十年高考真题分类汇编 数学 专题 圆锥曲线
【数学】2010年高考数学选择试题分类汇编——圆锥曲线
2010年高考数学选择试题——圆锥曲线（2010湖南文数）5. 设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 A. 4 B. 6 C. 8 D. 12（2010陕西文数）9.已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则p 的值为[C]（A ）12（B ）1（C ）2（D ）4解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系（2010辽宁文数）（9）设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 （A ）2 （B ）3 （C ）312+ （D ）512+ （2010辽宁文数）（7）设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 斜率为3-，那么PF =（A ）43 （B ） 8 （C ） 83 （D ） 16（2010辽宁理数）(7)设抛物线y 2=8x 的焦点为F ，准线为l,P 为抛物线上一点,PA ⊥l,A 为垂足．如果直线AF 的斜率为-3,那么|PF|=(A)43 (B)8 (C)83 (D) 16【命题立意】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，考查了等价转化的思想。
（2010山东文数）（9）已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 （A ）1x = (B)1x =- (C)2x = (D)2x =-（2010天津理数）(5)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y=3x ,它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为（A ）22136108x y -= （B ） 221927x y -=（C ）22110836x y -= （D ）221279x y -= 【温馨提示】选择、填空中的圆锥曲线问题通常考查圆锥曲线的定义与基本性质，这部分内容也是高考的热点内容之一（2010广东文数）7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是A.54B.53C. 52D. 51（2010全国卷1文数）（8）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则12||||PF PF =(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 88.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析1】.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +- ()()2222121212121212222221cos60222PF PF PF PF PF PF F F PF PF PF PF +--+-⇒=⇒=12||||PF PF = 4【解析2】由焦点三角形面积公式得：120220121260113cot 1cot 3sin 6022222F PF S b PF PF PF PF θ∆=====12||||PF PF = 4（2010四川文数）(3)抛物线28y x =的焦点到准线的距离是(A ) 1 (B )2 (C )4 (D )8（2010安徽理数）5、双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标A 、2,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B 、5,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C 、6,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D 、()3,0（2010福建理数）7．若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(a>0)ax y -=的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP ⋅的取值范围为 ( )A ．[3-23,)+∞B ．[323,)++∞C ．7[-,)4+∞D ．7[,)4+∞ 【答案】B【解析】因为(2,0)F -是已知双曲线的左焦点，所以214a +=，即23a =，所以双曲线方程为2213x y -=，设点P 00(,)x y ，则有220001(3)3x y x -=≥，解得220001(3)3x y x =-≥，因为00(2,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以2000(2)OP FP x x y ⋅=++ =00(2)x x ++2013x -=2004213x x +-，此二次函数对应的抛物线的对称轴为034x =-，因为03x ≥，所以当03x =时，OP FP ⋅ 取得最小值432313⨯+-=323+，故OP FP ⋅的取值范围是[323,)++∞，选B 。
圆锥曲线十年真题分类汇编(带答案)
圆锥曲线十年真题分类汇编（带答案）一．基础题组1. 【2013课标全国Ⅱ，文5】设椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A．6 B ．13 C ．12 D．3【答案】：D∴32a x ==，∴c e a ===2. 【2012全国新课标，文4】设F 1，F 2是椭圆E ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P为直线32ax =上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A ．12 B ．23 C ．34 D ．45【答案】C 【解析】设直线32ax =与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°，在Rt △PF 2M 中，PF 2＝F 1F 2＝2c ，232a F M c =-，故22312cos6022a cF M PF c -︒===，解得34c a =，故离心率34e =．3. 【2010全国新课标，文5】中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )【答案】D【解析】b a ＝24＝12e 4. 【2006全国2，文5】已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是( )（A ） （B ）6 （C ） （D ）12 【答案】C【解析】由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a ，可得△ABC 的周长为4a = C.5. 【2005全国2，文5】抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为（ ）(A) 2 (B) 3(C) 4(D) 5【答案】D6. 【2005全国2，文6】双曲线22149x y -=的渐近线方程是（ ）(A) 23y x =±(B) 49y x =±(C) 32y x =±(D) 94y x =±【答案】C【解析】由题意知：2,3a b ==，∴双曲线22149x y -=的渐近线方程是32y x =±.7. 【2017新课标2，文5】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A ．)+∞B ．C ．D ．(1,2)【解析】由题意222222111c a e a a a+===+，因为1a >，所以21112a <+<，则1e <<故选C.【考点】双曲线离心率【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.8. 【2015新课标2文数】已知双曲线过点(,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线的标准方程为 ．【答案】2214x y -= 【解析】【考点定位】本题主要考查双曲线几何性质及计算能力.【名师点睛】本题是求双曲线的标准方程,若设标准形式,需先判断焦点是在x 轴上,还是在y 轴上,而此题解法通过设共渐近线的双曲线的方程,就不需要判断双曲线焦点是在x 轴上,还是在y 轴上.一般的结论是：以()0,0by x a b a=±>>为渐近线的双曲线的方程可设为()22220x y m m a b-=≠. 二．能力题组1. 【2014全国2，文10】设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则 AB =（ ）（A （B ） （C ）12 （D ）【解析】由题意，得3(,0)4F ．又因为0k tan 303==，故直线AB 的方程为3y )34=-，与抛物线2=3y x 联立，得21616890x x -+=，设1122(x ,y ),(x ,y )A B ，由抛物线定义得，12x x AB p =++=168312162+=，选C ． 2. 【2013课标全国Ⅱ，文10】设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )．A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y 1)x -或y ＝1)x -C ．y 1)x -或y ＝1)x -D ．y ＝1)2x -或y ＝1)2x -- 【答案】：C设|AM |＝|AF |＝3t (t ＞0)，|BN |＝|BF |＝t ，|BK |＝x ，而|GF |＝2， 在△AMK 中，由||||||||NB BK AM AK =，得34t xt x t =+，解得x ＝2t ，则cos ∠NBK ＝||1||2NB t BK x ==， ∴∠NBK ＝60°，则∠GFK ＝60°，即直线AB 的倾斜角为60°.∴斜率k y 1)x －．当直线l 的斜率小于0时，如图所示，同理可得直线方程为y ＝1)x －，故选C.3. 【2012全国新课标，文10】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，||AB =C 的实轴长为( )A ．．4 D ．8 【答案】 C4. 【2006全国2，文9】已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为( ) （A ）53 （B ）43 （C ）54 （D ）32【答案】A【解析】双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为b y x a =，与43y x =相同，∴3,4a t b t ==，∴53c e a ===.5. 【2005全国3，文9】已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为（ ）A ．43B ．53CD【答案】C∴1212||||||MF MF d F F ===. 6.【2017新课标2，文12】过抛物线2:4C y x =的焦点FC 于点M （M 在的轴上方），为C 的准线，点N 在上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为AB．C．D．【答案】C【解析】由题知:1)MF y x -，与抛物线24y x =联立得231030x x -+=，解得121,33x x ==，所以(33)M ，因为M N l ⊥，所以(13)N -，因为(1,0F ，所以:(1)N F y x =-. 所以M 到直线NF=【考点】直线与抛物线位置关系【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数的关系或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；涉及中点弦问题往往利用点差法.7.【2016新课标2文数】设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k =（A ）12 （B ）1 （C ）32（D ）2【答案】D 【解析】试题分析：因为F 是抛物线24y x =的焦点，所以(1,0)F ， 又因为曲线(0)k y k x =>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，所以21k=，所以2k =，选D. 【考点】 抛物线的性质，反比例函数的性质【名师点睛】抛物线方程有四种形式，注意焦点的位置. 对于函数y =kx(0)k ≠，当0k >时，在(,0)-∞，(0,)+∞上是减函数，当0k <时，在(,0)-∞，(0,)+∞上是增函数. 三．拔高题组1. 【2010全国2，文12】已知椭圆C ：22x a ＋22y b ＝1(a ＞b ＞0)，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线与C 相交于A 、B 两点，若AF ＝3FB ，则k 等于( )A ．．2 【答案】：B又∵AF＝3FB，∴AF＝3FB，∴|AA1|＝3FBe，∴|AM|＝|AA1|－|MA1|＝|AA1|－|BB1|＝2FBe，而|AB|＝|AF|＋|FB|＝4|FB|，在Rt△BAM中，cos∠BAM＝AMAB＝24FBeFB＝12e∴sin∠BAMk＝tan∠BAM2. 【2007全国2，文11】已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率为( )(A) 13(B)33(C)21(D)23【答案】：D3. 【2007全国2，文12】设F 1,F 2分别是双曲线1922=-y x 的左右焦点，若点P 在双曲线上,且120PF PF ∙=，则12||PF PF +=( ) (A)10 (B)102(C)5 (D) 52【答案】：B【解析】∵120PF PF ∙=，∴12PFPF ⊥，∴221212||||4(19)40PF PF F F +==+=，∴12||PF PF += 4. 【2006全国2，文11】过点（－1，0）作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为( )（A ）220x y ++= （B ）330x y -+= （C ）10x y ++= （D ）10x y -+= 【答案】D 【解析】5. 【2005全国3，文10】设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）A ．12C ．2D 1【答案】D6. 【2010全国2，文15】已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM ＝MB ，则p ＝________. 【答案】：2 【解析】：l ：x ＝－2p，过M (1,0)yx －1)，联立得21)p x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩解得23(1)2p x p y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩∴A (－2p2p ＋1))． 又∵AM ＝MB ，∴M 点为AB 的中点．∴B 点坐标为(2p ＋22p＋1))． 将B (2p ＋22p ＋1))代入y 2＝2px (p ＞0)，得3(2p ＋1)2＝2p (2p ＋2)，解得p ＝2或p ＝－6(舍)．7. 【2010全国2，文22】已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22x a－22y b ＝1(a ＞0，b ＞0)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为M (1,3)． (1)求C 的离心率；(2)设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF |·|BF |＝17，证明过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．1 2×2224ab a-＝1，即b2＝3a2，②故c2a，所以C的离心率e＝ca＝2.(2)由①②知，C的方程为3x2－y2＝3a2，A(a,0)，F(2a,0)，x1＋x2＝2，x1·x2＝－2432a+＜0，故不妨设x1≤－a，x2≥a.|BF|a－2x1，|FD|2x2－a.所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．8. 【2006全国2，文22】（本小题满分１２分）已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且(0).AF FB λλ=>过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M 。
