极限思想在小学数学教材中的渗透
例谈极限思想在小学数学教学中的渗透
例谈极限思想在小学数学教学中的渗透摘要：极限思想是近代数学中一种重要的思想，是以后学习数学分析的理论基础。
将结合小学数学这一特定教育阶段，以几个有代表性的特例，论述极限思想在小学数学教学中的渗透。
关键词：极限思想；小学数学；无限逼近；无限递减；化曲为直在《义务教育数学课程标准（2022年版）》课程目标中的“总目标”明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。
”从“双基”到“四基”的变化上可以看出，课程标准重视在数学教学中渗透数学的基本思想，重视数学思想对学生思维发展的作用。
纵观小学教材，极限思想蕴含在小学数学诸多知识领域中。
如何在小学生的头脑中播下极限思想的“种子”，让其“生根”“发芽”，为以后成长为枝繁叶茂数学分析的“参天大树”打下坚实的基础呢？本文将立足于小学数学这一特定的教育阶段，针对“极限思想”在小学数学教学中几个特例进行初步探索，为教师的教学设计提供参考。
学生在学习了循环小数后的数学活动课上，我出示了这样一道题。
下面有两组数，请大家比较大小：讨论交流：①减数0.99…的小数点后面有多少个9？②你认为差的小数点后面的0有多少个？③差的最后一位会出现1吗？生1：减数0.99…的末尾有无数多个9，差的小数点后面有无数多个0，差的最后一位可能不会出现1。
生2：差的最后一位一定不会出现1，因为一直减下去，有无限多个0，永远也不会出现0。
生3：我感觉0.99…无限接近1。
通过上面的教学，改变了学生总以为在那遥远的地方一定还有一个9的思维定式吧。
其实，既然是无限，哪有末尾。
正如“时间无所谓始终”“宇宙无边无际”一样。
学生在思考解决问题的过程中，初步体会了“无限逼近”的含义，基本上知道0.99…无限接近1，最后就真的等于1的本质。
二、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”真的取不完吗在北师大版义务教育教科书五年级《数学》（下）中有以下两个数学情境：第一个情境是用图形直观地帮助学生理解分数单位乘分数单位的意义，即单位量与单位数都是分数单位，表示一个分数单位的几分之一，分数单位与分数单位的积仍然是一个分数。
极限思想在小学数学教材中的渗透(2021年小学数学北师大版)
极限思想在小学数学教材中的渗透极限思想是一种重要的数学思想，在小学数学教材中十分常见。
所谓极限思想是用联系变动的观点，把所考察的对象看作是某个对象在无限变化过程中变化结果的思想。
它体现了“从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并且使之确定起来”的一种运动辩证思想。
下面是极限思想在小学数学教材中的安排：一、极限思想在数与代数中的渗透（一）数的认识中的蕴含的极限思想《数学》三年级下册P2。
教材以学生最为熟知的买文具的生活情境进行导入，以呈现商品价格来引出小数。
“像3.50,1.06,16.85……这样的数，都是小数。
”通过用省略号来表示余下的小数，由此可以知道，小数的个数有无数个。
小数可以越来越大，也可以越来越小，小数是数不完的。
在教学中可以从“数量”上突出“无限多”，渗透极限的数学思想。
《数学》三年级下册P4。
小数有无限多个与其等值的小数。
例如：与0.5相同的小数有无限多个。
因此，在比较两个小数的大小时，可以转化成与原小数等值的小数进行比较。
《数学》三年级下册P54。
分数的个数是无限多的。
教材以分苹果，分割圆片为例，引出分数的表示方法。
把一张纸等分为四份，其中一份用表示，其中的两份用表示……随着份数的逐渐增加，则可用于表示的分数也增加。
如果将物体一直分下去，那么这是一个“无限”的过程。
在这个无限“分”的过程中产生的分数越来越多，直至无限多个。
因此，分数的个数是无限多的。
分数可以无穷大，也可以无穷小。
这里蕴含着极限的数学思想，教学时可以适时让学生体会分数的个数有无数个。
