江西省五校2019_2020学年高二数学上学期联考试题理201912230313
江西省五校2019-2020学年高二数学上学期联考试题理
答案
一、选择题：1—5 BBADA 6—10 CCCAB 11—12 DD 二、填空题：13.-1 14.5
4 15.x y 82
= 16. ② 三、解答题:
17. (本小题10分).解：（1）100位“低碳族”的年龄平均值x 为
240.04280.08320.16360.44
x =⨯+⨯+⨯+⨯400.16440.1480.0235.9236+⨯+⨯+⨯=≈，……………5分
（2）年龄在[)30,34、[)34,38的频率分别为0.0440.16⨯=，0.1140.44⨯=， 频率之比为0.16:0.444:11=，所抽取的15人中，年龄在[)30,34的人数415
4
15=⨯
， ∴甲、乙两人中至少有一人选中的概率为
65611=
-
=p ……………10分
18 (本小题12分)解：若命题p 为真命题，则016
12
≥+-a x ax 在x R ∈恒成立， 当0a =时显然不成立，当0a ≠时，0
20
a a >⎧⇒≥⎨∆≤⎩；……………3分
因为）
，的值域是（，4
1
-23-)49,1(43∈-=
x x y 若命题q 为真命题，则4
1
-≥a ，……………6分
由命题“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题知,p q 一真一假，……………7分
若p 真q 假，则⎪⎩⎪⎨⎧-<≥412a a φ⇒， ……………9分
若p 假q 真，则⎪⎩
⎪⎨⎧-≥<41
2a a ⇒241<≤-a ，……………11分 综上所述，24
1
<≤-a ．……………12分
19. (本小题12分)解：（1）证明：连结FG,GE.因为E,G 为11,C B BC 中点，则1//BB GE ,所以GE AA //1,1EFG AA 面⊄ EFG AA 面//1∴.……………4分
(2) 如图所示)0,2,2(=DB , )2,2,1(=DG 设平面DBG 的一个法向量为),,(1z y x n =
由题意,⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n n DB 得⎩⎨⎧=++=+0
220
22z y x y x 取1,2,2=-==z y x 则 则平面DBG 的一
个法向量为)1,2,2(1-=n ……………6分 又平面ABD 的一个法向量)2,0,0(12==DD n 所以><21,cos n n =
3
1
3222121=⨯=⋅n n n n ， ……………8分 因此二面角G BD A --大小的正弦值是
3
2
2． ……………9分 (3) 如图所示F(2,1,2))2,1,2(=DF ,又因为面DBG 的一个法向量为)1,2,2(1-=n
，则
3
4
,cos =
=
><⋅=n DF d ……………12分 20. (本小题12分)（Ⅰ）(
)1sin cos 22
f x x x =- sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 由
22
6
k x π
π
π+≤-
322k ππ≤
+，k Z ∈，得223k x ππ+≤ 523
k π
π≤+，k Z ∈ ∴函数()f x 的单调递减区间为252,233k k ππππ⎡⎤
++⎢
⎥⎣⎦
，k Z ∈ ……………5分
（II ）∵()1sin 62f A A π⎛
⎫
=-
= ⎪⎝
⎭，()0,A π∈，∴3
A π= ……………6分 由sin sin sin a b c A
B
C ==
，可得sin sin sin c A a C C
==，2π2sin sin 3sin sin C c B b C C
⎛⎫
- ⎪⎝⎭==，
则：
)2
1cos sin 2111sin sin sin 2sin cos tan 222
C
C C C a b C C C C C C +++=
+=+=+=+． ……………8分 由ABC △是锐角三角形，可得π02C <<
，2ππ032C <
-<，则ππ
62
C <<，
……………9分 所以
ππ1224C <<
，2tan 12C <<
．所以11a b <+<++ 所以周长l 的范围是：32633+<<+l ………………12分 21. (本小题12分)解：（1）点在直线
上，
①
（i ）当时，. ……………1分 （ii ）当
时，
② ①-②
即
.
数列
是首项为2，公比为2的等比数列. 且n
n a 2=……………3分
（2
）由已知……………5分
. ……………8分
则由条件14338)
1(+⋅-<-n n n
n T λ有)14(3
1
)1(-<-n n λ 5,5)116(31
)14(31min <=-=-<∴λλ则为偶数时：当n n
11)14(3
1
)14(31-min ->=-=-<∴λλ，则为奇数时：当n n
综上所述满足条件的λ：51<<-λ ……………12分 22. (本小题12分)解（1）由椭圆的对称性知：)0,3(1P ,)3102,2(2P ,)3
10
2,2(4-P 三点在椭圆C 上则3=a ．可得椭圆C 经过点
)
3
102,2(2P ，所以2440
199b +=，解得28b =，
所以椭圆C 的方程为 18
92
2=+y x ． ………………………4分
（2）直线l 的解析式为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的中点为00(,)E x y ．假设
存在点(,0)D m ，使得ADB △为以AB 为底边的等腰三角形，则DE AB ⊥． 由
2
2219
8y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(89)36360k x kx ++-=，故122
3698k x x k +=-+，…………………6分
所以
021898k x k -=+，00216298y kx k =+=+．因为DE AB ⊥，所以1DE k k
=-
， 即
22
16
01981898
k k k m k -+=---+，所以2228989k m k k k --==++．………………………8分 ①当0=k 时，0=m 成立 ………………………9分 ②当0>k
时，
89k k +=≥
，所以0
m <．………………………10分 ②当0<k 时，同理有：12
2
0≤
<m …………………11分 综上，在x 轴上存在满足题目条件的点D ，且点D 的横坐标的取值范围为：12
2122≤≤-
m ． ………………………12分。
【精品高二数学试卷】江西省南昌市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题+答案
理科数学试卷一、单选题(每小题5 分，共60分)。
1．131ii+=-（ ） A ．24i --B ．24i -+C ．12i -+D ．12i --2．命题“2,x x R e x ∀∈>”的否定是( ) A ．2,x x R e x ∀∈≤ B ．0200,x x R ex ∃∈>C ．0200,x x R ex ∃∈≤D ．2,x x R e x ∀∈<3．“1c =”是“直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=”相切的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．直线与曲线围成的封闭图形的面积为（ ） A ．B ．C ．D ．5．观察下列各式：若112213a b a b ==＋，＋，334447a b a b ==＋，＋，5511a b =⋯＋，，则77a b ＋等于( ) A ．18B ．29C ．47D ．156．已知点()3,4A ，F 是抛物线28y x =的焦点，M 是抛物线上的动点，当MA MF +最小时，M 点坐标是( ) A ．()0,0B ．()3,26C ．()2,4D ．()3,26-7．已知椭圆2215x y m +=的离心率105e =，则m 的值为（ ） A ．3 B ．3或253C ．15D ．15或51538．已知函数()x x af x e+=的图像在点(1,(1))f 处的切线与直线20x ey -+=平行，则a = A ．1B ．e -C ．eD ．-19．函数()2f x x alnx =- ()a R ∈不存在极值点，则a 的取值范围是 （ ）A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．[)0,+∞D ．(],0-∞ 10．已知函数()f x 满足()()f x f x '<，在下列不等关系中，一定成立的（ ）A ．()()12ef f <B ．()()12ef f >C ．()()21ef f >D ．()()21ef f <11．设1F 、2F 分别为双曲线2221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点．若212PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线离心率e 的取值范围是（ ）．A ．(0,2)B ．(1,3]C ．[2,3)D ．[]3,+∞12．已知函数()ln a f x x x x =+，32()5g x x x =-++，若对任意的121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有12()()0f x g x -≤成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],24ln 2-∞-B ．(],1-∞C ．1124ln 2,ln 224⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ D ．11,ln 224⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦二、填空题（每小题5分，共20分）。
江西省南昌市五校2019_2020学年高二数学上学期期中联考试题文(含解析)
江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中、实验中学、南师附中五校2019-2020学年高二数学上学期期中联考试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.直线y=1的倾斜角和斜率分别是（）A. B. 0,0 C. ,不存在 D. 不存在,不存在2.与椭圆的焦点坐标相同的是（）A. B. C. D.3.抛物线y=-8x2的焦点坐标是（）A. B. C. D.4.已知直线mx+3y+m-3=0与直线x+（m+2）y+2=0平行，则实数m的值为（）A. 3B. 1C. 或1D. 或35.已知方程表示双曲线，则m的取值范围是（）A. B.C. 或D.6.若圆x2+y2-2x+4y+m=0截直线x-y-3=0所得弦长为6，则实数m的值为（）A. B. C. D.7.设F1、F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积为（）A. B. 2 C. D. 18.已知双曲线，四点，，，中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.9.已知变量x，y满足则的取值范围是（）A. B. C. D.10.已知圆A：（x+2）2+y2=r2和点B（2，0），P是圆A上任意一点，线段BP的垂直平分线交AP于点M，r＞4，则点M的轨迹为（）A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆11.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-2x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（）A. B. C. D.12.已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，以原点为圆心，|OF1|为半径的圆与双曲线左支的一个交点为P，若PF1与双曲线右支有交点，则双曲线的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x，y满足约束条件，则z=x-2y的最小值为______．14.将参数方程（θ为参数），转化成普通方程为______15.已知F是抛物线y2=8x的焦点，点A，抛物线上有某点P，使得|PA|+|PF|取得最小值，则点P的坐标为______．16.下列说法中所有正确的序号是______①两直线的倾斜角相等，则斜率必相等；②若动点M到定点（1，2）和定直线3x+2y-7=0的距离相等，则动点M的轨迹是抛物线；③已知F1，F2是椭圆4x2+2y2=1的两个焦点，过点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则△ABF2的周长为；④曲线的参数方程为，则它表示双曲线且渐近线方程为；⑤已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为；三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（-1，2），B（-3，4），C（0，6）．（1）求BC边上的高所在的直线方程；（2）求△ABC的面积．18.（1）求经过点，且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程；（2）求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线标准方程．19.