圆锥曲线十年高考题(带详细解析)
答案解析1将方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +by 2=0转化为标准方程：x b ay b y a x -==+22222,111.因为a ＞b ＞0，因此，ab 11>＞0，所以有：椭圆的焦点在y 轴，抛物线的开口向左，得D 选项. 4.答案：B 2.答案：D ∵θ∈（0，4π），∴sin θ∈（0，22），∴a 2=tan θ，b 2=c ot θ∴c 2=a 2+b 2=tan θ+c ot θ，∴e 2=θθθθ222sin 1tan cot tan =+=a c ，∴e =θsin 1，∴e ∈（2，+∞） 3.答案：D 由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上∴椭圆焦点（2253n m -，0），双曲线焦点（2232n m +，0）∴3m 2－5n 2=2m 2+3n 2∴m 2=8n 2又∵双曲线渐近线为y =±||2||6m n ⋅²x∴代入m 2=8n 2，|m |=22|n |，得y =±43x 4答案：C 由F 1、F 2的坐标得2c ＝3－1，c ＝1，又∵椭圆过原点a －c ＝1，a ＝1＋c ＝2，又∵e ＝21=a c ，∴选C. 5.答案：D 由题意知a =2，b =1，c =3，准线方程为x =±ca 2，∴椭圆中心到准线距离为6.答案：C 渐近线方程为y =±b a x ，由b a ²（－ba ）＝－1，得a 2＝b 2，∴c ＝2a ，14.答案：B y =－x 2的标准式为x 2＝－y ，∴p ＝21，焦点坐标F （0，－41）． 7.答案：A 不妨设F 1（－3，0），F 2（3，0）由条件得P （3，±23），即|PF 2|=23，|PF 1|=2147，因此|PF 1|=7|PF 2|，故选A.8.答案：A 将已知椭圆中的x 换成－y ，y 换成－x 便得椭圆C 的方程为9)3(4)2(22+++y x＝1，所以选A.9.答案：A 由已知有⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2142a c c a a ＝2，c ＝1，b 2＝3,于是椭圆方程为3422y x +＝1, 10.答案：C 如图8—14，原点O 逆时针方向旋转90°到O ′，则O ′（－4，4）为旋转后椭圆的中心，故旋转后所得椭圆方程为25)4(9)4(22-++y x ＝1．所以选C. 11.答案：B 把已知方程化为25)1(9)3(22++-y x =1，∴a =5，b =3，c =4 ∵椭圆的中心是（3，－1），∴焦点坐标是（3，3）和（3，－5）.12.答案：A 由已知，直线l 的方程为ay +bx －ab =0，原点到直线l 的距离为43c ，则有c b a ab 4322=+，又c 2=a 2+b 2，∴4ab =3c 2，两边平方，得16a 2（c 2－a 2）=3c 4，两边同除以a 4，并整理，得3e 4－16e 2+16=0∴e 2=4或e 2=34.而0＜a ＜b ，得e 2=222221ab a b a +=+＞2，∴e 2=4.故e =2.13.答案：D ，得2)cos 2(2θ-x +（y +sin θ）2=1.∴椭圆中心的坐标是（2cos θ，－sinθ）.其轨迹方程是⎩⎨⎧-==θθsin cos 2y x θ∈［0，2π］.即22x +y 2=1（0≤x ≤2，－1≤y ≤0）.30.答案：C 将双曲线方程化为标准形式为x 2－32y＝1，其焦点在x 轴上，且a =1，b =3，故其渐近线方程为y ＝±abx ＝±3x ，所以应选C.14.答案：D 原方程可变为ky x 2222+＝1，因为是焦点在y 轴的椭圆，所以⎪⎩⎪⎨⎧>>220k k ，解此不等式组得0<k <1，因而选D.15.答案：A 解法一：由双曲线方程知|F 1F 2|＝25，且双曲线是对称图形，假设P （x ，142-x ），由已知F 1P ⊥F 2 P ，有151451422-=+-⋅--x x x x ，即1145221,52422=-⋅⋅==x S x ，因此选A.16.答案：23因为F 1、F 2为椭圆的焦点，点P 在椭圆上，且正△POF 2的面积为3，所以S =21|OF 2|²|PO |sin60°=43c 2，所以c 2=4.∴点P 的横、纵坐标分别为23,2c c ，即P （1，3）在椭圆上，所以有2231b a +=1，又b 2+c 2=a 2，⎩⎨⎧+==+22222243ba b a a b17.答案：（3，2）解法一：设直线y =x －1与抛物线y 2=4x 交于A (x 1，y 1),B （x 2，y 2）,其中点为P （x 0，y 0）.由题意得⎩⎨⎧=-=xy x y 412，（x －1）2=4x ，x 2－6x +1=0.∴x 0=221x x +=3.y 0=x 0－1=2.∴P （3，2）. 18.答案：1625)2(22y x +- =1由两焦点坐标得出椭圆中心为点（2，0），焦半径c =3 ∵长轴长为10，∴2a =10，∴a =5，∴b =22c a -=4∴椭圆方程为1625)2(22y x +-=1 19答案：（±7，0）由双曲线方程得出其渐近线方程为y =±2m x ∴m =3，求得双曲线方程为3422y x -=1，从而得到焦点坐标. 20.答案：（2，1）抛物线（y －1）2=4（x －1）的图象为抛物线y 2=4x 的图象沿坐标轴分别向右、向上平移1个单位得来的.∵抛物线y 2=4x 的焦点为（1，0）∴抛物线（y －1）2=4（x －1）的焦点为（2，1）21.答案：－1椭圆方程化为x 2+ky 52-=1∵焦点（0，2）在y 轴上，∴a 2=k -5，b 2=1又∵c 2=a 2－b 2=4，∴k =－122答案：x 2－4y 2＝1设P （x 0，y 0） ∴M （x ，y ）∴2,200y y x x == ∴2x ＝x 0，2y ＝y 0∴442x －4y 2＝1⇒x 2－4y 2＝1 23.答案：516设|PF 1|＝M ，|PF 2|＝n （m ＞n ）a ＝3 b ＝4 c ＝5∴m －n ＝６ m 2＋n 2＝4c 2 m 2＋n 2－（m －n ）2＝m 2＋n 2－（m 2＋n 2－2mn ）＝2mn ＝4³25－36＝64 mn ＝32.又利用等面积法可得：2c ²y ＝mn ，∴y ＝516 24.答案：16922y x -=1由已知a =3，c =5，∴b 2=c 2－a 2=16又顶点在x 轴，所以标准方程为16922y x -=1. 25.解：（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4，得2a =4，即a =2.又点A （1，23）在椭圆上，因此222)23(21b +=1得b 2=3，于是c 2=1.所以椭圆C 的方程为3422y x +=1，焦点F 1（－1，0），F 2（1，0）. （2）设椭圆C 上的动点为K （x 1，y 1），线段F 1K 的中点Q （x ，y ）满足：2,2111yy x x =+-=， 即x 1=2x +1，y 1=2y . 因此3)2(4)12(22y x ++=1.即134)21(22=++y x 为所求的轨迹方程.（3）类似的性质为：若M 、N 是双曲线：2222by a x -=1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN之积是与点P 位置无关的定值.设点M 的坐标为（m ，n ），则点N 的坐标为（－m ，－n ），其中2222bn a m -=1.又设点P 的坐标为（x ，y ），由mx ny k m x n y k PN PM++=--=,， 得k PM ²k PN =2222m x n y m x n y m x n y --=++⋅--，将22222222,ab n b x a b y =-=m 2－b 2代入得k PM ²k PN =22ab .26解：（1）设F 2（c ，0）（c ＞0），P （c ，y 0），则2222by a c -=1.解得y 0=±a b 2∴|PF 2|=a b 2在直角三角形PF 2F 1中，∠PF 1F 2=30°解法一：|F 1F 2|=3|PF 2|，即2c =ab 23将c 2=a 2+b 2代入，解得b 2=2a 2 解法二：|PF 1|=2|PF 2|由双曲线定义可知|PF 1|－|PF 2|=2a ，得|PF 2|=2a .∵|PF 2|=a b 2，∴2a =ab 2，即b 2=2a 2，∴2=a b故所求双曲线的渐近线方程为y =±2x .27.（Ⅰ）解：由椭圆定义及条件知2a =|F 1B |+|F 2B |=10，得a =5，又c =4所以b =22c a -=3.故椭圆方程为92522y x +=1. （Ⅱ）由点B （4，y B ）在椭圆上，得|F 2B |=|y B |=59.（如图8—18） 因为椭圆右准线方程为x =425，离心率为54根据椭圆定义，有|F 2A |=54（425－x 1），|F 2C |=54（425－x 2）由|F 2A |，|F 2B |，|F 2C |成等差数列，得54（425－x 1）+54（425－x 2）=2³59由此得出x 1+x 2=8.设弦AC 的中点为P （x 0，y 0） 则x 0=28221=+x x =4. （Ⅲ）由A （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在椭圆上，得⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+25925925925922222121y x y x 图8—18④⑤由④－⑤得9（x 12－x 22）+25（y 12－y 22）=0. 即)))(2(25)2(921212121x x y y y y x x --+++=0（x 1≠x 2） 将kx x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+（k ≠0）代入上式，得 9³4+25y 0（－k1）=0（k ≠0）. 由上式得k =3625y 0（当k =0时也成立）. 由点P （4，y 0）在弦AC 的垂直平分线上，得y 0=4k +m . 所以m =y 0－4k =y 0－925y 0=－916y 0. 由P （4，y 0）在线段BB ′（B ′与B 关于x 轴对称，如图8—18）的内部，得－59＜y 0＜59. 所以－516＜m ＜516. 28.解法一：由已知|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25，根据直角的不同位置，分两种情况：若∠PF 2F 1为直角，则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2即|PF 1|2＝（6－|PF 1|）2＋20， 得|PF 1|＝314，|PF 2|＝34，故27||||21=PF PF ；若∠F 1PF 2为直角，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，即20＝|PF 1|2＋（6－|PF 1|）2，得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，故||||21PF PF ＝2.29.证法一：依题设得椭圆的半焦距c =1，右焦点为F （1，0），右准线方程为x =2，点E 的坐标为（2，0），EF 的中点为N （23，0）. 若AB 垂直于x 轴，则A （1，y 1），B （1，－y 1），C （2，－y 1），∴AC 中点为N （23，0），即AC 过EF 中点N .若AB 不垂直于x 轴，由直线AB 过点F ，且由BC ∥x 轴知点B 不在x 轴上，故直线AB 的方程为y =k （x －1），k ≠0.记A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），则（2，y 2）且x 1，x 2满足二次方程22x +k 2（x －1）2=1，即（1+2k 2）x 2－4k 2x +2（k 2－1）=0∴2221222121)1(2,214kk x x k k x x +-=+=+. 又x 12=2－2y 12＜2，得x 1－23≠0，故直线AN 、CN 的斜率分别为 )1(2232,32)1(22322211111-=-=--=-=x k yk x x k x y k .∴k 1－k 2=2k ²32)32)(1()1(1121-----x x x x∵（x 1－1）－（x 2－1）（2x 1－3）=3（x 1+x 2）－2x 1x 2－4 =2211k+［12k 2－4（k 2－1）－4（1+2k 2）］=0， ∴k 1－k 2=0，即k 1=k 2.故A 、C 、N 三点共线.所以，直线AC 经过线段EF 的中点N .30.解：设椭圆C 的方程为12222=+b y a x ，由题意a =3，c =22，于是b =1.∴椭圆C 的方程为92x ＋y 2＝1．由⎪⎩⎪⎨⎧=++=19222y x x y 得10x 2＋36x ＋27＝0， 因为该二次方程的判别式Δ＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则x 1＋x 2＝518-， 故线段AB 的中点坐标为（51,59-）．图8—22。
10年高考真题汇总—圆锥曲线按题型分类汇编
(2014 全国 1 理 21)已知点 A （0，-2） ，椭圆 E ：
x2 y2 3 2 1( a b 0) 的离心率为 ， 2 a b 2
F 是椭圆的焦点，直线 AF 的斜率为
（I）求 E 的方程；
2 3 ， O 为坐标原点. 3
（Ⅱ）设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点，当 OPQ 的面积最大时，求 l 的方程.
x2 y 2 =1 (a＞b＞0)右焦点的直线 x y 3 0 交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点， a 2 b2 1 且 OP 的斜率为 . 2
(1)求 M 的方程； (2)C， D 为 M 上两点， 若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB， 求四边形 ACBD 面积的最大值．
题型四、焦半径 (2007 全国 2 理 12) 设 F 为抛物 线 y 4 x 的焦点 ，A、B、C 为该抛 物线上三 点，若
FA FB FC 0 ，则 | FA | | FB | | FC |
(2010 全国 2 理 15)已知抛物线 C : y 2 px ( p＞0) 的准线为 l ，过 M (1, 0) 且斜率为 3 的 直线与 l 相交于点 A ，与 C 的一个交点为 B ．若 AM MB ，则 p
．
(2011 全国 2 理 15)已知 F1、F2 分别为双曲线 C:
x2 y2 右焦点， 点 M 在 E 上，MF1 1 的左、 a2 b2
）
2
B.
