随机事件及其概率习题

第一章 随机事件及其概率

习题一 一、填空题

1．设样本空间}20|{≤≤=Ωx x ，事件}2

3

41|{ },121|{<≤=≤<=x x B x x A ，则B A Y 1

3{|0}{|

2}42x x x x =≤<≤≤U , B A 113{|}{|1}422

x x x x =≤≤<

Ω={}

112121 n n A A A A A A A -L L L ；

；；；. 3．一部四卷的文集，按任意次序放在书架上，各卷自左向右，或自右向左顺序恰好为1、2、3、4概率为

12

1

. 4．一批(N 个)产品中有M 个次品、从这批产品中任取n 个，其中恰有个m 个次品的概

率是 n N m n M n m M C C C /-- .

5．某地铁车站, 每5分钟有一趟列车到站，乘客到达车站的时刻是任意的，则乘客侯车时间不超过3分钟的概率为 .

6．在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于5

6

”的概率为 . 7．已知P (A )=, P(B )=,

(1) 当A ,B 互不相容时, P (A ∪B )= ; P(AB )= 0 . (2) 当B A 时, P(A+B )= ; P (AB )= ； 8. 若γ=β=α=)(,)(,)(AB P B P A P ,=+)(B A P 1γ

-;=

)(B A P βγ

-;

)(B A P +=

1αγ

-+.

9. 事件C B A ,,两两独立, 满足21)()()(<===C P B P A P ABC ，φ,且P (A+B+C )=16

9， )(A P 则= .

10．已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件的概率6.0)(=B P ，及条件概率8.0)|(=A B P ，则和事件B A +的概率=+)(B A P .

12．假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中随机取一件结果不是三

等品，则取到一等品的概率为

23

.

13. 已知===）

（则B A P b A B P a A P ,)|(,)( ab a - . 14. 一批产品共10个正品,2个次品,任取两次,每次取一件(取后不放回),则第2次抽取为次品的概率

6

1

. 15. 甲、乙、丙三人入学考试合格的概率分别是5

2

,21 ,32，三人中恰好有两人合格的概率为 2/5 .

16. 一次试验中事件A 发生的概率为p , 现进行n 次独立试验, 则A 至少发生一次的概率为

11n

p --（）

；A 至多发生一次的概率为 1

1(1)n n p np p --+-（

） .

17. 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为和，现已知目标被击中，则它是甲中的概率为 .

二、选择题

1．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”则其对立事件A 为（D ）. （A ）“甲种产品畅销，乙种产品滞销”; （B ）“甲、乙两种产品均畅销”; （C ）“甲种产品滞销”; （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”. 2. 对于任意二事件不等价的是与和B B A B A =Y ,（D ）.

() ; () ; () ; () .A A B B B A C AB D AB ??=Φ=Φ

3. 如果事件A ，B 有B A ，则下述结论正确的是（C ）.

（A ） A 与B 同时发生; （B ）A 发生，B 必发生； （C ） A 不发生B 必不发生； （D ）B 不发生A 必不发生.

4. A 表示“五个产品全是合格品”，B 表示“五个产品恰有一个废品”，C 表示“五个产品不全是合格品”，则下述结论正确的是（B ）.

() ; () ; () ; .

A A

B B A

C C B C

D A B C ====-（） 5. 若二事件A 和B 同时出现的概率P(AB )=0则（C ）.

（A ）A 和B 不相容； （B ）AB 是不可能事件； （C ）AB 未必是不可能事件； （D ）P(A )=0或P(B )=0. 6. 对于任意二事件A 和有=-)(B A P (C ).

(A) )()(B P A P -; （B ）)()()(AB P B P A P +-; （C ）)()(AB P A P -; （D ）)()()()(B A P B P B P A P -++.

8. 设A , B 是任意两个概率不为0的不相容的事件,则下列事件肯定正确的（D ）. (A) B A 与不相容; (B)B A 与相容; (C) P(AB )=P(A )P(B ); (D) P(A ?B )=P(A ). 9. 当事件A 、B 同时发生时，事件C 必发生则（B ）.

