级数的收敛性
级数收敛与发散的判定方法
级数收敛与发散的判定方法级数是由一系列连加的无穷项组成的数列。
在数学中，判断一个级数是收敛还是发散是一个重要的问题。
下面我将介绍几种常见的方法来判定级数的收敛性或发散性。
一、正项级数收敛判定法正项级数是指级数的每一项都是非负数。
对于正项级数，我们可以使用以下几种方法来判定其收敛性或发散性。
1. 比较判别法：如果一个正项级数的每一项都小于等于另一个已知收敛的正项级数的对应项，那么这个级数也是收敛的；如果一个正项级数的每一项都大于等于另一个已知发散的正项级数的对应项，那么这个级数也是发散的。
2. 比值判别法：对于正项级数，计算相邻两项的比值，如果这个比值的极限存在且小于1，则级数收敛；如果大于1，则级数发散；如果等于1，则无法判定。
3. 根值判别法：对于正项级数，计算相邻两项的根的比值，如果这个比值的极限存在且小于1，则级数收敛；如果大于1，则级数发散；如果等于1，则无法判定。
二、交错级数收敛判定法交错级数是指级数的每一项交替正负。
对于交错级数，我们可以使用以下方法进行判定。
1. 莱布尼茨判别法：对于交错级数，如果级数的每一项绝对值递减趋向于零，并且满足单调性条件，即后一项的绝对值不大于前一项的绝对值，那么该级数收敛。
三、级数收敛判定法对于非正项级数，也有一些方法可以判定其收敛性。
1. 绝对收敛判别法：如果一个级数的绝对值级数收敛，那么原级数也收敛。
2. 条件收敛判别法：如果一个级数是收敛的但不是绝对收敛的，那么它是条件收敛的。
四、其他级数的判定方法除了上述常见的判定法外，还有一些特殊的级数判定方法。
1. 积分判别法：将一个级数与一个函数的积分进行比较，如果积分收敛，则级数收敛；如果积分发散，则级数发散。
2. 定积分法：将级数的前n项求和表示为一个关于n的函数，然后对该函数进行定积分，如果定积分收敛，则级数收敛；如果定积分发散，则级数发散。
总结：级数的收敛与发散的判定方法有比较判别法、比值判别法、根值判别法、莱布尼茨判别法、绝对收敛判别法、条件收敛判别法、积分判别法和定积分法等。
序列与级数的收敛性判断方法
序列与级数的收敛性判断方法序列与级数是数学中重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
在研究序列与级数的性质时，我们常常需要判断它们的收敛性。
本文将介绍一些常用的判断序列与级数收敛性的方法。
一、序列的收敛性判断方法1. 有界性判断法对于一个序列来说，如果存在一个实数M，使得对于所有的正整数n，都有|an|≤M成立，那么称该序列是有界的。
有界序列一定是收敛的，而且收敛到的极限值就是序列的上确界或下确界。
2. 单调性判断法如果一个序列是单调递增的，并且有上界，那么它一定是收敛的。
同样地，如果一个序列是单调递减的，并且有下界，那么它也是收敛的。
这是因为有界单调序列必定存在极限。
3. 夹逼定理夹逼定理是判断序列收敛性的常用方法。
如果一个序列an满足对于所有的正整数n，都有bn≤an≤cn成立，并且序列bn和cn都收敛到同一个极限L，那么序列an也收敛到L。
4. 子序列的收敛性判断法如果一个序列的子序列收敛到某个极限L，那么该序列也收敛到L。
这是因为子序列是原序列的一部分，它们的收敛性是相互联系的。
二、级数的收敛性判断方法1. 正项级数的收敛性判断法如果一个级数的每一项都是非负数，并且序列{Sn}的部分和有上界，即存在一个实数M，使得对于所有的正整数n，都有Sn≤M成立，那么该级数是收敛的。
2. 比较判别法比较判别法是判断级数收敛性的常用方法。
如果一个级数的每一项都是非负数，并且存在另一个级数{bn}，使得对于所有的正整数n，都有0≤an≤bn成立，那么如果级数{bn}收敛，那么级数{an}也收敛；如果级数{bn}发散，那么级数{an}也发散。
3. 比值判别法比值判别法是判断级数收敛性的重要方法。
对于一个级数an，如果存在正实数r，使得对于充分大的正整数n，都有|an+1/an|≤r成立，那么：- 如果0≤r<1，那么级数an是绝对收敛的；- 如果r>1，那么级数an是发散的；- 如果r=1，那么比值判别法无法确定级数an的收敛性。
级数的收敛性讲解
级数是数学分析三大组成部分之一， 是逼近理论的基础，是研究函数、进行 近似计算的一种有用的工具. 级数理论 的主要内容是研究级数的收敛性以及级 数的应用.
