解斜三角形应用
解斜三角形应用题
例1、测量队在山脚下某处测得山顶仰角35 ， 沿倾斜角200 的斜坡前进1000米，再测得山顶 仰角为 650，求山高。（精确到0.01米）
0
例2、如图，当甲船位于A处时获悉，在其正 东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等 待救援。甲船立即前往救援同时把消息告知 在甲船南偏西 300 ，相距10海里C处的乙船， 试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前 往B处救援（角度精确到 20
B
C
例3、缉私艇在A处发现在北偏东 450 方向， 距离A处12海里的海面C处有一走私船正以10 0 海里/小时的速度沿东偏南 15 方向逃窜。若 缉私艇以14海里/小时的速度沿直线追击。问 缉私艇应按什么方向，需多少时间才能追上 走私船。（精确到1度）
例4、如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 1200 的扇形AOB。小区的两个出入口设置在点A和 点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD， 已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿 DA走到A用了6分钟。若此人步行的速度为每分 钟50米，求该扇形的半径OA的长。（精确到1 米） A
直角三角形与斜三角形的应用题解题方法
直角三角形与斜三角形的应用题解题方法直角三角形和斜三角形是在几何学中常见的两种三角形形态。
它们在解决实际问题中有着广泛的应用。
本文将重点介绍直角三角形和斜三角形的应用题解题方法，并给出几个实例来加深理解。
一、直角三角形的应用题解题方法直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
以下是一些常见的直角三角形应用题解题方法：1. 利用正弦、余弦和正切函数三角函数是解决直角三角形问题的关键工具。
可以利用正弦、余弦和正切函数来计算三角形的各边长和角度。
例如，若已知一个直角三角形的两条边长，可以使用正弦函数来计算夹角的度数。
同样地，可以使用余弦函数或正切函数来计算其他未知数。
2. 使用勾股定理勾股定理是解决直角三角形边长关系的基本原理。
根据勾股定理，直角三角形中两个直角边的平方和等于斜边的平方。
在解题时，如果已知两个边长，可以通过勾股定理计算第三边的长度；反之，如果已知斜边和一个直角边的长度，可以通过勾股定理求解未知的直角边长。
3. 利用特殊直角三角形的性质特殊直角三角形如45° - 45° - 90°和30° - 60° - 90°三角形有一些独特的性质，可以方便地解决与它们相关的问题。
例如，在一个45° - 45° - 90°三角形中，两条直角边的长度相等，斜边的长度等于直角边的长度乘以√2。
如果已知一个角度为45°的直角三角形的某条边长，可以轻松地求解其他未知边长。
二、斜三角形的应用题解题方法斜三角形是指没有直角的三角形。
由于缺少直角特性，应用题解题方法与直角三角形有所不同。
以下是一些常见的斜三角形应用题解题方法：1. 使用正弦、余弦和正切函数与直角三角形类似，正弦、余弦和正切函数在解决斜三角形问题中也起到关键作用。
可以使用这些函数计算三角形的边长和角度。
需要注意的是，由于斜三角形没有固定的90°角，所以需要根据已知信息选择合适的三角函数。
解斜三角形的应用
解斜三角形的应用
一、知识点回顾
1.有关名词
⑴仰角、府角
⑵方向角、方位角
2.解三角形的一般思路：
二、例题选讲
例1 在地面上一点A测得一电视塔尖的仰角为045，再向塔底方向前进行100米，测得塔尖的仰角为060，则此电视塔的高度为米
练习：
为测得一棵大树的高度，在一幢与大树相距20米的大楼的顶部测树顶的仰角为030，测得树底的俯角为045，那么大树的高度为例2 (2006) A、B两个小岛相距7海里，B岛在A的正南方。
现在甲船从A岛出发，以3海里/小时的速度向B岛行驶,同时乙船以2海里/小时的速度离开B岛向南偏东060方向行驶,问行驶多少小时后,两船相距最近?并求出两船的最近距离.
