矩阵的等价标准形应用
第3讲 矩阵的等价标准形的应用
设矩阵m n A ?的秩rank A r =，则存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆阵Q ，使
00
0r
E PAQ ??= ???
， 我们把000r E ??
???
称为A 的等价标准形．熟知两个同形矩阵等价当且仅当它们具有相同的秩，即它们具有相同的等价标准形．矩阵的等价标准形能帮助我们解决许多问题．
例1 每个方阵A 均可写成A BC =，其中B 是可逆阵，C 是幂等阵（即2
C C =）． 证 设A 的秩rank A r =，则存在可逆阵P 和Q ，使000r
E A P Q ??
=
???
．记B PQ =， 100
0r
E C Q Q -??=
???
，显然B 是个可逆阵，2
C C =是个幂等阵，并且A BC =． 例2 设n 阶方阵A 的秩rank A r =，证明存在可逆阵P ，使1
P AP -的后n r -行全是零． 证 存在可逆阵P 和Q ，使1000r E P AQ -??=
???，从而1
1
000r E P AP Q P --??= ???
的后n r -行全是零．
例3 设n 阶矩阵A 的秩rank A r n =<，证明存在非零n 阶矩阵B ，使0BA AB ==．
证 由例1知存在可逆阵1A 和幂等阵2A ，使12A A A =．记()1
21B E A A -=-，显然0B ≠，且
()()11211212210BA E A A A A A A E A A AB --=-==?-?=．
例4 设n 阶矩阵A ，B 满足AB E =，证明BA E =． 证 存在n 阶矩阵P ，Q ，使得000r
E PAQ ??
= ???
，这里r =rank A ，我们断言r n =．事实上，从AB E =易知
1
1
00
0r
E PAQ Q B P Q B --???==
???
， 11
000r
E E Q BP --??=? ???
， 由此显然得到r n =，此时11PAQ Q BP E --==，从而111
E Q BP PAQ Q BAQ ---=?=，进而BA E =．
例5 设n 阶幂等阵A （即2
A A =）的秩rank A r =，证明存在可逆阵P ，使
100
0r
E
P AP -??= ???
． 证 存在可逆阵R 和T ，使1000r E R AT -??=
???，记111
2
2T R T R R T -??
= ???
，其中1T 为r 阶方阵，则 1
11
11112
200
00
0r
T R E
T R R AR R AT T R R T ---??????=?== ? ? ?????
??， 从2A A =即知(
)
2
1
1R AR
R AR --=，从而
21
11
11
11110
0000000T R T R T R T T R ????????
==
? ??? ???????
??， 因此2
11T T =，且()(
)111
11
T T R T R =，注意到()11T R 的秩等于r ，
知r 阶方阵1T 的秩rank 1T r =，必须1r T E =，随之得到
110
0r
E
R R AR -??= ???
． 现令可逆阵10
r
n r E R P R E --??
=
???
，可验证 1111111000 .00000
0r r n r n r r r r r n r n r E R E R P AP R AR E E E
R E R E R E E E -------????
=?? ? ?
???
?-????????
=??= ? ? ?
?????
????
例6 设n 阶幂等阵A 的秩等于r ，证明 （i ） rank A +rank ()E A n -=；
（ii ） tr A =rank A ； （iii ） 任何实幂等阵均可分解为两个实对称矩阵的乘积．
证 由例5知存在可逆阵P （当A 为实阵时，P 亦可取为实阵），使得
100
0r
E P AP -??=
???
． （i ）此时()1
00n r P
E A P E --??-= ?-??
，这样
rank A +rank ()()E A r n r n -=+-=．
（ii ）tr A =tr ()
1P AP r -==rank ()A ．
（iii ）易知()()11
11
000000000r r
r E E E A P P P P P P P P PP ----??????''''==?=?
? ? ???????
，显然000r E P P ??' ?
??
和PP '都是实对称阵，从而()1
PP -'也是实对称阵． 例7 若n 阶阵A 满足
rank A +rank ()E A n -=，
则A 是个幂等阵．
证 由例2知存在可逆阵P 和1234Q Q Q Q Q ??
=
???
，其中1Q 是r 阶方阵，r =rank A ，使得
121213400000r
Q Q E
Q Q P AP Q Q -??????
== ? ? ?????
??,
又从条件知E A -的秩rank ()E A n r -=-，1
21
r n r E Q Q E P AP E ----??
-=
???
的秩也等于n r -，必须10r E Q -=，即1r Q E =，这时
()
2
2
2211
000
0r r
E Q E Q P AP P AP --????=== ? ?????
是个幂等阵，进而A 是个幂等阵．
例8 1．设A 是个n 阶对合阵（即2
A E =），rank ()E A r +=，证明 （i ） 存在可逆阵P ，使
1r
n r E P AP E --??=
?-?
?
