高一数学课题三角函数的总复习同步讲义
高一数学-高一数学第四章三角函数同步辅导讲义(2) 精品
高一数学第四章三角函数同步辅导讲义第3讲同角三角函数的基本关系和正弦、余弦的诱导公式一、学习指导1．同角三角函数的基本关系（1）同角三角函数的基本关系中，1cos sin 22=+αα也称为平方关系.在三角式恒等变形时，该关系式常常用以对1进行代换，有时也要用到其变形的形式：αα22cos sin 1=-，αα22sin cos 1=-.（2）同角三角函数的基本关系中，αααtan cos sin =也称为商数关系.在恒等变形时应熟悉等式：αααcos tan sin ⋅=，αααtan sin cos =.由αααtan cos sin =也可以看出，当0cos =α，即)(2Z k k ∈+=ππα时αtan 不存在.（3）同角三角函数的基本关系中，1cot tan =⋅αα也称为倒数关系，由此还可以推出ααααsin cos tan 1cot ==，αααsin cot cos ⋅=. （4）根据上述几个基本关系式，还可以得出两个倒数关系：1cos sec =⋅αα，1sin csc =⋅αα，和两个平方关系：αααααααα22222222sec cos 1cos cos sin 1cos sin 1tan ==+=+=+， ααααα22222csc sin 11sin cos 1cot ==+=+. （5）上述几个基本关系中，必须注意：①它们都是同一个角的三角函数，因此1cos sin 22=+βα不一定成立；②这几个恒等式都是在所取的角α使等式两边都有意义的前提下成立.（6）同角三角函数的基本关系常用于：①已知角α的某个三角函数值，求角α的其他三角函数值；②化简三角函数式；③证明三角恒等式.2．正弦、余弦的诱导公式（1）正弦、余弦的诱导公式（公式二——公式五）可以概括为“函数名不变，符号看象限”，即公式前后函数的名称都相同，公式中的符号是把角α看成锐角时原函数值的符号.（2）利用诱导公式一——公式五可以把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.任意角的三角函数可以用公式一转化为0到360角θ的三角函数.若θ为第二象限角，用公式四可以转化为锐角三角函数；若θ为第三象限角，用公式二可以转化为锐角三角函数；若θ为第四象限角，用公式五可以转化为锐角三角函数.这些都体现了数学中将未知的问题转化为已知问题的化归思想.例1 已知)0(sin >>+-=b a ba ba α，求αcos 和αtan . 解 ∵0>>b a ，∴0sin >-ba 若α =cos α tan =α 若α =cos α评析 （1）的符号.（2）例2 （1 （2）已知51cos sin =+αα，求αtan 的值.解 （1）9543132314sin 32tan cos cos 4sin 3cos cos 2sin cos 4sin 3cos 2sin -=+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯--=+-=+-=+-αααααααααααα； )cos (sin 2cos sin 3sin 2cos sin 3sin2222αααααααα++⋅-=+⋅-1tan 2tan 3tan 3cos sin cos 2cos sin 3sin 3222222++-=++⋅-=ααααααααα 31912131131231331322=+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=. （2）由51cos sin =+αα，两边平方，得251cos cos sin 2sin 22=+⋅+αααα，2512cos sin -=⋅αα，2512cos sin cos sin 22-=+⋅αααα，25121tan tan 2-=+αα，012tan 25tan 122=++αα，∴34tan -=α或43tan -=α.评析 （1）若由31tan -=α先求αsin 和αcos 的值再代入求值，因需讨论α的象限，解题过程显得比较繁琐.（2）要注意αα22cos sin 1+=的应用，在上述解法中，运用这个平方关系，就将2cos sin 3sin 2+⋅-ααα化为关于αsin 和αcos 的二次式，从而变形为关于αtan 的函数式.例3 化简：（1）θθθθθθθθcos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1-++++++-+；（2）θθθθθθcos sin sin tan 1cos sin 22-+-+. 解 （1）原式θθθθθθ2222cos )sin 1(]cos )sin 1[(]cos )sin 1[(-++++-+= θθθθθθθθ22222sin 2sin 2)sin 22(2cos sin sin 21]cos )sin 1[(2++=-++++= θθθθθcsc 2sin 2)sin 1(sin 2)sin 1(4==++=.（2）原式θθθθθθθθθθθθθθθsin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin 1cos sin 2222222---+=---+= θθθθθθθθsin cos sin cos sin sin cos cos 22+=---=. 评析 在化简三角函数式和证明三角恒等式时，常利用商数关系和倒数关系，将αtan 、αcot 、αsec 、αcsc 全部化为αsin 和αcos 的式子，再进行化简和证明.例4 求证：（1）x x x x 2266cos sin 31cos sin ⋅-=+； （2）xxx x x x x x sin 1cos cos 1sin cos sin 1)cos (sin 2+-+=++-.证：（1）左边)cos cos sin )(sin cos (sin 422422x x x x x x +⋅-+= =⋅-+=x x x x 22222cos sin 3)cos (sin 右边 ∴等式成立.（2）⎪⎭⎫⎝⎛+-+-++-x x x x x x x x sin 1cos cos 1sin cos sin 1)cos (sin 2)cos 1)(sin 1(cos cos sin sin cos sin 1)cos (sin 222x x xx x x x x x ++--+-++-= )cos 1)(sin 1()cos sin 1)(cos (sin cos sin 1)cos (sin 2x x x x x x x x x x ++++--++-=)cos 1)(sin 1)(cos sin 1(])cos sin 1()cos 1)(sin 1(2)[cos (sin 2x x x x x x x x x x ++++++-++-=)cos 1)(sin 1)(cos sin 1()cos sin 2cos 2sin 2cos sin 1cos sin 2cos 2sin 22)(cos (sin 22x x x x x x x x x x x x x x x x ++++⋅------⋅+++-=0=，∴等式成立评析 证明三角恒等式时，既可以从左边证到右边，或从右边证到左边，也可以两边同时进行变形，有时也需要如第（2）题那样作差，证明差为零，总之，要根据具体情况灵活选用方法.例5 已知1cos cos sin sin 2424=+yxy x ，求证：1cos cos sin sin 2424=+x y x y . 分析 若能由已知条件求出角x 和y 的三角函数的关系，再代入欲证的等式左边，将它化为同一个角的三角函数的式子，就可以利用同角三角函数的关系证明等式.证明 ∵1cos cos sin sin 2424=+yxy x ，∴y y y x y x 222424cos sin sin cos cos sin ⋅=⋅+⋅. )sin 1(sin sin )sin 1()sin 1(sin 2222224y y y x y x -⋅=⋅-+-.y y y x y x y y x x 4224222244sin sin sin sin sin sin 2sin sin sin sin -=⋅+⋅-+⋅-，0sin sin sin 2sin 4224=+⋅-y y x x ，0)sin (sin 222=-y x . ∴y x 22sin sin =，y x 22cos 1cos 1-=-，y x 22cos cos =.∴1cos sin cos cos sin sin cos cos sin sin 2224242424=+=+=+x x xx x x x y x y . 例6 已知C B A 、、为ABC ∆的内角，求证：C B A sin )sin(=+，C B A cos )cos(-=+，C B A tan )tan(-=+.证明 在ABC ∆中，∵π=++C B A ，∴C B A -=+π. ∴C C B A sin )sin()sin(=-=+π， C C B A cos )cos()cos(-=-=+π，C B A B A B A tan )cos()sin()tan(-=++=+.例7 已知),0(πα∈，43)9tan(-=-πα，求)6sin(απ-和)7cos(απ+的值. 