三向应力状态图解法的研究_王军
材料力学三向应力状态PPT课件
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90 45 0
直角应变花： x 0 ， y 90
由 45
x
y
2
xy
2
可求得:
xy 0 90 2 45
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CL10TU28
§9-6 复杂应力状态下的变形比能
一、微元体应变能
1.单向拉伸变形比能：
v
1
2
2
2、微元体变形功
dy
3 dx
CL10TU50
3.最大剪应力理论（第三强度理论）
假设：无论材 料 内 各 点的 应 力 状 态 如何 ， 只 要 有 一点 的 最 大 剪 应力 τ max达到 单 向 拉 伸屈服剪应力τS时，材料就在该处出现明显塑性变形或屈服。
屈服破坏条件是：
max s
max
1
2
3
,
s
s 2
用应力表示的屈服破坏条件：
应变的实测：
用应变仪直接测出三个选定方向 1、 2、 3的线应变 1 、 2 、 3 ，由下式
1
2
3
x x x
y
2
y
2
y
2
x x x
y
2
y
2
y
2
cos2 1 cos2 2 cos2 3
xy
2
xy
2
xy
2
sin 2 1 sin 2 2 sin 2 3
求出 x 、 y 、 xy
3
2
1
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同理，在平行于 σ2 的各个斜截面上，其应力对应于由主应力 σ1 和 σ3 所画的 应力圆圆周上各点的坐标。
主单元体：六个平面都是主平面
应力状态分析
§9–1 应力状态的概念 §9–2 平面应力状态分析——解析法 §9–3 平面应力状态分析——图解法 §9–4 梁的主应力及其主应力迹线 §9–5 三向应力状态研究——应力圆法 §9–6 平面内的应变分析 §9–7 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系
——（广义虎克定律） §9–8 复杂应力状态下的变形比能
c/sin c/cos
xy cos 2 sin 2
3
ixco 2 sysi2 nxsy in co s i 1
3i xs2 i n ys2 in xy c2 o s s2 in i 1
x 2yx 2yco 2 s1 2xsy i2 n
2x 2ysi2n1 2xyco2s
ts ssxx 2 2 ssyyss i2nx 2 styxcyco o22s stxsy i2 n
令 :d d s 0 sx sysi2 n 0 2 txc y 2 o 0 s 0
由此的两个驻点：
01、（012）和两各极值：
tg20
2txy sx sy
s s s s s s t m m ´´a in xx2 y± （ x2 y） 2x 2 y
sy sx
t0 0极值正应力就是主应！力
主面上的正应力。
s1
主应力排列规定：按代数值大小，
s1s2s3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
三向应力
1 2 3
y
(s 1 s 3 )
3
30
E
s 3
(s
2
s 1 )
30
1 E
s 30 s 120 s z ) （
30
x
120
1 E
1 E
s 120 s 30 s z ) （
z
x1
dx
dy
y1
y
ds
x1
x
y1
ds
1
d ( l1 )
d ( l1 ) x d x c o s
dx
xdx
1
x d x s in
ds
x c o s s in
x
y
再 研 究 y 对 微 分 线 段 d s的 影 响
x1
dx
dy
y1
1） x1 方 向 的 线 应 变 ； .沿 2）x1 y 1角 的 剪 应 变 。 .
