高二数学 第二章 第3节 双曲线(理)知识精讲 人教实验B版选修2-1

高二数学 第二章 第3节 双曲线 人教实验B 版（理）选修2－1【本讲教育信息】一、教学内容：选修2－1：双曲线二、教学目标：1、掌握双曲线的定义，标准方程，能根据条件利用待定系数法求双曲线方程，掌握双曲线的几何性质，了解双曲线的初步应用。

2、了解双曲线的参数方程，能根据方程讨论双曲线的性质，掌握直线与双曲线位置关系的判断方法，能够正确熟练地解决直线和双曲线的位置关系的一些问题。

三、知识要点分析： （一）双曲线的定义双曲线的定义：平面内与两定点F 1，F 2距离的差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线，即||PF 1|－|PF 2||＝2a （2a ＜|F 1F 2|）。

此定义中，“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|，不可忽视。

若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

（二）双曲线的标准方程及几何性质1、标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的双曲线方程中心在原点，焦点在x 轴上 中心在原点，焦点在y 轴上 标准方程22221(0,0)x y a b a b -=>> 22221(0,0)y x a b a b-=>> 图形顶点 )0,(),0,(21a A a A - ),0(),,0(21a B a B - 对称轴 x 轴，y 轴；虚轴为b 2，实轴为a 2 焦点 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F - 焦距 )0(2||21>=c c F F 222b a c +=离心率 )1(>=e a ce （离心率越大，开口越大）准线c a x 2±=ca y 2±=渐近线 x ab y ±= x bay ±= 焦准距cb c a c p 22=-=2、判断椭圆方程中焦点位置的不同，是通过比较x 2，y 2系数的大小，而双曲线是看x 2，y 2的系数的正负号，焦点在系数为正的坐标轴上，简称为“焦点在轴看正号”3、共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。

2222b y a x -＝1与2222y x b a -＝1互为共轭双曲线，其性质如下：（1）双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线。

（2）双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距。

（3）与2222b y a x -＝1具有相同渐近线的双曲线系方程为2222by a x -＝k （k≠0）4、如果双曲线的渐近线为0=±b ya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby a x .5、等轴双曲线：实轴与虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e 。

6、弦长公式：（1）过焦点的弦长：|AB|＝e （d 1＋d 2），（2）一般的弦长公式：类似于椭圆，x 1，x 2分别为弦PQ 的横坐标，弦PQ 所在的直线方程为y ＝kx ＋b ，代入双曲线方程整理得Ax 2＋Bx ＋C ＝0，则PQ ＝2121x x k -+，若y 1，y 2分别为弦PQ 的纵坐标，则PQ ＝21211y y k-+，【典型例题】例1. 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：（3）双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3(（4）与双曲线x 2－2y 2＝2有共同的渐近线，且经过点（2，－2） （5）过点P （2，－1），渐近线方程是y ＝±3x. 解：（1）设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1，①于是，设所求双曲线方程为2219x y k k -=①或2219y x k k-=② 把)29,3(代入①，得161k -=与k>0矛盾，无解；把)29,3(代入②，得k=9，故所求双曲线方程为19x 81y 22=-。

说明：本例解法是待定系数法：（1）中设法叫“统设”，由此可知，统设方程mx 2＋ny 2＝1可以代表椭圆、双曲线这两种标准方程；（2）中设法叫“分设”，因由离心率的条件不能区分实轴在x 轴上还是在y 轴上，故分别设出两种方程.（3）设双曲线方程为22221x y a b-=).0,0(>>b a由已知得.1b ,c b a ,2c ,3a 2222==+==得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （4）设所求双曲线方程为x 2－2y 2＝k ，① 由于双曲线过点（2，－2），将（2，－2）代入①，得k ＝22－2·（－2）2＝－4. 故所求双曲线方程为x 2－2y 2＝－4， 即2y 2－x 2＝4. 说明：容易证明，因此，如果已知上述各种形式的渐近线方程，则可统设双曲线方程为2222x y k a b-=，其中k 的符号调节实轴位置，︱k ︱调节轴长。

（5）分析：首先要确定所求双曲线的标准类型，可在图中判断一下点P （2，－1）在渐近线y ＝－3x 的上方还是下方？如图所示，x ＝2与y ＝－3x 交点为Q （2，－6），P （2，－1）在Q （2，－6）的上方，所以焦点在x 轴上.方法一：设双曲线方程为12222=-b y a x . 依题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=114322b a a b 解得⎪⎩⎪⎨⎧==35b 935a 22 ∴所求双曲线方程为13593522=-y x方法二：由渐近线方程3x ±y ＝0，可设所求双曲线方程为λ=-2291y x （λ≠0）（*） 将点P （2，－1）的坐标代入（*），得λ＝35∴所求的双曲线方程为13593522=-y x例2. 直线L ：1y ax =+与曲线2231x y -=有两个不同的交点， （1）求a 的取值X 围（2）设交点为A ，B ，若以AB 为直径的圆恰过原点，求a 的值。