解 43tan )tan()10tan()9tan(-==+=-+=-ααππαππα，∵),0(πα∈，∴α是第二象限角.1625143cos 11cos sin 1tan 22222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+=+x x x α， ∴2516cos 2=α，54cos -=α，535443cos tan sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=ααα， ∴53sin )sin()6sin(-=-=-=-αααπ， 54cos )cos()7cos(=-=+=+ααπαπ.例8 化简：)3cos()5sin()6cos()5sin()(cos )3(sin 22απαπαπαπαπαπ-++--++--+解 原式)cos()sin()cos()sin()cos ()(sin 22απαπααπααπ-++--++--+=ααααααcos sin cos sin cos sin 22-++--=ααααcos sin )sin (cos -++-= αcos 2-=.例9 求值：)315cot()675tan(420cos )750sin()390cos(480sin-+--⋅+-⋅ 解 原式45cot 45tan 60cos 30sin )30cos(120sin +-⋅+-⋅= 11212130cos 60sin +-⋅+⋅=1412323=+⋅=.例10 已知3)53tan(-=+πα，求⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+απαππααπ52cos 517sin 357cos 258sin 的值. 解 设βπα=+53，则3tan -=β. 原式βββββπβππββπcos sin 3cos 2sin )cos()4sin(3)2cos(2)sin(+-+-=----++=2119231tan 32tan =++=+-+-=ββ.巩固练习一、选择题1．已知21sin 4cos 2=++θθ，则)3cos 2)(1(sin -+θθ的值等于（ ） A ．6- B ．6 C ．1- D ．1 2．已知α是三角形的一个内角，且65cos sin =+αα，则这个三角形的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 3．如果角θ满足条件622sin +-=k k θ，62cos +-=k kθ，则角θ是（ ） A ．第一或第三象限角 B ．第二或第四象限角C ．第二象限角D ．第三象限角4．已知1312)36sin(=-α，则)396sin(2)864sin(αα--+的值等于（ ） A ．1336- B ．1312C ．1312-D ．1236-或1312-5．已知35)cos (sin 2=+αα，则αtg 的值（ ）A ．等于253- B ．等于253+或253- C ．等于275+或275- D ．不存在 6．若四边形ABCD 内接于圆，则下列式子中必定成立的是（ ）A ．D A sin sin -=B ．D B sin sin -=C ．D A cos cos -= D ．D B cos cos -= 二、填空题7．求值：=+-⋅-+⋅- 585tan )690sin()1380cos(930cos )870sin(________________.8．已知20πα<<，且m =+)s i n 1l g (α，n =-αsin 11lg，则=αc o s lg _______________.9．已知41sin =α，1)sin(-=+βα，则=+)2sin(βα______________. 10．已知3tan =α，则=-ααcos sin _______________.三、解答题11．化简：（1）ααααααcos sin 2cot cos tan sin 22⋅+⋅+⋅；（2）αααααα442442cos sin 1cos sin cos sin --⋅+⋅. 12．（1） 已知：)1(5cos ≤=⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a θπ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπ54cos 和⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθ521cos 的值.（2） 已知：x =-++)cos()sin(απαπ，y x x =+cot tan ，求x 和y 满足的关系式.13．（1） 求证：αααααα22422422cos sin 16]sin )cos 1[(]cos )sin1[(⋅=-+⋅-+；（2） 已知：c b a =+ααcos sin ，d b a =-ααsin cos ，求证：2222d c b a +=+.14．已知1cos sin cos sin =⋅++x x x x ，求：x x cos sin +和x x cos sin ⋅的值.参考答案[答案]一、1．A 2．B 3．B 4．C 5．B 6．D 二、7．435+ 8．2n m - 9．41 10．510±三、11．（1）ααcsc sec ⋅；（2）2112．（1）a -=⎪⎭⎫⎝⎛+θπ54cos ，a =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθ521cos ；（2）y x 212+= 13．略14．1cos sin =+x x ，0cos sin =⋅x x . [提示]一、1．2sin 24sin 12+=+-θθ，03sin 2sin 2=-+θθ，1sin =θ或3-，∵1cos 1sin 22≤-=θθ，1sin 1≤≤-θ，∴1sin =θ，0cos =θ.2．3625)cos (sin 2=+αα，03611sin 2<-=⋅ααco ，∵πα<<0，0sin >α， ∴0cos <α，α为钝角.3．由1cos sin 22=+θθ，推出1-=k 或7=k .5．35)cos (sin 2=+αα，31cos sin =⋅αα，311tan tan 2=+αα，01tan 3tan 2=+-αα，253tan ±=α. 6．由四边形内接于圆，π=+D B . 二、8．ααα2cos lg sin 11lg)sin 1lg(=--+=-n m .9．由1)sin(-=+βα，)(22Z k k ∈+-=+ππβα，ααπαππαβαβαsin )sin()4sin(])(2sin[)2sin(=-=--=-+=+k .10．由3tan =α，可得103sin =α，101cos =α，或103sin -=α，101cos -=α.三、11．（1）原式ααααααααααααcos sin 2cos sin cos sin cos sin 2sin cos cos sin 4433⋅+⋅+=⋅++=ααααααααααααcsc sec cos sin 1cos sin 2cos sin cos sin 2)cos (sin 22222⋅=⋅=⋅+⋅⋅-+=.（2）原式21cos sin 2cos sin cos sin )cos (sin )sin (cos cos sin 2222442222222=⋅⋅=--++⋅=αααααααααααα. 12．（1）a -=⎪⎭⎫⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛+θπθππθπ5cos 5cos 54cos ， a =⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-θπθππθππθ5cos 54cos 521cos 521cos .（2）ααααααααcos sin 1sin cos cos sin cot tan ⋅=+=+=y ， yx 21cos sin 21)cos sin (22+=⋅+=--=αααα. 13．（1） 左边)sc1)(sin cos 1)(cos sin 1)(cos sin 1(22222222αααααααα-+++-+++=αααα2222cos sin 16cos 22sin 22⋅=⋅⋅⋅=（2）2222)sin cos ()cos sin (ααααb a b a d c -++=+ 22222222)sin (cos )cos (sin b a b a +=+++=αααα14．设t x x =+cos sin ，则2cos sin 21t x x =⋅+，21cos sin 2-=⋅t x x ，1212=-+t t ，0322=-+t t ，1=t 或3-=t ，∵1sin -≥x ，1cos -≥x ，∴2cos sin -≥+=x x t ，∴1=t ，即1cos sin =+x x ，0cos sin =⋅x x第4讲两角和与差的正弦、余弦、正切一、学习指导1．两角和与差的余弦（1）两角和与差的余弦公式：)(sin sin cos cos )cos(βαβαβαβα+⋅-⋅=+C )(sin sin cos cos )cos(βαβαβαβα+⋅+⋅=-C它们的特点是：左边为两角和与差的余弦，右边含有单角的余弦和正弦同名函数的积；左边两个角之间的符号与右边两项间的符号相反.（2）不仅要会从左边到右边运用公式，也要熟悉从右边到左边运用公式.在运用公式时，α和β不一定是“单角”，也可以是“复角”，应根据题中的具体情况选定. （3）应用公式βα±C 可以将初中时学过的诱导公式ααπcos 2sin =⎪⎭⎫⎝⎛-和ααπsin 2cos =⎪⎭⎫⎝⎛-中角α只能为锐角的条件限制取消，推广到α可以是任意角.2．