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C和直线l的普通方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大距离．20.（1）已知圆C1过点A（-2，3），且与直线4x-3y+18=0相切于点B（-3，2），求圆C1的方程；（2）已知圆C2与y轴相切，圆心在直线x-2y=0上，且圆C2被直线y=x截得的弦长为，求圆C2的方程．21.已知E（2，2）是抛物线C：y2=2px上一点，经过点（2，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线EA，EB分别交直线-2于点M，N．（1）求抛物线方程及其焦点坐标；2（2）已知O为原点，求证：以MN为直径的圆恰好经过原点．22.在平面直角坐标系xOy中，动圆P与圆M：（x+1）2+y2=1外切，与圆N：（x-1）2+y2=9内切．（1）求动圆圆心P的轨迹方程；（2）直线l过点E（-1，0）且与动圆圆心P的轨迹交于A，B两点．是否存在△AOB 面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：直线y=1是平行于x轴的直线，则其倾斜角为0，斜率k=tan0=0．故选：B．由定义知平行于x轴的直线的倾斜角为0，再由斜率等于倾斜角的正切值可得直线的斜率．本题考查直线的倾斜角与斜率，是基础题．2.【答案】A【解析】解：椭圆的焦点坐标为（±，0），即（±4，0），x2-15y2=15，即-y2=1的焦点坐标为（±，0），即（±4，0）；-=1的焦点坐标为（±，0），即（±，0）；+=1的焦点坐标为（±，0），即（±2，0）；+=1的焦点坐标为（0，±），即（0，±4），可得与椭圆的焦点坐标相同的是A．故选：A．运用椭圆和双曲线的标准方程，求得焦点坐标，即可得到所求结论．本题考查椭圆和双曲线的性质，主要是焦点坐标，考查方程思想和运算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：抛物线y=-8x2的标准方程为：x2=-y，所以抛物线的焦点坐标（0，-）．故选：C．化简抛物线方程，然后求解焦点坐标．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】B【解析】解：当m+2=0时，m=-2时，两直线方程分别为：-2x+3y-5=0，和x+2=0，此时两直线相交，不满足平行，当m≠-2时，若两直线平行，则满足=≠，由=得m（m+2）=3，得m2+2m-3=0，得（m-1）（m+3）=0，得m=1或m=-3，由≠得2m≠m-3，得m≠-3，综上m=1满足条件，故选：B．根据直线平行的等价条件，建立方程关系进行求解即可．本题主要考查直线平行关系的应用，结合直线平行的等价条件建立方程是解决本题的关键．难度不大．5.【答案】D【解析】解：∵方程，∴（m-2）（m+1）＜0，4解得-1＜m＜2，∴m的取值范围是（-1，2）．故选：D．由方程表示双曲线，知（m-2）（m+1）＜0，由此能求出m的取值范围．本题考查实数m的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的灵活运用，是基本知识的考查．6.【答案】C【解析】解：由圆x2+y2-2x+4y+m=0 即（x-1）2+（y+2）2=5-m，∴圆心为（1，-2），∴圆心在直线x-y-3=0上，∴此圆直径为6，则半径为3，∴5-m=32，∴m=-4故实数m的值为-4．故选：C．把圆x2+y2-2x+4y+m=0化为标准方程，找到圆心和半径，发现直线x-y-3=0恰好经过圆心，得出圆直径为6，则半径为3，从而求出m的值．本题考查了圆的一般方程化标准方程，找出圆心和半径，考查了配方法，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：∵双曲线中，a=2，b=1∴c==，可得F1（-，0）、F2（，0）∵点P在双曲线上，且∠F1PF2=90°，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20根据双曲线的定义，得||PF1|-|PF2||=2a=4∴两式联解，得|PF1|•|PF2|=2因此△F1PF2的面积S=|PF1|•|PF2|=1故选：D．根据双曲线的方程，算出焦点F1（-，0）、F2（，0）．利用勾股定理算出|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20，由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a=4，联解得出|PF1|•|PF2|=2，即可得到△F1PF2的面积．本题给出双曲线上的点P对两个焦点的张角为直角，求焦点三角形的面积．着重考查了双曲线的定义与标准方程、勾股定理和三角形的面积公式等知识，属于基础题．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了双曲线的简单性质和离心率，属于基础题.先判断P3（-4，3），P4（4，3）都在双曲线上，则P1（4，2）一定不在双曲线上，则P2（2，0）在双曲线上，则可得a=2，-=1，求出b和c，再根据离心率公式计算即可．【解答】解：根据双曲线的性质可得P3（-4，3），P4（4，3）都在或都不在双曲线上，由题意知P3、P4都在双曲线上,则P1（4，2）一定不在双曲线上，则P2（2，0）在双曲线上，∴a=2且-=1，解得b2=3，∴c2=a2+b2=7，∴c=，∴e==，故选C．9.【答案】A【解析】解：变量x，y满足表示的区域如图，s=的几何意义是可行域内的点与点（-1，-1）构成的直线的斜率问题．当取得点A（0，1）时，s==2，当取得点B（1，0）时，s==，则的取值范围是[，2]．故选：A．先画出变量x，y满足约束条件的可行域，然后分析的的几何意义，结合图象，用数形结合的思想，即可求解．平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．是基础题．10.【答案】A【解析】解：由圆的方程可知，圆心A（-2，0），半径等于r，r＞4，设点M的坐标为（x，y），∵BP的垂直平分线交AP于点M，∴|MB|=|MP|．又 |MP|+|MA|=r，∴|MA|+|MB|＞|BA|．依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以B、A为焦点的椭圆．故选：A．根据线段中垂线的性质可得，|MB|=|MP|，又|MP|+|MA|=r，故有|MA|+|MB|＞|BA|，根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，得到结果．本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，得出|MA|+|MB|＞|BA|，是解题的关键和难点．11.【答案】C【解析】解：设点A（x1，y1），B（x2，y2），把y=1-2x代入椭圆ax2+by2=1得：（a+4b）x2-4bx+b-1=0，△=（-4b）2-4（a+4b）（b-1）=4a+16b-4ab①．x1+x2=，x1x2=．，=═1-（x1+x2）=1-=．设M是线段AB的中点，∴M（，）．∴直线OM的斜率为：．则=2．代入①满足△＞0（a＞0，b＞0）．故选：C．设出A，B两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到A，B两点的横纵坐标的和，则A，B中点坐标可求，由斜率公式列式可得的值．本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了一元二次方程的根与系数关系，训练了斜率公式的应用，是中档题．12.【答案】A6【解析】解：设双曲线的方程为-=1（a＞0，b＞0），F1（-c，0），设直线PF1的方程为y=k（x+c），即kx-y+kc=0，由直线和圆有交点，可得＜c，解得k≠0．联立直线kx-y+kc=0和圆x2+y2=c2与双曲线方程-=1，解得交点P，设为（-，）．可得k=＞0，由题意可得k＜，结合a2+b2=c2，a＜c2-ab，化简可得b＞2a，即有b2＞4a2，可得c2＞5a2，即有e=＞．故选：A．设双曲线的方程为-=1（a＞0，b＞0），F1（-c，0），直线PF的方程为y=k（x+c），由直线和圆相交，可得k不为0，求得圆和双曲线的交点P，运用两点的斜率公式，由题意可得k＜，解不等式可得b＞2a，结合离心率公式计算即可得到所求范围．本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用直线和圆相交的条件：d＜r，考查联立圆方程和双曲线的方程求得交点，运用直线PF的斜率小于渐近线的斜率是解题的关键，综合性较强，有一定的难度．13.【答案】-2【解析】解：画出x，y满足约束条件，表示的可行域，由图可知，当直线y=x-，过A点（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为0-2×1=-2．故答案为：-2．由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.【答案】（x-1）2+（y+2）2=4【解析】解：参数方程（θ为参数），转化成普通方程为（x-1）2+（y+2）2=4．故答案为：（x-1）2+（y+2）2=4．直接利用转换关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.【答案】【解析】解：∵抛物线y2=8x的准线为x=-2，设抛物线上点P到准线l：x=-2的距离为d，则|PA|+|PF|=|PA|+d，∴当PA⊥l时，（|PA|+d）最小=2-（-2）=4，此时P点纵坐标为2，代入y2=8x，得x=．故答案为：（，2）．求出准线方程，把|PA|+|PF|转化为|PA|+d，利用当PA⊥l时，|PA|+|PF|最小，2，代入y2=8x，得x=，就能得出答案．本题考查抛物线的定义，以及最值的分析，属于基础题．16.【答案】③④⑤【解析】解：①当直线的倾斜角为90°时，直线斜率不存在，此时斜率相等不成立，故①错误，②∵定点（1，2）在定直线3x+2y-7=0上，∴动点M的轨迹不是抛物线，故②错误，③椭圆的标准方程为+=1，则椭圆的焦点在y轴，其中a2=，则a=，过点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则△ABF2的周长为4a=4×=；故③正确，④曲线的参数方程为，则，代入1+tan2t=得1+=，即-=1，对应的轨迹为双曲线，由-=0得y=±x，即双曲线的渐近线方程为y=±x，故④正确，⑤设正方形的边长为2，则AB=2c=2，则c=1，对角线BD=2，则由椭圆的定义得AD+BD=2a，即2+2=2a，则a=+1，则椭圆的离心率e===-1，故⑤正确，故答案为：③④⑤①根据倾斜角和斜率的关系进行判断，②根据抛物线的定义进行判断，③根据椭圆的定义进行判断，④消去参数，结合双曲线的渐近线方程进行求解，⑤结合椭圆的定义以及离心率的定义进行求解判断．本题主要考查命题的真假判断，涉及解析几何中的直线，椭圆，双曲线以及抛物线的定义和性质，综合性较强，难度不大．17.【答案】解：（1）直线BC的斜率，则BC边上高所在直线斜率，则BC边上的高所在的直线方程为，即3x+2y-1=0．（2）BC的方程为，2x-3y+18=0．点A到直线BC的距离，，则△ABC的面积．【解析】（1）直线BC的斜率，可得BC边上高所在直线斜率，利用点斜式即可得出BC 边上的高所在的直线方程．（2）BC的方程为，2x-3y+18=0．利用点到直线的距离公式可得：点A到直线BC的距离d，利用两点之间的距离公式即可得出|BC|，即可得出△ABC的面积．本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）依题意，设双曲线的方程为Ax2-By2=1（AB＞0），双曲线过点，可得解得，，故双曲线的标准方程为．（2）双曲线双曲线的焦点为，设双曲线的方程为，可得a2+b2=3，将点代入上式双曲线方程可得，，解得a=1，，即有所求双曲线的方程为：．【解析】（1）设双曲线的方程为Ax2-By2=1（AB＞0），将P，Q的坐标代入，解方程可得A，B，即可得到所求双曲线的方程；（2）求得已知双曲线的焦点，可设所求双曲线的方程为，可得a2+b2=3，再将点代入所8求双曲线方程，可得a，b，即可得到所求双曲线方程．本题考查双曲线的方程和性质，考查待定系数法和方程思想，化简运算能力，属于基础题．19.【答案】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴由y=1-t得，t=1-y，带入x=8+4t得，x=8+4-4y，整理得，直线l的普通方程为：x+4y-12=0；由得，，根据cos2θ+sin2θ=1得，曲线C的普通方程为：；（2）依题意可得：点（3cosθ，sinθ）到直线x+4y-12=0的距离，其中，当sin（θ+φ）=-1时，椭圆C上的点到l的距离的最大值为．【解析】（1）由x=8+4t和y=1-t消去t即可得出直线l的普通方程为x+4y-12=0，根据cos2θ+sin2θ=1消去θ即可得出曲线C的普通方程；（2）可设曲线C上的点的坐标为（3cosθ，sinθ），根据点到直线的距离即可得出：，从而可得出d的最大值．本题考查了把参数方程转化为普通方程的方法，点到直线的距离公式，两角和的正弦公式，考查了计算能力，属于基础题．20.【答案】解：（1）由题意知圆心必在过切点B（-3，2）且垂直切线4x-3y+18=0的直线上，可求得此直线为3x+4y+1=0，又圆心必在AB垂直平分线y=-x上，联立，可求得圆心（1，-1），则，故圆C1的方程为（x-1）2+（y+1）2=25．（2）设圆心C2（2y0，y0），半径r=|2y0|，圆心到直线x-y=0的距离为，由半径、弦心距、半径的关系得，∴y0=±2．