dx
f ( x , y , z , xy , ) g ( x , y , z , xy , )
y1
y
x1
dy
x
y
先 研 究 x 对 微 分 线 段 d s的 影 响
b
a
A
E
c
d
D
D1
1 AOD BOE
b x cos b / sin a x sin a /cos
六、 材料力学应力状态分析(2)
(MPa)
τ σ
（0，-100）
tmax
（300，100）
τmax = 180MPa；
Hale Waihona Puke σOσσ三向应力状态 特例分析
作为三向应力状态的特例,平面应力状态特点：
σ =0 σ、σ 、σ σ1 、σ 2、σ3
广义胡克定律
1、胡克定律、横向变形与泊松比
y
sx x = ; E sx y = x = ； E — 泊松比
tmax
（-300，50）
300
(MPa)
τ
σ
σ
（-200，-50）
σ
O
σ
三向应力状态 特例分析
例3、如图平面应力状态，求： 主应力s1、s2 、 s3和最大切 应力tmax。
300 100
解：如图作应力圆 Ｒ＝180MPa； s1 = 330MPa； s2 = 0； s3 = -30MPa；
A
2、平衡方法是分析一点处应 力状态最重要、最基本的方法
A
论证A－A截面上 必然存在切应力，而 且是非均匀分布的； 怎样证明A－A截 面上各点的应力状态 不会完全相同。
结论与讨论
A
ζ
ζ η
A
关于A点的应力状态有多种答 案、请用平衡的概念分析哪 一种是正确的。
η
η
ζ
结论与讨论
3、怎样将应力圆作为一 种分析问题的重要 手段，求解较为复杂的 应力状态问题
P
x =
由变形方程： x =
1 [s x (s y s z )] = 0； E s x = s z = 0.3( 60) = 18 MPa
P σx σy
所以铅块主应力为: ζ1 = 0；ζ2 = -18MPa; ζ3 = -60MPa;
三向应力状态PPT精选文档
( ) 16+E2s2
轴向拉伸
1s,230
s1 2(1- 2)2+ (2- 3)2+ (3- 1 )2
强度条件：
1 2(1- 2)2+ (2- 3)2+ (3- 1)2 33
综合四个强度理论
相当应力
eq
eq1 1
eq2 1-(2 +3)
eq3 1 -3
eq4
1 2
(1
-2)2
45 o 45 o
26
2、材料破坏的主要因素
低碳钢
max
拉伸时45°截面上具有最大剪应力 扭转时横截面周线上具有最大剪应力
# 滑移线说明是剪切破坏 # 斜截面剪应力：
a2si2 na2a4o 5
# 扭转时圆周上具有最大剪应力：
结论：低碳钢属于剪切破坏
27
铸铁 拉伸时横截面上具有最大正应力
1 扭转时45°截面上具有最大正应力
17
三、最大和最小剪应力
da 0 da
2x- 2yco 2 as -2 xs y i2 n a0
tg2ax -y 2xy
18
max+
x
-y
2
2
+xy2
min-
x
-y
2
2
+xy2
19
例7-1 试求中所示单元体的主应力和最大剪应力。 （1）求主应力
x 10 MPa , y 30 MPa , x 20 MPa
7
三、研究方法：取单元体
单元体：微小的正六面体 原始单元体：单元体各侧面上应力均已知
8
纯剪单元体：单元体各侧面上只有剪应力 ，没有正应力。
第十章-三向应力状态简介(材料力学课件)
• 用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪
应力与许用拉应力之比 [ ] 0.577 [ ]
例：填空题。
石料在单向压缩时会沿压力作用方向的纵 截面裂开，这与第 二 强度理论的论述基本 一致。
例：填空题。
一球体在外表面受均布压力p = 1 MPa 作用，则在球心处的主应力 1 = －1 MPa， 2 = －1 MPa， 3 = －1 MPa。
1.最大拉应力理论（第一强度理论） • 它假定：无论材料内各点的应力状态如何，
只要有一点的主应力σ1 达到单向拉伸断裂时 的极限应力σu，材料即破坏。
• 在单向拉伸时，极限应力 σu =σb
• 失效条件可写为 σ1 ≥ σb
[ ] b
n
• 第一强度强度条件： 1 [ ]
