邮政运输网络中的邮路规划和邮车调度1讲解

邮政运输网络中的邮路规划和邮车调度

【摘要】：本题主要以现实中邮政网络规划问题为研究对象，在研究过程中针对不同情况下的最佳邮路设计和运输效益问题，分别建立了线性规划模型，并利用matlab软件搜索求解。

针对问题一，首先利用matlab元胞数组功能录入x1县的邮政信息，建立包含各支局收、寄邮件数量和各线路行驶时间的数据库，然后在同时满足各线路邮件运输量不超过邮车最大承载量和各线路邮车运输时间不超过规定时限的条件下，调用数据库中相关信息并利用matlab软件搜索所有符合条件的邮路，其次以使用最少邮路覆盖全县邮政网络为目标，建立关于邮路设计的线性规划模型，并利用matlab软件求解得，覆盖全县最少需规划3条邮路即最少使用3辆邮车就可满足全县邮件运输需求，最后在满足上述求解结果的条件下结合空车率计算方法，以减少收入最低为目标建立关于邮车调度的线性规划模型，利用matlab 软件搜索求解得3辆邮车的具体路线安排分别为：x1-12-13-1-3-2-5，x1-4-6-9-11-10,x1-14-15-16-8-7，此时因空车率而降低的总收入为：62.4615元。

针对问题二，通过对题目的分析，首先利用贪婪算法寻找市局内可到达各县局的最近支局，并将其作为通往各县局邮路在市区内的终点和在各县局内的起点，其次在确定市区和各县局内邮路的起点和终点后，在同时满足从市局出发的各邮路可完全覆盖市局邮政网络和各邮路运行时间不超过规定时限的条件下，以邮路总运行费用最少为目标，建立线性规划模型，并利用贪婪算法逐步寻找最优解，最后解得市局需5辆邮车，各县局分别需要：2，2，0，0，2辆邮车，总路程最小为2089.1公里，此时的总费用最小为6267.4元，具体安排见模型求解。

关键词：线性规化搜索求解贪婪算法

1、问题重述

1.1 问题的来源及意义：

在信息技术飞速发展的今天，互联网已经成为一种重要的通信手段，但在我们利用Email等方式交流信息的同时，邮政作为传统的通信手段仍然与我们的日常生活和工作息息相关，发挥着不可替代的作用。时限与成本是邮政运输问题的两个重要指标。时限是指邮电部规定的邮件、报刊处理、传递的最大时间限制，时限关系到邮政通信质量的好坏；成本影响着企业的经营。

邮政运输网络是邮政企业运营的重要保障，是决定邮政企业竞争能力的主要因素。

1.2 提出问题

[1]以县局X1及其所辖的16个支局Z1, Z2, ……, Z16为研究对象，假设区级第一班次邮车08:00到达县局X1，区级第二班次邮车16:00从县局X1再出发返回地市局D，若每辆县级邮车最多容纳65袋邮件，试问最少需要多少辆邮车才能满足该县的邮件运输需求？同时，为提高邮政运输效益，应如何规划邮路和如何安排邮车的运行？

[2]采用尽可能少、尽可能短的邮路可以减少邮政部门车辆和人员等的投入，从而显著降低全区邮政运输网的总运行成本。考虑投入车况较好的邮车，通常每条邮路只需要一辆邮车即能满足运载能力要求，试问应如何构建该地区的邮政运输网络（县的划分不能变更），请你给出邮路规划和邮车调度方案。请注意邮车的调度必须满足上文中有关该地区的邮政运输流程及时限规定。

2、问题分析

本题主要以现实生活中的邮路规划和邮车调度问题为研究对象，在研究过程中需考虑各支局之间是否可到达，邮车的调度是否满足题目要求和安排的邮路是否能覆盖邮政网络等因素。解决邮路规划和调度问题时需要明确以下几个方面：①邮路的形式与种类

在邮政运输网络中，将各地市局、县局、支局都近似看做结点，任意两点的连线都可看做是一条路径，邮路类型主要有环形、辐射型和混合型三种，由于实际邮政运输网络中存在两个邮局间无可到达路线的情况且并非所有支局都可直达县局，因此，根据邮局间直达的情况即可推算出各条邮路的线路类型。

