材料力学静不定

M图
A
1
1PE1I[12q2a2a23a
2 3
qa2 2
a
5a] 8
3 qa 4
8 EI
B
11E1I[12aa23a12
a
a
2a] 3
2a3 3 EI
⑤代入力法正则方程： 1X 111P0
得
32Ea3IX1
3qa4 8EI
0
X1
9qa 16
A
X1
9 qa 16
q
q
qa 16
A
X1
9 qa 16
A
q
qa
8
B
qa 2 qa 2 8
8
3 qa 2 8
[例3] 试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。 解：①刚架有一个多余约束。
②选取并去除多余约束，代以多
q
余约束反力，得到相当系统。
③建立力法正则方程
B
11X11P0
④计算系数11和自由项1P
q
B
a
a
A
A X1
A
qa 2
qa 2 2
a
q
a
2
B
M图
11X11P0
a
a
X1
④计算系数11和自由项1P
A
a
B
B
F 2
a a
B
1 2
Fa F
2
M图
0
M图
1
F
A
2
1PE1[I12F2a2aa2]
Fa 3 4 EI
11E1I[12a2a32a
1 2
a
a
2 3
a]
1 21
a3
EIБайду номын сангаас
11X11P0
X1
F 4
F
a
a
F X1 4
A
a
B
1 Fa
3 Fa 8
4
1 Fa
li
4(1 2)a EA
11X11P0
X1
1P 11
F 2
求桁架各杆的内力
a3 A
4
F
5
1 6
2
B
a
F X1
2
F4 X1 2 5
F
3
1
6
2
B
A
应用叠加法求桁架各杆的内力
C
3
A
D
4
F
5
1 6
2
B
C
F 2
3
F 2D
4 5
1 6
2
B
A
应用叠加法求桁架各杆的内力
( P78)
表14.1
杆件 编号
FNi
P
B C
l
P
B C
X1
应用叠加法：
B1P1X10
1X1 11X1
变形协调方程
1P1X 110
或： 1X 111P0 A ——力法正则方程
P
B
1P
1X1
X1
11
1
系数δ11和Δ1P可由莫尔定理求得(图c、d)
1PE 1[I (1 2Pl)(6 52l)] (c)
5 Pl 3
Pl
6 EI
11 E 1[I(1 22l2l)(3 22l)] (d)
④计算正则方程的系数： 1P和11程，两图互乘得1P ，单 位力图自乘得11。
⑤建立力法正则方程：
11X11P0
[例2] 试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。 解：①刚架为一次超静定。
②选取并去除多余约束，代以多 余约束反力，得到相当系统。
③建立力法正则方程
q B
1X 111P0
q
a
a A
A
X1
X1 A
P
B
C
二、力法正则方程
11X11P0
变形协调方程的标准形式，即所谓的力法正则方程。
X1——多余未知量；
11——在基本静定系上， X1取单位值时引起的在X1作用点沿
X1方向的位移； 1P——在基本静定系上， 由原载荷引起的在X1作用点沿
X1方向的位移；
力法解超静定的基本步骤：
①判定静不定次数 ②选取并去除多余约束，代以多余约束反力。 ③画出两个图：原载荷图和单位力图。
2.位移法：以未知位移为基本未知量的求解方法。
§14-2 用力法解超静定结构
一、力法的基本思路（举例说明）
[ 例1] 如图所示，梁EI为常数。 试求支座反力，作弯矩图。
(a)
A
l
解：①判定静不定次数（一次）
②选取并去除多余约束，得到静定
基，见图(b)。
③加上原载荷,
(b)
A
④加上多余约束反力，
⑤列出变形协调方程： B 0
FNi
li
1 －F 1 a 2 －F 1 a
3
01a
4 0 1a
5 2 F 2 2a
静不定问题分类
第一类：外力静不定：仅在结构外部存在多余约束， 即支反力是静不定的。
第二类：内力静不定：仅在结构内部存在多余约束， 即内力是静不定的。
第三类：混合静不定：在结构外部和内部均存在多余约 束，即支反力和内力是静不定的。
第一类
第二类
F
F
F F
F
B
F
F A
C
D
C
D
B F
第三类
分析方法 1.力法：以未知力为基本未知量的求解方法。
B
B
7 qa
qa 16
16
q
B
qa 16
qa 16
A
X1
9 qa 16
7 qa 16
49 qa 2 512
qa 2 16
qa 2 16
[例4] 试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。 F
解：①刚架有一个多余约束。
a
a
A
②选取并去除多余约束，代以多
a
余约束反力，得到相当系统。
B
③建立力法正则方程 F
第十四章 超静定结构
§14–1 超静定结构概述 §14–2 用力法解超静定结构 §14–3 对称及反对称性质的应用
§14-1 超静定结构概述
用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构，统称 为静不定结构(或静不定系统)，也称为超静定结构(或超静定系 统)。
在静不定结构中，超过维持静力学平衡所必须的约束称为多 余约束，多余约束相对应的反力称为多余约束反力，多余约束的 数目为结构的静不定次数。
表14.1
li FNi F N i li F N i F N i li
a －Fa
a
a －Fa
a
a
0
a
a
0
a
2 a 2 2Fa 2 2a
2a
0 2 2a
FNiFNi li Fa(22 2)
FNiFNi li 4(1 2)a
1P
E1AFNiFNi
li
(22 2) EA
Fa
11
1 EA
FNiFNi
4
M图
[例14-2] 已知：F，a ，EA，求桁架各杆的内力。
C
a3
D
4
F
5
1 6
C
X1 D
4
F
X1
5
3
1
6
2
B
A
a
2
B
A
C
3
A
D
4
F
5
1 6
2
B
计算 F N
C 1
3
1 D
4 5
1 6
2
B
A
计算 F N
( P78)
杆件
编号 FNi F N i
1 －F 1
2 －F 1
3
01
401
5 2F 2
6 0 2
8 l3
A
3 EI
38El3IX1
5Pl3 6EI
0
2l
X1
5 16
P
P
B
B 1
④求其它约束反力
11 P
由平衡方程可求得 A 端反
16
P
力，其大小和方向。
⑤ 作弯矩图，见图(e)。
3 Pl A
C
8
(e) –
3 Pl
16
5 Pl 32
+
B
5P 16
注意：对于同一静不定结构，若选取不同的多余约束，则基 本静定系也不同。本题中若选固定段处的转动约束为多 余约束，基本静定系是如图所示的简支梁。
④计算系数11和自由项1P
B
q
B
B
x2
x2
A
x1
A
x1 1
1P 0 E 1I0a(1 2q2 x2)adx2
qa 4 6 EI
11
1( EI
0ax12dx1
0aa2dx2)
4a3 3 EI
⑤代入力法正则方程： 1X 111P0
得
4a3 3EI
X1
q a4 6EI
0
qa X1 8
⑥画弯矩图