函数极限的十种求法

函数极限的十种求法
函数极限是高等数学中的一个重要概念，在数学分析、微积分、实变函数、复变函数等领域均有应用。

函数极限的求法有很多种，以下将介绍其中的十种方法。

一、代数方法
利用现有函数的代数性质，根据极限的定义求解。

例如，对于
函数 f(x)=2x+1-x，当 x 趋近于 1 时，有：
lim f(x) = lim (2x+1-x) = lim x+1 = 2
x→1 x→1 x→1 x→1
二、夹逼定理
夹逼定理也称为夹逼准则或夹逼定律。

当f(x)≤g(x)≤h(x)，且
lim f(x)=lim h(x)=l 时，有 lim g(x)=l。

例如，对于函数 f(x)=sin(x)/x 和 g(x)=1，当 x 趋近于 0 时，有：
-1 ≤sin(x)/x ≤ 1
lim -1 ≤ lim sin(x)/x ≤ lim 1
x→0 x→0 x→0 x→0
lim sin(x)/x = 1
三、单调有界准则
单调有界准则也称收敛定理。

当一个数列同时满足单调有界性质，即数列单调递增或单调递减且有上（下）界时，该数列必定收敛。

对于函数而言，只需要证明其单调有界的性质，即可用该准则求出其极限值。

例如，对于函数 f(x)=sin(x)/x，当 x 趋近于 0 时，此时 f(x) 没有极限值，但是根据单调有界准则，可以求得其极限是 1。

四、洛必达法则
洛必达法则是一种有效的求函数极限值的方法，通常用在0/0
形式的极限中。

对于连续可导的函数 f(x) 和 g(x)，若 lim f(x)/g(x)
存在，则有：
lim f(x) lim f'(x)
lim ——— = lim ———
x→a g(x) x→a g'(x)
其中“lim” 表示极限符号，f'(x) 表示 f(x) 的导数，g'(x) 表示 g(x) 的导数。

如果上式右边的极限存在，那么左边的极限也存在，并
且二者相等。

例如，对于函数 f(x)=x^2+2x 和 g(x)=x+1，当 x 趋近于 1 时，有：
lim (x^2+2x) lim (2x+2)
lim ———— = lim ———— = 4
x→1 x+1 x+1
五、泰勒公式
泰勒公式是求解函数在某点处的极限值的有效方法之一。

对于任意可导函数 f(x)，泰勒公式展开式为：
n
∑ f^n(a)(x-a)^n
f(x) = f(a)+ ———————————————
n! n=1
其中，“∑”为求和符号，“f^n(x)”表示函数的 n 阶导数，“a”为函数 f(x) 的取值点，“n!”表示 n 的阶乘，“f(a)”代表函数 f(x) 在点 a 处的函数值。

例如，对于函数 f(x)=sin(x)，当 x 趋近于 0 时，有：
3 f^4(0)
lim sin(x)/x = lim —— = —————— = 1/3! = 1/6
x→0 4!
六、积分求解
积分是一种求解函数极限的有效方法之一。

在求解函数 f(x) 的
极限时，可以将其表示为一个积分式，然后通过对该积分式求解，得到函数 f(x) 的极限值。

例如，对于函数 f(x)=x/(1+x)，当 x 趋近于∞ 时，可以将其表
示为积分式：
∞
x/(1+x) dx = lim ∫x/(1+x) dx = lim ln(x+1) = ln2
x→∞ 0 x→∞
七、级数求和
级数求和是一种求解函数极限值的有效方法之一。

在求解函数
f(x) 的极限时，可以将其表示为一个级数式，然后通过对该级数求和，得到函数 f(x) 的极限值。

例如，对于函数 f(x)=(1-1/x)^x，当 x 趋近于∞ 时，可以将其表示为级数式：
∞ ∞
(1-1/x)^x = e^lim ln(1-1/x)*x = e^-1
x->∞ x=∞
八、极大极小值法
极大极小值法是一种在求极限过程中非常常用的方法。

对于函数 f(x)，若其存在极值，那么其极限值必然等于极值。

因此，对于一个充分连续的函数 f(x)，通过寻找其极大值和极小值，可以确定其极限值。

例如，对于函数f(x)=sin(πx)/x^2，当 x 趋近于 0 时，可以通过求解其极大极小值确定其极限值：
设f'(x)=πcos(πx)/x^2-2sin(πx)/x^3=0，解得x=1/π 或 x=-1/π。

由此，可得 f(x) 的极大值为π^2/3，极小值为-π^2/3。

因此，当 x 趋近于 0 时，f(x) 的极限值为 1/3。

九、迭代法
迭代法是一种求解函数极限的有效方法。

对于一个谨慎选取的初始值 x0，通过反复迭代求解x1 ≈ x0，x2 ≈ x1，x3 ≈ x2， (x)
≈ xn-1，可以得到函数的极限值。

例如，对于函数 f(x)=x^3+2x^2-1，利用迭代法可以求解其在 1 附近的极限值。

首先，取 x0=1，迭代公式为：
f(xn)-(xn-xn-1)=(xn^3+2xn^2-1)-(xn-1^3+2xn-1^2-1)=3xn^2+4xn-1
当 n=1 时，有 f(x1)-x1=6，因此，可以得到 x1=3/2。

同理，当n=2 时，有 x2=17/12。

当 n=3 时，有 x3=577/408。

当 n 趋近于无穷大时，可以得到 x=0.683772。

十、其他方法
除上述方法外，还有一些可以用来求解函数极限的有效方法。

比如说，对于分数函数而言，可以使用通分法将其化为多项式函数，然后通过代数方法或洛必达法则求解其极限值；对于三角函
数而言，可以使用半角公式或和差公式化简为一些已知的函数，
然后求解其极限值。

此外，还有一些特殊函数，比如说斯特林函数、正交多项式等，也可以使用一些特殊的方法来求解其极限值。

综上所述，函数极限的求解方法包括代数方法、夹逼定理、单
调有界准则、洛必达法则、泰勒公式、积分求解、级数求和、极
大极小值法、迭代法以及其他特殊方法。

在实际应用中，根据不
同的函数性质，选取适当的求解方法，可以大大提高求解效率和
精度。