． （ii ） rank ()E A ++rank ()E A n -=．
（iii ） 每个实对合阵均可表为两个实对称矩阵之积．
2．若n 阶阵A 满足rank ()E A ++rank ()E A n -=，则A 是对合阵． 证 注意到A 是对合阵当且仅当
()1
2
E A +是幂等阵，利用例5～7的结论即得． 例9 （i ）设n 阶阵A 的秩等于r ，满足2
A aA =，此处0a ≠．证明存在可逆阵P ，使得
100
0r
aE
P AP -??= ???
． （ii ）设A ，B 是如下的n 阶矩阵：
11111111
1A ?? ? ?= ? ???，00000000n B ??
? ?= ? ???
， 证明存在可逆阵P ，使1P AP B -=．
证 （i ）我们仿照例5的思路来进行．存在可逆阵R ，使
1
210
0A A R AR -??=
???
， 其中1A 是r 阶方阵．从2
A aA =知(
)
2
1
1R AR
a R AR --=?，即 2
2
121
2112000
00
0A A A A A A A a ??????
== ? ? ?????
??， 于是2
11A aA =，且()()11212,,A A A a A A =．注意到0a ≠，1A 的秩rank 1A
r =，因此1r A aE =， 210
0r
aE
A R AR -??
= ???
． 记2
10r
n r E A P R a E -??-
?= ? ???
，P 显然是可逆的，并且
22111100000r r
r n r n r aE E
A E
A P AP R AR a a E E ----????
-
??
? ?=??=
? ? ? ? ???
?
???
． （ii ）显然A 的秩rank 1A =，又容易验证2
A nA =，故据（i ）即知结论． 例10 设A 是个m n ?矩阵，
B 是个n m ?矩阵，证明
m n m n E AB E BA λλλ-±=±．
证 设A 的秩rank A r =，存在m 阶可逆阵P 和n 阶可逆阵Q ，使000r E A P Q ??
=
???
，记分块阵1
234B B QBP B B ??
= ???
，其中1B 为r 阶方阵，则有 1
000000r r
m m m E E E AB E P QB E P QBP P λλλ-????-=-=-??
? ?????
1
2341
2
100 0000 0
r
r m m r m r r m r
B B E E E QBP E B B E B B E B E λλλλλλ--??????=-?=-? ?
? ???????
--=
=?-，
同理可得
1n r n r E BA E B λλλ--=?-，
因此证明了
m n m n E AB E BA λλλ--=-．进一步地，
()()m n m n m m n n E AB E A B E B A E BA λλλλλλ--+=--=--=+．
例11 设m n ?矩阵A 的秩等于r ，证明对任意n m ?矩阵B ，0是AB 的至少m r -重特征值，0是BA 的至少n r -重特征值．
证 从例10的证明直接推出．
例12 计算行列式
11121212221
2
111n n n n n n
x y x y x y x y x y x y x y x y x y +++．
解 根据例10可知
()
()111211212222121
2
121211,,
,1 ,,, n n
n n n n n n n n x y x y x y x x y x y x y x
E y y y x y x y x y x x x E y y y x +?? ?+ ?=+ ? ?
+??
?? ? ?=+ ? ???
1122 1 .
n n x y x y x y =++++ 例13 设A 是个n 阶可逆阵，α和β是两个n 维列向量．证明rank ()A n αβ'+=当且仅当
11A βα-'≠-．
证 由例10得()1
1111n A A E A
A E A A A αβαββαβα---''''+=?+=?+=+?，注意到
0A ≠，A αβ'+的秩rank ()A n αβ'+=当且仅当0A αβ'+≠当且仅当110A βα-'+≠，即
11A βα-'≠-．
例14 设12,,,n a a a 均不为0，计算行列式
12
3111122223333n
a a a n
n
n
n
a ++++．
解 因12,,
,n a a a 均不为0，故对角阵12
n a a A a ???
?
?= ? ??
?
是可逆的，由例13可得 ()
()1122
31111112222
233331,1,,112 11,1,
,1 n n a a a a a a n n
n
n
n a A A n -+????+
? ? ? ?+=+ ? ?
? ?????+?? ? ?=+? ? ???
11
1 .
n
n
i i i i i a a ==??=+? ???∑∏
例15 设A 是个m n ?矩阵，B 是个n l ?矩阵，证明下面的Sylvester 秩不等式
rank AB ≥ rank A +rank B n -．
证 设A 的秩等于r ，B 的秩等于s ，存在m 阶可逆阵P ，n 阶可逆阵Q 和R ，l 阶可逆阵S ，使得
000r
E A P Q ??= ???，000s
E B R S ??
= ???
， 记1234T T T QR T T ??
== ???
，其中1T 是r s ?矩阵，则
1000000000r
s
E
E T AB P Q R S P S ??????
=?= ? ? ???????
， 注意到P 、T 、S 都是可逆阵，rank T n =，故
rank AB =rank 1000T ??