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对于有限个实数 u1,u2,…,un 相加后还是一个实数，
这是在中学就知道的结果,那么“无限个实数相加” 会有什么结果呢？请看下面的几个例子. 如在第二 章提到《庄子·天下篇》“一尺之棰,日取其半,万 世不竭”的例中,将每天截下那一部分的长度“加” 起来是:
称为数项级数(1)的第 n 个部分和,也简称部分和.
定义2 若数项级数(1)的部分和数列 {Sn }收敛于 S
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(即
lim
n
Sn
S
),
则称数项级数(1)收敛,
S 称为数
项级数(1)的和,记作
S u1 u2 L un L , 或 S un . n1
若 {Sn }是发散数列,则称数项级数(1)发散.
定理12.1(级数收敛的柯西准则)级数(1)收敛的充要
条件是:任给正数 , 总存在正整数 N ,使得当 m N
以及对任意的正整数 p 都有
um1 um2 L um p .
(6)
根据定理12.1以及数列发散的充要条件，可以立刻
写出级数(1)发散的充要条件是: 存在某正数 0 , 对
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n
nnnn
lim
n
1
1 n2
1
n2
n
nn
10
所以由级数收敛的必要条件知原级数发散.
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例5
运用级数收敛的柯西准则证明级数
1 n2
收敛.
证 由于
级数的收敛性判定与计算
级数的收敛性判定与计算级数是数学中一种特殊的数列求和形式。
在数学分析中，我们通常关心的是级数的收敛性判定与计算。
本文将介绍几种常见的级数收敛性判定方法，并以例子详细说明其计算过程。
一、级数的收敛性判定在讨论级数的收敛性之前，先来了解一下级数的定义。
设有数列{an}，则数列{an}的和称为级数，用Σan表示。
1.正项级数收敛判定如果对于数列{an}的每一项都有an≥0且数列{an}的部分和序列{s1, s2, s3, ...}有上界，则称Σan为正项级数。
关于正项级数的收敛性，有以下判定定理：（1）Cauchy准则：正项级数Σan收敛当且仅当对任意ε>0，存在N∈N，当n>N时，对任意的m>n，有|sm-sn|<ε。
（2）比较判别法：若存在正数c，当n>N时，对任意的m>n，有an≤cn，则正项级数Σan收敛。
（3）极限判别法：如果lim(n→∞)(an+1/an)=l，其中l>0或l=+∞，则正项级数Σan与Σan收敛或发散。
2.交错级数收敛判定若级数Σ(-1)^(n-1)an的一般项是由正项和负项构成的交错形式，则称之为交错级数。
关于交错级数的收敛性，有以下判定定理：（1）莱布尼茨判别法：对于交错级数Σ(-1)^(n-1)an，若满足an≥0、an递减（即an+1≤an）且lim(n→∞)an=0，则交错级数Σ(-1)^(n-1)an收敛。
3.绝对收敛和条件收敛对于级数Σan，若级数Σ|an|收敛，则称Σan为绝对收敛级数；若Σan收敛而Σ|an|发散，则称Σan为条件收敛级数。
二、级数的计算在判断级数的收敛性后，有时我们还需要计算级数的和。
以下是几种常见的级数计算方法。
1.等差级数等差级数是指数列项的差值为常数的级数。
对于等差级数Σa+(n-1)d，其求和公式为Sn=(n/2)[2a+(n-1)d]，其中n为项数，a为首项，d为公差。
2.几何级数几何级数是指数列项的比值为常数的级数。