3 2
1 ,则 E 的离心率为（ 3
D. 2
C. 3
Байду номын сангаас
题型三、面积问题 (2007 全国 1 理 11)抛物线 y 4 x 的焦点为 F，准线为 l，经过 F 且斜率为 3 的直线与抛 物线在 x 轴上方的部分相交于点 A ， AK l , 垂足为 K ，且△ AKF 的面积是 A．4 B．3 3 C．4 3 D．8
专题19圆锥曲线解答题-【2023高考】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题19 圆锥曲线解答题一、解答题1．(2022年全国甲卷理科·第20题)设抛物线2:2(0)C y px p =>焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =．(1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．【答案】(1)24y x =；(2):4AB x =+．解析：(1)抛物线的准线为2px =-，当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p ，此时=32pMF p +=，所以2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =；(2)设222231241234,,,,,,,4444y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线:1MN x my =+，由214x my y x =+⎧⎨=⎩可得2440y my --=，120,4y y ∆>=-，由斜率公式可得12221212444MN y y k y y y y -==+-，34223344444AB y y k y y y y -==+-，直线112:2x MD x y y -=⋅+，代入抛物线方程可得()1214280x y y y --⋅-=，130,8y y ∆>=-，所以322y y =，同理可得412y y =，所以()34124422MNAB k k y y y y ===++又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为,αβ，所以tan tan 22MN AB k k αβ===，若要使αβ-最大，则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设220MN AB k k k ==>，则()2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k αβαβαβ--===≤=+++，当且仅当12k k =即k =的的所以当αβ-最大时，AB k =:AB x n =+，代入抛物线方程可得240y n --=，34120,4416y y n y y ∆>=-==-，所以4n =，所以直线:4AB x +．【题目栏目】圆锥曲线\抛物线\直线与抛物线的综合问题【题目来源】2022年全国甲卷理科·第20题2．(2022年全国乙卷理科·第20题)已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P-的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【答案】(1)22143y x +=(2)(0,2)-解析：设椭圆E 的方程为221m x ny +=，过()30,2,,12AB ⎛--⎫⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=．【小问2详解】3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =．代入22134x y+=，可得(1,M，(1N ，代入AB 方程223y x =-，可得(3,T，由MT TH=得到(5,H-．求得HN方程：(22y x=-，过点(0,2)-．②若过点(1,2)P-的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y--+=．联立22(2)0,134kx y kx y--+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k+-+++=，可得1221226(2)343(4)34k kx xkk kx xk+⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34ky ykk ky yk-+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x yk-+=+联立1,223y yy x=⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2yT y H y x y++-可求得此时1222112:()36y yHN y y x xy x x--=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x y y x y x y y y-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k+++---+--=显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,2).-【题目栏目】圆锥曲线\椭圆\直线与椭圆的综合问题【题目来源】2022年全国乙卷理科·第20题3．(2022新高考全国II卷·第21题)已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的右焦点为(2,0)F，渐近线方程为y=．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点()()1122,,,P x y Q x y在C上，且1210,0x x y>>>．过P且斜率为的直线与过Q的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】(1)2213y x -=(2)见解析解析:(1)右焦点为(2,0)F ，∴2c =,∵渐近线方程为y =，∴ba=∴b =，∴222244c a b a =+==，∴1a =，∴b =． ∴C 的方程为：2213y x -=；(2)由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而12x x =，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零．设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为()2y k x =-,则条件①M 在AB 上，等价于()()2000022k x ky k x =-⇔=-；两渐近线方程合并为2230x y -=,联立消去y 并化简整理得：()22223440k x k x k --+=设()()3334,,,A x y B x y ,线段中点(),N N N x y ,则()2342226,2233N N N x x k kx y k x k k +===-=--,设()00,M x y , 则条件③AM BM =等价于()()()()222203030404x x y y x x y y -+-=-+-,移项并利用平方差公式整理得：()()()()3403434034220x x x x x y y y y y ⎡⎤⎡⎤--++--+=⎣⎦⎣⎦，()()3403403434220y y x x x y y y x x -⎡⎤⎡⎤-++-+=⎣⎦⎣⎦-,即()000N N x x k y y -+-=,的为即200283k x ky k +=-；由题意知直线PM的斜率为直线QM,∴由))10102020,y y x x y y x x -=--=-,∴)121202y y x x x -=+-,所以直线PQ 的斜率1212y y m x x -==-,直线)00:PM y x x y =-+,即00y y =+-,代入双曲线的方程22330x y --=,即))3y y +-=中，得：()()00003y y ⎡⎤+-+=⎣⎦,解得P的横坐标：100x y ⎫=+⎪⎪⎭,同理：200x y ⎫=⎪⎪⎭，∴0012012002222000033,2,33y x x x x x x x y x y x ⎫-=++-=----∴03x m y =, ∴条件②//PQ AB 等价于003m k ky x =⇔=，综上所述：条件①M 在AB 上，等价于()2002ky kx =-；条件②//PQ AB 等价于003ky x =；条件③AM BM =等价于200283k x ky k +=-；选①②推③:由①②解得：2200002228,433k k x x ky x k k =∴+==--,∴③成立；选①③推②：由①③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴003ky x =，∴②成立；选②③推①：由②③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴02623x k -=-，∴()2002ky kx =-，∴①成立．【题目栏目】圆锥曲线\双曲线\直线与双曲线的综合问题【题目来源】2022新高考全国II 卷·第21题4．(2022新高考全国I 卷·第21题)已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．(1)求l 斜率；(2)若tan PAQ ∠=，求PAQ △的面积．【答案】(1)1-；．解析：(1)因为点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上，所以224111a a -=-，解得22a =，即双曲线22:12x C y -=易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩可得，()222124220k x mkx m ----=，所以，2121222422,2121mk m x x x x k k ++=-=--，()()22222216422210120m k m k m k ∆=++->⇒-+>．的所以由0AP BP k k +=可得，212111022y y x x --+=--，即()()()()122121210x kx m x kx m -+-+-+-=，即()()()1212212410kx x m k x x m +--+--=，所以()()2222242124102121m mk k m k m k k +⎛⎫⨯+-----= ⎪--⎝⎭，化简得，()2844410k k m k +-++=，即()()1210k k m +-+=，所以1k =-或12m k =-，当12m k =-时，直线():21l y kx m k x =+=-+过点()2,1A ，与题意不符，舍去，故1k =-．(2)不妨设直线,PA PB 的倾斜角为,2παβαβ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，因为0AP BP k k +=，所以παβ+=，由(1)知，212220x x m =+>，当,A B 均在双曲线左支时，2PAQ α∠=，所以tan 2α=2tan 0αα+-=，解得tan α=(负值舍去)此时PA 与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；当,A B 均在双曲线右支时，因为tan PAQ ∠=，所以()tan βα-=，即tan 2α=-，2tan 0αα-=，解得tan α=(负值舍去)，于是，直线):21PA y x =-+，直线):21PB y x =-+，联立)222112y x x y ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩可得，(23211002x x +-+-=，因为方程有一个根为2，所以P x =，P y=，同理可得，Q x =，Q y= 所以5:03PQ x y +-=，163PQ =，点A 到直线PQ的距离d 故PAQ △的面积为11623⨯=．【题目栏目】圆锥曲线\双曲线\直线与双曲线的综合问题【题目来源】2022新高考全国I 卷·第21题5．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第20题)已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点为F ，且离．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =．【答案】解析:(1)由题意，椭圆半焦距c =c e a ==a =2221b ac =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；(2)由(1)得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意；当直线MN ()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =-即0kx y --=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以121234x x x x +=⋅=，所以MN ==,所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得1=，所以221b k =+，联立2213y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=，所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++，所以MN====，化简得()22310k-=，所以1k=±，所以1kb=⎧⎪⎨=⎪⎩1kb=-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x=-或y x=-+，所以直线MN过点F，M，N，F三点共线，充分性成立；所以M，N，F三点共线的充要条件是||MN=．【题目栏目】圆锥曲线\椭圆\直线与椭圆的综合问题【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第20题6．(2021年新高考Ⅰ卷·第21题)在平面直角坐标系xOy中，已知点()1F 、)21217,02F MF MF-=，点M的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)设点T在直线12x=上，过T两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，且TA TB TP TQ⋅=⋅，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．【答案】解析：因为12122MF MF F F-=<=所以，轨迹C是以点1F、2F为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C的方程为()222210,0x ya ba b-=>>，则22a=，可得1a=，4b==，所以，轨迹C的方程为()221116yx x-=≥；(2)设点1,2T t⎛⎫⎪⎝⎭，若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点，不妨直线AB的方程为112y t k x⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即1112y k x t k=+-，联立1122121616y k x t kx y⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩，消去y并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k⎛⎫-+-+-+=⎪⎝⎭，设点()11,A x y、()22,B x y，则112x>且212x>．由韦达定理可得2111221216k k tx xk-+=-，211221116216t kx xk⎛⎫-+⎪⎝⎭=-，的所以，()()()()22122121121122112111*********t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+= ⎪-⎝⎭，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116tk TP TQ k ++⋅=-，因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，即()()()()22221222121211211616tk t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -≠，故120k k +=．因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0．【题目栏目】圆锥曲线\双曲线\双曲线的几何性质【题目来源】2021年新高考Ⅰ卷·第21题7．(2020年新高考I 卷(山东卷)·第22题)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，且过点A (2，1)．(1)求C 的方程：(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【答案】(1)22163x y +=；(2)详见解析．解析：(1)由题意可得：22222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=．(2)设点()()1122,,,M x y N x y ．因为AM ⊥AN ，∴·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=,①当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+,如图1．代入椭圆方程消去y 并整理得：()22212k4260xkmx m +++-=2121222426,1212km m x x x x k k-+=-=++ ②,,根据1122,y kx m y kx m =+=+,代入①整理可得：()()()()221212k1x 2140x km k x x m ++--++-+=将②代入，()()()22222264k 121401212m km km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭，整理化简得()()231210k m k m +++-=,∵2,1A （）不在直线MN 上，∴210k m +-≠，∴23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以直线过定点直线过定点21,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭．当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -,如图2．代入()()()()121222110x x y y --+--=得()2212210x y -+-=,结合2211163x y +=,解得()1122,3x x ==舍,此时直线MN 过点21,33E ⎛-⎪⎝⎭,由于AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 中点Q 满足QD 为定值(AE =)．由于()21,32,13,A E ⎛⎫-⎪⎝⎭，故由中点坐标公式可得41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得|DQ|为定值．【题目栏目】圆锥曲线\圆锥曲线的综合问题\圆锥曲线的综合问题【题目来源】2020年新高考I 卷(山东卷)·第22题8．(2020新高考II 卷(海南卷)·第21题)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M (2，3),点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．【答案】(1)2211612x y +=；(2)18．解析：(1)由题意可知直线AM 的方程为：13(2)2y x -=-，即24-=-x y ．当y =0时，解得4x =-=4，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点M (2，3)，可得249116b +=，解得b 2=12．所以C 的方程：2211612x y +=．(2)设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值．联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y +=，可得：()2232448m y y ++=，化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m ∆=-⨯-=，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=，直线AM 方程为：24-=-x y ，点N 到直线AM利用平行线之间的距离公式可得：d ==，由两点之间距离公式可得||AM ==．所以△AMN 的面积的最大值：1182⨯=．【题目栏目】圆锥曲线\圆锥曲线的综合问题\圆锥曲线的综合问题【题目来源】2020新高考II 卷(海南卷)·第21题9．(2021年高考全国乙卷理科·第21题)已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．