练习:
在一次军事演习中,敌方的大本营设在海中A岛上,岛的周围40海里为雷区,我方侦察艇正在向正南方向航行,在B处测得A 岛在侦察艇的南偏东030处,航行30海里后,在C处测得A岛在侦察艇的南偏东045处,如果侦察艇不改变航向,继续向正南方向航行,有无触雷的危险.
例3 某渔船在航行中不遇险,发出求救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔在方位角为045，距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角0
105的方向以9海里小时的速度向某小岛B前进，我海军舰艇即以21海里小时的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进，并求出靠近渔船所用的时间。
解斜三角形的应用问题
B C
A D
测量中常用的基本方法
情 况
求水平距离
两点间能看到， 两点间不能看
而不能到达
到，又不能通
过
两点间不能看到、不能 通过、不能到达
A
B
C
(2) 已知两边和它们的夹角,
求其它元素。
A
B
C
综合归纳四种基本类型的解题步骤：
已知元素
解题步骤
三边(a，b，c)
(1)
cos
A
b2
c2 2bc
a2
求A;
(2)
cos
B
a2
c2 2ac
b2
求B;
(3)C 180o ( A B).
两边夹一角 (b，c ，A)
(1)a b2 c2 2bc cos A;
图
A
形
ABLeabharlann C测量 元素B, C , BC
解 用两角一边求 法 出AB
（正弦定理）
A
B
B
C
D
C
？
小结
解三角形在实际中的应用是很广泛的，如测量、航海、 机械设计等方面都要运用到解三角形。
（1）根据实际情况合理地确定设计方案。 注意！ （2）画出示意图。
（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形。
（4）正确地运用所学知识，有顺序地 解这些三角形，逐步求出答案。 注意控制测量误差并注意近似计算法则， 以严谨细致的科学态度求出测量结果。
小结
实际问题
抽象概括 示意图
解斜三角形的应用题目
解斜三角形的应用题目1. 已知直角三角形中，一个锐角为30度，斜边长为10，求另一个锐角的度数。
2. 已知直角三角形中，两个锐角分别为45度和45度，斜边长为5，求此三角形的两条直角边长。
3. 已知直角三角形中，一条直角边长为3，斜边长为5，求另一条直角边的长。
4. 已知直角三角形中，斜边长为10，一条直角边长为5，求另一条直角边的长。
5. 已知直角三角形中，一个锐角为60度，斜边长为8，求另一条直角边的长。
6. 已知直角三角形中，两条直角边长分别为3和4，求斜边长。
7. 已知直角三角形中，一条直角边长为5，斜边长为13，求另一条直角边的长。
8. 已知直角三角形中，一个锐角为30度，斜边长为10，求另一条直角边的长。
9. 已知直角三角形中，一条直角边长为6，斜边长为8，求另一条直角边的长。
10. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。
11. 已知直角三角形中，一条直角边长为3，斜边长为4，求另一条直角边的长。
12. 已知直角三角形中，一个锐角为60度，斜边长为8，求另一条直角边的长。
13. 已知直角三角形中，一条直角边长为4，斜边长为7，求另一条直角边的长。
14. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。
15. 已知直角三角形中，一条直角边长为5，斜边长为12，求另一条直角边的长。
16. 已知直角三角形中，一个锐角为30度，斜边长为10，求另一条直角边的长。
17. 已知直角三角形中，一条直角边长为6，斜边长为8，求另一条直角边的长。
18. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。
19. 已知直角三角形中，一条直角边长为3，斜边长为4，求另一条直角边的长。
20. 已知直角三角形中，一个锐角为60度，斜边长为8，求另一条直角边的长。
21. 已知直角三角形中，一条直角边长为4，斜边长为7，求另一条直角边的长。
22. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。
解斜三角形应用举例
§5-10-1解斜三角形的应用目的：要求学生利用数学建模思想，结合正弦定理、余弦定理和解任意三角形的知识解决实践中的有关问题。