②线路搜索方法

本文的关键是搜索方法的科学性，应首先寻找出所有的线路，其次，搜索同时满足每辆车的时限要求和邮车最大运载量的线路，即记录所有同时满足时限要求和最大运输量的线路，最后，根据线路是否覆盖所有支局且无重复数据得到最终的可到达线路。

③不同要求下对时限的理解与计算

时限指的是邮电部规定的额邮件、报刊处理和传递的最大时间限制。在调度邮车的过程中主要考虑邮车在行驶过程中的耗时、在支局或县局的卸装时间、处理邮件的时间。对不同区域或规定时限其计算方法是不同的。

3、模型假设

[1] 假设邮车在行驶过程中不会存在意外的等待时间；

[2] 假设区级第一班次的邮车到达区级后的处理时间不予考虑；

[3] 假设车况较好的邮车没有最大运载量的约束； [4] 假设不同邮车在不同时间到达支局或县局的卸装、分拣封发和等待时间等都是相同的；

[5] 假设不同县局邮车经过的支局各不相同，即一个支局只能由一辆邮车到达。

4、符号系统及名词解释

4.1

4.2名词解释

[1] 邮路:指利用各种运输工具按固定班期规定路线运输邮件，并与沿线有交接频次的邮政局、所交换邮件总包所行驶的路线，它是邮政运输网络的基本组成单元。

[2] 时限：指邮电部规定的邮件、报刊处理传递的最大时间限制。 [3] 区级邮政运输网：从地市局出发并最终返回地市局的区级邮车所行驶的全部邮路构成。

[4] 空车率:其计算方法为：(邮车最大承运的邮件量-邮车运载的邮件量)/邮车最大承运的邮件量。

5、模型的建立与求解

5.1 县局到支局的邮路规划和邮车调度 5.1.1 模型准备

1、行驶线路的一般表达形式和邮政运输流程

如图所示，A 表示环形邮路，B 表示辐射型邮路，在邮政运输网络中，将各地市局、县局、支局都近似看做结点，任意两点的连线都可看做是一条路径，由于实际邮政运输网络中存在两个邮局间无可到达路线的情况且并非所有支局都可直达县局，因此，根据邮局间直达的情况即可推算出各条邮路的线路类型，将各种邮路的线路类型及运输流程表达如下： [1] 构造线路的一般形式

首先由各个邮局所在的位置抽象出点的集合12{,,...}S s s =，同时将邮车行走

的线路表达为线路的集合12{,,...}L l l =，当且仅当邮局点s 在行驶线路l 上时，

s 与

l间有一条边。邮局结点p和q组合成的线路必须满足一定的次序，即注考虑到p q q p

→→

与是不同的线路。

①环形邮路的路线形式：

设

1~

X Xj为第j个县局的编号，1~

Z Zi为第i个支局的编号，的以一条可用线路为例进行说明,具体线路如下：

由图中可看出此时邮路的起始点和终点都是县局，且不走重复路线，这种情况下联系点较多，能大大增加运输工具的利用率，此种线路的缺点是送到最后几个结点的时间较长，时限的约束将使其到达的支局个数较少。

②辐射邮路的路线形式

由图示可初步判断出此种邮路的特点是从起点到终点后，仍按照原路线返回出发地点。因此须在同一条路线上往返两个行程。

114141

X Z Z X

→→→

这种结构的邮路可以缩短运递时间，加快邮运速度。但它的联系点较少，需用的运输工具较多，所耗费用较大。

③混合邮路的路线形式

邮车在运输邮件的过程中，将会存在邮车经支局回到县局后继续开往支局运输邮件的情况即混合邮路。这种情况是由于邮车由县局出发第一次运往各个支局并返回时仍然有部分空余时间，邮车再次由县局出发到附近支局运送邮件。这一形式是辐射邮路和环形邮路的综合。

1101116981141

X Z Z Z Z Z X Z X

→→→→→→→→

县局县局县局

[2] 地区的邮政运输流程

该地区的邮政运输网络由区级邮政运输网和县级邮政运输网构成。区级邮政运输网由从地市局出发并最终返回地市局的区级邮车所行驶的全部邮路构成，县级邮政运输网由从县局出发并最终返回县局的县级邮车所行驶的全部邮路构成。地区从地市局到县局每天两班车，从县局到支局每天仅有一班车。运输流程如下：