(1)求p ；(2)若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值．【答案】(1)2p =；(2)解析：(1)抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，42pFM =+，所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =；(2)抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得2x y '=，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x x y y =-，即11220x x y y --=，同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=，由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=，所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=，由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，所以，AB ===，点P 到直线AB的距离为d 所以，()3220011422PABS AB d x y =⋅=-△，()()2222000000041441215621x y y y y y y -=-+-=---=-++ ，由已知可得053y -≤≤-，所以，当05y =-时，PAB △的面积取最大值321202⨯=【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．【题目栏目】圆锥曲线\抛物线\直线与抛物线的综合问题【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第21题10．(2021年高考全国甲卷理科·第20题)抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．(1)求C ，M 的方程；(2)设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．【答案】(1)抛物线2:C y x =，M 方程为22(2)1x y -+=；(2)相切，理由见解析解析：(1)依题意设抛物线200:2(0),(1,),(1,)C y px p P y Q y =>-，20,1120,21OP OQ OP OQ y p p ⊥∴⋅=-=-=∴= ，所以抛物线C 的方程为2y x =，(0,2),M M 与1x =相切，所以半径为1，所以M 的方程为22(2)1x y -+=；(2)设111222333(),(,),(,)A x y A x y A x y 若12A A 斜率不存在，则12A A 方程为1x =或3x =，若12A A 方程为1x =，根据对称性不妨设1(1,1)A ，则过1A 与圆M 相切的另一条直线方程为1y =，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在3A ，不合题意；若12A A 方程为3x =，根据对称性不妨设12(3,A A则过1A 与圆M 相切的直线13A A 为3)y x -=-，又1313313131A Ay yk yx x y y-====∴=-+，330,(0,0)x A=，此时直线1323,A A A A关于x轴对称，所以直线23A A与圆M相切；若直线121323,,A A A A A A斜率均存在，则121323121323111,,A A A A A Ak k ky y y y y y===+++，所以直线12A A方程为()11121y y x xy y-=-+，整理得1212()0x y y y y y-++=，同理直线13A A的方程为1313()0x y y y y y-++=，直线23A A的方程为2323()0x y y y y y-++=，12A A与圆M相切，1=整理得22212121(1)230y y y y y-++-=，13A A与圆M相切，同理22213131(1)230y y y y y-++-=所以23,y y为方程222111(1)230y y y y y-++-=的两根，2112323221123,11y yy y y yy y-+=-⋅=--，M到直线23A A的距离为：2=2121111yy+===+，所以直线23A A 与圆M 相切；综上若直线1213,A A A A 与圆M 相切，则直线23A A 与圆M 相切．【点睛】关键点点睛：(1)过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标(或横坐标)表示，将问题转化为只与纵坐标(或横坐标)有关；(2)要充分利用1213,A A A A 的对称性，抽象出2323,y y y y +⋅与1y 关系，把23,y y 的关系转化为用1y 表示．【题目栏目】圆锥曲线\抛物线\直线与抛物线的综合问题【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第20题11．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第20题)已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=(a >1)左、右顶点，G为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 方程；(2)证明：直线CD 过定点．【答案】(1)2219x y +=；(2)证明详见解析．【解析】(1)依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ∴(),1AG a = ，(),1GB a =-∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =的的∴椭圆方程为：2219x y +=(2)证明：设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭．同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭∴直线CD 的方程为：0022*******22000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=- ⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题．【题目栏目】圆锥曲线\椭圆\直线与椭圆的综合问题【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第20题12．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第19题)已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．【答案】(1)12；(2)221:13627x y C +=，22:12C y x =．解析：(1)(),0F c ，AB x ⊥轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x c =，联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，则22bAB a =，抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x cy cx =⎧⎨=⎩，解得2x cy c =⎧⎨=±⎩，4CD c ∴=，43CD AB = ，即2843b c a=，223b ac =，即222320c ac a +-=，即22320e e +-=，01e <<Q ，解得12e =，因此，椭圆1C 的离心率为12；的(2)由(1)知2a c =，b =，椭圆1C 的方程为2222143x y c c+=，联立222224143y cx x y c c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得22316120x cx c +-=，解得23x c =或6x c =-(舍去)，由抛物线的定义可得25533cMF c c =+==，解得3c =．因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y +=，曲线2C 的标准方程为212y x =．【点睛】本题考查椭圆离心率求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题．【题目栏目】圆锥曲线\圆锥曲线的综合问题\圆锥曲线的综合问题【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第19题13．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第20题)已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】(1)221612525x y +=；(2)52．解析：(1) 222:1(05)25x y C m m +=<<∴5a =，b m =，根据离心率c e a ====，解得54m =或54m =-(舍)，的∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=；(2)不妨设P ,Q 在x 轴上方点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又 90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=，∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时，故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d =，根据两点间距离公式可得：AQ ==，∴APQ 面积为：1522⨯=；②当P 点为(3,1)-时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ ==，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A -,(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d =，根据两点间距离公式可得：AQ ==∴APQ面积为：1522=，综上所述，APQ 【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．【题目栏目】圆锥曲线\椭圆\直线与椭圆的综合问题【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第20题14．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第21题)已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)证明：直线AB 过定点：(2)若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．【答案】【答案】(1)见详解；(2)3或．【官方解析】(1)设111(,,(,),2D t A x y -则2112x y =．由于y x '=，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=-．整理得112210tx y -+=．．设22(,),B x y 同理可得222210tx y -+=．故直线AB 的方程为2210tx y -+=．所以直线AB 过定点1(0,2．(2)由(1)得直线AB 的方程为12y tx =+．由21,22y tx xy ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得2210x tx --=．于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()22||21AB x t =-==+．设12,d d 分别为,D E 到直线AB的距离，则12,d d ==．因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+．设M 线段AB 的中点，则21(,2M t t +．由于EM AB ⊥ ，而()2,2EM t t =- ，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=．解得0t =或1t =±．当0t =时，3S =；当1t =±时，S =±．因此，四边形ADBE 的面积为3或【点评】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以．思路较为清晰，但计算量比较大．【题目栏目】圆锥曲线\抛物线\直线与抛物线的综合问题【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第21题15．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第21题)已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),M x y 满足直线AM与BM 的斜率之积为12-．记M 的轨迹为曲线C ．()1求C 的方程，并说明C 是什么曲线；()2过坐标原点的直线交C 于,P Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ．()i 证明：POG △是直角三角形；()ii 求POG △面积的最大值．【答案】()1详见解析()2详见解析【官方解析】()1由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得()221242x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．()2()i 设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =记u =(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k，方程为()2k y x u =-．由22()2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22222(2)280k x uk x k u +-+-=．①设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uk y k=+．从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+．所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．()ii 由()i得|2PQ =，PG =，所以PQG △的面积22221818(1)2(12)(2)112k k k k S PQ PG k k k k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=⋅==++⎛⎫++ ⎪⎝⎭．设1t k k=+，则由0k >得2t ≥，当且仅当1k =时取等号．因为2812tS t=+在[)2,+∞单调递减，所以当2t =，即1k =时，S 取得最大值，最大值为169．因此，PQG △面积的最大值为169．【分析】()1分别求出直线AM 与BM 的斜率，由已知直线AM 与BM 的斜率之积为12-，可以得到等式，化简可以求出曲线C 的方程，注意直线AM 与BM 有斜率的条件；()2()i 设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出,P Q 两点的坐标，进而求出点的坐标，求出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出的坐标，再求出直线的斜率，计算PQ PG k k ⋅的值，就可以证明出POG △是直角三角形；()ii 由()i 可知三点坐标，POG △是直角三角形，求出,PQ PG 的长，利用面积公式求出POG △的面积，利用导数求出面积的最大值.【解析】()1直线的斜率为，直线的斜率为，由题意可知：，所以曲线C 是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为；()2()i 设直线的方程为,由题意可知,直线的方程与椭圆方程联立,即或,点P 在第一象限，所以，因此点的坐标为直线的斜率为，可得直线方程：，与椭圆方程联立，，消去得，(*)，设点，显然和是方程(*)的解PQ E QE G PG ,,P Q G AM (2)2y x x ≠-+BM (2)2y x x ≠-22124,(2)222y y x y x x x ⋅=-⇒+=≠±+-x ()221,242x y x +=≠±PQ y kx =0k >PQ 2224x y +=22,2 4.x y kx x y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩P Q E QE 2QE kk =QE 2k y x =2222 4.k y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩y 2222128(2)021k k x k ++-=+11(,)G x y Q 1x所以有方程中，得的坐标为，直线的斜率为；，因为1()1PQ PG k k k k⋅=⋅-=-，所以，因此POG △是直角三角形；()ii 由()i 可知：，的坐标为，,，424228(1)(1)(232)(252)k k k k S k k -+-++'=++，因为0k >，所以当01k <<时，0S '>，函数()S k 单调递增，当1k >时，0S '<，函数()S k 单调递减，因此当1k =时，函数()S k 有最大值，最大值为()1619S =.【点评】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了利用导数求函数最大值问题.【题目栏目】圆锥曲线\圆锥曲线的综合问题\圆锥曲线的综合问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第21题16．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第19题)已知抛物线2:3C y x =的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．(1)若4AF BF +=，求l的方程；22112128212k k x x k +-+=⇒=+QE 1y =G PG 3322222(2)1642(2)PGk k k k k k k -+===-+-+PQ PG ⊥P Q G PQ ==PG ==34218()2252PQGk k S k k ∆+==++(2)若3AP PB =，求AB ．【答案】解：设直线11223:,(,),(,)2l y x t A x y B x y =+．(1)由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，故1232A x x F BF =+++，由题设可得1252x x +=．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-．从而12(1)592t --=，得78t =-．所以l 的方程为3728y x =-．(2)由3AP PB =可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=．所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=．代入C 的方程得1213,3x x ==．故AB =．【题目栏目】圆锥曲线\抛物线\直线与抛物线的综合问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第19题17．(2018年高考数学课标Ⅲ卷()·第20题)已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为()1,M m (0m >)．(1)证明：12k <-；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++= ，证明：FA ，FP ，FB成等差数列，并求该数列的公差．