人教版九年级上数学《一元二次方程》复习课件
k 1 x k （ ）
x
2
2 x 1 （x 1 ）
2
是关于x的完全平方式。
小结：
本节课我们主要复习了一元二次方程的定义和解 法，要求大家掌握以下几点：
1.会判断一个方程是不是一元二次方程，能够熟 练地将一元二次方程化为一般形式，并准确地 写出其各项的系数。 2.能灵活运用一元二次方程的四种基本解法求方 程的解。 3.能根据方程根的定义解决有关问题。
( )
2 2 ≠2 时，方程 kx 3x 2 x 1 是关于x 2.当k 的一元二次方程.
3.方程2x(x-1)=18化成一般形式为 x2-x-9=0 其中常 x2 .一次项为 -x .二次项系数 数项为 -9 .二次项为 为 1 .一次项系数为 -1 .
一元二次方程的根
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. -7 1.已知x＝-1是方程x²ax＋6＝0的一个根.则a＝___, 6 另一个根为__.
方程有两个不相等的实数根
方程有两个相等的实数根
方程没有实数根
试一试
1.已知x＝－1是方程x² －ax＋6＝0的一 -7 -6 个根，则a＝___另一个根为__ 2 2
2.若关于X的一元二次方程 B a 的一个根为0，则 的值为（ ） A.1 B.－1 C.1或－1
D.
1 2
(a - 1) x + x + a - 1 = 0
5.方程的左边化成完全元二次方程的解法： （公式法） 例：（3） 2 x 3x 4 0
2
解： a 2, b 3, c 4
2
2
b 4ac 3 4 2 4
9 32
通过复习.掌握一元二次方程的概念.并能够熟 练的解一元二次方程.并且利用一元二次方程解决 实际问题.
一般形式 ax2+bx+c=0 (a≠0) ( x a)2 b b 0 直接开平方法 程一 元 二 次 方 配方法 解法
b b x bx x c c 0 2 2
方法、公式法适用于任何一个一元二次方程,但公式法首先 要将方程转化为一般式,而因式分解法只适用于某些一元二 次方程.总之它 的基本思路就是将二次方程转化为一次方程,
因式分解法的解题过程
1. 移项，使方程的右边为0。 2. 将方程左边分解因式 。
3. 令每个因式分别为零，得到两个一元 一次方程。 4. 解这两个一元一次方程，它们的解就 是原方程的解。
①先将二次项系数 转化为1 ②两边都加上一次 项系数一半的平方
x3 2
x1 3 2 , x2 3 2
注：当一元二次方程二次项系数为1且一次项系数
为偶数时常用配方法比较简便。
配方法解一元二次方程的解题过程
1.把方程化成一元二次方程的一般形式. 2.把二次项系数化为1. 3.把含有未知数的项放在方程的左边，不含未知 数的项放在方程的右边. 4.方程的两边同加上一次项系数一半的平方.
当m=
2
时.x=0.
3.若（m+2）x 2 +（m-2）x-2=0是关于x的一元二次方 ≠－2 程则m 。
一元二次方程的一般形式
ax bx c 0 (a,b,c为常数，a≠0） 当 a 0 时,它是一元二次方程; 当 a 0 时,它不是一元二次方程. 方程2ax2 -2bx+a=4x2, (1)在什么条件下此方程为一元二次方程？ (2)在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解： 原方程转化为(2a-4) x2 -2bx+a=0 当a≠2时是一元二次方程； 当a＝2,b≠0时是一元一次方程；
提高应用 , 若关于x的一元二次方程 1. 已知a, b, c是ABC的三条边的长
b) x 2(b a ) x ( a b) 0有两个相等的实数根则 (c ,
2
ABC是等腰三角形 . 2
2
证明： b a） （c b）（a b） [（ 2 ] 4 （b 2ab a ） （ac ab bc b ） 4 4
4.一元二次方程3x2=2x的解是 . 5.一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一解为0.则m的 m=-2 值是 . 6.已知m是方程x2-x-2=0的一个根那么代数式m2-m = 2 . 7.一元二次方程ax2+bx+c=0有一根-2,则 4a+c 的值为 2
2 x1=0,x2= 3
试一试 1.判断下列方程是不是一元二次方程 1
（1）4x- 2 x² 3 =0 是 + 不一定 （3）ax² +ｂx+c=0
（2）3x² 1y -1=0 不是 x =0 不是 （4）x +
2.关于x的方程(m² -1)x² +(m-1)x-2m+1=0. 当m ≠±1 时是一元二次方程 -1 当m= 1 时是一元一次方程.
