平行四边形、矩形、菱形、正方形 )
O
E
∵∠DAE=3∠BAE ， B ∠DAF．+∠BAE=90ο
C
∴∠BAE=22.5ο
∴∠ADO=∠BAE=22.5ο
∴∠EAC=90ο－2×22.5ο=45ο
7.矩形的周长为20cm，一边中点与对边两顶点连 线所夹角为直角，求矩形各边的长．
取AD的中点F,则直线EF是 A 矩形的对称轴,EA=ED
E D
O
G
H
G
OH
B
C BF C
B F
C
解:按要求画如上三图.作法略.
正方形ABCD，E、M、F、N分别是AD、AB、BC、CD上的点，
若EF⊥MN，求证：EF=MN 证明：作DG∥EF交BC于C， A
ED
作CH∥MN交AB于H． M
∵CH∥MN，DG∥EF，
FE⊥MN
H
∴CH⊥DG
又·∵·DC⊥BC ∠BCH=∠CDG
③平行四边形的对角相等；
④平行四边形的对角线互相平分
其中是平行四边形的特征的有(D)．
A.1种 B．2种 C．3种 D.4种
9．下列说法中错误的是( D)．
A.平行四边形的对角线互相平分 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．平行四边形对边相等 D．对边相等的四边形是平行四边形
选择题
A D
D 10．正方形具备而矩形不具备的特征是( )． A.四个角都是直角 B．对角线互相平分
(1)下列判断正确的是
A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形 是平行四边形
B．有两个角相等的四边形是平行四边形
C.一组对角相等，一组对边平行的四边形是 平行四边形
D.有两条边相等的四边形是平行四边形
选择题(每题3分，共24分)
1．下列判定四边形为平行四边形的方法中，错误的是
A,两组对边分别相等 B，一组对边平行且一组对角
F
D
∵∠AED=90ο
∴∠EAF=45ο
B
E
C
∵AD∥BC
∴∠AEB=∠EAF=45ο又∠B=90ο ∴AB=10/3(cm)
∴AB=BE.同理:CD=CE且AB=CD BC=20/3(cm)
∴BC=2AB又2AB+2BC=20cm
8．给出下列说法： ①平行四边形的对边平行；
②平行四边形的对边相等；
A
∵∠ACB=90ο,中线CD=6cm
D
∴斜边AB=12cm ∵CE⊥AB，CE=5cm
E
C
B
∴△ABC的面积为:12×5÷2=30(cm2)
6.矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,AE 垂直于BD于E，若∠DAF=3∠BAE，则∠EAC=？
∵四边形ABCD是矩形 A
D
∴OA=OD
∴∠OAD=∠ODA
相垂直
(3) 以 三 角 形 的 三 个 顶 点 为
其中的三个顶点作形状不
同的平行四边形，
一共可以作出 ( C)
A.1个 B．2个E
A
D
C.3个 D．4个
B
C
F
1．矩形具有平行四边形不一定具有的
性质是（ D ）
A．对角相等
B，对角线互相平分
A
B
C．对边平行且相等
D．对角线相等
D
EC
2：在矩形ABCD中，AB=10cm，AD=5cm，E是
影部分EBFD为（ ）
A
D
∵四边形ABCD是矩形，
F
AB∥CD，AB＝CD
E
又∵DE∥BF，∴四边形BEDFB是平行四边形 C
∴BE=DF ∵AB=7cm，且AE:EB=5：2， ∴AE=5，EB=2cm
∴阴影部分的面积为2×12=24
4.对于平行四边形内任意一点P，问是否存在以AP，BP，CP，DP 的长为边，且对角线的长恰好分别等于线段AB和BC的四边形？
相等
C,两组对角分别相等 D．一组对边平行且另一组对
边相等
2．下列说法正确的是(
)
A,有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C，两条对角线垂直的四边形是矩形
D．两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形
3．能判定四边形是菱形的条件是
A.两条对角线相等 B．两条对角线互相垂直
C.邻边相等的平行四边形 D．两条对角线相等且互
O
C．对角线相等 D．对角线互相垂直 B
C
11．下列特征中，正方形具有而菱形不一定具有的( D )．
A.四条边相等 B．对角线互相垂直平分 C.每条对角线平分一组对角 D．对角线相等
12．已知一矩形的周长是24cm，相邻两边之比是1：2，那么这
个矩形的面积是(B )． A．24cma2 B．32cm2 C．48cm2 D．128cm2
解:∵四边形ABCD是平行四边形 A
∴AD∥BC，AD=BC，将
P
D
△APD沿AB方向平移到 B
△BQC的位置，连结PQ
Q
C
则PQ=AB，PQ=CD，
BQ=AP，CQ=PD
∴四边形BQCP的四条边分别为PA，
PD，PC，PB，且两条对角线中的一
条是BC，另一条是AB
5．直角三角形斜边上的高和斜边上的中线分 别是5cm和6cm，则它的面积是——
∠ACD
(1)求证：EO=FO (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形?并证明 你的结论．
解: 由MN∥BC，CE平分工∠BCA，得·∠OEC=∠ECB=∠OCE， OE=OC，同理OE=OF
(2)由(1)知OE=OF
A
当O为AC的中点，即OC=OA时，四边形 AECF是平行四边形
又CE、CF分别平分∠BCA、
CD上的一点，且AE=10cm，则∠CBE等于 ( )
∵∠D=90ο,AE=10,AD=5
∴∠AED=30ο ∵AB=AE∴∠ABE=∠AEB=75ο ∴∠CBE=∠ABC－∠ABE=90ο－75ο
=15ο
3.在矩形ABCD中，点正、F分别在边AB、CD上，
BF∥DE．若AD=12cmAB=7cm,AE:EB=5:2．则阴
13．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对四边形 C.等边三角形 D．菱形
在正方形地块内修两条笔直的道路，把正方形
分成形状相同且面积相等的四部分，道路宽度忽略 不计，请设计三种不同的方案，在给出的三张正方 形图纸上分别画图，并简述绘图步骤．
A
DA E D A
N
∵BC=CD，∠HBC=∠GCD B F G
C
∴△DCG按顺时针旋转90ο
后再向左平移BC的长可与 ∴四边形EFGD为平行四边形，
△ CBH重合．
∴EF=DG，
∴CH=DG，
同理CH=MN
又·∵AD∥BC，DG∥EF ∴MN=EF
