新人教版初三九年级上册数学第二十四章圆知识点及练习题(附答案)试卷
《圆》章节知识点复习和练习附参考答案一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；A五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠图4图5B2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙O 中，∵四边形ABCD 是内接四边形∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）BABAO推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA 、PB 是的两条切线∴PA PB = PO 平分BPA ∠十一、圆内正多边形的计算 （1）正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：::2OD BD OB =；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::OE AE OA =（3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::2AB OB OA =.十二、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：180n Rl π=； （2）扇形面积公式： 213602n R S lR π== n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图2S S S =+侧表底=222rh r ππ+（2）圆柱的体积：2V r h π=（2）圆锥侧面展开图（1）S S S =+侧表底=2Rr r ππ+（2）圆锥的体积：213V r h π=lOC 1D 1圆练习题一、选择1。
下列命题中正确的有( )个(1) 平分弦的直径垂直于弦（2）经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 （3）在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半 （4）平面内三点确定一个圆（5）三角形的外心到各个顶点的距离相等 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 2。
如图，直线PA PB ，是O 的两条切线，A B ，分别为切点，120APB =︒∠，10OP = 厘米，则弦AB 的长为（ ） A ．53厘米B ．5厘米C ．103厘米D ．532厘米3。
小明想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列几个图形是半圆形的是（ ）4。
已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC 的内切圆的半径为（ ） A ．310 B ．512 C ．2 D ．3 5。
若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10 cm 、深约为2 cm 的小坑，则该铅球的直径约为( ) A. 10 cmB. 14.5 cmC. 19.5 cmD. 20 cm6。
如图9，在10×6的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位长），⊙A 的半径为1，⊙B 的半径为2，要使⊙A 与静止的⊙B 内切，那么⊙A 由图示位置需向右平移 _______个单位长．7。
一扇形的圆心角为150°，半径为4，用它作为一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的表面积是_____________8。
已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为 。
9。
直角三角形的两条直角边分别为5cm 和12cm ，则其外接圆半径长为ABP OB CAPA10。
点A 是半径为3的圆外一点,它到圆的最近点的距离为5,则过点A 的切线长为__________ 11、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠AOC =300，半径为1cm 的⊙P 的圆心在射线OA 上，开始时，PO =6cm ．如果⊙P 以1cm/秒的速度沿由A 向B 的方向移动，那么当⊙P 的运动时间t （秒）满足条件 时，⊙P 与直线CD 相交．12。
如图，点A B ，是O 上两点，10AB =，点P 是O 上的动点（P 与A B ，不重合），连结AP PB ，，过点O 分别作OE AP ⊥于E ，OF PB ⊥于F ，则EF = ．13。
已知BC 是半径为2cm 的圆内的一条弦，点A 为圆上除点B C ，外任意一点，若23cm BC =，则BAC ∠的度数为 ．14。
⊙0的半径为5，A 、B 两动点在⊙0上，AB=4,AB 的中点为点C,在移动的过程中，点C 始终在半径为_______的一个圆上，直线AB 和这个圆的位置关系是______15. Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为________三、解答16。
已知：△ABC 内接于⊙O ，过点A 作直线EF 。
（1）如图1，AB 为直径，要使EF 为⊙O 的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情况）：① ；② ；③ 。
（2）如图2，AB 是非直径的弦，∠CAE=∠B ，求证：EF 是⊙O 的切线。
17。
求作一个⊙O ，使它与已知∠ABC 的边AB ，BC 都相切，并经过另一边BC 上的一点P ．18。
如图，从点P 向⊙O 引两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，AC 为弦，BC 为⊙O•的直径，若∠P=60°，PB=2cm ，求AC 的长．ABOFPE（第12题）图1 图219。
如图，已知扇形AOB的半径为12，OA⊥OB，C为OB上一点，以OA为直线的半圆O与以BC为直径的半圆O相切于点D．求图中阴影部分面积．20. 如图，在平面直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且C点坐标为（1，0），直线l过点A（—1，0），与⊙C相切于点D，求直线l的解析式。
答案：1. A2. A3. B4. A5. B6. 4或67.8598. 2或8 9. 6.5cm10.11. 4＜t ≤6 12. 513. 60°或120° 14. 3，相切 15. 1216.（1）①BA ⊥EF ；②∠CAE=∠B ；③∠BAF=90°。
（2）连接AO 并延长交⊙O 于点D ，连接CD ， 则AD 为⊙O 的直径，∴∠D+∠DAC=90°。
∵∠D 与∠B 同对弧AC ，∴∠D=∠B ， 又∵∠CAE=∠B ，∴∠D=∠CAE ，∴∠DAC+∠EAC=90°， ∴EF 是⊙O 的切线。
17. 作法：①作∠ABC 的角平分线BD ．②过点P 作PQ ⊥BC ，交BD 于点O ，则O 为所求作圆的圆心． ③以O 为圆心，以OP 为半径作圆．则⊙O 就是所求作的圆18. 连结AB ．∵∠P=60°，AP=BP ， ∴△APB 为等边三角形．AB=PB=2cm ，PB 是⊙O 的切线，PB ⊥BC ， ∴∠ABC=30°，∴AC=2·3=23．19. 扇形的半径为12，则1o r=6，设⊙O 2的半径为R ．连结O 1O 2，O 1O 2=R+6，O O 2=12-R ． ∴Rt △O 1OO 2中，36+（12-R ）2=（R+6）2，∴R=4．S 扇形=14π·122=36π，S=12π·62=18π，S=12π·42=8π． ∴S 阴=S 扇形-S-S=36π-18π-8π=10π．20. 如图所示，连接CD ，∵直线l 为⊙C 的切线，∴CD ⊥AD 。
人教版九年级数学上册试题 第二十四章圆课堂练习题及答案(含知识点)
第二十四章圆多套题附答案测试1 圆学习要求理解圆的有关概念，掌握圆和弧的表示方法，掌握同圆的半径相等这一性质．课堂学习检测一、基础知识填空1．在一个______内，线段OA绕它固定的一个端点O______，另一个端点A所形成的______叫做圆．这个固定的端点O叫做______，线段OA叫做______．以O点为圆心的圆记作______，读作______．2．战国时期的《墨经》中对圆的定义是________________．3．由圆的定义可知：(1)圆上的各点到圆心的距离都等于________；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在________．因此，圆是在一个平面内，所有到一个________的距离等于________的________组成的图形．(2)要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是________，另一个是________，其中，________确定圆的位置，______确定圆的大小．4．连结______________的__________叫做弦．经过________的________叫做直径．并且直径是同一圆中__________的弦．5．圆上__________的部分叫做圆弧，简称________，以A，B为端点的弧记作________，读作________或________．6．圆的________的两个端点把圆分成两条弧，每________都叫做半圆．7．在一个圆中_____________叫做优弧；_____________叫做劣弧．8．半径相等的两个圆叫做____________．二、填空题9．如下图，(1)若点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径；线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆．(2)若∠A=40°，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______．综合、运用、诊断10．已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．(1)求证：∠AOC=∠BOD；(2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．11．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠E=18°，求∠C及∠AOC的度数．拓广、探究、思考12．已知：如图，△ABC，试用直尺和圆规画出过A，B，C三点的⊙O．测试2 垂直于弦的直径学习要求1．理解圆是轴对称图形．2．掌握垂直于弦的直径的性质定理及其推论．课堂学习检测一、基础知识填空1．圆是______对称图形，它的对称轴是______________________；圆又是______对称图形，它的对称中心是____________________．2．垂直于弦的直径的性质定理是____________________________________________．3．平分________的直径________于弦，并且平分________________________________．二、填空题4．圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=______cm．5．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．5题图6．如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______．6题图7．如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，则OA=______，O点到AB的距离=______．7题图8．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，且AB=CD，则圆心O到CD 的距离是______．8题图9．如图，P为⊙O的弦AB上的点，P A=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．9题图10．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于______cm．10题图综合、运用、诊断11．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长．12．已知：如图，试用尺规将它四等分．13．今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．(选自《九章算术》卷第九“句股”中的第九题，1尺=10寸)．14．已知：⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别为2，3，求∠BAC的度数．15．已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离．拓广、探究、思考16．已知：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD=80°，B是的中点．(1)在CD 上求作一点P ，使得AP ＋PB 最短；(2)若CD =4cm ，求AP ＋PB 的最小值．X|k |b| 1 . c|o |m17．如图，有一圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为7.2m ，拱顶高出水面2.4m ，现有一竹排运送一货箱从桥下经过，已知货箱长10m ，宽3m ，高2m(竹排与水面持平)．问：该货箱能否顺利通过该桥?测试3 弧、弦、圆心角学习要求1．理解圆心角的概念．2．掌握在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系．课堂学习检测一、基础知识填空1．______________的______________叫做圆心角．2．如图，若长为⊙O 周长的nm ，则∠AOB =____________．3．在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么______________________．4．在圆中，圆心与弦的距离(即自圆心作弦的垂线段的长)叫做弦心距，不难证明，在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们的弦心距也______．反之，如果两条弦的弦心距相等，那么_____________________．二、解答题5．已知：如图，A、B、C、D在⊙O上，AB=CD．求证：∠AOC=∠DOB．综合、运用、诊断6．已知：如图，P是∠AOB的角平分线OC上的一点，⊙P与OA相交于E，F点，与OB 相交于G，H点，试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论．7．已知：如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD=20°，求∠ACO的度数．拓广、探究、思考8．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是( )．A．AB>2AM B．AB=2AMC．AB<2AM D．AB与2AM的大小不能确定9．如图，⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP=PC，试猜想与之间的关系，并证明你的猜想．10．如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．测试4 圆周角学习要求1．理解圆周角的概念．2．掌握圆周角定理及其推论．3．理解圆内接四边形的性质，探究四点不共圆的性质．课堂学习检测一、基础知识填空1．_________在圆上，并且角的两边都_________的角叫做圆周角．2．在同一圆中，一条弧所对的圆周角等于_________圆心角的_________．3．在同圆或等圆中，____________所对的圆周角____________．4．_________所对的圆周角是直角．90°的圆周角______是直径．5．如图，若五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠BOC=______，∠ABE=______，∠ADC=______，∠ABC=______．5题图6．如图，若六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，则∠AED=______，∠F AE=______，∠DAB=______，∠EF A=______．6题图7．如图，ΔABC是⊙O的内接正三角形，若P是上一点，则∠BPC=______；若M是上一点，则∠BMC=______．7题图二、选择题8．在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C是上一点，则∠ACB等于( )．A．80°B．100°C．130°D．140°9．在圆中，弦AB，CD相交于E．若∠ADC=46°，∠BCD=33°，则∠DEB等于( )．A．13°B．79°C．38.5°D．101°10．如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于( )．10题图A．64°B．48°C．32°D．76°11．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于( )．A．37°B．74°C．54°D．64°12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于( )．A．69°B．42°C．48°D．38°13．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连结DC，则∠AEB等于( )．A．70°B．90°C．110°D．120°综合、运用、诊断14．