关系代数和关系演算重点
关系代数
第二章关系代数教学目的：本章实际上研究的是关系的运算。
学习目的：关系运算是设计关系数据库操作语言的基础，因为其中的每一个询问往往表示成一个关系运算表达式，在我们的课程中，数据及联系都是用关系表示的，所以实现数据间的联系也可以用关系运算来完成。
通过本章学习，应重点掌握：(1)关系数据库的基本概念；(2)如何用关系代数表达式来表达实际查询问题；(3)如何用元组演算表达式来表达实际查询问题；(4)如何用域演算表达式来表达实际查询问题；(5)如何将关系代数表达式转换为元组演算表达式或转换为域演算表达式。
了解和掌握关系数据结构中涉及到的域、笛卡儿积、关系模式等有关内容的含义；掌握关系的实体完整性和参照完整性的定义；掌握关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。
教学重点：关系的实体完整性和参照完整性的定义；关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。
教学难点：关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。
教学方法：实例法教学内容：如下：关系模型关系模型是一种简单的二维表格结构，每个二维表称做一个关系，一个二维表的表头，即所有列的标题称为一个元组，每一列数据称为一个属性，列标题称估属性名。
同一个关系中不允许出现重复元组和相同属性名的属性。
1．关系模型组成关系模型由关系数据结构、关系操作集合和关系完整性约束三部分组成。
关系操作分为两大部分如图所示。
2．关系操作的特点关系操作的特点是操作对象和操作结果都是集合。
而非关系数据模型的数据操作方式则为一次一个记录的方式。
关系数据语言分为三类： (1)关系代数语言：如ISBL ；(2)关系演算语言：分为元组关系演算语言(如Alpha ，Quel)、域关系演算语言(如QBE)； (3)具有关系代数和关系演算双重特点的语言：如SQL 。
3．关系数据结构及其形式化定义 （1）域定义 域是一组具有相同数据类型的值的集合。
数据库中的关系代数和关系演算
数据库中的关系代数和关系演算数据库是现代信息系统的核心组成部分，用于存储、管理和操作大量的结构化数据。
为了有效地对数据库中的数据进行操作和查询，需要使用关系代数和关系演算这两种重要的数据操作语言。
关系代数是一种用于描述和查询关系型数据库中数据的形式化语言。
它由一组操作符组成，这些操作符可以对关系进行选择、投影、连接和除法等操作。
通过关系代数，可以对数据库中的关系进行增删改查操作，方便地获取所需的数据。
下面我们来了解一下关系代数的几个主要操作符。
首先是选择操作符，表示从关系中选择满足指定条件的元组。
选择操作符使用谓词（即条件）对关系中的元组进行过滤，只保留满足条件的元组。
其次是投影操作符，用于从关系中选择指定的属性。
投影操作符可以基于属性列表对关系进行投影，只返回指定的属性列。
然后是连接操作符，用于将两个关系基于共同属性进行合并。
连接操作符可以按照公共属性将两个关系连接成一个新的关系。
最后是除法操作符，用于计算两个关系之间的元组的匹配情况。
除法操作符根据被除数的元组与除数的元组之间的匹配关系，返回满足给定条件的被除数的元组。
除了关系代数，关系演算也是一种用于描述和查询关系型数据库的形式化语言。
关系演算分为两种形式，一种是元组关系演算，另一种是域关系演算。
元组关系演算是基于关系的元组进行计算和查询的。
元组关系演算使用变量和谓词对关系中的元组进行描述和过滤，可以实现选择、投影和连接等操作。
域关系演算则是基于关系中的属性进行计算和查询的。
域关系演算使用变量和公式对关系中的属性进行描述和过滤，可以实现选择、投影和连接等操作。
关系演算和关系代数有相似的表达能力，并且可以相互转换。
两者都能够用于描述和查询关系型数据库中的数据，但在具体使用时会因个人偏好和操作需求而有所差异。
关系代数和关系演算在数据库领域的重要性不言而喻。
它们为开发人员和数据库管理员提供了强大的工具，用于对数据库中的数据进行操作和查询。
这些操作语言的存在和使用，使得数据库的管理和查询变得更加灵活、高效和可靠。
关系代数与关系演算
关系代数与关系演算
基础运算：
Selection (σC )：⽤条件C 选择表中的⼏⾏。
