运筹学课程设计-一个飞行管理问题

一个飞行管理问题模型2建立
在约10000m高空的某边长160km的正方形区域内,经常有若干架飞机作水平飞行,区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据,以便进行飞行管理.当一架欲进入该区域的飞机到达边界区域边缘时, 记录其数据后,要立即计算并判断是否会与其区域内的飞机发生碰撞.如果会碰撞,则应计算如何调整各架(包括新进入的)飞机飞行的方向角,以避免碰撞.现假设条件如下:
1) 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8km;
2)飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度;
3)所有飞机飞行速度均为每小时为800km;
4)进入该区域的飞机在到达区域边缘时,与区域内飞机的距离应
在60km以上;
5)最多考虑6架飞机;
6)不必考虑飞机离开此区域后的状况;
对以下数据进行计算(方向角误差不超过0.01度),要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小.
飞机编号横坐标纵坐标方向角（度）
1 150 140 243
2 85 85 236
3 150 155 220.5
4 14
5 50 159
5 130 150 230
新进入0 0 52
注: 方向角指飞行方向与x轴正向的夹角
一、分析
在模型1的非线形规划模型是比较困难的，输入之后也很可能无权找不到好的解甚至出现错误，此外，演示软件还会受到求解规模的限制，尤其可能无权使用全局求解程序。

因此，如果能把这个问题简单化成简单的规划模型，将是非常有价值的。

下面就建立模型二。

二、模型的建立 如图1，把两架飞机i,j 分别看成半径为4km 的圆（图中i,j 为圆心），AB ，CD 为公切线，将AB 和CD 的夹角的一半称为碰撞角。

在调整时刻，设第i 架飞机与第j 架飞机的碰撞角为，则易知
其中r ij 为当前这两架飞机连线的长度（距离）。

因为飞机的距离大于8km 就不会相撞，所以如果这两个圆随着时间推移不相交就可以了。

为此，考虑第i 架飞机相对于第j 架飞机的相对速度（矢量，图中记为Vij ）是比较方便的，因为相对速度的大小和方向在飞机飞行中会始终保持不变（除非调整飞行角度）。

社Bij 为调整前的相对速度Vij 与这架飞机连线（从i 指向j 的矢量）的夹角（以连线矢量为基准，逆时针方向为正，顺时针为负），则Bij=-Bji 。

具体来说，应该计算如下：
注意：标准的反正切函数的符号是arctan,返回主值；我们这里使用arctan2表示一个特殊的返回四象限辐角的反正切函数，即arctan2(b,a)返回向量
,
8
sin 1
ij
ij r -=α
（a,b ）的-π到π之间的辐角（或者是返回0到 2π之间也是可以的）。

即使这样，也还能完全满足要求，因为这样的到ij β
图1：第i 架飞机与第j 架飞机的碰撞角
取值位于-2π到2π之间的，还需要将它转换到-π到π之间才行（超过π时就剪去2π，小于-π就加上2π）。

从图中可以看出（注意图中的两条辅助线in//CD 、im//AB ），两架飞机i ，j 不相撞的冲要条件是（实际上不只是在所考虑的区域内不相交，而是永远不相交）
|ij β|≥ij α
如果调整前这个关系式成立，则不需要调整。

否则，仍用i θ∆表示第i 架飞机飞
行方向角的调整量，并记由此引起的ij β的改变量∆ij β。

现在，问题的关键是如何弄清∆ij β如何和
i θ∆变化。

可以证明
下面利用复数的知识证明上式
证明
由题知| i v |=800km=A.设改变前的速度分别为'
i
v = i i e θA ,
'
j i j e θv =A ,改变方向后速度分别为
2
i
v =A ()
i i i e
θθ+∆ ，
2
j
v =A ()
j j i e
θθ+∆
改变前相对速度
ij v ='i v -'j v =A （i i e θ-j
j e θ
）,
改变后相对速度
'
ij v =2
i v -2
i v =A [()i
i
i e θθ+∆- ()j
j
i e θθ+∆]，
'
ij
ij v v =
()
()
[]
[]
j j i i j i
i i i i A e
e
A e e θθθθθθ+∆+∆--
= (
)
2
sin
2sin 2
i j
i i j j
i i j
e
θθθθθθθθ∆+∆+∆--∆-
即'ij v 和ij v 辐角相差2
i j
θθ∆+∆.
因此,可以得到如下的数学规划模型:
.
6,,1,
30,,6,,1,,
)(..216
1
2
=≤∆≠=≥∆+∆+∑=i j i j i t s Min i ij j i ij i i
θαθθβθ
参考文献：
[1] 谢金星薛毅，《优化建模与LINDO_LINGO软件》，北京：清华大学出版社，2005年
[2] 姜启源谢金星叶俊，《数学模型》（第三版），北京：高等教育出版社，2003年
[3] 朱道元，《数学建模案例精选》，北京：科学出版社，2003年。