两角和与差的正弦（1）两角和与差的正弦公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+，)(βα+S βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=-，)(βα-S它们的特点是：左边是两角和与差的正弦，右边含有单角的正弦和余弦异名函数的积；左边两个角之间的符号与右边两项之间的符号相同.（2）与两角和与差的余弦公式类似，要熟悉从右边到左边运用公式βα±S . 3．两角和与差的正切（1）两角和与差的正切公式)(tan tan 1tan tan )tan(βαβαβαβα+⋅-+=+T ，)(tan tan 1tan tan )tan(βαβαβαβα-⋅+-=-T ，当且仅当αt a n ，βtan ，)tan(βα±都存在，即2ππα+≠k ，2ππβ+≠k ，)(2Z k k ∈+=±ππβα时才成立.（2）对于公式βα+T 和βα-T 的变形形式：)tan tan 1()tan(tan tan βαβαβα⋅-⋅+=+， )tan tan 1()tan(tan tan βαβαβα⋅+⋅-=-.要能熟练运用，这在解某些问题时常会用到.二、典型例题 例1 已知54cos =α，135sin =β，求()βα+cos 的值. 分析 由公式βα+C 知，应先根据题中条件求出αsin 和βcos 的值.但因为角α和β的象限不确定，就必须对α和β的情况分别进行讨论.解 ∵054cos >=α，∴α是第一象限或第四象限角. ∵0135sin >=β，∴β是第一象限或第二象限角. ①若α是第一象限角，β是第一象限角，53541cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=αα，13121351sin 1cos 22=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=ββ，∴6533135********sin sin cos cos )cos(=⋅-⋅=⋅-⋅=+βαβαβα. ②若α是第一象限角，β是第二象限角， 53sin =α，1312sin 1cos 2-=--=ββ， ∴6563135********)cos(-=⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=+βα.③若α是第四象限角，β是第一象限角，53541cos 1sin 22-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=αα，1312cos =β，∴()6563135********cos =⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=+βα. ④若α是第四象限角，β是第二象限角，53sin -=α，1312cos -=β， ∴6533135********)cos(-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=+βα. 例2 已知α为锐角，且1356cos =⎪⎭⎫⎝⎛+πα，求αcos 的值. 分析 对已知等式左边若用公式βα+C ，则有6sinsin 6coscos παπα⋅-⋅，因αα2c o s 1s i n -=，需解一个关于αcos 的无理方程，所以此法不妥.若注意已知条件中的角6πα+和欲求值的角α之间有关系66ππαα-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，就可以运用公式βα+C 求解. 解 ∵20πα<<，∴3266ππαπ<+<， ∴131213516cos 16sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+παπα， 6sin 6sin 6cos 6cos 66cos cos ππαππαππαα⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 26123521131223135+=⨯+⨯=. 例3 已知πβπα<<<<20，且414sin =α，426sin +=β，求)sin(βα+的值.解 ∵20πα<<，∴424141sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=αα，∵πβπ<<2， ∴4261612284261cos 1cos 22--=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=--=αβ.∴βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+162322127242642426414++-=+⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=.例4 求证：βαβαβα22sin sin )sin()sin(-=-⋅+.证： )sin()sin(βαβα-⋅+)sin cos cos (sin )sin cos cos (sin βαβαβαβα⋅-⋅⋅⋅+⋅= βαβα2222sin cos cos sin ⋅-⋅=βαβα2222sin )sin 1()sin 1(sin ⋅---⋅=βα22sin sin -=例5 不查表求值：（1） 70cos 70sin 80cos 2-；（2）48sin 74cos 64cos 42cos 16sin 26sin +⋅+⋅. 解 （1）)2090cos()2090sin()2060cos(270cos 70sin 80cos 2---+=-20sin 20cos )20sin 60sin 20cos 60(cos 2-⋅-⋅= 320sin 20sin 320sin 20cos 20sin 2320cos 212-=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=. （2）)1664sin(16sin 64cos )1626cos(16sin 26sin 48sin 74cos 64cos 42cos 16sin 26sin -+⋅++⋅=+⋅+⋅16sin 64cos 16cos 64sin 16sin 64cos 16sin 26sin 16cos 26cos 16sin 26sin ⋅-⋅+⋅⋅-⋅+⋅=126sin 26cos )2690sin(26cos 16cos 64sin 16cos 26cos ==-=⋅⋅=. 评析 （1）第（1）题变形时，把80拆成2060+，看起来好象把问题复杂化了，但因60是特殊角，它的三角函数值已知，且20cos 70sin =，因此其效果是使问题变得简单了.（2）第（2）题变形时注意到分子上的角有关系421626=+，分母中16sin 74cos =，且481664=-，因此分别用公式βα+C 和βα-S 就可以求得式子的值.例6 （1）已知：43cos sin =+βα，45sin cos -=+βα，求)sin(βα+； （2）已知：32sin sin =+βα，97cos cos =+βα，求)cos(βα-.解 （1）由43cos sin =+βα ①，45sin cos -=+βα ②.①2+②2：ββααββαα2222sin sin cos 2cos cos cos sin 2sin +⋅+++⋅+224543⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=，∵1cos sin 22=+αα，1cos sin 22=+ββ，)sin(sin cos cos sin βαβαβα+=⋅+⋅.∴1634)sin(22=++βα，162)sin(2=+βα，∴161)sin(=+βα. （2）由32sin sin =+βα ③，97cos cos =+βα ④.③2+④2：ββααββαα2222cos cos cos 2cos sin sin sin 2sin+⋅+++⋅+229732⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=，∵1cos sin 22=+αα，1cos sin 22=+ββ，)cos(sin sin cos cos βαβαβα-=⋅+⋅.∴()8185cos 22=-+βα，()8177cos 2-=-βα，∴16277)cos(-=-βα. 例7 已知α、β为锐角，且αtan 、βtan 是方程0972=+-x x 的两个实数根，求)sin(βα+，)cos(βα+和)tan(βα+的值.解 ∵αtan 、βtan 是方程0972=+-x x 的两个实根， ∴7tan tan =+βα，9tan tan =⋅βα，∴87917tan tan 1tan tan )tan(-=-=⋅-+=+βαβαβα.∵20πα<<，20πβ<<，∴πβα<+<0，又0)tan(<+βα，∴πβαπ<+<2)(cos 1)(cos )(sin 1)(tan 12222βαβαβαβα+=+++=++. ∴64113871)(cos 122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+βα，11364)(cos 2=+βα. ∴113113811364)cos(-=-=+βα. 1131137113113887)cos()tan()sin(=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋅+=+βαβαβα. 评析 此类问题通常不用一元二次方程的求根公式求αtg 和βtg 的值再解，而是用韦达定理求解.