Projection (π)：选择表中的⼏列。
Cross-product(×)：两张表笛卡尔乘积。
Set-difference(-)：减。
Union(+)：加
连接运算：
条件连接：σC (R ×S )
等值连接：条件C 只有等值判断的条件连接，其中值相等的列可以只保留⼀列。
⾃然连接：在所有的公共属性上都做⼀次等值连接。
外连接：将等值连接的等值判断弱化了， 如果⼀张表中的某个属性值在另⼀张表上没有，也将这两条记录合并，没有对应的值就置NULL
左外连接：
右外连接
全外连接
除法：
假如A有两个属性x,y，B有⼀个属性y
A /
B ={x |∃<x ,y >∈A ,∀y ∈B }
A是⼀个选课表，B是课程表，选出选了所有课程(y)的学⽣姓名(x)。
外并
将两个表并，如果属性不⼀样，把没有的属性置NULL
关系演算
关系代数是⼀个过程化的⽅法，关系演算是⽤谓词逻辑表达查询，是⾮过程化的。
SQL语⾔就是以关系演算为基础的⾮过程化的查询语⾔。
__EOF__()σC (π)×(R ×S )σC A /B ={x |∃<x ,y >∈A ,∀y ∈B }。
第3章 关系代数
关系代数
第3章 关系代数 章
2.1 关系代数概述 2.2 传统的集合运算 2.3 专门的关系运算
第2章
关系代数
2.1 关系代数概述
关系操作采用集合操作方式，即操作的对象和结果都是集合。 这种操作方式也称为一次一集合的方式 。 关系模型中常用的关系操作 关系操作包括： 关系操作 选择、投影、连接、 增加、 选择、投影、连接、除、并、交、差等查询操作和增加、删除、 增加 删除、 修改等。 修改 关系数据语言可以分为三类： 关系数据语言可以分为三类：
第2章
关系代数
三、连接（Join） 连接（ ） 连接也称为θ连接。 连接也称为 连接。它是从两个关系的笛卡尔积中 连接 选取属性间满足一定条件的元组。记作： 选取属性间满足一定条件的元组。记作：
其中A和 分别为 分别为R和 上度数相等且可比的属性组 上度数相等且可比的属性组。 其中 和B分别为 和S上度数相等且可比的属性组。 θ是比较运算符。连接运算从 和S的笛卡尔积 ×S中选 是比较运算符。 的笛卡尔积R× 中选 是比较运算符 连接运算从R和 的笛卡尔积 关系） 属性组上的值与（ 关系 关系） 取（R关系）在A属性组上的值与（S关系）在B属性组 关系 属性组上的值与 属性组 上值满足比较关系θ的元组 的元组。 上值满足比较关系 的元组。 连接运算中有两种最为重要也最为常用的连接，一 种是等值连接（equi-join）， 等值连接（ ），另一种是自然连接 自然连接 等值连接 ）， （Natural join）。 ）。
tr ts表示由两元组tr和ts前后有序连接而成的一个元 组。 任取元组tr和ts,当且仅当tr属于R且ts属于S时,tr和ts的 有序连接即为R×S的一个元组。
第2章
关系代数
关系代数元组关系演算和域关系演算三种语言在表达能力上
关系代数元组关系演算和域关系演算三种语言在表达能力上关系代数、元组关系演算和域关系演算是三种常用于数据库查询和操作的形式化语言。
它们在表达能力上有所不同，下面将对这三种语言进行详细介绍。
一、关系代数关系代数是一种基于集合论的形式化查询语言，用于描述和操作关系型数据库中的关系。
它包括一组操作符，如选择、投影、并、差等，通过组合这些操作符可以生成复杂的查询语句。
1.关系操作符：-选择（σ）：根据给定的条件选择满足条件的元组。
-投影（π）：从关系中选取指定的属性列。
-并（∪）：合并两个关系中的元组，去除重复项。
-差（-）：从一个关系中删除另一个关系中出现的元组。
-笛卡尔积（×）：将两个关系的所有可能的组合生成新的关系。
2.关系代数表达式：关系代数使用表达式来表示查询操作，例如：σ(Salary>5000)(Employee)表示选择薪水大于5000的员工。
二、元组关系演算元组关系演算是一种基于谓词逻辑的形式化查询语言，用于描述和操作关系数据库中的元组。
它通过谓词逻辑的形式来描述查询条件和约束，以生成满足条件的元组。
1.元组关系演算操作：-选择（σ）：根据给定的谓词条件选择满足条件的元组。
-投影（π）：从关系中选取指定的属性列。
-连接（⨝）：将两个关系中满足连接条件的元组进行合并。
-分解（ρ）：用于重命名关系或属性。