=
???
rank 1T ，
而1T 是T 中去掉后n r -行、后n s -列所得的矩阵，而在矩阵中去掉一行（列），矩阵的秩最多减少1，因此
rank AB =rank ()()1 T n n r n s r s n ----=+-≥．
例16 设A 、B 、C 是任意三个矩阵，乘积ABC 有意义，证明下面的Frobenius 秩不等式：
rank ABC ≥ rank AB +rank BC -rank B ． 证 设A 是l m ?矩阵，B 是m n ?矩阵，C 是n p ?矩阵，且设rank B r =，则存在m 阶可逆阵
P 和n 阶可逆阵Q ，使00
0r
E B P Q ??=
???．现作分块阵()12,P P P =，12Q Q Q ??
= ???
，1P 是m r ?矩阵，1Q 是r n ?矩阵，则
()11211200000
0r
r
Q E E B P Q P
P PQ
Q ??
??
??=== ? ? ???????
， 于是根据例15得到
rank ABC =rank ()11AP QC ?≥ rank 1AP
+rank 1Q C r - ≥ rank 11APQ +rank 11PQ C r - ＝ rank AB +rank BC -rank B ．
例17 设m n ?矩阵A 的秩等于r ，证明存在可逆阵m m P ?、n n Q ?使P A 的后m r -行全为零，AQ 的后n r -列为零．
证 存在可逆阵P 和Q ，使得000r
E PAQ ??=
???，显然1
000r
E PA Q -??= ???
的后m r -行为零，而且100
0r
E AQ P -??
=
???
的后n r -列为零． 例18 设A 、B 是两个等秩的m n ?矩阵，若存在n 阶矩阵U ，使A B U =，则存在可逆阵V ，使A B V =．
证 设A 、B 的秩等于r ，从例17知存在可逆阵P 和Q ，使
()1,0AP A =，()1,0BQ B =，
其中1A ，1B 都是秩为r 的m n ?矩阵．现作适当的分块()12,P P P =，11
2Q Q
Q -??= ???
，则有 ()()121,,0AP AP AP A ==， ()11112,0Q B B B Q Q ??
== ???
，
从而11A AP =，并且进一步可得
111111A AP BU P B QUP ==?=?，
注意到1A 的秩等于r ，故r 阶方阵111V QUP =：的秩也等于r ，即1V 是可逆的，于是有
()()()111
111
111
1111,0,000 ,0 ,00
n r n r B B Q AV Q V V A Q A P Q E E ---------==????==?
? ?????
显然1
1
100n r V P Q E ---??
???
是可逆的，我们把它的逆记为V ，则A BV =． 例19 试从等价标准形的角度给出齐次线性方程组0m n A X ?=的一种解法．
解 设A 的秩等于r ，存在m 阶可逆阵P 和n 阶可逆阵Q ，使00
0r
E PAQ ??
=
???
，于是线性方程组0AX =可化为
11
000
0r
E P Q X --??= ???
， 记121n y y Y Q X y -?? ? ?==
? ???
：，则原方程组等价于 12000
0r n y y E y ?? ??? ?
= ?
??? ???
， 即120r y y y ==
==．令()121,,,,,,r r n
Q q q q q q +=，
容易验证12,,,r r n q q q ++都是0AX =的
解，从而它们构成0AX =的一基础解系． □
下面是具体的操作过程． 首先构造矩阵
()n m n n
A B E +???= ???，
然后对矩阵B 作如下的初等变换：
（i ） 对A （即B 的前m 行）作初等的行变换， （ii ） 对B 作初等的列变换，
则经过有限次上述的初等变换后，B 可变为
000r n E A B E Q ??
?? ? ? ?=→ ? ? ? ???
??
，
此时Q 的后n r -个列向量构成0AX =的一基础解系．
例20 试从等价标准形的角度给出非齐次线性方程组m n A X b ?=的一种解法． 解 下面仅给出具体的操作过程，至于其原理可按例19的方式得到．
首先构造矩阵
()()
10n
m n n A b B E +?+??
=
?
??， 然后对矩阵B 作如下形式的初等变换：
（i ） 对B 的前m 行(),A b 作行的初等变换，
（ii ） 对B 的前n 列n A E ??
???
作列的初等变换，
则经过有限次上述变换后，B 可变为
00000r n
E A b b B E Q ??'?? ?=→
? ??? ???
， 记11r r m b b b b b +?? ? ? ?'= ? ? ? ? ???，()121,,
,,,
,r r n Q q q q q q +=，此时可得如下的结论：AX b =有解当且仅当
120r r m b b b ++==
==；当120r r m b b b ++====时，1122r r b q b q b q +++是AX b =的一个特
解，12,,
,r r n q q q ++是AX b =所对应的齐次线性方程组0AX =的一基础解系．
例21 试从等价标准形的角度给出可逆矩阵的逆矩阵的一种求法．
解 设A 是个n 阶可逆阵，A 的秩等于n ，存在可逆阵P 和Q ，使PAQ E =，1
1
A P Q --=，进而1
A
QP -=．这给出了求逆矩阵的一种方法．
首先构造矩阵
220n n
A E
B E ???
= ?
??，
然后对B 进行如下形式的初等变换：
（i ） 对B 的前n 行(),A E 进行初等的行变换，
（ii ） 对B 的前n 列A E ??
???