△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直 线MN∥BC, ，设MN交上∠BCA的平分线于点E，交上∠BCA 的外角平分线于点F．
初中平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结(精)
平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结1.平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质：平行四边形矩形菱形正方形图形性质边对边平行且相等对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角对角相等，邻角互补四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角对称性只是中心对称图形既是轴对称图形，又是中心对称图形面积ah=S ab=S2121S dd=（注：d1,d2为菱形两条对角线的长度。
）2S a=2. 判定方法小结：(1) 平行四边形：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
(2)矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
(3) 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边都相等的四边形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形(4) 正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；③有一组邻边相等的矩形是正方形；④对角线互相垂直的矩形是正方形；⑤有一个角是直角的菱形是正方形；⑥对角线相等的菱形是正方形；⑦对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
几种特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形
【本讲教育信息】一. 教学内容：几种特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形［目标］1. 理解矩形、菱形的定义与性质。
2. 掌握矩形、菱形的判定方法。
二. 重点、难点：1. 矩形、菱形性质的综合应用。
特别是菱形性质和直角三角形的知识的综合应用。
2. 矩形、菱形的判定方法的综合应用。
三. 知识要点：1. 矩形（1）矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
（2）矩形的特殊性质①矩形的对角线相等②矩形四个角都是直角（3）矩形性质的应用①矩形的一条对角线将矩形分成2个全等的直角三角形；②矩形的2条对角线将矩形分成4个等腰三角形；③有关矩形的问题往往可以化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决；④矩形的面积计算公式：（4）矩形的判定条件①有三个角是直角的四边形是矩形②对角线相等的平行四边形是矩形注意：1）在判定四边形是矩形的条件中，平行四边形的概念是最基本的条件，其他的判定条件都是以它为基础的。
2）四边形只要有3个角是直角，那么根据多边形内角和性质，第四个角也一定是直角。
（在判定四边形是矩形的条件中，给出“有3个角是直角”的条件，是因为数学结论的表述中一般不给出多余条件。
）3）将两个判定条件比较，后者的条件中，除了“有3个角是直角”的条件外，只要求是“四边形”，而前者的条件却包括“平行四边形”和“两条对角线相等”两个方面。
4）矩形的判定与性质的区别2. 菱形（1）菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。
（2）菱形的特殊性质①菱形的四条边都相等②菱形的对角线相互垂直，且每一条对角线平分一组对角（3）菱形性质的应用由于菱形的对角线互相垂直平分，菱形的2条对角线就将菱形分成了四个全等的直角三角形，结合图形向学生介绍菱形的一个面积计算公式。
的一半思考归纳：计算菱形的面积有哪些方法？（4）菱形的判定条件①四边都相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形（5）四边形、平行四边形、菱形之间的关系如图：【典型例题】例1. 等边三角形、矩形、菱形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. 等边三角形和圆B. 等边三角形、矩形、菱形C. 菱形、矩形和圆D. 等边三角形、菱形、矩形和圆分析：因为等边三角形是轴对称图形而不是中心对称图形，明确了这一点，就很容易排除A、B、D，只选C了解：菱形、矩形、圆这三种图形，都是轴对称图形，且又都是中心对称图形，故选C。
1.3平行四边形,矩形,菱形,正方形的性质和判定
第三节 平行四边形,矩形,菱形,正方形的性质和判定(一)平行四边形的性质和判定 一.教学重难点:重点：平行四边形的性质证明． 难点：分析、综合思考的方法．二.知识点和考点:1.平行四边形的定义2.平行四边形的性质,面积3.平行四边形的判定4.三角形的中位线及其性质三.知识点讲解考点一: 平行四边形的定义考点二:平行四边形的性质(1)平行四边形的对边相等注：在证明题时使用格式是：∵四边形ABCD 是平行四边形，定义:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
记做例1：如图：在中，如果E F ∥AD ，GH ∥CD ，EF 与GH 相交于点O ，那么图中的平行四边形一共有 （ ） A ．4个 B 、5个 C 、8个 D 、9个例2:如图，E 、F 分别是边AD 、BC 上的点，并且AF ∥CE ，求证：∠AFB=∠DEC 。
∴AB=DC，AD=BC例1、如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE。
例2.平行四边形的周长等于56cm，两邻边长的比为3：1，那么这个平行四边形较长的边长为(2).平行四边形的对角相等注：在证明题时使用格式是：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C，∠B=∠D例1.已知中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF。
求证：∠ADF=∠CBE。
