排队论&银行排队系统
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排队论
排队长度：等待服务的顾 客数量
平均等待时间：顾客在系统 中等待服务的平均时间
平均排队长度：系统中平均 排队的顾客数量
服务台数量：系统中的服 务台数量
利用率：服务台被利用的 程度
排队系统的稳定性：系统是 否处于稳定状态，即平均等 待时间和平均排队长度是否
收敛
排队系统的分析方法
01
排队论的基本概 念：顾客到达、 服务时间、等待
服务台：提供服务的地方
队列：等待服务的顾客队列
顾客到达时间：顾客到达服 务台的时间 服务台容量：服务台可以同 时服务的顾客数量 排队系统状态：当前系统中 顾客和服务员的状态
排队系统的参数
顾客到达率：单位时间内到 达系统的顾客数量
服务速率：单位时间内服务 台能够服务的顾客数量
排队规则：先进先出（FIFO） 或后进先出（LIFO）
谢谢
排队论
演讲人
排队论的基本概念 排队论的基本原理Biblioteka 目录CONTENTS
排队论的应用实例
排队论的基本概念
排队系统的定义
1
排队系统：由顾 客和服务台组成 的系统，顾客需 要等待服务台的
服务。
2
服务台：提供某 种服务的设施， 如收银台、售票
窗口等。
3
顾客：需要接受 服务台的服务的 人，如顾客、乘
客等。
4
时间均服从指数分布
M/G/1模型：单服务台、单 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
M/G/c模型：单服务台、多 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
M/G/∞模型：单服务台、 无限队列、顾客到达服从泊 松分布、服务时间服从指数
分布
G/M/1模型：多服务台、单 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
《运筹学排队论》课件
资源分配
合理分配服务器资源，以提高系统的吞吐量 和响应时间。
最优服务策略问题
总结词
研究如何制定最优的服务策略，以最大化系 统的性能指标。
服务顺序策略
确定服务器的服务顺序，以最小化顾客的等 待时间和平均逗留时间。
服务中断策略
在服务器出现故障时，选择最优的服务中断 策略，以最小化对顾客的影响。
服务时间分布策略
等待队长
指在某一时刻，正在等待服务的顾客总数。
逗留时间与等待时间
逗留时间
指顾客从到达系统到离开系统所经过的时间 。包括接受服务和等待的时间。
等待时间
指顾客到达系统后到开始接受服务所经过的 时间。
忙期与空闲期
要点一
忙期
指系统连续有顾客到达并接受服务的时间段。在这个时间 段内，系统内的顾客数可能会超过系统的容量。
03
02
交通运输
分析铁路、公路、航空等交通系统 的调度和运输效率。
计算机科学
研究计算机网络、云计算、分布式 系统的性能和优化。
04
排队论的基本概念
服务器
提供服务的设施或 人员。
等待时间
顾客到达后到开始 接受服务所需的时 间。
顾客
需要接受服务的对 象。
队列
顾客按到达顺序等 待服务的排列。
服务时间
顾客接受服务所需 的时间。
《运筹学排队论》ppt课件
目录
• 排队论简介 • 排队系统的组成 • 排队模型的分类 • 排队模型的性能指标 • 排队论的优化问题 • 排队论的发展趋势与展望
01
排队论简介
排队论的定义与背景
1
排队论（Queueing Theory）是运筹学的一个重 要分支，主要研究排队系统（Queueing Systems）的行为特性。
合理分配服务器资源，以提高系统的吞吐量 和响应时间。
最优服务策略问题
总结词
研究如何制定最优的服务策略，以最大化系 统的性能指标。
服务顺序策略
确定服务器的服务顺序，以最小化顾客的等 待时间和平均逗留时间。
服务中断策略
在服务器出现故障时，选择最优的服务中断 策略，以最小化对顾客的影响。
服务时间分布策略
等待队长
指在某一时刻，正在等待服务的顾客总数。
逗留时间与等待时间
逗留时间
指顾客从到达系统到离开系统所经过的时间 。包括接受服务和等待的时间。
等待时间
指顾客到达系统后到开始接受服务所经过的 时间。
忙期与空闲期
要点一
忙期
指系统连续有顾客到达并接受服务的时间段。在这个时间 段内，系统内的顾客数可能会超过系统的容量。
03
02
交通运输
分析铁路、公路、航空等交通系统 的调度和运输效率。
计算机科学
研究计算机网络、云计算、分布式 系统的性能和优化。
04
排队论的基本概念
服务器
提供服务的设施或 人员。
等待时间
顾客到达后到开始 接受服务所需的时 间。
顾客
需要接受服务的对 象。
队列
顾客按到达顺序等 待服务的排列。
服务时间
顾客接受服务所需 的时间。
《运筹学排队论》ppt课件
目录
• 排队论简介 • 排队系统的组成 • 排队模型的分类 • 排队模型的性能指标 • 排队论的优化问题 • 排队论的发展趋势与展望
01
排队论简介
排队论的定义与背景
1
排队论（Queueing Theory）是运筹学的一个重 要分支，主要研究排队系统（Queueing Systems）的行为特性。
排队论
f ( w n 1)
n！
e w
w0
f ( w ) Pn f ( w n 1) n0 ( w ) n w (1 ) n e ( )e ( ) w n0 n！
熊燕华
6.