例8 （1）在锐角三角形ABC 中，求证：C B A C B A tan tan tan tan tan tan ⋅⋅=++；（2）若4πβα=+，求证：2)tan 1)(tan 1(=++βα.证： （1）∵C B A 、、是ABC ∆的三个内角， ∴π=++C B A ，C B A -=+π，∴)tan()tan(C B A -=+π，C BA BA tan tan tan 1tan tan -=⋅-+，)tan tan 1(tan tan tanB AC B A ⋅--=+，∴C B A C B A tan tan tan tan tan tan ⋅⋅=++.（2）∵4πβα=+，∴1)tan(=+βα. βαβαβαtan tan tan tan 1)tan 1)(tan 1(⋅+++=++211tan tan )tan tan 1()tan(1=+=⋅+⋅-⋅++=βαβαβα. 例9 求值：（1）36tan 24tan 336tan 24tan ⋅++；（2）20tan 40tan 40tan 30tan 30tan 20tan ⋅+⋅+⋅. 解： （1）36tan 24tan 336tan 24tan ⋅++36tan 24tan 3)36tan 24tan 1()3624tan(⋅⋅+⋅-⋅+= 336tan 24tan 3)36tan 24tan 1(60tan =⋅+⋅-⋅= . （2）20tan 40tan 40tan 30tan 30tan 20tan ⋅+⋅+⋅ 20tan 40tan )40tan 20(tan 30tan ⋅++⋅=20tan 40tan )40tan 20tan 1()4020tan(33⋅+⋅-⋅+⋅=120tan 40tan 40tan 20tan 1=⋅+⋅-=. 例10 已知tt y x 2)tan(-=-，1tan tan -=⋅t y x ，4)(tan 2=+y x ，求实数t 的值. 解 )tan tan 1()tan(tan tan y x y x y x ⋅+⋅-=- 2)]1(1[2-=-+⋅-=t t tt . 2222)tan tan 1(tan tan 4)tan (tan tan tan 1tan tan )(tan y x y x y x y x y x y x ⋅-⋅+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+=+ 4)2()]1(1[)1(4)2(2222=-=---⋅+-=t t t t t ， ∴)44(422+-=t t t ，0161632=+-t t ，∴4=t 或34=t . 三、巩固练习一、选择题1．195sin 的值等于（ ） A ．462+-； B ．462-； C ．462+； D ．426-. 2． 若B A 、是ABC ∆的两内角，且B A B A sin sin cos cos ⋅>⋅，则ABC ∆（ ）A ．是锐角三角形；B ．是直角三角形；C ．是钝角三角形；D ．不能确定形状.3． 已知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，⎪⎭⎫⎝⎛∈ππβ,2，且6533)sin(=+βα，135cos -=β，则αsin 的值等于（ ）A ．6542； B ．6539； C ．6536； D ．6533.4． 若B A 、是ABC ∆的两内角，且B A cos cos ⋅是1和)cos(B A +的等差中项，则ABC ∆（ ）A ．是等腰三角形；B ．是直角三角形；C ．是等腰直角三角形；D ．是不等边三角形. 5． 已知32tan 1tan 1+=+-αα，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ4cot 的值等于（ ）A ．32-；B ．32--；C ．23-；D ．32+.6． 已知αtan 、βtan 是方程0762=++x x 的两个实根，则)tan(βα-的值等于（ ）A ．22±；B ．22；C ．42±； D ．42. 二、填空题7．求值：=+⋅--+⋅-)22sin()38sin()22cos()38cos(x x x x ________________.8． 若α、β是同一象限的角，且31sin -=α，47cos =β，则=-)s i n (βα___________.9． 求值：=+-1105tan 1105tan______________. 10．已知α是第二象限角，且135sin =α，1)tan(=+βα，则=βc o t __________________.三、解答题 11．已知178sin =α，54sin =β，求)sin(βα+的值.12．已知α、β均为钝角，且41)cos(-=+βα，1352cos -=α，求)s i n(βα-的值.13．（1）已知 45=+βα，求)tan 1)(tan 1(βα++的值；（2）求)50tan 1)(44tan 1()3tan 1)(2tan 1)(1tan 1( ++⋅⋅⋅+++的值.14．求值：（1）)60tan()30tan()60tan(tan )30tan(tan 22αααααα-⋅-+-⋅+-⋅ ；（2）20cos 20sin 10cos 2-.答案与提示[答案]一、1．B 2．C 3．B 4．A 5．D 6．C 二、7．3 8．12726- 9．3 10．177三、11．若α为第一象限，β为第一象限角，8584)sin(=+βα；若α为第一象限角，β为第二象限角，8536)sin(=+βα；若α为第二象限角，β为第一象限角，8536)sin(-=+βα； 若α为第二象限角，β为第二象限角，8584)sin(-=+βα. 12．5215512)sin(-=-βα13．（1）2；（2）232 14．（1）1；（2）3 [提示]一、2．0)cos(>+B A ，0)cos(>-C π，0cos >-C ，0cos <C .3．232πβαπ<+<，6556)(sin 1)cos(2-=+--=+βαβα，1312cos 1sin 2=-=ββ，6539131265561356533])sin[(sin =⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-+=ββαα. 4．2)cos(1cos cos B A B A ++=⋅，B A B A B A sin sin cos cos 1cos cos 2⋅-⋅+=⋅，1)cos(=-B A ，∵ππ<-<-B A ，∴0=-B A ，B A =.5．32tan 1tan 14tan +=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-αααπ，324tan 4cos 4sin 42cos 42sin 4sin 4cos 4cot +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απαπαπαππαππαπαπαπ.6．874)6(tan tan 4)tan (tan )tan (tan 222=⨯--=⋅⋅-+=-βαβαβα， 22tan tan ±=-βα，427122)tan(±=+±=-βα. 二、8．α、β为第四象限角.9．360tan )45105tan(1105tan 1105tan ==-=+-10．125tan -=α，717])tan[(tan =-+=αβαβ，177cot =β. 三、11．略12．∵α、β⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ,2，∴()ππβα2,∈+，∴415)(cos 1)sin(2-=+--=+βαβα， ∵παπ<<2，παπ22<<，∴13122cos 12sin 2-=--=αα.5215512415135411312)](2sin[)sin(-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=-βααβα. 13．（1）βαβαβαtan tan tan tan 1)tan 1)(tan 1(⋅+++=++ βαβαβαtan tan )tan tan 1()tan(1⋅+⋅-⋅++= ()2tan tan tan tan 145tan 1=⋅+⋅-⋅+=βαβα .（2）2)44tan 1)(1tan 1(=++ ，2)43tan 1)(2tan 1(=++ ，……， 2)23tan 1)(22tan 1(=++ ，2)45tan 1(=+ ，∴原式232=. 14．（1）原式)60tan()30tan()]60tan()30[tan(2tan A A A A A -⋅-+-+-⋅=)60tan()30tan()]60tan()30tan(1[)290tan(2tan A A A A A A -⋅-+-⋅--⋅-⋅=1)60tan()30tan()]60tan()30tan(1[2cot 2tan =-⋅-+-⋅--⋅⋅=A A A A A A（2）20cos 20sin )2030cos(220cos 20sin 10cos 2--=-320cos 20cos 30cos 220cos 20sin 20sin 30sin 220cos 30cos 2=⋅=-⋅+⋅=.。
(完整)高一数学《三角函数》总复习资料完美版
2021年7月30日星期五多云文档名称：《(完整word版)高一数学《三角函数》总复习资料完美版》文档作者：凯帆创作时间：2021.07.30高一数学《三角函数》总复习资料1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。