例2、在中，∠A、∠B的度数之比为5：4，则∠C等于（）A、 B、 C、 D、(3)、平行四边形的对角线互相平分注：在证明题时使用格式是：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC，OB=OD例3.如图，，过其对角线交点O，引一直线交BC于E，交AD于F，若AB=2.4cm，BC=4cm，OE=1.1cm，求四边形ABEF的周长。
例4.如图，已知：中，AC、BD相交于O点，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，求证：OE=OF。
例5.如图，如果的周长之差为8，而AB:AD=3:2，那么的周长为多少？例6.如图，已知的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，的周长长8cm，求这个四边形各边长.(4)平行四边形的面积如图（1），，也就是边长×高=ah(2）、同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。
平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定(7)
问题三说说证明“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的思路。
4、思考与探索你能用直尺和圆规作一个菱形？并说明作图的理由。
三、典例分析：
例1、已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AD是角平分线，点E、F分别在AC、AD上，且AE=AB，EF∥BC。
课时编号
010
课题
1、3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定（7）
教学目标
知识与技能
1、会证明菱形的判定定理。
2、能综合运用菱形的判定定理解决问题。
过程与方法
通过菱形的判定定理的证明，从中体会探索结论的思考方法，运用此方法去证明几何命题。
情感、态度与价值观
经历探索、证明菱形判定定理的过程，在说理过程中发展自己的合情推理能力、主动探究习惯，发展演绎推理能力。
教学重点
菱形的判定方法的证明和灵活运用。
教学难点
通过探索发展学生合情推理能力，养成主动探索问题的习惯。
预习内容
预习活动
课堂补充
一、创设情境
具备什么条件的平行四边形是菱形？具备什么条件的四边形是菱形？同学之间进行交流。
二、合作交流
1、探索“对角线互相ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，由此你可证得什么？2、如图，要证□ABCD是矩形，需证什么？为什么？
课后随笔
求证：四边形CDEF是菱形。
例2、已知：如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC
分别相交于点E、F。
求证：四边形AFCE是菱形。
四、中考题型展示：
你能再补充一个跟本节内容相关的中考题目吗？
请把题目整理出来并给出答案！
平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定(1)
2、如图 AB // A' B' , BC // B'C ' , CA // C ' A' ，图中有 ______个平行四边形。 B'
A C' B
C
A'
三、典例分析： 在□ ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 的中点。 求证： BE=DF
A
E
D
B
拓展 1：如果将上题中的“E、F 分别是 AD、BC 的 中点”改为“ AE 立吗？
教学目标
过程与方法 情感、 态度与价值观
教学重点 教学难点
平行四边形的性质。 探索、寻求解题思路。 预习内容 预习活动 课堂补充
一、知识回顾： 1、平行四边形的定义： 2、平行四边形的性质有哪些？你能从边、角、对 角线、对称性几个方面进行总结吗？
3、除了以上几个性质外，你还能得到哪些有用的 结论？ 二、合作交流 1、用基本事实和学过的定理来证明这几种性质。
1 4
F
C
AD, CF
-1-
四、中考题型展示： 你能再补充一个跟本节内容相关的中考题目吗？ 请把题目整理出来并给出答案！ 题目：
1、 通过本节课的学习，你认为你的学习重点是： 2、 通过本节课的学习，你认为你的学习难点是： 3、 通过本节课的学习，你认为你还有哪些东西没有掌握：
课时编号 课 题
004 1、3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定（1） 知识与技能 1、能证明角平行四边形的性质定理。 2、运用平行四边形的性质定理进行有关论证和计算。 3、解决平行四边形问题的基本思想是转化为三角形来处理。 探究平行四边形的性质，利用这些性质进行有关论证和计算。 经历探索、猜想、证明的过程，从中体会探索结论的思考方法，不断感受合理推理和演绎推理是人们正 确认识事物的重要途径。
中考数学复习⑦ 平行四边形及矩形、菱形、正方形存在性问题探究
中考数学复习⑦ 平行四边形及矩形、菱形、正方形存在性问题探究在平行四边形的存在性问题中，常会遇到两类探究性的问题。
第一类问题是已知三点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找一动点，使这四点构成平行四边形（简称“三定一动”）。
第二类问题是已知两个点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找两个动点，使这四点构成平行四边形（简称“两定两动”）。
平行四边形的这四个点有可能是定序的，也有可能没有定序。
在解决这些问题时，容易出现遗漏或方法不当或错解的情况。
因此，需要分清题型并分类讨论且作图，利用几何特征计算，并灵活运用平移坐标法等解题技巧。
可以把存在性问题的基本思路叫做“三步曲”：一“分”二“作”三“算”。
对于“三定一动”，要找出平行四边形第四个顶点，则符合条件的有3个点。
这三个点的找法是以三个定点为顶点画三角形，过每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生所要求的3个点。
对于“两定两动”，要找出平行四边形第三、四个顶点，将两个定点连成定线段，将此线段按照作为平行四边形的边或对角线两种分类讨论。
如果平行四边形的四个顶点都能用坐标来表示，则可以直接利用坐标系中平行四边形的基本特征：即对边平行且相等或对边水平距离相等和竖直距离相等列方程求解。
