在坐标系中构造平行四边形
坐标系中的平行四边形
坐标系中的一些常见结论一、知识点梳理1、坐标系中的平行四边形 写出下列各图中的点的坐标标出各图中点的坐标，并找出规律总结：两组对角上的点，从数值上满足以下关系：对角上点的坐标的和，等于另外一组对角上点的坐标的和。
从这个结论我们可以得出以下结论：如果一个平行四边形，三个顶点分别为112233(,),(,),(,)a b a b a b ，那么第四点坐标44(,)a b 有： 41234123,a a a a b b b b =+-=+-或41324132,a a a a b b b b =+-=+-或42314231,a a a a b b b b =+-=+-比如，一个平行四边形的三个顶点为(1,2),(3,4),(5,6)，那么第四个顶点坐标可能有三个： (135,246)+-+-或(153,264)+-+-或(351,462)+-+-即第四个顶点坐标可能为(1,0)-或(3,4)或(7,8)这个结论在之后的很多动点问题中都有涉及，请大家理解，并且记住。
2、坐标系中，中点的表示在坐标系中标出以下各点，并观察，写出它们中点的坐标。
(1,2),(5,4) (1,3),(5,1)-你能得出什么结论？结论：坐标系中，两点坐标为1122(,),(,)a b a b ，那么它们的中点坐标为：1212(,)22a ab b ++3、坐标系中，两条平行线的表达式之间的关系请参照第一页，算出每个平行四边形对边所在直线对应的一次函数，比较它们的k 的关系。
结论：在同一个坐标系中，平行的两条直线，它们的k 相等。
特殊情况：如果两个直线k 都不存在，那么它们也是平行的。
4、坐标系中，知道两点求过这两点的直线的表达式如果一条直线经过点(,),(,)a b c d ，那么这个直线的表达式为：()() d b y x a b c a c a-=-+≠-5、坐标系中，两点之间距离的表示：如果一线段端点为(,),(,)a b c d，那么这条线段长度为：6、坐标系中，两直线垂直，那么这两直线所对应的一次函数表达式的k关系为：121k k=-或者12,k k一个为0，另一个不存在。
平面直角坐标系中的平行四边形
(2)动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：
①当P运动到何处时，有PQ⊥AC?
②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小?此时四边形PDCQ的面积是多少?
五、中考课堂议练（超越中考p68，2，3）
六、课堂小结作业：超越中考自主训练p70，5
教学章节
第16课平面直角坐标系中四边形
教学内容
平面直角坐标系中四边形
教学年级
9年级
教学课时
1课时
教学目标
1．在掌握平行四边形的判定方法的基础上，能够根据题目的具体情况选择不同的判定方法，解决平面直角坐标系中的四边形存在性问题.
2．经历例题探究过程，初步理解求解平面直角坐标系中四边形存在性问题的一般思路.