射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
3. 终边相同的角的表示：（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
（答：25-；536π-） （2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z .（3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z .（4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z .（5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z .（6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈.如α的终边与6π的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。
（答：Z k k ∈+,32ππ）4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，则2α是第_____象限角（答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
高一数学三角函数同步辅导讲义
高一数学三角函数同步辅导讲义第1讲任意角的三角函数一、学习指导1．任意角的三角函数（1）任意角的三角函不能再用初中定义锐角三角函数的办法来定义，因此通过平面直角坐标系来定义任意角的三角函数.（2）对于任意角α的三角函数，由相似形的性质可知，α的三角函数值与P点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关，即角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余还要熟悉每个象限各个三角函数的符号.第Ⅰ象限：全正；第Ⅱ象限：仅αsin ，αcsc 为正，其余为负；第Ⅲ象限：仅αtan ，αcot 为正，其余为负；第Ⅳ象限：仅αcos ，αsec 为正，其余为负.4．终边相同角的三角函数值 公式一：ααsin )360sin(=⋅+k ， ααcos )360cos(=⋅+ k ，ααtan )360tan(=⋅+ k . )(Z k ∈也称为诱导公式一，利用公式一可以把任意角的三角函数化为0到360角的三角函数.二、典型例题分析例1 已知角α的终边上有一点)0()5,12(<a a a P ，求α的各三角函数值. 解 由已知，a x 12=，a y 5=. ∵0<a ，∴a a a a y x r 1313)5()12(2222-==+=+=.∴135sin -==r y α，1312cos -==r x α，125tan ==x y α， 512cot ==y x α，1213sec -==x r α，513csc -==y r α. 例2 已知角α的终边经过点)0()4,3(≠-a a a P ，求ααcos 2sin +的值. 分析 因a 的符号不确定，所以要对字母a 进行讨论.当0>a ，P 点在第四象限，当0<a ，P 点在第二象限.解 若0>a ，03>=a x ，04<-=a y ，P 点在第四象限. a a a a OP r 55)4()3(22==-+==.54sin -==r y α,53cos ==r x α. ∴5253254cos 2sin =⨯+-=+αα. 若0<a ，03<=a x ，04>-=a y ，P 点在第二象限. a a a a OP r 55)4()3(22-==-+==.54sin ==r y α，53cos -==r x α.∴5253254cos 2sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+=+αα. 例3 若40πα<<，利用三角函数线证明：ααcos sin <，且1tan <α.① ααtan 21tan 12121=⋅⋅=⋅⋅=∆AT OA S TOA ， ∴αααtan 2121sin 21<<. αααtan sin <<. 例5 已知0sin >α，0cos <α，判断2tanα的符号.分析 首先应判断角α所在象限，然后再确定角2α所在象限及2tan α的符号. 解 ∵0sin >α，0cos <α， ∴α是第二象限角，)(222Z k k k ∈+<<+ππαππ.∴ππαππk k +<<+224.当)(2Z n n k ∈=，πππππn n 22224+<<+，2α是第一象限角，02tan >α. 当)(12Z n n k ∈+=，ππαππn n 2232245+<<+，2α是第三象限角，02tan >α. ∴2tanα必为正数.例6 求函数x x y tan cos -+=的定义域.解 由已知⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥.0tan ,0cos x x由①，角x 的终边在y 轴上，或第一象限，或第四象限，或在x 轴的非负半轴上. 由②，0tan ≤x ，角α的终边在第二象限，或第四象限，或在x 轴上. ∴角x 的终边在第四象限或x 轴的非负半轴上. ∴函数的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤<+-Z k k x k x ,222πππ. 例7 求值：（1）)1020cot(1110tan )1380cos()1830sin(-⋅+-⋅； ②（2）⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππππ441cos 423sin 35cot 417cos 22.解 （1）)1020cot(1110tan )1380cos()1830sin(-⋅+-⋅]360)3(60cot[)360330tan(]360)4(60cos[)360530sin( ⨯-+⋅⨯++⨯-+⋅⨯+=60cot 30tan 60cos 30sin ⋅+⋅= 127314133332121=+=⨯+⨯=. （2）⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππππ441cos 423sin 35cot 417cos 22⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=ππππππππ104cos 2)3(4sin 2)1(3cot 224cos 22 532131214cos4sin3cot 4cos 22=+=⋅+=ππππ.巩固练习一、选择题1．已知角α是第四象限角，则下列各式中一定为正的是（ ）A ．ααcos sin +B ．ααcos sin ⋅C ．ααtan sin ⋅D ．ααcos sin -2．若点)0,4(-P 在角α的终边上，则下列函数中不存在的是（ ）A ．αsinB ．αcosC ．αtanD ．αcot3．下列四个命题：①若0cos <α，则α是第二象限角或第三象限角；②0cos sin >⋅αα且0cot cos <⋅αα是α为第三象限角的充要条件；③若βαcos cos =，则角α和角β的终边相同；④若βα>，则βαsin sin >.其中真命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、解答题 1．求值：（1）405tan 780cos )690sin(2-+-； （2）πππππtan 5cot 49tan 527sin 223cos 3⋅+-+. .2．已知02sin <θ，且θθsin sin -=，判断点)cos ,(tan θθP 在第几象限.。
高一数学三角函数总复习同步讲义
课题 三角比总复习及测试角的象限是根本，符号法则应遵循。
牢记三角比定义，能推诱导和关系。
切割化弦是方法，三角化简常用之。
掌握两角和与差，倍半公式一线牵。
辅助角作公式用，解决问题有奇效。
万能公式会推导，求值变换两相宜。
正弦余弦好定理，求解三角有信心。
选择公式亦关键，三角比中显神通。
【要点回顾】一、任意角及其度量、弧长、扇形面积公式 （1）理解任意角、象限角的概念。
（2）掌握角度制与弧度制的互化。
（3）知道实数与角（弧度制）的一一对应关系。
（4）掌握弧长公式、扇形面积公式。
（5）知道终边在x 轴上角的集合是{},k k Z ααπ=∈， 终边在y 轴上角的集合,2k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭。
【应用举例】 【例1】概念辨析。
（1）正角、负角、零角——任意角 （2）象限角、坐标轴上的角。
（3）若角α与角β的终边相同，则()360k k Z αβ=⋅︒+∈ （4）角度与弧度的转换公式 【应用举例】【例2】判断下列各角分别是哪个象限的角。
（1）3905︒；（2）7199-︒；（3）19982010α︒<<︒；（4）12081171α-︒<<-︒；（5）1792παπ<<。
二、任意角的三角比 （1）知道单位圆的概念。
（2）掌握任意角三角比的定义（六个三角比：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割）()sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc ,0y x y x r rxy r r x y x yαααααα======≠ （3）理解三角函数线：正弦线、余弦线、正切线。