如果平行四边形的四个顶点中某些点不能用坐标表示，则可以利用列方程组解图形交点的方法解决。
此外，还可以灵活运用平行四边形的中心对称的性质，或者使用平移坐标法。
平移坐标法的具体步骤是先由题目条件探索三点的坐标（若只有两个定点，可设一个动点的坐标），再画出以三点为顶点的平行四边形，根据坐标平移的性质写出第四个顶点的坐标。
最后根据题目的要求（动点在什么曲线上），判断平行四边形的存在性。
除了平行四边形，矩形、菱形和正方形也有存在性问题。
对于矩形，增加对角线相等和邻边垂直的性质，还可以转化为直角三角形的存在性问题。
对于菱形，增加四边相等和对角线垂直的性质，还可以转化为直角三角形或等腰（等边）三角形的存在性问题。
多边形平行四边形矩形菱形正方形的知识点总结
多边形（基础）知识讲解知识点一、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：知识点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为()23-n n ；(3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n-2)个三角形．凸多边形凹多边形知识点二、多边形内角和n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．知识点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于()nn︒⋅-1802；知识点三、多边形的外角和多边形的外角和为360°．知识点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于n ︒360；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．平行四边形（基础）知识点一、平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.知识点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.知识点二、平行四边形的性质1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.知识点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.知识点三、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.知识点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.知识点四、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 知识点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的21，每个小三角形的面积为原三角形面积的41. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 知识点五、平行线间的距离 1.两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值. （2）平行线间的距离处处相等任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 2.平行四边形的面积：平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.知识点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.知识点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.知识点二、矩形的性质1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.知识点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.知识点三、矩形的判定1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.知识点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.知识点四、直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.知识点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.知识点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.知识点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.知识点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 知识点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.知识点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.知识点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.正方形（基础）知识点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.知识点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.知识点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.知识点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.知识点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.知识点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：知识点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.