3)],1-2(3[2 1cos ,1-25.22tan 12cos 2cos 22-==+∠=??-∠=∠COD COD COD 212-17cos .212-17cos =∠=∠COD COD 所以. 3. 如图,在四面体BCD A -中,⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是 AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且QC AQ 3=. (1)证明://PQ 平面BCD ;(2)若二面角D BM C --的大小为060,求BDC ∠的大 小. 【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取MD 的中点F ,且M 是AD 中点,所以3AF FD =.因为P 是BM 中点,所以//PF BD ;又因为(Ⅰ)3AQ QC =且 3AF FD =,所以//QF BD ,所以面//PQF 面BDC ,且PQ ?面BDC ,所以 //PQ 面BDC ; 方法二:如图7所示,取BD 中点O ,且P 是BM 中点,所以1// 2 PO MD ;取CD 的三等分点H ,使3DH CH =,且3AQ QC =,所以11////42QH AD MD ,所以A B C D P Q M （第20题图）
立体几何--空间的距离.
、选择题 1.正方形ABCD边长为2, E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿 面角（如图），M为矩形AEFD内一点，如果/ MBE= / MBC , MB和平面BCF 1 值为1，那么点M至?线EF的距离为 （ 2 D.- 2 2 .三棱柱ABC—A1B1C1 中，AA i=1 , AB =4, BC= 3 , / ABC=90 °，设平面 ABC的交线为I，则A1C1与I的距离为（） 二、填空题 4.如右上图，ABCD与ABEF均是正方形，如果二面角E—AB—C的度数为30°， 那么EF与平面ABCD的距离为 三、解答题 （1）求证：平面A1BC1 //平面ACD1； 立体几何--空间的距离 EF折成直二 所成角的正切 B.1 A i BC i与平面 A J10 B. TH C.2.6 D.2.4 3.如左下图，空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为 5.在长方体如图:
(2)求(1)中两个平行平面间的距离; ⑶求点B i到平面A i BC i的距离. 6.已知正四棱柱ABCD —A i B i C i D i，点E在棱D i D上，截面EAC // D i B且面EAC与底面ABCD所成的角为45° ,AB=a,求: (i)截面EAC的面积; ⑵异面直线A i B i与AC之间的距离; ⑶三棱锥B i —EAC的体积. 7?如图，已知三棱柱A i B i C i —ABC的底面是边长为2的正三角形, AC均成45°角，且A i E丄B i B于E, A i F丄CC i于F. (i)求点A到平面B i BCC i的距离; ⑵当AA i多长时，点A i到平面ABC与平面B i BCC i的距离相等. &如图，在梯形ABCD 中，AD // BC,/ ABC = —,AB= 2 2 / ADC=arccos—75 ,PA丄面ABCD 且PA=a. 5 (i)求异面直线AD与PC间的距离; (2)在线段AD上是否存在一点F,使点A到平面PCF的距离为亨 【空间的距离参考答案】 一、i.解析：过点M作MM '丄EF,则MM '丄平面BCF ?// MBE= / MBC ??? BM '为/ EBC为角平分线, ￡■ 侧棱A i A与AB 、 i -AD=a, 3
立体几何中体积与距离的问题
………………………………………………最新资料推荐……………………………………… 1 / 1 B A C D 1A 1B C D 1C 1 B 1 A 1 E D C B A 立体几何中体积与距离的问题 考点一：两条异面直线间的距离 例1如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点.求证：(1)EF 是AB 和CD 的公垂线；(2)求AB 和CD 间的距离； 考点二：点到平面的距离 例2如图，在长方体AC 1中，AD=AA 1=1，AB=2，当E 为AB 的中点时， （1）证明：D 1E ⊥A 1D ；（2）求点E 到面ACD 1的距离； 例3正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为8，对角线101=C B ，D 是AC 的中点。 （1）求点1B 到直线AC 的距离.（2）求直线1AB 到平面BD C 1的距离． 考点三：几何体的体积 1、如图所示，在三棱锥ABC P -中，6AB BC == ，平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，1AD =，3CD =，2=PD ．求三棱锥ABC P -的体积； 2、已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为4的正方形，PD ABCD ⊥平面，6,,PD E F =分别为,PB AB 中点。 (1)证明：BC PDC ⊥平面;(2)求三棱锥P DEF -的体积。 3.已知在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为4的正方形， PAD ?是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，G F E ,,分别是 BC PC PD ,,的中点． 1）求平面EFG ⊥平面PAD ；2）若M 是线段CD 上一点，求三棱锥EFG M -的体积． 练习1、如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=A A 1，∠BA A 1=60°. （Ⅰ）证明AB ⊥A 1C;（Ⅱ）若AB=CB=2,A 1C=6，求三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积 练习2如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1 2AA 1，D 是棱AA 1的中点。(Ｉ) 证明平面BDC 1⊥平面BDC （Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。 A B C C 1 A 1 B 1 B 1 C B A D C 1 A 1 图5 B P A D
空间几何中的角和距离的计算
空间角和距离的计算(1) 一 线线角 1．直三棱柱A 1B 1C 1-ABC ，∠BCA=900，点D 1，F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值． 2．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD=900，AD ∥BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥面ABCD ，PD 与底面成300角． （1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； （2）若AE ⊥PD ，求异面直线AE 与CD 所成角的大小． 二．线面角 1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1、CD 的中点，且正方体的棱长为2． （1）求直线D 1F 和AB 和所成的角； （2）求D 1F 与平面AED 所成的角． F 1D 1B 1 C 1A 1 B A C A B C D P E C D E F D 1 C 1 B 1 A 1 A B