2、确定邮车调度对时限要求

在邮政运输中，时限和成本是邮政运输问题的两个重要指标，其中，时限指的是邮电部规定的额邮件、报刊处理和传递的最大时间限制。在调度邮车的过程中重点考虑以下几个方面的时间限制。

[1] 县级邮车在行驶过程中花费的时间（简称行程时间）：

县级邮车的行程仅局限于邮车由县局出发并最终返回县局的县级邮车所行驶的全部路程，行程时间可表示为：

=

行驶总公里数

行程时间时速

邮车行驶单条邮路的路程可简单表示为行程，将行驶总公里数看做各行程的和，设i 表示邮路经过的支局编号(将第一个可到达的支局编号定位初值1，2，3…n 依次表示路线中经由的支局),设j 表示经由的县局的次数，k 表示邮车数目的编号，第k 辆车的行驶时间为1k T ,行驶过程中的行程表示为k S ，则此时单段距离可表示为c d ，则行驶总公里数可表示为：

1

()n

k c

c s d

n N ==

∈∑

县级邮车平均时速为30km/h ，根据总公里数得到总的行程时间为：

11

(30)n

k c

c T d

==

∑ (1)

[2] 邮车在支局的卸装耗时：

邮车由县局向支局运输邮件的过程中，每经过一个支局都将卸载一部分寄往此支局的邮件，同时，装载一部分邮件运往市区，根据时限要求，在各支局卸装邮件耗时5分钟。

=?卸装时间经过的支局个数每次卸装的时间

设第k 辆车的卸装时间为2k T ，邮车从县局出发运往各个支局中经过的支局个数为k n ，每次卸装的时间为5分钟，则：

21

12

k k T n =? (2)

[3] 邮车在各县局的卸装耗时

邮车的行驶线路为先由区级邮车将邮件运往县级，而后到达县级的邮件将由县级邮车运往各个支局，在此过程中，由于车辆数的不确定性和邮路类型的差异，一般来说，每辆车在满足运载邮件的最大量或时限范围内时将返回县级，每辆县

级邮车最多容纳65袋邮件，若仅仅是因运载邮件的数量满足最大容纳量返回县级，则在剩余时限范围内有可能再次由县局出发到达支局并返回，运载返回县级的次数是不确定的。

=?县局卸装时间经过县局卸装次数每次卸装时间

设第k 辆车在县局卸装时间的卸装时间为3k T ，邮车经过县局的卸装次数为0k n ，由于在县局每次卸装的时间均为10分钟，因此，将这一时间表示为：

301

6

k k T n =? (3)

[4] 处理邮件的时间

结合题意，当邮车从县局出发时，县局对邮件的集中处理时间为1小时，这一小时中包括邮件的卸装、分拣封发等处理时间。将处理邮件占用的时间表示为：

=+处理邮件时间出发前处理邮件的时间返回处理邮件时间

当县级邮车沿途收寄的邮件运送到县局时同样需要集中处理一个小时后后再由区级邮车运往地市局。因此，根据时限规定对每辆邮车处理邮件的耗时均为2小时。

[5] 计算邮件处理和传递的总时间

综合考虑多方面的耗时，可计算得到不同邮车在一天中处理、传递邮件的总时间k T ：

1232k k k k T T T T =+++ (4)

将(1)(2)(3)代入(4)得总的耗时：

01

11

(30)2126

n

k c k k c T d n n ==+

?+?+∑ 3、限制每辆县级邮车最大容纳的邮件数量

考虑到一般的邮车最多能容纳的邮件数量是一定的，对县级邮车没辆车能容纳的最多邮件数是65，根据寄达支局i Z 的邮件量和支局i Z 收寄的邮件量可求得每辆邮车在不同行驶位置运载的总邮件数。

为了满足每辆县级邮车最大运载量不超过65袋邮件这一限制，同一支局寄达和收寄邮件的存在数量差异，取每到达一个支局都记录寄达支局i Z 的邮件量和支局i Z 收寄的邮件量中较大的一个，设1~X Xi 为第i 个县局的编号，k 表示邮车的编号，ki p 表示第k 辆车寄达支局i Z 的邮件量，ki q 表示第k 辆车在支局i Z 收寄的邮件量i Z ，k M 表示第k 辆车运输的邮件量，将对邮件数量的约束表示为：