(A)()()()1;(B)()()()1;

(C)()(); (D)()().

P C P A P B P C P A P B P C P AB P C P A B ≤+-≥+-==+

10. 设B A ,为两随机事件，且A B ? ，则下列式子正确的是 (A ). （A ）)()(A P B A P =+; (B) )()(A P AB P =;

(C) )()|(B P A B P =; (D) )()()(A P B P A B P -=-.

11. 设则下列等式成立的是是三随机事件，且、、,0)(>C P C B A ( B).

() (|)(|)1; () (|)(|)(|)(|);() (|)(|)1;

() (|)(|)(|).

A P A C P A C

B P A B

C P A C P B C P AB C C P A C P A C

D P A B C P A C P B C +==+-+==U U 12. 设B A ,是任意两事件, 且0)(,>?B P B A , 则下列选项必然成立的是（B ）.

()()(|); ()()(|);

()()(|); ()()(|).

A P A P A

B B P A P A B

C P A P A B

D P A P A B <≤>≥

13．设B A ,是任意二事件,且()0P B >,(|)1P A B =,则必有（ C ）.

(A) ()()P A B P A +>; (B) ()()P A B P B +>; (C) ()()P A B P A +=; (D) ()()P A B P B +=．

14. 袋中有5个球，其中2个白球和3个黑球，又有5个人依次从袋中任取一球，取后不放回，则第二人取到白球的概率为（D ）.

1212() ; () ; () ; () .

4455A B C D

15. 设则,1)|()|(,1)(0,1)(0=+<<<

16. 某人向同一目标重复射击，每次射击命中目标的概率为)10(<

222

2

2

2

(A)3(1); (B)6(1); (C)3(1); (D)6(1).

p p p p p p p p ----

三、解答题

1.写出下列随机实验样本空间：

(1) 同时掷出三颗骰子，记录三只骰子总数之和；

(2) 10只产品中有3次产品，每次从中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数；

(3) 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

(4) 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度. 解 1（1）}18,,5,4,3{Λ； （2）}10,,5,4,3{Λ；

（3）查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，

{00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111}; （4）}1,0,0,0|),,{(=++>>>z y x z y x z y x 其中z y x ,,分别表示三段之长. 2. 设C B A ,,为三事件，用C B A ,,运算关系表示下列事件：

（1）A 发生,B 和C 不发生； （2）A 与B 都发生, 而C 不发生； （3）C B A ,,均发生； （4）C B A ,,至少一个不发生； （5）C B A ,,都不发生； （6）C B A ,,最多一个发生； （7）C B A ,,中不多于二个发生； （8）C B A ,,中至少二个发生.

解 （1）C B A 或A － (AB+AC )或A － (B +C )；（2）C AB 或AB －ABC 或AB －C ；（3）ABC ；（4）A B C ++；（5）C B A 或C B A ++；

（6）C B A C B A C B A C B A +++；（7）ABC ；（8）BC AC AB ++.

3．下面各式说明什么包含关系

(1) A AB = ； (2) A B A =+； (3) A C B A =++ 解 （1）B A ?； （2）B A ?； （3）C B A +?

4. 设}7,6,5{ },5,4,3{ },4,3,2{A },10,9,8,7,6,5,4,3,2,1{====ΩC B 具体写出下列各事件： (1) B A ， (2) B A +， (3) B A ， (4) BC A ， (5))(C B A +. 解 （1）{5}； (2) {1,3,4,5,6,7,8,9,10}； (3) {2,3,4,5}；

(4) {1,5,6,7,8,9,10}； (5) {1,2,5,6,7,8,9,10}. 5. 从数字1,2,3，…，10中任意取3个数字， （1）求最小的数字为5的概率; 记“最小的数字为5”为事件A

∵ 10个数字中任选3个为一组：选法有3

10C 种，且每种选法等可能.