已知：如图，△ABC内接于⊙O，BC=12cm，∠A=60°．求⊙O的直径．15．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠ACD=30°，AE=2cm．求DB长．16．已知：如图，△ABC内接于圆，AD⊥BC于D，弦BH⊥AC于E，交AD于F．求证：FE=EH．17．已知：如图，⊙O的直径AE=10cm，∠B=∠EAC．求AC的长．拓广、探究、思考18．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AM平分∠BAC交⊙O于点M，AD⊥BC于D．求证：∠MAO=∠MAD．19．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD于E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M．求证：∠AMD=∠FMC．测试5 点和圆的位置关系学习要求1．能根据点到圆心的距离与圆的半径大小关系，确定点与圆的位置关系．2．能过不在同一直线上的三点作圆，理解三角形的外心概念．3．初步了解反证法，学习如何用反证法进行证明．课堂学习检测一、基础知识填空1．平面内，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有d>r⇔点P在⊙O______；d=r⇔点P在⊙O______；d<r⇔点P在⊙O______．2．平面内，经过已知点A，且半径为R的圆的圆心P点在__________________________ _______________．3．平面内，经过已知两点A，B的圆的圆心P点在______________________________________ ____________________．4．______________________________________________确定一个圆．5．在⊙O上任取三点A，B，C，分别连结AB，BC，CA，则△ABC叫做⊙O的______；⊙O叫做△ABC的______；O点叫做△ABC的______，它是△ABC___________的交点．6．锐角三角形的外心在三角形的___________部，钝角三角形的外心在三角形的__________ ___部，直角三角形的外心在________________．7．若正△ABC外接圆的半径为R，则△ABC的面积为___________．8．若正△ABC的边长为a，则它的外接圆的面积为___________．9．若△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=24cm，则它的外接圆的直径为___________．10．若△ABC内接于⊙O，BC=12cm，O点到BC的距离为8cm，则⊙O的周长为___________．二、解答题11．已知：如图，△ABC．作法：求件△ABC的外接圆O．综合、运用、诊断一、选择题12．已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出( )．A．5个圆B．8个圆C．10个圆D．12个圆13．下列说法正确的是( )．A．三点确定一个圆B．三角形的外心是三角形的中心C．三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点D．等腰三角形的外心在顶角的角平分线上14．下列说法不正确的是( )．A．任何一个三角形都有外接圆B．等边三角形的外心是这个三角形的中心C．直角三角形的外心是其斜边的中点D．一个三角形的外心不可能在三角形的外部15．正三角形的外接圆的半径和高的比为( )．A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶4D ．1∶3 16．已知⊙O 的半径为1，点P 到圆心O 的距离为d ，若关于x 的方程x 2－2x ＋d =0有实根，则点P ( )．A ．在⊙O 的内部B ．在⊙O 的外部C ．在⊙O 上D ．在⊙O 上或⊙O 的内部二、解答题17．在平面直角坐标系中，作以原点O 为圆心，半径为4的⊙O ，试确定点A (－2，－3)，B (4，－2)，)2,32(-C 与⊙O 的位置关系．18．在直线123-=x y 上是否存在一点P ，使得以P 点为圆心的圆经过已知两点A (－3，2)，B (1，2)．若存在，求出P 点的坐标，并作图．测试6 自我检测(一)一、选择题1．如图，△ABC 内接于⊙O ，若AC =BC ，弦CD 平分∠ACB ，则下列结论中，正确的个数是( )．1题图①CD 是⊙O 的直径 ②CD 平分弦AB ③CD ⊥AB④＝ ⑤＝A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．如图，CD 是⊙O 的直径，AB ⊥CD 于E ，若AB =10cm ，CE ∶ED =1∶5，则⊙O 的半径是( )．2题图A ．cm 25B ．cm 34C ．cm 53D ．cm 623．如图，AB是⊙O的直径，AB=10cm，若弦CD=8cm，则点A、B到直线CD的距离之和为( )．3题图A．12cm B．8cm C．6cm D.4cm4．△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，若∠A=50°，则∠BOD等于( )．A．30°B．25°C．50°D．100°5．有四个命题，其中正确的命题是( )．①经过三点一定可以作一个圆②任意一个三角形有且只有一个外接圆③三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等④在圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦A．①、②、③、④B．①、②、③C．②、③、④D．②、③6．在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶6，则∠D等于( )．A．67.5°B．135°C．112.5° D.45°二、填空题7．如图，AC是⊙O的直径，∠1=46°，∠2=28°，则∠BCD=______．7题图8．如图，AB是⊙O的直径，若∠C=58°，则∠D=______．8题图9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD平分∠ACB，若BD=10cm，则AB=______，∠BCD=______．9题图10．若△ABC 内接于⊙O ，OC =6cm ，cm 36 AC ，则∠B 等于______．三、解答题11．已知：如图，⊙O 中，AB =AC ，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ．求证：∠ODE =∠OED ．12．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥BC 于D ，AC =8cm ，求OD 的长．13．已知：如图，点D 的坐标为(0，6)，过原点O ，D 点的圆交x 轴的正半轴于A 点．圆周角∠OCA =30°，求A 点的坐标．14．已知：如图，试用尺规作图确定这个圆的圆心．15．已知：如图，半圆O的直径AB=12cm，点C，D是这个半圆的三等分点．求∠CAD的度数及弦AC，AD和围成的图形(图中阴影部分)的面积S．测试7 直线和圆的位置关系(一)学习要求1．理解直线与圆的相交、相切、相离三种位置关系，掌握它们的判定方法．2．掌握切线的性质和切线的判定，能正确作圆的切线．课堂学习检测一、基础知识填空1．直线与圆在同一平面上做相对运动时，其位置关系有______种，它们分别是____________ __________________．2．直线和圆_________时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做____________．直线和圆_________时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做____________．这个公共点叫做_________．直线和圆____________时，叫做直线和圆相离．3．设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，_________⇔直线l和圆O相离；_________⇔直线l和圆O相切；_________⇔直线l和圆O相交．4．圆的切线的性质定理是__________________________________________．5．圆的切线的判定定理是__________________________________________．6．已知直线l及其上一点A，则与直线l相切于A点的圆的圆心P在__________________ __________________________________________________________________．二、解答题7．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5cm，AC=12cm，以C点为圆心，作半径为R的圆，求：(1)当R为何值时，⊙C和直线AB相离?(2)当R为何值时，⊙C和直线AB相切?(3)当R为何值时，⊙C和直线AB相交?8．已知：如图，P是∠AOB的角平分线OC上一点．PE⊥OA于E．以P点为圆心，PE长为半径作⊙P．求证：⊙P与OB相切．9．已知：如图，△ABC内接于⊙O，过A点作直线DE，当∠BAE=∠C时，试确定直线DE 与⊙O的位置关系，并证明你的结论．综合、运用、诊断10．已知：如图，割线ABC与⊙O相交于B，C两点，E是的中点，D是⊙O上一点，若∠EDA=∠AMD．求证：AD是⊙O的切线．11．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点．求证：直线EF 是半圆O 的切线．12．已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D 点，.21BC AD 以△ABC 的中位线为直径作半圆O ，试确定BC 与半圆O 的位置关系，并证明你的结论．13．已知：如图，△ABC 中，AC =BC ，以BC 为直径的⊙O 交AB 于E 点，直线EF ⊥AC 于F ．求证：EF 与⊙O 相切．14．已知：如图，以△ABC 的一边BC 为直径作半圆，交AB 于E ，过E 点作半圆O 的切线恰与AC 垂直，试确定边BC 与AC 的大小关系，并证明你的结论．15．已知：如图，P A切⊙O于A点，PO∥AC，BC是⊙O的直径．请问：直线PB是否与⊙O相切?说明你的理由．X|k |b| 1 . c|o |m拓广、探究、思考16．已知：如图，P A切⊙O于A点，PO交⊙O于B点．P A=15cm，PB=9cm．求⊙O的半径长．测试8 直线和圆的位置关系(二)学习要求1．掌握圆的切线的性质及判定定理．2．理解切线长的概念，掌握由圆外一点引圆的切线的性质．3．理解三角形的内切圆及内心的概念，会作三角形的内切圆．课堂学习检测一、基础知识填空1．经过圆外一点作圆的切线，______________________________叫做这点到圆的切线长．2．从圆外一点可以引圆的______条切线，它们的____________相等．这一点和____________平分____________．3．三角形的三个内角的平分线交于一点，这个点到__________________相等．4．__________________的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是____________，叫做三角形的____________．5．设等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，边长为a，则r∶R∶a=______．6．设O为△ABC的内心，若∠A=52°，则∠BOC=____________．二、解答题7．已知：如图，从两个同心圆O的大圆上一点A，作大圆的弦AB切小圆于C点，大圆的弦AD切小圆于E点．求证：(1)AB=AD；(2)DE=BC．8．已知：如图，P A，PB分别与⊙O相切于A，B两点．求证：OP垂直平分线段AB．9．已知：如图，△AB C．求作：△ABC的内切圆⊙O．10．已知：如图，P A，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点．(1)若∠P=40°，求∠COD；(2)若P A=10cm，求△PCD的周长．综合、运用、诊断11．已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．(1)若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；(2)若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．12．已知：如图，△ABC的三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．13．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC 的长．测试9 自我检测(二)一、选择题1．已知：如图，P A ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 点，C 为⊙O 上一点，∠ACB =65°，则∠APB 等于( )．1题图A ．65°B ．50°C ．45°D ．40°2．如图，AB 是⊙O 的直径，直线EC 切⊙O 于B 点，若∠DBC =α，则( )．2题图 A ．∠A =90°－αB ．∠A = αC ．∠ABD = α D ．∠α2190o -=ABD 3．如图，△ABC 中，∠A =60°，BC =6，它的周长为16．若⊙O 与BC ，AC ，AB 三边分别切于E ，F ，D 点，则DF 的长为( )．3题图A ．2B ．3C ．4D ．6 4．下面图形中，一定有内切圆的是( )．A ．矩形B ．等腰梯形C ．菱形D ．平行四边形 5．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比是( )．A ．3:2:1B ．3:2:1C ．2:3:1D ．1∶2∶3二、解答题6．已知：如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，以AB 为直径的⊙O 切DC边于E 点，AD =3cm ，BC =5cm ．求⊙O 的面积．7．已知：如图，AB是⊙O的直径，F，C是⊙O上两点，且=，过C点作DE⊥AF的延长线于E点，交AB的延长线于D点．(1)试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)试判断∠BCD与∠BAC的大小关系，并证明你的结论．8．已知：如图，P A，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=35°，求∠P的度数．9．已知：如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．(1)求证：AB=AC；(2)求证：DE为⊙O的切线；(3)若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．10．已知：如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，AB 为直径，∠ABC =30°，CD 是⊙O 的切线，ED ⊥AB 于F ．(1)判断△DCE 的形状并说明理由；(2)设⊙O 的半径为1，且213-=OF ，求证△DCE ≌△OCB ．11．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，PQ 切⊙O 于T ，AC ⊥PQ 于C ，交⊙O 于D ．(1)求证：AT 平分∠BAC ；(2)若,3,2==TC AD 求⊙O 的半径．测试10 圆和圆的位置关系学习要求1．理解两个圆相离、相切(外切和内切)、相交、内含的概念，能利用两圆的圆心距d 与两个圆的半径r 1和r 2之间的关系，讨论两圆的位置关系．2．对两圆相交或相切时的性质有所了解．课堂学习检测一、基础知识填空1．没有______的两个圆叫做这两个圆相离．当两个圆相离时，如果其中一个圆在另一个圆的______，叫做这两个圆外离；如果其中有一个圆在另一个圆的______，叫做这两个圆内含．2．____________的两个圆叫做这两个圆相切．这个公共点叫做______．当两个圆相切时，如果其中的一个圆(除切点外)在另一个圆的______，叫做这两个圆外切；如果其中有一个圆(除切点外)在另一个圆的______，叫做这两个圆内切．3．______的两个圆叫做这两个圆相交，这两个公共点叫做这两个圆的______以这两个公共点为端点的线段叫做两圆的______．4．设d 是⊙O 1与⊙O 2的圆心距，r 1，r 2(r 1>r 2)分别是⊙O 1和⊙O 2的半径，则⊙O 1与⊙O 2外离⇔d ________________________；⊙O 1与⊙O 2外切⇔d ________________________；⊙O 1与⊙O 2相交⇔d ________________________；⊙O 1与⊙O 2内切⇔d ________________________；⊙O 1与⊙O 2内含⇔d ________________________；⊙O 1与⊙O 2为同心圆⇔d ____________________．二、选择题5．若两个圆相切于A 点，它们的半径分别为10cm 、4cm ，则这两个圆的圆心距为( )．A ．14cmB ．6cmC ．14cm 或6cmD ．8cm6．若相交两圆的半径分别是17+和17-，则这两个圆的圆心距可取的整数值的个数是( )．A.1B.2 C ．3D ．4综合、运用、诊断 一、填空题7．如图，在12×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位)，⊙A 的半径为1，⊙B的半径为2，要使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示位置需向右平移______个单位．7题图8．相交两圆的半径分别是为6cm 和8cm ，请你写出一个符合条件的圆心距为______cm ．