进行初等的列变换， 则经过有限次上述变换后，B 可变为
00A E E P B E Q ????=→ ? ?????
，
由此求得1
A
QP -=．
例22 设A 是给定的m n ?矩阵，X 是m n ?矩阵，求矩阵方程A X X A ''=的所有解X ．
解 设A 的秩rank A r =，取定m 阶可逆阵P 和n 阶可逆阵Q ，使得
00
0r
E A P Q ??
= ???
， 代入A X X A ''=，得到
00000
0r
r
E E Q P X X P Q ????
'''= ? ?????
， ()11000000r r E E P XQ Q X P --????'''?=? ? ?????， ()11000
00
0r r
E E P XQ P XQ --????'''?=? ? ?????
， 现记121
34m n
X
X P XQ
X X -???
'= ???，其中1X 是r 阶方阵，代入上式得到 1212341
3124200
00
000 000r
r
X X X X E X X X X X E X X X ??
????=? ? ? ???????
????
'
''?? ?
?== ? ? ?
'''?
?????
，
由此得到11X X '=，20X =，因此我们解得了
()11
3
40X
X P Q X X -??
'= ???
， 其中1X 是r 阶对称矩阵，()34,X X 是个任意的()m r n -?矩阵．
反过来，对任意m n ?矩阵()1
1340X X P Q X X -??
'=
???
，其中1X 是对称矩阵，我们容易验证A X X A ''=．这样我们就求出了A X X A ''=的全部解． □
例23 设(
)()()(),,,m n p q n q m p A M B M X M Y M ????∈∈∈∈，则矩阵方程
AX YB C -=
有解当且仅当00A B ??
???和0A C B ??
???
等价． 证 若X ，Y 满足方程AX YB C -=，则
00
000
0m
n
p q E Y E X A A AX YB A C E E B B B --??????????
== ? ? ? ? ??????????
?， 因此00A B ??
???与0A C B ??
???
等价． 反过来，如果00A B ??
???与0A C B ??
???
等价，那么它们具有相等的秩．设rank A r =，rank B s =，
存在可逆的()()()(),,,m m n n p p q q P M Q M R M T M ????∈∈∈∈，使得
00
0r
E PAQ ??=
???，00
0s E RBT ??= ???
， 则有
00000000000
000
0000
0r s E P
A Q R
B T E ??
??????? ?= ????? ??????? ???， 1234000000
000
000
0r s E C C P A C Q C C R B T E ??
??????? ?
= ????? ??????? ???
， 其中1234C C PCT C C ??
= ???
，1C 为r s ?矩阵．又记
1
3
00m p C K C ???=
???，2000n q
C L ???= ???， 则
4000000000
00000
000
0r
n m q n s
E E L E K P A C Q C E E R B T E ?? ?--?????????? ?
= ? ??????? ??????????? ???
， 因此从条件可知40C =，这样
1111000000000000
0n
m
q n E L E K A C P A Q P Q E E B R B T R T ----??????
??????????= ? ? ? ? ? ???????????????????
??， 由此得到
()11C A QLT P KR B --=?--?，
这意味着AX YB C -=有解．
例24 证明每个秩r 的矩阵可以表为r 个秩1的矩阵之和．
证 设m n ?矩阵A 的秩为r ，存在m 阶可逆阵P 和n 阶可逆阵Q ，使
000r
E A P Q ??
=
???
． 现记()11,0,,0A P e Q =，()220,,0,,0A P e Q =，…，()0,0,
,,0,
,0r r A P e Q =显然这r
个矩阵的秩均为1，且满足12r A A A A =+++． □
矩阵的各种标准形研究
玉林师范学院本科生毕业论文 反例在数学证明中的运用Study about the Kind of Matrix Standard Form Question 院系数学与信息科学学院 专业数学与应用数学 学生班级2010级1班 姓名 学号201004401137 指导教师单位数学与信息科学学院 指导教师姓名 指导教师职称副教授
数学与应用数学2010级1班梁玉漫 指导老师钟镇权 摘要 数学与应用数学专业本科生撰写学位论文应当符合写作规范和排版格式的要求.以下格式为依据国家标准和行业规范所编制的学士学位论文格式模板，供我系毕业生参照使用.理工科论文句号一律用实心圆点. 摘要部分说明： “摘要”是摘要部分的标题，不可省略. 标题“摘要”可选“标题1+四号”或手动设置成字体：黑体，居中，字号：四号，1.5倍行距，段前为0，段后11磅. 论文摘要是学位论文的缩影，文字要简练、明确。内容要包括目的、方法、结果和结论。单位制一律换算成国际标准计量单位制，除特别情况外，数字一律用阿拉伯数码。文中不允许出现插图. 摘要正文选用模板中的样式所定义的“正文”，每段落首行缩进2个汉字；或者手动设置成每段落首行缩进2个汉字，字体：宋体，字号：小四，行距：多倍行距1.25，间距：前段、后段均为0行，取消网格对齐选项. 摘要篇幅以一页为限，字数为300-500字. 摘要正文后，列出3－5个关键词。“关键词：”是关键词部分的引导，不可省略。关键词请尽量用《汉语主题词表》等词表提供的规范词. 关键词与摘要之间空一行.关键词词间用逗号间隔，末尾不加标点，3－5个，黑 体，小四.