知识点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.梯形（基础）知识点一、梯形的概念一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形. 在梯形中，平行的两边叫做梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高，一腰和底的夹角叫做底角.要点诠释：（1）定义需要满足三个条件：①四边形；②一组对边平行；③另一组对边不平行.（2）有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形，关键在于另一组对边的位置或者数量关系的不同.梯形只有一组对边平行，而平行四边形两组对边都平行；平行四边形中平行的边必相等，梯形中平行的一组对边必不相等.（3）在识别梯形的两底时，不能仅由两底所处的位置决定，而是由两底的长度来决定梯形的上、下底.知识点二、等腰梯形的定义及性质1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形.2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等.（2）等腰梯形的两条对角线相等.要点诠释：（1）等腰梯形是特殊的梯形，它具有梯形的所有性质.（2）由等腰梯形的定义可知：等腰相等，两底平行.（3）等腰梯形同一底上的两个角相等，这是等腰梯形的重要性质，不仅是“下底角”相等，两个“上底角”也是相等的.知识点三、等腰梯形的判定1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形.2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形.（2）对角线相等的梯形是等腰梯形.知识点四、辅助线梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是：方法作法图形目的平移平移一腰过一顶点作一腰的平行线分解成一个平行四边形和一个三角形过一腰中点作另一腰的平行线构造出一个平行四边形和一对全等的三角形平移对角线过一顶点作一条对角线的平行线构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形作高过一底边的端点作另一底边的垂线构造出一个矩形和两个直角三角形；特别对于等腰梯形，两个直角三角形全等延长延长两腰延长梯形的两腰使其交于一点构成两个形状相同的三角形延长顶点和一腰中点的连线连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交构造一对全等的三角形，将梯形作等积变换知识点五、三角形、梯形的中位线联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.。
数学平行四边形、菱形、矩形、正方形的定理、性质、判定
1. 定义: 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.性质:⑴如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。
（简述为“平行四边形的对边相等”）⑵如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。
（简述为“平行四边形的对角相等”）⑶夹在两条平行线间的平行线段相等。
⑷如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。
（简述为“平行四边形的两条对角线互相平分”）⑸平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
3.判定：（1）如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”）（2）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”）（3）如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”）（4）如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”（5）如果一个四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”）矩形的性质和判定定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.性质：①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等 .注意：矩形具有平行四边形的一切性质 .判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形 .菱形的性质和判定定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 .注意：菱形也具有平行四边形的一切性质 .判定：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形(4).有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形正方形的性质和判定定义：有一组邻边相等并且有一角是直角的平行四边形叫做正方形.性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等；②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 .判定：因为正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，所以我们判定正方形有三个途径①四条边都相等的平行四边形是正方形②有一组临边相等的矩形是正方形③有一个角是直角的菱形是正方形梯形及特殊梯形的定义梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.（一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形.）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形. 直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.等腰梯形的性质1、等腰梯形两腰相等、两底平行；2、等腰梯形在同一底上的两个角相等；3、等腰梯形的对角线相等；4、等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴. 等腰梯形的判定1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等且平行平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角矩形性质定理2 矩形的对角线相等矩形判定定理1 有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角菱形性质定理1 菱形的四条边都相等菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形判定定理3是对称轴图形的平行四边形是菱形。