2．在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，四边形AA 1B 1B 是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，C 1B 1⊥AB ，AB=4，C 1B 1=3，∠ABB 1=600，求AC 1与平面BCC 1B 1所成角的大小． 三．二面角 1．已知A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点． （1）证明AB 1∥平面DBC 1； （2）设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱，DBC 1与CBC 1为面的二面角的大小． 2．ABCD 是直角梯形，∠ABC=900，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=0.5． （1）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的大小； （2）求SC 与面ABCD 所成的角． 3．已知A 1B 1C 1-ABC 是三棱柱，底面是正三角形，∠A 1AC=600，∠A 1AB=450，求二面角B —AA 1—C 的大小． B 1 C 1 A 1 B A C D B 1 C 1 A 1B A C B A D C S B 1 C 1 B C A 1
立体几何空间距离问题
空间距离问题 (专注高三数学辅导:) 空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离. ●难点磁场 (★★★★)如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA⊥平面ABCD，PA=2c,Q 是PA的中点. 求：(1)Q到BD的距离； (2)P到平面BQD的距离. 。 P为RT△ABC所在平面α外一点,∠ACB=90°(如图) (1)若PC=a，∠PCA=∠PCB=60°，求P到面α的距离及PC和α所成的角 （2）若PC=24，P到AC，BC的距离都是6√10，求P到α的距离及PC和α所成角 （3）若PC=PB=PA，AC=18，P到α的距离为40，求P到BC的距离
●案例探究 ［例1］把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求： (1)EF 的长； (2)折起后∠EOF 的大小. 命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属★★★★级题目. < 知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式. 错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必 须保证x 轴、y 轴、z 轴两两互相垂直. 技巧与方法：建系方式有多种，其中以O 点为原点，以OB 、OC 、OD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单. 解：如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz ,设正方形ABCD 边长为a ,则A (0，－22a ,0),B (2 2 a ,0,0),C (0, 2 2 a ,0),D (0,0, 22a ),E (0,－4 2a , a ),F ( 42a , 4 2 a ,0) 21| |||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420) 0,4 2 ,42(),42,42,0()2(23 ,43)420()4242()042(||)1(2 2222-=>=<== - =?+-+?=?=-==∴=-+++-=OF OE OF OE OF OE a OF a OE a a a a a OF OE a a OF a a OE a EF a a a a a EF ∴∠EOF =120° ［例2］正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离. 命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目. 知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面
立体几何中角度与距离求法
立体几何中角度距离的求法 一 空间向量及其运算 1 .空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝___________. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ?______________ a ⊥b ?__________?________________________(a ，b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝__________________， cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝__________. 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)， 则d AB ＝|AB → |＝___________. 2.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角，已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作____________，其范围是____________，若〈a ，b 〉＝π2，则 称a 与b __________，记作a ⊥b . ②两向量的数量积，已知空间两个非零向量a ，b ，则____________叫做向量a ，b 的数量积，记作__________，即__________________. (2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa )·b ＝____________； ②交换律：a·b ＝__________； ③分配律：a·(b ＋c )＝__________. 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是 ________________________. 推论，如图所示，点P 在l 上的充要条件是：OP →＝OA → ＋t a ① 其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB → ＝a ， 则①可化为OP →＝________或OP →＝(1－t )OA →＋tOB → . (2)共面向量定理的向量表达式：p ＝____________，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O ，有OP →＝____________或OP →＝xOM → ＋yOA →＋zOB → ，其中x ＋y ＋z ＝______. (3)空间向量基本定理，如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝____________，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底.
