华东师范大学1997-高等代数考研真题及解答完整版
1997年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案
则
()
(A) f (x0 ) 是 f (x) 的极大值
(B) f (x0 ) 是 f (x) 的极小值
(C) (x0, f (x0 )) 是曲线 y f (x) 的拐点
(D) f (x0 ) 不是 f (x) 的极值, (x0, f (x0 )) 也不是曲线 y f (x) 的拐点
(4) 设F (x) x2 esint sin tdt, 则 F (x) x
1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)
(1)
已知
f
(
x)
(cos
x)
x2
,
x 0, 在 x 0 处连续,则 a
.
a,
x0
(2) 设 y ln
1 x 1 x2
,则
y x0
.
(3)
dx x(4 x)
x0
x0
x0
x0
lim e e e lncosx x2
lim ln cos x 洛必达 x0 x2
1 (sin x)
lim cos x
x0
2x
x0
lim sin x
1
e e x0 2xcos x
2
【相关知识点】1.函数 y f (x) 在点 x0 连续：
设函数
f
(
x)
在点
x0
的某一邻域内有定义,如果
程组1T x1 2T x2 3T x3 BX 0 有非零解,因
1 2 0
B
1T
,
T 2
,
T 3
2
1
0 t
华东师范大学1997-2015年高等代数考研真题及解答完整版
华东师范大学1997年攻读硕士学位研究生入学试题一.（10分）计算下列行列式：11222221122111112211...1(1)(1) (1)(1)(1)...(1)(1)(1)...(1)n n nn n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------------二.（15分）设5200200000520022A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，求正交矩阵T，使'1T AT T AT -=为对角形矩阵，并写出这个对角形矩阵.三.(15分)设200201A a b c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是复矩阵.1.求出A 的一切可能的Jordan 标准形；2.给出A 可对角化的一个充要条件.四.(15分)已知3阶实数矩阵()ij A a =满足条件(,1,2,3)ij ij a A i j ==，其中ij A 是ij a 的代数余子式，且331a =-，求： 1.A2.方程组123001x A x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解.五.（15分）证明：一个非零复数α是某一有理系数非零多项式的根⇔存在一个有理系数多项式()f x 使得1().f αα=六.（15分）设A 是n 阶反对称阵。
证明：1.当n 为奇数时|A|=0.当n 为偶数时|A|是一实数的完全平方;2.A 的秩为偶数 .七.（15分）设V 是有限维欧氏空间.内积记为(,)αβ.又A 设是V 的一个正交变换。
记{}{}12|,,|V V V V ααααααα=A =∈=-A ∈，求证：1.12,V V 是v 的子空间;2. 12.V V V =⊕八.（15分）设n 阶实数方阵的特征值全是实数且A 的所有1阶主子式之和为0，2阶主子式之和也为0.求证：0n A =九.（15分）设A，B 均是正定矩阵，证明： 1 .方程0A B λ-=的根均大于0； 2 .方程0A B λ-=所有根等于1⇔A=B.华东师范大学1998年攻读硕士学位研究生入学试题一.（10分）计算下列行列式:131********...2223333 (336)...n n n n n n n n n n n n n n-------------二.(10分)证明：方程组111122121122221122...0...0(1) 0n n n ns s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的解全是方程1122...0(2)n n b x b x b x +++=的解的充分必要条件是：12(,...,)n b b b β=可由向量组12,...,s ααα线性表示，其中12(,,...,)(1,2,...,).i i i in i s αααα==三（15分）设32()f x x ax bx c =+++是整系数多项式，证明：若ac+bc 为奇数，则f(x)在有理数域上不可约.四（15分）设A 是非奇异实对称矩阵，B 是反对称实方阵。
华东师范大学数学分析考研真题
1 n )an
也是发散级数。
四（12 分）设
D : x2 y 2 z 2 t 2 , F (t) f (x2 y2 z2)dxdydz, 其中 f 为连续
D
函数，f(1)=1.证明 F '(1) 4.