设计意图
教
学
过
程
设
计
一、聚集考点
如图，在平行四边形ABCD中，已知A(0,0) B(1,3),D(5,0),(1)你能得出点C的坐标吗？
二、考点互动讲练
1、考点母题
如图，在平行四边形ABCD中，A（x1,y1）B（x2,y2）C（x3,y3）D（x4,y4），AC与BD交于点E，点E的坐标（x,y），说说这些点的坐标有哪些关系。
三、变式训练
如图，抛物线y=14x2-32x-4与x轴交与A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．
（1）求点A、B、C的坐标．
（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M，N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．
直角坐标系中平行四边形对角线法则
直角坐标系中平行四边形对角线法则【直角坐标系中平行四边形对角线法则】一、引言在数学中，直角坐标系是一种常见的坐标系统，用于描述平面上的点和图形。
平行四边形是一个重要的几何形状，在直角坐标系中，我们可以利用平行四边形对角线法则来计算其对角线的长度和方向。
本文将深入探讨直角坐标系中平行四边形对角线法则的原理和应用，以帮助读者更好地理解和运用这一概念。
二、基础知识回顾在讨论平行四边形对角线法则之前，我们先回顾一下直角坐标系的基础知识。
在直角坐标系中，平面上的任意一点可以用一对有序实数来表示，通常表示为(x, y)，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y 轴上的位置。
直角坐标系中有两条互相垂直的直线，称为坐标轴，用来确定平面上点的位置。
三、平行四边形对角线法则的原理平行四边形是一个有四个边和四个角的四边形，其中相对的两边是平行的。
平行四边形的对角线是连接相对顶点的线段。
平行四边形对角线法则是指，平行四边形的对角线互相平分，并且对角线的和向量等于零向量。
四、平行四边形对角线法则的应用1. 平行四边形对角线长度的计算根据平行四边形对角线法则，平行四边形的对角线互相平分，所以对角线长度相等。
给定平行四边形的两条边的坐标，可以使用直线的长度公式来计算对角线的长度。
对于平行四边形ABCD，已知A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，D(x4, y4)，则对角线AC的长度为√((x1-x3)^2 + (y1-y3)^2)。
2. 平行四边形对角线方向的计算根据平行四边形对角线法则，对角线的和向量等于零向量。
给定平行四边形的两条边的坐标，可以使用向量的加法和等于零向量的性质来求解对角线的方向。
在平行四边形ABCD中，向量AB + 向量CD =零向量。
可以利用这一关系来计算对角线的方向。
五、个人观点与总结直角坐标系中平行四边形对角线法则是解决平行四边形相关问题的重要工具。
通过理解和应用这一法则，我们可以准确计算平行四边形的对角线长度和方向。
坐标系中平行四边形顶点坐标规律
坐标系中平行四边形顶点坐标规律亲爱的朋友们，大家好！今天我要和大家聊一聊一个很有趣的问题，那就是在坐标系中如何找到平行四边形的顶点。
这个问题听起来可能有点复杂，但其实只要我们掌握了一些基本的规律和方法，就能轻松解决。
那么，让我们一起来探索一下这个有趣的话题吧！我们要明确一点，那就是在坐标系中，平行四边形是由四个点组成的。
这四个点分别是平行四边形的四个顶点，它们分别位于不同的行和列上。
为了方便起见，我们可以将这四个点分别用字母A、B、C和D表示。
接下来，我们要分析的是这些点的坐标规律。
我们可以观察到，这四个点的横坐标都是相等的。
也就是说，无论我们在坐标系中选择哪个点作为参考，其他三个点的横坐标都是相同的。
这是因为平行四边形的对边平行，所以它们的横坐标是相等的。
然后，我们再来看看这四个点的纵坐标。
同样地，这四个点的纵坐标也是相等的。
这是因为平行四边形的对角线互相平分，所以我们可以将每个角平分到两条对角线上，这样每个角上的点的纵坐标就是相等的。
现在我们已经找到了这四个点的坐标规律：横坐标相等，纵坐标相等。
那么，我们应该如何根据这些规律来确定平行四边形的顶点呢？其实，这个问题的答案很简单。
我们只需要在坐标系中画出一个平行四边形，然后根据上述规律来确定它的顶点就可以了。
具体来说，我们可以先确定一个顶点，比如点A。
然后，我们可以观察它与另外三个顶点的关系，通过计算可以得出第三个顶点的位置。
同样地，我们可以依次计算出第四个顶点的位置。
通过这种方法，我们就可以准确地确定出平行四边形的所有顶点了。
这个过程虽然看起来有些繁琐，但是只要我们熟练掌握了坐标系的规律，就能够轻松地解决这类问题。