又事件A 相当于：有一个数字为5，其余2个数字大于5。这种组合的种数有2

51C ? ∴

12

11)(3

1025=?=C C A P . （2）求最大的数字为5的概率。

记“最大的数字为5”为事件B ，同上10个数字中任选3个，选法有3

10C 种，且每种选法等可能，又事件B 相当于：有一个数字为5，其余2数字小于5，选法有241C ?种

20

1

1)(3

102

4=?=C C B P . 6. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少 记A 表“4只全中至少有两支配成一对” 则A 表“4只人不配对”

∵ 从10只中任取4只，取法有??

? ??410种，每种取法等可能。

要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。取法有4

245???

? ??

.21

13

2181)(1)(218

2)(4

10445=-

=-==?=∴

A P A P C C A P

7. 试证）（）（）（）（AB P B P A P B A B A P 2-+=+. 。

8．已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。

（1）两只都是正品 ；（2）两只都是次品 ；（3）一只是正品，一只是次品；（4）至少一只是正品。

解 （1） ;45

282

10

2

81==

C C p 45

1)2(210222==C C p

.45

4445111 (4) ;4516)

3(24210

12183=-=-==

=

p p C C C p 9. 把10本书任意放在书架上，求其中指定的5本书放在一起的概率。 解 .42

1

!10!5!6=?=

p 所求概率 10. 某学生宿舍有8名学生，问（1）8人生日都在星期天的概率是多少（2）8人生日都不在星期天的概率是多少（3）8人生日不都在星期天的概率是多少

解 ;7171)

1(8

81??

?

??==p

;7676)

2(8882??

?

??==p 8

3811(3)

1177p ??

=-=- ???

.

11．从0 ~ 9中任取4个数构成电话号码（可重复取）求： （1）有2个电话号码相同，另2个电话号码不同的概率p ； （2）取的至少有3个电话号码相同的概率q .

解 432.010)1(42

9

24110==A C C p ；

.037.010)2(4

110

1934110=+=C A C C q

12. 随机地将15名新生平均分配到三个班中，这15名新生有3名优秀生.求（1）每个班各分一名优秀生的概率p （2）3名优秀生在同一个班的概率q .

解 基本事件总数有

！

！！！

5 5 515种 (1) 每个班各分一名优秀生有3! 种, 对每一分法,12名非优秀生平均分配到三个班中分法总数为！！！！4 4 412种, 所以共有！

！！！！4 4 412 3种分法. 所以 p =91255 5 5154 4 4

12 3=！

！！！！！！！

！. (2)3名优秀生分配到同一个班, 分法有3种, 对每一分法,12名非优秀生分配到三个班

中分法总数为！！！！5 5 212, 共有！

！！！5 5 2123?种, 所以 q =9165 5 5155 5 2

123=?！

！！！！！！！

. 13. 在单位园内随机地取一点Q ，试求以Q 为中点的弦长超过1的概率. 解: 在单位园内任取一点Q ，并记Q 点的坐标为(x ，y )，由题意得样本空间

(){}

1,22<+=Ωy x y x ，记事件A 为“以Q 为中心的弦长超过1”，则事件

()()

??

??????????? ??>+-=2

2

2211,y x y x A ，即()??????<+=43,22y x y x A

由几何概率计算公式得 4

3143

)(=??

=ππA P .

14. 设A ，B 是两事件且P (A )=，P (B )=. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少

解：由P (A ) = ，P (B ) = 即知AB ≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P (A ∪B )=P (A )+P (B )=+= >1与P (A ∪B )≤1矛盾）. 从而由加法定理得

P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B ) (*)

（1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为 P (AB )=P (A )=，

（2）从(*)式知，当A ∪B=Ω时，P (AB )取最小值，最小值为 P (AB )=+－1= .

15. 设A ，B 是两事件,证明: )(2)()AB P B P A P B A B A P -+=+（）（ 证)()()()() A B P B A P B A B A P B A P B A P B A B A P -+-=-+=+（）（ )(2)()()()()()( AB P B P A P AB P B P AB P A P -+=-+-=.