2.元组关系演算表达式：元组关系演算使用表达式来表示查询操作，例如：{<e|Employee(e)∧Salary(e)>5000>}表示选择薪水大于5000的员工。
三、域关系演算域关系演算是一种基于谓词逻辑的形式化查询语言，与元组关系演算类似，但它将关注点放在属性的值上，而不是整个元组。
它通过描述属性值的条件来生成查询结果。
1.域关系演算操作：-选择（σ）：根据给定的谓词条件选择满足条件的属性值。
-投影（π）：从关系中选取指定的属性列的值。
-连接（⨝）：将两个关系中满足连接条件的属性值进行合并。
第三章 关系运算
3、自然联接(natural join)---特殊的等值连接
将关系R和S中公共属性组满足对应分量相等的元组 联接起来， 并且要在结果中将重复的属性去掉。
R ⋈ S≡πi1,...im(σR.A1=S.A1∧... ∧R.AK=S.AK(R×S))
举例：
第17页，本讲稿共63页
4、 除(division)
A a
B b
abc bcd
a
b
bbf bce c a
cad adb
b
b
关系R
e f g null e
关系S
ABC D
AB
abc d
ab
abc e
ab
cad b
ca
b
b
f null
null e
CD cd ce db f null fg
CD cd ce db fg
第28页，本讲稿共63页
2. 外部并（outer union）
第26页，本讲稿共63页
i、如果R和S做自然联接时，把R中原该舍弃的元组放 到新关系中，那么这种操作称为“左外联接”操作， 用符号: R S表示。
ii、如果R和S做自然联接时，把S中原该舍弃的元组 放到新关系中，那么这种操作称为“右外联接”操作， 用符号: R S表示。
第27页，本讲稿共63页
ABC BCD
举例：
第10页，本讲稿共63页
2. 差(differedce)：设关系R和关系S具有相同的元数，
且相应的属性列具有相同的特征：
R―S≡{t︱t∈R∧tS}
其中：t是元组变量，R和S的元数相同。
举例：
第11页，本讲稿共63页
3. 笛卡儿积（cartesian product）
第4章 关系运算
自学考试《数据库原理》
连接（Join） 1）连接也称为θ连接 2）连接运算的含义 从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的 元组 R S = { | tr R∧ts S∧tr[A]θts[B] } A和B：分别为R和S上度数相等且可比的属性组 θ：比较运算符 连接运算从R和S的广义笛卡尔积R×S中选取（R关 系）在A属性组上的值与（S关系）在B属性组上值满足比 较关系的元组。
自学考试《数据库原理》
3）两类常用连接运算 等值连接（equijoin） 什么是等值连接 θ为“＝”的连接运算称为等值连接 等值连接的含义 从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A、B属性值相等 的那些元组，即等值连接为： R S = { | tr R∧ts S∧tr[A] = ts[B] } 自然连接（Natural join）
自学考试《数据库原理》
自学考试《数据库原理》
外连接 为避免自然连接时因失配而发生的信息丢失，可以假 定往参与连接的一方表中附加一个取值全为空值的行，它 和参与连接的另一方表中的任何一个未匹配上的元组都能 匹配，称之为外连接 外连接 = 自然连接 + 失配的元组 外连接的形式：左外连接、右外连接、全外连接
自学考试《数据库原理》
专门的关系运算符 不仅涉及行而且涉及列 算术比较符 辅助专门的关系运算符进行操作 逻辑运算符 辅助专门的关系运算符进行操作 广义笛卡尔积（Extended Cartesian Product） R n目关系，k1个元组 S m目关系，k2个元组 R×S 列：（n+m）列的元组的集合
自学考试《数据库原理》
自学考试《数据库原理》
