高中数学 函数的基本性质

第二章 函数
第二节 函数的基本性质
一、历年高考真题题型分类突破
题型一 函数单调性的应用--比较大小
【例1】（2019全国Ⅰ卷）已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则（ ）
A ．a ＜b ＜c
B ．a ＜c ＜b
C ．c ＜a ＜b
D ．b ＜c ＜a 解析：a ＝log 20.2＜log 21＝0，b ＝20.2＞20＝1，
∵0＜0.20.3＜0.20＝1，∴c ＝0.20.3
∈（0，1），
∴a ＜c ＜b ，故选B ． 题型二 函数奇偶性的判断
【例2】（2014全国Ⅰ卷）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A.)()(x g x f 是偶函数
B. )(|)(|x g x f 是奇函数
C. |)(|)(x g x f 是奇函数
D. |)()(|x g x f 是奇函数
解析：由函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，可得，|()|f x 和|()|g x 均为偶函数，根据一奇一偶函数相乘为奇函数和两偶函数相乘为偶函数的规律可知选C ．
题型三 函数奇偶性的应用
【例3】（2019全国Ⅱ卷）设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )=( )
A ．
B ．e 1x -+
C ．
D ．e 1x --+ 解析：当0<x 时，0->x ，()1--=-x f x e ，又()f x 为奇函数，
有()()1-=--=-+x f x f x e . 故选D.
【例4】（2018全国Ⅲ卷）已知函数f(x)=ln(1-x 2-x)+1，f(a)=4，
则f(-a)= ________．
e 1x --e 1x ---
解析：设g(x)= ln(1-x 2
-x),g(x)为奇函数，f(a)=g(a)+1,f(-a)=g(-a)+1,相
加可得f(-a)= -2.
【例5】（2017全国Ⅱ卷）已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ∈(－∞,0)时,f(x)＝2x 3＋x 2,则f(2)＝ .
解析：∵f(x)是定义在R 上的奇函数,
∴f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12. 题型四 函数单调性的应用--求参数的取值范围
【例6】（2014全国Ⅱ卷）若函数()ln f x kx x =-在区间（1，+∞）单调递增，则k 的取值范围是 （ ）
（A ）(],2-∞- （B ）(],1-∞- （C ）[)2,+∞ （D ）[)1,+∞ 解析：函数f （x ）=kx ﹣lnx 在区间（1，+∞）单调递增，
∴当x ＞1时，f ′（x ）=k ﹣ 1x
≥0，∴k ﹣1 ≥0，∴k ≥1，故选D ． 【例7】（2016全国Ⅰ卷）若函数1()sin 2sin 3
f x x -x a x =+在(-∞,+∞)单调递增，则a 的取值范围是( )
A ．[-1,1]
B ．[-1,
13] C ．[-,13] D ．[-1,-13
] 解析：2()sin cos sin 3f x x -x x a x =+，222'()1(cos sin )cos 3
f x -x x a x ∴=-+， 依题意f'(x )≥0恒成立，即a cos x ≥2cos213
x -恒成立，而(a cos x )min =-|a |，21111cos21||[]33333x a a -≤-∴-≥-∈-，，解得，，故选C ． 题型五 函数周期性的应用
【例8】（2018全国Ⅲ卷）函数f(x)=
tanx 1+tan 2x 的最小正周期为( ) A ．π4 B ．π2
C ．π
D ．2π 解析： f(x)= tanx 1+tan 2x =12sin2x ，则f(x)的最小正周期2πω
T = =π，故选C ．
题型六 函数奇偶性、周期性的综合应用
【例9】（2018全国Ⅱ卷）已知f(x)是定义域为(-∞,+ ∞)的奇函数，满足f(1-x)= f(1+x)．若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= ( )
A ．-50
B ．0
C ．2
D ．50
解析：由f(1-x)= f(1+x)得f(x+2)=-f(x),所以f(x)是以4为周期的奇函数，且f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0； 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=2.故选C.