试验证明，这一理论与铸铁、岩石、砼、 陶瓷、玻璃等脆性材料的拉断试验结果相符， 这些材料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉应 力最大的横截面上。脆性材料的扭转破坏，也 是沿拉应力最大的斜面发生断裂，这些都与最 大拉应力理论相符，但这个理论没有考虑其它 两个主应力的影响。
V 2EA Al 2E 2
CL10TU40
变形比能：
u 1
2
u
1 2
1
1
1 2
2
2
1
2
3
3
2
1 3
变形比能：
u
1 2
1
1
1
2
2
2
1
2
3
3
应力状态概述二向和三向应力状态的实例二向PPT课件
规定： 截面外法线同向为正；
a绕研究对象顺时针转为正；
逆时针为正。
y
n
x
y
xy
Ox
x
y xy
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y 设：斜截面面积为A，由分离体平衡得：
n
x
Fn 0
y
xy
A x Acos2 xy Acos sin
Ox
y Asin2 yx Asin cos 0
x
y
2
简 单 应 力 状 态— 单 向 应 力 状 态 （ 只 有个 一不 等 于 零 的 主 应 力 ）
复
杂
应
力
状
态—
平 面 应 力 状 态 （ 有 两不 个等 于 零 的 主 应 力 ）
空 间 应 力 状 态 （ 三 个应 主力 都 不 等 于 零 ）
第7页/共93页
§7-2 二向和三向应力状态的实例
(a)
(b)
第48页/共93页
2a0＝34˚可知为a0＝17˚且由x截面逆时针转动，如图c中所 示。
(c) (b)
第49页/共93页
4. 最大切应力max由应力圆上点B的纵座标知为 max＝ 36 MPa，作用在由1 作用面绕2 逆时针45˚ 的面上(图c)。
(c) (b)
第50页/共93页
§7-8 广义胡克定律
C y
M
xy
yx
解：确定危险点并画其原
yx
始单元体
C
xy
x y0
xy
T WP
求极值应力
max min
x
y
2
（ x
y
2
）2
2 xy
Ox
2 xy
09第九章 应力状态分析
sx s y
2
τy σ y
c
x τσ x
， 0）
τx
σx
b x
s x s y
2
2 )2 t x
σy
τy
d
材料力学
第9章 应力状态分析
二、应力圆
1、应力圆的绘制
s x s y
2
t
σx
( x D1σ
试作图示单元体的应力圆
圆心：(
,τ x )
sx s y
2
， 0) 半径：(
) t
2
2 x
B2
材料力学
第9章 应力状态分析
y
sy
空间应力状态（弹性力学） 应力张量的第一、第二和第三不变量。
sx
t txz zx tyz txy tzy tyx sz sy z
txy
tyx
tyz tzy sz tzx txz
sx
x
I1 s x s y +s z
2 2 2 I2 s xs y s ys z -s zs x t xy t yz t zx
材料力学
第9章 应力状态分析
§9-2 平面应力状态分析 一、斜截面上的应力
y a
已知s x、s y、t x、a，求sa、t a
σα τx a a τ α σx
b e n
τx
σx
b
τy σ y e
c
n
a
x
a
σy
解：
f τy
d
σx τx
f τy σy
t
y t x dA cos a n sa dA s x dA cos a a a t y dA sin a a x a t a dA s y dA sin a t
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三向应力状态图解法的研究_王军
第22卷第3期 2019年6月
吉林化工学院学报
JOURNAL OF JILIN INSTITUTE OF CHEM ICAL TECHNOLOGY Vol. 22No. 3Jun. 2019
文章编号:1007-2853(2019) 03-0071-03
三向应力状态图解法的研究
王军, 马庆捷
(吉林化工学院机电工程系, 吉林吉林132022)
摘要:证明了三向应力状态斜截面上应力分量与三向应力圆阴影部分相对应, 研究了
用图解法画出三向应力状态斜截面上应力分量的方法.