1

max(,)65

(12...16)k

n k ki ki i M p q i ==≤∑的值取，

4、由邮路网络结构建立带权的邻接矩阵

为了将邮路的网络形式用数学的语言描述出，应根据路径的特点将之看做无向图的形式，以带权的邻接矩阵的形式得到邮路的具体表现形式。 [1] 明确矩阵的形式

由线路网络结构建立带权的邻接矩阵arcs 根据地区邮政局所分布情况和邮

局间直达公路里程的数据信息，令[][]arcs i j

表示由,,i i i j x z z z 或所构成有向路径的权值，若,,i i i j x z z z 或不存在，则置第i 条邮路的第j 个分段的线路路程

[][]arcs i j 为0，s 为已找到从v x 或出发的的路径终点的集合，它的初始状态为空集。则第i 条邮路从v x 或出发到其余各顶点(终点)i i v x 或可到达路径的长度为：

[][][]D i arcs i j =

线路网路结构中各个结点间的距离代表了其权值的大小，由于任意两点间的路径是双向的，即结点A B →和B A →是同一线路，只是方向不同而已，因此，

将之描述为无向图的形式，无向赋权图中的权矩阵()ij n n W w ?其分量为：

j j

(,)v 0

v i j ij w v v w ??=?

??i i 顶点v 与相连弧的长度顶点v 与

考虑无向图的邻接矩阵的对称性，采用压缩存储的方式只存入矩阵的下三角

元素或上三角元素，但此时矩阵表达的实际意义难以直观表达出来，故采用一般的存储方式，根据以上定义构造带权的邻接矩阵如下：

0......

0ij ij a arcs a ????=?

????

?

[2] 规律总结

邻接矩阵的带权性，路径的权值体现了线路间的连通性和实际直达距离，根据任意两个点间的直达距离即可描述出线路的具体形式，根据点间的距离可计算出运输过程中的时间，同时根据可到达支局的数目得到邮车在不同时间和地点运载邮件的数目，同时考虑时限和邮车可运载邮件数量的约束进行搜索求解即可得到满足邮件运输要求的最少邮车数。

邻接矩阵的对称性：将邮政运输网络中各个邮局代表的结点连线后构成无向图的形式，这种网络结构的特点决定了其矩阵的对称性。即任意两点间的路径是可顺向或反向的。

[3] 建立表格确定矩阵中的元素

根据邮局间的直达公里里程的详细信息得到任意两点间的可连通性和具体的直达距离，若两邮局(包括县局、支局)没有直达路线，则将距离赋权为0，反之以其直达公里里程赋权。建立表格如下：

[4] 构造线路矩阵

设矩阵元素ij a 表示第i 个邮局到达第j 个邮局的线路，n 表示线路条数，每出现一次可到达结点记录一次，其中，当i =j 时为无效路径，设定值为0，则：

()0

()

ij n i j a i j ≠?=?

=?

5、利用元胞数组调用可达线路

由于每到达一个支局再次出发时将有多条路线可供选择，线路的选择虽然具MATLAB [1] 而后规律： ① 确定的。

② 支局的编号并不能反映出邮车到达支局的先后顺序，即邮车有可能由支局B →支局A(B 的编号大于A 的编号)。设,i j 表示线路编号， ij b 为,i j 间的邮路，

k 为正整数，则将其表示为：

()()

()()

i k j k ij i k j k b i b b ++--??=?

??第个支局的编号小于第(i+1)个支局编号否则

③ 只需搜索每个支局能到达的所有结点即可找出所有情况。 [2] 构造邮车可到达线路矩阵

矩阵元素ij a 表示第i 个有邮局到第j 个直达邮局的线路数n ，其中，i =j 时为无效路径，设定值为0， 以N 表示所有邮局结点的总数，则描述邮车可到达线路矩阵可表示为：

111212122212

N N

N N

ij

N N NN

a a a a a a A a a

a a ???

? ? ?= ? ? ? ? ???