当y0=2时，圆心（4，2），半径r=4，此时圆C2为（x-4）2+（y-2）2=16，当y0=-2时，圆心（-4，-2），半径r=4，此时圆C2为（x+4）2+（y+2）2=16．【解析】（1）先根据直线和圆相切的性质、圆心在弦的中垂线上，联立方程组求出圆心坐标，可得半径，从而求出圆的标准方程．（2）设圆心C2（2y0，y0），半径r=|2y0|，由半径、弦心距、半径的关系求出y0的值，可得圆C2的方程．本题主要考查直线和圆相切的性质，求圆的标准方程，直线和圆相较的性质，属于中档题．21.【答案】（1）解：将E（2，2）代入y2=2px，得p=1所以抛物线方程为y2=2x，焦点坐标为（2）证明：设，，M（x M，y M），N（x N，y N），设直线l方程为x=my+2，与抛物线方程联立，消去x，得：y2-2my-4=0则由韦达定理得：y1y2=-4，y1+y2=2m直线AE的方程为：，即，令x=-2，得同理可得：∴=4+y M y N=4+=4+=0∴OM⊥ON，即∠MON为定值．【解析】（1）将E（2，2）代入y2=2px，可得抛物线方程及其焦点坐标；（2）设出直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理及向量知识，计算=0，即可得到结论．本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）设动圆圆心P（x，y），半径为r．由题意知，|PM|=r+1，|PN|=3-r，∴|PM|+|PN|=4，由椭圆定义可知，动圆圆心P在以M，N为焦点的椭圆上，且a=2，c=1，∴b2=a2-c2=3，∴动圆圆心P的轨迹方程为．（2）存在△AOB面积的最大值．因为直线l过点E（-1，0），可设直线l的方程为x=my-1或y=0（舍）．则整理得（3m2+4）y2-6my-9=0．由△=（6m）2+36（3m2+4）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．则，则．因为=．设，则m2=t2-1，则设在区间[1，+∞）上为增函数．所以g（t）≥4．所以，当且仅当m=0时取等号，即．所以S△AOB的最大值为．【解析】（1）设动圆圆心P（x，y），半径为r．利用已知条件转化判断动圆圆心P在以M，N为焦点的椭圆上，求出a，b然后求解椭圆的方程、（2）存在△AOB面积的最大值．设直线l的方程为x=my-1或y=0（舍）．联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理弦长公式表示三角形的面积，利用换元法以及函数的单调性求解表达式的最大值即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的标准方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．10。
江西省吉安市五校2019-2020学年高二上学期第二次联考数学(文)试卷(教师版)
数学试卷（文）第I 卷（选择题)一、单选题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.只有一个选项是符合题目要求的)1.已知命题p 为假命题，命题q 为真命题．在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④(⌝p )∨q 中，假命题是( ) A. ①③ B. ①④C. ②③D. ②④【答案】A 【解析】 【分析】由命题p 为假命题，命题q 为真命题，根据复合命题真假的判断方法即可判断. 【详解】因为命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以：￢p 为真，￢q 为假，由复合命题真假含义得：①p ∧q 为假，②p ∨q 为真，③p ∧（￢q ）为假，④（￢p ）∨q 为真. 故假命题为①③， 故选：A ．【点睛】本题考查复合命题的真假判断，解题时应该认真审题，弄懂概念，属于基础题．2.设,,a b c 分别是ABC ∆中所对边的边长，则直线sin 0bx By c --=与sin sin 0Ax ay c ++=的位置关系是( ) A. 平行 B. 重合C. 垂直D. 相交但不垂直【答案】C 【解析】 【分析】先由直线方程求出两直线的斜率，再利用正弦定理化简斜率之积等于﹣1，故两直线垂直． 【详解】直线sin 0bx By c --=的斜率为sin b B ，直线sin sin 0Ax ay c ++=的斜率为sin A a-， △ABC 中，由正弦定理得sin sin a bA B=＝2R ，R 为三角形的外接圆半径， ∴斜率之积等于sin 121sin 2A b R a B R-⨯=⨯=--，故两直线垂直， 故选：C ．【点睛】本题考查两直线垂直的条件，直线的斜率的求法，正弦定理的应用，属于基础题． 3.下列命题中错误．．的个数是( )①“2x <-”是“ln(3)0x +<”的必要不充分条件.②命题“若22x =，则x =或x =22x ≠，则x ≠x ≠”. ③当,R αβ∈时，命题“若sin sin αβ≠，则αβ≠”的逆否命题为真命题. ④命题“0x ∀>，201920190x +>”否定是“00x ∃≤，020*******x +<”. A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】分别判断已知中四个命题的真假，最后综合错误命题的个数，可得答案．【详解】在①中，由ln(3)0x +<031x ⇒<+<，解得32x -<<-，所以“2x <-”是“ln(3)0x +<”的必要不充分条件，故①正确；在②中，命题“若22x =，则x 或x =22x ≠，则x x ≠错误；在③中，当,R αβ∈时，命题“若sin sin αβ≠，则αβ≠”的逆否命题为“若αβ=，则s i ns i n αβ=”，故③正确；在④中，命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃>，020*******x +≤”，故④错误. 故选：B【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及含有量词的命题的否定，充分条件和必要条件的判断，复合命题真假判断，以及四种命题的真假判断，涉及的知识点较多，难度不大，属于基础题．4.已知曲线()y f x =在点(6,(6))f 处的切线方程为23y x =-+，则'(6)(6)f f +=（ ）A. 11-B. 18-C. 17D. 30【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，进行求解即可．【详解】已知曲线()y f x =在点(6,(6))f 处的切线方程为23y x =-+，∴(6)2639f =-⨯+=-，切线的斜率k ＝-2，即'(6)2f =-，则'(6)(6)11f f +=-. 故选：A【点睛】本题主要考查导数的计算，根据导数的几何意义，以及切线与曲线之间的关系是解决本题的关键，属于基础题．5.已知直线()1:2400l mx y m m +--=>在x 轴、y 轴上的截距相等，则直线1l 与直线2:3310l x y +-=间的距离为（ ）A.3C.2D. 0【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用直线的截距的定义求得m 的值，再利用两条平行线之间的距离公式，计算即可． 【详解】直线()1:2400l mx y m m +--=>在x 轴、y 轴上的截距相等，∴令0x =，得42m y +=，令0y =，得4m x m+=，所以442m mm ++=，解得2m =， 故直线1:22420l x y +--=，即1:30l x y +-=，化简2:3310l x y +-=为21:03l x y +-=，则直线1l 与直线2l1|3|⎛⎫--- ⎪=故选：A ．【点睛】本题主要考查直线的截距的定义，两条平行线之间的距离公式，属于基础题．6.已知双曲线221(0,0)mx ny m n -=>>与直线2y x =+交于,M N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为12，则nm 的值是( )C.12D. 2【答案】D 【解析】 【分析】设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），线段MN 中点P （x 0，y 0），利用点差法能求出nm的值． 【详解】设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），线段MN 中点P （x 0，y 0）．由题意得2211222211mx ny mx ny ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得m （2212x x -）-n （2212y y -）＝0． 又x 1+x 2＝2x 0，y 1+y 2＝2y 0，即()()()()121212120m x x x x n y y y y -+--+=， 又∵直线2y x =+，∴1212y y x x --＝1，化简为mx 0-ny 0＝0，∵OP k ＝00y x ＝12．∴002m x n y ==． 故选：D ．【点睛】本题考查实数值比值的求法，直线的斜率和点差法的合理运用，属于中档题，． 7.如图所示为底面积为2的某三棱锥的三视图，则该三棱锥的侧面积为（ ）A. 2+B.C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三视图可以看出有多个直角，将该三棱锥放入正方体中，依次求各面面积即可【详解】由三视图可知该几何体是三棱锥P ABC -（放在棱长为2的正方体中），则侧面PAC是边长为的等边三角形，面积为(24=；侧面PAB △和PBC都是直角三角形，面积均为122⨯⨯=B【点睛】本题考查三视图、几何体侧面积，将棱锥放入棱柱中分析是解题的关键.8.已知命题:121p m x m -≤≤+，命题:2q x <或3x >，若p 的充分不必要条件是非q ，则实数m 的取值范围是（ ） A. 1m £或3m ≥ B. 13m ≤≤ C. 13m << D. 不存在m【答案】B 【解析】 【分析】先求非q ：23x ≤≤，由题意得非q p ⇒，p ⇒非q ，解不等式即可.【详解】已知命题:2q x <或3x >，则非q ：23x ≤≤，因为p 的充分不必要条件是非q ，所以非q p ⇒，p ⇒非q ，得21112213m m m m +>-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，解得13m ≤≤.故选：B【点睛】本题考查了命题之间的关系、充分不必要条件和命题否定的应用，考查了推理能力，属于基础题． 9.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为l 尺2寸，盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸，则平均降雨量是（注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸）（ ） A. 3寸 B. 4寸C. 5寸D. 6寸【答案】A 【解析】 【分析】作出圆台的轴截面，根据已知条件，利用圆台体积公式可求得盆中积水体积，再求出盆口面积，根据平均降水量的定义可求得结果.【详解】作出圆台的轴截面如图所示：由题意知，14BF =寸，6OC =寸，18OF =寸，9OG =寸 即G 是OF 的中点 GE ∴为梯形OCBF 的中位线 146102GE +∴==寸 即积水的上底面半径为10寸∴盆中积水的体积为()11003610695883ππ⨯++⨯⨯=（立方寸）又盆口的面积为214196ππ=（平方寸）∴平均降雨量是5883196ππ=寸，即平均降雨量是3寸 本题正确选项：A【点睛】本题考查圆台体积的有关计算，关键是能够根据轴截面得到所求圆台的上下底面半径和高，考查基础公式的应用.10.从双曲线2222=1(a>0,b>0)x y a b-的左焦点F 引圆22x a 2＋y ＝的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO MT －与b a －的关系为( ) A. |MO MT b a －＞－ B. MO MT b a －＜－ C. MO MT b a －＝－ D. MO MT －与b a －无关【答案】C 【解析】 【分析】画出图像，根据三角形的中位线，结合双曲线的定义、直线和圆相切列方程，由此求出正确选项. 【详解】如图所示，设F '是双曲线的右焦点，连接PF '. ∵点M O ，分别为线段PF FF '，的中点． 由三角形的中位线定理可得：11222||()OM PF PF a MF a ='=-=-，||OM MT MF MT a FT a ∴----＝＝，连接OT ，则OT FT ⊥，在Rt FOT 中，OF c OT a ＝，＝， 2222FT c a b ∴-=＝.于是FT b =OM MT b a ∴--＝.故选C ．【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和几何性质，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.11.在ABC ∆中，12,AB AC BC AB AC ===+=,,E F G 分别为,,AB BC AC 三边中点，将,,BEF AEG GCF ∆∆∆分别沿,,EF EG GF 向上折起，使,,A B C 重合，记为S ，则三棱锥S EFG -的外接球表面积的最小值为( ) A. 92π B. 64π C. 18π D. 36π【答案】B 【解析】 【分析】将三棱锥S ﹣EFG 补充成长方体，则对角线长分别为，，设长方体的长宽高分别为x ，y ，z ，推导出x 2+y 2+z 2＝28+()2m n +，由基本不等式得292m n +⎝⎭=…，能求出三棱锥S ﹣EFG 的外接球面积的最小值．