利用牛顿迭代法求解非线性代数方程组
利用牛顿迭代法求解非线性代数方程组
利用牛顿迭代法求解非线性代数方程组一、 问题描述在实际应用的很多领域中，都涉及到非线性方程组的求解问题。
由于方程的非线性，给我们解题带来一定困难。
牛顿迭代法是求解非线性方程组的有效方法。
下面具体对牛顿迭代法的算法进行讨论，并通过实例理解牛顿迭代法。
二、 算法基本思想牛顿迭代法求解非线性代数方程组的主要思想是将非线性函数线性化。
下面我们具体讨论线性化过程：令：()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000,,2121 n n x x x x x f x f x f x F （3-1） 则非线性方程组（3-2）()()()0,,,0,,,0,,,21212211===n n n n x x x f x x x f x x x f（3-2）可写为向量形式()0=x F （3-3）？()0=x F 成为向量函数。
设()()()()k n k k x x x ,,,21 是方程组（3-2）的一组近似解，把它的左端在()()()()k n k k x x x ,,,21 处用多元函数的泰勒展式展开，然后取线性部分，便得方程组（3-2）得近似方程组()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()0,,,,,,0,,,,,,0,,,,,,1212112122121211211=∆∂∂+=∆∂∂+=∆∂∂+∑∑∑===k j nj k nk k n k nk k n k j nj k nk k k nk k k j nj k nk k k nk k x x x x x f x x x f x x x x x f x x x f x x x x x f x x x f（3-4）这是关于()()()n i x x x k i i k i ,,2,1 =-=∆的线性方程组，如果它的系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂n n n n n n x f x f x f x f x f xf x f x f x f212221212111（3-5） 非奇异，则可解得()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆-nn n n n n n k n k k f f f x f x f x fx f x f x f x f x f x f x x x21121222121211121 （3-6） 矩阵（3-5）称为向量函数()x F 的Jacobi 矩阵，记作()x F '。
Newton迭代法求解非线性方程
Newton迭代法求解非线性方程一、 Newton迭代法概述构造迭代函数的一条重要途径是用近似方程来代替原方程去求根。
因此，如()=x果能将非线性方程f0用线性方程去代替，那么，求近似根问题就很容易解决，而且十分方便。
牛顿(Newton)法就是一种将非线性方程线化的一种方法。
()xx处作一阶Taylor在0的一个近似根，是方程f把如果x展开，=设)xf(kk 即：f(x)?f(x)?f'(x)(x?x) (1-1)kkk于是我们得到如下近似方程：f(x)?f'(x)(x?x)?0 (1-2) kkk设，则方程的解为：0x'()?f k)xf(+k x=x?k?)xf(k(1-3)~x x作为原方程的新近似根取，即令：1k?)xf(k??xx…k=0,1,2, , k?1k)f'(x k(1-4)上式称为牛顿迭代格式。
用牛顿迭代格式求方程的根的方法就称为牛顿迭代法，简称牛顿法。
牛顿法具有明显的几何意义。
方程：)xx)(()xfy?(?f'x?kkk(1-5))),(xxf((1-5)上点迭代格式处的切线方程。
(1-4)是曲线就是用切线式)f(x?y kk的零点来代替曲线的零点。
正因为如此，牛顿法也称为切线法。
牛顿迭代法对单根至少是二阶局部收敛的，而对于重根是一阶局部收敛的。
*x时才能保证收敛。
若的要求较高，初值足够靠近一般来说，牛顿法对初值x0．要保证初值在较大范围内收敛，则需对加一些条件。
如果所加的条件不满足，)(xf 而导致牛顿法不收敛时，则需对牛顿法作一些改时，即可以采用下面的迭代格式：f(x)k?x??x?,,2?0,1k k1k?f'(x),k(1-6)0???1，称为下山因子。
因此，用这种方法求方程的根，也称为牛顿上式中，下山法。
f(x)之外，还要计算牛顿法对单根收敛速度快，但每迭代一次，除需计算k f'(x)f'(x)的工作量就可能比较大。
Newton迭代法求解非线性方程
Newton迭代法求解非线性方程一、 Newton 迭代法概述构造迭代函数的一条重要途径是用近似方程来代替原方程去求根。
因此，如果能将非线性方程f (x )=0用线性方程去代替，那么，求近似根问题就很容易解决，而且十分方便。
牛顿(Newton)法就是一种将非线性方程线化的一种方法。
设k x 是方程f (x )=0的一个近似根，把如果)(x f 在k x 处作一阶Taylor 展开，即：)x x )(x ('f )x (f )x (f k k k -+≈ (1-1)于是我们得到如下近似方程：0)x x )(x ('f )x (f k k k =-+ (1-2)设0)('≠k x f ，则方程的解为：x ̅=x k +f (x k )f (x k )́(1-3)取x ~作为原方程的新近似根1+k x ，即令： )x ('f )x (f x x k k k 1k -=+, k=0,1,2,…(1-4)上式称为牛顿迭代格式。