二．解答题 9．已知：如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点．求证：直线O 1O 2垂直平分AB ．9题图10．已知：如图，⊙O 1与⊙O 2外切于A 点，直线l 与⊙O 1、⊙O 2分别切于B ，C 点，若⊙O 1的半径r 1=2cm ，⊙O 2的半径r 2=3cm ．求BC 的长．11．已知：如图，两圆相交于A ，B 两点，过A 点的割线分别交两圆于D ，F 点，过B 点的割线分别交两圆于H ，E 点．求证：HD ∥EF ．12．已知：相交两圆的公共弦的长为6cm ，两圆的半径分别为cm 23，cm 5，求这两个圆的圆心距．拓广、探究、思考13．如图，工地放置的三根外径是1m 的水泥管两两外切，求其最高点到地平面的距离．14．已知：如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，圆心O 1在⊙O 2上，过B 点作两圆的割线CD ，射线DO 1交AC 于E 点．求证：DE ⊥AC ．15．已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过A点的割线分别交两圆于C，D，弦CE∥DB，连结EB，试判断EB与⊙O2的位置关系，并证明你的结论．16．如图，点A，B在直线MN上，AB=11cm，⊙A，⊙B的半径均为1cm．⊙A以每秒2cm 的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(s)之间的关系式为r=1＋t(t≥0)．(1)试写出点A，B之间的距离d(cm)与时间t(s)之间的函数表达式；(2)问点A出发多少秒时两圆相切?测试11 正多边形和圆学习要求1．能通过把一个圆n(n≥3)等分，得到圆的内接正n边形及外切正n边形．2．理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距的概念，并能进行简单的计算．课堂学习检测一、基础知识填空1．各条边______，并且各个______也都相等的多边形叫做正多边形．2．把一个圆分成n(n≥3)等份，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的______．3．一个正多边形的______________叫做这个正多边形的中心；______________叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的______叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距．4．正n边形的每一个内角等于__________，它的中心角等于__________，它的每一个外角等于______________．5．设正n边形的半径为R，边长为a n，边心距为r n，则它们之间的数量关系是______．这个正n边形的面积S n=________．6．正八边形的一个内角等于_______，它的中心角等于_______．7．正六边形的边长a，半径R，边心距r的比a∶R∶r=_______．8．同一圆的内接正方形和正六边形的周长比为_______．二、解答题9．在下图中，试分别按要求画出圆O的内接正多边形．(1)正三角形 (2)正方形 (3)正五边形(4)正六边形 (5)正八边形 (6)正十二边形综合、运用、诊断一、选择题10．等边三角形的外接圆面积是内切圆面积的( )．A ．3倍B ．5倍 C.4倍 D ．2倍11．已知正方形的周长为x ，它的外接圆半径为y ，则y 与x 的函数关系式是( )．A ．x y 42=B ．x y 82=C ．x y 21=D ．x y 22= 12．有一个长为12cm 的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个圆形，则这个圆形纸片的半径最小是( )．A ．10cmB ．12cmC ．14cmD ．16cm二、解答题13．已知：如图，正八边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8内接于半径为R 的⊙O ．(1)求A 1A 3的长；(2)求四边形A 1A 2A 3O 的面积；(3)求此正八边形的面积S ．14．已知：如图，⊙O 的半径为R ，正方形ABCD ，A ′B ′C ′D 分别是⊙O 的内接正方形和外切正方形．求二者的边长比AB ∶A ′B ′和面积比S 内∶S 外．拓广、探究、思考15．已知：如图，⊙O的半径为R，求⊙O的内接正六边形、⊙O的外切正六边形的边长比AB∶A′B′和面积比S内∶S外．测试12 弧长和扇形面积学习要求掌握弧长和扇形面积的计算公式，能计算由简单平面图形组合的图形的面积．课堂学习检测一、基础知识填空1．在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l=_______．2．____________和______所围成的图形叫做扇形．在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积S扇形=__________；若l为扇形的弧长，则S扇形=__________．3．如图，在半径为R的⊙O中，弦AB与所围成的图形叫做弓形．当为劣弧时，S弓形=S扇形－______；当为优弧时，S弓形=______＋S△OAB．3题图4．半径为8cm的圆中，72°的圆心角所对的弧长为______；弧长为8cm的圆心角约为______(精确到1′)．5．半径为5cm 的圆中，若扇形面积为2cm 3π25，则它的圆心角为______．若扇形面积为15πcm 2，则它的圆心角为______．6．若半径为6cm 的圆中，扇形面积为9πcm 2，则它的弧长为______． 二、选择题7．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6，两等圆⊙A ，⊙B 外切，那么图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为( )．7题图A ．π425 B ．π825 C ．π1625 D ．π32258．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB ，AC 夹角为120°，AB 的长为30cm ，贴纸部分BD 的长为20cm ，则贴纸部分的面积为( )．8题图A ．2πcm 100B ．2πcm 3400 C ．2πcm 800 D ．2πcm 3800 9．如图，△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上一点，且∠EPF =40°，则圆中阴影部分的面积是( )．A ．9π4-B ．9π84-C ．94π8-D ．98π8-综合、运用、诊断10．已知：如图，在边长为a 的正△ABC 中，分别以A ，B ，C 点为圆心，a 21长为半径作 ，，，求阴影部分的面积．11．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，,34=BC 以A 点为圆心，AC 长为半径作，求∠B 与围成的阴影部分的面积．拓广、探究、思考 12．已知：如图，以线段AB 为直径作半圆O 1，以线段AO 1为直径作半圆O 2，半径O 1C 交半圆O 2于D 点．试比较与的长．13．已知：如图，扇形OAB 和扇形OA ′B ′的圆心角相同，设AA ′＝BB ′＝d ．＝l 1，＝l 2． 求证：图中阴影部分的面积.)(2121d l l S +=测试13 圆锥的侧面积和全面积学习要求掌握圆锥的侧面积和全面积的计算公式．课堂学习检测一、基础知识填空1．以直角三角形的一条______所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做______．连结圆锥______和____________的线段叫做圆锥的母线，圆锥的顶点和底面圆心的距离是圆锥的______．2．沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到圆锥的侧面展开图是一个______．若设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为______，扇形的弧长为______，因此圆锥的侧面积为______，圆锥的全面积为______．3．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC＝3cm，以直线BC为轴旋转一周所得圆锥的底面圆的周长是______，这个圆锥的侧面积是______，圆锥的侧面展开图的圆心角是______．4．若把一个半径为12cm，圆心角为120°的扇形做成圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的周长是______，半径是______，圆锥的高是______，侧面积是______．二、选择题5．若圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则它的侧面积为( )．A．2πcm2B．3πcm2C．6πcm2D．12πcm26．若圆锥的底面积为16πcm2，母线长为12cm，则它的侧面展开图的圆心角为( )．A．240°B．120°C．180°D．90°7．底面直径为6cm的圆锥的侧面展开图的圆心角为216°，则这个圆锥的高为( )．A．5cm B．3cm C．8cm D．4cm8．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角为( )．A．120°B．1 80°C．240°D. 300°综合、运用、诊断一、选择题9．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则R与r之间的关系是( )．A ．R =2rB ．r R 3C ．R =3rD ．R =4r10．如图，扇形OAB 是一个圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的底面半径为( )．A ．21B ．22C ．2D ．22二、解答题11．如图，矩形ABCD 中，AB =18cm ，AD =12cm ，以AB 上一点O 为圆心，OB 长为半径画恰与DC 边相切，交AD 于F 点，连结OF ．若将这个扇形OBF 围成一个圆锥，求这个圆锥的底面积S ．拓广、探究、思考12．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm 的正三角形ABC ，P 是母线AC 的中点．求在圆锥的侧面上从B 点到P 点的最短路线的长．答案与提示第二十四章 圆测试11．平面，旋转一周，图形，圆心，半径，⊙O ，圆O ．2．圆，一中同长也．3．(1)半径长，同一个圆上，定点，定长，点．(2)圆心的位置，半径的长短，圆心，半径长．4．圆上的任意两点，线段，圆心，弦，最长．5．任意两点间，弧，圆弧AB ，弧AB ．6．任意一条直径，一条弧．7．大于半圆的弧，小于半圆的弧．8．等圆．9．(1)OA ，OB ，OC ；AB ，AC ，BC ，AC ；；及(2)40°，50°，90°．10．(1)提示：在△OAB 中，∵OA ＝OB ，∴∠A ＝∠B ．同理可证∠OCD ＝∠ODC ．又 ∵ ∠AOC ＝∠OCD －∠A ，∠BOD ＝∠ODC －∠B ，∴ ∠AOC ＝∠BOD ．(2)提示：AC ＝BD ．可作OE ⊥CD 于E ，进行证明．11．提示：连结OD ．不难得出∠C ＝36°，∠AOC ＝54°．12．提示：可分别作线段AB 、BC 的垂直平分线．测试21．轴，经过圆心的任何一条直线，中心，该圆的圆心．2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．3．弦，不是直径，垂直于，弦所对的两条弧．4．6． 5．8； 6．.120,36o 7．a 22，a 21 8．2． 9．.13 10．.13 11．.2412．提示：先将二等分(设分点为C )，再分别二等分和．13．提示：题目中的“问径几何”是求圆材的直径．答：材径二尺六寸．14．75°或15°．15．22cm 或8cm ．16．(1)作法：①作弦B B '⊥CD ．②连结B A '，交CD 于P 点，连结PB ．则P 点为所求，即使AP ＋PB 最短．(2)cm.3217．可以顺利通过．测试31．顶点在圆心，角．2．⋅⨯nm 360 3．它们所对应的其余各组量也分别相等 4．相等，这两条弦也相等． 5．提示：先证＝．6．EF ＝GH ．提示：分别作PM ⊥EF 于M ，PN ⊥GH 于N ．7．55°． 8．C ．9．＝3 ．提示：设∠COD ＝α，则∠OPD ＝2α，∠AOD ＝3α＝3∠BOC ．10．(1)作OH ⊥CD 于H ，利用梯形中位线．(2)四边形CDEF 的面积是定值，96221)(21⨯=⋅⋅⋅=⋅+=CD CH CD DE CF S ＝54． 测试41．顶点，与圆相交． 2．该弧所对的，一半． 3．同弧或等弧，相等．4．半圆(或直径)，所对的弦． 5．72°，36°，72°，108°．6．90°，30°，60°，120°． 7．60°，120°．8．C ． 9．B ． 10．A ． 11．B ． 12．A ． 13．C ．14．提示：作⊙O 的直径A B '，连结C A '．不难得出A B '＝cm.3815．cm.3416．提示：连结AH ，可证得∠H ＝∠C ＝∠AFH ．17．提示：连结CE ．不难得出cm .25=AC18．提示：延长AO 交⊙O 于N ，连结BN ，证∠BAN ＝∠DAC ．19．提示：连结MB ，证∠DMB ＝∠CMB ．测试51．外，上，内． 2．以A 点为圆心，半径为R 的圆A 上．3．连结A ，B 两点的线段垂直平分线上． 4．不在同一直线上的三个点．5．内接三角形，外接圆，外心，三边的垂直平分线．6．内，外，它的斜边中点处． 7．.4332R 8．.3π2a 9．26cm ． 10．20πcm ． 11．略． 12．C ． 13．D ． 14．D ． 15．B ． 16．D ．17．A 点在⊙O 内，B 点在⊙O 外，C 点在⊙O 上． 18．)25,1(--，作图略．测试61．D ． 2．C ． 3．C ． 4．C ． 5．D ． 6．C ． 7．72°．8．32°． 9．,cm 21045° 10．60°或120°． 11．提示：先证OD ＝OE ． 12．4cm ． 13．)0,32(A ，提示：连结AD ． 14．略．15．∠CAD ＝30°，.πcm 6)(π6122==AO S 提示：连结OC 、CD ． 测试71．三，相离、相切、相交．2．有两个公共点，圆的割线；有一个公共点，圆的切线，切点；没有公共点．3．d >r ；d ＝r ；d <r .4．圆的切线垂直于过切点的半径．5．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．。
人教版(2024)数学九年级上册第二十四章 圆 本章复习与测试(含答案)
第二十四章圆一、选择题1. 已知⊙O的半径为3 cm，OP=4 cm，则点P与⊙O的位置关系是( )A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．无法确定2. 已知圆锥的底面半径为3 cm，母线长为4 cm，则圆锥的全面积是( )A．15π cm2B．21π cm2C．20π cm2D．24π cm23. 下列说法：①平分弦的直径垂直于弦；②三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直于半径的直线是圆的切线；⑤三角形的内心到三条边的距离相等．其中不正确的有( )个．A．1B．2C．3D．44. 如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35∘，则∠CAB的度数为( )A．35∘B．45∘C．55∘D．65∘5. 如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，连接AD，若∠C=22∘，则∠CDA的大小为( )A．112∘B．124∘C．129∘D．136∘6. 如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32∘，则∠OBA的度数是( )A．64∘B．58∘C．32∘D．26∘7. 在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图，水面宽AB为6分米，如果再注入一些水后，水面上升1分米，此时水面宽变为8分米，则该水槽面半径为( )A．3分米B．4分米C．5分米D．10分米8. 设P为⊙O外一点，若点P到⊙O的最短距离为3，最长距离为7，则⊙O的半径为( )A．3B．2C．4或10D．2或59. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若的值为( )QP=QO，则QCQAA．23−1B．23C．3+2D．3+210. 如图，在Rt△AOB中，OA=OB=4，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则线段PQ长度的最小值为( )A．5B．7C．23D．32二、填空题11. 如图，AB是⊙O的直径，C，D，E都是⊙O上的点，则∠1+∠2=．12. 如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n∘，则∠DCE=．13. 如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，若AB=6，CE:ED=1:9，则⊙O的半径是．14. 如图，菱形OABC的边长为2，且点A，B，C在⊙O上，则劣弧BC的长度为．15. 如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，CE∥AB交⊙O于点D，E，CD=2，AB=8．则AD=．16. 如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=2，以B为圆心，BC为半径画弧，交AD于点E，则图中阴影部分的面积是．17. 如图所示，边长为2的正方形ABCD的顶点A，B在一个半径为2的圆上，顶点C，D在该圆内，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为．