总的来说，找到平行四边形的顶点并不难，关键在于我们需要掌握一些基本的数学规律。
只要我们按照上述方法进行操作，就能够准确地找出平行四边形的顶点位置。
希望大家能够通过这篇文章的学习，提高自己的数学能力，更好地应对各种复杂的问题！。
坐标系中的平行四边形共15页
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
坐标系中的平行四边形
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
坐标系中的平行四边形的知识
坐标系中的平行四边形的知识平行四边形是几何学中一个常见的形状，它具有独特的性质和特点。
在坐标系中，平行四边形的性质可以通过坐标的运算和几何知识来得到详细描述。
平行四边形的定义平行四边形是一个具有两对边平行的四边形。
在坐标系中，平行四边形可以通过坐标点表示，其中相邻的两个点构成一条边，而相对的两个点之间的线段是平行的。
平行四边形的性质包括对角线互相平分、相对边平行等。
平行四边形的判定在坐标系中，可以通过坐标点的斜率来判定平行四边形。
如果四个点的斜率相等，则这四个点构成的四边形是平行四边形。
斜率的计算方法为两点之间纵坐标的差值除以横坐标的差值。
平行四边形的性质1.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，并且中点连线是平行四边形的对边之一。
2.相邻角互补：平行四边形的相邻内角互补，也就是说相邻角的和为180度。
3.临角相等：平行四边形的临角相等，也就是相对边之间的角相等。
4.相对边平行：平行四边形的相对边是平行的。
5.对角线长：对角线长相等。
平行四边形的性质应用平行四边形的性质在几何推导和解题中有着广泛的应用。
通过利用平行四边形的性质，可以简化几何问题的计算和分析。
在坐标系中，通过有效地利用平行四边形的知识，可以更快速地解决复杂的几何问题。
总结在坐标系中，平行四边形是一个重要的几何形状，具有多种性质和特点。
通过对平行四边形的定义、判定和性质进行深入了解，可以更好地应用几何知识解决问题。
平行四边形的知识不仅在数学领域有着重要意义，也可以延伸到其他学科和实际生活中，为我们提供更多的思维方式和解决问题的途径。
坐标系中平行四边形存在性问题探究教学设计
西安爱知中学第十一届校本教研备课组公开课教案年级初三备课组数学组姓名霍高峰坐标系中平行四边形存在性问题探究教学设计课堂练习：1、如图，二次函数x x y 31322—=的图象经过△AOB 的三个顶点，其中A(-1，m )，B(n,n ) ． （1）求A 、B 的坐标；（2）在坐标平面上找点C ，使以A 、O 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形． ①这样的点C 有几个？ ②能否将抛物线x x y 31322—=平移后经过A 、C 两点？若能，求出平移后经过A 、C 两点的一条．．抛物线的解析式；若不能，说明理由．2、如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．xyBAO C《坐标系中平行四边形问题探究》教学反思一直以来，关于在坐标系中，特别在二次函数中讨论平行四边形存在性问题困扰自己，有时自己觉得非常简单的方法对于学生却如同天书一般困难，思考再三，根据平行四边形的图形特点，总结了利用表示坐标的方法解决平行四边形问题的方法。
坐标法不是探讨和论证线段的相等、三角形的全等……，而是用动态的观点看待几何图形——把平行四边形看成是由一条线段平移而成，用数的运算来描述图形的变化——用坐标表示平移，其本质是用几何变换去认识几何图形，用代数方法来解决几何问题，体现的是解析几何的思想、数形结合的思想、几何变换的思想．坐标法的思路：先由题目条件探索三点的坐标（若只有两个定点，可设一个动点的坐标）．根据平行四边形的对角线互相平分这一特征，借助中点坐标公式，探索出平行四边形对角线端点坐标关系，顺利写出第四个顶点的坐标．最后根据题目的要求（动点在什么曲线上），判断平行四边形的存在性．坐标法的特点：①不会遗漏．坐标法回避了对复杂图形的相互关系的分析；②不需证明．坐标法直接写出第四个点的坐标，跨越了复杂的推理过程，回避了繁琐的证明；③不限条件．坐标法适用范围广，无论定点在什么位置、无论动点在哪几条曲线上、在什么曲线上，都可以探索，真正是以不变应万变．坐标法实际就是要用代数的方法研究几何问题，加强数形之间的联系，突出数形结合的思想．这启发我们在日常的教学活动中，要加强对新课程的研究，渗透新课程的理念，按照新课程的要求及时渗透数形结合的思想、几何变换的思想，引导学生从不同的角度思考问题，这样才能从教材简单的例、习题中获得解决问题的新方法、新思想，才能引导学生重视教材，同时培养学生探索的能力和创新的意识．从本节课学生的情况来看，学生对于这种方法接受容易，学习的兴趣也得到提升，在课堂中能够积极发言，探讨遇到的问题。