解：（1）由方程组22311x y y ax ⎧-=⎨=+⎩可得22(3)220a x ax ---=，依题意，方程有两个实根，则2300a ⎧-≠⎨∆>⎩即2223(2)4(3)(2)0a a a ⎧≠⎪⎨---->⎪⎩解得a a <<≠故a 的取值X围是((⋃⋃ （2）设A （11,x y ），B （22,x y ），由题意可得OA ⊥OB （O 是坐标原点）， 则有12120x x y y += 而1212(1)(1)y y ax ax =++＝21212()1a x x a x x +++212121212(1)()10x x y y a x x a x x ∴+=++++=，由（1）可知12122222,33a x x x x a a-+==-- 代入上式可得01a 3a2a a 32)1a (222=+-⋅+--+ 解得1a =±，且满足（1）的条件， 故a 的值为1±。

反思：直线和曲线的交点问题即是由它们的方程组成的方程组的解的问题，而方程组的解往往转化为一元二次方程的解，因此讨论一元二次方程的根的方法要非常熟练。

其基本步骤应为：①观察二次项系数，看是否需要讨论；②分析判别式，看是否有根；③应用韦达定理，虽不解方程却能观察根的情况。

解题时要始终遵循以上原则，养成良好的思维习惯，为后面解决直线与圆锥曲线位置关系的问题打下坚实的基础，同时要逐步培养含字母的解析式的运算能力。

例3. 设双曲线的顶点是椭圆22134x y +=的焦点，该双曲线又与直线15360x y -+=交于A ，B 两点，且OA ⊥OB （O 为坐标原点）（1）求此双曲线的方程； （2）求|AB|. 解：（1）已知椭圆的焦点为（0，±1），即是双曲线的顶点， 因此设双曲线方程为y 2 －mx 2＝1（m ＞0），①② A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是方程①、②组成的方程组的两个解. 由①、②消去常数项，得（2）设AB 的中点为M （x 0，y 0），则在Rt △ABO 中，可知|AB|＝2·|OM|＝222212121,133x x y y -=-=把两式相减，得31x x y y x x y y 21212121=++⋅-- 即得31x 2y 231500=⋅4|AB |4414152y x 2|AB |2020为∴=+=+= 说明：本题的常规解法是“根系关系法”，即由方程①、②组成的方程组，消去y 得到x 的二次方程，由根与系数的关系得到1212x x x x +和，再解OA ⊥OB ⇔12120x x y y +=，即可解决问题（1）；再由弦长公式求得︱AB ︱.但计算量较大，因此我们给出了上面的解法：在（1）中构造了以k OA 、k OB 为二根的二次方程③，轻巧地求得了待定系数m ；在（2）中用了“斜率关系法”（即31x x y y x x y y 21212121=++⋅--），也省去了麻烦的计算.例4. 已知直线1)1(-+=x a y 与曲线ax y =2恰有一个公共点，某某数a 的值。

解：联立方程⎩⎨⎧=-+=ax y 1x )1a (y 2（1）当a =0时，此方程恰有一组解为：⎩⎨⎧==0y 1x（2）a ≠0时，消去x ，得aa 1+y 2－y －1=0。

①若aa 1+=0，即a =－1， 方程变为一元一次方程：－y －1=0，方程组恰有一组解：⎩⎨⎧-=-=1y 1x②若a a 1+≠0，即a ≠－1，令∆=0得：1+4aa 1+=0，可得a =54-，这时直线与曲线相切，只有一个公共点.综上所述知，当a =0、－1、54-时，直线1)1(-+=x a y 与曲线ax y =2恰有一个公共点。

本讲涉及的数学思想、方法1、直线与圆锥曲线的位置关系问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理的联系去解决，这样加强了对数学各种能力的考查。

2、解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化了解题的运算量。

另外，坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法预习导学案 （椭圆与双曲线）（一）预习前知1、椭圆与双曲线的标准方程的联系？2、椭圆与双曲线的性质的区别与联系？（二）预习导学探究反思探究反思的任务：椭圆的方程与性质，双曲线的方程与性质2、椭圆与双曲线的性质的对比。

【模拟试题】（答题时间：90分钟）一、选择题1. 离心率为2是双曲线为等轴双曲线的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件2. 过原点的直线l 与双曲线x y 22431-=-交于两点，则直线l 的斜率的取值X 围是（） A. -⎛⎝ ⎫⎭⎪3232， B. ()-∞-+∞⎛⎝ ⎫⎭⎪，，3232C. -⎡⎣⎢⎤⎦⎥3333， D. (][)-∞-+∞，，3232 3. 若双曲线的两条渐近线是y x =±32，焦点F F 12260260()()-，，，，则它的两条准线间的距离是（）A. 81326B. 41326C. 181326D. 913264. 若双曲线x a y b22221-=的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率是（）A. 2B. 3C. 43D. 53*5. 过（1，2）点与曲线4983668022x y x y --+-=只有一个公共点的直线（）A. 不存在B. 有两条C. 有三条D. 有四条6. 若双曲线x y 2264361-=上一点P 到它的左焦点的距离是24，则P 到右准线的距离是（） A. 32或965 B. 32或325 C. 325D. 32二、填空题7. 设双曲线x a y ba b 222210-=<<()的半焦距为c ，直线l 过()()a b ，、，00两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为_________。