用牛顿迭代格式求方程的根的方法就称为牛顿迭代法，简称牛顿法。
牛顿法具有明显的几何意义。
方程：)x x )(x ('f )x (f y k k k -+= (1-5)是曲线)x (f y =上点))x (f ,x (k k 处的切线方程。
迭代格式(1-4)就是用切线式(1-5)的零点来代替曲线的零点。
正因为如此，牛顿法也称为切线法。
牛顿迭代法对单根至少是二阶局部收敛的，而对于重根是一阶局部收敛的。
一般来说，牛顿法对初值0x 的要求较高，初值足够靠近*x 时才能保证收敛。
若要保证初值在较大范围内收敛，则需对)x (f 加一些条件。
如果所加的条件不满足，而导致牛顿法不收敛时，则需对牛顿法作一些改时，即可以采用下面的迭代格式：)x ('f )x (f x x k k k 1k λ-=+,⋯=,2,1,0k (1-6)上式中，10<λ<，称为下山因子。
非线性方程组求根的牛顿迭代法
二元非线性方程组求根的牛顿迭代法摘要:本文根据一元函数的Taybr 公式和求解一元非线性方程的牛顿迭代法之间的关系,利用多元函数的Taybr 公式推导出了二元非线性方程组的牛顿迭代法;在此基础上,通过MA TLAB 仿真计算一个方程组的根来说明该方法是可行的。
关键词:牛顿迭代法;一元函数;二元函数; Taybr 公式; Matlab 0 引言非线性方程()0f x =的数值解法有逐步搜索法、区间二分法、迭代法、牛顿迭代法等, 那么, 对于对于非线性方程组(,)0(,)0f x y g x y =⎧⎨=⎩,其牛顿迭代法的迭代方程是什么? 本文根据一元函数的Taybr 公式和一元非线性方程牛顿迭代法之间的关系,利用多元函数的Taybr 公式推导出了二元非线性方程组的牛顿迭代法,在此基础上利用推导出的二元非线性方程组求根的牛顿迭代法通过matlab 仿真计算出一个方程组的根,检验了所得方法的有效性。
1 基本定理、结论定理1 (一元函数的Taybr 公式)如果函数()f x 在含有0x 的某个开区间(,)a b 内具有直(1)n +阶的导数,则对任一(,)x a b ∈ ,有()20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+其中()n R x = ()(1)10()()1!n n f x x n ξ++-+,这里ξ是0x 与x 之间的某个值。
定理2 (二元函数的Taybr 公式)设(,)z f x y =在点00(,)x y 的某一邻域内连续且有直到(1)n +阶的连续偏导数,00(,)x k y k ++为此邻域内任一点,则有2000000001(,)(,)(,)(,)...2!f x k y k f x y h k f x y h k f x y x y x y αααααααα⎛⎫⎛⎫++=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1000011(,)(,)!(1)!n n h k f x y h k f x k y k n x y n x y ααααθθαααα+⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,(01)θ<<. 其中00(,)mh k f x y x y αααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭表示00(,)0m mp p m pm x y p m p p f C h k x y --=∂∂∂∑定理3:一元非线性方程求根的牛顿牛顿法设已知方程f ( x) = 0有近似根k x (假定f ′(k x ) ≠0,将函数f ( x)在点kx 处展开,有f ( x)≈ f (k x ) + f ′(k x ) ( x -k x ) ,于是方程f ( x) = 0可近似的表示为f (k x ) + f ′(k x ) ( x -k x ) = 0这是个线性方程,记其根为k x + 1 ,则k x + 1的计算 公式为1()()k k k k f x x x f x +=-'( k = 0, 1, …) 2 二元函数的牛顿迭代法设z = f ( x, y)在点00(,)x y 的某一邻域内连续且有直到2阶的连续偏导数,00(,)x h y k ++为此邻域内任一点,则有000000(,)(,)(,)(,)x x y y f x h y k f x y h f x y kf x y xy==⎛⎫∂∂++≈++ ⎪∂∂⎝⎭于是方程f ( x, y) = 0可近似的表示为(,)(,)(,)0k kk k x x y y f x y h f x y kf x y x y==⎛⎫∂∂++= ⎪∂∂⎝⎭即(,)()(,)()(,)0k k k k k k k k k k f x y x x f x y y y f x y +-+-=同理设z = g ( x, y )在点00(,)x y 的某一邻域内连续且有直到2阶的连续偏导数, 00(,)x h y k ++为此邻域内任一点,则同样有000000(,)(,)(,)(,)x