立体几何及解题技巧以及空间距离专题复习
立体几何及解题技巧以及空间距离专题复习
知识点整理 (一)平行与垂直的判断 ⑴平行：设，的法向量分别为U,V ，贝U 直线l,m 的方向向量分 别为a,b ，平面 线线平行i // m a 〃 b a 诂；线面平行i // a u a u 0 ； 面面平行// u // v u J. ⑵ 垂直：设直线l ，m 的方向向量分别为a,b ，平面，的法向量 分别为u,v ，则 线线垂直I 丄m a 丄b ab 0 ；线面垂直I 丄 a // u a ku 「； 面面垂直丄 u 丄v u v 0. (二)夹角与距离的计算 注意：以下公式可以可以在非正交 基底下用，也可以在正交基底下用坐标运算 (1)夹角：设直线l ，m 的方向向量分别为，平面，的法向量 分别为u ，v ，则 ①两直线I ，m 所成的角为 (2)空间距离 ②直线I 与平面 ③二面角一I 的大小为(0< < )，cos cos (0< =2)，sin 所成的角为
点、直线、平面间的距离有种.点到平面的距离是重点,两异面直线间的距离是难 ①点到平面的距离h：(定理)如图，设n是是平 面的法向量，AP是平面的一条斜线，其中A 则点P到平面的距离 uuu uu ②h 1 Auur n |(实质是AP在法向量n 方向上的投影的绝对值) |n| uuu ur ③异面直线l i,l2间的距离d： d AB JC』1( 11,12的公垂向量为 |n| ' n, C、D分别是h,l2上任一点). 题型一：非正交基底下的夹角、的计算 例1.如图，已知二面角-I - 点 A , B , A C I于点C, 且 AC=CD=DB=1. 求：(1) A、B两点间的距离； (2)求异面直线AB和CD勺所成的角(3) AB与CD勺距 离. 解：设AC a,CD b,DB c,则 |a| |b| |c| 1, a,b b,c 900, a,c 60°, 2 ? ? 2 ?? 2 ■■ 2 |AB | a b c . a b c 2a b 2b c 2c a 2 A、B两点间的距离为2. (2)异面直线AB和CD的所成的角为60°
高中数学立体几何空间距离问题
立体几何空间距离问题 空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离. ●难点磁场 (★★★★)如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,P A⊥平面ABCD，P A=2c,Q 是P A的中点. 求：(1)Q到BD的距离； (2)P到平面BQD的距离. P为RT△ABC所在平面α外一点,∠ACB=90°(如图) (1)若PC=a，∠PCA=∠PCB=60°，求P到面α的距离及PC和α所成的角 （2）若PC=24，P到AC，BC的距离都是6√10，求P到α的距离及PC和α所成角（3）若PC=PB=PA，AC=18，P到α的距离为40，求P到BC的距离
●案例探究 ［例1］把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求： (1)EF 的长； (2)折起后∠EOF 的大小. 命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属★★★★级题目. 知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式. 错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x 轴、y 轴、z 轴两两互相垂直. 技巧与方法：建系方式有多种，其中以O 点为 原点，以OB 、OC 、OD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单. 解：如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz ,设正方形ABCD 边长为a ,则A (0，－22a ,0),B (22a ,0,0),C (0, 22a ,0),D (0,0, 22a ),E (0,－4 2 a , a ),F ( 42a , 4 2 a ,0) 21| |||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420) 0,4 2 ,42(),42,42,0()2(23 ,43)420()4242()042(||)1(2 2222-=?>=<== - =?+-+?=?=-==∴=-+++-=OF OE OF OE OF OE a OF a OE a a a a a OF OE a a OF a a OE a EF a a a a a EF ∴∠EOF =120° ［例2］正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离. 命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目. 知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得.