《数学》四年级上册P4。
数可以越来越大，没有尽头。
教材以数位表的形式展示数的无限多。
数级从个级开始，往左逐次增大，没有尽头；数位从个位开始，往左依次增大，没有尽头；计数单位从个位开始，同样往左依次增大，没有尽头。
无论是数级、数位还是计数单位，它们都是依次增大，没有尽头，数可以无限大、是无限多的。
《数学》四年级上册P89。
正数与负数有无数个，是数不完的。
例谈极限思想在小学数学教学中的渗透
第一个情境是用图形直观地 帮助学生理解分数单位乘分数单
位 的意义 ， 即单位量 与单位数都是分数单位 ， 表示一个分数单位 的
分数单位 与分数单位的积仍 然是一个分数 。 第 二个情境 生２ ： 我们 比较数 的大 小时候 ， 都 是从 高位 向低位 比起 ， ｏ ． ９ 的 几分之一 ， 主要 向学生渗透极限思想。怎样 帮助学生感悟 出木棒所剩部分 的 整数部分小于 １ ， 所以 ０ ． 比１ 小。 长 度会 趋向于 ０ ， 体会到初步 的极限思想 ， 而且 受到一定 的传统文 师： 你们说 的似乎都有一定的道理 ， 我们 比较两数的大小还可
标” 明确指 出： “ 通过义务教育阶段 的数学学 习， 学生能获得适应社
会生活和进一步发展所必需 的数学的基础知识 、 基本技能 、 基本思
想、 基本 活动 经 验 。 ” 从“ 双基 ” 到“ 四基 ” 的变 化 上 可 以看 出 ， 课 程 标
准重视在数学教学中渗透数学 的基本思想 ，重视数学思想对学生
在小学数学教学 中几个特例进行初步探索 ，为教师 的教学设计提 中 ， 初步体会 了“ 无限逼 近” 的含 义 ， 基 本上 知道 ０ ． ９ ９ …无 限接 近 供参考 。 １ ， 最后就真的等于 １的本质 。
一
、
０ ． 真的等于 １ 吗
二、 “ 一 尺 之棰 ， 日取 其 半 。 万世不竭” 真 的 取 不 完 吗
思 维 发 展 的作 用 。
纵观小学教材 ， 极 限思想蕴含在小学数学诸多知识领域 中。 如 何在小学生的头脑 中播 下极 限思想 的“ 种 子” ， 让其 “ 生根” “ 发芽 ” ，
也就是 ０ ． ９ ＝ １
通过上面 的教学 ，改变了学 生总以为在那遥远 的地方一定还 为 以后 成 长 为 枝 繁 叶 茂 数 学 分析 的 “ 参 天 大 树 ”打 下 坚 实 的基 础 有 一个 ９的思 维 定 式 吧 。 其实 ， 既然 是 无 限 ， 哪有 末 尾 。 正如“ 时 间 呢？ 本 文将立足 于小学数学这一特定的教 育阶段 ， 针对“ 极限思想” 无所谓始终 ” “ 宇宙无边无际”一样。学生在思考解决 问题 的过程
浅谈极限思想在小学数学教学中的渗透
浅谈极限思想在小学数学教学中的渗透打开文本图片集【摘要】随着社会的发展人们的教育观念逐渐发生变化，素质教育逐渐取代应试教育。
为了培养综合型人才，素质教育在我国已开展多年，既取得一些成绩，也有很多问题有待解决，数学作为基础课程，一直是素质教育的重点内容，为了提高教学效率很多教学新理念、新方法逐渐应用到小学数学教学之中，极限思想是现代数学教育的主要思想，本文以素质教育为出发点，对极限思想在小学数学教学的渗透进行深入分析。
【关键词】极限思想；小学数学；教育；渗透近年来，我国加强了教育基础设施的建设，教学内容和教学方式也逐渐丰富。
此外，在教材的编写方面，也始终坚持着与时俱进的发展模式，几乎每隔几年都会对教材内容进行相应的更新，这样保证了教材更加贴近了学生的生活，发黄的传统教材已经不适合再用来教育现代的青年学生。
面对新的教学内容、新的教学设施、新的学生，教学方式的改变势在必行。
“照本学科”式的教育方式已经被时代淘汰，采用具有科学性的教学方式，成为每个学校教育研究内容的核心。
在素质教育兴起的背景下，很多教师逐渐将极限思想融入到数学教育之中。
一、极限思想的概念及其发展1.概念极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论（包括级数）为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