18. 在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8 cm，AC=CD=BD，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是cm．三、解答题19. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4)，B(1,1)，C(4,3)．(1) 请画出△ABC绕点O逆时针旋转90∘后的△A1B1C1；并写出A1，B1，C1三点的坐标．(2) 求出（1）中C点旋转到C1点所经过的路径长（结果保留π）．20. 已知AB是半圆O的直径，OD⊥弦AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F，若AC=2，求OF的长．21. 如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．(1) 求证：AD平分∠BAC．(2) 若∠BAC=60∘，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．22. 如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC．(1) 求证：AE=ED；(2) 若AB=10，∠CBD=36∘，求AC的长．23. 如图，半圆O的直径DE=12 cm，△ABC中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，BC=12 cm，半圆O以2 cm/s的速度从左向右运动，在运动的过程中，点D，E始终在直线BC上，设运动时间为t(s)，当t=0 s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=8 cm．(1) 当t=8(s)时，试判断点A与半圆O的位置关系；(2) 当t为何值时，直线AB与半圆O所在的圆相切．24. 如图，点A是半径为12cm的⊙O上的一点，动点P从点A出发，以2πcm/s的速度沿圆周逆时针运动，当点P回到A点立即停止运动．(1) 在点P运动过程中，当∠POA=90∘时，求点P的运动时间．(2) 如图，点B是OA延长线上一点，AB=OA，当点P运动的时间为2s时，试判断直线BP与⊙O的位置关系，并说明理由．25. 已知四边形ABCD内接于⊙O，BC=CD，连接AC，BD．(1) 如图①，若∠CBD=36∘，求∠BAD的大小．(2) 如图②，若点E在对角线AC上，且EC=BC，∠EBD=24∘，求∠ABE的大小．答案一、选择题1. C2. B3. D4. C5. B6. D7. C8. B9. D10. B二、填空题11. 90∘12. n13. 514. 23π15. 416. 22−1−π217. 2π318. 8三、解答题19.(1) 如图，△A1B1C1为所作，A1，B1，C1三点的坐标分别为(−4,2)，(−1,1)，(−3,4)；(2) OC=32+42=5，所以C点旋转到C1点所经过的路径长=90×π×5180=52π．20. ∵OD⊥AC，AC=2，∴AD=CD=1，∵OD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADO=∠OFE=90∘，∵OE∥AC，∴∠DOE=∠ADO=90∘，∴∠DAO+∠DOA=90∘，∠DOA+∠EOF=90∘，∴∠DAO=∠EOF，在△ADO和△OFE中，{∠DAO=∠EFO,∠DAO=∠FOE,OA=OE,∴△ADO≌△OFE(AAS)，∴OF=AD=1．21.(1) ∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD=∠ADO，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠CAB．(2) 设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠BAC=60∘，OA=OE，∴△AEO是等边三角形，∴AE=OA，∠AOE=60∘，∴AE=AO=OD，又由（1）知，AC∥OD，即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60∘，∴S△AEM=S△DMO，∴S阴影=S扇形EOD=60π×22360=2π3．22.(1) ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90∘，∵OC∥BD，∴∠AEO=∠ADB=90∘，即OC⊥AD，∴AE=ED．(2) ∵OC⊥AD，∴AC=CD，∴∠ABC=∠CBD=36∘，∴∠AOC=2∠ABC=2×36∘=72∘，∴AC=72π×5180=2π．23.(1) ∵△ABC中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，BC=12 cm，∴AC=tan30∘BC=43，当t=8时，如图，此时OC=8，在Rt△ACO中，AC=43，∴AO=AC2+OC2=47，∵半圆O的直径DE=12 cm，47>6，∴点A在半圆外；(2) ①如图1，过C点作CF⊥AB，交AB于F点；∵∠ABC=30∘，BC=12 cm，∴FO=6 cm；当半圆O与△ABC的边AB相切时，又∵圆心O到AB的距离等于6 cm，且圆心O又在直线BC上，∴O与C重合，即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切；此时点O运动了8 cm，所求运动时间为t=82=4(s)，②当点O运动到B点的右侧，且OB=12 cm时，如图2，过点O作OQ⊥直线AB，垂足为Q．在Rt△QOB中，∠OBQ=30，则OQ=6 cm，即OQ与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了32 cm．所求运动时间为：t=32÷2=16 s，综上可知当t=4 s或16 s时，AB与半圆O所在的圆相切．24.(1) 当∠POA=90∘时，根据弧长公式可知点P运动的路程为⊙O周长的14或34，设点P运动的时间为t s，当点P运动的路程为⊙O周长的14时，2π⋅t=14⋅2π⋅12，解得t=3，当点P运动的路程为⊙O周长的34时，2π⋅t=34⋅2π⋅12，解得t=9，∴当∠POA=90∘时，点P运动的时间为3s或9s．(2) 如图，当点P运动的时间为2s时，直线BP与⊙O相切．理由如下：当点P运动的时间为2s时，点P运动的路程为4πcm，连接OP，PA，∵半径AO=12cm，∴⊙O的周长为24πcm，∴AP的长为⊙O周长的16，∴∠POA=60∘，∵OP=OA，∴△OAP是等边三角形，∴OP=OA=AP，∠OAP=60∘，∵AB=OA，∴AP=AB，∵∠OAP=∠APB+∠B，∴∠APB=∠B=30∘，∴∠OPB=∠OPA+∠APB=90∘，∴OP⊥BP，∴直线BP与⊙O相切．25.(1) ∵BC=CD，∴∠BDC=∠CBD=36∘，∴∠BAC=∠BDC=36∘，∵BC=CD，∴BC=CD，∴∠CAD=∠CBD=36∘，∠BAD=∠BAC+∠CAD=36∘+36∘=72∘．(2) ∠CEB=∠EAB+∠ABE（外角的应用），∵CE=CB，∴∠CEB=∠CBE=∠CBD+∠EBD，∴∠EAB+∠ABE=∠CBD+∠EBD，∵BC=CD，∴BC=CD，∴∠EAB=∠CBD，∴∠ABE=∠EBD=24∘．。
九年级数学上册第二十四章圆高频考点知识梳理(带答案)
九年级数学上册第二十四章圆高频考点知识梳理单选题1、如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=40°，则∠AOB的度数是（）A．40°B．75°C．80°D．85°答案：C分析：直接利用圆周角定理求解．⌢，解：∵∠AOB和∠ACB都对AB∴∠AOB=2∠ACB=2×40°=80°．故选：C．小提示：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．2、已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A．2√5cm B．4√3cm C．2√5cm或4√5cm D．2√3cm或4√3cm答案：C分析：先画好一个圆，标上直径CD，已知AB的长为8cm，可知分为两种情况，第一种情况AB与OD相交，第二种情况AB与OC相交，利用勾股定理即可求出两种情况下的AC的长；连接AC，AO，∵圆O 的直径CD =10cm ，AB ⊥CD ，AB =8cm ，∴AM =12AB =12×8=4cm ，OD =OC =5cm ， 当C 点位置如图1所示时，∵OA =5cm ，AM =4cm ，CD ⊥AB ，∴OM =√OA 2−AM 2=√52−42=3cm ，∴CM =OC +OM =5+3=8cm ，∴AC =√AM 2+CM 2=√42+82=4√5cm ；当C 点位置如图2所示时，同理可得OM =3cm ，∵OC =5cm ，∴MC =5−3=2cm ，在Rt △AMC 中，AC =√AM 2+CM 2=√42+22=2√5cm ．故选C ．小提示：本题考查垂径定理和勾股定理，根据题意正确画出图形进行分类讨论，熟练运用垂径定理是解决本题的关键．3、如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC ＝BC ，AB ＝4cm ，CD 是中线，点E 、F 同时从点D 出发，以相同的速度分别沿DC 、DB 方向移动，当点E 到达点C 时，运动停止，直线AE 分别与CF 、BC 相交于G 、H ，则在点E 、F 移动过程中，点G 移动路线的长度为（ ）A．2B．πC．√32πD．√22π答案：D分析：由△ADE≌△CDF，推出∠DAE=∠DCF，因为∠AED=∠CEG，推出∠ADE=∠CGE=90°，推出A、C、G、D四点共圆，推出点G的运动轨迹为弧CD，利用弧长公式计算即可．解：如图，∵CA=CB，∠ACB=90°，AD=DB，∴CD⊥AB，∴∠ADE=∠CDF=90°，CD=AD=DB，在△ADE和△CDF中，{AD=CD∠ADE=∠CDFDE=DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴∠DAE=∠DCF，∵∠AED=∠CEG，∴∠ADE=∠CGE=90°，∴A、C、G、D四点共圆，∴点G的运动轨迹为弧CD，∵AB=4，AB=√2AC，∴AC=2√2，∴OA=OC=√2，∵DA=DC，OA=OC，∴DO⊥AC，∴∠DOC=90°，∴点G的运动轨迹的长为90π×√2180=√2π2故选：D．小提示：本题考查等腰直角三角形的性质、轨迹、勾股定理、全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是正确探究点G的轨迹，属于中考常考题型．4、阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对(θ,m)称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为4，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（）A．(60°,8)B．(45°,8)C．(60°,4√2)D．(45°,2√2)答案：A分析：设正六边形的中心为D，连接AD，判断出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OD=OA，∠AOD=60°，再求出OC，然后根据“极坐标”的定义写出即可．解：如图，设正六边形的中心为D，连接AD，∵∠ADO=360°÷6=60°，OD=AD，∴△AOD是等边三角形，∴OD=OA=4，∠AOD=60°，∴OC=2OD=2×4=8，∴正六边形的顶点C的极坐标应记为(60°,8)．故选A．小提示：本题考查了正多边形和圆，坐标确定位置，主要利用了正六边形的性质，读懂题目信息，理解“极坐标”的定义是解题的关键．5、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（）A．12πB．15πC．20πD．24π答案：C分析：先利用勾股定理计算出AB，再利用扇形的面积公式即可计算出圆锥的侧面积．解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√32+42=5，×2π×4×5以直线AC为轴，把△ABC旋转一周得到的圆锥的侧面积=12=20π．故选：C．小提示：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．6、如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD=40°，则∠B=（）A．70°B．60°C．50°D．40°答案：C分析：由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数．解：∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD＝90°，∴∠ACD+∠D＝90°，∵∠ACD＝40°，∴∠ADC＝∠B＝50°．故选：C．小提示：本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想是解题的关键．7、下列说法正确的是（）A．等弧所对的圆周角相等B．平分弦的直径垂直于弦C．相等的圆心角所对的弧相等D．过弦的中点的直线必过圆心答案：A分析：根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即可．解：A. 同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确；B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误；C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C选项错误；D.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以D选项错误.故选A.小提示：本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知识点．灵活运用相关知识成为解答本题的关键．8、如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A．6B．8C．10D．12答案：D分析：连接AC,OD,OF，先根据圆内接正多边形的性质可得点O在AC上，且AC是∠BAD和∠EAF的角平分线，从而可得∠CAD=12∠BAD=45°,∠CAF=12∠EAF=30°，再根据角的和差可得∠DAF=15°，然后根据圆周角定理可得∠DOF=2∠DAF=30°，最后根据正多边形的性质即可得．解：如图，连接AC,OD,OF，∵四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，∴点O在AC上，且AC是∠BAD和∠EAF的角平分线，∠BAD=90°,∠EAF=60°，∴∠CAD=12∠BAD=45°,∠CAF=12∠EAF=30°，∴∠DAF=∠CAD−∠CAF=15°，∴∠DOF=2∠DAF=30°，∵DF恰好是圆O的一个内接正n边形的一边，∴n=360°∠DOF =360°30°=12，故选：D．小提示：本题考查了圆内接正多边形、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题关键．9、如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC=4√2，DE=4，则BC的长是（）A．1B．√2C．2D．4答案：C分析：根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．∵AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点，AC=4√2∴AD=DC=12AC=2√2∴OD是△ABC的中位线∴BC=2OD∵OA2=OD2+AD2∴(4−x)2=x2+(2√2)2，解得x=1∴BC=2OD=2x=2故选：C小提示：本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD 的长是解题的关键．10、如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．AE ＝BEB ．OE ＝DEC ．AC⌢=BC ⌢D ．AD ⌢=BD ⌢ 答案：B分析：根据垂径定理即可判断．解：∵CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，∴AE =EB ，AC⌢=BC ⌢， AD ⌢=BD ⌢． 故选：B ．小提示：本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．填空题11、如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB =90∘，点P 是弧AB 上任意一点（不与点A ，B 重合）OC ⊥AP ，OD ⊥BP ，垂足分别为C ，D ，则CD 的长为________．答案：√22分析：连接AB ，如图，先计算出AB =√2，再根据垂径定理得到AC =PC ，BD =PD ，则可判断CD 为△PAB 的中位线，然后根据三角形中位线定理求解．解：连接AB ，如图，∵OA =OB =1，∠AOB =90°，∴AB =√2OA =√2，∵OC ⊥AP ，OD ⊥BP ，∴AC =PC ，BD =PD ，∴CD 为△PAB 的中位线，∴CD =12AB =√22． 所以答案是：√22．小提示：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了三角形的中位线定理．12、如图，边长为4的正方形ABCD 的对角线交于点O ，以OC 为半径的扇形的圆心角∠FOH =90°．则图中阴影部分面积是_____．答案：2π−4分析：证明△OCG ≌△OBE ，经过观察易得出结论：阴影部分面积=扇形面积-正方形面积的14．