Mathematics and Applied Mathematics 2007-2 Supervisor Su Derong Abstract Study about the question of matrix not only is the foundation of studying classical mathematics, also is useful value for the mathematics theory. It is not only an important branch of mathematics, also already become the powerful tool of processing massive question in the modern science and technology .Specially, computer has been used, which is opened the broad prospect for studying about the question of matrix. But the standard form of matrix has very important status whether in the theory or in the application. This article takes standard form of matrix as research object, starting from equal normal form, according to characteristic nature and qualitative, draws about two kind of different standard forms----similar standard form and contract standard form. What is more , sums up these two kinds of standard form convergence point as the solid symmetrical matrix standard form, through many examples, make every standard form expresses itself clearly, also causes the relation between them clearer. In the end , sums up the relation of several standard forms. Make us to understand the problem more profound. Key words: matrix, equal standard form, similar standard form, contract standard form
关于矩阵等价标准型定理的探讨
上海大学2011～2012学年冬季学期课程论文课程名称：线性代数与几何课程编号：01014108 论文题目: 关于矩阵等价标准型定理的探讨 作者姓名: 学号: 成绩: 论文评语: 评阅人: 评阅日期:
关于矩阵等价标准型定理的探讨 姓名： 学号： 摘要： 矩阵的等价标准形在我们的学习中很重要，能帮助我们解决许多问题．本文首先阐述并论证矩阵的等价标准型定理，其次本文就本定理的各方面的应用进行了逐个具体举例验证。 关键词：矩阵 等价标准型定理 应用 正文： 引言 本文主要讲述了矩阵的等价标准型定理，也就是矩阵的相抵标准型定理。接下来的就简单介绍了等价标准型定理的基本性质，最后分类具体介绍了等价标准型定理在线性代数中的各方面应用。 章节一：等价标准型的概念 定义1、设矩阵m n A ?的秩rank A r =，则存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆 阵Q ，使 I 00 0r PAQ ??= ???， 则我们把I 00 0r ?? ?? ? 称为 A 的等价标准型，也称相抵标准型定理。 定义2、对于任意m*n 的矩阵A ，则A 一定可以通过一系列初等行变换 和一系列初等变换化成形式为I 000 r ??? ? ??m*n （r 为矩阵A 的等价标准型. 章节二：等价标准型的性质 两个同形矩阵等价当且仅当它们具有相同的秩，即它们具有相同的等价标准形． 当矩阵A 是可逆矩阵时，矩阵A 的秩（即r （A ））是唯一的。下面给出相应的证明： （反证法）假设 r 不唯一, 不妨设 r < s , 存在 m 阶可逆矩 阵 P, M 和 n 阶可逆矩阵 Q, N ,使得 P AQ = 000Ir ?????? ，M AN =s 000I ?????? 所以A = P ?1 000Ir ?????? Q ?1 = M ?1s 00 0I ?????? N ?1 ? M P ? 1000Ir ???? ? ?Q ?1N =s 000I ????? ? ，将 M P ?1 和 Q ?1N 进 行 相 容 的 分 块,记M P ?1= 123 4P P P P ?????? ，Q ?1N =Q 1Q 2Q 3Q 4?? ??? ? ， 其中P 1 和Q 1 是r 阶方阵.则 1 234P P P P ??????000Ir ??????Q 1Q 2Q 3Q 4??????=P1Q 1 P1Q 2P3Q 1 P3Q 2?? ? ??? =s 000I ????? ? =Ir 000Is-r 00 0?? ???????? 