【详解】由题意得三棱锥S ﹣EFG 的对棱分别相等，将三棱锥S ﹣EFG 补充成长方体，则对角线长分别为x ，y ，z ， 则x 2+y 2＝4m ，y 2+z 2＝56，x 2+z 2＝4n ，∴x 2+y 2+z 2＝28+()2m n +，又∵12=，∴6=，且22m n +⎝⎭…＝9，当且仅当m n =取等号， ∴()22R =x 2+y 2+z 2=28+()22822964m n +≥+⨯⨯=，∴三棱锥S ﹣EFG 的外接球面积的最小值为：2464R ππ⨯=．故选：B ．【点睛】本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于找出合适的模型求出球体半径，并灵活利用基本不等式求出最小值，考查计算能力，属于中档题．12.已知直线:10l kx y k --+=与椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆222:(1)(1)4C x y -+-=交于M 、N 两点．若存在11,2k ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，使得AM NB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是( )A. 10,2⎛⎤⎥⎝⎦B. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 0,2⎛ ⎝⎦D. 2⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】直线l 恒过定点（1，1），即为圆心2C ，M N 为直径，由AM NB =，可得AB 的中点为2C （1，1），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），运用点差法和直线的斜率公式、中点坐标公式，即可得到所求离心率的范围． 【详解】直线:10l kx y k --+=，即为()110k x y --+=，可得直线恒过定点（1，1），圆222:(1)(1)4C x y -+-=的圆心为（1，1），半径为2，且M 、N 为直径的端点，由AM NB =，可得AB 的中点为2C （1，1），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减可得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，由x 1+x 2＝2．y 1+y 2＝2，可得k ＝1212y y x x --＝﹣22b a，由11,2k ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，即有12≤22b a ≤1，则椭圆的离心率e ＝c a∈（0]．故选：C ．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其离心率的范围，注意运用直线恒过圆心，以及点差法求直线的斜率，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．第II 卷（非选择题)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数()f x 可导且'(1)2f =-，则()()11lim2x f x f x→-∆-=∆ _________.【答案】1 【解析】 【分析】变形利用导数的运算定义即可得出．【详解】已知函数()f x 可导且'(1)2f =-，则()()11lim2x f x f x→-∆-=∆＝()'00(1)(1)(11)(1)lim l 11122i 2m x x f x f f x f x f x ∆→∆→⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-- ⎪ -∆--∆-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-∆-∆⎣⎦⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎦⎭⎝⎣＝1. 故答案为：1．【点睛】本题考查了导数的运算定义，属于基础题．14.在三棱锥P-ABC 中，PB=BC,PA=AC =4,PC =2，若过AB 的平面α将三棱锥P-ABC 分为体积相等的两部分，则棱PA 与平面α所成角的余弦值为____________.【解析】【分析】由题意画出图形，取PC 中点D ，由已知可得PC ⊥平面ABD ，可得∠PAD 为棱PA 与平面α所成角，然后求解三角形得答案． 【详解】如图所示，∵过AB 的平面α将三棱锥P ﹣ABC 分为体积相等的两部分， ∴P 到平面ABD 与C 到平面ABD 的距离相等，取PC 的中点D ， 连接AD ，BD ，由PB ＝BC ，PA ＝AC ，得BD ⊥PC ，AD ⊥PC ，AD BD=D ， 可得PC ⊥面ABD ，∴∠PAD 为棱PA 与平面α所成角，在Rt △PDA 中，PA ＝4，PD ＝112PC =，∴D A =∴cos ∠PAD ，即棱PA 与平面α．【点睛】本题考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．15.过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，若3AF BF =，O 为坐标原点，则OFAF=________. 【答案】34【解析】 【分析】根据条件画出示意图，设|AF |＝x ，则|BF |＝3x ，利用AF FC AB BD =，求出x ＝23p ，进而求出比值． 【详解】过A 作AE ⊥准线，过B 作BG ⊥准线，过A 作AD ⊥BG 交BG 于点D ，交y 轴于点C 设|AF |＝x ，则|BF |＝3x ，F （0，2p ），准线：y ＝﹣2p，根据抛物线性质得：|AE |＝|AF |＝x ，|BG |＝|BF |＝3x ，|AB |＝x +3x ＝4x ，|BD |＝3x ﹣x ＝2x ，|FC |＝p ﹣x ，由图可知：AF FC AB BD =，即42x p x x x -=，解得x ＝23p ，则OF AF =43223pp =． 故答案为：34【点睛】本题考查抛物线中两线段比值的求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．16.已知椭圆C:22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ,点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆：222x y b +=相切于点Q ，若Q 是线段2PF 的中点，e 为C 的离心率，则223a e b+的最小值是______________【解析】连接1,PF OQ ,由OQ 为中位线，可得1//OQ PF ,112OQ PF =, 圆222x y b +=，可得OQ b =且12PF b =，由椭圆的定义可得122PF PF a +=，可得222PF a b =-，又2OQ PF ⊥，可得12PF PF ⊥，即有222(2)(22)(2)b a b c +-=，即为2222222b a ab b c a b +-+==-， 化为23a b =，即23b a =，c ==，即有c e a ==，则22251519()322923a a ea ba a ++==+≥⋅=， 当且仅当59a a =时，即a =时等号成立，所以223a e b +三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.已知函数()31f x x =+．（1）求曲线()y f x =在点()0,1处的切线方程； （2）求过点()1,1且与曲线()y f x =相切的直线方程． 【答案】（1）1y =；（2）274230x y --=或1y =． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义即可求函数()f x 在点()0,1处的切线方程；（2）设出切点()300,1x x +，由点斜式方程得到所求切线的方程，代入()1,1，解方程可得切点，进而得到切线的方程．【详解】（1）由()23f x x'=，切线方程的()'00k f==，则曲线()y f x =在点()0,1处的切线方程为1y =． （2）设切点的坐标为()300,1x x +，则所求切线方程为()()3200013y x x x x -+=-代入点()1,1的坐标得()3200031x x x -=-，解得00x =或032x =当032x =时，所求直线方程为274230x y --=， 当00x =时，所求直线方程为1y =，所以过点()1,1且与曲线()y f x =相切的直线方程为274230x y --=或1y =． 【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线的方程，注意在点与过点的区别，属于基础题. 18.定义:圆心到直线的距离与圆的半径之比称为“直线关于圆的距离比λ”.（1）设圆220:(2)1C x y -+=，求过点P ()10-，的直线关于圆0C的距离比λ=（2）若圆C 与y 轴相切于点A ()03，，且直线y x =关于圆C的距离比λ=求出圆C 的方程. 【答案】（1）10x +=或10x +=；（2）()()22339x y ++-=或()()22131x y -+-= 【解析】 【分析】（1）分析直线斜率不存在时不合题意；设过点P （﹣1，0）的直线方程为y ＝k （x +1），由已知圆的方程求得圆心坐标与半径，再由“直线关于圆的距离比”求解λ，则直线方程可求；（2）设圆的方程为()()222x a y b r -+-=，由题意可得关于a ，b ，r 的方程，联立方程组求解a ，b ，r 的值，则圆的方程可求．【详解】（1）当直线的斜率不存在时，则直线方程为x ＝﹣1，圆心坐标为（2，0），半径为1，，则所求直线的斜率存在.设过点()10P -，的直线方程为(1)y k x =+，由圆220:(2)1C x y -+=的圆心为(2,0)，半径为1r =，=2k =±，所以所求直线的方程为10x +=或10x += （2）设圆的方程为()()222x a y b r -+-=，由题意可得222(3)a b r +-=……①，a r ==……③由①②③联立方程组，可得3,3,3a b r =-==或1,3,1a b r ===，所以圆C 的方程为()()22339x y ++-=或()()22131x y -+-=.【点睛】本题考查新定义，圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题． 19.在如图所示的四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，且60DAB DM PA ∠=︒⊥，，4PA PD AB ===，M 为BC 中点．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求点M 到平面PBD 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2） 5【解析】 【分析】（1）由题意得DM ⊥AD ，DM ⊥PA ，且PA AD A ⋂=，可得DM ⊥平面PAD ，故而平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）根据V M ﹣PBD ＝V P ﹣BDM 即可求出M 到平面PBD 的距离．【详解】（1）∵四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=︒，∴BCD ∆是等边三角形，又M 是BC 的中点，∴DM BC ⊥，又//BC AD ，∴DM AD ⊥，又DM PAPA AD A ⊥=，，∴DM ⊥平面PAD ，又DM ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）取AD 的中点H ，连接PH BH ，，∵44PA PD AB AB BD AD ======，，∴PH AD ⊥，且PH BH ==由（1）可知平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，∴PH ⊥平面ABCD ，故PH BH ⊥，∴PB =4PD BD ==，∴12BDPS ∆=⨯= 设M 到平面PBD 的距离为h ，则13M PBD V h -=⨯=．又112324M PBD P BDM V V --==⨯⨯⨯=4=，解得h =． ∴点M 到平面PBD的距离为5． 【点睛】本题考查了面面垂直判定定理的应用，等体积转化，三棱锥体积的计算，属于中档题． 20.在多面体ABCDEF 中, ,DEAFDE ⊥平面,5ABCD EC =,BF =四边形ABCD 是边长为3的菱形.（1）证明: BD CF ⊥；（2）线段CD 上是否存在点G ,使AG ∥平面BEF ,若存在,求CGCD的值；若不存在,请说明理由. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】分析：（1）证明线线垂直，需要通过线面垂直转化．即想要证明BD CF ⊥，需要证明BD ⊥平面ACF ；而证明线面垂直，需要证明BD ⊥AF ，BD⊥AC ，根据条件可知易证．（2）存在性证明，可先假设存在，再去证明假设的正确性．利用相似，可以得到BM 与BD 的关系，根据平行和EC 、DC 的值可以求出MN=3，从而证明出AMNF 为平行四边形，最后得到AG 平面BEF 的结论．