如果要问：“数学分析是一门什么学科？”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。
2.发展极限思想来即源于社会实践又作用于社会实践，自古以来我国对数学教学都非常重视，刘徽是我国三国时期著名数学家，在对圆面积求证的过程中，刘徽割圆术，这是极限思想在数学应用中的雏形。
极限思想在小学数学教学中的渗透
日本著名数学教育家米山国藏指出：“学生所学的数学知识，在进入社会后几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在走出校门后不到一两年就忘掉了。
然而不管他们从事什么工作，惟有深深铭刻于头脑中的数学思想和方法等随时地发生作用，使他们受益终身。
”小学是学生学习数学知识的启蒙时期，这一阶段注意给学生渗透基本的数学思想便显得尤为重要。
极限思想是一种重要的数学思想，灵活地借助极限思想，可以将某些数学问题化难为易，避免一些复杂运算，探索出解题方向或转化途径。
那么，在小学数学教学中如何去挖掘并适时地加以渗透呢？以下根据自身的数学教学实践谈谈自己的粗浅见解。
一、在数学公式推导过程中渗透极限思想片段一：在教学“圆面积公式的推导”一课时，我是这样设计的。
师：（课件出示一个圆）要知道这个圆的面积，怎么办？生1：可以把它转化为我们学过的图形。
师：怎么转化？生2：把圆平均分。
（大屏幕上演示把圆平均分成了2份，把两个半圆使劲的拼，结果还是一个圆。
）师：转化不成已经学过的图形，怎么回事？生2：平均分的分数不够多。
师：是这样吗？那我们分得多一些，请大家仔细观察。
（演示把一个圆分割为完全相同的小扇形，并试图拼成长方形。
从平均分成4个、8个到16个。
）师：你们发现什么吗？同桌轻轻交流一下。
生3：16个拼起来，比较像长方形。
生4：分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。
师：你们都同意他的看法吗？（学生表示同意）那我们再来分一分这个圆。
（课件演示把圆平均分成32个、64个……完全相同的小扇形。
）师：大家仔细看一看，想一想，如果一直这样分下去，拼下去会怎样？生5：拼成的图形就真的变成了长方形，因为边越来越直了。
师：拼成的长方形与原来的这个圆究竟有怎样的关系啊？……片段二：在教学圆柱体积公式的推导这一内容时，我作过这么一次尝试。
师：如何知道一个圆柱体的体积？生1：以前学习的柱体都是用“底面积×高”来求积的，这次也应该是吧？师：那你们就先借助手中的学具操作一下，看能不能有什么发现？（学生动手操作，小组交流。
小学数学教学中数学思想方法的渗透
小学数学教学中数学思想方法的渗透在小学数学教学中，数学思想方法的渗透是非常重要的。
数学思想方法是数学学习的灵魂，掌握数学思想方法可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，提高数学素养和解决问题的能力。
一、符号化思想的渗透数学符号是数学语言的基础，掌握符号化思想有助于学生理解数学概念和数学运算。
在小学数学教学中，教师可以通过引入数学符号，让学生逐渐熟悉并理解符号的含义和用法。
例如，在教学加法时，可以引入“+”符号，让学生理解加法的含义和运算方法。
二、极限思想的渗透极限思想是数学中的一个重要概念，它涉及到数的无限逼近和变化趋势。
在小学数学教学中，教师可以通过一些具体的例子，让学生初步感受极限思想。
例如，在教学圆的面积时，可以通过无限逼近的方法，让学生理解圆的面积是如何计算出来的。
三、集合思想的渗透集合思想是数学中的一个基本概念，它涉及到对一组对象的整体研究和分类。
在小学数学教学中，教师可以通过一些具体的例子，让学生理解集合的概念和运算方法。
例如，在教学分类时，可以引入集合的概念，让学生将不同的事物进行分类和归纳。