函数的级数展开与级数的收敛性
函数的级数展开与级数的收敛性级数展开是数学中一种常见的数值方法，可以将一个函数用一个级数表示出来。
而级数的收敛性则是判断级数求和的性质，是非常重要的一个概念。
本文将介绍函数的级数展开的概念、级数展开的方法，以及级数的收敛性判断方式。
一、函数的级数展开的概念函数的级数展开是指将一个给定的函数表示为无穷级数的形式。
一般情况下，我们可以利用泰勒级数展开或者傅里叶级数展开来表示一个函数。
泰勒级数展开适用于可微函数的展开，傅里叶级数展开适用于周期函数的展开。
无论是哪种展开方式，都可以将一个函数用一系列的项相加来表示。
二、泰勒级数展开的方法泰勒级数展开是将一个可微函数展开成无穷级数的方法。
泰勒级数展开的主要思想是利用函数在某一点处的导数来逼近函数的值。
具体的方法是首先将函数在某一点处展开成幂级数的形式，然后利用函数的导数来确定每一项的系数，从而得到函数的级数展开。
三、傅里叶级数展开的方法傅里叶级数展开是将一个周期函数展开成正弦函数和余弦函数的无穷级数的方法。
傅里叶级数展开的主要思想是利用正弦函数和余弦函数的正交性质来逼近周期函数。
具体的方法是利用正弦函数和余弦函数的线性组合来表示一个函数，通过求解傅里叶系数来确定每一项的权重，从而得到函数的级数展开。
四、级数的收敛性判断方式在对一个级数进行求和时，我们需要判断这个级数是否收敛。
级数的收敛性可以通过多种方法来判断，其中常用的有比值判别法、根值判别法和积分判别法。
比值判别法是根据级数的项之间的比值的极限来判断收敛性；根值判别法是根据级数的项的绝对值的开根号的极限来判断收敛性；积分判别法是将级数与一个已知的收敛级数进行比较，通过比较它们的积分来判断收敛性。
综上所述，函数的级数展开是一种将一个函数用无穷级数表示的方法，可以通过泰勒级数展开或傅里叶级数展开来实现。
在对级数进行求和时，我们需要判断级数的收敛性，可以通过比值判别法、根值判别法和积分判别法来进行判断。
级数展开与级数的收敛性是数学中非常重要的概念和方法，对于理解和应用数学有着重要的意义。
级数的收敛性
证 调和级数的部分和有：
S1 1，
S2
S 21
1
1， 2
S4
S22
1
1 2
1 3
1 4
1
1 2
1 2
1
2， 2
S8 S23
1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1
1 2
1 2
1 2
1 3 2
由数学归纳法，得
S 2k
1 k， 2
k=0, 1, 2,
而
lim
k
S
(un vn ) un vn S1 S2 .
n1
n1
n1
例7.
因为等比级数
n1
1与 2 n n1
1 收敛，所以级数
3n
1
n1 2n
1 3n
也收敛.
例8. 问题(1) 一个收敛级数与一个发散级数的和 是收敛的还是发散的？
答：是发散的.
问题(2) 两个发散的级数之和是收敛的还是发 散的？
lim
n
An
A1
(1
1
3
4
)
A1 (1
3) 5
2 3. 5
9
雪花的面积存在极限（收敛）．
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
例3. 讨论等比级数 ar n1 的敛散性. n1
解：等比级数的部分和为：
S n
n
ar k 1
k 1
a ar n1 r 1 r
a(1 r n ) .
1 r
当公比
1. 无穷级数的定义 设有数列{un}:u1, u2, …, un, …, 则称表达示
级数的收敛性
n
用比较判别法，需要事先有一个敛散性已知的合适级数作为比较的基础，用
起来不大方便，我们用几何级数作比较可以导出两个简便判别法.