题型七 函数单调性、奇偶性的综合应用
【例10】（2015全国Ⅱ卷）设函数,则使得成立的的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．解析：由可知是偶函数,且在是增函数，所以 ，故选A . 【例11】（2020全国Ⅱ卷）设函数33
1()f x x x =-，则()f x （ ） A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增
D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 解析：因为f(-x)= f(x)，所以f(x)是奇函数.令g (x )＝x 3 ,当x ＞0时，g (x )单调
1
递增，g (x ) 单调递减，所以在f(x)在(0,+∞)单调递增，故选A. 题型八 求函数的单调区间
【例12】（2017全国Ⅱ卷）函数f(x)＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( )
A.(－∞,－2)
B.(－∞,1)
C.(1,＋∞)
D.(4,＋∞) 解析：依题意有x 2－2x －8＞0,解得x ＜－2或x ＞4,易知f(x)在(－∞,－2)单调递减,在(4,＋∞)单调递增,所以f(x)的单调递增区间是(4,＋∞).故选D.
21()ln(1||)1f x x x =+-
+()(21)f x f x >-x 1,13⎛⎫
⎪⎝⎭()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2
1()ln(1||)1f x x x =+-+()f x [)0,+∞()()()()121212113f x f x f x f x x x x >-⇔>-⇔>-⇔
<<
【例13】（2017全国Ⅱ卷）设函数f (x )＝(1－x 2)e x .
(1)讨论f (x )的单调性；
(2)当x ≥0时,f (x )≤ax ＋1,求a 的取值范围.
解析：(1)∵f (x )＝(1－x 2)e x ,∴f ′(x )＝(1－2x －x 2)e x .
令f ′(x )＝0得x ＝－1－2或x ＝－1＋2.
当x ∈(－∞,－1－2)时,f ′(x )＜0；
当x ∈(－1－2,－1＋2)时,f ′(x )＞0；
当x ∈(－1＋2,＋∞)时,f ′(x )＜0.
∴f (x )在(－∞,－1－2)和(－1＋2,＋∞)单调递减,在(－1－2,－1＋2)单调递增.
(2)f (x )＝(1＋x )(1－x )e x .
当a ≥1时,设函数h (x )＝(1－x )e x ,则h ′(x )＝－x e x ＜0(x ＞0),
∴h (x )在[0,＋∞)单调递减.
又h (0)＝1,∴h (x )≤1,∴f (x )＝(x ＋1)h (x )≤x ＋1≤ax ＋1.
当0＜a ＜1时,设函数g (x )＝e x －x －1,则g ′(x )＝e x －1＞0(x ＞0).
∴g (x )在[0,＋∞)单调递增.
又g (0)＝0,∴e x ≥x ＋1.
当0＜x ＜1时,f (x )＞(1－x )(1＋x )2,
(1－x )(1＋x )2－a x －1＝x (1－a －x －x 2),
取x 0＝5－4a －1
2
,则x 0∈(0,1). (1－x 0)(1＋x 0)2－a x 0－1＝0,∴f (x 0)＞a x 0＋1.
当a ≤0时,取x 0＝5－1
2,则x 0∈(0,1).
f (x 0)＞(1－x 0)(1＋x 0)2＝1＞a x 0＋1.
综上,a 的取值范围是[1,＋∞).
题型九 函数单调性的应用--构造新函数
【例14】（2020全国Ⅱ卷） 若2233x y x y ---<-，则（ ）
A. ln(1)0y x -+>
B. ln(1)0y x -+<
C. ln ||0x y ->
D. ln ||0x y -<
解析：由 2233x y x y ---<-，移项可得2x －3-x ＜2y －3-y ，函数 f(x)=2x －3-x 在R 上单调递增，所以y ＞ x ，因此y-x ＞0 ，y-x+1 ＞1 ， 所以ln(y-x+1) ＞ln1=0，故选A.。