x y y g x h y k g x y h g x y kg x y xy==⎛⎫∂∂++≈++ ⎪∂∂⎝⎭其中00,h x x k y y =-=-于是方程g ( x, y) = 0可近似的表示为,()(,)(,)0k kk k x x y y g x y h g x y kg x y xx==⎛∂∂⎫++= ⎪∂∂⎝⎭即()(,)(),()(,)0k k k x k k k y k k g x y x x g x y y y g x y +-+-=于是得到方程组,,,,,,()()()()()0()()()()()0k k k y k k k y k k k kk y k k k y k k f x y x x f x y y y f x y g x y x x g x y y y g x y +-+-=⎧⎪⎨+-+-=⎪⎩ 求解这个方程组:当,,,,()()()()0x k k y k k x k k x k k g x y f x y f x y g x y +-≠时 x =,,,,,,,,()()()()+()()()()k k y k k k k y k k k x k k y k k x k k y k k f x y g x y g x y f x y x g x y f x y f x y g x y +-+-y =,,,,,,,,()()()()+()()()()k k x k k k k x k k k x k k y k k x k k y k k g x y f x y f x y g x y y g x y f x y f x y g x y +-+-从而:,,,,,,,,,,,,,,,,()()()()+()()()()()()()()+()()()()k k y k k k k y k k k x k k y k k x k k y k k k k x k k k k x k k kx k k y k k x k k y k k f x y g x y g x y f x y x x g x y f x y f x y g x y g x y f x y f x y g x y y y g x y f x y f x y g x y +-⎧=⎪+-⎪⎨+-⎪=⎪+-⎩记符号,(),,,,()()()()k k x x x y k k x k k k k x k k gf fg g x y f x y f x y g x y -=- ,(),,,,()()()()k k y y x y k k y k k k k y k k fg gf f x y g x y g x y f x y -=- ,(),,,,()()()()k k x y x yx y x k k y k k x k k y k k g f f g g x y f x y f x y g x y -=-又可改写为,,,,()()()()k k k k k k k k y y x y k x y x y x y x x x y k x y x y x y fg gf x x g f f g fg gf y y g f f g ⎧-⎪=+⎪-⎪⎨-⎪=+⎪-⎪⎩迭代公式为:,,,,()1()()1()k k k k k k k k y y x y k k x y x y x y x x x y k k x y x y x y fg gf x x g f f g fg gf y y g f f g ++⎧-⎪=+⎪-⎪⎨-⎪=+⎪-⎪⎩通过迭代公式可迭代出当k = 1, 2, …时,,()k k x y 的值,当1,1()(0k k x y δδ++≤>为给定的误差控制项)时, 原方程组的根即为,()k k x y 。
数值分析8牛顿迭代法解非线性方程组
) (x x
) (x x
(0)
)
f1 x
f2 x
(y y
(y y
(0)
)
f1 y
f2 y
0
0
f2( x
(0)
,y
(0)
(0)
)
(0)
)
G X
f1 x G f 2 x f1 y f 2 y
u 11 u 12 u 22
1 m 21 A m n1
1 m n ,n 1
1
u 11
u 12 u 22
u1 n u n 1,n u nn
1
d2
dn
1
l 21 1
l n1 ln2 1
a1n a 2n a nn
d2 ln2d 2
dn
l 21 1
yj x 0
2
j
( j = 1,2,··· ) ··,n ··
2
三对角方程组
2 h2 1 1 2h
2
y j1 ( 2 h ) y j y j1 x j h
1 2 2h y1 x1 y2 x2 h 2 y n1 x n1 y x n n
a kk a nk
工作量: n(n – 1)(n + 4)/3
12/18
例 . LDLT分解
1 A 2 1
解非线性方程组的牛顿迭代法
3 x3 1.425497619 1.414213562 1.414213562
19
计算三步，方法（2）及（3）均达到10位有效数字， 而用牛顿法只有线性收敛，要达到同样精度需迭代30次.
20
7.5 弦截法与抛物线法
用牛顿法求方程（1.1）的根，每步除计算 f (xk ) 外 还要算 f (xk )，当函数 f (x)比较复杂时，计算 f (x) 往 往较困难，为此可以利用已求函数值 f (xk ), f (xk1), 来回避导数值 f (xk ) 的计算.