比较相应位置的分块矩阵, 得 P 1Q 1 = I r , P 1Q 2 = 0r ×(n ?r ), P 3 Q 1 = 0(m ?r )×r , P 3Q 2 =00 0Ir ?????? （m-r ）×（n-r ） 则P 1 Q 2 = 0 ? Q 2 = 0, P 3Q 1 = 0 ? P 3 = 0，所以P 3Q 2 =0， 第5讲 λ-矩阵与标准形 内容：1. 矩阵的Jordan 标准形 2. 矩阵的最小多项式 3. λ-矩阵与Smith 标准型 4. 多项式矩阵的互质性与既约性 5. 有理式矩阵的标准形及仿分式分解 λ-矩阵又称多项式矩阵是矩阵理论中的重要内容， 在线性控制系统理论中有着重要的应用. 本讲讨论λ-矩阵和数字矩阵的相似标准形、矩阵的Jordan 标准形、矩阵的最小多项式、多项式矩阵与有理分式矩阵的标准形. §1 矩阵的Jordan 标准形 1.1 矩阵相似 定义 1.1 设A 和B 是矩阵，C 和D 是非奇异矩阵，若DAC B =,则称A 和B 相抵；若AC C B T =,则称A 和B 相合（或合同）；若AC C B 1-=,则称A 和B 相似，即若n n C B A ?∈,，存在n n n C P ?∈,使得B AP P =-1，则称A 与B 相似，并称P 为把A 变成B 的相似变换矩阵.特别，当1-=P P H ,称A 与B 酉相似，当1-=P P T ,称A 与B 正交相似. 相似是矩阵之间的一种重要的关系. 相似矩阵具有以下性质： 定理1.1 设n n C B C A ?∈,,, )(λf 是一个多项式，则 （1） 反身性：A 与A 相似； （2） 对称性：若A 与B 相似，则B 与A 也相似； （3） 传递性：若A 相似于B ，B 相似于C ，则A 与C 相似； （4） 若A 与B 相似，则B A det det =,rankB rankA =； （5） 若A 与B 相似，则)(A f 与)(B f 相似； （6） 若A 与B 相似，则)det()det(B I A I -=-λλ,即A 与B 有相同的特征多项式，从而特征值相同. 对角矩阵是较简单的矩阵之一，无论计算它的乘积、幂、逆矩阵和特征值等都比较方便.问题：方阵A 能否相似于一个对角矩阵？ 定义1.2 设n n C A ?∈，若A 相似于一个对角矩阵，则称A 可对角化. 定理 1.2 设n n C A ?∈，则A 可对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 证明 充分性.设),,,(211n diag AP P λλλ =Λ=-,其中 ),,,(21n p p p P =，则由Λ=P AP 得i i i p Ap λ=, ),,2,1(n i =，可见i λ是A 的特征值，P 的列向量i p 是对应特征值i λ的特征向量， 再由P 可逆知n p p p ,,,21 线性无关. 必要性. 如果A 有n 个线性无关的特征向量n p p p ,,,21 ，即有i i i p Ap λ=,),,2,1(n i =，记),,,(21n p p p P =，则P 可逆，且有 ),,,(),,,(221121n n n p p p Ap Ap Ap AP λλλ == 第3讲 矩阵的等价标准形的应用 设矩阵m n A ?的秩rank A r =，则存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆阵Q ，使 00 0r E PAQ ??= ??? ， 我们把000r E ?? ??? 称为A 的等价标准形．熟知两个同形矩阵等价当且仅当它们具有相同的秩，即它们具有相同的等价标准形．矩阵的等价标准形能帮助我们解决许多问题． 例1 每个方阵A 均可写成A BC =，其中B 是可逆阵，C 是幂等阵（即2 C C =）． 证 设A 的秩rank A r =，则存在可逆阵P 和Q ，使000r E A P Q ?? = ??? ．记B PQ =， 100 0r E C Q Q -??= ??? ，显然B 是个可逆阵，2 C C =是个幂等阵，并且A BC =． 例2 设n 阶方阵A 的秩rank A r =，证明存在可逆阵P ，使1 P AP -的后n r -行全是零． 证 存在可逆阵P 和Q ，使1000r E P AQ -??= ???，从而1 1 000r E P AP Q P --??= ??? 的后n r -行全是零． 例3 设n 阶矩阵A 的秩rank A r n =<，证明存在非零n 阶矩阵B ，使0BA AB ==． 证 由例1知存在可逆阵1A 和幂等阵2A ，使12A A A =．记()1 21B E A A -=-，显然0B ≠，且 ()()11211212210BA E A A A A A A E A A AB --=-==?-?=． 例4 设n 阶矩阵A ，B 满足AB E =，证明BA E =． 证 存在n 阶矩阵P ，Q ，使得000r E PAQ ?? = ??? ，这里r =rank A ，我们断言r n =．事实上，从AB E =易知 1 1 00 0r E PAQ Q B P Q B --???== ??? ， 11 000r E E Q BP --??=? ??? ， 由此显然得到r n =，此时11PAQ Q BP E --==，从而111 E Q BP PAQ Q BAQ ---=?=，进而BA E =． 例5 设n 阶幂等阵A （即2 A A =）的秩rank A r =，证明存在可逆阵P ，使 数学矩阵等价标准型问题研究 摘要：矩阵在高等代数内容中发挥非常重要的作用，在教学过程中尤其受到重视。形成一个庞大的矩阵知识体系，其中包括了线性变化、线性代数等方面的内容，囊括了大量的矩阵知识。