2 2
（a ab ac bc） 4[ a（a b） c（a b） 4 ] ]
2
（a b）（a c） 4
方程有两个相等的实数 根 （a b）（a c） 0 4 a b 0或a c 0 a b，a c（c b 0） ABC是等腰三角形
2
试一试
1.判断下面哪些方程是一元二次方程
(1)x 2 -3x+4=x 2 -7 (2) 2X 2 = -4 (3)32 X+5X-1=0 (4) 3x - 1 2 0 x
2
(5) x 1 3
2
(6) y 2 0
y 4
× (√ ) ( ) × ( ) × ( ) × (√ )
3 41 x 2 2
x1 3 4 41 , x2 3 4 41
41
注：当一元二次方程二次项系数不为1且
难以用因式分解时常用公式法比较简便。
公式法解一元二次方程的解题过程 1. 把方程化成一元二次方程的一般形式 2. 写出方程各项的系数（系数包括前面符号）
3( y 2)
解:原方程化为 （y+2) 2﹣3（y+2）=0 把y+2看作一个 (y+2)(y+2-3)=0 整体，变成 (y+2)(y-1)=0 a×b=0形式(即 两个因式的积 y+2=0 或 y-1=0 的形式)。 ∴y1 要先观察方程,选择适当的方法.配 y2=1 注：在解一元二次方程时,=-2
解一元二次方程的方法
一元二次方程的几种解法 (1)直接开平方法 (2)因式分解法 (3)配方法 (4)公式法
一元二次方程的解法：（配方法） 例：（2） x 2 6 x 7 0
解： x 2 6 x 7 2
配方时应注意
x 6 x 9 7 9 — — 2 x 3 2
b
一元二次方程的根的情况
4 x 2 3x 2 0根的情况. 不求根,判别一元二次方程
b 2 4ac 23 0
所以此方程没有实根.
一元二次方程 2 bx c 0 (a 0) ax
b2 4ac 0,
b2 4ac 0,
b2 4ac 0,
2 2 2
公式法
( x a)( x b) 0 因式分解法 2 根的判别式： b 4ac b c 根与系数的关系： x1 x2 a , x1 x2 a
b b2 4ac x 0 2a
应用
配方法求最值问题
实际应用 思想方法 转化思想; 配方法、换元法
2.若关于X的一元二次方程 1 个根为0.则a的值为（ B ） A.1 B.-1 C. 1或 -1 D. 4 3、一元二次方程ax² +bx＋c =0， 若x=1是它的一个根，则a+b+c= 0 . 若a-b+c=0，则方程必有一根为 -1 .
a 1x 2 x a 2 1 0
的一
一元二次方程的概念 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ A ） 1 1 2=2(x+1) A．3(x+1) B． 2 -2=0
x x
C．x2+xy+y2=0
D．x2+2x=x2-1
等号两边都是整式.只含有一个未知数(一元).并且未 知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程. 特点: ①都是整式方程. ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
3. 计算出b2-4ac的值，看b2-4ac的值与0的关 系，若b2-4ac的值小于0，则此方程没有实 数根 。
4. 当b2-4ac的值大于、等于0时， 代入求根 公式 计算出方程的解
2
-b b 4ac 2 x= （b 4ac 0） 2a
（因式分解法） 一元二次方程的解法： 例：（y 2)2
为 2或1/2
。
5. 已知关于 x 的一元二次方程 2 bx c 0, 且 ax 满足 b a c, 则至少可以确定方程的 一个根为 ( A.1 B. 1 C. 0 D. 不能确定 6.已知1 是关于 x 的一元二次方程 2a b) x 2 ( ( 2b c ) x 2c a 0的根, 则a, b, c满足的关系是 ). ( A. a b c 0 C. 2a b 2c 0 B. a b c 0 D. a 2b 2c 0
1、用配方法解方程2x² +4x +1 =0，配方后得到的方程 2（x+1）² =1 是 。
2. 若9a
m2 4 m 4
与5a9是同类项，则 5或-1 m
3.已知方程:5x2+kx-6=0的一个根是2,则k=_____ -7
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初三数学 人教版九年级上册(新) 第21章 一元二次方程 复习课 课件(14张)
▪ 2、用配方法解方程4x2-8x-5=0
右边开平方 后，根号前 取“±”。
两边加上相等项“1”。
3、用公式法解方程 3x2=4x+7
解:移项,得: 3x2-4x-7=0
先变为一般 形式，代入 时注意符号
a=3 b=-4 c=-7