忙期和闲期
系统忙的概率为ρ ，则闲的概率为1-ρ 。可以 认为在一段时间内，忙期和闲期的长度比为 ρ :(1-ρ ) 由于顾客到达间隔服从无记忆性的负指数分布， 且与服务时间无关。闲期I（系统从空闲开始到新 的顾客到达时刻）服从参数为λ 的负指数分布，则 E[I]=1/λ E[B]= ρ/(1-ρ) E[I]=1/(μ-λ )=Ws
熊燕华
L S n Pn
n0
1
Little公式
Ls=Lq+λ/μ Ws=Wq+1/μ
L q (n 1) Pn n 1
Ws=E(W)=1/(μ-λ) Wq=Ws－1/μ=ρ/(μ-λ)
Ws=Ls/λ
Wq=Lq/λ
熊燕华
定理： 对于存在平稳分布的任何排队系统，下列 关系成立：
熊燕华
七、随机过程知识准备
系统的状态
系统中的顾客数，即如果系统中有n个顾客即说系统 状态为n。在平稳过程中，在时刻t、系统状态为n的概率 Pn(t)是不变的，即Pn(t) ＝Pn是不随时间变化的统计平衡 状态解。
注：本章研究的均为平稳过程，即输入、输出过程 的概率分布、参数均不随时间变化，与所选取的时
第八章 排队论
基本概念 单服务台泊松到达负指数服务时间排队模型 多服务台泊松到达负指数服务时间排队模型 其他排队模型 经济分析
熊燕华
排队论
负指数分布 Poisson分布
(t )n et P( X (t ) n) n!
E ( X (t )) t
e t f T (t ) 0 1 E (T )
for t 0 for t 0
服务时间的概率 = t 1/ : 平均服务时间
在t时间内已经服务n个顾客 的概率 平均服务率=
队列
队列容量
有限/无限 先来先服务（FCFS）；后来先服务； 随机服务； 有优先权的服务；
排队规则
3.服务机构
服务机构
服务设施， 服务渠道与服务台 服务台数量:1台和多台 服务时间分布:
指数, 常数,
排队模型分类－Kendall记号
Kendall 记号: X/Y/Z/ A/B/C 顾客到达时间间隔分布/服务时间分布/服务台数 目/排队系统允许的最大顾客容量/顾客总体数量/ 排队规则 M/M/1///FCFS M/M/1 / M: 指数分布 (Markovian) D: 定长分布 (常数时间) Ek: k级Erlang 分布 GI:一般相互独立的时间间隔分布 G: 普通的概率分布 (任意概率分布)
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 NUMBER IN SYSTEM 26 28 30 32 34 36 38 40
Probability
74.94% 0.2506 1.2294 1.9788 0.2734 0.4401 0.7494 0.1007
排队模型的记号
系统状态 = 排队系统顾客的数量。 N(t) = 在时间 t 排队系统中顾客的数量。 队列长度 = 等待服务的顾客的数量。 Pn(t) = 在时间t,排队系统中恰好有n个顾客的概率。 s = 服务台的数目。
(t )n et P( X (t ) n) n!