高考数学复习 第十一讲 立体几何之空间距离
第十一讲 立体几何之空间距离 一、空间距离包括： 点与点、点与线、点与面、线与线(异面直线）、线与面（线面平行)、面与面(面面平行)的距离。要理解各个距离的概念。 二、空间距离的求法 重点掌握:线线距离、点面距离、尤其点面距离 （1） 线线距离：找公垂线段 （2） 点面距离 ① 直接法（过点向面作作垂线段,即求公垂线段长度） ② 等体积法(三棱锥) ③ 向量法：设平面α的法向量为n ，P 为平面α外一点，Q 是平面α内任一点,则 点P 到平面α的距离为ｄ 等于PQ 在法向量n 上的投影绝对值。d =三、例题讲解 1、下列命题中: ①ABCD PA 矩形⊥所在的平面，则P 、B 间的距离等于P 到BC 的距离； ②若,,,//αα??b a b a 则a 与ｂ的距离等于a 与α的距离； ③直线a 、ｂ是异面直线,,//,ααb a ?则a 、b 之间的距离等于b 与α的距离 ④直线a 、ｂ是异面直线，,//,,βαβα且??b a 则a 、b 之间的距离等于βα、间的距离 其中正确的命题个数有（ Ｃ ) A ． 1个 Ｂ. ２个 C. ３个 D. 4个 ２、如图所示，正方形的棱长为1，Ｃ、D 为两条棱的中点，A 、B 、M 是顶点,那么点M 到截面ABCD 的距离是__________＿＿。
解析：取AB 、C Ｄ中点Ｐ、Q ，易证MPQ ?中,ＰQ 边长的高MH 为所求,423,22== PQ PM 3 2=∴MH 3、在底面是正方形的四棱锥Ａ-B ＣD Ｅ中，BCDE AE 底面⊥且AE=CD ＝a ， Ｇ、Ｈ是BE 、ＥD 的中点,则ＧH 到面ABD 的距离是_____＿＿____＿。 解析:连结EC ，交BD 于Ｏ，且交GH 于O '，则有平面ABD AEO 面⊥。 过Ｅ作AO EK ⊥于K ，则所求距离等于a AO EO AE EK 6 32121=?= 4、如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为棱ＡB 和B Ｃ的中点，Ｇ为上底面1111D C B A 的中心,则点D 到平面EF B 1的距离＿_＿________。 解：方法1:建立如图直角坐标系，
《立体几何中的角度与距离问题》
二年级下学期小学期末检测 数学试卷 （考试时间：60分钟，满分100分) 题号一二三四五六总分 得分 一、我会算。（12分） 35÷7＝900－700＝73－(13＋27)＝9×9÷9＝ 280＋300＝1000-600＝56－(90－60)= 37＋8÷8= 860－260= 60－27÷3= 4×(78－70)= (40－8)÷4= 二、我会填。（22分） 1、有一个四位数，最高位上是5，十位上是3，其余各位上是0，这个数是（），读作（）。 2、□÷7＝3……□，余数最大是（），当余数最大时，被除数是（）。 3、找规律填数。 537，437，（），237，（）；150，200，（），300，（）。 4、605是（）位数，最高位上的数字是（），这里的5表示（）个（）。 5、（）×7<50，括号里最大能填（）。 6、在（）里填上合适的单位名称： 教室的门高2（）；铅笔长14（）；数学书厚4（）；课桌高8（）。7、在○里填上“>”、“<”、“＝”。 5千米○5000米30mm○3dm纯角○锐角 8、最大的两位数是（），与它相邻的两个数分别是（）和（）。 三、我是小判官。（对的画“√”，错的画“×”）（12分） 1、50÷7＝6……8。…………………………………………………………………（） 2、“333”里的“3”表示的意思一样。…………………………………………（） 3、正方形和长方形都有4条边，4个直角。………………………………………（） 4、角的大小与边的长短有关系。…………………………………………………（） 5、2＋10÷2＝12÷2＝6。…………………………………………………………（） 6、左图中共有6个角。………………………………………………（） 四、我是计算能手。（14分） 1、用竖式计算并验算。（6分） 284＋357923－657
立体几何中的距离问题
立 体 几 何 中 的 求 距 离 问 题 集美中学数学组 刘 海 江 一、记一记，填一填，这些知识你掌握了吗？ 1、两点间的距离：连接两点的线段的长。 求法：（1）纳入三角形，将其作为三角形的一边，通过解三角形求得 （2）用公式，),,(),,,(222111z y x B z y x A ，则|AB|= 。 （3）利用向量的模，|AB|=|AB … （4）两点间的球面距离 ：A ，B 为半径是R 的球O 上的两点，若＜,＞=θ 则A ，B 两点间的球面距离为 。 2、点到直线的距离：从点向直线作（相交）垂线，该点与垂足间的线段长。 求法：（1）解三角形：所求距离是某直角三角形的直角边长，解此三角形即可。 （2）等积法：所求距离是某三角形的一高，利用面积相等可求此距离。 (3 ) 利用三垂线定理：所求距离视作某平面的斜线段长，先求出此平面的垂线段和射 影的长，再由勾股定理求出所求的距离。 （4）利用公式：A 0:),,(00=++C By Ax l y x 到直线的距离为 。 基本思想是将点线距转化为点点距。 3、点到平面的距离与直线到平面的距离（重点） （1）从平面外一点引平面的一条垂线，这个点和____________的距离，叫做这个点到这个平面的距离。 