四、转化思想的渗透转化思想是将一个问题转化为另一个相对简单的问题进行解决的思想方法。
在小学数学教学中，教师可以通过一些具体的例子，让学生理解转化思想的应用。
例如，在教学乘法分配律时，可以通过将复杂的乘法运算转化为简单的加法运算，让学生更好地理解乘法分配律的含义和应用。
五、数形结合思想的渗透数形结合思想是将数学问题与几何图形相结合的思想方法。
在小学数学教学中，教师可以通过一些具体的例子，让学生理解数形结合思想的应用。
例如，在教学分数时，可以通过画图的方式让学生更好地理解分数的概念和运算方法。
为了在小学数学教学中更好地渗透数学思想方法，教师可以采取以下措施：1.深入挖掘教材中的数学思想方法，将其融入教学中；2.在教学过程中注重启发学生的思维能力，引导学生主动探究和思考；3.通过多种教学方式和手段，如举例、演示、实验等，帮助学生理解和掌握数学思想方法；4.鼓励学生在实际生活中应用数学思想方法，提高他们的数学素养和解决问题的能力。
初探极限思想在小学数学教学中的渗透策略——以人教版六年级上册“数与形”为例
课程篇初探极限思想在小学数学教学中的渗透策略———以人教版六年级上册“数与形”为例易常朝（广东省广州市天河区天英小学，广东广州）数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。
多数专家认为数学思想是对数学知识的本质认识、理性认识。
参与《义务教育数学课程标准（2011年版）》撰写及《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读的专家学者认为，数学思想是有层次的，较高层次的基本思想有三个：抽象思想、推理思想、模型思想。
极限思想是属于推理思想中较低层次的一种数学思想。
在小学阶段所能渗透的数学思想方法中，极限思想是最为抽象、最难被理解与接受的一种数学思想，也容易被老师忽略。
本文以“数与形”（例2）的教学为例，谈谈在小学阶段渗透极限思想的一些愚见。
一、极限思想的概念及其重要性极限是用以描述变量在一定的变化过程中的终极的概念。
极限的思想方法为建立微积分学提供了严格的理论基础，为数学的发展提供了有力的思想武器。
极限可分为数列极限和函数极限。
极限概念是非常抽象的，在小学数学教学中不曾涉及。
作为专业的数学教师，要对其概念把控于心，细心琢磨，把这些抽象的概念转化成数学思想，循序渐进地渗透给小学生，绝不可以忽视它。
“数学广角”是人教版教材独有的内容。
人教版教材安排“数学广角”的主要目的是向学生渗透数学思想及方法。
教材根据学生的年龄特点从二年级开始每一册都安排了“数学广角”的内容。
由王永春（2014）的研究可以看出，极限思想在“数学广角”中编排的例题只有一个，但不代表渗透极限思想的机会只有一次。
极限思想在小学阶段渗透的机会不多，笔者梳理了人教版小学数学12册教材，发现可以渗透极限思想的内容如下表所列。
数的认识图形的测量数学广角其他循环小数圆的周长圆的面积圆柱的体积“数与形”例2六上15页“你知道吗”“农夫分牛”的故事从上表可以看出，人教版教材针对数学思想方法专门编排了教学内容，但数学思想方法的渗透又不局限于“数学广角”这一类教学内容，需要教师在平时的教学中发掘与提炼。
极限思想在小学数学教学中的渗透
极限思想在小学数学教学中的渗透小学数学教学是非常重要的一部分，极限思想的渗透能够在这一过程中发挥重要作用。
极限思想是数学与物理之间最根本的联系，强调有限的无限接近，以及一些不可避免的不定性。
在小学数学教学中，极限思想可以帮助学生们更好地理解数学概念，帮助他们更好地掌握数学学习。
极限思想可以在小学数学教学中充分体现，如简单运算、函数求值等。
例如，在求和公式中，学生可以通过极限思想来推导出无限紧近的构想。
学生们可以通过极限思想的帮助来更加精确地表达自己的想法，而不只是停留在简单的运算上。
同时，通过这种理解，学生也能够更好地理解其他概念，如微积分等。
此外，极限思想在小学数学教学中还有另外一个重要的用处。