二 比式判别法和根式判别法
定理 7 （达朗贝尔判别法或比值判别法）有正项级数 un n1
2020/2/29
15
i) 若 存 在 N, n N 时 有
un1
级数的收敛性：若
lim
n
S
n
S
存在，称级数
un 收敛S， 称为级数的和；
n1
余和：称 rn S Sn uk 为级数 un 的余和
kn
n1
若部分和数列{Sn} 发散，则称级数 un 发散，发散级数没有和。 n1
这就是说，级数的敛散性可通过数列的敛散性来判断。
和
n n2
1 n
的敛散性 .
解 前者通项不趋于零 , 后者用检根法判得其收敛 .
2020/2/29
19
三 积分判别法
级数与无穷积分的关系 :
n1
f (x)dx f u n ,
1
n1 n
n 1
n1
其中 un f . 无穷积分可化为级数 ;
n1 n p
例 1）
1
，
n1 n(n 2 1)
解
1
1 ， 而 1 收敛
n(n 2 1) n3/ 2
n3/ 2
n1
由比较判别法，级数
1
收敛。
n1 n(n 2 1)
例 2）
1
n1 3 n 2 1
级数收敛性判断方法总结
级数收敛性判断方法总结级数是由无限多项式相加而成的一个数列，对于级数来说，有两个重要的性质，即级数的收敛性和发散性。
收敛性是指级数的和可以无限接近一些数，而发散性是指级数的和无法无限接近一些数，可能趋向于无穷大或无穷小。
判断一个级数是否收敛的方法有很多，下面是一些常用的方法总结：1.有限和法：如果一个级数的部分和随着项数的增加趋于一些有限数，那么该级数收敛，否则发散。
2.单调有界法：如果一个级数的一般项是单调递减（或递增）的，并且一般项的绝对值是有界的，那么该级数收敛。
3.比较判别法：如果一个级数的一般项与一个已知的收敛（或发散）级数的一般项相比，它们之间的大小关系足够清楚，那么该级数的收敛性与已知级数的收敛性相同。
a. 比较判别法之比较法：若对于级数∑an和∑bn来说，存在一个正数c，使得当n足够大时，有，an，≤c，bn，那么∑bn收敛必有∑an收敛；b. 比较判别法之极限判别法：若对于级数∑an和∑bn来说，当n趋向于无穷时，有lim(an/bn)=c（其中c为常数）存在而不为0和正无穷大，那么∑bn与∑an同时收敛或∑bn与∑an同时发散。
4. 比值判别法：对于级数∑an来说，如果存在正数c，当n足够大时，有，an+1/an，≤c（0≤c<1），那么级数∑an收敛；如果存在正数c，当n足够大时，有，an+1/an，≥c（c>1），那么级数∑an发散；如果不存在这样的c，那么级数∑an的收敛与发散是不确定的。
5. 根值判别法：对于级数∑an来说，如果存在正数c，当n足够大时，有(√(，an+1，))/√(，an，)≤c（0≤c<1），那么级数∑an收敛；如果存在正数c，当n足够大时，有(√(，an+1，))/√(，an，)≥c（c>1），那么级数∑an发散；如果不存在这样的c，那么级数∑an的收敛与发散是不确定的。
6.积分判别法：对于非负函数f(x)，当函数在[1,+∞)上单调递减有界，则级数∑f(n)与曲线y=f(x)所围成图形的面积为收敛；若级数∑f(n)与曲线y=f(x)所围成的图形面积为发散。
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Snkn2ln1k12
[3 l n l1 n 2 l2 n ] [4 l n l2 n 2 l3 n ][ln5
ln 32ln 4] [ n 1 l ) l n n n 1 ) 2 l ( n ] ( n
ln2ln n 1 () lnln1 (1 n)ln2
所以级数 (1) 发散 ;
利用 “拆项相消” 求 和
12
(2) n1n(n11).