求法： ①利用定义、做出平面的垂线，将垂线段纳入某个三角形内，通过解三角形求出此 距离； ②利用等积法、将此距离看作某个三棱锥的高，利用体积相等求出此距离； ③利用向量、点A ，平面α，满足ααα⊥∈?O A ,,， 则点A 到平面α的距离||n d = （ 是平面α的法向量 ） （2）一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意_________到这个平面的_________，叫做这条直线和这个平面的距离。 （一条直线和一个平面平行时，直线上任意两点到平面的距离相等） 求法：转化为点到平面的距离来求；（具体方法参照点到平面的距离的求法） 4、两个平行平面的距离 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也_________另一个平面，这条直线叫做两个平面的__________，它夹在两个平行平面间的部分叫做这两个平面的_______,它的长度叫做两个平行平面的____________。 求法：转化为点到平面的距离来求；（具体方法参照点到平面的距离的求法）
高中数学专题讲义-空间几何体. 截面与距离问题
棱锥、棱台的中截面与轴截面 【例1】 正四棱锥的侧棱长是底面边长的k 倍，求k 的取值范围． 【例2】 正四棱锥的斜高为2，侧棱长为5，求棱锥的高与中截面（即过高线的中点且平 行于底面的截面）的面积？ 【例3】 正四棱台的高为17，两底面的边长分别是4和16，求这个棱台的侧棱长和斜高． 【例4】 已知正六棱台的上，下底面的边长和侧棱长分别为a ，b ，c ，则它的高和斜高分 别为 【例5】 已知正三棱锥S ABC -的高SO h =，斜高SM l =，求经过SO 的中点且平行于底面 的截面111A B C ?的面积． M O C 1 B 1 A 1 C A 【例6】 如图所示的正四棱锥V ABCD -，它的高3VO =，侧棱长为7， ⑴ 求侧面上的斜高与底面面积． ⑵ 'O 是高VO 的中点，求过'O 点且与底面平行的截面（即中截面）的面积． 典例分析 板块二.截面与距离问题
H O'O D C B A V 【例7】 如图，已知棱锥V ABC -的底面积是264cm ，平行于底面的截面面积是24cm ，棱锥 顶点V 在截面和底面上的射影分别是1O 、O ，过1O O 的三等分点作平行于底面的截面，求各截面的面积． C A 圆锥、圆台的中截面与轴截面 【例8】 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是14∶，母线长10，求 圆锥的母线长． 【例9】 一圆锥轴截面顶角为120?，母线长为1，求轴截面的面积． 【例10】 圆台的母线长为2a ，母线和轴的夹角为30?，一个底面半径是另一个底面半径的2 倍，求圆台的高与上下两底面面积之和． 【例11】 圆台两底半径分别是2和5，母线长是，求它的轴截面的面积； 【例12】 圆台侧面的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30?，一个底面半径是另一个底面 半径的2倍，则两底面半径为 ．
最新高考数学专题复习立体几何重点题型空间距离空间角(师)
立体几何题型 【考点透视】 (A)版.掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念. (B)版. ①理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘. ②了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算. ③掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式. ④理解直线的方向向量、平面的法向量，向量在平面内的射影等概念. ⑤了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念. ⑥掌握棱柱、棱锥、球的性质，掌握球的表面积、体积公式. ⑦会画直棱柱、正棱锥的直观图. 空间距离和角是高考考查的重点：特别是以两点间距离，点到平面的距离，两异面直线的距离，直线与平面的距离以及两异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角等作为命题的重点内容，高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查，分为多个小问题，也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题，但也可能在最后一问中设置有难度的问题. 不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色. 求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。 【例题解析】 考点1 点到平面的距离 求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足， 当然别忘了转化法与等体积法的应用. 典型例题 例1如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证： 1AB ⊥ 平面 1A BD ； （Ⅱ）求二面角 1A A D B --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离． 考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的 A B C D 1 A 1 C 1 B