。
∵b2-4ac=(-4)2-4×3×(-7)=100＞0
x 4 100
②移常数项到右边；
③两边加上一次项系数一半的平方；
④化直接开平方形式;
⑤解方程。
▪公式法步骤：
① 先化为一般形式；
②确定a、b、c,求b2-4ac； ③ 当 b2-4ac≥ 0时,代入公式:
x
若b2-4ac＜0,方程没有实数根。
▪分解因式法步骤:
①右边化为0,左边化成两个因式的积；
②分别令两个因式为0，求解。
( 公式 法）
▪ 6、 x２＋６x-1=0
( 配方 法）
▪ 7、 ３x２ -８x-３=０
(分解因式法）
▪ 8、 y2- 2 y-1=0
( 公式 法）
小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法 →分解因式法 → 配方法 → 公式法
把握住：一个未知数，最高次数是2 一元二次方程的定义 ， 整式方程
一般形式：ax²+bx+c=0（a0）
2 5∴
6
3
4 ∴x1=
x238 =
4、用分解因式法解方程：（y+2)2=3(y+2）
解:原方程化为 （y+2) 2﹣ 3（y+2）把y+2看作一个
=0
未知数，变成 (ax+b)(cx+d)=
(y+2)(y+2-3)=0
右边开平方 后，根号前 取“±”。
两边加上相等项“1”。
3、用公式法解方程 3x2=4x+7
解:移项,得: 3x2-4x-7=0
先变为一般 形式，代入 时注意符号
a=3 b=-4 c=-7
。
∵b2-4ac=(-4)2-4×3×(-7)=100＞0
x 4 100
②移常数项到右边；
③两边加上一次项系数一半的平方；
④化直接开平方形式;
⑤解方程。
▪公式法步骤：
① 先化为一般形式；
②确定a、b、c,求b2-4ac； ③ 当 b2-4ac≥ 0时,代入公式:
x
若b2-4ac＜0,方程没有实数根。
▪分解因式法步骤:
①右边化为0,左边化成两个因式的积；
②分别令两个因式为0，求解。
( 公式 法）
▪ 6、 x２＋６x-1=0
( 配方 法）
▪ 7、 ３x２ -８x-３=０
(分解因式法）
▪ 8、 y2- 2 y-1=0
( 公式 法）
小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法 →分解因式法 → 配方法 → 公式法
把握住：一个未知数，最高次数是2 一元二次方程的定义 ， 整式方程
一般形式：ax²+bx+c=0（a0）
2 5∴
6
3
4 ∴x1=
x238 =
4、用分解因式法解方程：（y+2)2=3(y+2）
解:原方程化为 （y+2) 2﹣ 3（y+2）把y+2看作一个
=0
未知数，变成 (ax+b)(cx+d)=
(y+2)(y+2-3)=0
好人教版九年级上数学《一元二次方程》复习课件
解题思路与方法：总结一元 二次方程在几何问题中的解 题思路和方法，如代数法、 几何法等
注意事项：强调解一元二次方 程时需要注意的事项，如判别 式的使用、根的取舍等
05
一元二次方程的拓 展知识
一元二次方程的判别式
判别式的定义：Δ=b²-4ac 判别式的意义：判断一元二次方程的根的情况 判别式的应用：解决与一元二次方程相关的问题 判别式的拓展：了解其他类型的二次方程的判别式
03
一元二次方程的解 法
直接开平方法
定义：对于形如$x^2=a$（其中a为非负实数）的一元二次方程，可以通过直接开平方的方法 求解。
适用范围：适用于形如$x^2=a$的一元二次方程，其中a为非负实数。
解法步骤：首先确定方程的形式，然后根据平方根的定义，取方程两边的平方根，得到 $x=\pm\sqrt{a}$。
实际应用：一元二次方程在实际生活中有着广泛的应用，如求解利润最大化、最短路径等问题
解题步骤：首先将实际问题转化为数学模型，然后利用一元二次方程的解法求解，最后将答案 回归实际问题
注意事项：在解决实际问题时，需要注意问题的实际情况和约束条件，避免出现不符合实际情 况的解
代数问题中的一元二次方程
一元二次方程的根与对称轴和顶点之间的关系
添加标题
一元二次方程的对称轴：一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0，其对称轴为x=-b/2a。
添加标题
一元二次方程的顶点：对于一般形式的一元二次方程，其顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
添加标题
一元二次方程的根与对称轴和顶点之间的关系：一元二次方程的根与对称轴和顶点之间存在密 切关系。当方程有两个实数根时，这两个根关于对称轴对称；当方程有一个实数根时，顶点就 是该根；当方程没有实数根时，顶点在x轴上方或下方。
人教版初三数学一元二次方程全章复习课件PPT
配方法 公式法 x b b2 4ac (b2 4ac 0)