解 S n1 1 22 1 33 1 4 n(n 1 1 )
1
1 2
1 2
1 3
1 3
1 4
1nn11
lim Snln2,故原级数收敛 , 其和为 ln2.
n
14
二、无穷级数的基本性质
性质1. 若级数 u n 收敛于 S , 即 S un , 则各项
n 1
n 1
乘以常数 c 所得级数 c u n 也收敛 , 其和为 c S .
从而
lim
n
Sn
不存在
,
因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1时, 等比级数发散 .
10
例2：判断下列级数的敛散性
1.
1 n1 n1 3n1
解：原式＝ n 1
( 1)n1 3
n0
( 1)n此为等比级数，公比 3
(2 )n 1 n (n 1 1 ).
Sn
ln 2 1
ln
3 2
ln 4 3
lnn1 n
( 2 l 1 l ) ( n 3 n l 2 l ) n n l n 1 ) n l n n
lnn(1) (n ） 技巧:
1 1 1 (n ） n 1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 . 技巧:
利用 “拆项相消” 求 和
13
例4. 解:
判别级数
ln1
n2
1 n2
的敛散性
.
ln1n12
ln
n2 1 n2
ln n 1 ) ( ln n 1 ) ( 2 ln n
寄
语
孝、悌、忠、信 礼、义、廉、耻
衡量人生的尺度
1
第十二章 数项级数
本章内容： 第一节、级数的收敛性
第二节、正项级数 第三节、一般项级数
2
第十二章 数项级数
数项级数 无穷级数 幂级数
付氏级数 表示函数
无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
3
第一节 级数的收敛性
第十二章
一、级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 四、柯西审敛原理
1
84 2
此是公比为q=
1 2
的等比数列
1. Sn 1 221221321n
2 22 23
1 2
1
1 2
n
1 1
2 n
1
1 2
n
2.
Slim n
Sn
lim
n
[1
1 2
n
]
1
2
6
定义： 给定一个数列u 1 ,u 2 ,u 3 , ,u n , 将各项依
k 1
称为级数的部分和. 若limSnS存,在 则称无穷级数
n
收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作 S un
n1
若limSn不存,在 则称级数发散 .
7
n
部分和 数列Sn
S1 u1,
S2u1u2,
S n u 1 u 2 u 3 u n
当q1时,由于 limqn,从而 limSn,
n
n
因此级数发散 .
9
2). 若 q 1,则
当q1时, Snna ,因此级数发散 ;
当q1时 ,级数成为 a a a a ( 1 ) n 1 a
因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
次相加, 简记为 u n , 即
n 1
u n u 1 u 2 u 3 u n 1
n 1
称上式为无穷级数，其中第 n 项 u n 叫做级数的一般项
(通项）. 级数的前 n 项和
n
Sn uk u 1 u 2 u 3 u n
q
1 3
1 1 3
该级数收敛。
2.
4n n1 3n1
解：原式＝4
n1
4n1 3n1
4
n0
4 3
n
此为等比级数，公比
q 4 1 该级数发散。
3
11
例3. 判别下列级数的敛散性:
(1 )n 1 ln n n 1;
解: (1)
n 0
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若 q1, 则部分和
S n a a q a q 2 a q n 1a
(1 1
q q
n
)
当q 1时， 由于 limqn0,从而
n
因此级数收敛 , 其和为 S a ;
limSn
n
1aq
1 q
即
A a 0 a 1 a 2 a n
5
引例2：一尺之棒，第一次去其一半，第二次再去所余
之半，如此分割下去问： 1、分割 n 次共去棒长多少？ 2、无限分割下去，共去棒长多少？
a1 1qn 1q
解：
把所去之半排列起来：
01 1 1
1 11 1
级数 u n 是否收敛即 nlimSn 是否存在.
n 1
当级数收敛时, 称差值
r n S S n u n 1 u n 2
为级数的余项. 显然 limrn 0
n
8
例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)
a q n a a q a q 2 a q n (a 0 )
4
一、级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正 3 2 n(n 0 ,1 ,2 , )边形, 设 a0 表示
内接正三角形面积, an 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正 32n 边形面积为
a 0 a1 a2 an n时,这个和逼近于圆的面积 A .