【答案】【官方解析】(1)设()11,A x y ，()22,B x y ，则有2211143x y +=，2222143x y +=两式相减，并由1212y y k x x -=-，得1212043x x y y k +++⋅=由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-①由题设302m <<，故12k <-(2)由题意得()1,0F ，设()33,P x y ，则()()()()3311221,1,1,0,0x y x y x y -+-+-=由(1)及题设得()31231x x x =-+=，()31220y y y m =-+=-<又点P 在C 上，所以34m =，从而31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，32FP =于是122xFA ===-同理222x FB =- 所以1244132x x FA FB ++=-=-= 故2FP FA FB =+ ，即,,FA FP FB成等差数列设该数列的公差为d，则12122d FA FB x x =-=-= 将34m =代入①得1k =-所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=故122x x +=，12128x x =，代入②解得d=或【民间解析】(1)法一：设直线:l y kx n =+，交点()11,A x y ，()22,B x y 则有122x x +=，1222M y y y m+==联立方程22143y kx nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理可得()2223484120k x knx n +++-=所以()()()1222122222222823441234644412343430kn x x kn x x k k n n k k n ⎧+=-=⎪+⎪-⎪=⎨+⎪⎪∆=--+=+->⎪⎩所以2344k n k+=-，代入()223430k n +->可得()22223443016k k k ++->所以()()22431230k k +->，所以214k >，所以12k >或12k <-①又()22221212228834342220343442k n k k k y y k x x n n m k k k k +++=++=-+=⨯-=>++即234320022k k k k k+--=>⇒<②由①②可知12k <-法二：设()11,A x y ，()22,B x y ，则有2211143x y +=③，2222143x y +=④两式相减可得()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=所以1212121234y y x xx x y y -+=-⋅-+依题意122y y m +=，122x x +=，所以323424k m m=-⋅=-又点()1,M m 在椭圆22143x y +=内，所以21143m +<，而0m >，所以302m <<所以323313424242k m m =-⋅=-<-=-⨯．(2)由椭圆的方程可知()1,0F ，()0,FM m =，设()00,P x y 因为0FP FA FB ++= ，所以20FP FM +=，所以()()001,0,20x y m -+=所以0012x y m =⎧⎨=-⎩，故()1,2P m -又因为点P 在椭圆C 上，所以214143m +=，解得34m =，所以314k m=-=-此时直线l 的方程为：()314y x =--+即74y x =-+联立方程2274143y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 并整理可得2285610x x -+=所以122x x +=，12128x x =又2211143x y +=，所以2211314x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以122x FA ====-同理222xFB =- 所以1244132x x FA FB ++=-=-= 而322FP m =-=所以2FA FB FP += ，故设公差为d，则有1211222d FA FB x x =-=-===所以d =【题目栏目】圆锥曲线\椭圆\直线与椭圆的综合问题【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第20题18．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第19题)(12分)设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【答案】解析：(1)由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩得222(24)0k x k x k -++=，216160k ∆=+>，故212224k x x k ++=，所以212244||||||(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=，由题设知22448k k +=，解得1k =-(舍去)，1k =．因此直线的方程为1y x =-．(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005(1)(1)162y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩或00116x y =⎧⎨=-⎩，因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．【题目栏目】圆锥曲线\抛物线\直线与抛物线的综合问题【题目来源】2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第19题19．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第19题)(12分)设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2)设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．【答案】解析：(1)由已知得(1,0)F ，l 的方程为1x =．由已知可得，点A的坐标为或(1,．所以AM的方程为y x =+或y x =．(2)当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<，直线MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--．由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--．将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=．所以21221222422,2121x x x k k k x k -+==++．则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+．从而0MA MB k k +=，故,MA MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠．综上，OMA OMB ∠=∠．【题目栏目】圆锥曲线\椭圆\直线与椭圆的综合问题【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第19题20．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第20题)已知椭圆,四点,,,中恰有三点在椭圆上．(1)求的方程;(2)设直线不经过点且与相交于两点,若直线与直线的斜率的和为,证明:过定点．【答案】(1);(2)． 【分析】(1)根据两点关于轴对称,由椭圆的对称性可知经过,另外知,不经过点,所以在上,因此在椭圆上,代入其标准方程,即可求出的方程;(2)先设直线与直线的斜率分别为,再设直线的方程,当与轴垂直时,通过计算,不满足题意,再设(),将代入,写出判别式,根与系数的关系,表示出,根2222:1(0)x y C a b a b+=>>()11,1P ()20,1P 3P ⎛- ⎝4P ⎛ ⎝C C l 2P C ,A B 2P A 2P B 1-l 2214x y +=()2,1-34,P P y C 34,P P 222211134a b a b +>+C 1P 2P C 134,,P P P C 2P A 2P B 12,k k l l x :l y kx m =+1m ≠y kx m =+2214x y +=12k k +据列出等式,表示出和的关系,判断出直线恒过定点． 【解析】(1)由于,两点关于轴对称,故由题设知经过,两点． 又由知,不经过点,所以点在上． 因此,解得．故的方程为． (2)设直线与直线的斜率分别为,如果与轴垂直,设,由题设知,且,可得的坐标分别为,． 则,得,不符合题设．从而可设:()．将代入得由题设可知．设,则,． 而．由题设,故．即． 121k k +=-k m 3P 4P y C 3P 4P 222211134a b a b+>+C 1P 2P C 222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 2214x y +=2P A 2P B 1k 2k l x :l x t =0t ≠||2t <,A B t ⎛ ⎝,t ⎛ ⎝121k k +=-=-2t =l y kx m =+1m ≠y kx m =+2214x y +=222(41)8440k x kmx m +++-=22=16(41)0k m ∆-+>1122(,),(,)A x y B x y 122841km x x k +=-+21224441m x x k -=+12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=121k k +=-1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++。
圆锥曲线多选、填空题【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)
【题目栏目】圆锥曲线\双曲线\双曲线的几何性质
【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第13题
14．(2021年新高考Ⅰ卷·第14题)已知 为坐标原点，抛物线 ： ( )的焦点为 ， 为 上一点， 与 轴垂直， 为 轴上一点，且 ，若 ，则 的准线方程为______．
【答案】13
解析：∵椭圆的离心率为 ，∴ ，∴ ，∴椭圆的方程为 ，不妨设左焦点为 ，右焦点为 ，如图所示，∵ ，∴ ，∴ 为正三角形，∵过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， 为线段 的垂直平分线，∴直线 的斜率为 ，斜率倒数为 ，直线 的方程： ，代入椭圆方程 ，整理化简得到： ，
判别式 ，
∴ ，
【题目来源】2022年全国乙卷理科·第14题
9．(2022新高考全国II卷·第16题)已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且 ，则l的方程为___________．
【答案】
解析：令 的中点为 ，因为 ，所以 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，即
所以 ，即 ，设直线 ， ， ，
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
解析：对于A，若 ，则 可化为 ，因为 ，所以 ，
即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若 ，则 可化为 ，此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故B不正确；
令 得 ，令 得 ，即 ， ，所以 ，
即 ，解得 或 (舍去)，
又 ，即 ，解得 或 (舍去)，
所以直线 ，即 ；
全国卷高考十年(2007-2016)圆锥曲线题目汇总
在平面直角坐标系 xOy 中， 椭圆 C 的中心为原点， 焦点 F1 , F2 在 x 轴上， 离心率为 两点，且 △ ABF2 的周长为 16，那么 C 的方程为 。
2 。 过 F1 的直线 L 交 C 于 A, B 2
31． ［2010 年高考全国新课标文数第 5 题］ 中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2） ，则它的离心率为 （ A） 6 （B） 5 （C）
∆ ABP 的面积为
（A）18 （B）24 （C）36 （D）48
29． ［2011 年高考全国新课标理数第 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 题］ 设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，L 与 C 交于 A ,B 两点， AB 为 C 的实轴长的 2 倍， 则 C 的离心率为 （A） 2 （B） 3 （C）2 30． ［2011 年高考全国新课标理数第 14 题］ （D）3
1 3
（B）
1 2
（C）
2 3
（D）
3 4
7． ［2015 年高考全国新课标Ⅱ卷文数第 15 题］
8． ［2015 年高考全国新课标Ⅱ卷理数第 11 题］
1
新课程标准（2007-2016）数学试卷分类汇编—圆锥曲线
2016 年 10 月 13 日
9． ［2015 年高考全国新课标Ⅰ卷文数第 5 题］
63 32
D. 9
4
15． ［2014 年高考全国新课标Ⅰ卷文数第 4 题］ 已知双曲线
x2 y2 − = 1(a > 0) 的离心率为 2，则 a = （ a2 3
）
16． ［2014 年高考全国新课标Ⅰ卷文数第 10 题］
2
新课程标准（2007-2016）数学试卷分类汇编—圆锥曲线
专题18 圆锥曲线选择题【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题18 圆锥曲线选择题一、选择题1．(2022年全国甲卷理科·第8题)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是的AB 中点，D 在AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =( )A.11332-B ．11432-C ．9332-D ．9432- 【答案】B解析：如图，连接OC ，因为C 是AB 的中点，所以OC AB ⊥， 又CD AB ⊥，所以,,O C D 三点共线， 即2OD OA OB ===， 又60AOB ∠=︒， 所以2AB OA OB ===， 则3OC =，故23CD =-，所以()22231143222CD s AB OA --=+=+=．故选：B ．【题目栏目】直线与圆\圆的方程\圆的方程 【题目来源】2022年全国甲卷理科·第8题2．(2022年全国乙卷理科·第11题)双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ．过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为( )A 5B ．32C 132D ．172【答案】C解析：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ， 若,M N 分别在左右支， 因为1OG NF ⊥，且123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支， 又OG a =，1OF c =，1GF b =，设12F NF α∠=，21F F N β∠=，在12F NF △中，有()212sin sin sin NF NF cβαβα==+， 故()122sin sin sin NF NF cαββα-=+-即()sin sin sin a c αββα=+-，所以sin cos cos sin sin sin a cαβαββα=+-，而3cos 5α=，sin a c β=，cos bcβ=，故4sin 5α， 代入整理得到23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率22131c b e a a ==+=【题目栏目】圆锥曲线\双曲线\双曲线的几何性质 【题目来源】2022年全国乙卷理科·第11题3．(2022年全国甲卷理科·第10题)椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ．点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为( ) A 3B 2C ．12D ．13【答案】A解析：(),0A a -，设()11,P x y ，则()11,Q x y -， 则1111,APAQ y y k k x a x a ==+-+，故21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+， 又2211221x ya b +=，则()2221212b a x y a -=，所以()2221222114b a x ax a -=-+，即2214b a =， 所以椭圆C 的离心率2231c b e a a ==-故选：A ．【题目栏目】圆锥曲线\椭圆\椭圆的几何性质 【题目来源】2022年全国甲卷理科·第10题4．(2022年全国乙卷理科·第5题)设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF=，则AB =() A ．2 B ．22C ．3D ．32【答案】B解析：由题意得，()1,0F，则2AF BF ==，即点A 到准线1x =-的距离为2，所以点A 的横坐标为121-+=， 不妨设点A 在x 轴上方，代入得，()1,2A ，所以()()22310222AB =-+-=． 故选：B【题目栏目】圆锥曲线\抛物线\直线与抛物线的综合问题 【题目来源】2022年全国乙卷理科·第5题5．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第3题)抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+2则p =( )A ．1B ．2C ．2D ．4【答案】B解析:抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：012211pd -+==+2p =(6p =-舍去)，故选B ．【题目栏目】圆锥曲线\抛物线\抛物线的几何性质 【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第3题6．(2021年新高考Ⅱ卷·第5题)已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为( ) A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C解析:由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭(当且仅当123MF MF ==时，等号成立)．故选：C ．【题目栏目】圆锥曲线\椭圆\椭圆的几何性质【题目来源】2021年新高考Ⅱ卷·第5题7．(2021年高考全国乙卷理科·第11题)设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是( ) A ．22⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．20,2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C解析：设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即20e <≤； 当32b b c->-，即22b c <时，42222max b PB a b c =++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立． 故选：C ．【点睛】本题解题关键是如何求出PB 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．【题目栏目】圆锥曲线\椭圆\椭圆的几何性质 【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第11题8．(2021年高考全国甲卷理科·第5题)已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为( )A ．72B ．132C 7D 13【答案】A解析：因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==， 所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即7e =．故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立,a c 间的等量关系是求解的关键． 【题目栏目】圆锥曲线\双曲线\双曲线的几何性质【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第5题9．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第11题)已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为( ) A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=【解析】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l 的距离为2221125221d ⨯++==>+，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而24PA MP =-，当直线MP l ⊥时，min 5MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程． 故选：D ．【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．【题目栏目】直线与圆\直线、圆与圆的位置关系\圆与圆的位置关系 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第11题10．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第4题)已知A 为抛物线C :y 2=2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =( ) A ．