2a
因式分解法
初中数学
7
3. 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式 (1) △=b2-4ac
(2) 一元二次方程根的情况
△>0 方程有两个不等的实数根； △=0 方程有两个相等的实数根； △<0 方程无实数根.
初中数学
8
初中数学
14
例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (1) 求证：方程总有两个实数根；
(1) 证明：△=[-(k+3)]2-4×1×(2k+2) =(k+3)2-8k-8 = k2-2k+1 =(k-1)2.
∵(k-1)2≥0, ∴方程总有两个实数根.
初中数学
15
例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (2) 若方程有一个根小于1,求k的取值范围．
知识回顾与例题
1. 一元二次方程的概念 等号两边都是整式,只含有一个未知数 (一元),并 且未知数的最高次数是2 (二次) 的方程.
一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
初中数学
4
初中数学
知识结构
实际问题 实际问题的答案
一元二次方程 ax2+bx+c=0 解 方 程
方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根
3. 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式
(3) 一元二次方程根的判别式的应用
➢不解方程,判断 (证明) 方程根的情况. ➢ 已知方程根的情况,确定方程中字母的值或
2a
因式分解法
初中数学
7
3. 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式 (1) △=b2-4ac
(2) 一元二次方程根的情况
△>0 方程有两个不等的实数根； △=0 方程有两个相等的实数根； △<0 方程无实数根.
初中数学
8
初中数学
14
例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (1) 求证：方程总有两个实数根；
(1) 证明：△=[-(k+3)]2-4×1×(2k+2) =(k+3)2-8k-8 = k2-2k+1 =(k-1)2.
∵(k-1)2≥0, ∴方程总有两个实数根.
初中数学
15
例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (2) 若方程有一个根小于1,求k的取值范围．
知识回顾与例题
1. 一元二次方程的概念 等号两边都是整式,只含有一个未知数 (一元),并 且未知数的最高次数是2 (二次) 的方程.
一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
初中数学
4
初中数学
知识结构
实际问题 实际问题的答案
一元二次方程 ax2+bx+c=0 解 方 程
方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根
3. 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式
(3) 一元二次方程根的判别式的应用
➢不解方程,判断 (证明) 方程根的情况. ➢ 已知方程根的情况,确定方程中字母的值或
上册时《一元二次方程》单元复习人教版九年级数学全一册课件
变式练习
11.若关于x的一元二次方程 (m－1)x2＋2x＋m2－1＝0的常数项为0，则m的值是 －1.
12.一元二次方程x2－5x－7＝0根的情况为 有2个不相等的实 数根，若x1，x2是方程两根，那么x12＋x22＝ 39.
上册时《一元二次方程》单元复习人 教版九 年级数 学全一 册课件
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(2)根与系数的关系： 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则： x1＋x2＝－ba，x1x2＝ac.
3.选择与填空： (1)若关于x的一元二次方程x2－4x＋4＝0，下列说法正确的是 ( A) A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
6.【例 1】关于 x 的方程(m－3)xm2－7－x＋9＝0 是一元二次方 程，则 m＝ －3 .
7.【例 2】若关于 x 的一元二次方程(a－2)x2－4x－1＝0 有实 数根，则 a 的取值范围为 a≥－2且a≠2 .