矩阵的等价关系是高等数学学习矩阵的一个重要范畴，在高等代数中有全面介绍，在解决矩阵问题的过程中需要掌握矩阵标准形的应用。本篇文章中，由于标准形最为广泛，一般情况下都采用标准形的方式研究等价标准形、合同标准形、若当标准形、相似标准形以及正交标准形，更在标准形的进一步研究中发挥重要的作用。在与标准形相关的问题中，矩阵等价标准形处于一个非常重要的地位，也是需要做出重点探究的内容，掌握矩阵等价标准形的性质特征，在以后的学习过程中发挥重大作用。其中，矩阵等价标准形作为非常重要的研究对象，需要做出更深层次的探究，最终帮助我们了解矩阵等价标准形的特征，探究更广泛的应用。数学领域其它内容问题，物理、化学等学科，都需要使用到矩阵等价标准形一系列知识。不容忽视矩阵的三个重要关系，即等价关系、相似关系和合同关系，三者之间存在一定的联系，来达到相互影响、相互促进的作用，需要在教学的过程中充分利用矩阵的三种关系，对线性代数的教学也给予一定辅助。 关键词：矩阵；标准形；等价关系；标准型应用 数学教学的过程中，必然会接触到高等代数这门学科，作为数学学习的基本性学科，涉及到更多的知识概念、定理证明和性质描述等等。作为大学生数学课程，一般情况下是构建代数体系、代数难题，但是由于缺乏具体模型而逻辑性要求更高，使在学习的过程中造成一定的难度性，实际应用的时候使人手足无措。究其原因在于学生不了解高等代数与初等代数的区别，用中学生的思想观念和学习方法来学习，未领会高等代数中蕴含的数学方法和思想，对概念和定理的理解不足，缺少对数学方法的理解和总结。高等代数涉及的数学思想有很多，比如等价、类比、划归、结构、分类等思想，了解和应用这些数学思想可以更好地了解和掌握高等代数中的数学知识。等价思想是高等代数中比较重要的一种思想方法，是学生从计算解题到学习代数结构的结合点，为后续课程的学习起到铺垫的作用。在教学中，教师应深刻理解和把握课程内容，澄清教学体系，学科思想，把握重点，化解难点，解决疑点，达到帮助学生更好地学习和掌握高等代数知识的目的，也有助于高校高等代数精品课程的建设。本文就高等代数中的等价思想 矩阵的等价标准型定理 王耀伟 学号 摘要：本文阐述并论证矩阵的等价标准型定理,具体探讨这个定理的应用,比如在矩阵的秩的定义方面,在矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的乘积的证明中,在线性方程组的求解中,在向量的线性相关、线性无关性的判断中等等. 关键字：矩阵、等价标准型定理、应用 引言：文章的目的在于证明等价标准型定理，简单介绍其在矩阵方面、在线性方程组方面、以及在向量的线性相关的判断中的应用。 一、等价标准型定理及其证明 对任意m ×n 矩阵A ，用一系列的m 阶初等方阵P 1，P 2，…，P s 左乘A ，以及一系列初等方阵Q 1， Q 2…Q s 右乘A ，将A 化成()??? ? ??000r I ，其中r=rank A.存在m 阶可逆方阵P 和n 阶可逆方阵Q 使PAQ 具有上述形式。 证明：先证明定理“任意的m ?n 矩阵A 都可以通过有限次初等行变换和初等列变换化为()??? ? ??000r I ” 。如果A=O ，则A 已经是所需的形状。设A=（a ij )m ×n ≠O.其中必有某个元a ij ≠0,当k ≠1时将A 的第一行与第k 行互换，可以将非零元a kl 换到第一行；如果l ≠1；再将第一列和第l 列互换，将非零元换到第（1,1）位置。经过这样的初等行变换和初等列变换，一定可以将A=（a ij )m ×n 化为B=（b ij )m ×n ,使b 11≠0.对2≤i ≤m,2≤j ≤n,将B=（b ij )m ×n 的第一行的-b i1b -111倍加到第i 行，第一列的-b 1j b -111倍加到第j 列，可以将B 中第二至m 行的第一列元化为0，第二 至n 列的第一行元化为0.再将第一行乘b -111可以将第（1,1）元化为1.这样就将B 化成了如下形 式的矩阵C=??? ? ??11 A 。其中A1是（m-1)×(n-1)矩阵。如果A1=0，则C 已经是所需形状。 设A1≠0，重复以上步骤，对A1作初等行变换和初等咧变换可以将A1化为???? ??21 A 的形状。其中A2是（m-2)×(n-2）矩阵。这也就是对C 的第二至m 行作初等行变换，对C 的第二至第n 列作初等列变换，将C 进一步化为???? ? ??211A 重复这个过程，最后可以得到形如()???? ??000r I §5 多项式矩阵的互质性与既约性 一、多项式矩阵的最大公因子 定义3-10 多项式矩阵()λR 称为具有相同列数的两个多项式矩阵()()λλD N ,的一个 右公因子，如果存在多项式矩阵)(λN 和)(λD 使得： ()()()()()()λλλλλλR D D R N N ==,。 类似地可以定义左公因子。 定义3－11 多项式矩阵()λR 称为具有相同列数的两个多项式矩阵()()λλD N ,的一 个最大右公因子（记为gcrd ），如果： （1）()λR 是()()λλD N ,的右公因子； （2）()()λλD N ,的任一右公因子()λ1R ，都是()λR 的右乘因子，即存在多项式矩阵 ()λW ，使得()()()λλλ1R W R =。 对任意的n n ?与n m ?的多项式矩阵)(λD 与)(λN ，它们的gcrd 都存在。因为 T T T N D R ))(),(()(λλλ= 便是一个。 定理3－13 (gcrd 的构造定理) 对于给定的n n ?和n m ?多项式矩阵()()λλN D ，，如果能找到一个)()(m n m n +?+的单模矩阵()λG ，使得 ()()()()()()()()()()? ? ? ???=????????????