2 B ．3C ．6D ．9【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p．故选：C ．【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题． 【题目栏目】圆锥曲线\抛物线\抛物线的定义及其标准方程【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第4题11．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第8题)设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( ) A ．4B ．8C ．16D ．32解析：2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b -∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△ 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为2222222168c a b ab =+≥==当且仅当22a b ==∴C 的焦距的最小值：8故选：B ．【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．【题目栏目】圆锥曲线\双曲线\双曲线的几何性质【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第8题12．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第5题)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为( )A 5B 25C 35D 45【答案】B解析：由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=． 由题意可得()()22221a a a -+-=， 可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为225532555d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==； 所以，圆心到直线230x y --=25． 故选：B ．【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题． 【题目栏目】直线与圆\直线、圆与圆的位置关系\直线与圆的位置关系 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第5题13．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第11题)设双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)左、右焦点分别为F 1，F 25P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =( ) A ．1 B ．2C ．4D ．8【答案】A 解析：5ca=，5c a ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=，12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A ．【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题．【题目栏目】圆锥曲线\双曲线\双曲线的几何性质 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第11题14．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第5题)设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为( ) A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)【答案】B解析：因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B ．【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目． 【题目栏目】圆锥曲线\抛物线\直线与抛物线的综合问题 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第5题15．(2019年高考数学课标Ⅱ卷理科·第10题)双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为( ) A ．324B 32C ．2D ．32【答案】【答案】A【解析】由222,26a b c a b ===+=6,2P PO PF x =∴=， 又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在b y x a =上，则263P y == 1133262224PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 【点评】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题． 【题目栏目】圆锥曲线\双曲线\双曲线的几何性质 【题目来源】2019年高考数学课标Ⅱ卷理科·第10题16．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第11题)设F 为双曲线:C 22221x y a b-=()0,0a b >>的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点，若PQ OF =，则C 的离心率为( )A B C ．2D【答案】A【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，又∵||PQ OF c ==，∴||2c PA =， PA 为以为直径的圆的半径，∴A 为圆心．∴,22c c P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又P 点在圆上，∴22244c c a +=，即222c a =，∴2222c e a==，∴2e =A ．【点评】准确画图，由图形对称性得出p 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．()235PQ x A PQ x ⊥OF ||2c OA =222x y a +=【题目栏目】圆锥曲线\双曲线\双曲线的几何性质 【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第11题17．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第8题)若抛物线()220y px p =>的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p =( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭是椭圆的一个焦点，所以232p p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得，故选D ．【点评】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为()1,0，椭圆焦点为()2,0±，排除A ，同样可排除B ，C ，故选D ． 【题目栏目】圆锥曲线\椭圆\椭圆的定义及其标准方程 【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第8题18．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第10题)已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若222AF F B =， 1AB BF =，则C 的方程为( )A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=【答案】答案：B解析：如图，设2BF t =，则212,3AF t BF t ==，由12122AF AF BF BF a +=+=，可得12AF t =，12AF AF =，所以点A 为椭圆的上顶点或下顶点．在1ABF △中，由余弦定理可得2222129491cos 12sin 2323t t t BAF OAF t t +-∠=-∠==⨯⨯， 所以23sin 3OAF ∠=，即2213OF AF a ==，即3a =，又1,2c b =∴=，所以椭圆方程为22132x y +=． 2231x y p p +=8p =【题目栏目】圆锥曲线\椭圆\椭圆的定义及其标准方程 【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第10题19．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第11题)设12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，Q 是坐标原点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若16PF =，则C 的离心率为( ) A 5B ．2C 3D 2【答案】C解析：法一：根据双曲线的对称性，不妨设过点2F 作渐近线by x a=的垂线，该垂线的方程为()a y x c b =--，联立方程()b y x aa y x cb ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得2P Pab y c ax c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由221166PF OP PF OP =⇒=222222266a ab ab a c a c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⇒++=+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理可得42222240a a c c a b -++=即()422222240a a c c a c a -++-= 即4223c a c =即223c a =，所以23e =，所以3e =C ．法二：由双曲线的性质易知2PF b =，2OF c =，所以222OP c b a =-= 在2Rt POF ∆中，222cos PF bPF O OF c∠== 在12PF F ∆中，由余弦定理可得22221212212cos 2PF F F PF bPF O PF F F c+-∠==F 1BAOF 2所以)2224622b c abb cc+-=⋅，整理可得2222464b c a b =-=，即()222224633c a b c a -==- 所以223c a =，所以3e =C ． 【题目栏目】圆锥曲线\椭圆\椭圆的几何性质 【题目来源】2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第11题20．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第6题)直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是( )A ．[]2,6B ．[]4,8C ．2,32⎡⎣D ．22,32⎡⎣【答案】A解法一：由直线20x y ++=易知()2,0A -，()0,2B -，故()222222AB =-+=圆()2222x y -+=的圆心()2,0到直线20x y ++=2222+=2r =所以点P 到直线20x y ++=的距离d 的取值范围为222,222⎡⎤⎣⎦即2,32⎡⎣所以[]112222,622ABP S AB d d d =⨯⨯=⨯=∈△，故选A ． 解法二：设(),P x y ，则点P 到直线AB 的距离22x y d ++=令2t x y =++，则2y x t =-+代入圆的方程整理得：2222460x tx t t -+-+=利用方程有解条件，则有026t ∆≥⇒≤≤22AB =[]12,62PAB PAB S AB d S ∆∆=⋅∴∈ 注：此处也可利用线性规划寻求t 的范围 解法三：利用三角换元设()222P θθ，则42sin 22cos 2sin 2422d πθθθ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭==[]42sin 412242sin 2,6242PABS πθπθ∆⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭∴=⨯=++∈ ⎪⎝⎭ 解法四：利用面积公式的坐标形式设(),P x y 则()()2,,,2PA x y PB x y =---=---()()()()12222PAB S x y y x x y ∆=-------=++ 下同解法二注：①当然也可把P 点设为三角形式，并且更加简单！②利用面积的向量表达形式,在实际运算中还是要转化为坐标形式才利于操作。
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十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题12圆锥曲线1.(2019·全国·理T 10文T 12)已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A,B 两点.若|AF 2|=2|F 2B|,|AB|=|BF 1|,则C 的方程为( )A.x 22+y 2=1B.x 23+y 22=1 C.x 24+y 23=1 D.x 25+y 24=1【答案】B【解析】如图,由已知可设|F 2B|=n,|BF 1|=m. 由|AB|=|BF 1|,则|AF 2|=m-n,|AB|=m. 又|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|,故|AF 1|=2n. 由椭圆的定义及|AF 2|=2|F 2B|, 得{m -n =2n ,m +n =2a ,解得{m =3a2,n =a 2.∴|AF 1|=a,|AF 2|=a.∴点A 为(0,-b). ∴k AF 2=b1=b.过点B 作x 轴的垂线,垂足为点P.由题意可知△OAF 2∽△PBF 2. 又|AF 2|=2|F 2B|,∴|OF 2|=2|F 2P|. ∴|F 2P|=12. 又k AF 2=|BP ||F 2P |=|BP |12=b,∴|BP|=12b.∴点B (32,12b).把点B 坐标代入椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1中,得a 2=3.又c=1,故b2=2.所以椭圆方程为x 23+y 22=1. 2.(2019·全国1·文T 10)双曲线C: x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为( ) A.2sin 40° B.2cos 40° C.1sin50° D.1cos50°【答案】D【解析】由已知可得-b a=tan 130°=-tan 50°, 则e=c a=√1+(ba )2=√1+tan 250° =√1+sin 250°cos 250°=√sin 250°+cos 250°cos 250°=1cos50°. 故选D.3.(2019·北京·文T 5)已知双曲线x 2a 2-y 2=1(a>0)的离心率是√5,则a=( )A.√6B.4C.2D.12【答案】D【解析】∵双曲线的离心率e=ca =√5,c=√a 2+1, ∴√a 2+1a=√5,【解析】得a=12,故选D.4.(2019·天津·理T 5文T 6)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,准线为l.若l 与双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A 和点B,且|AB|=4|OF|(O 为原点),则双曲线的离心率为( ) A.√2 B.√3 C.2 D.√5【答案】D【解析】由抛物线方程可得l 的方程为x=-1.由{y =ba x ,x =-1,得y 1=-b a .由{y =-ba x ,x =-1,得y 2=b a . ∴AB=2ba .由|AB|=4|OF|得2b a =4,故ba =2.c a2=a 2+b2a 2=5a 2a 2.∴e=√5,故选D.5.(2018·全国1·理T 11)已知双曲线C:x 23-y 2=1,O为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN 为直角三角形,则|MN|=( ) A.32B.3C.2√3D.4【答案】B【解析】由条件知F(2,0),渐近线方程为y=±√33x,所以∠NOF=∠MOF=30°,∠MON=60°≠90°. 不妨设∠OMN=90°,则|MN|=√3|OM|.又|OF|=2,在Rt △OMF 中,|OM|=2cos 30°=√3, 所以|MN|=3.6.(2018·全国2·理T 5文T 6)双曲线x 2a2−y 2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√3,则其渐近线方程为()A.y=±√2xB.y=±√3xC.y=±√22x D.y=±√32x【答案】A 【解析】∵e 2=c 2a 2=b 2+a 2a 2=(b a )2+1=3,∴ba =√2.∵双曲线焦点在x 轴上, ∴渐近线方程为y=±b ax, ∴渐近线方程为y=±√2x.7.(2018·全国3·理T 11)设F 1,F 2是双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点,过F 2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1|=√6|OP|,则C 的离心率为( ) A.√5 B.2C.√3D.√2【答案】C【解析】如图,过点F 1作OP 的反向延长线的垂线,垂足为P',连接P'F 2,由题意可知,四边形PF 1P'F 2为平行四边形,且△PP'F 2是直角三角形. 因为|F 2P|=b,|F 2O|=c,所以|OP|=a. 又|PF 1|=√6a=|F 2P'|,|PP'|=2a, 所以|F 2P|=√2a=b,所以c=√a 2+b 2=√3a,所以e=ca =√3.8.(2018·浙江·T2)双曲线x 23-y 2=1的焦点坐标是( ) A.(-√2,0),(√2,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-√2),(0,√2)D.(0,-2),(0,2) 【答案】B【解析】∵c 2=a 2+b 2=3+1=4,∴c=2. 又焦点在x 轴上,∴焦点坐标为(-2,0),(2,0).9.(2018·全国2·理T12)已知F 1,F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C 的左顶点,点P 在过A且斜率为√36的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P=120°,则C 的离心率为( )A.23 B.12 C.13D.14【答案】D【解析】∵A(-a,0),△PF 1F 2为等腰三角形, ∴|PF 2|=|F 1F 2|=2c. 过点P 作PE ⊥x 轴,∵∠F 1F 2P=120°,∴∠PF 2E=60°. ∴F 2E=c,PE=√3c,∴P(2c,√3c). ∵k PA =√36,∴PA 所在直线方程为y=√36(x+a). ∴√3c=√36(2c+a).∴e=c a =14.10.(2018·全国2·文T11)已知F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点,若PF 1⊥PF 2,且∠PF 2F 1=60°,则C 的离心率为( ) A.1-√32B.2-√3C.√3-12 D.√3-1【答案】D【解析】不妨设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),∵∠F 2PF 1=90°,∠PF 2F 1=60°,∴|PF 2|=c,|PF 1|=√3c, ∴√3c+c=2a,即(√3+1)c=2a. ∴e=ca =√3+1=√3-(√3-1)(√3+1)=√3-1.11.(2018·上海·T13)设P 是椭圆x 25+y 23=1上的动点,则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) A.2√2 B.2√3 C.2√5 D.4√2【答案】C【解析】由椭圆的定义可知,椭圆上的任意点P 到两个焦点的距离之和为2a=2√5,故选C. 12.(2018·天津·理T 7文T 7)已知双曲线x 2a2−y 2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A,B 两点.设A,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2,且d 1+d 2=6,则双曲线的方程为( ) A.x 24−y 212=1 B.x 212−y 24=1 C.x 23−y 29=1 D.x 29−y 23=1【答案】C【解析】由双曲线的对称性,不妨取渐近线y=ba x.