E ( X (t )) t
e t f T (t ) 0 1 E (T )
for t 0 for t 0
服务时间的概率 = t 1/ : 平均服务时间
在t时间内已经服务n个顾客 的概率 平均服务率=
队列
队列容量
有限/无限 先来先服务（FCFS）；后来先服务； 随机服务； 有优先权的服务；
排队规则
3.服务机构
服务机构
服务设施， 服务渠道与服务台 服务台数量:1台和多台 服务时间分布:
指数, 常数,
排队模型分类－Kendall记号
Kendall 记号: X/Y/Z/ A/B/C 顾客到达时间间隔分布/服务时间分布/服务台数 目/排队系统允许的最大顾客容量/顾客总体数量/ 排队规则 M/M/1///FCFS M/M/1 / M: 指数分布 (Markovian) D: 定长分布 (常数时间) Ek: k级Erlang 分布 GI:一般相互独立的时间间隔分布 G: 普通的概率分布 (任意概率分布)
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 NUMBER IN SYSTEM 26 28 30 32 34 36 38 40
Probability
74.94% 0.2506 1.2294 1.9788 0.2734 0.4401 0.7494 0.1007
排队模型的记号
系统状态 = 排队系统顾客的数量。 N(t) = 在时间 t 排队系统中顾客的数量。 队列长度 = 等待服务的顾客的数量。 Pn(t) = 在时间t,排队系统中恰好有n个顾客的概率。 s = 服务台的数目。
交通流理论—排队论
组成
排队系统的组成 (1) 输入过程：就是指各种类型的"顾客(车辆或行人)"按怎样的规律到 达。有各式各样的输入过程，例如： D—定长输入：顾客等时距到达。 M—泊松输入：顾客到达时距符合负指数分布。 Ek—爱尔朗输入：顾客到达时距符合爱尔朗分布。
组成
排队系统的组成
(2)排队规则：指到达的顾客按怎样的次序接受服务。 例如： • 损失制：顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就自动消失，永不再来。 • 等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占，他们就排成队伍，等待服务，
离去 1
到达
离去 2
到达 1
离去
2
...
n
单通道多服务台系统
到达
离去
1
到达
离去
(组1)成单通道服务系统
到达
离去
服务台的排列方式1
服务台
单通道单服务台系统
(2)多通道服务系统
(2) 多通道服务系统
离去
1
到达
离去 2
3
离去
可通的多通道系统
到达 1
离去
2
...
n
单通道多服务台系统
到达
离去
1
到达
离去
2
到达
M/M/1系统及其应用
其他参数
平均非零排队长度：
qw
1
1
(qw q ) （辆）
即排队不计算没有顾客的时间，仅计算有顾客时的平均排队长度， 即非零排队。如果把有顾客时计算在内，就是前述的平均排队长度。
M/M/1系统及其应用
其他参数
系统中顾客数超过k的概率：
P(n k) 1 P(n k)
k
1- Pi 1 (1 (1 ) ... k (1 )) i 0
排队论
退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页退出前一页后一页退出前一页后一页退出前一页后一页退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页退出前一页后一页退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页退出前一页后一页退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页退出前一页后一页退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页随机服务系统理论与展望随机服务系统理论与展望退出前一页后一页。
排队论
1.基 本 概 念
3．服务台情况。服务台可以从以下3方面 来描述： (1) 服务台数量及构成形式。从数量上说， 服务台有单服务台和多服务台之分。从构成形 式上看，服务台有： ①单队——单服务台式； ②单队——多服务台并联式； ③多队——多服务台并联式； ④单队——多服务台串联式； ⑤单队——多服务台并串联混合式,以及 多队——多服务台并串联混合式等等。 见前面图1至图5所示。
Q——任一顾客在稳态系统中的等待
时间。
1.基 本 概 念
N，U，Q都是随机变量。
对于损失制和混合制的排队系统，顾客 在到达服务系统时，若系统容量已满， 则自行消失。这就是说，到达的顾客不 一定全部进入系统，为此引入：
1.基 本 概 念
e ——有效平均到达率，即每单位时间
内进入系统的平均顾客数（期望值）； 这时就是期望每单位时间内来到系统 (包括未进入系统)的平均顾客数（期 望值） 对于等待制的排队系统，有e = 。
排队问题
前 言
排队论(Queuing Theory)， 又 称 随 机 服 务 系 统 理 论 (Random Service System Theory),是一门 研究拥挤现象(排队、等待)的科 学。具体地说，它是在研究各种 排队系统概率规律性的基础上， 解决相应排队系统的最优设计和 最优控制问题。
1.基 本 概 念
（三）排队系统的描述符号与分类
为了区别各种排队系统，根据输入 过程、排队规则和服务机制的变化对排 队模型进行描述或分类，可给出很多排 队模型。为了方便对众多模型的描述， 20世纪50年代肯道尔（D．G．Kendall） 提出了一种目前在排队论中被广泛采用 的“Kendall记号”，完整的表达方式 通常用到6个符号并取如下固定格式： A/B/C/D/E/F 各符号的意义为：
运筹学排队论
降低平均服务时间
降低服务时间旳可变性
增长服务人员
降低平均到达人数
经过顾客预约等方法来降低到达旳可变性
集中使用服务资源
更加好地计划和调度
23
处理排队问题旳措施
2.其他措施
服务场合提供娱乐设施
医生等待室放报纸杂志
自动维修间用收音机或电视
航空企业提供空中电影
等待电梯处放镜子
超级市场把冲动性商品摆放在收款台附
排队论
1
2
•
排队论，又称随机服务系统理论(,是一
门研究拥挤现象(排队、等待)旳科学。详细
地说，它是在研究多种排队系统概率规律性
旳基础上，处理相应排队系统旳最优设计和
最优控制问题。
•排队论是1923年由丹麦工程师爱尔朗
(A.K．Erlang)在研究电活系统时创建旳.