6、明确选取线路的搜索方法

应首先寻找出所有的线路，其次，搜索同时满足每辆车的时限要求和邮车最大运载量的线路，即记录所有同时满足时限要求和最大运输量的线路，最后，根据线路是否覆盖所有支局且无重复数据得到最终的可到达线路，具体搜索方法如下：

[1] 搜索所有的可到达线路

邮政运输网络中存在部分邮局间不可直达的情况，将由县局到支局的线路表示为1X Zi →，则由县局X1出发仅Z7,Z8,Z9,Z16不可直接到达县局，需经过其它支局后到达县局X1,令i 从1开始搜索可到达线路的，此时选出的线路仅仅满足连通性。

[2] 搜索出同时满足时限和邮车运载能力的路线

在所有可到达线路中，任意给定一条路线都将得到其形式时间和到达线路终点时邮车运载的邮件。

设1~X Xi 为第i 个县局的编号，k 表示邮车的编号，当天邮件处理和传递的总时间k T 不大于时限要求，第k 辆邮车经过县局的卸装次数为0k n ,线路中第c 段距离可表示为c d ,邮车从县局出发运往各个支局中经过的支局个数为k n ，将时间限制表示为：

01

11

(30)28126

n

k c k k c T d n n ==+

?+?+≤∑ 为了满足每辆县级邮车最大运载量不超过65袋邮件这一限制，同一支局寄达

和收寄邮件的存在数量差异，取每到达一个支局都记录寄达支局i Z 的邮件量和支局i Z 收寄的邮件量中较大的一个，设1~X Xi 为第i 个县局的编号，k 表示邮车的编号，ki p 表示第k 辆车寄达支局i Z 的邮件量，ki q 表示第k 辆车在支局i Z 收寄的邮件量i Z ，k M 表示第k 辆车运输的邮件量，将每辆车运载能力的要求表示为：

1

max(,)65

(12...16)k

n k ki ki i M p q i ==≤∑的值取，

[3] 搜索能覆盖所有网络结点的最少线路

根据以上分析得到了符合邮车运载能力和时限要求的具体线路，在这些线路中仅有部分线路覆盖的支局数目较多，在其中找出经过支局最多的线路，采用“逐步逼近”的思想进行搜索选取线路，当满足条件时停止累加，即每条线路上经过的支局个数累加求达到最大数目16时记录线路条数，从而最终确定最少的线路(即邮车的最少数目)，设k 表示选择的邮车数目，每个邮车经过的支局个数为k R ，将支局个数的限制表示为：

1

16()n

k

k R

n N ==∈∑

注：k 的值取能满足上述条件的最小值，k 的取值范围为116k ≤≤。 7、引入“0—1”决策变量

经过搜索得到所有同时满足时限要求和最大运输量的线路，其线路编号为k ，为了明确表示线路的选择，引入0—1变量k x 表示第k 条路线是否被选择，k 值取1，2…16中的任意一个，属于无序取值。将其表示如下：

1

k x ?=?

?选择第k 条线路否则 8、最少邮车数量下的线路选择

县级邮车一天只有一班车且行驶的线路唯一，根据逐步逼近找到了能覆盖所有网络结点的最少线路，线路的条数即是满足运输需求的最少车辆数。根据搜索出的线路形式即可规划邮路并安排邮车的行驶线路。 9、空车率的求解方法

为提高邮政运输效益，规划邮路和安排邮车的运行中考虑邮车的利用率，定义空车率=(邮车最大承运的邮件量(袋)-邮车运载的邮件量(袋))/邮车最大承运的邮件量(袋)，单车由于空车率而减少的收入为(空车率?2元/公里)。

以下为求解空车率的具体方法：

步骤 1

计算在不同线路

上支局的空车率

步骤 2

将每条线路上的

空车率累加步骤 3

找出3条空车率最小的累加

下表为每个支局寄达、收寄的邮件量及每到一个支局邮车运载数目的改变量，根据其可判断出何处空车率的改变量较大：

邮车到达各支局后的邮件数量ik ik k a b x =+?，ik b 为邮车到各支局的前一支局的邮件数量，x ?为邮车到达各支局后的邮件改变量

设g 表示线路上每相邻两邮局的段距离；??为每到一个支局邮车运载数目的改变量； ig f 表示第i 条线路上第g 段距离的值； ij d 表示第i 条线路上在第j 个

支局处的空车率；可将其表示为：

26565ij ig ik

d f a α??

=???????=-?