如图所示,|AD|=d 1,|BC|=d 2,过点F 作EF ⊥CD 于点E. 由题易知EF 为梯形ABCD 的中位线, 所以|EF|=12(d 1+d 2)=3. 又因为点F(c,0)到y=b ax 的距离为√a 2+b =b,所以b=3,b 2=9.因为e=c a =2,c 2=a 2+b 2,所以a 2=3,所以双曲线的方程为x 23−y 29=1.故选C.13.(2018·全国1·理T8)设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C 交于M,N 两点,则FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】易知F(1,0),过点(-2,0)且斜率为23的直线方程为y=23(x+2).联立抛物线方程y 2=4x,得{y 2=4x ,y =23(x +2),解得{x =1,y =2,或{x =4,y =4.不妨设M(1,2),N(4,4),所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2),FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,4),所以FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =8. 14.(2017·全国1·理T10)已知F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A,B 两点,直线l 2与C 交于D,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10【答案】A【解析】由题意,易知直线l 1,l 2斜率不存在时,不合题意. 设直线l 1方程为y=k 1(x-1), 联立抛物线方程,得{y 2=4x ,y =k 1(x -1),消去y,得k 12x 2-2k 12x-4x+k 12=0,所以x 1+x 2=2k 12+4k 12.同理,直线l 2与抛物线的交点满足x 3+x 4=2k 22+4k 22.由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x 1+x 2+x 3+x 4+2p=2k 12+4k 12+2k 22+4k 22+4=4k 12+4k 22+8≥2√16k 12k 22+8=16,当且仅当k 1=-k 2=1(或-1)时,取得等号.15.(2017·全国3·理T 5)已知双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√52x,且与椭圆x 212+y 23=1有公共焦点,则C 的方程为( )A.x 28−y 210=1 B.x 24−y 25=1C.x 25−y 24=1 D.x 24−y 23=1 【答案】B【解析】由题意得b a =√52,c=3. 又a 2+b 2=c 2,所以a 2=4,b 2=5, 故C的方程为x 24−y 25=1.16.(2017·全国1·文T 5)已知F 是双曲线C:x 2-y 23=1的右焦点,P 是C 上一点,且PF 与x 轴垂直,点A 的坐标是(1,3),则△APF 的面积为( ) A.13 B.12C.23D.32【答案】D【解析】由c 2=a 2+b 2=4,得c=2,所以点F 的坐标为(2,0).将x=2代入x 2-y 23=1,得y=±3,所以PF=3.又点A 的坐标是(1,3),故△APF 的面积为12×3×(2-1)=32.故选D. 17.(2017·天津·理T5)已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为√2,若经过F 和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )A.x 24−y 24=1 B.x 28−y 28=1 C.x 24−y 28=1 D.x 28−y 24=1【答案】B 【解析】∵e2=1+b 2a 2=2,∴ba=1,a=b. ∵F(-c,0),P(0,4),∴k PF =4c =ba =1. ∴c=4.又a 2+b 2=c 2=16,∴a 2=b 2=8.∴所求双曲线的方程为x 28−y 28=1.18.(2017·全国3·理T10文T11)已知椭圆C: x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C 的离心率为( ) A.√63 B.√33C.√23D.13【答案】A【解析】以线段A 1A 2为直径的圆的方程是x 2+y 2=a 2. 因为直线bx-ay+2ab=0与圆x 2+y 2=a 2相切, 所以圆心到该直线的距离d=√b +a 2=a,整理,得a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2),所以c 2a 2=23,从而e=c a =√63.故选A.19.(2017·全国1·文T12)设A,B 是椭圆C:x 23+y 2m=1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则m 的取值范围是( ) A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0, ]∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0, ]∪[4,+∞)【答案】A【解析】由题意,可知当点M 为短轴的端点时,∠AMB 最大.当0<m<3时,椭圆C 的焦点在x 轴上,要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则a b ≥tan 60°=√3,即√3√m ≥√3,解得0<m≤1;当m>3时,椭圆C 的焦点在y 轴上,要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则ab ≥tan 60°=√3,即√m √3≥√3,解得m≥9.综上m 的取值范围为(0,1]∪[9,+∞).故选A. 20.(2017·浙江·理T2文T2)椭圆x 29+y 24=1的离心率是( )A.√133 B.√53C.23 D.59【答案】B【解析】e=√9-43=√53,故选B. 21.(2017·全国2·理T9)若双曲线C: x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y 2=4所截得的弦长为2,则C 的离心率为( ) A.2 B.√3 C.√2 D.2√33【答案】A【解析】可知双曲线C 的渐近线方程为bx±ay=0,取其中的一条渐近线方程为bx+ay=0,则圆心(2,0)到这条渐近线的距离为√a 2+b =√22-12=√3,即2b c=√3,所以c=2a,所以e=2.故选A.22.(2017·全国2·文T5)若a>1,则双曲线x 2a2-y 2=1的离心率的取值范围是( ) A.(√2,+∞) B.(√2,2) C.(1,√2) D.(1,2)【答案】C【解析】由题意得e 2=c 2a 2=a 2+1a 2=1+1a2.因为a>1,所以1<1+1a 2<2. 所以1<e<√2.故选C.23.(2016·全国1·理T10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A,B 两点,交C 的准线于D,E 两点.已知|AB|=4√2 ,|DE|=2√5,则C 的焦点到准线的距离为( )A.2B.4C.6D.8 【答案】B【解析】不妨设抛物线C 的方程为y 2=2px(p>0),圆的方程为x 2+y 2=R 2. 因为|AB|=4√2,所以可设A(m,2√2).又因为|DE|=2√5,所以{R 2=5+p 24,m 2+8=R 2,8=2pm ,【解析】得p 2=16.故p=4,即C 的焦点到准线的距离是4.24.(2016·全国2·文T5)设F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点,曲线 y=kx (k>0)与C 交于点P,PF ⊥x 轴,则k=( ) A.12B.1C.32D.2【答案】D【解析】因为F 为抛物线y 2=4x 的焦点,所以F(1,0). 又因为曲线y=k x(k>0)与抛物线交于点P,PF ⊥x 轴, 如图所示,可知P(1,2),故k 1=2,解得k=2,故选D. 25.(2016·全国1·理T 5)已知方程x 2m 2+n −y 23m 2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( ) A.(-1,3) B.(-1,√3) C.(0,3) D.(0,√3)【答案】A【解析】因为双曲线的焦距为4, 所以c=2,即m 2+n+3m 2-n=4,解得m 2=1.又由方程表示双曲线得(1+n)(3-n)>0,解得-1<n<3,故选A. 26.(2016·天津·理T 6)已知双曲线x 24−y 2b2=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D 四点,四边形ABCD 的面积为2b,则双曲线的方程为( )A.x 24−3y 24=1B.x 24−4y 23=1 C.x 24−y 24=1 D.x 24−y 212=1【答案】D 【解析】{x 2+y 2=4y =b2x ⇒{x =4√b 2+4y =√b 2+4b 2, 则xy=16b 2+4·b 2=b2⇒b 2=12.故所求双曲线的方程为x 24−y 212=1.故选D.27.(2016·全国2·理T11)已知F 1,F 2是双曲线E:x 2a 2−y 2b2=1的左、右焦点,点M 在E 上,MF 1与x 轴垂直,sin∠MF 2F 1=13,则E 的离心率为( ) A.√2 B.32 C.√3 D.2【答案】A【解析】如图,因为MF 1与x 轴垂直,所以|MF 1|=b2a.又sin ∠MF 2F 1=13,所以|MF 1||MF 2|=13,即|MF 2|=3|MF 1|.由双曲线的定义得2a=|MF 2|-|MF 1|=2|MF 1|=2b2a,所以b 2=a 2,则c 2=b 2+a 2=2a 2,得离心率e=ca =√2.28.(2016·全国3·理T11文T12)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M,与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为( ) A.13B.12C.23D.34【答案】A【解析】由题意,不妨设直线l 的方程为y=k(x+a),k>0,分别令x=-c 与x=0,得|FM|=k(a-c),|OE|=ka. 设OE 的中点为G, 由△OBG ∽△FBM,得12|OE ||FM |=|OB ||BF |, 即ka2k (a -c )=aa+c ,整理,得ca =13, 故椭圆的离心率e=13,故选A.29.(2016·全国1·文T5)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为( ) A.13 B.12C.23D.34【答案】B【解析】设椭圆的一个顶点坐标为(0,b),一个焦点坐标为(c,0),则直线l 的方程为x c +yb =1,即bx+cy-bc=0, 短轴长为2b,由题意得√b +c 2=14×2b,与b 2+c 2=a 2联立得a=2c,故e=12.30.(2015·福建·文T11)已知椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E 于A,B 两点.若|AF|+|BF|=4,点M 到直线l 的距离不小于45,则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.(0,√32] B.(0,34] C.[√32,1) D.[34,1)【答案】A【解析】如图,取椭圆的左焦点F 1,连接AF 1,BF 1. 由椭圆的对称性知四边形AF 1BF 是平行四边形, ∴|AF|+|BF|=|AF 1|+|AF|=2a=4.∴a=2. 不妨设M(0,b),则√3+4≥45,∴b≥1.∴e=c a=√1-(b a)2≤√1-(12)2=√32.又0<e<1,∴0<e≤√32.故选A.31.（2015·安徽高考·文T8）直线3x +4y =b 与圆222210x y x y +--+=相切，则b =（ ） （A ）-2或12 （B ）2或-12 （C ）-2或-12 （D ）2或12 【答案】D【解析】∵直线b y x =+43与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，∴224343+-+b ＝1⇒2=b 或12,故选D .32.（2015·福建高考·理T3）若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ）A ．11B ．9C ．5D ．3 【答案】B【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ．33.（2015·四川高考·理T5）过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（ ）(C)6 （D ）【答案】D【解析】双曲线的右焦点为(2,0)F ，过F 与x 轴垂直的直线为2x =，渐近线方程为2203y x -=，将2x =代入2203y x -=得：212,||y y AB ==±∴=.选D.34.(2015·广东高考·理T7)已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为（ ）A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x【答案】B【解析】因为所求双曲线的右焦点为()25,0F 且离心率为54c e a ==，所以5c =，4a =，2229b c a =-=所以所求双曲线方程为221169x y -=，故选B ．35.(2015·新课标全国卷I ·理T5)已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值范围是( )（A ）（ （B ）（）（C ）（） （D ）（） 【答案】A36.（2015·湖北高考·理T8）将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D【解析】依题意，2221)(1ab a b a e +=+=，2222)(1)()(m a m b m a m b m a e +++=++++=， 因为)()()(m a a a b m m a a am ab bm ab m a m b a b +-=+--+=++-，由于0>m ，0>a ，0>b ， 所以当b a >时，10<<a b ，10<++<m a m b ，m a m b a b ++<，22)()(ma mb a b ++<，所以12e e <；当b a <时，1>a b ，1>++m a m b ，而m a m b a b ++>，所以22)()(ma mb a b ++>，所以12e e >.所以当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >.37.（2015·四川高考·理T10）设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）（A ）()13，（B ）()14， （C ）()23， （D ）()24， 【答案】D【解析】显然当直线l 的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线l 的斜率存在时，设斜率为k .设11221200(,),(,),,(,)A x y B x y x x M x y ≠，则21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，相减得121212()()4()y y y y x x +-=-.由于12x x ≠，所以12121222y y y y x x +-⋅=-，即02ky =.圆心为(5,0)C ，由CM AB ⊥得000001,55y k ky x x -⋅=-=--，所以0025,3x x =-=，即点M 必在直线3x =上.将3x =代入24y x =得2012,y y =∴-<<.因为点M 在圆()()22250x y rr -+=>上，所以22222000(5),412416x y r r y -+==+<+=.又2044y +>（由于斜率不存在，故00y ≠，所以不取等号），所以204416,24y r <+<∴<<.选D.38.（2015·天津高考·理T6）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为( )（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -=【答案】D【解析】双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的渐近线方程为by x a =±，由点(在渐近线上，所以b a =，双曲线的一个焦点在抛物线2y =准线方程x =上，所以c =，由此可解得2,a b ==22143x y -=，故选D. 39.（2015·安徽高考·理T4）下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -= 【答案】C【解析】由题意，选项,A B 的焦点在x 轴，故排除,A B ，C 项的渐近线方程为2204y x -=，即2y x =±，故选C.40.（2015·浙江高考·理T5）如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A. 11BF AF --B. 2211BF AF --C. 11BF AF ++ D. 2211BF AF ++ 【答案】A.【解析】S ∆BCF S ∆ACF＝BC AC ＝X B X A＝BF−１AF−１，故选A41.（2015·新课标全国卷II ·理T11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A ．2 C D 【答案】D【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，AB BM =，0120ABM ∠=，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，MN =，故点M 的坐标为(2)M a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以e =D ．42.(2015·新课标全国卷I ·文T5)已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB =( )（A ）3（B ）6（C ）9（D ）12 【答案】B【解析】∵抛物线2:8C y x =的焦点为（2,0），准线方程为2x =-，∴椭圆E 的右焦点为（2,0），∴椭圆E 的焦点在x 轴上，设方程为22221(0)x y a b a b+=>>，c=2，∵12c e a ==，∴4a =，∴22212b a c =-=，∴椭圆E 方程为2211612x y +=，将2x =-代入椭圆E 的方程解得A （-2,3），B （-2，-3），∴|AB|=6，故选B.43.（2015·重庆高考·文T9）设双曲线22221(a 0,b 0)x y a b 的右焦点是F ，左、右顶点分别是12A ,A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为（ ）(A)12 (B) 22(C) 1 (D) 2【答案】C【解析】由已知得右焦点(,0)F c (其中)0,222>+=c b a c ，)0,(),0,(21a A a A -，),(),,(22ab c C a b c B -，从而),(),,(2221a b a c C A a b a c B A -=-+=，又因为12A B A C ⊥，所以021=•C A B A ，即0)()()()(22=⋅-++⋅-a b a b a c a c ，化简得到1122±=⇒=a bab ，即双曲线的渐近线的斜率为1±，故选C.44.（2015·四川高考·文T7）过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |＝( )(A B C )6 (D 【答案】D【解析】由题意，a ＝1，b c ＝2，渐近线方程为y x将x ＝2代入渐近线方程，得y 1，2＝±，故|AB |＝，选D45.（2015·陕西高考·文T3）已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1)【答案】B【解析】 由抛物线22(0)y px p =>得准线2px =-，因为准线经过点(1,1)-，所以2p =，所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B46.（2015·广东高考·文T8）已知椭圆222125x y m +=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ）A ．9B ．4C ．3D ．2 【答案】C【解析】 由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ．47.(2015·天津高考·文T5)已知双曲线22221(0,0)x y a b ab 的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆222y 3x 相切,则双曲线的方程为（ ）(A)221913x y (B) 221139x y (C)2213x y(D) 2213y x【答案】D【解析】由双曲线的渐近线0bx ay -=与圆222y 3x =,由2c ==,解得1,a b ==故选D.48.