立体几何中的夹角、距离、向量归纳
D B A C α 一、空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角 1、异面直线所成的角 （1）异面直线所成的角的范围是]2 ,0(π 。 （2）求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决 （3）具体步骤如下： ①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上； ②证明作出的角即为所求的角； ③利用三角形来求角 2、直线与平面所成的角 （1）直线与平面所成的角的范围是2 ,0[π 。 （2）求直线和平面所成的角用的是射影转化法。 （3）具体步骤如下： ①找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。 3、二面角 （1）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指],0(π，解题时要注意图形的位置和题目的要求。 （2）作二面角的平面角常有三种方法 图一 图二 图三 ①棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角； 如图一示 ②面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角； 如图二示 ③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角 如图三示
1、点到直线的距离： 点Ｐ到直线a 的距离为点Ｐ到直线a 的垂线段的长，常先找或作直线a 所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作a 的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线a 的距离。在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可。 例1、在△ABC 中，AB=2，BC=3，AC=4，求点A 到BC 的距离。 解：作BC AD ⊥，垂足为D ，又 AB=2，BC=3，AC=4， 8 74 322432c o s 2 222 2 2 =??-+= ?-+= ∴BC AC AB BC AC C 8 15)8 7(1sin 2= -=∴C 4 1538 15432 1sin 432 1= ???=??= ∴?C S ABC AD BC S ABC ?= ?2 1 又 2 153 415322= ?= = ∴?BC S AD ABC ∴点A 到BC 的距离为 2 15 2、点到平面的距离： 点Ｐ到平面α的距离为点Ｐ到平面α的垂线段的长．常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面α的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为n m :，则点Ａ，Ｂ到平面α的距离之比也为n m :．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面α的距离相等；③体积法 例2、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，,22,2,51===AA BC AB E 在AD 上，且AE=1，F 在AB 上，且AF=3，（1）求点1C 到直线EF 的距离；（2）求点C 到平面EF C 1的距离。 解：（1）连接FC,EC, 由已知FC=22， 41=∴FC ,34 82511=++= EC , 10 91= += EF 10 104 1023416102cos 1 2 12 12 1- =??-+= ?-+= ∠FC EF EC FC EF EFC B
高考典型题型训练——立体几何中求角与距离
C A1 E B1 C1 高考典型题型训练——立体几何中求角与距离 1. 四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABCD. （1）若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90° 2如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C 点到AB 1的距离为CE= 2 3 ，D 为AB 的中点. （1）求证：AB 1⊥平面CED ； （2）求异面直线AB 1与CD 之间的距离； （3）求二面角B 1—AC —B 的平面角.