16. 某门课只有通过口试及笔试两种考试，方可结业. 某学生通过口试概率为80%，通过笔试的概率为65%，至少通过两者之一的概率为75%，问该学生这门课结业的可能性有多大

解 A=“他通过口试”，B=“他通过笔试”,则 P(A)=, P(B)=, P(A+B)= P (A B )=P (A )+P(B)?P(A+B)=+?=

即该学生这门课结业的可能性为70%.

17. 某地有甲、乙、丙三种报纸，该地成年人中有20%读甲报，16%读乙报，14%读丙报，其中8%兼读甲和乙报，5%兼读甲和丙报，4%兼读乙和丙报，又有2%兼读所有报纸，问成年人至少读一种报纸的概率.

解 报纸分别表示读甲，乙，丙，，设C B A

35.002.004.005.008.014.016.02.0)()()()()()()()

(=+---++=+---++=++ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P .

18. 已知16

1

)()(,0)(,41)()()(======BC P AC P AB P C P B P A P ，

求事件C B A ,,全不发生的概率.

83

81431)]()()()()()()([1 )

(1)()(=

??????--=+---++-=++-=++=ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 解.

19．某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品在有75件一等品，试求在该产品任取一件的是一等品的概率.

解 “任取一件是一等品”，“任取一件是合格品”令==B A 72.075.0)04.01()|()()(=?-==A B P A P AB P .

20. 在100个次品中有10 个次品 ，每次从任取一个（不放回），求直到第4次才取到正品的概率.

解 i A =“第i 次取到正品” i =1，2，3，4.

00069.097

9098899910010)

|()|()|()()(32142131214321=???=

=A A A A P A A A P A A P A P A A A A P

21. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少

记H 表拨号不超过三次而能接通, A i 表第i 次拨号能接通. 注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码.

.10

3819810991109101)|()|()()|()()()(2131211211321211=??+?+=

++=∴

++=A A A P A A P A P A A P A P A P H P A A A A A A H 三种情况互斥

Θ

22. 若0)(,0)(>>B P A P ，且)()|(A P B A P >，证明)()|(B P A B P >. 证 )()()()()

()

(

),()|( B P A P AB P A P B P AB P A P B A P >?>>则因为 )()

()

()()()()|( B P A P B P A P A P AB P A B P =>=

所以 . 23. 证明事件A 与B 互不相容，且0<)(B P <1,则）

（）

（）（B P A P B A P -=

1|。

证 )(1)

()

()()|B P A P B P B A P B A P -==

（.。 24. 设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、3箱、2箱，三厂产品的废品率依次为、、，从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件产品，求取得正品的概率.

解 设A =｛取得的产品为正品｝， 3,2,1,=i B i 分别为甲、乙、丙三厂的产品 )(1B P =5.0 ，)(2B P =3.0，)(3B P =2.0， 9. 0)|(1=B A P ，7.0)|(, 8. 0)|(32==B A P B A P

所以 ()()∑===3

1

i i i B A P B P A P ）（.

25. 某一工厂有C B A ,,三个车间生产同一型号螺钉，每个车间的产量分别占该厂螺钉总产量的25 %、35 %、40 %，每个车间成品中的次品分别为各车间产量的5 %、4 %、2 %，如果从全厂总产品中抽取一件产品螺钉为次品，问它是C B A ,,车间生产的概率.

解 C B A 、、分别表示C B A 、、三车间生产的螺钉，D =“表示次品螺钉”

%25=）（A P %35=）（B P %45=）（C P

%5|=）（A D P %4|=）（B D P %2|=）（C D P

()()()()

D P A D P A P D A P =

=

()()

()()()()()()

C D P C P B D P B P A D P A P A D P A P ++=

69

25240435525525=?+?+??

同理 ）（D B P |=6928 ； ）（D C P |=69

16.