（2015·湖南高考·文T6）若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为( )A B 、54 C 、43 D 、53【答案】D【解析】因为双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），2225349163c b a c a a e a ∴=∴-=∴=，（），=．故选D. 49.(2015·安徽高考·文T6)下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -=（C ）2212y x -= （D ）2212x y -=【答案】A【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A 的渐进线方程为x y 2±=，故选A .50.（2015·湖北高考·文T9）将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >【答案】D【解析】不妨设双曲线1C 的焦点在x 轴上，即其方程为：22221x y a b-=，则双曲线2C 的方程为：22221()()x y a m b m -=++，所以1e ==，2e ==，当a b >时， ()()()0()()b m b b m a b a m a b m a m a a m a a m a ++-+--==>+++，所以b m b a m a +>+，所以22b m b a m a +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以21e e >；当a b <时，()()()0()()b m b b m a b a m a b m a m a a m a a m a ++-+--==<+++，所以b m b a m a +<+，所以22b m b a m a +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以21e e <；故应选D.51.（2015·福建高考·文T11）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．3(0,]4C ．D ．3[,1)4【答案】A【解析】设左焦点为F ，连接1AF ，1BF ．则四边形1BF AF 是平行四边形，故1AF BF =，所以142AF AF a +==，所以2a =，设(0,)M b ，则4455b ≥，故1b ≥，从而221ac -≥，203c <≤，0c <≤，所以椭圆E 的离心率的取值范围是，故选A ． 52.(2015·安徽·理T 4)下列双曲线中,焦点在y 轴上且渐近线方程为y=±2x 的是( ) A.x 2-y 24=1 B.x 24-y 2=1 C.y 24-x 2=1 D.y 2-x 24=1【答案】C【解析】A,B 选项中双曲线的焦点在x 轴上,不符合要求.C,D 选项中双曲线的焦点在y 轴上,且双曲线y 24-x 2=1的渐近线方程为y=±2x;双曲线y 2-x 24=1的渐近线方程为y=±12x.故选C.53.(2015·浙江·理T5)如图,设抛物线y 2=4x 的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B 在抛物线上,点C 在y 轴上,则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |-1|AF |-1B.|BF |2-1|AF |2-1C.|BF |+1|AF |+1D.|BF |2+1|AF |2+1【答案】A【解析】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由抛物线定义,得|AF|=x 1+1,|BF|=x 2+1,则S △BCF S △ACF=BC AC=x 2x 1=|BF |-1|AF |-1,故选A.54.(2014·全国1·理T10)已知抛物线C:y 2=8x 的焦点为F,准线为l,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点.若FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =4FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|QF|=( ) A.72B.3C.52D.2【答案】B【解析】如图,由抛物线的定义知焦点到准线的距离p=|FM|=4. 过Q 作QH ⊥l 于H,则|QH|=|QF|.由题意,得△PHQ ∽△PMF, 则有|HQ ||MF |=|PQ ||PF |=34,∴|HQ|=3.∴|QF|=3.55.(2014·全国1·文T10)已知抛物线C:y 2=x 的焦点为F,A(x 0,y 0)是C 上一点,|AF|=54x 0,则x 0=( ) A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】A【解析】由抛物线方程y 2=x 知,2p=1,p2=14,即其准线方程为x=-14.因为点A 在抛物线上,由抛物线的定义知|AF|=x 0+p 2=x 0+14,于是54x 0=x 0+14,解得x 0=1,故选A. 56.(2014·天津·理T 5)已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( ) A.x 25−y 220=1 B.x 220−y 25=1 C.3x 225−3y 2100=1 D.3x 2100−3y 225=1 【答案】A【解析】由于双曲线焦点在x 轴上,且其中一个焦点在直线y=2x+10上,所以c=5. 又因为一条渐近线与l 平行,因此b a=2,可解得a 2=5,b 2=20,故双曲线方程为x 25−y 220=1.故选A.57.(2014·大纲全国·理T6文T9)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F 1,F 2,离心率为√33,过F 2的直线l 交C 于A,B 两点.若△AF 1B 的周长为4√3,则C 的方程为( ) A.x 23+y 22=1 B.x 23+y 2=1 C.x 212+y 28=1 D.x 212+y 24=1【答案】A 【解析】∵x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为√33,∴e2=1-b 2a2=13.∴b 2=23a 2.又∵过F 2的直线l 交椭圆于A,B 两点, △AF 1B 的周长为4√3, ∴4a=4√3,∴a=√3.∴b=√2,∴椭圆方程为x 23+y 22=1,选A.58.（2014·福建高考理科·T9）．设Q P ,分别为圆()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（）A.25B.246+C.27+D.26 【答案】D【解析】圆心M (0,6)，设椭圆上的点为(,)Q x y ，则MQ ===当2[1,1]3y =-∈-时，max MQ =max PQ ==． 59.（2014·重庆高考文科·T8）设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得()22123,PF PF b ab -=-则该双曲线的离心率为（ ）4 【答案】D【解析】由双曲线的定义知，()22124,PF PF a -=又()22123,PF PF b ab -=-所以2243a b ab =-等号两边同除2a ，化简得2340b b a a ⎛⎫-•-= ⎪⎝⎭，解得4,b a =或1b a =-（舍去）故离心率c e a ===== 60.（2014·天津文·T6理T5））已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（）A.120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.1253100322=-y x 【答案】A【解析】因为双曲线的一个焦点在直线l 上，所以0210,c =+即5,c =又因为渐近线平行于直线,102:+=x y l 故有2,ba=结合222,c a b =+得225,20,a b ==所以双曲线的标准方程为120522=-y x 61.（2014·湖北高考理科·T9）已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）C.3D.2 【答案】A【解析】设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为1a （1a a >），半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得a PF PF 2||||21=+，121||||2PF PF a -=，所以11||a a PF +=，12||a a PF -=， 因为123F PF π∠=，由余弦定理得22211114()()2()()cos3c a a a a a a a a π=++--+-，所以212234a a c +=，即2122122221)(2124ca c a c a c a c a +≥+=-，所以212148)11(e e e-≤+，. 62.(2014·广东高考理科·T10)若实数k 满足0<k<9,则曲线225x -29y k-=1与曲线225x k --29y =1的 ( )A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等 【答案】A【解析】因为0<k<9,所以曲线225x -29y k-=1与曲线225x k --29y =1都表示焦点在x 轴上的双曲线,且25≠25-k,9-k ≠9,但a 2+b 2=34-k,故两双曲线的焦距相等.63.（2014·山东高考理科·T10）已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b -=，1C 与2C ，则2C 的渐近线方程为（ ）A 、0x =B 0y ±=C 、20x y ±=D 、20x y ±= 【答案】A【解析】椭圆的离心率为2222221a b a a c e -==，双曲线的离心率为2222222ab a ac e +==，所以()43444221=+=a b a e e ，所以444b a =. 所以22±=a b .双曲线的渐近线方程为x y 22±=，即02=±y x ，故选A.64.(2014·江西高考文科·T9)过双曲线12222=-by a x C ：的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A.若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的方程为 ( )A.112422=-y x B.19722=-y x C.18822=-y x D.141222=-y x 【答案】A【解析】设右焦点为F,由题意得|OF|=|AF|=4,即a 2+b 2=16, 又A(a,b),F(4,0)可得(a-4)2+b 2=16,故a=2,b 2=12,所以方程为112422=-y x .65.（2014·安徽高考文科·T3）抛物线214yx 的准线方程是（ ） A. 1-=y B. 2-=y C. 1-=x D. 2-=x 【答案】A 【解析】22144yx x y ，所以抛物线的准线方程是y=-1.66. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T10) (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T10)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,则AB = ( )B.6C.12D.【答案】C【解析】设AF=2m,BF=2n,F 2≠a .则由抛物线的定义和直角三角形知识可得,2m=2·34·34解得m=32),n=32),所以m+n=6. AB=AF+BF=2m+2n=12.故选C.67. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T10)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( )A.4 B.8 C.6332D.94【答案】D【解析】选 D.设点A,B 分别在第一和第四象限,AF=2m,BF=2n,则由抛物线的定义和直角三角形知识可得,2m=2·34·34解得m=3232所以m+n=6.所以 S △OAB =1324⋅·(m+n)=94.故选D.68. （2014·四川高考理科·T10）已知F 为抛物线x y =2的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）【答案】 B【解析】选B. 可设直线AB 的方程为：x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，又1(,0)4F ，则直线AB 与x轴的交点(,0)M m ，由220x ty my ty m y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，所以12y y m =-，又21212121222()20OA OB x x y y y y y y ⋅=⇒+=⇒+-=，因为点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以122y y =-，故2m =，于是122111211111112224224ABO AFO S S x y x y y y y y ∆∆+=-+⨯⨯=⨯⨯-+⨯⨯=111218y y y ++119238y y =+≥=，当且仅当11192483y y y =⇔=时取“=”， 所以ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3.69. （2014·四川文·T10理T10）已知F 为抛物线x y =2的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）A.2B.3C.8【答案】 B【解析】选B.可设直线AB 的方程为：x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，又1(,0)4F ，则直线AB 与x 轴的交点(,0)M m ，由220x ty my ty m y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，所以12y y m =-，又21212121222()20OA OB x x y y y y y y ⋅=⇒+=⇒+-=，因为点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以122y y =-，故2m =，于是122111211111112224224ABO AFO S S x y x y y y y y ∆∆+=-+⨯⨯=⨯⨯-+⨯⨯=111218y y y ++119238y y =+≥=，当且仅当11192483y y y =⇔=时取“=”， 所以ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3.70. （2014·辽宁高考理科·T10）已知点(2,3)A -在抛物线2:2C y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为1134()()()()2343A B C D【答案】D【解析】根据已知条件得22p-=-，所以 4.p =从而抛物线方程为28y x =，其焦点(2,0)F ． 设切点00(,)B x y，由题意，在第一象限内28y x y =⇒=．由导数的几何意义可知切线的斜率为AB x x k y ='==003(2)AB y k x -=--又因为切点00(,)B x y 在曲线上，所以2008y x =．由上述条件解得008x y ==．即(8,8)B ．从而直线BF 的斜率为804823-=-． 71. (2014·湖北高考文科·T8)设a,b 是关于t 的方程t 2cos θ+tsin θ=0的两个不等实根,则过A(a,a 2),B(b,b 2)两点的直线与双曲线22cos x θ-22sin y θ=1的公共点的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】A【解析】由于a,b 是关于t 的方程t 2cos θ+tsin θ=0的两个不等实根, 所以a+b=-sin cos θθ,ab=0, 过A(a,a 2),B(b,b 2)两点的直线为y-a 2=22b a b a-- (x-a),即y=(b+a)x-ab,即y=-sin cos θθx, 因为双曲线22cos x θ-22sin y θ=1的一条渐近线方程为 y=-sin cos θθx, 所以过A(a,a 2),B(b,b 2)两点的直线与双曲线22cos x θ-22sin y θ=1的公共点的个数为0.72.(2013·广东·文T9)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1,0),离心率等于12,则C 的方程是( ) A.x 23+y 24=1 B.x 24+2√3=1 C.x 24+y 22=1D.x 24+y 23=1【答案】D【解析】由右焦点F(1,0)知,焦点在x 轴上,且c=1. 又离心率等于12, 则c a =12,得a=2. 由b 2=a 2-c 2=3,故椭圆C的方程为x 24+y 23=1.73．（2013·福建高考理·T3）双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A.25B.45C.255D.455 【答案】C【解析】本题考查双曲线的图象与性质，点到直线的距离等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力以及运算求解能力．双曲线x 24－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x2，即x ±2y ＝0，所以双曲线的顶点(±2,0)到其渐近线距离为25＝255.74.（2013·浙江高考·T9）如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B.3C.32D.62【答案】D【解析】本题考查椭圆、双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单几何性质，考查转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程思想以及运算求解能力．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)①，点A 的坐标为(x 0，y 0)．由题意得a 2＋b 2＝3＝c 2②，则|OA |＝c ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3，x 20＋4y 20＝4，解得x 20＝83，y 20＝13，又点A 在双曲线上，代入①得，83b 2－13a 2＝a 2b 2③，联立②③解得a ＝2，所以e ＝c a ＝62，故选D.75.(2013·全国2·理T11)设抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,点M 在C 上,|MF|=5,若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C 的方程为( ) A.y 2=4x 或y 2=8x B.y 2=2x 或y 2=8x C.y 2=4x 或y 2=16x D.y 2=2x 或y 2=16x 【答案】C【解析】设点M 的坐标为(x 0,y 0),由抛物线的定义,得|MF|=x 0+p 2=5,则x 0=5-p 2. 又点F 的坐标为(p2,0),所以以MF 为直径的圆的方程为(x-x 0)(x -p2)+(y-y 0)y=0. 将x=0,y=2代入得px 0+8-4y 0=0,即y 022-4y 0+8=0,所以y 0=4.由y 02=2px 0,得16=2p (5-p2),解之得p=2,或p=8.所以C 的方程为y 2=4x 或y 2=16x.故选C.76．（2013·新课标Ⅰ高考理·T4）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x【答案】C【解析】本题考查双曲线的标准方程和几何性质，意在考查考生对于双曲线的几何性质的熟练掌握和运算求解能力．解题时，先根据双曲线的标准方程判断出双曲线的焦点位置，再由双曲线的离心率的概念得到a ，c 之间的关系，再根据双曲线中a ，b ，c 之间的关系转化为a 与b 之间的关系，从而求出其渐近线方程．因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x .又离心率为e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝52，所以b a ＝12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选择C. 77．（2013·新课标Ⅰ高考理·T10）已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 【答案】D【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、焦点弦和中点弦问题，意在考查考生通过解方程组求解弦的中点的能力．运用两点式得到直线的方程，代入椭圆方程，消去y ，由根与系数的关系得到a ，b 之间的关系，并由a ，b ，c 之间的关系确定椭圆方程．因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，选择D.。