详解：(1)证明:连接AC ,由DE ⊥平面,ABCD DE AF ,得AF ⊥平面ABCD ,又BD ⊂平面ABCD 所以AF BD ⊥,由四边形ABCD 是菱形,得AC BD ⊥,又,AC AF A AC ⋂=,AF ⊂平面ACF 所以BD ⊥平面ACF ， 因为CF ⊂平面ACF ,所以BD CF ⊥. (2)解:存在这样的点G ，且23CG CD =.证明如下: 连接AG 交BD 于M ,过M 作MN DE 交BE 于N ,连接FN .因为23CG CD =,且DMG BMA ∆∆∽，所以34BM BD =. 因为MN DE 所以34MN BM DE BD ==,即34MN DE =. 因为DE ⊥平面ABCD ,5,3EC CD ==,所以4DE =,所以3MN =.因为DE AF ,3BF AB ==,所以3AF =.于是MN AF 且MN AF =,所以四边形AMNF 为平行四边形，于是AMFN ,即AG FN ，又FN ⊂平面BEF ,AG ⊄平面BEF ,所以AG 平面BEF .点睛：立体几何中证明线面平行或垂直是高考的重点，主要是通过分析要得出证明的结论与所给条件的关系，综合观察分析是否需要做辅助线来辅助判定结果．常见辅助线的做法有以下几种： (1)连接平行四边形的对角线，同时得到对角线与对角线交点为中点； (2)连接两个中点，形成中位线，用于平行或垂直的证明； (3)依据等腰三角形三线合一，做出垂直．21.已两动圆(2221:F x y r ++=和(()2222:4F x y r +=-()04r <<，把它们的公共点的轨迹记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴交点为M ，且曲线C 上异于点M 的相异两点A 、B 满足0MA MB ⋅=.(1)求曲线C 的方程；(2)证明直线AB 恒经过一定点，并求出此定点坐标.【答案】（1）2214x y +=；（2）直线AB 恒过定点3(0,)5N -． 【解析】 【分析】（1）设两动圆的公共点为Q ，则有12||||4QF QF +=，运用椭圆的定义，即可得到a ，c ，b ，进而得到Q的轨迹方程；（2）(0,1)M ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，根据直线AB 的斜率不存在和存在，设出直线方程，根据条件，运用向量的数量积的坐标表示，结合韦达定理和直线恒过定点的求法，即可得到定点； 【详解】解：（1）设两动圆的公共点为Q ，则有1212||||4(4||)QF QF F F +=>．由椭圆的定义可知Q 的轨迹是以1F 、2F 为焦点椭圆，且2,a c ==1b ∴=，所以曲线C 的方程是：2214x y +=．（2）证明：由题意可知：(0,1)M ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB =uuu r uuu rg 的直线AB 为：0x =，过定点3(0,)5N -；当AB 的斜率存在时，设直线:AB y kx m =+，联立方程组：224x y y kx m ⎧+⎪⎨⎪=+⎩①②，把②代入①有：222(14)8440k x kmx m +++-=，122814km x x k -+=+③，21224414m x x k -=+④，因为0MA MB =uuu r uuu rg ，所以有12120x x y y +=即1212(1)(1)0x x kx m kx m ++-+-=，221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m ++-++-=，把③④代入整理：22222448(1)(1)(1)01414m kmk k m m k k--++-+-=++， （有公因式1)m -继续化简得(1)(53)0m m -+=，35m -=或1m =（舍去)， 综上，直线AB 恒过定点3(0,)5N -．【点睛】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义、方程的运用，同时考查平面向量的数量积的坐标表示和直线恒过定点的求法，以及函数的单调性的运用，属于中档题和易错题．22.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,F A 为抛物线C 上位于第一象限内的点，过点A 的直线l 交抛物线C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ．（1）若点A 的横坐标为3，且||FA 与双曲线22:14x M y -=的实轴长相等，求抛物线C 的方程；（2）对于（1）中求出的抛物线C ，若点001(,0)()2D x x ≥，记点B 关于x 轴的对称点为E （不同于点A ），直线AE 交x 轴于点P ． ①求证：点P 的坐标为0(,0)x -；②若AP BP ⊥，求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围． 【答案】(1) 24y x = (2) ①见证明；②d ∈ 【解析】 【分析】（1）由题意得||342pFA =+=，故2p =，于是可得抛物线方程．（2）①设直线AB 的方程为0()0x my x m =+≠，代入抛物线方程后得到关于y 的二次方程，然后结合根与系数的关系及,,A E P 三点共线并由向量的共线可证得结论成立；②由AP BP ⊥可得EPB ∆为等腰直角三角形，所以12121AE y y k x x +==-，整理可得124y y -=，两边平方后结合根与系数的关系得到201m x =-，且01x <．再由题意得到d =t ，可得42d t t=-，最后构造函数可得所求范围． 【详解】（1）由题意，知,0,|22()|3p pF FA =+，∵||FA 与双曲线22:14x M y -=的实轴长相等，∴342p+=，解得2p =， ∴抛物线C 的方程为24y x =．（2）①由题意，可设直线AB 的方程为0()0x my x m =+≠，由204y x x my x ⎧=⎨=+⎩消去x 整理得20440y my x --=， ∵012x ≥， ∴2016160m x ∆=+>．设1122(,),(,)A x y B x y ，则22(,)E x y -， 由题意得121204,4y y m y y x +==-，设P 点坐标为(),0P x ，则2211,,()),(P P PE x x y PA x x y =--=-， 由题意知PEPA ，∴2121()0()P P x x y y x x -+-=， 即212112()P x y y x y y x +=+．又221212,44y y x x ==， ∴222112121212(44)()P y y y y y y y y y y x ++==+，显然1240y y m +=≠， ∴1204P y y x x ==-， ∴点P 的坐标为0(,0)x -．②由题意，EPB ∆为等腰直角三角形， ∴12121AEy y k x x +==-，即12221211()4y y y y +=-， ∴124y y -=，∴22121212()()416y y y y y y +-==-，即20161616m x +=，∴201m x =-，且01x <， 又012x ≥，所以0112x ≤<． 又点0(,0)P x -到直线0:0AB x my x --=的距离d ==．t =，则(t ∈，且202x t =-， ∴2()2242t d t t t-==-．设(1,24()2,f t t t t ∈=-，则4()2f t t t =-在(1,2上为减函数，∴()(1)f f t f ≤<()2f t ≤<， ∴d的取值范围为2)3． 【点睛】本题难度较大，解题时由于涉及到大量的计算，所以解题中要注意“设而不求”、“整体代换”和运用抛物线方程进行转化等方法的合理运用．另外，在求解范围问题时首先要得到所求量关于某一参数的表达式，然后再根据表达式的特点选择函数知识或不等式进行求解，属于综合题．。
2019-2020学年江西省吉安市五校高二上学期第二次联考数学(理)试题 含答案
C.充要条件D.既不充分又不必要条件己知抛物线上一点到焦点的距离为1,则点的纵坐标为( )24y x =P P A.B. C. D.347815161716阿基米德（公元前287年-公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，若椭圆C 的焦点在x 上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的方程为（ ）C 7412πC A. B. C. D.22134x y +=221916x y +=22143x y +=221169x y +=直线 m,n 和平面 则下列命题中，正确的是（ ）βα,A.m∥n,n m B.m ∥,β⊥βαα⊥⇒⊆αβα⇒⊆⊥⊥n n m ,,βC.m∥n, m ∥ D.m∥n,mαβα⇒⊆⊆n ,ββαβα⊥⇒⊥⊥n ,已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点坐标为，若22221(0,0)x y a b a b-=>>e 22(0)y px p =>(1,0)，则双曲线的渐近线方程为 p =C ()A. B. C. D.3y x=±22y x=±52y x =±22y x =±11n，则的面积最大值是23PAB ∆A. B.1 C. D.2222某四面体三视图如图所示，则该四面体最长的棱长与最短的棱长的比是（ ）A. B. C. D.52235532若圆与两条直线和都有公共点，则的范围是（:C 22()()2x a y b -+-=y x =y x =-22a b +）A. B.C.D.[]2,4[]0,4[)4,+∞[)2,+∞已知正方体的体积为1，则四棱锥与四棱锥重叠部分1111ABCD-A B C D 1111B-A B C D 1111A-A B C D 的体积是（ ）A.B.C.D.1816524724二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.如图，一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶4m 时，水面的宽6m.经过一段时间的降雨后，水面上升了1m ，此时水面宽度为 m.我们知道：在平面内，点到直线的距离公式00(,)x y 0Ax By C ++=为。
江西省名校联盟2019-2020学年上学期高二期中备考精编金卷 理科数学(AB卷)含答案
2019-2020学年上学期高二期中备考精编金卷理科数学（A ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法正确的是（ ） A ．若，则B ．若，则C ．若，，则D ．若，，则2．等差数列中，，，则数列的公差为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．在中，若，，，则等于（ ） A ．1B ．C ．D ．4．在等比数列中，、是方程的两根，则等于（ ） A ．1B ．C ．D ．不能确定5．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．6．在中，，，，则·等于（ ） A ．B ．C ．D ．7．等差数列中，若，且，为前项和，则中最大的是（ ） A ．B ．C ．D ．8．已知函数，则不等式的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若，且，则b 等于（ ） A ．2BC ．D ．10．已知数列1，，，，，，，，，，…，则是数列中的（ ） A ．第48项B ．第49项C ．第50项D ．第51项11．已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．12．如图所示，在△ABC 中，已知，角C 的平分线把三角形面积分为3∶2两部分，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．0第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知、满足条件，则的最大值为________．14．等腰三角形的底边长为6，腰长为12，其外接圆的半径为________． 15．数列满足，且，则__．16．某人在C 点测得塔AB 在南偏西80°，仰角为45°，沿南偏东40°方向前进10 m 到O ，测得塔A 仰角为30°，则塔高为________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．a b <11a b<33ac bc >a b >a b >k *∈N k k a b >a b >c d >a d b c ->-{}n a 1510a a +=47a ={}n a ABC △90C =︒6a =30B =︒c b -1--{}n a 4a 12a 2310x x +=+8a 1-1±1x>11x a x +≥-a (],2-∞[)2,+∞[)3,+∞(],3-∞ABC △3AB =2AC =BC =BA AC 32-23-2332{}n a 81335a a =10a >n S n n S 21S 20S 11S 10S ()2,02,0x x x f x x +≤⎧=⎨-+>⎩()2f x x ≥[]1,1-[]2,2-[]2,1-[]1,2-a c =75A =︒4-4+12211322311423324156O (1,1)N -(),M x y 212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩OM ON⋅[]1,0-[]0,1[]0,2[]1,2-:1:2A B ∠∠=CD cos A 131234x y 040328x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩25z x y =+{}n x 1lg 1lg ()n n x x x *++∈=N 12100100x x x +++=101102200()lg x x x +++=此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号17．