3. 如图a—l—β是120°的二面角，A，B两点在棱上，AB=2，D在α内，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在β内，?ABC是等腰直角三角形∠ACB=. 900 （I）求三棱锥D—ABC的体积； （2）求二面角D—AC—B的大小； （3）求异面直线AB、CD所成的角. 4. 在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①．若用剩下的部分
折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②．则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值． 图①图② 5. 已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC， D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E． （1）求证：AP⊥平面BDE； （2）求证：平面BDE⊥平面BDF； （3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥 P—ABC所成两部分的体积比．
高中数学立体几何专：空间距离的各种计算(含答案)
高中数学立体几何 空间距离 1.两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 2.点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离. 题型一：两条异面直线间的距离 【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离； 【规范解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线. (2)在Rt △BEF 中，BF = a 23 ,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 2 12，即EF =a 22 . 由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为 a 2 2 . 【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED . ∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB . ∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离. ∵CE =23,∴CF =FD =21,∠EFC =90°,EF =2221232 2 =??? ??-??? ? ??. ∴AB 、CD 的距离是 2 2 . 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法： （1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度. （2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离. （3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离. 题型二：两条异面直线间的距离 【例3】 如图(1),正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离； 过A 作AO ⊥平面BCD 于O ，连BO 并延长与CD 相交于E ，连AE . ∵AB =AC =AD ,∴OB =OC =OD .∴O 是△BCD 的外心.又BD ＝BC ＝CD ， ∴O 是△BCD 的中心，∴BO =3 2BE =33 2332= ?. 又AB ＝1，且∠AOB =90°,∴AO =363312 22=??? ? ??- =-BO AB .∴A 到平面BCD 的距离是36. 例1题图 例2题图 例3题图
立体几何文科 距离 体积
距离问题 1、如图，四棱锥中，底面， ,,. (1)求证：；(2)求点到平面的距离． 2、如图，已知四棱锥的底面为菱形，，， . （Ⅰ）求证：⊥； （Ⅱ）求点到平面的距离.
3、如图，正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）中，是的中点， . （1）求证:直线平面； （2）求点到平面的距离. 4、在四棱柱中，底面，底面为菱形，为与的交点，已知 ，． （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离．
体积问题 【2014高考北京文第17题】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面， AB BC ⊥，12AA AC ==，E 、F 分别为11AC 、BC 的中点. （1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证：1//C F 平面ABE ； （3）求三棱锥E ABC -的体积. C 1 B 1 A 1 F E C B A 3. 【2015高考北京，文18】（本小题满分14分）如图，在三棱锥V C -AB 中， 平面V AB ⊥平面C AB ，V ?AB 为等边三角形， C C A ⊥B 且C C A =B =O ，M 分别为AB ，V A 的中点． （I ）求证：V //B 平面C MO ； （II ）求证：平面C MO ⊥平面V AB ； （III ）求三棱锥V C -AB 的体积．
5. [2016高考新课标Ⅲ文数]如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ， AD BC ，3AB AD AC ===， 4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点． （I ）证明MN 平面PAB ； （II ）求四面体N BCM -的体积. 23. 【2015高考新课标1，文18】（本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱 形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面， （I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ； （II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -求该三棱锥的侧面积.
立体几何中的角度与距离问题
立体几何中的角度与距离问题 【基础知识】 一．空间角度问题 （一）理解空间中各种角的定义及其取值范围 1．异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角的概念。 2．各种角的取值范围：（1）异面直线所成的角的取值范围是：0°< θ ≤90°；（2）直线于平面所成的角的取值范围是： 0°≤ θ ≤90°；（3）二面角的大小可以用它的平面角来度量，通常认为二面角平面角的取值范围是： 0°< θ ≤180° （二）空间中的角的计算 1、用直接法求角的一般步骤是：（1）找出或做出有关角的图形；（2）证明它符合定义（3）计算（一般通过解三角形） 2、异面直线所成的角：用平移转化的方法使它成为相交直线所成的角。 当异面直线垂直时，运用直线垂直平面的定义或三垂线定理（或逆定理）判定所成角是90°. 3． 斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段/斜线段及斜线段在平面内的射影。 4． 二面角要转化为其平面角，掌握以下三种基本做法：（1）直接利用定义；（2）利用三垂线定理及其逆定理（3）作棱的垂面 另外，还要特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角 注意：1.空间各种角的计算方法都是转化为平面角来计算的，应熟练掌握这种转化。 2.计算题必须有推理过程。 二．空间距离问题 1．立体几何中的各种距离有：（1）点到直线的距离（2）点到平面的距离（3）平行直线间的距离（4）异面直线间的距离（5）直线与平面的距离（6）两个平面间的距离（7）球面上两点间距离 2．空间七种距离求法，通常是转化为平面上两点间的距离：（1）找出或作出有关距离的图形；（2）证明它们就是所求的距离；（3）利用平面几何和解三角形的知识在平面内计算 α β A O P A B O P α β (1) (2) (3)