例1、自动卸货汽车的车厢采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度，已知车厢的最大仰角为60o ，油泵顶点B 与车箱支点A 之间的距离为1.95米，AB 与水平线之间的夹角为6︒20’，AC 长为1.40米，计算BC 的长． 注意：引导学生分析题意，分清已知与所求，会将实际问题转化为解三角形问题． 分析：这个问题在△ABC 中，已知AB=1.95m ，AC=1.40m ，∠CAB=60o +6o 20`=66o 20`，求BC 的长．即解斜三角形中，已知两边和夹角，求其它的问题，故需使用余弦定理．解：由余弦定理，得：BC 2=AB 2+AC 2-2AB·ACcosA= 1.952+1.402-2×1.95×1.40×cos66o 20`=3.571∴BC≈1.89m答：顶杆BC 的长约为1.89米．例1`、[变题] 假定自动卸货汽车装有一车货物，货物与车箱的底部的滑动摩擦系数为0.3，油泵顶点B 与车箱支点A 之间的距离为1.95米，AB 与水平线之间的夹角为6︒20’，AC 长为1.40米，求货物开始下滑时BC 的长。
解：设车箱倾斜角为θ，货物重量为mg ， θμμcos mg N f == 当θθμsin cosmg mg ≤即θμtan ≤时货物下滑 ∴ θμtan =，∴ θtan 3.0=，∴'42163.0arctan ==θ，∴ ∠BAC='0223'206'4216 =+在△ABC 中: BAC cos AC AB 2AC AB BC 222∠⋅-+= 787.10'0223cos 40.195.1240.195.122=⨯⨯⨯-+=∴ 28.3BC =AB C θA B C θ例2、如图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB 绕C 点旋转时，连杆AB 的传递，活塞作直线往复运动．当曲柄在CB o 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A 在A o 处．设连杆AB 长为340mm ，曲柄CB 长为85mm ，曲柄自CB o 按顺时针方向旋转80o ，求活塞移动的距离(即连杆的端点A 移动的距离A o A)(精确到1mm)分析：因为A o A=A o C-AC ，又知A o C=AB+BC=340+85=425mm ，所以只要求出AC的长，问题就解决了．在△ABC 中，已知两边和其中一边的对角，可有正弦定理求出(也可由余弦定理求)解法1、在△ABC 中，由正弦定理可得： 2462.034080sin BC A sin o =⋅= ∵ BC<AB ∴ A 为锐角，可得：A=14o 15`∴ B=180o -(A+C)=85o 45` 由正弦定理得：m m 3.3449848.0`1585sin 340C sin B sin AB AC o =⨯=⋅= ∴ A o A=A o C-AC=(AB+BC)-AC=(340+85)-344.3=80.7≈81mm解法2、△ABC 中，由余弦定理得：AB 2=AC 2+BC 2-2AC·BC·cosC∴ 3402=AC 2+852-2AC·85·cos80o解得：AC=344.3mm∴ A o A=A o C-AC=(AB+BC)-AC=(340+85)-344.3=80.7≈81mm答：活塞移动的距离约为81m m ．例3、某人在塔的正东方向沿南偏西60o 的方向前进40米以后，望见塔在东北方向，若沿途测得它的最大仰角为30o ，求塔高．分析：欲使仰角最大，则需离塔最近，作TC ⊥AB ，则在C 处看塔仰角最大，只需求出TC 长即可，然后在Rt △DTC 中解出DT 的长A o CB oA B解：由题意知：∠A=30o ，∠ATB=135o ，由正弦定理得：TAB sin TB ATB sin AB ∠=∠，即：o o 30sin TB 135sin 40=，解得TB=220 ∴ TC=TB×sin15o =220×)232(5426-=- 在Rt △DTC 中，∠C=30o ，∴ TD=TCtan30o =)33(310-(米) 答：塔高)33(310-米． 例4、我方缉私艇观察到走私船在它的北偏东60o 的方向，且相距50海里，此时走私船向北逃窜，我方船速食走私船的3倍，则我方应采取什么方向前进才能追上走私船？此时走私船行驶了多少海里？解：设∠CAB =θ，且走私船行驶BC=x 海里，则我方缉私艇行驶AC=3x 海里，且∠ABC=120o 由正弦定理，可得：ABC sin AC sin BC ∠=θ ∴ o 120sin x 3sin x =θ，解得：θ=30o ∴ 我方应沿北偏东30o 方向行驶又∵ θ=C=30o∴ BC=AB=50，故此时走私船行驶了50海里．例5、如图，河对岸有两目标A 、B ，在岸边去相距3千米的C 、D 两点，并测得∠ACB=75∠BCD=45∠ADC=30∠ADB=45，求目标AB 之间的距离．