示例： 找出工资在800元以上的老师 {t | tPROF t[SAL] > 800} 找出工资在800元以上的老师的姓名 {t | sPROF ( t[PNAME] s[PNAME] s[SAL] > 800 )} 给出计算机系老师的姓名 {t | uDEPT ( u[DNAME] = “计算机系” sPROF ( s[DNO] = u[DNO] t[PNAME] s[PNAME] ))} 求选修了全部课程的学生号 {t | uC ( sSC ( s[CNO] = u[CNO] t[SNO] s[SNO] ))} 求选修了张军同学所选修的全部课程的学生姓名 课程，张军选之 所求同学选之 {t | uC ( sSC wS ( s[CNO] = u[CNO] w[SNO] s[SNO] w[SNAME] = “张军” )) 元组关系演算与关系代数的等价性
数据库中的关系代数与关系演算
数据库中的关系代数与关系演算数据库涵盖的范围广泛，其运用的逻辑学与数学原理也十分严谨。
数据库中的关系代数与关系演算两个部分，是数据库分析与设计的重要内容。
本文将讨论它们的定义、方法及应用。
一、关系代数1.1 定义关系代数是一种数学形式，是一种用来描述数据库系统中数据操作的一种标准化语言。
关系代数理论分为两部分：关系代数和关系演算。
关系代数关注的是数据在层次结构中的使用。
1.2 方法关系代数的操作一般基于及定理。
关系代数的符号及运算有选择（selection）、投影（projection）、并（union）、差（difference）、乘积（product）、联接（join）以及除（division）等符号。
通过这些操作符，可以对单个关系进行处理。
一个关系实例可以看做是一个记录的集合，而这些记录也叫作元组。
1.3 应用关系代数的应用可以用于Web数据挖掘，企业数据分析，以及管理信息系统等方面。
在大多数的数据库软件中，关系代数已经内置在了SQL语言之中。
二、关系演算2.1 定义关系演算是关系完备性理论的一种重要语言，指对关系上的操作以及使用代数符号表示的过程。
关系演算是由图灵等科学家提出的一种用来处理关系数据的操作。
这种操作是从一个关系中提取出需要的信息来处理数据的。
2.2 方法关系演算有两种基本形式，分别是元组关系演算和域关系演算。
元组关系演算是指通过运算符来生成新的元组。
而域关系演算则是指通过运算符来生成新的属性值。
2.3 应用关系演算的应用包含多个方面，如关系数据库的设计，数据库查询语言的设计等。
在关系数据库中，使用关系演算的方法可以实现对数据的查询和管理，保证数据的一致性。
在现代信息技术中，关系演算也逐渐开始应用于生产及服务领域。
三、关系代数与关系演算的联系与区别关系代数和关系演算是两个相互补充、相互影响的部分。
它们的相同点在于都是面向关系的运算，都是关系数据库的理论基础。
而它们不同的地方则是，关系代数强调的是关系运算，即加、减、交、差等运算。
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算术比较符
辅助专门的关系运算符进行操作
逻辑运算符（与、或、非）
集∪ 合运∩ 算 符
含义
并 差 交
运算符
比＞ 较≥ 运＜ 算 符≤
＝ ≠
含义
大于 大于等于 小于 小于等于 等于 不等于
表2.4 关系代数运算符（续）
运算符 含义
运算符
专门的 关系 运算符
× 广义笛 逻辑运 卡尔积 算符
σ 选择 π 投影
联接
÷除
含义
非 ∧与 ∨或
3 表示记号 （1） R，tR，t[Ai]
设关系模式为R(A1，A2，…，An) 它的一个关系设为R。tR表示t是R的一个元组
t[Ai]则表示元组t中相应于属性Ai的一个分量
学生（学号，姓名，年龄，政治面貌） R
ABC
R-S
a1 b1 c1
3. 交（Intersection）
R和S
具有相同的目n
相应的属性取自同一个域
R∩S
仍为n目关系，由既属于R又属于S的元组组成 R∩S = { t|t R∧t S }
非基本运算，可由其它运算合成
R∩S = R –(R-S）
交 (续)
ABC R a1 b1 c1
记录（2004A0020306，张晓曦，18，党员） t
张晓曦
t[Ai]
3
表示记号
（2） A，t[A]，
A
若A={Ai1，Ai2，…，Aik}，其中Ai1，Ai2，…， Aik是A1，A2，…，An中的一部分，则A称为 属性列或域列。t[A]=(t[Ai1]，t[Ai2]，…， t[Aik])表示元组t在属性列A上诸分量的集合。 A则表示{A1，A2，…，An}中去掉{Ai1， Ai2，…，Aik}后剩余的属性组。
Extended Cartesian Product
R