∵四边形ABCD 为正方形，∴OB=OC，∠BOC=90°，∠OBE=∠OCG=45°，∵扇形的圆心角∠FOH=90°，∴∠BOC-∠COE=∠FOH-∠COE，即∠BOE=∠COG，在△OCG和△OBE中，∠OBE=∠OCG，∠BOE=∠COG，OB=OC∴△OCG≌△OBE，∵正方形边长为4，∴AC=√42+42=4√2，∴OC=2√2∵S扇形=π(2√2)2×90360=2π，S阴影=S扇形−(SΔOEC+SΔOCG)=S扇形−(SΔOEC+SΔOOE)=S扇形−14S正方形ABCD=2π−4所以答案是：2π−4小提示：本题主要考查了正方形的性质，三角形的全等以及扇形面积的计算；掌握正方形的性质，熟练地进行三角形全等的判定，将不规则图形的面积转化为常见图形的面积是解题的关键．13、如图，AB、AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD=35°，则∠C=___________°．答案：35分析：连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，首先根据圆周角定理可得∠E+∠BAE=90°，再根据AD为⊙O的切线，可得∠BAE+∠BAD=90°，可得∠E=∠BAD=35°，再根据圆周角定理即可求得．解：如图，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE．∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE=90°，∴∠E+∠BAE=90°，∵AD为⊙O的切线，∴∠DAE=90°，∴∠BAE+∠BAD=90°，∴∠E=∠BAD=35°，∴∠C=∠E=35°．所以答案是：35．小提示：本题考查了圆周角定理，切线的性质，作出辅助线是解决本题的关键．14、如图，正方形ABCD，边长为4，点P和点Q在正方形的边上运动，且PQ＝4，若点P从点B出发沿B→C→D→A的路线向点A运动，到点A停止运动；点Q从点A出发，沿A→B→C→D的路线向点D运动，到达点D停止运动．它们同时出发，且运动速度相同，则在运动过程中PQ的中点O所经过的路径长为_____．答案：3π解：画出点O运动的轨迹，如图虚线部分，则点P从B到A的运动过程中，PQ的中点O所经过的路线长等于2π×2×3=3π，4所以答案是：3π．15、如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是AD⌢所对的圆周角，则∠APD的度数是______．答案：30°##30度∠AOD=30°．分析：根据垂径定理得出∠AOB=∠BOD，进而求出∠AOD=60°，再根据圆周角定理可得∠APD=12∵OC⊥AB，OD为直径，∴BD⌢=AD⌢，∴∠AOB=∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°，∠AOD=30°，∴∠APD=12所以答案是：30°．小提示：本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．解答题16、问题提出（1）如图①，⊙O的半径为8，弦AB=8√3，则点O到AB的距离是__________．问题探究（2）如图②，⊙O的半径为5，点A、B、C都在⊙O上，AB=8，求△ABC面积的最大值．问题解决（3）如图③，是一圆形景观区示意图，⊙O的直径为80m，等腰直角三角形ABP的边AB是⊙O的弦，直角顶点P在⊙O内，延长AP交⊙O于点C，延长BP交⊙O于点D，连接CD、AD、BC．现准备在△ABP和△CDP 区域内种植草坪，在△ADP和△BCP区域内种植花卉．记△ABP和△CDP的面积和为S1，△ADP和△BCP的面积和为S2．①求种植草坪的区域面积S1．②求种植花卉的区域面积S2的最大值．答案：（1）8；（2）32；（3）①S1=1600m2，②1600m2．分析：（1）作OC⊥AB交AB于点C，连接OA，利用垂径定理和勾股定理即可求出OC；（2）作CD⊥AB交AB于点D，连接OA，可知当CD经过圆心O的时候△ABC面积最大，由垂径定理和勾股定理可求出CD=OC+OD=8，进一步可求出△ABC的面积；（3）①连接OD，OA，求出AD，进一步可求出S1=12(AP2+CP2)=12AD2；②表示出S2=AP⋅DP，利用完全平方公式求出S2=xy≤x2+y22，当AP=DP时，S2有最大值为1600m2．解：作OC⊥AB交AB于点C，连接OA，∵AB=8√3，由垂径定理可知：AC=BC=4√3，∵OA=8，∴OC=√OA2−AC2=4；（2）作CD⊥AB交AB于点D，连接OA，∵AB=8，若使△ABC面积最大，则CD应最大，∴当CD经过圆心O的时候取值最大，由垂径定理可知：AD=BD=4，∵OA=5=OC，∴OD=3，∴CD=OC+OD=8，∴S△ABC=1×8×8=32，2（3）①连接OD，OA，则OD=OA=40m，∵△ABP是等腰直角三角形，∴∠ABP=45°，∴∠AOD=90°，即△AOD是等腰直角三角形，∴AD=√OA2+OD2=40√2m，∵∠DCP=∠ABP=45°，∠APB=∠CPD=90°，∴△CDP是等腰直角三角形，∵S△ABP=12AP2，S△CDP=12DP2，∴S1=12(AP2+DP2)=12AD2=1600m2，②由①可知：S2=12⋅AP⋅DP+12⋅BP⋅CP=AP⋅DP，设AP=x，DP=y，故S2=xy，∵(x−y)2=x2+y2−2xy≥0，∴xy≤x2+y22，当x=y时，等号成立，∴S2=xy≤x2+y22，当AP=DP时，S2有最大值为1600m2．小提示：本题考查垂径定理，勾股定理，完全平方公式的应用，等腰直角三角形的判定及性质，（3）小问较难，解题的关键是表示出S1=12(AP2+CP2)=12AD2，求出AD，利用完全平方公式求出S2=xy≤x2+y22．17、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．(1)请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．答案：(1)见解析(2)2√3分析：（1）连接OA,过点A作AD⊥AO即可；（2）连接OB，OC．先证明∠ACB＝75°，再利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得结论．（1）解：如图，切线AD即为所求；（2）如图：连接OB，OC．∵AD是切线，∴OA⊥AD，∴∠OAD＝90°，∵∠DAB＝75°，∴∠OAB＝15°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝15°，∴∠BOA＝150°，∠AOB＝75°，∴∠BCA＝12∵∠ABC＝45°，∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC＝2，∴∠BCO＝∠CBO＝30°，∵OH⊥BC，∴CH＝BH＝OC•cos30°＝√3，∴BC＝2√3．小提示：本题主要考查了作圆的、三角形的外接圆、切线的判定和性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．18、如图，已知ΔABC是锐角三角形(AC<AB)．（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图；作直线l ，使l 上的各点到B 、C 两点的距离相等；设直线l 与AB 、BC 分别交于点M 、N ，作一个圆，使得圆心O 在线段MN 上，且与边AB 、BC 相切；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若BM =53，BC =2，则⊙O 的半径为________． 答案：（1）见解析；（2）r =12分析：（1）由题意知直线l 为线段BC 的垂直平分线，若圆心O 在线段MN 上，且与边AB 、BC 相切，则再作出∠ABC 的角平分线，与MN 的交点即为圆心O ；（2）过点O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，根据S △BMN =S △BNO +S △BMO 即可求解．解：（1）①先作BC 的垂直平分线：分别以B ，C 为圆心，大于12BC 的长为半径画弧，连接两个交点即为直线l ，分别交AB 、BC 于M 、N ；②再作∠ABC 的角平分线：以点B 为圆心，任意长为半径作圆弧，与∠ABC 的两条边分别有一个交点，再以这两个交点为圆心，相同长度为半径作弧，连接这两条弧的交点与点B ，即为∠ABC 的角平分线，这条角平分线与线段MN 的交点即为O ；③以O 为圆心，ON 为半径画圆，圆O 即为所求；（2）过点O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，设ON =OE =r∵BM =53，BC =2，∴BN =1，∴MN =43 根据面积法，∴S △BMN =S △BNO +S △BMO∴12×1×43=12×1⋅r +12×53⋅r ，解得r =12，所以答案是：r =12．小提示：本题考查了尺规作图，切线的性质等内容，解题的关键是掌握线段垂直平分线、角平分线的尺规作图．。
九年级数学上册第二十四章圆专项训练题(带答案)
九年级数学上册第二十四章圆专项训练题单选题1、如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD=40°，则∠B=（）A．70°B．60°C．50°D．40°答案：C分析：由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数．解：∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD＝90°，∴∠ACD+∠D＝90°，∵∠ACD＝40°，∴∠ADC＝∠B＝50°．故选：C．小提示：本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想是解题的关键．2、用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为4cm的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为（）A．4cm B．8cm C．12cm D．16cm答案：B分析：设圆锥的母线长为l，根据圆锥的底面圆周长为半圆形铁皮的周长（不包括直径）列式求解即可．解：设圆锥的母线长为l，由题意得：2×4π=180×π⋅l，180∴l=8cm，故选B．小提示：本题主要考查了求圆锥的母线长，熟知圆锥的底面圆周长为半圆形铁皮的周长（不包括直径）是解题的关键．3、下列说法正确的是（）A．等弧所对的圆周角相等B．平分弦的直径垂直于弦C．相等的圆心角所对的弧相等D．过弦的中点的直线必过圆心答案：A分析：根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即可．解：A. 同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确；B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误；C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C选项错误；D.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以D选项错误.故选A.小提示：本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知识点．灵活运用相关知识成为解答本题的关键．4、如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC=4√2，DE=4，则BC的长是（）A．1B．√2C．2D．4答案：C分析：根据垂径定理求出OD 的长，再根据中位线求出BC =2OD 即可．设OD =x ，则OE =OA =DE -OD =4-x ．∵AB 是⊙O 的直径，OD 垂直于弦AC 于点，AC =4√2∴AD =DC =12AC =2√2∴OD 是△ABC 的中位线∴BC =2OD∵OA 2=OD 2+AD 2∴(4−x)2=x 2+(2√2)2，解得x =1∴BC =2OD =2x =2故选：C小提示：本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD 的长是解题的关键．5、如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．AE ＝BEB ．OE ＝DEC ．AC⌢=BC ⌢D ．AD ⌢=BD ⌢ 答案：B分析：根据垂径定理即可判断．解：∵CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，∴AE =EB ，AC⌢=BC ⌢， AD ⌢=BD ⌢． 故选：B ．小提示：本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．6、如图，在RtΔABC中，∠ACB=90，AC=6、BC=4，点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M交AB于E，D是AB的中点，则DM长度的最小值是( )A．√3B．√2C．1D．√6-2答案：C分析：取AC的中点T，连接DT，MT．利用三角形的中位线定理求出DT，利用直角三角形的中线的性质求出MT，再根据DM≥MT−DT，可得结论．解：如图，取AC的中点T，连接DT，MT．∵AD=DB，AT=TC，∴DT=1BC=2．2∵CE⊥AF，∴∠AMC=90°，∴TM=1AC=3，2∴点M的运动轨迹是以T为圆心，TM为半径的圆，∴DM≥TM−DT=3−2=1，∴DM的最小值为1，故选：C．小提示：本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线，直角三角形斜边中线解决问题．7、如图，点A是⊙O上一点，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，若∠OAC=65°，则∠B的度数是（）A．40°B．50°C．45°D．55°答案：A分析：由切线的性质得到直角，再利用等腰三角形的性质求解∠O，利用直角三角形两锐角互余可得答案．解：∵AB切⊙O于点A，∴OA⊥AB，∵OA=OC，∠OAC=65°，∴∠AOC=180°−65°×2=50°，∵OA⊥AB，∴∠B=90°-∠O=40°，故选A．小提示：本题考查圆的切线的性质，等腰三角形的性质，熟悉这些性质是解题关键．8、连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法不正确的是（）A．四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等B．连接HD，则HD平分∠CHEC．整个图形不是中心对称图形D．△CEH是等边三角形答案：D分析：根据正八边形和圆的性质进行解答即可．解：A．∵根据正八边形的性质，四边形ABCH与四边形EFGH能够完全重合，即四边形ABCH与四边形EFGH 全等∴四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等，故选项正确，不符合题意；B．连接DH，如图1，∵正八边形是轴对称图形，直线HD是对称轴，∴HD平分∠CHE故选项正确，不符合题意；C．整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项正确，不符合题意；D．∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴B＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，CH＝EH，设正八边形的中心是O，连接EO、DH，如图2，∠DOE＝360°=45°8∵OE＝OH∠DOE＝22.5°∴∠OEH＝∠OHE＝12∴∠CHE＝2∠OHE＝45°∴∠HCE＝∠HEC＝1（180°－∠CHE）＝67.5°2∴△CEH不是等边三角形，故选项错误，符合题意．故选：D．小提示：本题考查了正多边形和圆，熟记正八边形与等腰三角形的性质是解题的关键．9、如图，斗笠是一种遮挡阳光和蔽雨的编结帽，它可近似看成一个圆锥，已知该斗笠的侧面积为550πcm2，AB是斗笠的母线，长为25cm，AO为斗笠的高，BC为斗笠末端各点所在圆的直径，则OC的值为（）A．22B．23C．24D．25答案：A分析：根据圆锥的侧面积和母线可得底面圆的周长，进而可得底面圆的半径．解：∵侧面积为550π cm2，母线长为25cm，∴1×l×25=550π解得l=44π，2∵2πr=44π，∴OC=r=22，故选：A．小提示：本题考查圆锥的计算，根据侧面积和母线得到底面圆的半径是解题关键．10、如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠ACB=55°，则∠BAC的大小为（）A．25°B．35°C．45°D．55°答案：B分析：先根据切线的性质得到∠ABC=90°，然后利用直角三角形两锐角互余计算出∠BAC的度数即可．解：∵BC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∠ACB=55°，∴AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BAC=90°−∠ACB=90°−55°=35°．故选：B小提示：本题考查了切线的性质和直角三角形的性质．注意：圆的切线垂直于经过切点的半径．正解理解和应用切线的性质是解题的关键．填空题11、如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是AD⌢所对的圆周角，则∠APD的度数是______．答案：30°##30度∠AOD=30°．分析：根据垂径定理得出∠AOB=∠BOD，进而求出∠AOD=60°，再根据圆周角定理可得∠APD=12∵OC⊥AB，OD为直径，∴BD⌢=AD⌢，∴∠AOB=∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°，∠AOD=30°，∴∠APD=12所以答案是：30°．小提示：本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．