（4）会运用三角比的定义求任意角的各三角比。
（5）掌握三角比的符号法则，并能利用符号法则判断三角比算式的符号。
【应用举例】例1、已知角α的终边经过点()3,4P --，求角α的六个三角比。
（3）由三角比的定义可以得到下列符号法则：（4）因()2k k Z πα+∈与α的终边相同，根据三角比的定义可知：第一组诱导公式()()()()sin 2sin cos 2cos tan 2tan cot 2cot k k k k πααπααπααπαα+=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩（语言表述：终边相同的角的同一三角比相等）【应用举例】例2、（1）判断三角比的符号：①sin 547︒；②()cos 627-︒；③tan 781.︒ （2）根据下列条件确定θ角属于哪个象限：④cos 0θ>且cot 0θ<；⑤sin cos 0θθ⋅<；⑥tan sec 0.θθ⋅>三、同角三角比的关系（1）能运用三角比定义推导出同角三角比的关系。
高一数学《三角函数》复习课件.ppt
2,
即 2 tan 1 tan2
2
2 tan
4 2或 tan 2
2
2 ( , ) ( , )tan 2
2
42
2 cos2 sin 1
2
2 sin( )
cos sin 2 sin( )
cos sin cos sin
③根据x是第几象限角，求出x
若x为第二象限角，即得x= x1 ；若x为第三象限角，即得
x= x1；若x为第四象限角，即得x= 2 x1
④若x R ，则在上面的基础上加上相应函数的周期的整数倍。
二、两角和与差的三角函数 y ● p1(x1, y1)
1、预备知识：两点间距离公式
4
应用：化同一个角同一个函数
第一章 三角函数
章末复习提升课
三角函数式的化简、求值 (1)牢记两个基本关系式 sin2α＋cos2α＝1 及csions αα＝tan α，并能 应用两个关系式进行三角函数的求值、化简． (2)诱导公式可概括为 k·π2±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公 式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是 指π2的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．
45
4 13
44
4
求sin( )
解:
sin(
)
cos[ (
[c
2
os(
)cos)(]co) s[s(in(4))(sin(4)]
)]
4
4
4
4
sin( ) 3 ,且 ( , 3 )cos( ) 4
| p1 p2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
高一数学期末复习讲义(三角函数部分)
高一数学期末复习讲义1三角函数知识点1 三角函数的定义1、α 角终边过点)2,1(-P ,求.tan cos ,sin ααα和知识点2 弧长公式与扇形面积公式2、已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角； 解：(1) 设圆心角是θ，半径是r ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋rθ＝10，12θ·r 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8，(舍去)． ∴ 扇形的圆心角为12.知识点3 同角的三角函数关系3.已知α是第二象限角，tan α＝－815，求sin α． 答案：817知识点4 三角函数的诱导公式 4. 已知31)125cos(=+απ，且2παπ-<<-，求)12cos(απ-．答案：－223解析：cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝cos[π2－⎝⎛⎭⎫5π12＋α]＝sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋α.又－π＜α＜－π2，所以－712π＜5π12＋α＜－π12.所以sin ⎝⎛⎭⎫512π＋α＝－223，所以cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝－223. 知识点5 三角函数的图象和性质5．已知函数sin()(002y A x A πωϕωϕ=+>><，，的图象过点P （3π，0）且图象上与P 点最近的一个最高点坐标为（12π，5）． （1）求函数的解析式； （2）指出函数的减区间； （3）当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求该函数的值域．（1）由题意知：5=A ----------------2分41234πππ=-=T ,即π=T 2=∴ω ----------------4分 又过)0,3(π，)32sin(50ϕπ+⨯=∴，即3πϕ=， ----------------6分)32sin(5)(π+=∴x x f ----------------7分（2）减区间为 )(,12,125Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ --------------11分 （3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx ，则[]ππ,032∈+x ， ---------------13分[]1,0)32sin(∈+∴πx ， ---------------15分即[]5,0)(∈x f 。
高中数学三角函数综合复习讲义
高中数学三角函数综合复习讲义1：产生背景：初中锐角三角函数定义：设a是一个任意大小的角，角的终边上任意一点P的坐标是（x,y），它于原点的距离是r（r>0），那么正弦: sinα=y/r余弦: cosα=x/r正切: tanα=y/x余切: cotα=x/y正割: secα=r/x余割: cscα=r/y都是a的函数，这六个函数统称为角a的三角函数。
2：找出结构：[函数]包括定义域，值域，对应法则。
本质:对于定义域内地任一x值在对应法则f(x)下都有值域中唯一的y和x对应，即y=f(x)3：分类：[角的大小]包括：正角三角函数，负角三角函数；[定义域]包括：【0，2π】，【0，2π】之外的[对应法则]包括：正弦: y= sinx余弦: y= cosx正切: y= tanx余切: y= cotx正割: y= secx余割: y= cscx[角的位置]包括:象限角的三角函数，坐标轴上的角的三角函数4：产生的条件：三角函数是在角的集合与实数集合之间建立的一种一一对应的关系。
5：研究概念的性质{特征、用途、作用、功能}基本三角函数的性质：同角的三角函数：倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secαsin 2α＋cos 2α＝1 1＋tan 2α＝sec 2α 1＋cot 2α＝csc 2α诱导公式sin （－α）＝－sinα cos （－α）＝cosα tan （－α）＝－tanαcot （－α）＝－cotαsin （π/2－α）＝cos α cos （π/2－α）＝sin α tan （π/2－α）＝cot α cot （π/2－α）＝tan αsin （π/2＋α）＝cos αcos （π/2＋α）＝－sin α tan （π/2＋α）＝－cot α cot （π/2＋α）＝－tan α sin （π－α）＝sin α cos （π－α）＝－cos α tan （π－α）＝－tan α cot （π－α）＝－cot αsin （π＋α）＝－sin αcos （π＋α）＝－cos α tan （π＋α）＝tan α cot （π＋α）＝cot αsin （3π/2－α）＝－cos α cos （3π/2－α）＝－sin α tan （3π/2－α）＝cot α cot （3π/2－α）＝tan αsin （3π/2＋α）＝－cos α cos （3π/2＋α）＝sin α tan （3π/2＋α）＝－cot α cot （3π/2＋α）＝－tan α sin （2π－α）＝－sin α cos （2π－α）＝cos α tan （2π－α）＝－tan α cot （2π－α）＝－cot α sin （2k π＋α）＝sin αcos （2k π＋α）＝cos α tan （2k π＋α）＝tan α cot （2k π＋α）＝cot α(其中k∈Z)两角和与差的三角函数公式sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ（＋）＝＋（－）＝－（＋）＝－（－）＝＋ =1 ?tan tan tan tan tan αβαβαβ＋（＋）－1? ?tan tan tan tan tan αβαβαβ－（－）＝＋半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝—————1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α万能公式2tan(α/2) 1－tan2(α/2) 2tan(α/2) cosα＝—————— sinα＝—————— tanα＝——————1＋tan2(α/2) 1＋tan2(α/2) 1－tan2(α/2) 三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式sinα＋sinβ＝2sin2βα+cos2βα-sinα－sinβ＝2cos2βα+sin2βα-cosα＋cosβ＝2cos2βα+·cos2βα-cosα－cosβ＝－2sin2βα+·sin2βα-sinα ·cosβ＝21[sin（α＋β）＋sin（α－β）]cosα ·sinβ＝-21[sin（α＋β）－sin（α－β）]cosα ·cosβ＝21[cos（α＋β）＋cos（α－β）]sinα ·sinβ＝－21[cos（α＋β）－cos（α－β）]【三角形边角关系】1.正弦定理：在△ABC 中，∠A , ∠B , ∠C 的对边分別为 a , b , c ，则其中R 为外接圆半径。