n目关系，k1个元组
S
m目关系，k2个元组
R×S
列：（n+m）列的元组的集合
• 元组的前n列是关系R的一个元组 • 后m列是关系S的一个元组
行：k1×k2个元组
• R×S = {tr ts |tr R ∧ tsS }
广义笛卡尔积 (续)
a1 b2 c2 a2 b2 c1
ABC S a1 b2 c2
a1 b3 c2 a2 b2 c1
ABC a1 b2 c2
R ∩ S a2 b2 c1
3.1 关系代数
概述 传统的集合运算 专门的关系运算
3.1.2 专门的关系运算
广义笛卡尔积 选择 投影 联接 除
广义笛卡尔积
3 表示记号
（3） tr ts R为n目关系，S为m目关系。tr R， tsS， tr ts称为元组的联接。它是一个n + m列的元组，前n个分量为R中的一个 n元组，后m个分量为S中的一个m元组。
3 表示记号
4）像集Zx 给定一个关系R（X，Z），X和Z为属性组。 当t[X]=x时，x在R中的像集（Images Set）
a1 b3 c2
a2 b2 c1 a1 b3 c2
a2 b2 c1
a2 b2 c1 a2 b2 c1
选1择) 选（择又Se称le为c限ti制o（n）Restriction）
2) 选择运算符的含义
在关系R中选择满足给定条件的诸元组
σF(R) = {t|tR∧F(t)= '真'}
F：选择条件，是一个逻辑表达式，基本形式 为：
ABC R a1 b1 c1
AB CA BC
a1 b1 c1 a1 b2 c2 a1 b1 c1 a1 b3 c2
a1 b2 c2
a1 b1 c1 a2 b2 c1
a2 b2 c1 R × S a1 b2 c2 a1 b2 c2
ABC S a1 b2 c2
a1 b2 c2 a1 b3 c2 a1 b2 c2 a2 b2 c1 a2 b2 c1 a1 b2 c2
R∪S
仍为n目关系，由属于R或属于S的元组组成 R∪S = { t|t R∨t S }
并(续)
ABC R a1 b1 c1
a1 b2 c2 a2 b2 c1
ABC S a1 b2 c2
a1 b3 c2 a2 b2 c1
ABC a1 b1 c1 R∪S a1 b2 c2 a1 b3 c2 a2 b2 c1
为：
Zx={t[Z]|t R，t[X]=x} 它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上
分量的集合。
3.1 关系代数
概述 传统的集合运算 专门的关系运算
3.1.1 传统的集合运算
并 差 交
1. 并（Union）
R和S
具有相同的目n（即两个关系都有n个属性，
且次序相同，但属性名可以不同） 相应的属性取自同一个域
3.1 关系代数
1. 关系代数运算的三个要素 2. 关系代数运算的分类 3. 表示记号
关系代数运算的三个要素
运算对象：关系 运算结果：关系 运算符：四类
关集系合代运数算符运（算并的、差操、作交）符
将关系看成元组的集合 运算是从关系的“水平”方向即行的角度来进行
专门的关系运算符（ 笛卡尔积、投影、选 择、联接、除）
第三章 关系代数和关系演 算
关系模型的形式定义
数据结构
关系
数据操作
关系运算与关系演算
完整性规则
关系运算与关系演算
DML分成查询语句（描述用户的各类检 索要求）和更新语句（描述用户的增删 改等操作）
Nonprocedural language 关系查询语言根据理论基础的不同分
关系代数语言：集合操作,一种抽象的非过 程高级查询语言，用对关系的运算来表达查 询，非过程性较弱（需指明操作的前后顺序） 关系演算语言：谓词演算,非过程性强，操
2. 差（Difference）
R和S
具有相同的关系模式，相同的目n
相应的属性取自同一个域
R - S
仍为n目关系，由属于R而不属于S的所有元
组组成
R -S = { t|tR∧tS }
差(续)
ABC R a1 b1 c1
a1 b2 c2 a2 b2 c1
ABC S a1 b2 c2
a1 b3 c2 a2 b2 c1
[( ] X1θY1 [ )][φ [( ] X2θY2 [ )]]…
θ：比较运算符（＞，≥，＜，≤，＝或<>） X以1用，它Y1的等序：号属来性代名替、；常量、简单函数；属性名也可
φ：逻辑运算符（∧或∨） [ ]：表示任选项 …：表示上述格式可以重复下去