（10分）已知，，且，比较与的大小．18．（12分）等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求的值．19．（12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c ，已知． （1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积，求的值．20．（12分）数列的前项和为，且，，，，求：（1）数列的通项公式； （2）的值．0a >0b >a b ≠22a b b a+a b +{}n a 24a =4715a a +={}n a 22n a n b n -=+12310b b b b ++++cos23co 1)s(A B C -+=S =5b =sin sin B C {}n a n n S 11a =113n n a S +=1n ≥n +∈N {}n a 2462n a a a a ++++21．（12分）已知不等式的解集为， （1）求，的值；（2）解不等式．22．（12分）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知 米， 米． （1）要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围内？ （2）当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值．2364ax x +>-1{|}x x x b <>或a b 210x ax b->-ABCD AMPN B AM D AN MN C 3AB =2AD =AMPN DN DNAMPN2019-2020学年上学期高二期中备考精编金卷理科数学（A ）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】对于选项A ，举例，，但是，，，所以该选项错误； 对于选项B ，举例，，，满足，但是，所以该选项错误； 对于选项C ，举例，，，显然，所以该选项错误； 对于选项D ，由题得，，所以，所以该选项正确． 故答案为D ． 2．【答案】B【解析】设公差为，由题意得，解得．故选B ．3．【答案】C【解析】，，C ． 4．【答案】B【解析】由题意得，，， ∴，．∴，又∵，∴．故选B ． 5．【答案】D【解析】∵，∴，∴． 故选D ． 6．【答案】A【解析】由余弦定理得．∴．∴．故选A ．7．【答案】B【解析】设数列的公差为，因为，所以，即，所以，又，，故，，所以中最大的是． 故选B ． 8．【答案】A【解析】或或 或或，．故选A ． 9．【答案】A【解析】， 由知，，，． 由正弦定理：．∴．故选A ．10．【答案】C【解析】将数列分为第1组一个，第2组二个，…，第n 组n 个， 即，，，…，， 则第组中每个数分子分母的和为，则为第10组中的第5个， 其项数为．故选C ．11．【答案】C【解析】，，画出线性约束条件表示的平面区域如图所示．可以看出当过点时有最小值0，过点时有最大值2， 则的取值范围是，故选C ． 12．【答案】C【解析】在△ABC 中，设，，由，得．2a =-1b =-112a =-11b =-11a b>2a =-1c =-1b =-33ac bc >a b <1a =-2b =-2k =k k a b <a b >d c ->-a d b c ->-d 11141037a a d a d ++=⎧⎨+=⎩2d =tan 30ba=︒tan30b a =︒=2c b ==c b -=41230a a +=-<41210aa ⋅=>40a <120a <80a <812421a a a ⋅==81a =-1x >()11111311x x x x +=-++≥=--3a ≤22294101cos 2124AB AC BC A AB AC +-+-===⋅13cos 3242AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=⨯⨯=32BA AC AB AC ⋅=-⋅=-{}n a d 81335a a =12390a d +=1400a a +=20210a a +=10a >0d <200a >210a <n S 20S ()2202x x x x x f ≤⎧≥⇔⎨+≥⎩202x x x >⎧⎨-+≥⎩2020x x x ≤⎧⇔⎨-+≤⎩2020x x x >⎧⎨+-≤⎩012x x ≤⎧⇔⎨-≤≤⎩021x x >⎧⎨-≤≤⎩10x ⇔-≤≤01x <≤11x ⇔-≤≤()sin sin 75sin 3045A =︒=︒+︒=a c =75C =︒30B =︒1sin 2B =4sin sin b aB A==4sin 2b B ==11⎛⎫ ⎪⎝⎭12,21⎛⎫ ⎪⎝⎭123,,321⎛⎫ ⎪⎝⎭12,,,11n n n ⎛⎫⎪-⎝⎭n 1n +561239)550(++++=+(1,1)(,)OM ON x y y x ⋅=-⋅=-212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩z y x =-()1,1A ()0,2C OM ON ⋅[]0,2ACD BCD β∠=∠=CAB α∠=:1:2A B ∠∠=2ABC α∠=∵，∴，∴，∴，∴，∴．由正弦定理得，， ∴，即．故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】19 【解析】可行域如图．当直线经过直线与交点时，取最大值．14．【解析】设△ABC 中，，，由余弦定理．∵，∴15．【答案】102【解析】由题意得，即数列是公比为10的等比数列， 所以，故．16．【答案】10 m【解析】画出示意图，如图所示，，，，，，AB ⊥平面BCO ，令，则，，在△BCO 中，由余弦定理得，整理得，解得，(舍去)，故塔高为10 m ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】．【解析】∵ ， 又∵，，，∴，，， ∴，∴．18．【答案】（1）；（2）2101． 【解析】（1）设等差数列的公差为．由已知得，解得．所以． （2）由（1）可得． ∴A B ∠<∠AC BC >ACD BCD S S >△△:3:2ACD BCD S S =△△1sin 3212sin 2AC DC BC DC ββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅32AC BC =sin sin AC BC B A =sin 2sin 2sin cos sin AC BC AC BCααααα=⇒=133cos 2224AC BC α==⨯=3cos 4A =255zy x =-+3y =28x y +=()2,3z max 19z =12AB AC ==6BC =222222121267cos 2212128AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯()0,A ∈πsin A 2sin BC r A ==110n n x x +={}n x 100102101102200121001010()x x x x x x ++=++=++⋅101102200l (g )102x x x ++=+10CO =40OCD ∠=︒80BCD ∠=︒45ACB ∠=︒30AOB ∠=︒AB x =BC x =BO )()22100210cos 8040x x =+-⨯⨯︒+︒25500x x -=-10x =5x =-22a b a b b a +>+()()222222222211a b a b a b b a a b b a a b ba b a b a b a ⎛⎫--⎛⎫+-+=-+-=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()222a b a b a b a b ab ab-+-=-=0a >0b >a b ≠()20a b ->0a b +>0ab >()220a b a b ba ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭22a b a b b a+>+2n a n =+{}n a d 11143615a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩131a d =⎧⎨=⎩1)2(1n a a n d n -=++=2n n b n =+231012310212()()(223210)()b b b b +++=++++⋯+++++231022221210((3))=+++++++++()()1021210110122-⨯+=+-． 19．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由，得， 即，解得或 (舍去)． 因为，所以．（2）由bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4．由余弦定理得，故． 又由正弦定理得．20．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴，∴两式相减，得．即．，．∴数列是从第2项起公比为的等比数列，∴．（2）由（1）知，数列，，，…，是首项为，公比为的等比数列，∴．21．【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）由已知得：1，是方程的两根， ∴，∴，∴方程其两根为，，∴．（2）将、代入不等式，得，可转化为：， 如图，由“穿针引线”法可得原不等式的解集为． 22．【答案】（1）；（2）当的长为2米时，矩形的面积最小，最小值为24平方米．【解析】（1）设的长为米，则米． ∵，∴，∴， 由，得．又，得，解得或， 即长的取值范围是．（2）矩形花坛的面积为 ，当且仅当，即时，矩形花坛的面积取得最小值24． 故的长为2米时，矩形的面积最小，最小值为24平方米．()111122552532101===-++3A π=5sin sin 7B C =cos23co 1)s(A B C -+=22cos 3cos 20A A +-=()(2cos 1co 0)s 2A A -+=1cos 2A =cos 2A =-0πA <<3A π=11sin sin 223S bc A bc π====2222cos 25162021a b c bc A =+-=+-=a 222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=21,114,233n n n n a -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩316179n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦11()3n n a S n ++=∈N 11()32,n n a S n n +≥∈=N －113n n n a a a +-=()1423n n a a n +=≥11111333a S ==211433a a =≠{}n a 4321,114,233n n n n a -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩2a 4a 6a 2n a 1316924621161393161167919nn n a a a a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦+++==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-+1a =2b =1{|}12x x x <<>-或b 2364ax x +=-364a -+=1a =2320x x +=-11x =22x =2b =1a =2b =210x ax b ->-2102x x ->-11()()20()x x x +-->1{|}12x x x <<>-或()20,6,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭DN AMPN DN ()0x x >()2AN x =+DN DCAN AM=()32x AM x +=()232AMPN x S AN AM x +⋅==32AMPN S >()23232x x+>0x >2320120x x +>-203x <<6x >DN ()20,6,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭AMPN ()223231212123121224x x x x xx x y +++==++≥==123x x=2x =AMPN DN AMPN2019-2020学年上学期高二期中备考精编金卷理科数学（B ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
江西省吉安市五校2019-2020学年高二数学上学期第二次联考试题理【含答案】
即当 n k 1 时猜想也成立.
综上可知，猜想对一切 n N 都成立.…………………… 12 分
19.（1）证：因为 AE // DF ， BC // FD ，所以 AE // BC .
又因为 BC AE ，所以四边形 ABCE 为平行四边形.
所以 CE // AB .