解：△ACD 中，AC=CD=3△BDC 中，(正)BC=226+ △ABC 中，(余)AB=5AB C练、我舰在敌岛A 南50︒西相距12 nmile 的B 处，发现敌舰正由岛沿北10︒西的方向以10nmile/h 的速度航行，问：我舰需要以多大速度，沿什么方向航行才能用功小时追上敌舰？解：在△ABC 中：AB=12 AC=10×2=20 ∠BAC=40︒+80︒=120︒BAC AC AB AC AB BC ∠⋅-+=cos 2222784)21(20122201222=-⨯⨯⨯-+= BC=28 即追击速度为14mile/h又：∵△ABC 中，由正弦定理：ABC B AC sin sin = ∴1435sin sin ==BC A AC B ∴1435arcsin =B ∴我舰航行方向为北)1435arcsin 50(- 东。
解斜三角形应用举例
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解
例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油
泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的
夹角为6020，AC长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数 字）．
单击图象动画演示
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解
已知△ABC中， BC＝85mm，AB＝34mm，∠C＝80°，
求AC． 解：（如图）在△ABC中，
由正弦定理可得：
sin A BC sinC 85 sin80 0.2462
AB
340
因为BC＜AB，所以A为税角 ， A＝14°15′
C B
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解 例2．如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转 时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A处，设连 杆AB长为340mm，由柄CB长为85mm，曲柄自CB按顺时针方 向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距 离 A0 A ）（精确到1mm）
B arcsin5 3 14
故我舰行的方向为北偏东 （50－arcsin5 3）. 14
5.10 解斜三角形应用举例
总结
实际问题
抽象概括 示意图
数学模型 推演 理算
实际问题的解 还原说明 数学模型的解
；石器时代私服 / 石器时代私服
由于北方战乱不堪 北方大族及大量汉族人口迁徙江南 都督一般由征 镇 安 平等将军或大将军担任 建了国子学 甚有条理 安乐公 疆域渐渐南移 后燕 并州饥民向冀豫地区乞食 科技 [28]
101943_解斜三角形的应用举例_谢印智
试 试 看
课本习题 .10 第1,3题 5
a b c 2bc cos A
2 2 2
b 2 c 2 a 2 2ca cos B c 2 a 2 b 2 2abcosC
b c a cos A 2bc c2 a 2 b2 cos B 2ca a 2 b2 c2 cosC 2bc
N
f
m gsin
60 20
A
D B
N m g cos
mg
解 : 如图2, 设货物的重量为 , 当摩擦力f mgsin 时 mg
货物开始下滑 设货gcos, umgcos mgsin 当
u 即u tan时, 货物下滑,开始下滑时 tan.
2 2 2
可以解决的问题是: (1)已知三边, 求三个角 ; (2)已知两边和它们的夹角求第三边和其 ,
它两个角 .
问题的提出
例1 自动卸货汽车的车箱采用液压机构．设 计时需要计算油泵顶杆BC的长度(图5-40)．已知 车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B与车箱支点A 之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20′，AC长为1.40m，计算BC的长(保留三个 有效数字)．
抽象数学模型
C
1.40 m
600
A
1.95m
60 20
D B
已知ABC的两边AB 1.95, AC 1.40, 夹角A 66 20, 求第三边的长 .
0
C
600
ACcosA BC2= AB2+AC2-2AB· =1.952+1.4022×1.95×1.40cos66°20′ =3.571 ∴BC≈1.89(m)． 答：顶杆BC约长1.89m．