该思想不仅可以帮助学生们更好地理解数学问题，而且还可以帮助他们思考更广泛的问题。
在日常数学教学中，极限思想可以帮助孩子们充分发挥他们的思维活动，激发他们迥异的想法，丰富他们自身的想象空间。
总之，极限思想在小学数学教学中的渗透具有重要意义。
通过极限思想的运用，可以帮助小学生们更好地理解数学概念，更加深入地发挥他们的思维能力，丰富他们的自身想象空间，从而让他们更好地参与数学学习。
此外，极限思想还可以帮助小学生更好地理解算法，有效地控制无限进行数学分析。
他们可以通过极限思想来找出最优解，以克服复杂问题的难度。
同时，极限思想也可以帮助小学生更好地理解实际应用中的问题，包括抽象的数学模型、分析数据的有效技巧等。
另外，极限思想也可以帮助小学生更加有效地处理一些日常问题。
例如，孩子们可以通过极限思想来寻找出更有效的求解方法，从而更快地完成学业。
当然，孩子们也可以通过极限思想来推断出一系列的行为决策，例如如何处理每一个步骤，以及如何在不同的情况下行为等。
总之，极限思想在小学数学教学中极大地提高了学生的能力，并且可以帮助他们更好地处理问题。
对孩子们来说，极限思想在小学阶段就具有重要的意义，而小学数学教学是最重要的一环，极限思想的渗透可以为他们将来的学习和实践奠定基础。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
极限思想在小学数学教材中的渗透教育科学学院小学教育专业100401056 赵倩指导教师苏明强副教授【摘要】数学教学既要教授知识技能，也要重视学生对数学思想的感悟。
极限思想作为小学数学常见的数学思想之一，蕴含在小学数学的诸多知识领域中。
本文将立足于小学这一教育阶段，以北师大版小学数学教材为例，针对“极限思想”在教材中的渗透进行初步探索，挖掘教材中所蕴含的极限思想，为教师进行教材分析，设计教学方案提供参考。
【关键词】极限思想；小学数学；教材；北师大版在《义务教育数学课程标准（2011年版）》课程目标中的“总目标”明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。
”[1]其中新增的“基本思想”则对应三维目标中的“过程与方法”，注重在学生学习数学知识的过程中体会数学思想。
从这一变化上可以看出，课程标准重视在数学教学中渗透数学的基本思想，重视数学思想对学生思维发展的作用。
极限思想是一种重要的数学思想，在小学数学教材中十分常见。
所谓极限思想是用联系变动的观点，把所考察的对象看作是某个对象在无限变化过程中变化结果的思想。
它体现了“从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并且使之确定起来”的一种运动辩证思想。
[2]极限思想蕴含在小学数学诸多知识领域中。
基于此，本文将立足于小学这一特定的教育阶段，针对“极限思想”在小学数学教材中的渗透进行初步探索，挖掘不同教学内容中所蕴含的极限思想，为教师的教学设计提供参考。
一、极限思想在数与代数中的渗透（一）数的认识中的蕴含的极限思想表1-1：北师大版小学数学“数的认识”教学内容中蕴含极限思想统计表册别教学内容页码教材片段蕴含的极限思想三年级（下册）[3]●小数的认识 2●小数的个数有无数个●比较小数的大小4●小数有无限多个与其等值的小数●分数的初步认识54●有无数个分数四年级（上册）[4]●认识更大的数4●数可以越来越大，没有尽头●正负数89●正数、负数的个数有无数个四年级（下册）[5]●小数的意义5●数位顺序表中，整数部分和小数部分的数位以小数点为分界线向左右两端无限增加●认识循环小数69●小数部分的位数有无数个五年级（上册）[6]●自然数、整数、倍数2●有无限多个自然数、整数，一个数的倍数有无数个五年级（上册）●2、5、3的倍数的特征4●2、5、3的倍数是无限的● 奇数和偶数5● 有无数个奇、偶数● 真分数、假分数、带分数38● 有无限多个假分数、带分数、真分数● 公倍数51● 两个、两个以上的数的公倍数的个数有无数个● 分数与小数相互转化71● 分数有无数个与其等值的分数；因此一个小数可以转化成无数个分数；一个分数也可以转化成无数个小数 五年级（下册）[7]● 百分数的认识64● 百分数有无限多个《数学》三年级下册P2。