五（12 分）设 D 为由两抛物线 y x2 1 与 y x2 1 所围成的闭
的下侧法向的方向余弦。
2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
华东数分1997-2011
五.设 f ( x ) 在 a , b 上二阶可导，且 f ( x ) 0 ， f '' ( x ) 0 ，证明：
f
(x)
2 ba
b
a
f
(t )d t ,
x a,b .
5
六.设 f ( x , y ) 在 D a , b c , d 上有二阶连续偏导数。
（1） 求 f ''( x)
1
（2） （3）
若 F ( x0 , y0 ) 0, y0 f ( x0 ) 为 f(x)的一个极值，试证明： 当 Fy ( x0 , y0 ) 与 Fxx ( x0 , y0 ) 同号时， f ( x0 ) 为极大值； 当 Fy ( x0 , y0 ) 与 Fxx ( x0 , y0 ) 异号时， f ( x0 ) 为极小值。 对方程 x2 xy y 2 27 ，在隐函数形式下（不解出 y）求 y=f(x)
n
n 1
因此，令 x1
x2
xn1
1
1 n , xn2
1 。由
n2 x1 x2 xn2
1
n2 1
1
，
x1 x2
xn2
即得
n2
1
1 n
n1
1
n
n 11
2 (n
1)
1
n
=
n2
n2。
n (n 1) 1 n 1
三、证明 ：
0, ，当 x (a, a ) 时，若 f (x) f (a) ，则 f 在 a 右连续。 2K
否则， x0 (a, a ) ，使 f (x0 ) f (a) （不妨设 f (x0 ) f (a) ）。
全国名校高等代数考研真题汇编(含部分答案)
考生注意： 1.本 试 卷 满 分 为 150 分，共计10道题，每题满分15 分，考试时间总计180 分钟；
2.答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸 上均无效。
一、设 是 阶单位矩阵， ，证明 的行列式等于 .
，矩阵 满足
二、设 是 阶幕零矩阵满足
，
.证明所有的 都相似于一个对角矩阵，
的特征值之和等于矩阵 的秩.
3.南开大学高等代数考研真题 2012年南开大学804高等代数考研真题 2011年南开大学802高等代数考研真题
4.厦 门 大 学 825高等代数考研真题 2014年厦门大学825高等代数考研真题 2013年厦门大学825高等代数考研真题 2012年厦门大学825高等代数考研真题 2011年厦门大学825高等代数考研真题
有
证明：
(1)
.
(2) 是 的不变子空间，则 也是的 不变子空间.
10.四川大学高等代数考研真题及 详解
2013年四川大学931高等代数考研真 题及详解
2011年四川大学高等代数考研真题
11.浙江大学高等代数考研真题
2012年浙江大学601高等代数考研真题
浙江大学2012年攻读硕士学位研究生入学试题 考试科目：高等代数（601）
5.中 山 大 学 877高等代数考研真题
2015年中山大学877高等代数考研真题 2014年中山大学874高等代数考研真题 2013年中山大学869高等代数考研真题 2012年中山大学869高等代数考研真题 2011年中山大学875高等代数考研真题 6.中南大学高等代数考研真题 2011年中南大学883高等代数考研真题 7.湖南大学高等代数考研真题 2013年湖南大学813高等代数考研真题 8.华 东 师 范 大 学 817高等代数考研真题 2013年华东师范大学817高等代数考研真题 2012年华东师范大学817高等代数考研真题 2011年华东师范大学817高等代数考研真题 9.华中科技大学高等代数考研真题及详解 2013年华中科技大学高等代数考研真题 2012年华中科技大学高等代数考研真题及详解 2011年华中科技大学高等代数考研真题 10.四川大学高等代数考研真题及详解 2013年四川大学931高等代数考研真题及详解 2011年四川大学高等代数考研真题 11.浙江大学高等代数考研真题 2012年浙江大学601高等代数考研真题