平面直角坐标系中平行四边形存在性的探究
Ｂ
Ａ
／ ／ ７
／ ／ ｃ 。
图２
为平行 四边 形 ．
关键 词 ：分 类讨 论 ；平行 四 边形 ；存 在 性 ；直 角
坐 标 系
如何较快地求 出点 。 的坐
标 呢 ？在 教 学 过程 中 ，笔 者 发 现 学 生 最初 在 思 考这 一 问题 时 ，有
可 以把 点 Ａ也 视 为 一 个 定 点 ．根 据类 型 １中 “ 已知 三 个 定 点 ” 的分 析 方 法 ，可 知 其对 应 的点 共 有 三 个 ， 并 可 以 用 平 移 法 写 出 它 们 的 坐 标 ，为 Ｍ （ ｔ 一４ ，２ ） ，
Ｍ（ ４一ｔ ，２ ） ，Ｍ（ ｔ ＋４ ，一 ２ ） ．
）｜ ～
类型 １ ：已知三个定点 。求第 四个点
情形 ２ ：若 以 Ａ Ｂ， Ｂ Ｃ为 边
Ａ
●
（ 如 图 ３ ）， 可 得
平 面 内有点 Ａ（ ４ ，４ ） ， （ 一 ２ ，２ ） ， Ｃ （ ３ ，一 １ ） ，试 在此 平 面 中找 出另
一
（ ９ ，１ ） ．
ｙ
Ｃ Ｍ ，其 中点 Ａ（ ４ ，４ ） 到点 Ｃ （ ３ ，一 １ ） 是 向左 平 移 １ 个单 位 ， 向下 平 移 ５个 单 位 ，故 也 将 点 Ｂ（ 一 ２ ，２ ） 如 此 平 移 ，即得 点 。 （ 一 ３ ，一 ３ ）（ 也 可 以看 成是 将 线段 Ａｃ平
移到 Ｂ Ｍ ） ． 例 １ 如图 ｌ ，在 直 角 坐 标
点 的运 动路线一定 是在过点 ｃ （ 或 点 Ｃ关于直线
Ａ Ｂ 的对 称 点 Ｃ ） 且 平行 于 Ａ Ｂ的 这两 条直 线 上 ．这 时
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在坐标系中构造平行四边形
知识复习：
（一）平行四边形的定义
（二）平行四边形的性质
（三）平行四边形的判定
.在坐标系中构造平行四边形
（一）.三个定点，一个动点
2.已知 A （2 , -1 ）、B （1,1 ）, C （ 3,3 ）,
在坐标平面内确定一个点P,使得以A、B、
C、P为顶点的四边形是平行四边形
（二）.两个定点，两个动点（对动点的位置有要求）
1.已知A、B,在坐标平面内确定一个点P,使得以0、A、B、P为顶点的四边形是平行四
边形
(1 ) A (2,0 ), B ( 0,1 ) (2) A (2,0 ), B (1,1 )
y J
B
x
A *
■
B
x
----- + ------
A
x 3上，1.两个动点均在直线上
(1 )已知：点 B (2,0 )和直线y x 3，点C在y轴上，点P在直线y
若以0、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，求出符合条件的点P的坐标。
(2) 已知：点 A( 2,0 )、B( 0,1 )和直线y 在坐
标轴上，点P在直线y x 3上，若以顶点的四边形是
平行四边形，求出符合条件的点
2. 一个动点在直线上，另一个动点在抛物线上
(1)已知：抛物线y x2 3x 2与x轴交于A、B两
点(A点在B点的左侧)，点C在抛
物线的对称轴上，点 P在抛物线上，若以
符合条件的点P的坐标。
A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，求出
点P在抛物线上，若以
(3)已知：抛物线y
2
(2)已知：抛物线y x 4x
在B点的
左侧)，与
y轴交于点
D、B、C、P为顶点的四边形是平行
四边形，求出符合条件的点
2
x 4x 5与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧)，与y轴交于
点D，点C在y轴上，点P在抛物线上，若以B、D、C、P为顶点的四边形是平行四边形,
占
八、
、
求出符合条件的点 P的坐标。
(4)已知：抛物线y x 4x 5与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧)，与y轴交
于点D，点C在x轴上，点P在抛物线上，若以 B、D、C、P为顶点的四边形是平行四边形，
求出符合条件的点 P的坐标。
三•课后练习：
1. 已知抛物线y 1x2 1 (如图所示)•
4
(1 )填空：抛物线的顶点坐标是( ，)，对称轴是；
(2)已知y轴上一点 A (0 , 2),点P在抛物线上，过点 P作PB丄x轴，垂足为B.若A PAB 是等边三角形，求点 P的坐标；
(3)在(2)的条件下，点 M在直线AP上.在平面内是否存在点 N，使四边形 OAMN 为
菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.