12、如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA=7，则BC的长为___________．答案：7分析：根据垂径定理可得OC垂直平分AB，根据题意可得AB平方OC，可得四边形AOBC是菱形，进而根据菱形的性质即可求解．解：如图，连接OB,CA，∵A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，∴AD=DB，∵D为OC的中点，∴OD=DC，∴四边形AOBC是菱形，OA=7，∴BC=AO=7．所以答案是：7．小提示：本题考查了垂径定理，菱形的性质与判定，掌握垂径定理是解题的关键．13、如图，点P为⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB=90°，若⊙O半径为3，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留π）答案：9−9π4分析：连接OA,OB，先根据圆的切线的性质可得OA⊥PA,OB⊥PB，再根据正方形的判定可得四边形OAPB是正方形，根据正方形的性质可得∠AOB=90°，然后利用正方形OAPB的面积减去扇形OAB的面积即可得．解：如图，连接OA,OB，∵PA,PB分别与⊙O相切于点A,B，∴OA⊥PA,OB⊥PB，又∵OA=OB=3,∠APB=90°，∴四边形OAPB是正方形，∴∠AOB=90°，则图中阴影部分的面积为S正方形OAPB −S扇形OAB=3×3−90π×32360=9−9π4，所以答案是：9−9π4．小提示：本题考查了圆的切线的性质、扇形的面积、正方形的判定与性质，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．14、如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B′，使点O′落在⊙O上，边A′B交线段AO于点C．若∠A′=25°，则∠OCB=______度．答案：85分析：连结OO′，先证△BOO′为等边三角形，求出∠AOB=∠OBO′=60°，由⊙O与△OAB的边AB相切，可求∠CBO==30°，利用三角形内角和公式即可求解．解：连结OO′，∵将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B′，∴BO′=BO=OO′，∴△BOO′为等边三角形，∴∠OBO′=60°，∵⊙O与△OAB的边AB相切，∴∠OBA=∠O′BA′=90°，∴∠CBO=90°-∠OBO′=90°-60°=30°，∵∠A′=25°∴∠A′O′B=90°-∠A′=90°-25°=65°∴∠AOB=∠A′O′B=65°，∴∠OCB=180°-∠COB-∠OBC=180°-65°-30°=85°．故答案为85．小提示：本题考查图形旋转性质，切线性质，等边三角形判定与性质，直角三角形性质，掌握图形旋转性质，切线性质，等边三角形判定与性质，直角三角形性质是解题关键．15、若一条弦把圆周分成2∶3的两段弧，则劣弧所对圆心角的度数是________．答案：144°分析：根据圆心角、弧、弦的关系求出劣弧所对圆心角的度数即可．解：∵一条弦把圆周分成2∶3的两段弧，∴劣弧所对圆心角的度数为2×360°=144°，5所以答案是：144°．小提示：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，以及优弧与劣弧的概念，本题的关键找到隐藏条件，圆的中心角360°．解答题16、如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD//OP，交⊙O于点D，连接PD．(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)当∠APO的度数为______时，四边形POBD是平行四边形．答案：(1)见解析(2)45°分析：（1）连接OD，根据切线的性质求出∠PAO=90°，根据平行线的性质和等腰三角形的性质求出∠DOP=∠AOP，根据全等三角形的判定推出△AOP≌△DOP（SAS），根据全等三角形的性质得出∠PDO=∠PAO=90°，再根据切线的判定得出即可；（2）根据全等得出PA=PD，根据平行四边形的性质得出PD=OB，求出PA=OA，再求出答案即可．（1）解：证明：连接OD，∵PA切⊙O于A，∴PA⊥AB，即∠PAO=90°，∵OP∥BD，∴∠DBO=∠AOP，∠BDO=∠DOP，∵OD=OB，∴∠BDO=∠DBO，∴∠DOP=∠AOP，在△AOP和△DOP中，{AO=DO∠AOP=∠DOPPO=PO，∴△AOP≌△DOP（SAS），∴∠PDO=∠PAO，∵∠PAO=90°，∴∠PDO=90°，即OD⊥PD，∵OD过O，∴PD是⊙O的切线；（2）由（1）知：△AOP≌△DOP，∴PA=PD，∵四边形POBD是平行四边形，∴PD=OB，∵OB=OA，∴PA=OA，∴∠APO=∠AOP，∵∠PAO=90°，∴∠APO=∠AOP=45°．小提示：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形等知识点，能熟记圆的切线垂直于过切点的半径是解此题的关键．17、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，延长CA交⊙O于点E．连接ED交AB于点F．（1）求证：△CDE是等腰三角形．的值．（2）当CD：AC＝2：√5时，求AEAC答案：（1）见解析；（2）35分析：（1）由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C，由圆周角定理得出∠AED＝∠B，证出∠AED＝∠C，即可得出结论；（2）连接AD，过点D作DH⊥AE于点H，设CD＝2x，AC＝√5x，则AD＝x，由三角形ADC的面积可得出DH的长，求出AE，则可得出答案．解：（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠AED＝∠ABC，∴∠C＝∠AED，∴△CDE是等腰三角形；（2）如图，连接AD ，过点D 作DH ⊥AE 于点H ，设CD ＝2x ，AC ＝√5x ，∵AB 是直径，∴∠ADC ＝90°，∴AD ＝√AC 2−CD 2＝x ，∵S △ADC ＝12AD •DC ＝12AC •DH ，∴DH ＝AD⋅CD AC =2√55x ， ∵DE ＝CD ，∴CH ＝EH ＝√DC 2−HD 2＝4√55x ， ∴AE ＝2CH ﹣AC ＝8√55x −√5x =3√55x ． ∴AE AC =3√55x √5x =35． 小提示：本题考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．18、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点O ，D 为AB 上的一点，OD ＝OC ，以O 为圆心，OB 的长为半径作⊙O ．(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)若AB＝6，BD＝2，求线段AC的长．答案：(1)见解析(2)8分析：（1）过O作OE⊥AC于E，先证Rt△ABO≌Rt△AEO，OB＝OE，即OE为圆的半径，即可求证；（2）利用切线的性质可得AB=AE，再证Rt△BOD≌Rt△COE，即有BD＝CE＝2，则AC可求．（1）证明：过O作OE⊥AC于E．∵AO平分∠BAC，且∠ABC＝90°，OE⊥AC，∴OB＝OE，即OE为圆的半径，∴AC是⊙O的切线；（2）∵∠ABC＝90°，OB为⊙O半径，∴AB是⊙O的切线，又由（1）AC是⊙O的切线，∴AB＝AE＝6，在Rt△BOD和Rt△COE中，，{OB=OEOD=OC∴Rt△BOD≌Rt△COE，∴BD＝CE＝2，∴AC＝AE+CE＝8小提示：本题考查了切线的判定与性质，角平分线的性质定理，在OE⊥AC的条件下证得OE为圆的半径是解答本题的关键．。
人教版初中九年级数学上册第二十四章《圆》知识点(含答案解析)
一、选择题1．在ABC 中，90,4,3C AC BC ∠=︒==，把它绕AC 旋转一周得一几何体，该几何体的表面积为（ ）A ．24πB ．21πC ．16.8πD ．36π 2．如图，AB 、AC 是⊙O 的切线，B 、C 为切点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B 、C 的点，则∠BPC 的度数是（ ）A ．65°B ．115°C ．115°或65°D ．130°或65° 3．如图，在三角形ABC 中，AB=22，∠B=30°，∠C=45°，以A 为圆心，以AC 长为半径作弧与AB 相交于点E ，与BC 相交于点F ，则弧EF 的长为( )A ．6πB ．2πC ．23πD ．π4．已知△ABC 的外心为O ，连结BO ，若∠OBA=18°，则∠C 的度数为（ ）A ．60°B ．68°C ．70°D ．72°5．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，7AB =，4AC =，以点C 为圆心、CA 为半径的圆交AB 于点D ，求弦AD 的长为（ ）A 433B ．327C ．337D ．1676．如图，正方形ABCD 内接于O ，直径//MN AD ，则阴影部分的面积占圆面积的（ ）A ．12B ．16C ．13D ．147．若圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为265cm π，则该圆锥的高是（ ） A ．13cm B ．12cm C ．11cm D ．10cm 8．如图，ABC 的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将ABC 绕点B 顺时针旋转到A B C '''的位置，且点A '、C '仍落在格点上，则线段AB 扫过的图形的面积是（ ）平方单位（结果保留）A ．254πB ．134πC ．132πD ．136π 9．如图，在⊙O 中，AB 是直径，弦AC=5，∠BAC=∠D ．则AB 的长为（ ）A ．5B ．10C ．52D ．10210．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，28CDB ∠=︒，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则E ∠等于（ ）A ．28︒B ．34︒C ．44︒D ．56︒ 11．如图，⊙O 的半径为1，点 O 到直线 a 的距离为2，点 P 是直线a 上的一个动点，PA 切⊙O 于点 A ，则 PA 的最小值是（ ）A ．1B ．3C ．2D ．5 12．如图，ABC 的顶点A 是O 上的一个动点，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，边AC ，AB 分别交O 于点E ，D ，分别过点E ，D 作O 的切线交于点F ，且点F 恰好在边BC 上，连接OC ，若O 的半径为6，则OC 的最大值为（ ）A ．393+B ．2103+C ．353+D ．53 13．如图，点M 是矩形ABCD 的边BC 、CD 上的点，过点B 作BN ⊥AM 于点P ，交矩形ABCD 的边于点N ，连接DP ，若AB=6，AD=4，则DP 的长的最小值为（ ）A ．2B ．121313C ．4D ．514．如图，在平行四边形ABCO 中，45C ∠=︒，点A ，B 在O 上，点D 在ADB 上，DA DB =，则AOD ∠的度数为（ ）A．112.5°B．120°C．135°D．150°15．在△ABC中，∠ACB为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作弧BAC，如图所示．若AB=4，AC=2，图中两个新月形面积分别为S1，S2，两个弓形面积分别为S3，S4，S1-S2=14π，则S3-S4的值是( )A．294πB．234πC．114πD．54π二、填空题16．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝________°．17．如图，四边形ABCD是O的内接四边形，对角线AC，BD交于点E，且AC BD AB==，若70AEB∠=︒，则AOB∠等于______︒．18．已知半径为5的圆O中，弦AB=8，则以AB为底边的等腰三角形腰长为___________．19．如图，PA，PB分别与O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若8AP=，则PDE△的周长为______．20．如图，O 的半径为6，AB 、CD 是互相垂直的两条直径，点P 是O 上任意一点，过点P 作PM AB ⊥于M ，PN CD ⊥于N ，点Q 是MN 的中点，当点P 沿着圆周从点D 逆时针方向运动到点C 的过程中，当∠QCN 度数取最大值时，线段CQ 的长为______．21．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点M 和N 分别从B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CD 方向向终点C 和D 运动．连接AM ，BN 交于点P ，则PC 长的最小值为____________．22．如图，直线AB 、CD 相交于点,30O AOC ∠=︒，半径为1cm 的⊙P 的圆心在直线AB 上，且与点O 的距离为8cm ，如果⊙P 以2cm/s 的速度，由A 向B 的方向运动，那么_________秒后⊙P 与直线CD 相切.23．在矩形ABCD 中，43AB =6BC =，若点P 是矩形ABCD 上一动点，要使得60APB ∠=︒，则AP 的长为__________．24．小明用一张扇形纸片做一个圆锥的侧面，已知该扇形的半径是10cm ，弧长是12πcm 2，那么这个圆锥的高是________cm ．参考答案25．如图，在⊙O 中，弦AC 、BD 相交于点E ，且AB BC CD ==，若∠BEC=130°，则∠ACD 的度数为_____26．如图，已知空间站A 与星球B 距离为a ，信号飞船C 在星球B 附近沿圆形轨道行驶，B ，C 之间的距离为b ．数据S 表示飞船C 与空间站A 的实时距离，那么S 的最小值________．三、解答题27．如图，AB 是O 的弦，CD 是O 的直径，CD AB ⊥，垂足为E ．1CE =，3ED =．（1）求O 的半径．（2）求AB 的长．28．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，以BC 为直径的圆O 交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：∠A =∠ADE ；（2）若AD =8，DE =5，求BC 的长．29．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧CD ，点O 是CD 的圆心，E 为 CD 上一点，OE ⊥CD ，垂足为F ．已知CD=300m ，EF=50m ，求这段弯路的半径．30．如图，半径为2的⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，求劣弧MN 的长度．。
2023-2024学年九年级数学上册《第二十四章 圆》单元测试卷有答案(人教版)
2023-2024学年九年级数学上册《第二十四章圆》单元测试卷有答案(人教版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________知识点归纳1、圆在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
小于半圆的弧叫做劣弧。
大于半圆的弧叫做优弧。
能够重合的两个圆叫做等圆。
在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧。
2、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．3、弧、弦、圆心角之间的关系定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
注：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弦，两条弧、两个弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量也分别相等4、圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
5、点和圆的位置关系设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为OP=d ，则有：点P 在圆外⇔d ＞r ；点P 在圆上⇔d=r ；点P 在圆内⇔d ＜r 。
性质：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
人教版九年级数学上册第二十四章圆测试题(含答案)(含知识点)