=??????022211211λλλλλλλλλλR N D G G G G N D G 3-13 则n n ?多项式矩阵()λR ，即为()λN 和()λD 的gcrd 。 证明：（1）证明()λR 是右公因子。 设()()()()()?? ????=-λλλλλ222112111F F F F G ，则()()()()()()()()()()()??? ???=? ???????????=??????λλλλλλλλλλλR F R F R F F F F N D 2111222112110。 （2）证明()λR 是gcrd 。 求矩阵的Jordan 标准形的两种方法 方法1. 利用矩阵的初等因子 原理: 由于矩阵的每一个初等因子与一个Jordan 块相对应, 反之亦然. 求出全部的初等因子即可得出其Jordan 标准形. 方法2. 利用特征值和特征向量可求的可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形. 原理: 在复数域上, 每一个矩阵都与一个Jordan 标准形相似, 即存在可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形. 例. 设??? ? ? ?? -----=411301621A , 分别用两种方法求A 的Jordan 标准形. 解: 方法1. .)1(0 001000 1120011000123101100 014111102310411316212222 )1(232132???? ? ??-- →????? ??-+---??→?????? ??-+----→?? ? ? ? ??----+--???→?????? ??---+=-++--λλλλλλλλλλλλλλλλ λλλλλλr r r r r r A E 得A 的初等因子为2)1(,1--λλ, 于是A 的Jordan 标准形为 . 1100 1000121??? ? ? ??=???? ??=J J J 方法2. (1) 首先求A 的特征值. 3)1(||-=-λλA E , 所以特征值为1,1,1. (2) 求出相应的特征向量. 求解齐次线性方程组0)(=-X A E 的全部解: .000000311311311622???? ? ??-→????? ?? ---=-A E 相应的特征向量为)0,1,1(1-=α, )1,0,3(2=α. 1α,2α为特征值空间V 1的基. (3) 求出一组基, 使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准形. 第5讲λ-矩阵与标准形 内容：1. 矩阵的Jordan标准形 2. 矩阵的最小多项式 3. λ-矩阵与Smith标准型 4. 多项式矩阵的互质性与既约性 5. 有理式矩阵的标准形及仿分式分解 λ-矩阵又称多项式矩阵是矩阵理论中的重要内容，在线性控制系统理论中有着重要的应用. 本讲讨论λ-矩阵和数字矩阵的相似标准形、矩阵的Jordan标准形、矩阵的最小多项式、多项式矩阵与有理分式矩阵的标准形. §1 矩阵的Jordan标准形 1.1 矩阵相似 定义 1.1设A和B是矩阵，C和D是非奇异矩阵，若B=,则称A和B相抵；若AC DAC =,则称A和B相合（或合 B T C 同）；若AC =,则称A和B相似，即若n n C C B1- ∈ ,，存在n n n C A? B ∈, P?使得B -1，则称A与B相似，并称P为把A变成B的相似变P= AP 换矩阵.特别，当1- P H,称A与B酉相似，当1- =P P T,称A与B =P 正交相似. 相似是矩阵之间的一种重要的关系. 相似矩阵具有以下性质： 定理1.1 设n n C B C A ?∈,,, )(λf 是一个多项式，则 （1） 反身性：A 与A 相似； （2） 对称性：若A 与B 相似，则B 与A 也相似； （3） 传递性：若A 相似于B ，B 相似于C ，则A 与C 相似； （4） 若A 与B 相似，则B A det det =,rankB rankA =； （5） 若A 与B 相似，则)(A f 与)(B f 相似； （6） 若A 与B 相似，则)det()det(B I A I -=-λλ,即A 与B 有相同的特征多项式，从而特征值相同. 对角矩阵是较简单的矩阵之一，无论计算它的乘积、幂、逆矩阵和特征值等都比较方便.问题：方阵A 能否相似于一个对角矩阵？ 定义1.2 设n n C A ?∈，若A 相似于一个对角矩阵，则称A 可对角化. 定理 1.2 设n n C A ?∈，则A 可对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 证明 充分性.设),,,(211n diag AP P λλλ =Λ=-,其中 ),,,(21n p p p P =，则由Λ=P AP 得i i i p Ap λ=, ),,2,1(n i =，可见i λ是A 的特征值，P 的列向量i p 是对应特征值i λ的特征向量， 再由P 可逆知n p p p ,,,21 线性无关. 必要性. 如果A 有n 个线性无关的特征向量n p p p ,,,21 ，即有i i i p Ap λ=,),,2,1(n i =，记),,,(21n p p p P =，则P 可逆，且有 ),,,(),,,(221121n n n p p p Ap Ap Ap AP λλλ ==第5讲 λ矩阵与标准形
矩阵的等价标准形应用
数学矩阵等价标准型问题研究
矩阵的等价标准型定理
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式-2
求矩阵的Jordan标准形的两种方法
第5讲 λ-矩阵与标准形