统计学0716双因素方差分析

MSA
S
2 A
r 1
MSB
S
2 B
s 1
MSE
S
2 E
(r 1)(s 1)
，影响试验指标的因素往往不只一 到多因素方差分析。本部分讨论双 。 显著，还要考察这两个因素联合起 用。交互作用只存在于等重复试验 重复试验时，才能分析出两因素之
只做一次试验。所得结果如下表：
Bs X1s X2s … Xrs
根据随机变量F分布的定义，若随机变量X～X2(m),Y～X2(n)，则：
F X / m ~ F(m, n) Y /n
综合定理4，则当H01成立时，有：
当H02成立时，有：
FA
S
2 A
2/r1源自S2 E/(r -1)(s
- 1)
MSA MSE
~
F (r 1, (r 1)(s -1))
2
FB
S
2 B
/ s 1
二、双因素无重复试验的方差分析
所谓双因素无重复问题，就是对因素A，B的每一对组合（Ai，Bj）只做一次试验。所得结果如下表
B1
B2
...
Bs
A1
X11
X12
…
X1s
A2
X21
X22
…
X2s
…
…
…
…
…
Ar
Xr1
Xr2
…
Xrs
（一）确定数学模型
由于无重复试验中不存在交互作用，此时γij=0（i=1,2,…,r;j=1,2,…,s），故其数学模型如下：
（六）双因素等重复试验方差分析计算表
双因素无重复方差分析计算表
方差来源 因素A 因素B 误差E 总和T
平方和 自由度
SA2
r-1
SB2
s-1
SE2
(r-1)(s-1)
ST2
rs-1
均方
MSA MSB MSE
F值 临界值
MSA/MSE F1 ( r 1, ( r 1)( s 1))
MSB/MAE F1 (s 1, (r 1)(s 1))
s），故其数学模型如下：
要检验因素B对试验指标的影响是
s
x ) 2 r ( x . j x ) 2 j 1 SB2
1, (r 1)( s 1))
1, (r 1)(s 1))
i1 j 1
i 1
j 1
SE2
SA2
即：ST2=SE2+SA2+SB2
（四）检验统计量及其分布 定理4 在双因素无重复方差分析数学模型中： （1）SE2/σ2～X2((r-1)(s-1)); （2）当H01成立时，SA2/σ2～X2(r-1)； （3）当H02成立时，SB2/σ2～X2(s-1); （4）SE2,SA2,SB2相互独立.
x ij i j ij
ij ~ N (0, 2 )
各 ij 独立
r
s
i 0, j 0
i1
j1
i=1,2,…,r;j=1,2,…,s
（二）确定假设
对于上述模型需要检验以下两个假设：
H01：α1=α2=…=αr=0 H02：β1=β2=…=βs=0
要检验因素A对试验指标的影响是否显著，就要对H01作显著性检验；要检验因素B对试验指标的影响 否显著，就要对H02作显著性检验。
（三）平方和的分解
引入总离差平方和ST2：
rs
S
2 T
( x ij x ) 2
i1 j 1
将总离差平方和ST2进行分解，得：
rs
S
2 T
( x ij x ) 2
i1 j 1
rs
r
s
( x ij x i. x . j x ) 2 s ( x i. x ) 2 r ( x . j x ) 2
双因素方差分析
单因素方差分析涉及到的可变因素只有一个，但在许多实际问题中，影响试验指标的因素往往不只 个，需要考虑多因素中每一个因素对试验的影响是否显著，这就需要用到多因素方差分析。本部分讨论 因素方差分析，其基本方法可以推广到涉及两个以上因素的多因素分析。
双因素方差分析，不但要考虑因素A、B单独对试验指标的影响是否显著，还要考察这两个因素联合 来对试验指标的影响是否显著。这种作用叫做A、B这两个因素的交互作用。交互作用只存在于等重复试 中，因为在双因素方差分析中，只有当在每个因素的不同水平上进行等重复试验时，才能分析出两因素 间是否存在交互作用。
2
S
2 E
/(r
-1)(s -1)
MSB MSE
~
F(s 1, (r -1)(s -1))
2
（五）假设检验问题的拒绝域 对于给定的显著性水平，原假设H01的拒绝域为：
FA F1 (r 1,(r 1)(s 1))
对于给定的显著性水平，原假设H02的拒绝域为：
FB F1 (s 1,(r 1)(s 1))