华东师范大学2000至2009年数学分析,高等代数试题
华东师范大学2000年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：数学分析一．（24分）计算题： （1）011lim();ln(1)x x x→-+（2）32cos sin ;1cos x xdx x⨯+⎰ （3）设(,)z z x y =是由方程222(,)0F xyz x y z ++=,所确定的可微隐函数，试求grad Z.二．（14分）二、设 n n ne )11(+=，*N n ∈；1)11(++=n n nE ，*N n ∈；证明： （1）}{n e 是严格递增的;（2）}{n E 是严格递减的; （3）用对数函数x ln 的严格递增性质证明：111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，对一切n ∈N *成立. 三．（12分）设f 在[],a b 中任意两点之间都具有介值性，而且f在(),a b 内可导，'|()|f x K ≤（正常数）, (,).x a b ∈证明f 在点a 右连续（同理在点b 左连续）. 四．（14分）设12(1).nn I x dx =-⎰证明:（1）1221n n nI I n -=+,n=2,3…;（2）2,3n I n≥n=1,2,3….五（12分）设S 为一旋转曲面，由平面光滑曲线{(),[,](()0)z y f x x a b f x ==∈≥饶x 轴旋转而成。
试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S 的面积公式为'22()1()baA f x fx dx π=+⎰（提示：据空间解几知道S 的方程为222()y z f x +=）六（24分）级数问题：（1）设sin ,0()1,0xx f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,求()(0)k f。
（2）设1nn n a =∑收敛，lim 0n n na →∞=证明:111()nnn n n n n n a a a +==-=∑∑。
（3）设{()}n f x 为[],a b 上的连续函数序列，且()(),[,]n f x f x x a b ⇒∈证明：若()f x 在[],a b 上无零点。
1997考研数二真题及解析
定点,若极径 OM 、OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M , M 两点
0
0
间弧长值的一半,求曲线 L 的方程.
六、(本题满分 8 分)
设 函 数 f ( x) 在 闭 区 间 [0,1] 上 连 续 , 在 开 区 间 (0,1) 内 大 于 零 , 并 满 足
x f( x) f( x)
是(x单)(x调递a)增 的12 f,故(f)(x(x)
a)
f
(a ( )
,(x)x)(0拉,即格朗 (日x中) 在值定[a理, b])
上单调递增的.由于f (21a()( ()f()(0)),xx所以0,axx),[a,b] ,从而
(b) 1[ f (b) f (a)](b a) b f (t)dt 0,
四、(本题满分0 80分.)1
2x x x 1
取何值时
,方程组
1
x
x
2
x
3
2
无解 ,有惟一解或有无穷多解？并在
有无穷多解时写出方程组的4x通11解5x2.2 53x3 1
五、(本题满分 8 分)
设曲线 L 的极坐标方程为 r r( ) , M (r, ) 为 L 上任一点 , M (2,0) 为 L 上一
(4)求微分方程 (3x2 2xy y2)dx (x2 2xy)dy 0的通解.
(5)已知 y xex e2x, y xex ex, y xex e2x ex 是某二阶线性非齐次微分方
1
2
3
程的三个解,求此微分方程.
1 (6)已知 A 0
1 1
11 ,且 A2 AB E ,其中 E 是三阶单位矩阵,求矩阵 B .