上册时《一元二次方程》单元复习人 教版九 年级数 学全一 册课件
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知识点五：实际问题与一元二次方程 (1)增长率问题、传播问题； (2)面积问题； (3)数字问题； (4)球赛、握手问题； (5)动点问题．
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10.【例5】某品牌相机，原售价每台4 000元，经连续两次降 价后，现售价每台3 240元，已知两次降价的百分率一样． (1)求每次降价的百分率； (2)如果按这个百分率再降价一次，求第三次降价后的售价？
人教版九年级上数学《一元二次方程解法》复习课件
5.方程的左边化成完全平方的形式，方程的右边化 成非负数. 6.利用直接开平方的方法去解.
一元二次方程的解法：（配方法） 例：（2） x 2 6 x 7 0
解： x 2 6 x 7 2
配方时应注意
x 6 x 9 7 9 — — 2 x 3 2
①先将二次项系数 转化为1 ②两边都加上一次 项系数一半的平方 Nhomakorabeax3 2
x1 3 2 , x2 3 2
注：当一元二次方程二次项系数为1且一次项系数
为偶数时常用配方法比较简便。
公式法解一元二次方程的解题过程 1. 把方程化成一元二次方程的一般形式 2. 写出方程各项的系数（系数包括前面符号）
3. 计算出b2-4ac的值，看b2-4ac的值与0的关 系，若b2-4ac的值小于0，则此方程没有实 数根 。
方法、公式法适用于任何一个一元二次方程,但公式法首先 要将方程转化为一般式,而因式分解法只适用于某些一元二 次方程.总之它 的基本思路就是将二次方程转化为一次方程,
1、用配方法解方程2x² +4x +1 =0，配方后得到的方程 2（x+1）² =1 是 。
2. 若9a
m2 4 m 4
与5a9是同类项，则 m 5或-1
（因式分解法） 一元二次方程的解法： 例：（y 2)2
3( y 2)
解:原方程化为 （y+2) 2﹣3（y+2）=0 把y+2看作一个 (y+2)(y+2-3)=0 整体，变成 (y+2)(y-1)=0 a×b=0形式(即 两个因式的积 y+2=0 或 y-1=0 的形式)。 ∴y1 y2=1 ,选择适当的方法.配 注：在解一元二次方程时 ,=-2 要先观察方程
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
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1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
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-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
人教版九年级上册数学精品教学课件 第二十一章 一元二次方程 章末复习
6.随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠， 国家卫计委严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200 元/瓶，经过连续两次降价后，现仅卖98元/瓶，现假定两次降价的 百分率相同，求该种药品平均每次降价的百分率．
解：设该种药品平均每次降价的百分率是x，由题意得，200(1 －x)2＝98，解得x1＝1.7(不合题意，舍去)，x2＝0.3＝30%.
答：该种药品平均每次降价的百分率是30%
Thank you!
解：由题意得：k＋1＝±2(k－1)，∴k＝3 或 k＝1 3
4.解下列方程： (1)．2(x－3)2＝x2－9.
解：x1＝3，x2＝9
(3)．(x－1)2－2(x－1)＝0. 解：x1＝3，x2＝1
(2)．(2x＋1)(4x－2)＝(2x－1)2＋2. 解：x1＝－1＋2 6 ，x2＝－1－2 6
几种常见类型 单(双)循环问题 方案设计问题 数字问题
随堂训练 基础巩固
1．若代数式16x2＋kxy＋4y2是完全平方式，则k的值为( D ) A．8 B．16 C．－16 D．±16
2．已知4x2＋12x＋m2是完全平方式，则m＝_±__3_．
3．已知关于x的二次三项式x2＋(k＋1)x＋k2－2k＋1是完全平方 式，求k的值．
R·九年级上册
第二十一章 一元二次方程 章末复习
新课导入
导入课题
通过对一元二次方程这章的学习，你掌握了哪些知识？ 这些知识点间又有哪些联系呢？如何运用这些知识解决问 题呢？
复习目标
（1）梳理本章的知识结构网络，回顾与复习本章知识. （2）能选择适当的方法，快速、准确地解一元二次方程， 知道一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系， 并能利用它们解决有关问题. （3）列一元二次方程解决实际问题. （4）进一步加深对方程思想、分类思想、转化思想（即 降次）的理解与运用.