数学第二十四章圆测试题附参考答案时间：45分钟分数：100分一、选择题（每小题3分，共33分）1．（2005·资阳）若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a>b），则此圆的半径为（）A．2ba+B．2ba-C．22baba-+或D．baba-+或2．（2005·浙江）如图24—A—1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．83．已知点O为△ABC的外心，若∠A=80°，则∠BOC的度数为（）A．40°B．80°C．160°D．120°4．如图24—A—2，△ABC内接于⊙O，若∠A=40°，则∠OBC的度数为（）A．20°B．40°C．50°D．70°5．如图24—A—3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）A．12个单位B．10个单位C．1个单位D．15个单位6．如图24—A—4，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠B=60°，则∠A等于（）A．80°B．50°C．40°D．30°7．如图24—A—5，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（）A．5 B．7 C．8 D．108．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m，母线长为3m，为防雨需图24—A—5图24—A—1 图24—A—2 图24—A—3 图24—A—4在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是（ ）A ．26m B ．26m π C ．212m D ．212m π 9．如图24—A —6，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD=13，PC=4，则两圆组成的圆环的面积是（ ）A ．16πB ．36πC ．52πD ．81π10．已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC 的内切圆的半径为（ ） A ．310 B ．512 C ．2 D ．3 11．如图24—A—7，两个半径都是4cm 的圆外切于点C ，一只蚂蚁由点A 开始依A 、B 、C 、D 、E 、F 、C 、G 、A 的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走2006πcm 后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（ ） A ．D 点 B ．E 点 C ．F 点 D ．G 点 二、填空题（每小题3分，共30分） 12．如图24—A —8，在⊙O 中，弦AB 等于⊙O 的半径，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，则∠AOC= 。
人教版九年级上册数学《第24章圆》练习题(含答案) .docx
24・1.1 圖01 基础题知识点1圆的有关概念1. 下列条件中，能确定唯一一个圆的是(C)A. 以点O 为圆心B. 以2 cm 长为半径C. 以点O 为圆心，5 cm 长为半径D. 经过点A2. 下列命题中正确的有(A)①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦：③直径是最长的弦：④弧是半圆，半圆是弧.A ・1个B ・2个 C. 3个 D ・4个3. 过圆上一点可以作出圆的最长眩的条数为(A)A ・1条B ・2条 C. 3条 D.无数条的半径K 为5・知识点2圆中的半径相等6. 如图，MN 为0O 的弦,ZN = 52%则ZMON 的度数为(C)A. 38°D. 104°4. 如图，在＜30中，弦有AC, AB.直径是优弧rj ABC, CAB,劣弧有员阮 5.如图，在0O 中，点B 在OO±, 四边形AOCB 是矩形，对角线AC 的氏为5,则OOB. 52°C. 76°7. （朔州月考）如图，在AABC 中，ZACB = 90°, ZA=40°,以C 为圆心，CB 为半径的圆 交 AB T 点 D,连接 CD,则ZACD = (A)A. 10°C. 20°=40°. = ZC.求证：CE=BF.证明：TOB, OC 是。
O 的半径,・・・OB=OC.又・・・ZB=ZC, ZBOE=ZCOF, /. AEOB^AFOC(ASA).・・・OE=OF.・・・OE+OC=OF+OB,即 CE=BF.10. 如图，CE 是。
O 的直径，AD 的延长线与CE 的延长线交于点B,若BD = OD, ZAOC = 114。
，求ZAOD 的度数.B. 15° D. 25°8.如图，AB 为00的直径，点C,9.如图，AB, AC 为。
O 的弦,分别交弦AB, AC 于点E, F, ZB则 ZAOD解：设ZB = x.VBD=OD,:、ZDOB = ZB=x.・•・ ZADO= ZDOB+ ZB = 2x.VOA = OD,/. ZA= ZAD0=2x.VZAOC=ZA+ZB,・・・2x+x=114。
初中数学人教版九年级上册-第二十四章-圆单元测试卷(含答案)
人教版数学九上圆一、单选题1．下列语句中正确的是（ ）A．长度相等的两条弧是等弧B．圆上一条弧所对的圆心角等于它所对圆周角的一半C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线D．三角形有且只有一个外接圆2．如图，OA，OC是⊙O的半径，点B在⊙O上，若AB∥OC，∠BCO=21°，则∠AOC的度数是（ ）A．42°B．21°C．84°D．60°3．如图，在矩形ABCD中，AD=8，以AD的中点O为圆心，以OA长为半径画弧与BC相切于点E，则阴影部分的面积为（ ）A．8−4πB．16−4πC．32−4πD．32−8π4．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接BO并延长交⊙O于点E，连接CE，若AB=4，CD=1，则CE的长为（ ）A．13B．4C．10D．155．如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图．将扇形AOB 翻折，使点A 与圆心O 重合，展开后折痕所在直线l 与AB 交于点C ，连接AC ．若OA =2，则图中阴影部分的面积是( )A ．2π3−32B ．2π3−3C ．π3−32D ．π37．如图，⊙O 是正△ABC 的外接圆，△DOE 是顶角为120°的等腰三角形，点O 与圆心重合，点D ，E 分别在圆弧上，若⊙O 的半径是6，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．4πB ．12π−9 3C ．12π−923D ．24π− 9 38．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边BC 和CD 上的动点（不与端点重合），∠EAF =45°，AF 、AE分别与对角线BD交于点G和点H，连接EG．以下四个结论：（1）BE+DF=EF；（2）△AGE是等腰直角三角形；（3）S△AGH:S△AEF=1:2；（4）AB+BE=2BG，其中正确结论的个数是（ ）A．1B．2C．3D．49．【情境】如图是某数学项目学习小组设计的“鱼跃龙门”徽章图案，已知A，B，C，D，E是圆的5个等分点，连结BD，CE交于点F.设鱼头部分的四边形ABFE的面积为S1，鱼尾部分的△CDF的面积为S2.【问知】设S1:S2=n:1，则n的值为（ ）A．43−1B．3+5C．1+25D．35−110．如图，半径为5的圆中有一个内接矩形ABCD，AB>BC，点M是ABC的中点，MN⊥AB于点N，若矩形ABCD的面积为30，则线段MN的长为()A．10B．522C．702D．210二、填空题11．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠EBD=31°，则∠A+∠C= °．12．如图，在半径为10cm的圆形铁片上切下一块高为4cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为 cm．13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=2，则⊙O的直径为 ．14．如图，将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与AB交于点C，若OA=2，则OC的长为 ．15．如图，半径为5的⊙O与y轴相交于A点，B为⊙O在x轴上方的一个动点（不与点A重合），C 为y轴上一点且∠OCB＝60°，I为△BCO的内心，则△AIO的外接圆的半径的取值（或取值范围）为 ．16．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的半径为2，将劣弧AC沿AC折叠后刚好经过弦BC的中点D．若∠ACB＝60°，则弦AC的长为 ．三、解答题17．如图，直径为1m的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为0.8m，求水的最大深度CD.18．如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，∠B=28°，求∠BOC的度数．19．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，AB=6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连结BD．（1）求证：∠BAD=∠CBD．（2）若∠AEB=125°，求BD的长．(结果保留π)20．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接AC，过A作AF⊥AC，交⊙O于点F，连接DF，过B作BG⊥DF，交DF的延长线于点G．（1）求证：BG是⊙O的切线：（2）若∠DFA=30°，DF=4，求阴影部分的面积．21．在直角坐标系中，以M(3,0)为圆心的⊙M交x轴负半轴于A，交x轴正半轴于B，交y轴于C、D．其中C点坐标为(0,4)．（1）求点A坐标．（2）如图，过C作⊙M的切线CE，过A作AN⊥CE于F，交⊙M于N，求AN的长度．（3）在⊙M上，若∠CPM=45°，求出点P的坐标．22．圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形.（1）如图1，四边形ABCD为等邻边圆内接四边形，AD=CD，∠ADC=60°，直接写出∠ABD的度数；（2）如图2，四边形ADBC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB=10，AC=6，若四边形ADBC为等邻边圆内接四边形，AD=BD，求CD的长.（3）如图3，四边形ABCD为等邻边圆内接四边形，BC=CD，AB为⊙O的直径，且AB=48.设BC=x，四边形ABCD的周长为y，试确定y与x的函数关系式，并求出y的最大值.答案解析部分1．【答案】D2．【答案】A3．【答案】D4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】B8．【答案】D9．【答案】B10．【答案】A11．【答案】21112．【答案】1613．【答案】2214．【答案】2π315．【答案】53316．【答案】621717．【答案】解：∵⊙O的直径为1m，∴OA=OD=0.5m.∵OD⊥AB，AB=0.8m，∴AC=0.4m，∴OC=OA2−AC2=0.52−0.42=0.3m，∴CD=OD−OC=0.5−0.3=0.2m.答：水的最大深度为0.2m.18．【答案】解：∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠A=90°﹣∠B=90°﹣28°=62°，∵OA=OC，∴∠ACO=∠A=62°，而∠ACO=∠BOC+∠B，∴∠BOC=62°﹣28°=34°．19．【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD．∵∠CAD=∠CBD，∴∠BAD=∠CBD；（2）解：如图，连结OD．∵∠AEB= 125°，∴∠AEC= 55°．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACE=90°，∴∠CAE= 35°，∴∠DAB=∠CAE=35°，∴∠BOD=2∠BAD=70°，∴BD的长为70×π×3180=7 6π.20．【答案】（1）证明：∵C，A，D，F在⊙O上，AF⊥AC，∴∠D=∠CAF=90°，∵AB⊥CD，BG⊥DF，∴∠BED=∠G=90°，∴四边形BEDG中，∠ABG=90°，∴半径OB⊥BG，∴BG是⊙O的切线；（2）解：连接CF，∵∠CAF=90°，∴CF是⊙O的直径，∴OC=OF，∵直径AB⊥CD于E，∴CE=DE，∴OE是△CDF的中位线，∴OE=12DF=2，∵∠AFD=30°，∴∠ACD=∠AFD=30°，∴∠CAE=90°−∠ACE=60°，∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∵CE⊥AB，∴E为AO的中点，∴OA=2OE=4，OB=4，AE=2，∴BE=OB+OE=6，DE=CE=23，∵∠BED=∠D=∠G=90°，∴四边形BEDG是矩形，∴S阴影=S矩形BEDG−S梯形OEDF−S扇形BOF=6×23−12×(2+4)×23−60π⋅42360=63−83π．21．【答案】（1）解：连接CM，∵M(3,0)，C(0,4)，∴OM=3，OC=4，∴CM=5，即⊙M的半径为5，∴MA=5，∴AO=AM-OM=2，∴A(−2,0)；（2）连接CM，作MH⊥AN于H，∵CE为⊙M的切线，∴MC⊥EC，即∠MCE=90°.∵AN⊥CE于F，即∠AFC=90°.又∵MH⊥AN于H，即∠MHA=90°.∴在四边形FHMC中，∠CMH=90°=∠CMO+∠AMH.∵在Rt△AHM中，∠HAM+∠AMH=90°，∴∠HAM=∠CMO.∵在Rt△COM中，∠CMO+∠OCM=90°，∴∠OCM=∠AMH.∵在△AMH与△MCO中，∠HAM=∠CMOMC=MA∴△AMH≌△MCO（ASA），∠OCM=∠AMH故AH=MO=3．即AN=HN+AH=3+3=6；（3）解：结合题意，可知PM=CM，△CMP为等腰三角形，同时因为∠CPM=45°=∠PCM，因此△CMP也是等腰直角三角形，即∠CMP=90°且CM=PM=5.①当P在CM右侧时，作PE垂直x轴于E.∵∠CMP=90°，∴∠CMO+∠PME=90°.又∵在Rt△PEM中，∠PME+∠MPE=90°，∴∠CMO=∠MPE.∴同理可得∠MCO=∠PME.在△MCO与△PME中，∠CMO=∠MPECM=PM∴△MCO≌△PME（ASA）∠MCO=∠PME∴OM=PE=3，ME=OC=4，即存在P1(7,3)；②当P在CM左侧时（设为P2），作PF垂直x轴于F.根据圆的对称性，结合①的结论，易证：△MCO≌△PMF，∴OM=PF=3，FM=OC=4，即存在P2(−1,−3)．22．【答案】（1）解：60°（2）解：连接CD，过点A作AH⊥CD，交CD于点H.如图：在Rt△AHC中，∵∠ACH=∠ABD=45°，AC=6，∴CH=AH=32，此时△ADB为等腰直角三角形，AD=BD=52，在Rt△AHD中，∵AH=32，AD=52，∴DH=42，∴CD=CH+DH=72.（3）解：如图，连接OC，BD.∵BC=CD，OB=OD，∴OC垂直平分BD，∵O为AB中点，∴OF为△BDA的中位线，有OF=12AD，OF//AD，设OF=t，则CF=24−t，AD=2t，y=48+x+x+2t=2t+2x+48，在Rt△BFC中，B F2=B C2−C F2=x2−(24−t)2，在Rt△BFO中，B F2=B O2−O F2=242−t2，于是有：x2−(24−t)2=242−t2，整理得，t=−148x2+24，∴y=−124x 2+2x+96=−124(x−24)2+120，当x=24时，y max=120。
九年级数学上册第二十四章圆必练题总结(带答案)
九年级数学上册第二十四章圆必练题总结单选题1、如图，点A 是⊙O 外一点，过点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C 两点，连结AC 并延长交BO 的延长线于点D ．若AB ＝3，BD ＝4，则⊙O 的半径为（ ）A ．94B ．83C ．52D ．32答案：D分析：连接OC ，根据题意得到RtΔABD 、RtΔCOD ，由切线长定理求得AC =AB =3，最后根据勾股定理在RtΔABD 、RtΔCOD 中求解即可．解：连接OC ，如图所示：∵点A 是⊙O 外一点，过点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C 两点，∴OC ⊥AD ，BD ⊥AB ，∴AC =AB =3，在RtΔABD 中，∠ABD =90°，AB ＝3，BD ＝4，由勾股定理得AD =5，∴CD =AD −AC =5−3=2，设半径OC =OB =r ，则OD =BD −OB =4−r ，在RtΔCOD 中，∠OCD =90°，CD ＝2，OC =r ，OD =4−r ，由勾股定理知CD2+OC2=OD2，得r2+22=(4−r)2，即8r=12，，解得r=32故选：D．小提示：本题考查在圆背景下利用勾股定理求线段长，掌握切线的性质、切线长定理以及在直角三角形中根据勾股定理列方程求解问题是解题关键．2、如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B=20°，则∠CAD的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°答案：C分析：首先连接CD，由AD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACD=90°，又由圆周角定理，可得∠D=∠B=20°，再用三角形内角和定理求得答案．解：连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°．∵∠D=∠B=20°，∴∠CAD=180°−90°−∠D=180°−90°−20°=70°．故选：C．小提示：本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．3、小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．都不能答案：B分析：要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小．解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：B．小提示：本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．4、如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x轴，M为Rt△ABC的外心．若点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），则点B的坐标为（）A．（3，﹣1）B．（3，﹣2）C．（3，﹣3）D．（3，﹣4）答案：B分析：根据M为直角三角形的外心．∠ABC＝90°，得出点M为AC中点，利用中点坐标公式求出点C（-5，-2），根据AB⊥x轴，得出点A，B的横坐标相同都是3，根据BC∥x轴，得出点B、C的纵坐标相同都是-2即可．解：∵M为Rt△ABC的外心．