教材以学生最为熟知的买文具的生活情境进行导入，以呈现商品价格来引出小数。
“像3.50,1.06,16.85……这样的数，都是小数。
”通过用省略号来表示余下的小数，由此可以知道，小数的个数有无数个。
小数可以越来越大，也可以越来越小，小数是数不完的。
在教学中可以从“数量”上突出“无限多”，渗透极限的数学思想。
《数学》三年级下册P4。
小数有无限多个与其等值的小数。
例如：与0.5相同的小数有无限多个。
因此，在比较两个小数的大小时，可以转化成与原小数等值的小数进行比较。
《数学》三年级下册P54。
分数的个数是无限多的。
教材以分苹果，分割圆片为例，引出分数的表示方法。
把一张纸等分为四份，其中一份用41表示，其中的两份用42表示……随着份数的逐渐增加，则可用于表示的分数也增加。
如果将物体一直分下去，那么这是一个“无限”的过程。
在这个无限“分”的过程中产生的分数越来越多，直至无限多个。
因此，分数的个数是无限多的。
分数可以无穷大，也可以无穷小。
这里蕴含着极限的数学思想，教学时可以适时让学生体会分数的个数有无数个。
《数学》四年级上册P4。
数可以越来越大，没有尽头。
教材以数位表的形式展示数的无限多。
数级从个级开始，往左逐次增大，没有尽头；数位从个位开始，往左依次增大，没有尽头；计数单位从个位开始，同样往左依次增大，没有尽头。
无论是数级、数位还是计数单位，它们都是依次增大，没有尽头，数可以无限大、是无限多的。
《数学》四年级上册P89。
正数与负数有无数个，是数不完的。
教材使用了学生所熟知的温度计引出正数和负数。
温度计上的刻度可抽象成数轴的一部分。
正数、负数与0都在这条数轴上。
正数与负数是一组相对发展的数，它们以“0”这个特殊的数字为分界点，沿着数轴正向与反向变化。
正数沿数轴正方向无限增大，负数沿数轴反方向是无限减小。
因此，正数与负数有无数个，是数不完的。
不存在最大的正数和最小的负数，在教学中，可以适时让学生体会正数、负数的个数有无数个，让学生感悟极限的数学思想。
《数学》四年级下册P5。
教材以数位顺序表的形式呈现出小数的特点。
在数位顺序表中可以看出，整数部分与小数部分以小数点为分界点，数位分别向小数点左右两端无限增加。
整数部分从个位开始，往左数位逐次增加；小数部分则从十分位开始，往右数位逐次增加。
通过数位的变化来体现数值的变化。
《数学》四年级下册P69。
教材围绕“蜘蛛与蜗牛平均每分钟谁爬得快？”这个问题列出73÷3=24.3333…与9.4÷11=0.85454…这两个算式，并追问学生“你们为什么不往下除了？发现了什么？”引出循环小数。
通过除法计算，让学生感知循环小数循环节中的数字反复出现，是写不完的，是无限多的，体会循环小数小数部分的位数有无数个。
《数学》五年级上册P2。
自然数、整数有无限多个；一个数的倍数有无限多个。
教材以“像0、1、2、3……这样的数是自然数”以及“像-3、-2、-1、0、1、2、3……这样的数是整数”利用描述式定义法来界定自然数、整数的概念。
通过省略号来说明自然数、整数的个数有无数个，是数不完的。
关于倍数，教材以7为例，14是7的倍数；77是7的倍数，以此追问学生：“你还能找到7的其他倍数吗？”让学生从数量上感知一个数的倍数的个数，体会极限思想。
《数学》五年级上册P4。
教材以表格的形式呈现出1—100这100个数字，让学生通过表格寻找2、3、5倍数的特征。
借助表格可以让学生直观地感知，发现数的特征：2的倍数的特点是个位上的数字有0、2、4、6、8；5的倍数的特点是个位上通常是0或者5；3的倍数同样具有它独特的特点。
通过推理发现这些规律并不只局限于100以内的数字，对于更大的数依然成立。
数有无数个，因此有无数个数满足2、3、5的倍数特征。
《数学》五年级上册P5。