人教版九年级数学上册《一元二次方程》PPT优质课件
1． 这些方程的两边都是整式；
2． 方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数是2．
等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知
数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．
新知探究
知识点2
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：
ax²+bx+c=0 (a≠0)
无盖方盒的底面积为3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为x cm，
则盒底的长为(100−2x) cm，宽为(50−2x) cm．
根据方盒的底面积为3 600 cm2，得 (100−2x)(50−2x)=3 600．
整理，得 4x2−300x+1 400=0．
化简，得 x2−75x+350=0 ．
将这个值代入一元二次方程，看方程的左右两边是否相等，
若相等，则是方程的根；若不相等，就不是方程的根．
新知探究
跟踪训练
1． 下列哪些数是一元二次方程 x2-4x+3＝0 的解？
-1，
0，
1，
3．
2． 方程 x2+x－12＝0 的两个根为( D )
A．x1＝－2，x2＝6
B．x1＝－6，x2＝2
C．x1＝－3，x2＝4
4
2
3
2
3
2
2
①3x +7=0；②x +2x=1−x +x ；③2x −3y+1=0；④3x −
A．1
B．2
C．3
+6=0．
D．4
2．若方程 (m+2)x|m|−3mx+1＝0 是关于x 的一元二次方程，则 ( B )
人教版九年级数学上第21章一元二次方程复习课课件(35张ppt)
x1x2+x2=1-a,所以 2 即 3a 1 - 2a =1-a,
a
=1-a, a－1 解得a1=1,
a
a a a2=-1.当a=1时,原方程有两个相等的实数根 ,不合题意,舍去.
所以a=-1.
a
主题4 一元二次方程的应用 【主题训练4】某校为 培养青少年科技创新能力,举办了动漫制
作活动,小明设计了点做圆周运动的一个
5
【主题升华】 根的判别式的应用 1.根的判别式的作用:不解方程判断方程有无实数根. 2.一元二次方程的根的情况取决于Δ =b2-4ac的符号.
(1)当Δ =b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.
(2)当Δ =b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.
(3)当Δ =b2-4ac<0时,方程没有实数根.
2
2
1 2
3 2
(3)设它们运动了ns后第二次相遇,根据题意,得: ×3, 1 2 +4n=21 3 ( n n) 2 n =7,n 2 解得 =-18(不合题意,舍去).
1 2
答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了7s.
【主题升华】 一元二次方程解应用题的六个步骤 1.审——审清题意,找出等量关系.
第二十一章
一元二次方程复习课
【答案速填】①只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程; ②ax2+bx +c=0(a≠0); ③直接开平方法; ④配方法; ⑤公式法; ⑥因式分解法; ⑦有两个相等 的实数根; ⑧没有实数根; ⑨
c b a ; ⑩ a.
主题1
一元二次方程及根的有关概念 +4x+5=0是关于x ) D.无法确定
a
=1-a, a－1 解得a1=1,
a
a a a2=-1.当a=1时,原方程有两个相等的实数根 ,不合题意,舍去.
所以a=-1.
a
主题4 一元二次方程的应用 【主题训练4】某校为 培养青少年科技创新能力,举办了动漫制
作活动,小明设计了点做圆周运动的一个
5
【主题升华】 根的判别式的应用 1.根的判别式的作用:不解方程判断方程有无实数根. 2.一元二次方程的根的情况取决于Δ =b2-4ac的符号.
(1)当Δ =b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.
(2)当Δ =b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.
(3)当Δ =b2-4ac<0时,方程没有实数根.
2
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(3)设它们运动了ns后第二次相遇,根据题意,得: ×3, 1 2 +4n=21 3 ( n n) 2 n =7,n 2 解得 =-18(不合题意,舍去).
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答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了7s.
【主题升华】 一元二次方程解应用题的六个步骤 1.审——审清题意,找出等量关系.
第二十一章
一元二次方程复习课
【答案速填】①只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程; ②ax2+bx +c=0(a≠0); ③直接开平方法; ④配方法; ⑤公式法; ⑥因式分解法; ⑦有两个相等 的实数根; ⑧没有实数根; ⑨
c b a ; ⑩ a.
主题1
一元二次方程及根的有关概念 +4x+5=0是关于x ) D.无法确定