高中数学教案：三角函数复习讲义(2)
高中数学教案：三角函数复习讲义(2)主题：三角函数复习讲义（2）目标：1. 复习三角函数的基本性质和特点。
2. 复习三角函数的图像和变换。
教学步骤：一、引入（5分钟）1. 引入三角函数的定义和基本性质。
2. 回顾上节课的内容，鼓励学生复习记忆。
二、复习三角函数的基本性质（15分钟）1. 提问：sin(θ)和cos(θ)的定义是什么？2. 通过学生回答，进行概念的澄清和巩固。
3. 提醒学生注意三角函数在不同象限的值。
三、复习三角函数的图像（20分钟）1. 回顾正弦函数的图像特点，包括振幅、周期和相位。
2. 展示余弦函数的图像特点，与正弦函数进行比较。
讨论两者的关系。
3. 引入切线函数的图像特点，包括极值、周期和对称性。
四、复习三角函数的变换（15分钟）1. 提醒学生熟悉函数的变量表示和坐标系。
引入平移、压缩、拉伸等变换方式。
2. 通过具体例子和练习，让学生掌握三角函数的变换规律和效果。
五、练习题（15分钟）1. 通过练习题检验学生对三角函数的理解和运用能力。
2. 提醒学生注意题目中的关键词和问题的要求。
六、总结（5分钟）1. 总结今天的学习内容，强调重点和难点。
2. 鼓励学生继续复习和巩固所学知识。
3. 预告下节课内容，激发学生的学习兴趣。
讲义附加内容：1. 正弦函数的周期、图像、性质。
2. 余弦函数的周期、图像、性质。
3. 切线函数的周期、图像、性质。
4. 三角函数的变换规律和效果。
教学资源：1. 演示PPT。
2. 三角函数的图像和变换示意图。
3. 复习练习题。
评估方式：1. 学生课堂参与情况。
2. 学生练习题完成情况。
3. 学生对基本概念和图像的理解程度。
（word完整版）高中数学专题系列三角函数讲义
（word完整版）⾼中数学专题系列三⾓函数讲义§1.1.1、任意⾓1、正⾓、负⾓、零⾓、象限⾓的概念.2、与⾓α终边相同的⾓的集合：{}Z k k ∈+=,2παββ.§1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆⼼⾓叫做1弧度的⾓.2、 rl =α. 3、弧长公式：R R n l απ==180. 4、扇形⾯积公式：lR R n S 213602==π. §1.2.1、任意⾓的三⾓函数1、设α是⼀个任意⾓，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、设点(),A x y为⾓α终边上任意⼀点，那么：（设r =sin y r α=，cos x r α=，tan yxα=，cot x y α=3、αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三⾓函数线的画法.正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT5、特殊⾓0°，30°45°，60°，90°，180°，270等的三⾓函数值.§1.2.21、平⽅关系：1cos sin 22=+αα 2、商数关系：αααcos sin tan =. 3、倒数关系：tan cot 1αα=§1.3、三⾓函数的诱导公式（概括为Z k ∈）§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最⼤最⼩值、对称轴、对称中⼼、奇偶性、单调性、周期性.3、会⽤五点法作图.sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-12022ππππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.y=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx 3π2ππ22π-π-π2o yx图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质x y sin =x y cos =x y tan =图象定义域 RR},2|{Z k k x x ∈+≠ππ值域[-1,1][-1,1]R最值max min 2,122,12x k k Z y x k k Z y ππππ=+∈==-∈=-时，时，max min 2,12,1x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时，时，⽆周期性π2=T π2=Tπ=T奇偶性奇偶奇单调性Z k ∈在[2,2]22k k ππππ-+上单调递增在3[2,2]22k k ππππ++上单调递减在[2,2]k k πππ-上单调递增在[2,2]k k πππ+上单调递减在(,)22k k ππππ-+上单调递增对称性 Z k ∈对称轴⽅程：2x k ππ=+对称中⼼(,0)k π对称轴⽅程：x k π= 对称中⼼(,0)2k ππ+⽆对称轴对称中⼼,0)(2k π§1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象2、记住余切函数的图象：3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中⼼、奇偶性、单调性、周期性.§1.5、函数()?ω+=x A y sin 的图象 1、对于函数：()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>有：振幅A ，周期2T πω=，初相?，相位?ω+x ，频率πω21==Tf .2、能够讲出函数x y sin =的图象与()sin y A x B ω?=++的图象之间的平移伸缩变换关系.3、三⾓函数的周期，对称轴和对称中⼼函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期2|| T πω=；函数tan()y x ω?=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. 对于sin()y A x ω?=+和cos()y A x ω?=+来说，对称中⼼与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数sin()y A x ω?=+图像的对称轴与对称中⼼，只需令()2x k k Z πω?π+=+∈与()x k k Z ω?π+=∈解出x 即可.余弦函数可与正弦函数类⽐可得.4、由图像确定三⾓函数的解析式利⽤图像特征：max min 2A =，max min2y y B +=. ω要根据周期来求,?要⽤图像的关键点来求.§1.6、三⾓函数模型的简单应⽤（要求熟悉课本例题.）§3.1.1、两⾓差的余弦公式§3.1.2、两⾓和与差的正弦、余弦、正切公式 1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ 2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- 3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+ 4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=- 5、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=.6、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=.§3.1.3、⼆倍⾓的正弦、余弦、正切公式1、αααcos sin 22sin =，2、ααα22sin cos 2cos -=变形： 12sin cos sin 2ααα=. 1cos 22-=αα2sin 21-=.升幂公式：221cos 22cos 1cos 22sin αααα+=-= 降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-3、ααα2tan 1tan 22tan -=. 4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+ §3.2、简单的三⾓恒等变换1、注意正切化弦、平⽅降次.2、辅助⾓公式)sin(cos sin 22?++=+=x b a x b x a y （其中辅助⾓?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b a=).解三⾓形1、正弦定理：R CcB A 2sin sin sin ===. （其中R 为ABC ?外接圆的半径） 2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ?===sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R=== ::sin :sin :sin .a b c A B C ?=⽤途：⑴已知三⾓形两⾓和任⼀边，求其它元素；⑵已知三⾓形两边和其中⼀边的对⾓，求其它元素。