关键词:三向应力状态; 应力圆; 斜截面; 应力分量; 图解法中图分类号:T B 301
文献标识码:A
应力状态包括单向应力状态, 二向和三向应力状态, 对于单向和二向应力状态的应力
分析解析法和图解法在工程力学中都有较详细的论述. 但三向应力状态的应力分析只有解
析法定性的论述, 没有图解法的分析. 而解析法又非常繁杂. 本文研究了用图解法画出三
向应力状态斜截面上应力分量的方法, 使工程力学应力分析的方法都可以应用图解法来分析, 使讲授工程力学的教师和工程技术人员解决实际问题有了既简便又准确的方法.
中三个圆周中的任意两个, 其交点的坐标即为所求斜截面上的应力. 但比较繁杂. 如
约定 1> 2>
22
3, 且l 0, 则(1) 式中有l ( 1
- 2) ( 1- 3)
0, 所以第一式所确定的圆周的半径大于和它同心的圆周BC 的半径.
1 任意斜截面上的应力计算
在三向应力状态下, 当三个主应力已知时, 其任意斜截面上的应力 n 如图1(b) 所示, 可以通n 、过理论计算得知[1]. 在以 n 为横坐标, n 为纵坐标的坐标系中, 由下列三个圆周的交点的坐标值来表达.
2+ 3
n -2 2) ( 1- 3) 3+ 1
2
- 3) ( 2- 1)
n - 1+ 2 n -2 1) ( 3- 2)
22
图1 三向应力示意图
BC 的圆为: 2- 3
2
2
2+ 3
n -2
2
+ n =
2
+
2n
=
2- 3
2 3- 1
2 1- 2
2
2
+l 2( 1-
说明(1) 式中的第一式所确定的应力圆周在圆周BC 之外; 用同样的方法可以说明(1) 式中的第二式所表达的应力圆周在AB 之内, 因为m 2( 2
+ 2n =
2
+m 2( 2
- 3) ( 2- 1) 0. (1) 式中的第三式所表示的应力圆周在AC 之外, 因为n 2( 3- 1) ( 3- 2) 0. 这样(1) 式应力的解交点D, 亦即斜面上的应力在图1(a) 中的阴影线的部分之内
2
+
2n
2
=+n ( 3-(1)
2
(1) 式中的l 、m 、n 为斜截面的三个方向角余弦. 当 2、 m 、n 已知后, 可以作出(1) 式1、3和l 、
2 图解法求任意斜截面上的应力
虽然对于三向应力状态任意斜截面上的应力
收稿日期:2019-03-18
作者简介:王军(1961-) 男, 河北保定人, 吉林化工学院副教授, 主要从事机械力学及实验应力分析方面的研究.
72
吉林化工学院学报2019年
n 可以通过公式(1) 中的三个圆的交点求出, 但n 、
是在求解的过程中, 计算繁杂, 而应用图解法来找到D 点坐标却相对简单, 如图2, 其作法如下.
1) 在、直解坐标中, 在轴由原点取线段OA = 1, OC = 2。
OB = 3图2(b) .
2) 以AB 、BC 、CA 为直径画出莫尔圆. 3) 由A 点作与轴成角(按逆时针方向) , 并引直线与圆K 13交于点E o 由B 点作与轴成角(按顺时针方向) , 并引直线与圆K 13交于F 点
.