又 CE 平面 ABF ，所以 CE // 平面 ABF . …………………5 分
（1）曲线 E 经过坐标原点
（2）曲线 E 关于 x 轴对称
（3）曲线 E 关于 y 轴对称
（4）若点 (x, y) 在曲线 E 上，则 3 x 3
二、填空题：本大题共 6 小题，共 70 分. 17、(本小题满分 10 分)
已知命题 p ：方程 x2 y2 1 的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线；命题 q ：方程 2m m1
则满足
，即
，得 m＞2，即 p：m＞2，……………………3 分
若方程 4x2+4（m﹣2）x+1=0 无实根，则判别式△=16（m﹣2）2﹣16＜0， 即（m﹣2）2＜1，得﹣1＜m﹣2＜1，即 1＜m＜3，即 q：1＜m＜3，…………………6 分 若￢q 为真，则 q 为假，同时若 p 或 q 为真，则 p 为真命题，
则圆 M 的方程为 x2 y2 4x 0 ..................................6 分
(2)设点 P 的坐标为 (x, y) ，
因为 PA2 PB2 4 ，所以 x2 y2 (x 2)2 ( y 2)2 4,
化简得： x y 3 0 ...............................................8 分
之和等于 2 3 ，则 PAB 的面积最大值是 （ ）
江西省南昌市五校2019-2020学年高二数学上学期期中联考试题理【含答案】
江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中、实验中学、南师附中五校2019-2020学年高二数学上学期期中联考试题 理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．直线1y =的倾斜角和斜率分别是（ ） A.,14π B.0,0C.090，不存在D. 不存在，不存在2．与椭圆221248x y +=的焦点坐标相同的是（ ）A.221515x y -= B.221259x y -= C.2212012x y += D.221925x y +=3．抛物线28y x =-的焦点坐标是（ ） A.()0,2-B.()2,0-C.10,32⎛⎫-⎪⎝⎭D.1,032⎛⎫-⎪⎝⎭4．已知直线330mx y m ++-=与直线(2)20x m y +++=平行，则实数m 的值为（ ） A ．3B ．1C ．-3或1D ．-1或35．已知方程22112x y m m +=+-表示双曲线，则m 的取值范围是（ ）A.1m >-B.2m >C.1m <-或2m >D.12m -<<6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>,四点()()124,2,2,0P P ，()()344,3,4,3P P -中恰有三点在双曲线上,则该双曲线的离心率为（ ）B.52C.2D.727．已知变量x ，y 满足220,1,10,x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩则42x y x +++的取值范围是（ ）A. 3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 55,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 23,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．椭圆221ax by +=与直线12y x =-交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为2，则ab的值为（ ） A ．24 B ．36C ．22D ．239．已知圆222:(2)A x y r ++=和点(2,0)B ，P 是圆A 上任意一点，线段BP 的垂直平分线交AP 于点M ，r ＞4，则点M 的轨迹为（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆 10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若3QP QF =，则QF =（ ） A.8B.4C.6D.311．已知圆221:(2)(3)1C x y -+-=，圆222:(3)(4)9C x y -+-=，,M N 分别为圆12,C C 上的点，P 为x 轴上的动点，则||||PM PN +的最小值为( ) 17171C.622-D.52412．已知F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，以原点为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线左支的一个交点为P ，若PF 1与双曲线右支有交点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. 5,)+∞B. 5)C. (15,)+∞D. 15)二、填空题（本大题共4个小题. 每小题5分，共20分）13．已知x 、y 满足约束条件10101x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =-的最小值为______.14．将参数方程11x tt y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数），转化成普通方程为_______15．已知F 是抛物线28y x =的焦点，点A (2,23，抛物线上有某点P ，使得PA PF +取得最小值，则点P 的坐标为______．16.下列说法中所有正确的序号是 ①两直线的倾斜角相等，则斜率必相等；②若动点M 到定点（1,2）和定直线3x +2y -7=0的距离相等，则动点M 的轨迹是抛物线； ③已知12,F F 是椭圆22421x y +=的两个焦点，过点1F 的直线与椭圆交于A,B 两点，则2ABF ∆的周长为；④曲线的参数方程为4tan 2cos x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩，则它表示双曲线且渐近线方程为12y x =±； ⑤已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D1； 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）平面直角坐标系中，已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为(1,2)A -，(3,4)B -，(0,6)C . （1）求BC 边上的高所在的直线方程； （2）求ABC ∆的面积.18. （本小题满分12分） （1）求经过点(,,P Q-且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程；（2）求与双曲线2212x y -=有公共焦点，且过点的双曲线标准方程．19．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为841x ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 和直线l 的普通方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大距离. 20．（本小题满分12分）（1）已知圆1C 过点(2,3)A -，且与直线43180x y -+=相切于点(3,2)B -，求圆1C 的方程； （2）已知圆2C 与y 轴相切，圆心在直线20x y -=上，且圆2C 被直线y x =截得的弦长为2C 的方程．21．（本小题满分12分）已知()2,2E 是抛物线2:2C y px =上一点，经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点（不同于点E ），直线,EA EB 分别交直线2x =-于点,M N . （1）求抛物线方程及其焦点坐标；（2）求证：以MN 为直径的圆恰好经过原点.22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，动圆P 与圆22:(1)1M x y ++=外切，与圆22:(1)9N x y -+=内切．（1）求动圆圆心P 的轨迹方程；（2）直线l 过点(1,0)E -且与动圆圆心P 的轨迹交于,A B 两点．是否存在△AOB 面积的最大值，若存在，求出△AOB 的面积；若不存在，说明理由.高二上学期期中联考（理科）答案13.-2 14. 1(11y x x =≠-+且0)x ≠ 15. 32⎛ ⎝ 16.③ ④ 17. 解：（1）直线BC 的斜率6420(3)3BC k -==--，则BC 边上高所在直线斜率32k =-，则BC 边上的高所在的直线方程为32(1)2y x -=-+，即3210x y +-=. （2）BC 的方程为263y x =+，23180x y -+=.点A 到直线BC 的距离d =||BC ==则ABC ∆的面积11||522S BC d === 18. 解: （1）依题意,设双曲线的方程为()2210Ax By AB -=>,∵双曲线过点(,,P Q-∴381, 6121,A B A B -=⎧⎨-=⎩解得13A =-, 14B =-,故双曲线的标准方程为22143y x -=.（2）双曲线2212x y -=双曲线的焦点为()，设双曲线的方程为22221(,0)x y a b a b-=>，可得223a b +=，将点代入双曲线方程可得，22221a b -=，解得1a =，b =即有所求双曲线的方程为：2212y x -=．19.解:（1）直线l 的参数方程为841x ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数） 4120x y ∴+-=曲线C 的普通方程为2219x y +=（2）依题意可得：点3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩到直线4120x y +-=的距离d =其中3tan 4ϕ=当sin()1θϕ+=-时,椭圆C 上的点到l20. 解：（1）由题意知圆心必在过切点(3,2)B -且垂直切线43180x y -+=的直线上，可求得此直线为3410x y ++= …………2分 又圆心必在AB 垂直平分线y x =-上 …………4分联立3410y x x y =-⎧⎨++=⎩，可求得圆心(1,1)-，则5r ==故圆1C 的方程为()()221125x y -++= …………6分（2）设圆心200(2,)C y y ，半径02r y =，圆心到直线0x y -==，由半径、弦心距、半径的关系得22004142y y =+ 02y ∴=± …………4分当02y =时，圆心(4,2)，半径4r =，此时圆2C 为()()224216x y -+-= 当02y =-时，圆心(4,2)--，半径4r =，此时圆2C 为()()224216x y +++=21. 解：（1）将()2,2E 代入22y px =，得1p =所以抛物线方程为22y x =，焦点坐标为1(,0)2…………4分（2）设211(,)2y A y ，222(,)2y B y ，(,),(,)M M N N M x y N x y ，法一：因为直线l 不经过点E ，所以直线l 一定有斜率 设直线l 方程为(2)y k x =- 与抛物线方程联立得到 2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去x ，得：2240ky y k --=则由韦达定理得：121224,y y y y k=-+= 直线AE 的方程为：()12122222y y x y --=--，即()12222y x y =-++， 令2x =-，得11242M y y y -=+ 同理可得：22242N y y y -=+又 4(2,),(2,)m mOM y ON y -=-=-， 所以121224244422M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+⋅++ 121212124[2()4]4[2()4]y y y y y y y y -++=++++44(44)444(44)k k--+=+-++0=所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π2故以MN 为直径的圆恰好经过原点…………12分 法二：设直线l 方程为2x my =+与抛物线方程联立得到 222x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得：2240y my --=则由韦达定理得：12124,2y y y y m =-+= 直线AE 的方程为：()12122222y y x y --=--，即()12222y x y =-++， 令2x =-，得11242M y y y -=+ 同理可得：22242N y y y -=+又 4(2,),(2,)m mOM y ON y -=-=-， 12124(2)(2)44(2)(2)M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+++121212124[2()4]4[2()4]y y y y y y y y -++=++++4(424)44(424)m m --+=+-++0=所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π2故以MN 为直径的圆恰好经过原点…………12分 22. 解：（1）设动圆圆心(,)P x y ，半径为r .由题意知，1PM r =+，3PN r =-，4PM PN ∴+=由椭圆定义可知，动圆圆心P 在以,M N 为焦点的椭圆上，且2a =，1c =2223b a c ∴=-=∴动圆圆心P 的轨迹方程为221(2)43x y x +=≠-．（漏写2x ≠-扣1分）…………5分 （2）存在△AOB 面积的最大值.因为直线l 过点(1,0)E -，可设直线l 的方程为 1x my =-或0y =（舍）． 则223412,1.x y x my ⎧+=⎨=-⎩整理得 22(34)690m y my +--=． 由22(6)36(34)0m m ∆=++>．设1122()()A x y B x y ，，，． 则12122269,3434m y y y y m m +=⋅=-++ 则21||y y -==分因为1212AOB S OE y y ∆=⋅-12==设1t =≥，则221m t =-，则26613(1)43AOB t S t t t∆==-++设1()3g t t t =+在区间[1,)+∞上为增函数．所以()4g t ≥． 所以32AOB S ∆≤，当且仅当0m =时取等号，即max 3()2AOB S ∆=．所以AOB S ∆的最大值为32．…………12分。
江西省赣州教育发展联盟2019-2020学年高二上学期12月联考数学(理)试题Word版含解析
江西省赣州教育发展联盟2019-2020学年上学期12月联考高二数学（理）试题一、选择题（每个题目只有一个正确选项，每题5分，共60分）1.数列的一个通项公式为（）A. B.C. D.2.已知直线经过点，且斜率为4，则的值为（）A. -6B.C.D. 43.命题“若，则且”的逆否命题是（）A. 若或，则B. 若，则或C. 若且，则D. 若，则且4.设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则5.某汽车的使用年数与所支出的维修费用的统计数据如表：使用年数根据上表可得关于的线性回归方程=，若该汽车维修总费用超过10万元就不再维修，直接报废，据此模型预测该汽车最多可使用（）A. 11年B. 10年C. 9年D. 8年6.已知向量，，且，则的值为（）A. －14B. 10C. 12D. 147.(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛8.在正方体中，为线段的中点，则直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.9.已知实数a、b满足，则使的概率为（）A. B. C. D.10.已知，且，则的最小值为（）A. 12B. 10C. 9D. 811.已知数列的前项和为，且满足，则下列说法正确的是（）A. 数列的前项和为B. 数列的通项公式为C. 数列为递增数列D. 数列为递增数列12.已知异面直线，所成的角为，直线与，均垂直，且垂足分别为，，若动点在直线上运动，动点在直线上运动，，则线段的中点的轨迹所围成的平面区域的面积是( )A. 9B. 18C. 36D. 72二、填空题（每小题5分，共20分）13.若实数满足则的最大值是__________．14.点在圆的外部，则的取值范围为______．15. 给出下列命题：①已知集合，则“”是“”的充分不必要条件；②“”是“”的必要不充分条件；③“函数的最小正周期为”是“”的充要条件；④“平面向量与的夹角是钝角”的要条件是“”.其中正确命题的序号是 .（把所有正确命题的序号都写上）16.在中，为中点，则的取值范围为_______。
2019-2020学年江西省吉安市五校高二上学期第二次联考数学(文)试题 Word版