的导数为
(x) x f (x)
f (x)
(x*) 1 1 0
m
且 (x*) 1，所以牛顿法求重根只是线性收敛. 若取
16
(x) x m f (x) ,
f (x)
则 (x*) 0
. 用迭代法
xk 1
xk
m
f ( xk ) f (xk )
(k 0,1,)
7.5.1 弦截法
设 xk , xk 1是 f (x) 0的近似根，利用 f (xk ), f (xk1) 构造一次插值多项式 p1(x)，并用 p1(x) 0的根作为新的 近似根 xk 1 . 由于
p1(x)
f (xk )
f
( xk ) xk
f xk 1
xk 1
10
在（4.7）中取C 1 ，则称为简化牛顿法，这
f ( x0 )
类方法计算量省，但只有线性收敛，其几何意义是用平行 弦与 x轴交点作为 x *的近似. 如图7-4所示.
图7-4
11
（2） 牛顿下山法.
牛顿法收敛性依赖初值 x0的选取. 如果x0 偏离所求根 x *较远，则牛顿法可能发散.
Newton迭代法求解非线性方程
Newton迭代法求解非线性方程Newton迭代法求解非线性方程一、 Newton 迭代法概述构造迭代函数的一条重要途径是用近似方程来代替原方程去求根。
因此，如果能将非线性方程f (x )=0用线性方程去代替，那么，求近似根问题就很容易解决，而且十分方便。
牛顿(Newton)法就是一种将非线性方程线化的一种方法。
设k x 是方程f (x )=0的一个近似根，把如果)(x f 在k x 处作一阶Taylor 展开，即：)x x )(x ('f )x (f )x (f k k k -+≈ (1-1)于是我们得到如下近似方程：0)x x )(x ('f )x (f k k k =-+ (1-2)设0)('≠k x f ，则方程的解为：x ?=x k +f (x k )f (x k )?(1-3)取x ~作为原方程的新近似根1+k x ，即令： )x ('f )x (f x x k k k 1k -=+, k=0,1,2,…(1-4)上式称为牛顿迭代格式。
用牛顿迭代格式求方程的根的方法就称为牛顿迭代法，简称牛顿法。
牛顿法具有明显的几何意义。
方程：)x x )(x ('f )x (f y k k k -+= (1-5)是曲线)x (f y =上点))x (f ,x (k k 处的切线方程。
迭代格式(1-4)就是用切线式(1-5)的零点来代替曲线的零点。
正因为如此，牛顿法也称为切线法。
牛顿迭代法对单根至少是二阶局部收敛的，而对于重根是一阶局部收敛的。
一般来说，牛顿法对初值0x 的要求较高，初值足够靠近*x时才能保证收敛。
若要保证初值在较大范围内收敛，则需对)x (f 加一些条件。
如果所加的条件不满足，而导致牛顿法不收敛时，则需对牛顿法作一些改时，即可以采用下面的迭代格式：)x ('f )x (f x x k k k 1k λ-=+,=,2,1,0k (1-6)上式中，10<λ<，称为下山因子。
解非线性方程组的牛顿法
考虑非线性方程组
f1(x1, x2, , xn ) 0,
f2(x1, x2, , xn ) 0,
fn (x1, x2, , xn ) 0. 利用向量记号写为
F (X ) O. 这里F (X )是定义在某区域D Rn上向量值函数. 若存在 X* D, 使得F (X*) O, 则称X*为非线性方程组的解.
.
逐次迭代得结果.
Step 5 Set x x y
Step 6 If y TOL then OUTPUT(x)
Step7 Set k k 1
STOP.
Step8 OUTPUT (‘Maximum number of iterations exceeded’) STOP.
为了说明上述算法，我们可以看看下面的例子。设
s1
145 272
，
145 272
T
.
x2 x1 s1 0.092，3.092 T .
显然，我们只经过两步计算，所得到的 x2就已经非常靠近 解 0，3T .
例1 用牛顿法求解方程组
k x (k) 0 (1.5, 1.0)T
f1( f2(
x1 x1
,x2 ,x2
) )
x1 2 x12
定理 2 设G : D Rn Rn在D内有一不动点X *且G在X *可导,
(G(X*)) 1, 则存在开球 S S( X*, ) D, 对X (0) S, 迭代序列{X (k)}
收敛于X *.