高一数学最新课件-三角函数总复习3 精品
2、已知三角函数求角（反三角函数的定义和表示）
3、求正弦、余弦型函数的解析式 三、图象变换题
四、三角函数的图象与性质题
1、求定义域 （注意与不等式的结合）
2、求值域题 如：求y=asinx+bcosx的最值题及其变换题 3、求周期 4、奇偶性 5、单调性：如求单调区间、比较大小、运用它求最值等
五、图象变换题 1、画图和识图能力题：如：描点法、五点法作图、变换法 2、已知图象求解析式（五点法作图的应用）
2 所求为c2=a2+b2-2abcos1200;再 利用正弦定理可得到 c 2R sin 1200 2 1 3 3
22 2
所以： 所求为 c2 3
4
答：圆心角为π-2，面积是1 ( 2)r2
2
5、用单位圆证明sian α < α <tanα.(00< α<900 T
提示：利用三角函数线和三角形面积与 扇形面积大小关系证明。
y P
O MA x
5、(98高考)sin2200+cos250+sin200cos500
答：3
4
提示一：利用半角公式降幂，再和差化积，及积化和差。 提示二：构造一个三角形的三边长分别为a=sin200、 b角=形co的s50外0=接sin圆40半0,径C边为所1对的角C为1200，同时这个三
性 正 质正 弦切 型函 图数 象图
已 知 三 角 函 数
、数
象求
余的
和角
弦图
、象
三角函数部分题型
一、概念题： 1、任意角的概念 2、弧度制概念3、任意角的三角函数概念； 4、周期 5、反三角函数 6、三角函数线 概念是逻辑判断的依据，是数学分析、理解的基础 二、考查记忆、理解能力题 如：简单的运用诱导公式、和、差、倍、半角公式的堆 积题 要求学生做到：记忆熟悉、计算细心、答案正确 三、求值题 1、特殊角、非特殊角的三角函数求值题
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课题三角函数总复习
知识框架：
两角和与差的三角函数
例1、已知3
,34π
βαππβαπ-<-<-<+<，求βα-2的范围。
例2、设},2
3
|{},,10||,35|{Z k k B Z k k k A ∈==∈≤==πββπαα，求B A 的解的终边相同的角的集合。
例3、已知αβαβαπ
βπ
2222sin 2
1
sin sin 2sin 2sin 346-=-<
≤-，试求，的最值。
例4、求值
()
︒
+︒︒+︒+︒10cos 110tg 60tg 110cos 40cos 2
应用
例5、已知2π＜β＜α＜4π3,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－5
3
,求sin2α的值_________。
例6、不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值。
例7、设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=2
1
的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值．
三角函数的图象与性质
例1、试确定下列函数的定义域
⑴ 1sin 1log 2-=x y ；⑵)
1cos 2lg(sin )4(--
=x x
x tg y π
例2、求函数x x
x
x x x y 2sin 2cos cos 3cos sin 3sin 2
33++=的最小值
例3、已知函数f (x )=2a sin 2x －23a sin x cos x +a +b －1，（a 、b 为常数，a <0），它的定义域为[0,
2
π
]，值域为[－3,1]，试求a 、b 的值。
例4、已知函数)2
||,0,0)(sin()(π
<ϕ>ω>ϕ+ω=A x A x f 的图象在y 轴上的截距为1，它在y
轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（2,0x ）和（2,30-π+x ）。
（1）求)(x f 的解析式；
（2）将y =f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的3
1
（纵坐标不变），然后再将所得图象向
x 轴正方向平移
3
π
个单位，得到函数y =g (x )的图象．写出函数y =g (x )的解析式并用列表作图的方法画出y =g (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象。
例5、求函数x
x x y sin 23
sin 3sin 2-+-=的最值，并写出使函数y 取得最值的x 的集合。
例6、ABC ∆中，已知三内角满足2B =A+C ，求C A 22cos cos +的取值范围。
例7、已知3
200π
βαβα=
+≥≥，且，，问当βα、分别取何值时，()β2sin 212
αtan
2αcot απcos 1----=
y 取最大值，并求出此最大值。
例8、在ΔA BC 中，求2
sin 2sin 2sin 222C
B A ++的最小值，
并指出取最小值时ΔA BC 的形状，并说明理由。
例9、已知函数f (x )=2cos x sin(x +
3
π
)－3sin 2x +sin x cos x （1）求函数f (x )的最小正周期；
（2）求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值； （3）若当x ∈［
12π，12
π7］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－
1(1)的值。
例10、已知α、β为锐角，且x (α+β－2
π
)＞0,试证不等式f (x )=)αsin βcos ()βsin αcos (
+x x ＜2对一切非零实数都成立。
例11、设z 1=m +(2－m 2)i ,z 2=cos θ+(λ+sin θ)i ,其中m ,λ,θ∈R ，已知z 1=2z 2，求λ的取值范围。
例12、如右图，一滑雪运动员自h =50m 高处A 点滑至O 点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O 点保持速率v 0不为，并以倾角θ起跳，落至B 点，令OB =L ，试问，α=30°时，L 的最大值为多少？当L 取最大值时，θ为多大？
例13、如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数：y =A sin(ωx +φ)+b ；（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式。
例14、已知函数()b x a x x x f ++⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-+⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+=cos 6πsin 6πsin （R b a ∈,，且均为常数），
（1）求函数()x f 的最小正周期；
（2）若()x f 在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-0,3π上单调递增，且恰好能够取到()x f 的最小值2，试求b a ,的值。
例15、设R x ∈，试比较()x f =x cos cos 与()x g =x sin sin 的大小关系。
三角函数的图象与性质练习
一、选择题
1．函数y =－x ·cos x 的部分图象是（）
2．函数f (x )=cos2x +sin(2
π
+x )是（） A ．非奇非偶函数
B ．仅有最小值的奇函数
C ．仅有最大值的偶函数
D ．既有最大值又有最小值的偶函数
二、填空题 3．函数f (x )=(
3
1)｜cos x ｜
在［－π，π］上的单调减区间为_________。
4．设ω＞0，若函数f (x )=2sinωx 在［－4
,3π
π，］上单调递增，则ω的取值范围是_____。
三、解答题
5．设二次函数f (x )=x 2+bx +c (b ,c ∈R ),已知不论α、β为何实数恒有f (sin α)≥0和f (2+cos β)≤0，（1）求证：b +c =－1； （2）求证c ≥3；
（3）若函数f (sin α)的最大值为8，求b ，c 的值。
6．用一块长为a ，宽为b (a ＞b )的矩形木板，在二面角为α的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓，试问应怎样围才能使谷仓的容积最大？并求出谷仓容积的最大值。
注：三棱柱定义
7．有一块半径为R ，中心角为45°的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值。
8．设－
6π≤x ≤4
π
，求函数y =log 2(1+sin x )+log 2(1－sin x )的最大值和最小值。
9．是否存在实数a ，使得函数y =sin 2x +a ·cos x +8
5
a －23在闭区间［0，2π］上的最大值是1？
若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由。