3
案例-1 银行排队系统
4
案例-2 医院排队系统
用更快旳服务人员、机器或采用不同旳设施布局和政
策来影响顾客旳到达时间和服务时间。
9
1 排队论旳基本问题
1.1 排队论旳主要研究内容
• 数量指标
– 研究主要数量指标在瞬时或平稳状态下旳
概率分布及其数字特征，了解系统旳基本
运营特征。
• 统计推断
– 检验系统是否到达平稳状态；检验顾客到
达间隔旳独立性；拟定服务时间分布及参
数。
• 系统优化
– 系统旳最优设计和最优运营问题。
10
1.2排队论旳经济含义
• 排队问题旳关键问题实际上就是对不同
原因做权衡决策。管理者必须衡量为提
供更快捷旳服务（如更多旳车道、额外
旳降落跑道、更多旳收银台）而增长旳
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一般情况下，A支行 0.1952 的服务柜台数为3个， 则 为0.864。由此， A支行的客户排队模 第一PPT模板网， 型如图1所示：
窗口（1）
窗口（2）
0.1952
窗口（3）
0.1952
0.506
四、A支行的客户排队系统效率分析
在A支行的客户排队模型中，服务柜台数为三个，通过“多服务台Wq • μ 数值表”与线性插值法，即可求得：
排队论
第一PPT模板网，
输入过程
排队
服务机构
输 入 过 程
顾客流概率分布
第一PPT模板网， 顾客到达方式
顾客总体数
等待制
损失制
第一 PPT模板网， 先到先服
排队规则
随机服务 优先权服务
务
后到先服务
廖京辉：排队论
第一PPT模板网，
廖京辉：排队论
第一PPT模板网，
龚鑫烨：银行排队系统
刘加新：医院排队系统 任天悦：程序演示
二、获取银行排队系统模型的各项参数
1、该行客户所能接受的最长逗留时间Tq 客户能够接受的最长逗留时间 Tq是指客户自到达A支行营业厅开 始，包括等待以及接受服务到离开营业厅所能承受的最长时间，Tq 是排队系统服务效率的重要参考指标。如果客户在营业厅花费的时间 超过 Tq，客户就会认为该行的服务时间过长，服务效率较低，从而 第一PPT模板网， 产生焦躁与不满情绪。通过对 A支行营业厅随机到达办理业务的 40 位客户进行现场调查，可以获得Tq，具体数据如表1。
预约 系统 排队
第一组：
廖京辉 任天悦 刘加新 龚鑫烨
廖京辉：排队论
第一PPT模板网，
龚鑫烨：银行排队系统
刘加新：医院排队系统 任天悦：程序演示
排队论
廖京辉：排队论
第一PPT模板网，
排队论
排队论是1909年由丹麦工 程师爱尔朗(A.K.Erlang) 在研究电活系统时创立的。 几十年来排论的应用领域 越来越广泛,理论也日渐完 第一PPT模板网， 善。特别是自二十世纪60 年代以来,由于计算机的飞 发展更为排队论的应用开 拓了宽阔的前景。排队是 我们在日常生活和生产中 经常遇到的现象。
Wq • μ= 1.0787
(0.864 0.8) (2.7235 1.0787 ) 2.13 0.9 0.8
因μ为0.1952，所以可以计算求得，Wq为10.9分钟，客户在营业厅 平均逗留时间Ws为16.02分钟，已经远远超过10分钟，这意味着大多 数客户会产生不满。可以想象，在业务高峰时段，客户的等待时间会 更长。 另外， 为0.864，说明A支行的服务柜台比较繁忙。此时，该支行 客户排队系统的负荷较大，客户排队时间较长，系统的业务处理效率 较低，亟待进行改进。
一、基于排队论的银行排队系统模 型 排队论 (queueing theory)通过对服务对象的到来及服务时间进行统计研