∠ABC＝90°，∴点M为AC中点，∵点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），设点C横坐标为（x,y）,∴x+32=−1,y+42=1，解得x=-5，y=-2，∴点C（-5，-2），∵AB⊥x轴，∴点A，B的横坐标相同都是3，∵∠ABC＝90°，∴BC∥x轴，∴点B、C的纵坐标相同都是-2，∴点B（3，-2）．故选：B．小提示：本题考查直角三角形的外心，中点坐标公式，平行x轴或y轴的点坐标特征，掌握直角三角形的外心的性质，中点坐标公式，平行x轴或y轴的点坐标特征是解题关键．5、如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，若⊙O的半径为2，则△ABC的面积为（）A．√32B．√3C．2√3D．3√3答案：D分析：过点O作OH⊥BC于点H，根据等边三角形的性质即可求出OH和BH的长，再根据垂径定理求出BC的长，最后运用三角形面积公式求解即可．解：过点O作OH⊥BC于点H，连接AO，BO，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =60°，∵O 为三角形外心，∴∠OAH =30°，∴OH =12OB =1，∴BH =√BO 2−OH 2=√3，AH =-AO +OH =2+1=3∴BC =2BH =2√3∴S ΔABC =12BC ×AH =12×2√3×3=3√3故选：D小提示：本题考查了等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．6、将一张正方形的透明纸片ABCD 和⊙O 按如图位置叠放，顶点A 、D 在⊙O 上，边AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相交于点E 、F 、G 、H ，则下列弧长关系中正确的是（ ）A ．AD⌢=AE ⌢B ．AD ⌢=AF ⌢ C ．AF⌢=DG ⌢D ．AF ⌢=DH ⌢ 答案：C分析：连接AF,DG ，根据弦与弧的关系，只要比较弦长即可比较弧长的大小即可求解．如图，连接AF,DG ，过点O 作NM ⊥AD ，交AD 于M ，交BC 于N ，则MN ⊥BC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =AB =BC =CD ，∠B =∠C ，∴ AM =MD ，∴四边形AMNB,MNCD 是矩形，∴NB =AM =MD =NC ，∴FN =GN ，∴FB =GC ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDG ，∴ AF =DG ，A. ∵AD >AE ，∴ AD⌢>AE ⌢，故该选项不正确，不符合题意； B. ∵AD =AB <AF ，∴AD⌢<AF ⌢，故该选项不正确，不符合题意； C. ∵ AF =DG ，∴ AF⌢=DG ⌢，故该选项正确，符合题意； D.∵DH <DC <DG =AF ，∴ AF⌢>DH ⌢，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C.小提示：本题考查了弦与弧的关系，掌握同圆或等圆中，等弦对等弧是解题的关键．7、如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D ，与BC 相交于点G ，则下列结论：①∠BAD =∠CAD ；②若∠BAC =60°，则∠BEC =120°；③若点G 为BC 的中点，则∠BGD =90°；④BD =DE ．其中一定正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D分析：根据点E 是△ABC 的内心，可得∠BAD =∠CAD ，故①正确；连接BE ，CE ，可得∠ABC +∠ACB =2（∠CBE +∠BCE ），从而得到∠CBE +∠BCE =60°，进而得到∠BEC =120°，故②正确； ∠BAD =∠CAD ，得出BD⌢=CD ⌢，再由点G 为BC 的中点，则∠BGD =90°成立，故③正确；根据点E 是△ABC 的内心和三角形的外角的性质，可得∠BED =12(∠BAC +∠ABC )，再由圆周角定理可得∠DBE =12(∠BAC +∠ABC )，从而得到∠DBE =∠BED ，故④正确；即可求解．解：∵点E 是△ABC 的内心，∴∠BAD =∠CAD ，故①正确；如图，连接BE ，CE ，∵点E 是△ABC 的内心，∴∠ABC =2∠CBE ，∠ACB =2∠BCE ，∴∠ABC +∠ACB =2（∠CBE +∠BCE ），∵∠BAC =60°，∴∠ABC +∠ACB =120°，∴∠CBE+∠BCE=60°，∴∠BEC=120°，故②正确；∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴BD⌢=CD⌢,∵点G为BC的中点，∴线段AD经过圆心O，∴∠BGD=90°成立，故③正确；∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC,∠ABE=∠CBE=12∠ABC，∵∠BED=∠BAD+∠ABE，∴∠BED=12(∠BAC+∠ABC)，∵∠CBD=∠CAD，∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠CBE+∠CAD，∴∠DBE=12(∠BAC+∠ABC)，∴∠DBE=∠BED，∴BD=DE，故④正确；∴正确的有4个．故选：D小提示：本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识，熟练掌握三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识是解题的关键．8、如图，从一个边长为2m的正六边形ABCDEF铁皮上剪出一个扇形CAE，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（）A ．√32mB ．√33mC ．√34mD ．√3m答案：B分析：先求出扇形的半径R 与弧长，再利用扇形弧长与所围成的圆锥的底面周长的关系求出圆锥的底面半径r ． 解：过B 作BM ⊥AC 于M ，∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴ AB =BC =CD =DE =2m ，∠ABC =∠BCD =∠CDE =120°，∴ ∠BCA =∠DCE =180°−120°2=30°，∠ACE =180°−30°−30°=60°， ∴ BM =12BC =1m ，AM =√BC 2−BM 2=√22−12=√3m ，∵ AB =BC ，BM ⊥AC ，∴ AC =2CM =2√3m ，∴ AE ⌢=60360×2π×2√3=2πr ， 解得r =√33． 故选：B ． 小提示：本题考查了正多边形内角和定理，圆、扇形、圆锥的相关计算，掌握扇形所围的圆锥与扇形之间的等量关系是解决本题的关键．9、如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°,∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（）A．π3cm2B．π4cm2C．(π3−√38)cm2D．π6cm2答案：B分析：根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O，∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，∴∠B′OB=120°，∵AB=2cm，∴OB=1cm，OC′=12cm，∴B′C′=√32cm，∴S扇形B′OB=120π×12360=π3cm2，S扇形C′OC=120π×1 4360=π12cm2，∴阴影部分面积=S扇形B′OB+S△B′C′O-S△BCO-S扇形C′OC=S扇形B′OB-S扇形C′OC=π3−π12=π4cm2；故选：B．小提示：此题考查了旋转的性质和扇形的面积公式，掌握直角三角形的性质和扇形的面积公式是本题的关键．10、如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，BC⌢=2AC⌢，弦CD⊥AB于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G，若点H是AG的中点，则∠CBF的度数为（）A．18°B．21°C．22.5°D．30°答案：D分析：由圆周角定理可求∠ACB=90°，由弧的关系得出角的关系，进而可求∠ABC=30°，∠CAB=60°，由直角三角形的性质可求∠CAH=∠ACE=30°，即可求解．解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠CAB=90°，∵BC⌢=2AC⌢，∴∠CAB=2∠ABC，∴∠ABC=30°，∠CAB=60°，∵CD⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠ACE=30°，∵点H是AG的中点，∠ACB=90°，∴AH=CH=HG，∴∠CAH=∠ACE=30°，∵∠CAF=∠CBF，∴∠CBF=30°，故选：D．小提示：本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，求出∠CAB的度数是本题的关键．填空题11、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______．答案：（2，1）分析：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，1）．故答案为（2，1）．小提示：本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．12、如图1，把一个半径是7cm的圆分成20等份，然后把它剪开，按照图2的形状拼起来，拼成图形的周长是___________cm．答案：57.96分析：由圆的面积推导过程可知：将圆拼成近似的长方形后，长方形的长就等于圆的周长的一半，宽就等于圆的半径，从而可知这个长方形的周长，据此可得答案．因为将圆拼成近似的长方形后，长方形的长就等于圆的周长的一半，宽就等于圆的半径，所以这个长方形的周长就比原来圆的周长多出了两个半径的长度，即多出了一个直径的长度，即：3.14×2×7+7×2=57.96．所以答案是：57.96．小提示：本题考查了图形的拼接，解答的主要依据是圆的面积的推导过程．13、已知圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则其侧面展开图的面积为_______．答案：60πcm2分析：利用勾股定理易得圆锥的底面半径，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．解：圆锥的高为8cm，母线长为10cm，由勾股定理得，底面半径=6cm，底面周长=12πcm，×12π×10=60πcm2．侧面展开图的面积=12所以答案是：60πcm2．小提示：本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．14、如图，作⊙O的任意一条直经FC，分别以F､C为圆心，以FO的长为半径作弧，与⊙O相交于点E､A和D､B，顺次连接AB,BC,CD,DE,EF,FA，得到六边形ABCDEF，则⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为______；答案：2√3π3分析：可将图中阴影部分的面积转化为两个等边三角形的面积之和，设⊙O的半径与等边三角形的边长为a，分别表示出圆的面积和两个等边三角形的面积，即可求解连接OE，OD，OB，OA，由题可得：EF=OF=OE=FA=OA=AB=OB=BC=OC=CD=OD∴△EFO,△OFA,△OAB,△OBC,△OCD,△ODE为边长相等的等边三角形∴可将图中阴影部分的面积转化为△ODE和△OAB的面积之和，如图所示：设⊙O的半径与等边三角形的边长为a，∴⊙O的面积为S=πr2=πa2∵等边△OED与等边△OAB的边长为a∴S△OED=S△OAB=√3a2 4∴S阴=S△OED+S△OAB=√3a22∴⊙O的面积与阴影部分的面积比为SS阴2√3a22=2√3π3所以答案是：2√3π3．小提示：本题考查了图形的面积转换，等边三角形面积以及圆面积的求法，将不规则图形的面积转换成规则图形的面积是解题关键．15、如图，在⊙O中，OA=3，∠C=45°，则图中阴影部分的面积是_________．（结果保留π）答案：9π4−92分析：由∠C=45°，根据圆周角定理得出∠AOB=90°，根据S阴影=S扇形AOB－S△AOB可得出结论．解：∵∠C=45°，∴∠AOB=90°，∴S阴影=S扇形AOB－S△AOB=90×π×32360−12×3×3=9π4−92，所以答案是：9π4−92．小提示：本题主要考查圆周角定理、扇形的面积计算，根据题意求得三角形与扇形的面积是解答此题的关键．解答题16、如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，且BD=CD，过点D作⊙O的切线交AC于点F，过点D作AB的垂线，交AB于点G，交⊙O于点H．(1)求证：DF⊥AC；(2)若OG=1，求AE的长．答案：(1)证明见解析(2)AE=2分析：（1）根据切线，得到∠ODF=90°；连接OD，通过证OD是△ABC的中位线，证OD∥AC，进而得到∠CFD=∠ODF=90°，即可证明；（2）连接DE，分别证AC= AB=2OB，CD=DE，得到CF=BG，CF=EF，再利用AE=AC−CF−EF=2OB−2BG= 2OG，即可求解．（1）证明：∵过点D作⊙O的切线交AC于点F，∴∠ODF=90°，连接OD，∵BD=CD，OA=OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴∠CFD=∠ODF=90°，∴DF⊥AC．（2）解：设圆与AC 相交于点E ，连接DE ，由（1）可知，OD ∥AC ，∴∠ODB =∠C ，∵OD =OB ，∴∠ODB =∠ABC ，∴∠C =∠ABC ，∴AC = AB =2OB ，∵在Rt △CFD 和Rt △BGD 中，{∠DFC =∠DGB =90°∠C =∠ABCCD =BD， ∴Rt △CFD ≌Rt △BGD(AAS)，∴CF =BG ，又∵四边形ABDE 是圆内接四边形，∴∠AED +∠ABC =180°，又∵∠AED +∠CED =180°，∴∠ABC =∠CED ，∴∠C =∠CED ，∴CD =DE ，又∵DF ⊥AC ，∴CF =EF ，∴AE =AC −CF −EF =2OB −2BG ，即AE =2(OB −BG)=2OG =2．小提示：本题考查圆、全等三角形和等腰三角形的相关知识．包括圆的切线，圆内接四边形；以及全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性强．熟练掌握圆、全等三角形和等腰三角形的判定和性质是本题解题的关键．17、如图，⊙O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm,∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ．（1）求AD 的长；（2）试探究CA 、CB 、CD 之间的等量关系，并证明你的结论；（3）连接OD,P 为半圆ADB 上任意一点，过P 点作PE ⊥OD 于点E ，设ΔOPE 的内心为M ，当点P 在半圆上从点B 运动到点A 时，求内心M 所经过的路径长答案：（1）5√2；（2）CA +CB =√2CD ，证明见解析；（3）5√22π． 分析：(1)根据直径所对的角是90°，判断△ABC 和△ABD 是直角三角形，根据圆周角∠ACB 的平分线交O 于D ，判断△ADB 为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出值；(2)延长CA 到F ，使AF=CB ，可证△CDF 为等腰直角三角形,从而得到CA 、CB 、CD 之间的等量关系；(3)作辅助线，连接OM ，PM,正确构造图形，确定M 的运动轨迹是圆弧形，先求OD ⏜的长度，再得到点M 经过路径的长．解：(1)∵AB 是直径∴∠ADB =90°∵CD 是∠ACB 的平分线∴∠ACD =∠BCD∴AD=BD 在RtΔABD中，AD2+BD2=AB2∴AD=BD=√22AB=√22×10=5√2(2)CA+CB=√2CD，证明如下延长CA到F，使AF=CB，连接DF∵∠CBD+∠CAD=180°,∠FAD+∠CAD=180°∴∠CBD=∠FAD又AD=BD,AF=BC∴ΔADF≌ΔBDC，∴CD=FD,∠CDF=90°,ΔCDF为等腰直角三角形∴CA+CB=CF=√2CD(3)连接OM、PM∵PE⊥OD∴∠PEO=90°∵点M为ΔOPE的内心∴∠OMP=135°∵OD=OP，∠DOM=∠POM，OM=OM∴ΔOMD≌ΔOMP∴∠OMD=∠OMP=135°∴所以点M 在以OD 为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上（分OD 左右两种情况）；设OMD 所在圆的圆心O′∵∠OMD =135°∴∠OO′D =90°∴O′O =√22OD =5√22 弧OD ⏜的长为90π×5√22180=5√24π ∴点M 经过路径长为2×5√24π=5√22π小提示：本题综合考查了圆周角定理，全等三角形，等腰直角三角形，圆弧的长，勾股定理等知识，解答此题要抓住三个关键，(1)判断出ABC 和 △ABD 是直角三角形，以便利用勾股定理；(2)判断出线段△CDF 和△ABD 是等腰直角三角形，然后将各种线段转化到等腰直角三角形中利用勾股定理解答，(3)通过作辅助线，正确构造图形，确定M 的运动轨迹是圆弧形，再利用弧长公式解答．18、用反证法证明：一条线段只有一个中点．答案：见解析．分析：首先假设结论的反面：一条线段可以有多个中点，不妨设有两个，根据中点的定义得出矛盾，即可证得．解：已知：一条线段AB，点M为AB的中点．求证：线段AB只有一个中点M，证明：假设线段AB有两个中点，分别为点M、N，不妨设点M在点N的左边，则AM<AN，又∵AM=1AB=AN，2这与AM<AN矛盾，∴假设不成立，线段AB只有一个中点M．∴一条线段只有一个中点．小提示：本题主要考查了反证法，正确理解反证法的基本思想是解题的关键．。