平行四边形、矩形、菱形、正方形
矩形、菱形、正方形辅导练习题（一）一、复习矩形、菱形、正方形有关的性质和判定方法。
二、例题讲解例1、如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，△ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。
例2、已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AE=2。
求：（1）∠ABC的度数；（2）对角线AC、BD的长；（3）菱形ABCD的面积。
例3、如图①，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.(1) 求证：DE－BF = EF．(2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由．(3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．三、巩固提高（一）选择题1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）.A、对角线相等B、对边相等C、对角相等D、对角线互相平分2、下列对矩形的判定：“（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（4）有四个角是直角的四边形是矩形；（5）四个角都相等的四边是矩形；（6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形；（7）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（8）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形”中,正确的个数有（）A、3 个B、4个C、5个D、6个3、下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是( )A、对边平行且相等B、对角线互相平分C、内角和等于外角和D、每一条对角线所在直线都是它的对称轴4、下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是( )A、对角线互相平分的四边形B、对角线互相垂直且平分的四边形C、对角线相等的四边形D、对角线相等且互相垂直的四边形5、已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不一定正确的是( )A、AB=CDB、AC=BDC、当AC⊥BD时，它是菱形D、当∠ABC=90°时，它是矩形6、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）。
精华总结：平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点
平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结一般平行四边形特殊平行四边形矩形菱形（正方形图形·定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形~有一个角是直角的平行四边形是矩形有一组邻边相等的平行四边形是菱形有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形性质①边：对边平行且相等②角：对角相等，邻角互补~③对角线：对角线互相平分除具有平行四边形的性质外，还有①角：四个角都是直角②对角线：对角线相等,且互相平分除具有平行四边形的性质外，还有①边：四条边相等②对角线：对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角*具有矩形、菱形的所有性质（正方形=矩形+菱形）①边：四条边相等②角：四个角是直角③对角线：对角线相等，互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；判定边：!①两组对边分别平行的四边形是平行四边形②两组对边分别相等的四边形是平行四边形③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形角：④两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线：⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形;角：①有一个角是直角的平行四边形是矩形②有三个角是直角的四边形是矩形对角线:③对角线相等的平行四边形是矩形边：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形#②四边都相等的四边形是菱形对角线：③对角线互相垂直的平行四边形是菱形①对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形②有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是菱形③有一组邻边相等的矩形是菱形④对角线互相垂直的矩形是菱形…⑤有一个角是直角的菱形是菱形⑥对角线相等的菱形是菱形面积S=ah(a为一边长，h为这条边上的高)S=ab(a为一边长，b为另一边长)①~②③S=ah(a为一边长，h为这条边上的高)；②①(a为边长)；②(b为对角线长)。