-2 1-
( 2+ 3) ( 1- 3) sin 2 2
2
整理后, 得:r 12=( 1- 3) ( 1- 2) cos +
(3)
2
2
2( 2- 3) 4
2( 1- 2) 4
如令 DO 1O 3= , 则由 DO 1O 3可得:
2
2
2
类似可得:r 2=( 1- 3)( 2- 3) cos +
(4)
DO 3=O 1D +O 1O 3-2O 1D O 1O 3c os
(5)
由 DOO 1得:OD 2=2DO 1OO 1cos
O 1O 3=2( 1- 3) =a OO 1=( 2+ 3) =b
2将(7) 代入(5)(6) 并消去cos , 得
DO 21+
OO 21+
(6)
式中DO 1=r 1, DO 3=r 2为简化计算, 引入 (7)
(
a)
2
OD 2=[r 21+ab) (a +b) -br 2]即a
2222
OD 2= 2) +1cos + 2(1-cos -cos 2
s 2 3co
(8) (9)
把方向余弦的关系式l 2+m 2+n 2=1代入
22222(8) 有:OD 2=l 2 21+m 2+n 3=p n 式(9) 表示线段OD 的长度, 表示斜面上的总 (b)
应力. D 点的横坐标为:
22
r 21+a -r 2
OD 1=b +
2a
用应力表达并引入l 2+m 2+n 2=1有:
[2]
图2 图解法求 n 、 n 示意图
(4) 由圆K 23与K 12的圆心O 1、O 3画弧ED 与FD, 此二弧相交于D 点. D 点的坐标即表示法线为n 的平面上的正应力和剪应力, 而OD 的长度表示该面上的总应力P n .
OD 1=l 2 1+m 2 2+n 2 3= n D 点的纵坐标为:DD 1=
OD -OD 1=
(10)
p n - n = n
3 图解法正确性的证明
首先计算半径第度O 1E =r 1, O 3F =r 2, 由 O 1AE, r 12=O 1A 2+AE 2-2O 1A AE sin
(2)
由于:
2+ 3
及AE =( 1- 3) sin 代O 1A = 1-2
入(2) 有:
(11)
式(10) 和(11) 表明, D 点的坐标表示斜截面上的正应力和剪应力
[2]
.
4 举例
图3(a) 中取 1、 2、 Y 、3的方向为坐标轴X 、Z 的方向, 1=75MPa , 2=50MPa , 3=50MPa, 剪应力分量全为零, 试求与三个应力主轴成等角倾斜面上的应力分量.
(
第2期王军, 等:三向应力状态图解法的研究 73
该斜截面法线的方向余弦为l =m =n =; 3
= = = 54. 7
以 0表示该斜截面上的正应力, 0表示剪应力, 则合力为
p 0=
0+ 0=
p x +p y +p z
=59. 5119MPa 0=lp x +mp y +mp z =25MPa 0=
2 1) ]
(b)
图3 图解法算例图
22
[( 1- 2) +( 2- 3) +( 3+3
O 3F 为半径作圆弧FD 与ED 交于D 点. 则任意斜面上的应力分量可直接量取: 0=24. 8Mpa (D 点的横坐标) , 0=54. 3MPa (D 点的纵坐标) , P 0=60. 1MPa (OD 的长度) ,
其误差均小于1%.
=54MPa 图解法如下:
作出三向应力圆如图3(b) 所示, 作AE 与竖直夹角 54. 7交AB 于E 点, 作BF 与
竖直夹角 54. 7交AB 于F 点, 以BC 的圆心O 1为圆心, O
1E 为半径作圆弧
ED, 以AC 的圆心O 3为圆心,
5 结论
三向应力状态下, 任意斜截面上的应力分量理论证明这一点D 落在三向应力圆的阴影部分, 通过图解法可以很容易的找出应力分量所在的这一点D, 任意斜面上的应力分量可
直接量取, D 点的横坐标是 0, D 点的坐标是 0, OD 的长度是P 0, 使工程力学应力分析的方法都可以应用图解法来分析.
参考文献:
[1] 刘鸿文. 材料力学[M].北京:高等教育出版社, 1993. [2] 徐秉业. 弹性与塑性
力学[M]. 北京:机械工业出版
(a)
社, 1988.
S tud y on graph ic method to th ree dimensional stress states
W ANG Jun, MA Qing -jie
(Department of M achinery and Electricity Engineer i ng, Jilin Institute of Chemical Technology , Jilin City 132022, China)
A bstract:It is proved that stress component of skew sec tion about three dimensional stress state is corresponding to shaded parts of three dimensional stress circle, and the method of draw ing stress component of three dimensional stress state skew section with graphic method is researched.
state; circle; stress graphic。