江西省吉安市五校2019-2020学年高二上学期第二次联考数学试卷（文 ）第I 卷（选择题)一、单选题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.只有一个选项是符合题目要求的)1．已知命题p 为假命题，命题q 为真命题．在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④(⌝p )∨q 中，假命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④2．设,,a b c 分别是ABC ∆中所对边的边长，则直线sin 0sin sin 0bx By c Ax ay c --=++=与的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直 3．下列命题中错误．．的个数是（ ） ①“2x <-”是“ln(3)0x +<”的必要不充分条件.②命题“若22x =，则x =x =的否命题是“若22x ≠，则x ≠x ≠. ③当,R αβ∈时，命题“若sin sin α≠，则αβ≠”的逆否命题为真命题.④命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃≤，020*******x +<”. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．()y f x =已知曲线在点/(6,(6))23,(6)(6)f y x f f =-++=处的切线方程为则（ ）A ．11-B ．18-C ．17D ．305. 已知直线()1:2400l mx y m m +--=>在x 轴、y 轴上的截距相等，则直线1l 与直线2:3310l x y +-=间的距离为（ ）A ．3B C ．2D ．0 6．已知双曲线221(0,0)mx ny m n -=>>与直线2y x =+交于,M N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为12，则nm的值是( )A B C ．12 D ．27．如图所示为底面积为2的某三棱锥的三视图，则该三棱锥的侧面积为（ ）A ．+B ．C ．D ．2+8．已知命题:121p m x m -≤≤+，命题:23q x x <>或，若p 的充分不必要条件是非q ，则实数m 的取值范围是（ ）.13A m m ≤≥或 .13B m ≤≤ .13C m << .D m 不存在9．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为l 尺2寸，盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸，则平均降雨量是（注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸）（ ）A ．3寸B ．4寸C ．5寸D ．6寸10．从双曲线2222=1(a>0,b>0)x y a b-的左焦点F 引圆22x a =2＋y 的切线，切点为T ，延长FT交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO MT －与b a－的关系为( )A ．|MO MT b a －＞－B ．MO MT b a －＜－C ．MO MT b a －＝－D ．MO MT －与b a －无关11．在ABC ∆中，12,AB AC BC AB AC ===+=,,E F G 分别为,,AB BC AC 三边中点，将,,BEF AEG GCF ∆∆∆分别沿,,EF EG GF 向上折起，使,,A B C 重合，记为S ，则三棱锥S EFG -的外接球表面积的最小值为( )A ．92π B ．16π C ．18π D ．36π12．已知直线:10l kx y k --+=与椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆222:(1)(1)4C x y -+-=交于M 、N 两点．若存在11,2k ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，使得AM NB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是( )A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎣⎭第II 卷（非选择题)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13．已知函数()f x 可导且/(1)2f =-，则()()11lim2x f x f x→--= ____________.14. 在三棱锥P ABC -中，PB BC,PA AC 4,PC 2====，若过AB 的平面α将三棱锥P ABC -分为体积相等的两部分，则棱PA 与平面α所成角的余弦值为____________.15．过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，若3AF BF =，O 为坐标原点，则OFAF=____________. 16．已知椭圆C: 22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ,点P 在椭圆C 上，线段2PF与圆：222x y b +=相切于点G ，若G 是线段2PF 的中点，e 为椭圆C 的离心率，则223a e b+的最小值是_____________.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)已知函数()31f x x =+．（1）求曲线()y f x =在点()0,1处的切线方程； （2）求过点()1,1且与曲线()y f x =相切的直线方程．18．（本小题共12分）定义:圆心到直线的距离与圆的半径之比称为“直线关于圆的距离比λ”.(1)设圆220:(2)1C x y -+=，求过点P ()10-，的直线关于圆0C 的距离比λ=(2)若圆C 与y 轴相切于点A ()03，，且直线y x =关于圆C 的距离比λ=求出圆C 的方程. 19．（本小题共12分）在如图所示的四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，且60DAB DM PA ∠=︒⊥，，4PA PD AB ===，M 为BC 中点． （1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求点M 到平面PBD 的距离．在多面体ABCDEF 中, //,DE AF DE ⊥平面,5ABCD EC =,BF =,四边形ABCD 是边长为3的菱形. （1）证明: BD CF ⊥；（2）线段CD 上是否存在点G ,使AG ∥平面BEF ,若存在,求CGCD的值；若不存在,请说明理由.21.（本小题共12分）已知两动圆2221:(F x y r ++=和2222:((4)F x y r +=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足：0MA MB ⋅=. （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标； 22．（本小题共12分） 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ．（1）若点A 的横坐标为3，且||FA 与双曲线22:14x M y -=的实轴长相等，求抛物线C 的方程；（2）对于(1)中求出的抛物线C ，若点001(,0)()2D x x ≥，记点B 关于x 轴的对称点为E ，AE 交x 轴于点P ，且AP BP ⊥， ①求证：点P 的坐标为0(,0)x -；②求点P到直线AB的距离d的取值范围.文科数学参考答案1．A 2．C 3．B 4．A 5．A 6．D 7．B 8．B 9．A 10．C. 11．B 12．C13． 115．34 1617.解：（1）由()23f x x '=，()00f '=，则曲线()y f x =在点()0,1处的切线方程为1y =．.......................5分（2）设切点的坐标为()300,1x x +，则所求切线方程为()()3200013y xx x x -+=-代入点()1,1的坐标得()3200031x x x -=-，解得00x =或032x = ．.......................8分 当032x =时，所求直线方程为274230x y --=,当00x =时，所求直线方程为1y = 所以过点()1,1且与曲线()y f x =相切的直线方程为274230x y --=或1y =．....................10分18. （1）设过点()10P -，的直线方程为(1)y k x =+， 由圆220:(2)1C x y -+=的圆心为(2,0)，半径为1r =，=2k =±，所以所求直线的方程为x x +或．．.......................6分 （2）设圆的方程为()()222x a y b r -+-=， 由题意可得222(3)a b r +-=……①，a r =，……=……③由①②③联立方程组，可得3,3,3a b r =-==或1,3,1a b r ===，所以圆C 的方程为()()22339x y ++-=或()()22131x y -+-=．．..................12分19. 解：（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=︒， ∴BCD 是等边三角形，又M 是BC 的中点， ∴DM BC ⊥，又//BC AD ， ∴DM AD ⊥， 又DM PA PA AD A ⊥⋂=，，∴DM ⊥平面PAD ，又DM ⊂平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD ．．.......................5分 （2）取AD 的中点H ，连接PH BH ，，∵44PA PD AB AB BD AD ======，，∴PH AD ⊥，且PH BH ==由（1）可知平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =， ∴PH ⊥平面ABCD ，故PH BH ⊥，∴PB =4PD BD ==，∴12BDPS=⨯=．.......................8分 设M 到平面PBD 的距离为h，则133M PBD V h -=⨯=．又11234M PBD P BDM V V --==⨯⨯⨯=， 4=，解得h =． ∴点M 到平面PBD ．．.......................12分20.解：(1)证明:连接AC ,由DE ⊥平面,//ABCD DE AF ,得AF ⊥平面ABCD , 又BD ⊂平面ABCD 所以AF BD ⊥, 由四边形ABCD 是菱形,得AC BD ⊥,又,AC AF A AC ⋂=,AF ⊂平面ACF 所以BD ⊥平面ACF ，因为CF ⊂平面ACF ,所以BD CF ⊥.．.......................5分(2)解:存在这样的点G ，且23CG CD =.证明如下: 连接AG 交BD 于M ,过M 作//MN DE 交BE 于N ,连接FN .因为23CG CD =,且DMG BMA ∆∆∽，所以34BM BD =. 因为//MN DE 所以34MN BM DE BD ==,即34MN DE =.因为DE ⊥平面ABCD ,5,3EC CD ==,所以4DE =,所以3MN =. 因为//DE AF ,3BF AB ==,所以3AF =.于是//MN AF 且MN AF =,所以四边形AMNF 为平行四边形， 于是//AM FN ,即//AG FN ，又FN ⊂平面BEF ,AG ⊄平面BEF ,所以AG ∥平面BEF ...................12分21. （1）设两动圆的公共点为Q ，则有：12124QF QF F F +=>． 由椭圆的定义可知Q 的轨迹为椭圆，2a =，c =所以曲线C 的方程是：2214x y +=；................ 4分（2）由题意可知：()0,1M ，设()11,A x y ，()22,B x y ，当AB 的斜率存在时，设直线:AB y kx m =+，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩①②，把②代入①有：()222148440k x kmx m +++-=， 122814km x x k -+=+③，21224414m x x k-⋅=+④，..................7分 因为0MA MB ⋅=，所以有()()1212110x x kx m kx m ⋅++-+-=，()()()()2212121110k x xk m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理：()()()2222244811101414m kmk k m m k k --++-+-=++，（有公因式1m -）继续化简得： ()()1530m m -+=，35m =-或1m =（舍）， 当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=的直线AB 为：0x = (11)分过定点30,5N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上，直线AB 恒过定点30,5N ⎛⎫- ⎪⎝⎭；...................12分 22解：（1）由题意，知,0,|22()|3p pF FA =+，∵||FA 与双曲线22:14xM y -=的实轴长相等，∴342p+=，解得2p =， ∴抛物线C 的方程为24y x =．...................3分（2）①设直线AB 的方程为：()00x my x m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,E x y -由204y x x my x ⎧=⎨=+⎩得：20440y my x --= 012x ≥ 2016160m x∴∆=+> 1212044y y m y y x +=⎧∴⎨=-⎩ 设(),0P P x ，则()22,P PE x x y =--，()11,P PA x x y =-,,A E P 三点共线即//PE PA ()()21210P P x x y y x x ∴-+-=即()()221212211221121244P y y y y y y y y x y x y y y x +++=+==1240y y m +=≠ 0120444P x y yx x -∴===- ()0,0P x ∴-得证. (7)分②EPB ∆为等腰直角三角形 1AP k ∴= 即()()()()12121222121212124114y y y y y y x x y y y y y y +++===-+-- 124y y ∴-= ()22121204161616y y y y m x ∴+-=+=，可得：201m x =-20m > 01x ∴<，又012x ≥ 01,12x ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭d ∴===t =，1,2t ⎛∈ ⎝⎦，则202x t =- 24242t d tt t-∴==-42y t t =-在⎛ ⎝⎦上单调递减2d ⎫∴∈⎪⎪⎣⎭...................12分。
江西省赣州市2019-2020学年高二上学期12月联考数学(理)试卷 Word版含答案
C．若 a 0 且 b 0 ，则 a2 b2 0 D．若 a2 b2 0 ，则 a 0 且 b 0
4.设 l 为直线，, 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A.若 ， l // ，则 l
B．若 l ， l ，则 //
④“平面向量 a 与 b 的夹角是钝角”的充要条件的“ a b 0 ”.
其中正确命题的序号是
．（把所有正确命题的序号都写上）
16.在 ABC 中， B 60 , AC 3, D 为 BC 中点，则 BD AB 的取值范围为_______。
三、解答题（共 70 分）
17（10 分）.如图，在四棱锥 P - ABCD 中，PD⊥底面 ABCD，AB∥
所以 Sn 在正奇数集上单调递减，∴ (Sn )max S1 3 ，且 Sn 2
…………9 分
（利用指数函数
Sn
2 1
1 2n
…………8 分
cos n, m n m 4 4 1 7
n m 33
9
…………11 分
由观察知二面角 A EF C 的平面角为锐角
二面角 A EF C 的余弦值为 7 。 9
12 分
21、解（1） a1 a2 8(a4 a5 ) a1 a2 8q3 (a1 a2 ) (a1 a2 )(1 8q3) 0
DC，
CD 2AB ，AD⊥CD，E 为棱 PD 上一点，且 DE 2PE .
（1）求证：CD⊥AE；
（2）求证： PB / / 面 AEC .
18.（12 分）已知△ABC 的周长为 2 1，且 sin A sin B 2 sin C （1）求边 AB 的长； （2）若△ABC 的面积为 1 sin C ，求角 C 的度数.