2
a
【精品】高代空解华东师范大学
高等代数与解析几何习题精解《高等代数与解析几何习题精解》已于2002年2月正式出版.该书系大学数学习题精解系列书中的一本，由陈志杰，陈咸平，林磊，瞿森荣和韩士安编写，科学出版社出版。
ISBN7—03-009804—8。
字数:65万。
定价：39元.用B5纸印刷。
页数:563。
内容简介本书以复习思考题的形式帮助学生理解、掌握高等代数与解析几何的基本概念，以大量的例题介绍并讲解常用的各种方法、技巧与解题思路。
把例题分为基本、普遍和提高三个层次,以适合不同情况的教学与学习的需要。
本书包括向量代数、行列式、线性方程组与线性空间、矩阵、平面和直线、线性空间与欧几里得空间、曲面与曲线、线性变换、线性空间上的函数、坐标变换与点变换、多项式、若尔当典范型及其应用等内容.各章均有习题、自测题，书后附部分考研试题,并有详细的解答。
各章节目录第一章向量代数1.1向量的线性运算1.2向量的共线,共面与线性关系1。
3标架,向量和点的坐标1.4向量的线性关系与线性方程组1。
5n维向量空间1.6几何空间中向量的内积1。
7几何空间向量的外积1。
8几何空间向量的混合积1.9平面曲线的方程自测题练习答案第二章行列式2.1映射与变换2。
2置换的奇偶性2.3行列式的定义2。
4矩阵2。
5行列式的性质2。
6行列式按行(列)展开与行列式的计算2.7克拉默法则自测题练习答案第三章线性方程组与线性自空间3。
1用消元法解线性方程组3.2线性方程组的解的情况3.3向量组的线性相关性3。
4线性子空间及其基、维数3。
5齐次线性方程组的解的结构3.6非齐次线性方程组的解的结构自测题练习答案第四章矩阵的秩与矩阵的运算4。
1向量组的秩4。
2矩阵的秩4。
3用矩阵秩判断线性方程组解的情况4.4线性映射及矩阵的运算4.5矩阵的逆4.6分块矩阵4.7线性映射的象空间与核空间自测题练习答案第五章几何空间中的平面和直线5.1平面的仿射性质5。
2直线的仿射性质5.3平面的度量性质5。
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nn n nn1 n ... n3 n n2 n
二 .(10
a11x1 a12x2 ... a1n xn 0
分
)
证
明
：
方
程组
a21x1
a22x2 ... ............
a2n xn
0 (1)
的解全是方程
as1x1 as2x2 ... asn xn 0
b1x1 b2x2 ... bnxn 0(2) 的解的充分必要条件是： (b1,b2...,bn ) 可由向量组
5
n 五（20 分）设 A 是 阶方阵，证明：
（1）A 的特征多项式 f (x) 与 A 的最小多项式 m(x) 的根相同。 （2）若 A 的特征根互异，则 m(x) f (x) 。
六（20 分）设 V 是数域 F 上任一线性空间，A 是 V 上一个线性变换， F[x] 是数
域 F 上一元多项式的集合。
五（15 分）A 为 n 阶方阵， f () | E A | 是 A 的特殊多项式。并令
g() f () , （ f ()' 称为 f () 的一阶微商）。
( f (), f ()')
证明：A 与一个对角矩阵相似的充要条件是 g(A) 0. 。
3
n 六（15 分）假设 A 是 维欧氏空间 V 的线性变换，* 是同一空间 V 的变换。且
对 , V , 有 (, ) (, * ).
证明：1 * 是线性变换。 2 的核等于 * 的值域的正交补。
七（15 分）证明：任意方阵可表为两个对称方阵之积，其中一个是非奇异的。
八（15 分）设 f(x)为数域 P 上多项式，且有 f (x) f1(x)f2(x), ( f1(x), f2(x)) 1.
证明：设 d(x) 是 f (x), g(x) 的最大公因式， f (x), g(x) F[x], 则
ker d() ker f () ker g(), 其中 ker 是 的核。
n 七（20 分）设 维欧氏空间 V 的线性变换 满足 3 0.