牛顿迭代公式：
X (k1) X (k) F( X (k) ) 1 F ( X (k) ),
其中
f1
F
(
X
(k
)
)
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利用牛顿迭代法求解非线性代数方程组
一、 问题描述
在实际应用的很多领域中，都涉及到非线性方程组的求解问题。
由于方程的非线性，给我们解题带来一定困难。
牛顿迭代法是求解非线性方程组的有效方法。
下面具体对牛顿迭代法的算法进行讨论，并通过实例理解牛顿迭代法。
二、 算法基本思想
牛顿迭代法求解非线性代数方程组的主要思想是将非线性函数线性化。
下面我们具体讨论线性化过程：
令：
()()()()⎥⎥
⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000,,2121 n n x x x x x f x f x f x F （3-1） 则非线性方程组（3-2）
()()()0
,,,0
,,,0,,,21212211===n n n n x x x f x x x f x x x f
（3-2）
可写为向量形式
()0=x F （3-3）
？
()0=x F 成为向量函数。
设()()()
()k n k k x x x ,,,2
1 是方程组（3-2）的一组近似解，把它的左端在()()()
()k n k k x x x ,,,2
1 处用多元函数的泰勒展式展开，然后取线性部分，便得方程组（3-2）得近似方程组
()()()
(
)
()()()
()
()()()()
(
)()()()
()
()()()
()
(
)
()()()
()
()0
,,,,,,0
,,,,,,0
,,,,,,1
21211
2122121
211211=∆∂∂+=∆∂∂+=∆∂∂+∑∑∑===k j n
j k n
k k n k n
k k n k j n
j k n
k k k n
k k k j n
j k n
k k k n
k k x x x x x f x x x f x x x x x f x x x f x x x x x f x x x f
（3-4）
这是关于()()()n i x x x k i i k i ,,2,1 =-=∆的线性方程组，如果它的系数矩阵
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂n n n n n n x f x f x f x f x f x
f x f x f x f
2
1
2221
2121
11
（3-5） 非奇异，则可解得
()
()()⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆-n
n n n n n n k n k k f f f x f x f x f
x f x f x f x f x f x f x x x
21
1
2
1
2221
2121
11
21 （3-6） 矩阵（3-5）称为向量函数()x F 的Jacobi 矩阵，记作()x F '。
又记
()()()()n i x x x k i k i k i ,,2,11 =∆-=∆+ （3-7）
则式（3-6）可写为
%
()
()
()()()k
k k x F x
F x 1
'
--=∆ （3-8）
或
()
()
()
()()()k
k k k x F x
F x x
1
'
1-+-= （3-9）
称式（3-9）为求解非线性方程组（3-2）的牛顿迭代法，而线性方程组（3-4）称为牛顿方程组。
三、 算法描述
（1） 在真实根x 附近选取一个近似根x 1； （2） 通过x 1求出f(x 1)。
（3）过f(x 1)作f(x)的切线，交x 轴于x 2。
假设x 1 ，x 2 很接近，可
以用公式求出x 2。
由于2111')()(x x x f x f -= 故)
()
(1'112x f x f x x -=
（4）通过x 2求出f(x 2)；
（5）再过f(x 2)作f(x)的切线交x 轴于x 3；
（6）再通过x 3求出f(x 3)，…一直求下去，直到接近真正的根。
当两
次求出的根之差|x n+1-xn|≤ε就认为 x n+1足够接近于真实根。
-
牛顿迭代公式是： )
()
('
1n n n n x f x f x x -
=+
程序流程图：
运行NT 程序 → 求非线性方程组的雅克比矩阵 → 代入牛顿迭代公式 → 输出解 四、 举例
例：是用牛顿迭代法求解下列方程组：
⎪⎩⎪⎨⎧=--=--0
40
1223
212231x x x x x (4-1) 初始值为)5.1,6.1(),()
0(2
)0(1=x x 。
运行Newton 程序得：
⎪⎩⎪⎨⎧==6593.12366.1)
2(2)2(1x x ⎪⎩⎪⎨⎧==6615.12343.1)3(2)3(1x x ⎪⎩⎪⎨⎧==6615
.12343
.1)4(2)
4(1x x 所以取迭代次数为3，且可取（，）为非线性方程组（4-1）的近似解。
五、心得体会：
通过学习，我们认识到牛顿迭代法是求解非线性代数方程组的一种简单而有效的方法。
我们通过将非线性代数方程组的系数矩阵求导来使方程组线性化，从而求得方程组的近似解。
牛顿迭代法的优点是收敛速度快，但每次都要求导，求逆，计算量大。
在这段学习的过程中，感谢王老师给予我们耐心而清晰的讲解，使我们掌握了一些数值分析的基本方法，学有收获。
我感到这些数学方法在我们今后的实际工作和学习中有非常重要的作用。
因此，再次感谢老师给予的帮助！。