2. 如图，在矩形 OABC中，AO=10 , AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC,使点
B落在OA边上的点E处.分别以OC, OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系,
抛物线y=ax 2+bx+c 经过O，D，C三点.
(1 )求AD的长及抛物线的解析式；
(2)一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点 C运动，同时动点Q从点C 出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点 O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动.设运动时间为t 秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ ADE相似？
(3)点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点 M与点N，使以M , N ,
C, E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由.
A k :
B
1
3•如图甲，在平面直角坐标系中, A、B的坐标分别为(4,0 )、( 0,3)，抛物线y3x2bx c
4
经过点B，且对称轴是直线x
(1 )求抛物线对应的函数解析式;
(2)将图甲中厶ABO沿x轴向左平移到△ DCE (如图乙)，当四边形ABCD是菱形时，请说明
点C和点D都在该抛物线上;
(3 )在(2 )中，若点 M是抛物线上的一个动点(点 M不与点C、D重合)，经过点M作
MN //y轴交直线CD于N，设点M的横坐标为t, MN的长度为I，求I与t之间的函数解析
4 .已知，在 Rt △OAB中，/OAB = 90。
，启OA = 30 °,AB = 2 .若以O为坐标原点， OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点 B在第一象限内.将 Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点 C处.
(1 )点C的坐标为 _______________
(2 )若抛物线y = ax 2+ bx经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
(3)若抛物线的对称轴与 OB交于点D，点P为直线OB上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M •问：是否存在这样的点 P,使得以C、D、M、P为顶点的四边形为平行四边
形？若存在，求出此时点 P的坐标；若不存在，请说明理由.
2
5. (2012陕西中考) 如果一条抛物线y二ax +bx+c a 0与x轴有两个交点，那么以该抛
物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.
(1)“抛物线三角形” 一定是___________ 三角形；
(2 )若抛物线y=-x2+bx b>0的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
(3)如图，△ OAB是抛物线y=-x2+bx b'>0的“抛物线三角形”，是否存在以原点0为对称中心的矩形ABCD ?若存在，求出过0、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由.
6. (2010陕西中考) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 A (-1,0 ), B (3,0 ) C ( 0, -1 )
三点。
(1 )求该抛物线的表达式；
(2 )点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使 Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形求
所有满足条件点P的坐标。
7.(河南2010 )在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A( 4,0) , B(0, 4) , C(2,0)三点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m ‘^AMB的面积为S.求S 关于m的函数关系式，并求出S的最大值.
(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y x上的动点，判断有几个位置能够使得点
P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.
8.(2011年凉山州)如图，抛物线与x轴交于A (为,0)、B ( X , 0 )两点，且X i X，与y轴交于点C 0, 4，其中％, x2是方程x2 4x 12 0的两个根。
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN // BC，交AC于点N，连接CM，当
△ CMN的面积最大时，求点M的坐标；
(3 )点D 4,k在(1)中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在X轴上是否存在点F，使以
A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标，
若不存在，请说明理由。