证明： 的迹（即 在 V 的某一基下对应矩阵的迹数）等于零。
在有理数域上不可约。
1 x 1
0 0 0
三（15
分）设
A
x 1
1 y
y 1
与
B
0 0
1 0
0
相似，
2
（1）求 x, y 的值。
（2）求一个正交矩阵 T，使T 1AT T 'AT B
四（15 分）设 A 是实矩阵， ' 是 A 的转置矩阵，求证： （1） ' 与 A 的秩相等。 （2）当 A 是满秩时， ' 是正定的。
又设 D 为 P 上 N 维线性空间。 为 V 的一个线性变换。K 为 f () 的核，1 为 f1() 的核， 2 为 f2 () 的核。
证明： K 1 2.
n n 九（15 分）设 a b 1 是 阶实方阵 A 的任一特征值。a,b 是实数。如 ' 的
个特征值是
1,
2 , ...,
n
。证明：必有
1,2...,s 线性表示，其中i (i1,i2,...,in )(i 1, 2,..., s).
三（15 分）设 f (x) x3 ax2 bx c 是整系数多项式，证明：若 ac+bc 为奇数， 则 f(x)在有理数域上不可约.
四（15 分）设 A 是非奇异实对称矩阵，B 是反对称实方阵。且 AB=BA。证明：A+B 必是非奇异的。
华东师范大学 1997 年攻读硕士学位研究生入学试题
一.（10 分）计算下列行列式：
1
1 ... 1
x1(x1 1) x2(x2 1) ... xn(xn 1)
x12(x1 1) x22(x2 1) ... xn2(xn 1)
x1n1(x1 1) x2n1(x2 1) ... xnn1(xn 1)
5 2 0 0
1 2
min i
i
a
1 2
max i
i
（'是来自A的转置矩阵）。
4
华东师范大学 1999 年攻读硕士学位研究生入学试题
一（15 分）计算行列式：
n 1 n2 n3
1 0
n2 n3 n4
0 1
3 2 1 n5 n4
2 1 0 n4 n3
1 0 1 n3 n2
0 1 2 n2 n 1
二（15 分）设 P 是一个素数，多项式 f (x) xp1 xp2 ... x 1.证明： f (x)
九.（15 分）设 A，B 均是正定矩阵，证明： 1 .方程 A B 0 的根均大于 0；
2 .方程 A B 0 所有根等于 1 A=B.
2
华东师范大学 1998 年攻读硕士学位研究生入学试题
一.（10 分）计算下列行列式:
2n 2 2n1 2 ... 23 2 2 3n 3 3n1 3 ... 33 3 6
2.方程组
A
x1 x2
0 0
的解.
x3 1
1
五.（15 分）证明：一个非零复数 是某一有理系数非零多项式的根 存在一 个有理系数多项式 f (x) 使得 1 f ( ).
六.（15 分）设 A 是 n 阶反对称阵。证明： 1.当 n 为奇数时|A|=0.当 n 为偶数时|A|是一实数的完全平方; 2.A 的秩为偶数 .
二.（15
分）设
A
2 0
0 0
0
0
，求正交矩阵
T，使T ' AT
T
1 AT
为对角形
5 2
0
0
2
2
矩阵，并写出这个对角形矩阵.
2 0 0
三.(15
分)设
A
a b
2 c
01 是复矩阵.
1.求出 A 的一切可能的 Jordan 标准形；
2.给出 A 可对角化的一个充要条件.
四.(15 分)已知 3 阶实数矩阵 A (aij ) 满足条件 aij Aij (i, j 1, 2,3) ，其中 Aij 是 aij 的代数余子式，且 a33 1，求： 1. A
6
华东师范大学 2000 年攻读硕士学位研究生入学试题
一（15 分）已知下列非齐次线性方程组（1）（2）
七.（15 分）设 V 是有限维欧氏空间.内积记为 ( , ) .又 设是 V 的一个正交变
换。记V1 | , V,V2 | V ，求证：
1.V1,V2 是 v 的子空间; 2. V V1 V2.
八.（15 分）设 n 阶实数方阵的特征值全是实数且 A 的所有 1 阶主子式之和为 0， 2 阶主子式之和也为 0.求证： An 0