能被2整除的数即为偶数。
反之，不能被2整除的数即为奇数。
由于数有无数个，因此2的倍数有无数个。
进而推出偶数的个数有无数个。
反之，奇数也有无数个，也是数不完的。
《数学》五年级上册P38。
无论是真分数、假分数还是带分数，它们都无数个。
教材仍然是以“像21、41、32、43……这样的分数叫做真分数”以及“像23、33、45、49……这样的分数叫做假分数”同样是运用了描述式定义法来界定这两种分数的概念。
同样是利用省略号来说明了假分数与真分数的个数是无限多的，是数不完的。
由于数的个数有无数个，数可以越来越大。
因此在真分数中，用于表示分母的数可以无限多也可以无限大，那么用于表示分子的数也会变得无限多。
在保证是真分数的条件下，使得真分数的个数有无数个。
同理假分数也是这样。
带分数是由一个整数和一个真分数构成，因为真分数与整数的个数有无数个，所以带分数的个数也有无数个。
《数学》五年级上册P51。
教材以表格的形式列出50个数字，要求学生将4的倍数用三角形表示， 6的倍数用圆形表示。
同时标有三角形和圆形的数表示公倍数，即为4和6的公倍数。
在有限数字的情况下，我们只能找到有限个4与6的公倍数。
但是数是有无限多的，在不限数字范围的情况下，有无数个4与6公倍数。
公倍数可以无穷大，可以无限多。
但有且只有一个确定的数为两数的最小公倍数。
《数学》五年级上册P71。
分数有无限多个与其等值的分数。
因此在小数与分数的互相转化中，一个小数可以转化成无数个与其等值的分数。
对于0.4与41的比较，教材中对0.4做了相应转化，即0.4＝208104=。
20541=，因为205208>，所以0.4大于41。
但是0.4可转化成的分数并不是只有这两个，而是无限多的。
同样地，也可以把分数转化成无限多个与其大小相等的小数。
《数学》五年级下册P64。
百分数是一类特殊的分数。
百分数具有这样的特征：分母为100，分子不一定都是整数。
而满足此条件的数有无数个，因此百分数的个数也是无限多的。
教材中对于百分数的定义是“像22%，28%，90%，117.5%……这样的数叫做百分数。
”教材同样利用省略号来说明百分数是写不完的。
（二）数的运算中蕴含的极限思想表1-2：北师大版小学数学“数的运算”教学内容中蕴含极限思想统计表册别教学内容 页码教材片段蕴含的极限思想 四年级（上册）[8]● 商不变规律75● 满足同乘或同除数（零除外）有无限多个，故得到的新被除数和除数也有无数组四年级（下册）[9]● 小数点移位40● 小数点移动的位数有无数个，小数可以变得无穷小；也可以变得无限大五年级（上册）[10]● 分数的基本性质43● 分数有无数个与其等值的分数 ● 分数的大小（通分）54● 通过通分可以得到无限个和原分数相等，并且分母相同的分数 五年级（下册）[11]● 分数乘法（三）7● 21×21×21……=□，其结果是一个趋于0的数，但是始终不为0。
800÷200=4，8000÷2000=4。
这四个算式以一竖列的形式排列，引导学生分别“从上往下看”以及“从下往上看”观察算式的变化，探索发现商不变规律。
被除数8和除数2同时乘以10，100，1000后，做除法计算所得到的结果始终不变。
而数的个数是无限多的，在10，100，1000这三个数外，8和2还可以同时乘以或除以其他相同的数，它们做除法所得到的商也是不变的。
《数学》四年级下册P40。
小数的大小随着小数点的移动，数值不断发生变化。
数的个数是无限多，因此小数点左移的位数是无限多的，小数随着小数点无限左移而变得无穷小。
同理，小数点右移的位数同样是无限多的，小数随着小数点无限右移而变得无穷大。
《数学》五年级上册P43。
分数有无限多个与其等值的分数。
教材以43为例，将分子分母同乘以2，同乘以4后所得到86，其大小与43是相等的。
数的个数是无限多的，在2和4这两个数外，还存在其他的数。
43的分子3和分母4还可以同乘或同除其他的“数”（0除外），所得到的新分数的大小与原分数是等值的。