5.1.2 模型的建立与求解

模型一：寻找满足运载需求的最少车辆数 1、模型的建立

根据以上分析我们已经得到所有同时满足时限要求和最大运输量的线路，并以使用最少车辆数满足全县邮政运输需求，即使用最少线路覆盖全县邮政网络为目标，限定0—1变量的个数及取值建立0-1线性规划模型：

n

k i k

Min x γ==∑

01

111(30)28..............(1)126max(,)65(12...16).......(2).{0,1}...............................................................(3)116....................k

n

k c

k k c n k ki ki i k x d n n x p q i S t x k ==?+?+?+≤?≤∈≤≤∑∑的值取，

(4)

?

??

?

??

??

? 【符号定义】

γ：满足运输需求的总车辆数； k ：选取总线路的编号

0k n ：第k 辆邮车经过县局的卸装次数； c d ：表示线路中第c 段距离；

k x ：表示第k 条路线是否被选择； ki p ：第k 辆车寄达支局i Z 的邮件量； ki q ：第k 辆车在支局i Z 收寄的邮件量； k n ：第k 辆邮车经过的支局个数；

【模型说明】

目标函数：求解满足运输需求的最少车辆数(即选择总线路的条数)； 约束条件(1)：每辆邮车运输邮件时的行驶路线均满足时限要求；

约束条件(2)：每辆邮车运输邮件时的行驶路线均满足最大运载量的要求； 约束条件(3)：限定0—1变量表示第k 条路线是否被选择； 约束条件(4)：约束邮车数量的上下限； 2、模型的求解

算法步骤：

1:step 使用matlab 元胞数组功能，利用cell 函数创建元胞，并将各支局收寄邮件数量和各支局可到达点的路线信息录入元胞数组中，从而建立关于县局邮政网络信息的数据库。

2:step 调用数据库中相关信息，建立循环体对邮车路线进行准确的搜索，在满足各支局之间可到达的情况下，分别搜索一辆邮车经过6、5和4个支局时的邮路安排，并将所得邮路信息记录在所建数据库中。

3:step 通过使用判断语句，首先在满足邮车运输时间不超过规定时限的条件下，对所得邮路进行筛选，记录下符合条件的邮路并结束判断，其次通过计算各支局

收寄邮件的差值，得到邮车经过该支局时邮件数量的改变量，最后对符合条件的邮路，在满足经过各支局时邮车运载邮件数量均不超过邮车运载上限的条件下，使用判断语句对其再次进行筛选，最终所得结果即为满足题意的邮路并将其录入数据库。

4:step 首先通过建立循环体分别对两辆邮车经过6，5、6，4和5，4个点的情况进行组合，然后通过使用判断语句去除其中含有公共点的线路，将剩余线路再次进行判断记录下能覆盖全县16个支局的线路，通过运行程序可知此时的组合无法覆盖全县。

5:step 其次通过建立循环体分别对三辆邮车经过6，6，4和6，5，5个点的情况进行组合，重复上述步骤，记录下三辆车可覆盖全县的情况，通过运行程序可知此时有解，结束循环体。 求解结果：

最终求解得到能满足运输需求的最少车辆数为3. 模型二：满足运输效益最大化下的邮路安排（重点考虑空车率） 1、建立模型

根据上文的分析以所有邮车由于空车率而减少的收入最少为目标，约束其取值得到以下模型:

316

11

ij i k j Min M d y ===?∑∑

1

65265

.{0,1}1ik ij

ig ig i n

i i a d f f N S t y y =-?=????

∈??∈??=??∑ 模型说明：

g ：表示线路上每相邻两邮局的段距离； M ：所有邮车由于空车率而减少的收入； ij d ：第i 条线路上在第j 个支局处的空车率；

ig f ：第i 条线路上第g 段距离的值；

ik a :邮车到达各支局后的邮件数量;

2、模型求解

不同车辆运达的支局数目各不相同，因此分三种情况进行求解，其中三辆车分别经过6、5和4+1个点的是指第三辆车行驶的线路为混合邮路。

利用matlab 软件搜索求解得3辆邮车的具体路线安排分别为：x1-12-13-1-3-2-5，x1-4-6-9-11-10,x1-14-15-16-8-7，此时因空车率而降低的最少收入为：62.4615元。

三辆车分别经过6、5和4+1个点的情况 减少的收入 X1 13 12 11 10 4 3 X1