究，得出相关服务指标（等待时间、排队长度、忙期长短等）的统计规律， 并据此改进服务系统的结构或重新组织被服务对象。排队论是分析、解决服 务系统效率问题的重要方法之一。 为了深入分析银行排队系统的效率问题，我就选取某银行A支行为研究样 第一PPT模板网， 本，对该行客户的排队情况进行实地调研。 A支行客户排队系统的客户源可以认为是无限的，客户到达银行后，在排 队叫号机上选择业务类别，按先后顺序单列排队等候，排队规则为先到先服 务，队长无限制；客户到达时间和间隔时间相互独立，客户到达人数服从泊 松分布，各服务柜台相互独立工作，各服务台的服务率基本相同，服务时间 服从负指数分布，则该行客户排队问题服从于多服务台单队系统的M/M/C随 机排队模型。
第一PPT模板网，
从上表可以清晰看出，大多数客户 能够认可的 Tq时间为“10分钟”； 而当 Tq超过15分钟时，没有客户 可以接受。这说明对于A支行而言， 应把10分钟作为服务效率的上限。
2、该行客户平均到达率λ λ 获取A支行客户平均到达率 的方法是根据该行营业厅每天实 际发生的业务量来确定，同一客 户办理多笔业务,可以视同多个 第一PPT模板网， 客户同时到达。为了保证调研数 据的均衡性，本文调取了RX支行 连续十天的客户数据（以每十五 分钟为单位），并整理成客户到 达数的分布表（表2）。
龚鑫烨：银行排队系统
刘加新：医院排队系统 任天悦：程序演示
第一PPT模板网，
基于排队论的银行排队系统
Made by Gong Xinye
第一PPT模板网，
以前，客户往往会因 为在银行排队时间过 长或有人插队而引发 强烈不满，解决银行 排队系统效率问题， 不仅可以科学配置企 业资源，节约客户时 间与精力成本，提高 客户满意度，提升系 统服务效率，而且对 其它随机排队系统的 类似问题具有较高参 考价值。
通过上表，可以计算 A支行营业厅的客户平均到达率
nf 2428 7.59(人 一刻钟) f 320 第一PPT 模板网，
即该营业厅的客户平均到达率 0.506(人 分钟)
3、该行客户平均服务率μ 在实际工作中，客户存取款、转账汇款、缴费、理财、开销户 等业务是随机发生的，客户办理业务的种类不同，服务时间必然有 所差别。同时，每位柜员的业务技能素质也不尽相同，故在现场调 查中随机抽取了4名柜员办理的240笔各类业务进行统计分析。 经统计测算，240 笔业务的总服务时间为 1229.123 （分钟 /人），平均服务时间为 5.123（分钟 / 人),则客户平均服务率为μ 为0.1952(人/分钟）。经统计检验，A支 行的客户到达规律服从参数为 0.506的泊松分布，服务时间服从参 数为0.1952的负指数分布。
A.K.Erlang
排队论
有型排队： • 顾客到商店购买物品 • 病人到医院看病 • 旅客到售票处购买车票 无形排队： 顾客打咨询电话,他们分散在不同 地方却形成了一个无形队列在等待 第一PPT模板网， 咨询。
主体： 排队的不一定是人,也可以是物,如: 因故障停止运转的机器等待工人修 理, 码头的船只等待装卸货物, 要 降落的飞机因跑道不空而在空中盘 旋等。
第一PPT模板网，
五、银行排队系统效率问题的优化方案
• 1、切实贯彻以客户为中心的经营理念 • 2、多措并举，提升柜员的平均服务率 a 加强员工培训，健全激励考核机制 b现金与非现金业务分离处理 第一 模板网， cPPT 进一步优化业务流程 • 3、科学配置内部资源，设立弹性窗口 • 4、着力推广电子银行，有效分流客户 • 5、不断创新业务服务模式