26. 已知男人中有5 %的色盲患者，女人中有 %的色盲患者，今从男女人数中随机地挑

选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少

解 B =｛从人群中任取一人是男性｝， A =｛色盲患者｝

因为 ()

5.0==B P B P ）

（ %25.0 )|( %5 )|(==B A P B A P ， 02625.00025.05.005.05.0)|()()|()()(=?+?=+=B A P B P B A P B P A P 所以 21

20

02625.005.05.0)()|()( )|(=

?==A P B A P B P A B P .

27.设)|()|(, ,10,,A B P A B P A B A =证明和的概率不等于其中是任意二事件是事件

B A 与独立的充分必要条件.

证 ，和的概率不等于所以和的概率不等于因为10,10A A

()()

(|)(|)()()

[1()]()()[()()] ()()(),P AB P AB P B A P B A P A P A P A P AB P A P B P AB P AB P A P B A B =?

=?-=-?=即和独立.

28. 设六个相同的元件,如下图所示那样 安置在系统中,设每个元件正常工作的概率 为p ,求这个系统正常工作的概率。假定各个 能否正常工作是相互独立的.

解: 设{}i A i =第条线路正常工作， 1,2,3,i

= {}A =代表这个系统正常工作,

{}A =代表这个系统正常工作，

由条件知，2

()i P A p =，2()1i P A p =-，

23123()1()1()1(1)P A P A P A A A p =-=-=--.

[二十六（1）]设有4个独立工作的元件1，2，3，4。它们的可靠性分别为P 1，P 2，P 3，

P 4，将它们按图（1）的方式联接，求系统的可靠性。

记A i 表示第i 个元件正常工作，i=1，2，3，4，

A 表示系统正常。

∵ A=A 1A 2A 3+ A 1A 4两种情况不互斥

∴ P (A )= P (A 1A 2A 3)+P (A 1A 4)－P (A 1A 2A 3 A 4) (加法公式)

= P (A 1) P (A 2)P (A 3)+ P (A 1) P (A 4)－P (A 1) P (A 2)P (A 3)P (A 4) = P 1P 2P 3+ P 1P 4－P 1P 2P 3P 4

(A 1, A 2, A 3, A 4独立)

29. 某类电灯泡使用时在1000小时以上的概率为，求三个灯泡在使用1000小以后最多只有一个坏的概率.

解 A 表示一个灯泡使用时数在1000小时以上

2.0=）（A P

P ｛三灯泡中最多有一个坏｝=P ｛三个全好｝+P ｛只有一个坏｝

= 33C 3

+2

3C 2

(1–=.

30. 一射手对同一目标独立进行了四次射击,若至少命中一次的概率为81

80

, 求该射手的命中率.

解 4

4480121( 0 11), (1)8133P p p p ??=-=---=?= ???

命中次）（.

31. 某型号的高射炮，每门炮发射一发击中的概率为，现若干门炮同时发射一发，问欲以99%的把握击中来犯的一架敌机至少需要配置几门炮

解 设需要配置n 门高射炮

A =“高炮击中飞机”， 则 6.0=）（A P

P ｛飞机被击中｝=P ｛n 门高射炮中至少有一门击中｝

=1–P ｛n 门高射炮全不命中｝ %994.01|)|1(1≥-=--n n A P ?01.04.0≤n ?02654

0lg 01

0lg ?=??≥n 至少配备6门炮.

32. 设有三门火炮同时对某目标射击，命中概率分别为、、，目标命中一发被击毁的概率为，命中二发被击毁的概率为，三发均命中被击毁的概率为，求三门火炮在一次射击中击毁目标的概率.

解 设A =｛目标一次射击中被击毁｝i B =｛目标被击中的发数｝，（=i 0，1，2，3，）

则28.05.07.08.0)(0=??=B P )(1B P =××+××+××=

)(2B P =××+××+××=

)(3B P =××=

2.0)|( 0)|(10==B A P B A P 9.0)|( 6. 0)|(32==B A P B A P

所以 ()()∑===3

)(i i i B A P B P A P ×+×+×=.